【百强校】2015届江苏泰州、扬州、靖江中学高三下学期期初联考数学试卷(带解析)

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.若复数(2)i a -+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a = ▲ ． 【答案】2考点：1.复数的概念；2.已知集合{}1,2,4A =，{},4B a =，若{1,2,3,4}A B =，则A B = ▲ ．【答案】{4}考点：1.集合的运算；3.某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样 的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ． 【答案】16 【解析】试题分析：设高一、高二、高三年级的人数分别为，x ，x +d ，则3x =1200，即高二年级的人数为1200，所以高二年级被抽取的人数为12004816⨯=；考点：1.等差数列的概念；2.抽样方法；4.已知双曲线2214x y m -=的渐近线方程为2y x =±，则m = ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：因为该双曲线的焦点在x 上，所以其渐近线方程为b y x a =±，则2212b b a a ==，所以1,242m m ==；考点：1.双曲线的几何性质；5.执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．【答案】28 【解析】考点：1.算法；6.若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为 ▲ ． 【答案】3考点：1.简单几何体的体积与表面积；7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于21，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于41，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是 ▲ ． 【答案】163 【解析】试题分析：设“看电影”、“打篮球”、“看书”三个事件分别为A 、B 、C ，则这三个事件互斥，而且()()()1P A P B P C ++=，又21()23()4P A πππ-==，21()41()16P B ππ==，所以3()1()()16P C P A P B =--=；考点：1.几何概型；2.互斥事件；8.在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ▲ ． 【答案】64考点：1.等比数列的通项公式； 9.已知函数a x x y +-=22的定义域为R ，值域为),0[+∞，则实数a 的取值集合为▲ ． 【答案】{1}考点：1.函数的定义域与值域；10.已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．【答案】[1,7] 【解析】试题分析：平面区域如图所示：考点：1.线性规划； 11.设函数π()π)3f x x =+和π()sin(π)6g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM ON ⋅= ▲ ． 【答案】89- 【解析】考点：1.三角函数的恒等变换；2.平面向量的数量积；12.若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=所截得的弦长之比为2，则这两条直线的斜率之积为 ▲ ．【答案】9-或19- 【解析】试题分析：设这两条直线的斜率分别为k 和k -，则它们的方程分别为10kx y k --+=和10kx y k +--=，=，即231030k k -+=，解得13k =或3，所以219k -=-或9-；考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式；13.若函数2()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】(,2][5,)-∞+∞ 【解析】考点：1.分段函数；2.用导数研究函数的单调性；14.在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，4,6AB AD AC ===，若ABC ∆的外心恰在线段BD 上，则BC = ▲ ．【答案】 【解析】而2cos cos()cos 212412cos A πθθθ==-==--，则2222cos 40BC AB AC AB AC A =+-⋅=，所以BC =考点：1.余弦定理；2.三角函数的定义及和、差角公式；二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）已知向量1(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，0πθ<<． （1）若a ∥b ，求角θ的大小； （2）若+=a b b ，求sin θ的值．【答案】（1）2π3θ=；（2； 【解析】BFEC DAO考点：1.向量共线的坐标表示；2.向量的数量积；3.三角函数公式； 16.（本题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与直角三角形ABE 所在平面互相垂直，BE AE ⊥，点N M ,分别是CD AE ,的中点．（1）求证： MN ∥平面BCE ； （2）求证：平面⊥BCE 平面ADE ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； 【解析】考点：1.线面平行的判定定理；2.线面、面面垂直的判定与性质；17.（本题满分14分）如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m．在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l、m，欲再新建一条公路PQ，点P、Q分别在公路l、m上，且要求PQ与圆A相切．（1）当P距O处2百米时，求OQ的长；（2）当公路PQ长最短时，求OQ的长．【答案】（1）83；（2；【解析】试题解析：∵PQ 与圆A 1=，解得83q = ，故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米．考点：1.直线与圆的位置关系；2.用导数研究函数的最值； 18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点，过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D ．已知椭圆E的离心率为3，右焦点到右准线的距离为5．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； （3）求BCD ∆面积的最大值．【答案】（1）22194x y +=；（2）详见解析，3x =；（3）274；【解析】（3）由（2）得点D 的纵坐标为2000000039(3)D x x y x y y y y --=++=+，考点：（1）椭圆的几何性质；（2）椭圆的标准方程；（3）曲线的交点；（4）利用函数或基本不等式求最值； 19.（本题满分16分）已知}{n a ，}{n b ，}{n c 都是各项不为零的数列，且满足1122n n n n a b a b a b c S +++=，n *∈N ，其中n S 是数列}{n a 的前n 项和， }{n c 是公差为(0)d d ≠的等差数列． （1）若数列}{n a 是常数列，2d =，23c =，求数列}{n b 的通项公式； （2）若n a n λ=（λ是不为零的常数），求证：数列}{n b 是等差数列；（3）若11a c d k ===（k 为常数，k *∈N ），n nk b c +=(2,)n n *≥∈N ，求证：对任意的2,n n *≥∈N ，数列{}n nba 单调递减．【答案】（1）43()n b n n *=-∈N ；（2）详见解析；（3）详见解析； 【解析】试题分析：（1）由已知条件可化得数列}{n b 的前n 和，再作差求得通项，要注意分类讨论；（2）与（1）的思路相同，利用和作差，得到项之间的关系式，进而表示出数列}{n b 的通项，利用等差数列的定义进行证明，还应注意补充说明21b b -；（3）由（2）中和作差后的通项间的关系式可推得n S 与n a 的关系式，则证得从第2项起}{n a 成等比数列，求得其通项公式，同时也求得数列}{n b 从第二项起是等差数列，所以从第2项起{}nnb a 为差比数列，通过作差或作商可以研究它的单调性；（2）因为1122n n n n a b a b a b c S +++=，（3）由（2）得当2n ≥时，11()n n n n n n n S c c a c a b ---+=，即1()n n n n S d a b c -=-， 因为n n k b c +=，所以n n b c kd =+，即n n b c kd -=，所以1n n S d a kd -=⋅，即1n n S ka -=， 所以1(1)n n n n S S a k a -=+=+，当3n ≥时，11(1)n n S k a --=+，两式相减得 1(1)(1)n n n a k a k a -=+-+，考点：1.等差数列的通项与求和；2.等比数列的通项；3.数列的前n 和与通项； 20.（本题满分16分）己知()ln x f x a x a =--e ，其中常数0a >． （1）当a =e 时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()y f x =有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：1211x x a a<<<<； （3）求证：221ln 0x x x x ----≥ee ．【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）详见解析；（3）详见解析； 【解析】试题解析：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，（1）当e a =时，()e eln e xf x x =--，e()e x f x x'=-， 而e()e xf x x'=-在(0,)+∞上单调递增，又(1)0f '=， 当01x <<时，()(1)0f x f ''<=，则()f x 在(0,1)上单调递减；当1x >时，()(1)0f x f ''>=，则()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()f x 有极小值(1)0f =，没有极大值．111()0e ea a f a a ''=->->->e e e ，设()(0)e x x h x x =>，则1()e xxh x -'=，当01x <<时，()0x ϕ'> ，所以()g x 在(0,1)上单调递增；考点：1.用导数研究函数的最值和极值；2.零点存在性定理；3.构造函数证明不等式；2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试高三数学试题(附加题)21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心的割线且交圆O 于B 点，过B 作O 的切线交CD 于点1,2E DE EC =． 求证：（1）3CA CB =；（2）CA =．A【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； 【解析】A（1）∵CD 是圆O 的切线，∴2CD CA CB =⋅， 连结OD ，则OD CD ⊥，考点：1.圆的切线；2.切割线定理；B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵010A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵020B b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，直线04:1=+-y x l 经矩阵A 所对应的变换得到直线2l ，直线2l 又经矩阵B 所对应的变换得到直线04:3=++y x l ． （1）求,a b 的值；（2）求直线2l 的方程． 【答案】（1）1,12a b ==-；（2）240x y --=； 【解析】考点：1.矩阵变换；2.矩阵的乘法；C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P 为椭圆221169:x y C +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）60x y -+=；（2 【解析】考点：1.极坐标方程与直角坐标方程互化；2.参数方程的应用；D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +≤-对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．【答案】x x ≤≥ 【解析】考点：1.柯西不等式；2.不等式恒成立问题；［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.(本小题满分10分)某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A 、B 两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A 奖品，抛掷点数不小于3的获得B 奖品． （1）求这5名幸运之星中获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数的概率；（2）设X 、Y 分别为获得A 、B 两种奖品的人数，并记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）51243；（2）详见解析，18581；【解析】（1）要获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数，则A 奖品的人数可能为3,4,5，则 则所求概率为33244555551212151()()()()()33333243P C C C =++=．所以ξ的分布列是：故随机变量ξ的数学期望E ξ=401381⨯+⨯10275+⨯118118581=．考点：1.独立事件的概率；2.随机变量的概率分布和数学期望； 23.(本小题满分10分)已知2()(1)nf x x x =++（n N *∈），()g x 是关于x 的2n 次多项式；（1）若23()()()f x g x g x =恒成立，求(1)g 和(1)g -的值；并写出一个满足条件的()g x 的表达式，无需证明．（2）求证：对于任意给定的正整数n ，都存在与x 无关的常数0a ，1a ，2a ，…，n a ， 使得221222110121()(1)()()()n n n n n n n n f x a x a x x a x x a x x a x ---+-=+++++++++．【答案】（1）(1)0g =，(1)0g -=，例如2()(1)()n g x x n *=-∈N ；（2）；详见解析； 【解析】11212011110()k k k k k k k k a a x a x a x a x a x a x -+---=++++++++考点：1.数学归纳法；。

高中数学学习材料唐玲出品泰州市2015届高三第一次模拟考试数学试题与参考答案及评分标准参考公式：2222121[()()()]n S x x x x x x n =-+-+⋅⋅⋅+-，121()n x x x x n=++⋅⋅⋅+．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．已知{1, 3, 4}A =，{3, 4, 5}B =，则A B = ▲ ．答案：{}3, 4；2．函数()sin(3)6f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．答案：23π； 3．复数z 满足34iz i =+（i 是虚数单位），则z = ▲ ．答案：43i -；4．函数()24x f x =-的定义域为 ▲ ．答案：[2, )+∞；注意：用不等式表示，错误，不给分． 5．执行如右图所示的流程图，则输出的n 为 ▲ ．答案：4；6．若数据2，x ，2，2的方差为0，则x = ▲ ．答案：2；7．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ▲ ．答案：13；注意：写成162C 算错，不给分；写成26也不给分．8．等比数列{}n a 中，16320a a +=，3451a a a =，则数列的前6项和为 ▲ ．答案：214-； 9．已知函数22sin , 0()cos(), 0x x x f x x x x α⎧+≥⎪=⎨-++<⎪⎩是奇函数，则sin α= ▲ ．答案：1-；提示：特殊值法，取x α=-且0α>，由()()f f αα-=-，得22()cos()(sin )sin 1αααααα--+-+=-+⇒=-． 平时强调的重点方法啊！10．双曲线2222 1 (0, 0)x y a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ ．xyAO P答案：53；提示：双曲线唯一的重要性质：焦点到渐近线的距离等于b ；则有：222()22a c a c b a c ++=⇒+=2253250(35)()03c c ac a c a c a e a ⇒--=⇒-+=⇒==． 平时强调的重点内容啊！11．若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号）①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线； ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直； ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线； ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线； 答案：②④；提示：①注意到两平面是相交的，m α⊥，若两个平面是互相垂直的，显然存在；故不一定存在；②注意到是垂直，m 一定与两平面的交线垂直，有一条直线就有无数条直线； ③与④对立的，一定有一个是真命题；立体几何最重要的一个定理是“三垂线定理”；立柱、投影、作垂线即成．④是真命题． 平时强调的重点内容啊！12．已知实数a b c 、、满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为 ▲ ． 答案：33[, ]33-； 提示：类比猜想：“直角三角形”型；于是三角换元；令cos a c α=，sin b c α=，因0c ≠，为了确保能够一一对应，取[0, 2]απ∈，则sin sin 2cos 2cos 2b c a c c c αααα==---； 明眼人一看，构造斜率即可； 取点(cos , sin )P αα，(2, 0)A ，设直线的方程为：(2)20y k x kx y k =-⇒--=； 2222221314133(1)k d r k k k k k -=⇒=⇒=+⇒=⇒=±+-； 让点P 绕圆转一周，即可知：33[, ]33k ∈-．13．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若B C ∠=∠且222743a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ． 答案：55； 提示：考虑到是等腰三角形的对称性，选面积公式为：211sin sin 22ABC S bc A b A ∆==； 由已知222227437243a b c a b ++=⇒+=；xyθCM A B D P再由余弦定理：222222222cos 22cos 2(1cos )b c a bc A b a b A a b A +-=⇒-=⇒=-； 消去a ，得：222232314(1cos )2437(1cos )187cos b A b b A A-+=⇒==-+-；则有：1233sin 3sin sin 8287cos 87cos 7cos 7ABC A A S A A A A ∆=⋅⋅==-⨯---； 下求：sin ()8cos 7A f A A =-(0, )A π∈的最小值：仍然用构造斜率法，取点(cos , sin )P A A ，8(, 0)7Q ；由(0, )A π∈知：点P 的轨迹是x 轴上方的半圆；()f A 取最小值时，刚好是相切；设直线方程为8()77807y k x kx y k =-⇒--=；22222849716449491515(7)(7)k d r k k k k k -=⇒=⇒=+⇒=⇒=±+-，则min 7()15f A =-； 故max375()7515ABCS ∆=-⨯-=．14．在梯形ABCD 中，2AB DC =，6BC =，P 为梯形所在平面上一点，且满足40AP BP DP ++=，DA CB DA DP ⋅=⋅，Q 为边AD 上的一个动点，则PQ 的最小值为 ▲ ．答案：423； 提示：显然是坐标法；由于是填空题，可以再加上特殊值法；将梯形特殊化为直角梯形，90B ∠=︒；取M 为AB 的中点； 则四边形BMCD 为平行四边形；由DA CB DA DP DA DM DA DP ⋅=⋅⇒⋅=⋅cos DA DM ADM DA DP ⇒⋅⋅∠=⋅ cos DM DP DP AD θ⇒⋅=⇒=；故点P 的轨迹是以D 为圆心DA 为半径的圆在梯形内部的弧；易知：(6sin , 0)M θ、(12sin , 0)B θ、(0, 6cos )D θ、(6sin , 6cos )C θθ； 再设(, )P x y ，则(, )AP x y =、(12sin , )BP x y θ=-、(, 6cos )DP x y θ=-； 由40(12sin 4, 424cos )(0, 0)AP BP DP x x x y y y θθ++=⇒+-+++-=； 而PQ 的最小值就是点P 的横坐标；即612sin x θ=即2sin x θ=；又∵624cos 0y θ-=即4cos y θ=，∴有221416x y +=(0, 0)x y >>；可见点P 是椭圆与圆222(6cos )(6cos )x y θθ+-=的交点（在第一象限内）； 先求y ：代入22221(2sin )(4cos 6cos )(6cos )cos 9θθθθθ+-=⇒=； 从而28422sin 2sin 293x θθ====．二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点(3, 4)P ； （1）求sin()4πα+的值；（2）若P 关于x 轴的对称点为Q ，求OP OQ ⋅的值．解析：（1）∵角α的终边经过点(3, 4)P ，∴43sin , cos 55αα==；………………………………… 4分∴42327sin()sin cos cos sin 2444525210πππααα+=+=⨯+⨯=．……………………… 7分（2）∵(3, 4)P 关于x 轴的对称点为Q ，∴(3, 4)Q -；………………………………………… 9分∴(3, 4), (3, 4)OP OQ ==-，∴334(4)7OP OQ ⋅=⨯+⨯-=-．■ …………………… 14分16．（本题满分14分）如图在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，AC BD 、相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =， 平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点；（1）求证：直线//OG 平面EFCD ； （2）求证：直线AC ⊥平面ODE ． 证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，ACBD O =，∴点O 是BD 的中点； ∵点G 为BC 的中点，∴//OG CD ，…………………………… 3分 又∵OG ⊄平面EFCD ，（此条件少写扣1分）CD ⊂平面EFCD ，（不写扣1分） ∴直线//OG 平面EFCD ．………………………………………………………………… 7分 （2）∵BF CF =，点G 为BC 的中点，∴FG BC ⊥；∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF 平面ABCD BC =，FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥，∴FG ⊥平面ABCD ；……………………………………………………………………… 9分∵AC ⊂平面ABCD ，∴FG AC ⊥； ∵1//, 2OG AB OG AB =，1//, 2EF AB EF AB =，∴//, OG EF OG EF =； ∴四边形EFGO 为平行四边形，∴//FG EO ；…………………………………………… 11分 ∵FG AC ⊥，//FG EO ，∴AC EO ⊥； ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥；∵AC EO ⊥，AC DO ⊥，（少一个垂直条件扣3分）EO DO O =，EO DO 、在平面ODE 内，（少一个条件扣1分） ∴AC ⊥平面ODE ．■ …………………………………………………………………… 14分N MDRCAPQOB17．（本题满分14分）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2 km 的半圆和一个以PQ 为斜边的等腰直角PRQ ∆构成， 其中O 为PQ 的中点；现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD ，按实际需要，四边形ABCD 的两 个顶点C D 、分别在线段QR PR 、上，另外两个顶点A B 、在半圆上，////AB CD PQ ，且AB CD 、间的距离 为1 km ；设四边形ABCD 的周长为 km c ；（1）若C D 、分别为QR PR 、的中点，求AB 的长；（2）求周长c 的最大值． 解析：（1）连结RO 并延长分别交AB CD 、于M N 、，连结OB ；∵C D 、分别为QR PR 、的中点，2PQ =， ∴112CD PQ ==； ∵PRQ ∆为等腰直角三角形，PQ 为斜边， ∴112RO PQ ==，1122NO RO ==； ∵1MN =，∴12MO =；…… 3分（有12MO =就得3分）在Rt BMO ∆中，1BO =，∴2232BM BO OM =-=； ∴23AB BM ==．……… 6分（有23AB BM ==就得3分）（2）解法1：设BOM θ∠=，02πθ<<；在Rt BMO ∆中，1BO =，∴sin BM θ=，cos OM θ=；∵1MN =，∴1cos CN RN ON OM θ==-==，∴21(sin cos )BC AD θθ==+-，…………………………………………………… 8分 ∴22(sin cos 1(sin cos ))c AB CD BC AD θθθθ=+++=+++-， ……………… 10分22222(sin cos )(1(sin cos ))26θθθθ≤+++-=，（当12πθ=或512π时取等号）； ∴当12πθ=或512π时，周长c 的最大值为2 6 km ．■……………………………… 14分 （也可以设sin cos t θθ=-，换元变为函数求导来做）不写答扣2分法二：设BRO α∠=，解题中转化为2θα=，回归为θ的问题加以解决．解法2：以O 为原点，PQ 为y 轴建立平面直角坐标系． 设(, )B m n ，0m n >、，221m n +=，(1, )C m m -，∴2AB n =，2CD m =，21()BC AD m n ==+-； ………………………………… 8分 ∴22(1())c AB CD BC AD m n m n =+++=+++-，………………………………… 10分22222()(1())26m n m n ≤+++-=；（当624m +=，624n -=或624m -=，624n +=时取等号） ∴当624m +=，624n -=或624m -=，624n +=时，周长c 的最大值为2 6 km ．■…14分18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为22的椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P Q 、两点，直线PA QA 、分别与y 轴交于M N 、两点；若直线 PQ 斜率为22时，23PQ =； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论． 解析：（1）设002(,)2P x x ，∵直线PQ 斜率为22时，23PQ =， ∴22002()32x x +=，∴22x =；………… 3分 （得到2a b =也给3分）∴22211a b +=，∵2222c a b e a a -===， ∴224, 2a b ==．（直线方程与圆的方程联立方程组，表示出弦长也给3分）∴椭圆C 的标准方程为：22142x y +=．……………………………… 6分（2）以MN 为直径的圆过定点(2, 0)F ±．设00(, )P x y ，则00(, )Q x y --，且2200142x y +=，即22024x y +=， ∵(2, 0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0, )2y M x +；∴直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0, )2y N x -； ……………… 9分 （M N 、两点坐标全对也给3分，对一个给2分） 以MN 为直径的圆为：000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-， 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ……………………………………… 12分 ∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， 令0y =，2220x y +-=，解得：2x =±，∴以MN 为直径的圆过定点：(2, 0)F ±．■ ………………………… 16分法二：设直线PQ ：y kx =，利用12AP AQ k k ⋅=-，要证明，不好直接使用．法三：设直线AP 的斜率为k ，直线AQ 的斜率为12k-，求解．19．（本题满分16分）数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足：12n n n b a a +=-，1222n n n c a a ++=+-，*n N ∈； （1）若数列{}n a 是等差数列，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）若数列{}n b 、{}n c 都是等差数列，求证：数列{}n a 从第二项起为等差数列；（3）若数列{}n b 是等差数列，试判断当130b a +=时，数列{}n a 是否成等差数列？证明你的结论． 证明：（1）设数列{}n a 的公差为d ；∵12n n n b a a +=-，∴1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-；∴数列{}n b 是公差为d -的等差数列． ………………………………………………………… 4分 （法二：用通项公式直接代入硬算；n b 用n 的一次式表示，不作差要扣1分，要补证．） （2）当2n ≥时，1122n n n c a a -+=+-，∵12n n n b a a +=-，∴112n n n b c a -+=+，∴1112n n n b ca +++=+， ∴111112222n n n n n n n n n n b c b c b b c c a a +-+-+++---=-=+； ∵数列{}n b ，{}n c 都是等差数列，∴1122n n n n b b c c +---+为常数， ∴数列{}n a 从第二项起为等差数列． ………………………………………………………… 10分 （3）数列{}n a 成等差数列．（可用数学归纳法）解法1：设数列{}n b 的公差为d '，∵12n n n b a a +=-，∴11222n n n n n n b a a ++=-，∴1111222n n n n n n b a a ----=-，…，2112222b a a =-，∴11111122222n n n n n n b b b a a -+-+++⋅⋅⋅+=-； 设211212222n n n n n T b b b b --=++⋅⋅⋅++，∴21112222n n n n n T b b b +-=+⋅⋅⋅++， 两式相减得：21112(222)2n n n n n T b d b -+'-=++⋅⋅⋅++-，即11124(21)2n n n n T b d b -+'=---+，∴11111124(21)222n n n n n b d b a a -+++'---+=-， ∴1111111112224(21)22242()n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++'''=++--=+---， ∴1111224()2n n n a b d a b d ++'+-'=--；……………………………………………………………… 12分令2n =，得111132133224224()22a b d a b d a b d b ''+-+-'=--=-， ∵130b a +=，∴1113322402a b d b a '+-=+=，∴112240a b d '+-=；∴1()n n a b d +'=--；∴211()()n n n n a a b d b d d +++'''-=--+-=-，∴数列{}n a (2n ≥)是公差为d '-的等差数列， … 14分∵12n n n b a a +=-，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=；∴数列{}n a 是公差为d '-的等差数列． ………………………………………………………… 16分 解法2：∵12n n n b a a +=-，130b a +=，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=，……… 12分∴1122n n n b a a +++=-，2232n n n b a a +++=-，∴12122132(2)2(2)n n n n n n n n n b b b a a a a a a +++++++--=-----，∵数列{}n b 是等差数列，∴1220n n n b b b ++--=，∴1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--，…14分 ∵12320a a a -+=，∴1220n n n a a a ++--=，∴数列{}n a 是等差数列．■………………………………………………………………………… 16分20．（本题满分16分）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+；（取e 为2.8，取ln2为0.7，取2 1.4=）（1）若函数()()()h x f x g x =-在(0, )+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值；（3）当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点11(,)A x y 、22(,)B x y ，求证：2122x x e >．解析：（1）由()()()h x f x g x =-1ln x ax b x =---，得211()h x a x x'=+-； ∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上递增，∴对0x ∀>，都有211()0h x a x x '=+-≥，（求出导数给2分） 即对0x ∀>，都有211a x x ≤+，∵2110x x+>，∴0a ≤； 故实数a 的取值范围是(,0]-∞．……………………………………………… 4分（无等号的扣1分）（2）设切点0001(,ln )x x x -，则切线方程为：002000111(ln )()()y x x x x x x --=+-， 即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即02000112()(ln 1)y x x x x x =++--， 令10t x =>，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---；…………… 7分令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则1(21)(1)()21t t t t t tϕ+-'=-+-=，当(0,1)t ∈时()0t ϕ'<，()t ϕ在(0, 1)上递减；当(1,)t ∈+∞时()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上递增， ∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-．……………………………………… 10分（3）由题意知：1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=，两式相加得：12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+， 两式相减得：21221112ln ()x x x a x x x x x --=-，即212112ln1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln1ln ()()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-，即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，……… 12分 不妨令120x x <<，记211x t x =>，令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+， ∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴2(1)ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-，又1212121212121212121242()44ln ln ln 2ln x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-<-=-=-，∴121242ln 2x x x x ->，即12122ln 1x x x x ->，令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增， 又212ln 2ln 210.85122e e e -=+-≈<，∴12121222()ln 1ln 22G x x x x e x x e =->>-， ∴122x x e >，即2122x x e >．■……………………………………………………… 16分附加题与参考答案21．（本题满分20分） B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵1AB -对应的变换把直线l 变为直线':20l x y +-=，求直线 l 的方程．解析：∵1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴11201B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴1101212020102AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦；……………… 5分 设直线l 上任意一点(, )x y 在矩阵1AB -对应的变换下为点(, )x y ''；1202x x y y '-⎤⎤⎡⎤⎡⎡=⎥⎥⎢⎥⎢⎢'⎣⎦⎣⎣⎦⎦，∴'2'2x x y y y =-⎧⎨=⎩； 代入'l ，:(2)(2)20l x y y '-+-=，化简后得：:2l x =．■…………………………… 10分C ．（本小题满分10分，极坐标系与参数方程）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；以原点O 为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ-=，直线l 与圆O 相交于A B 、 两点，求弦AB 的长．解析：圆O ：224x y +=，直线l ：10x y -+=， ……………………………………………… 5分圆心O 到直线l 的距离：1222d ==，弦长22222()142AB =-=．■………… 10分22．（本题满分10分）如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，2DA DC ==，'1DD =，''A C 与''B D 相交于'O ，点P 在线段 BD 上（点P 与点B 不重合）； （1）若异面直线'O P 与'BC 所成的余弦值为5555，求DP 的长度； （2）若322DP =，求平面''PA C 与平面'DC B 所成角的正弦值． 解析：（1）以, , DA DC DD '为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由题意，可知(0, 0, 0)D 、(2, 0, 1)A '；(2, 2, 0)B ，(0, 2, 1)C '，(1, 1, 1)O '；设(, , 0)P t t ，∴(1, 1, 1)O P t t '=---，(2, 0, 1)BC '=-； 设异面直线O P '与BC '所成角为θ，则22(1)155cos 552(1)15O P BC t O P BC t θ''⋅---===''⋅-+⋅， 化简得：2212040t t -+=，解得：23t =或27t =； ∴223DP =或227DP =．……………… 5分 （2）∵322DP =， ∴33(, , 0)22P ，(0, 2, 1)DC '=,(2, 2, 0)DB =，13(, , 1)22PA '=-,31(, , 1)22PC '=-；设平面DC B '的一个法向量为：1111(, , )n x y z =；∴1100n DC n DB ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴111120220y z x y +=⎧⎨+=⎩即11112z y x y =-⎧⎨=-⎩，取11y =-，1(1, 1, 2)n =-；设平面PA C ''的一个法向量为2222(,,)n x y z =，∴2200n PA n PC ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，∴2222221302231022x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩即2222z y x y =⎧⎨=⎩，取21y =，2(1, 1, 1)n =；（求对一个法向量得2分）设平面PA C ''与平面DC B '所成角为ϕ，∴121222cos 363n n n n ϕ⋅===⋅⋅； ∴7sin 3ϕ=．■……………………………………………………………………10分 23．（本题满分10分）记r i C 为从i 个不同的元素中取出r 个元素的所有组合的个数；随机变量ξ表示满足212r i C i ≤的二元数组 (, )r i 中的r ，其中{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}i ∈，每一个r i C （ 0,1, 2, , r i =⋅⋅⋅）都等可能出现，求E ξ．解析：∵212r i C i ≤， 当2i ≥时，02112i iiC C i ==≤，11212i i i C C i i -==≤，222(1)122i i i i i C C i --==≤，23552C ≤，∴当25, *i i N ≤≤∈时，212r i C i ≤的解为 0,1, 2, , r i =⋅⋅⋅；………………………………… 3分当610, *i i N ≤≤∈，112r r i i i C C r +-≥⇔≤，由32(1)(2)162i i i i C i --=≤3,4,5i ⇔=可知：当0, 1, 2, 2, 1, r i i i =--时，212r i C i ≤成立，当3, , 3r i =⋅⋅⋅-时，3212r i i C C i ≥≥（等号不同时成立），即212r i C i >．……………6分ξ０ １ 2 3 4 5 6 7 8 9 10()P ξ316316 316 116 116 116 116 116 116124148 ∴311177(012)(345678)9101616244824E ξ=++⨯++++++⨯+⨯+⨯=．■…………… 10分精心制作仅供参考唐玲出品评：这道题实在是故弄玄虚，很简单的问题，弄得如此复杂！且看下页另解吧！解析：下列“无尖金字塔”表示意思是：上面的是组合数形式，下面的是其值形式；红数字是不适合的．02C 12C 22C ------------------------------------------------------------------ 21222⨯= 03C 13C 23C 33C --------------------------------------------------------------- 2123 4.5⨯= 04C 14C 24C 34C 44C ----------------------------------------------------------- 21248⨯= 05C 15C 25C 35C 45C 55C ------------------------------------------------------- 212512.5⨯=06C 16C 26C 36C 46C 56C 66C -------------------------------------------------- 212618⨯= 07C 17C 27C 37C 47C 57C 67C 77C ---------------------------------------------- 212724.5⨯= 08C 18C 28C 38C 48C 58C 68C 78C 88C ------------------------------------------ 212832⨯= 09C 19C 29C 39C 49C 59C 69C 79C 89C 99C -------------------------------------- 212940.5⨯= 010C 110C 210C 310C 410C 510C 610C 710C 810C 910C 1010C -------------------------------- 2121050⨯=1 2 1------------------------------------------------------------------ 21222⨯= 1 3 3 1---------------------------------------------------------------- 2123 4.5⨯=1 4 6 4 1-------------------------------------------------------------- 21248⨯= 1 5 10 10 5 1----------------------------------------------------------- 212512.5⨯= 1 6 15 20 15 6 1-------------------------------------------------------- 212618⨯=1 7 21 35 35 21 7 1----------------------------------------------------- 212724.5⨯= 1 8 28 56 70 56 28 8 1-------------------------------------------------- 212832⨯= 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1---------------------------------------------- 212940.5⨯=1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1-------------------------------------- 2121050⨯=以上两塔相结合起来看，适合的数字总数是(311)9(15)54822+⨯+⨯-=； 概率分布表，显然可列；以下省略．。

2015年江苏省泰州市高考数学一模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B=．2．函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．3．复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=．4．函数y=的定义域为．5．执行如图所示的流程图，则输出的n为．6．若数据2，x，2，2的方差为0，则x．7．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．8．等比数列a n中，a1+32a6=0，a3a4a5=1，则数列前6项和为．9．已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=．10．双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=．11．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．12．已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，则△ABC 的面积的最大值为．14．在梯形ABCD中，=2，=6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足++4=，•=•，Q为边AD上的一个动点，则的最小值为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．（1）求sin（α+）的值；（2）若P关于x轴的对称点为Q，求•的值．16．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．17．如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ 构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD 的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD的周长为ckm．（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；（2）求周长c的最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．19．数列{a n}，{b n}，{c n}满足：b n=a n﹣2a n+1，c n=a n+1+2a n+2﹣2，n∈N*．（1）若数列{a n}是等差数列，求证：数列{b n}是等差数列；（2）若数列{b n}，{c n}都是等差数列，求证：数列{a n}从第二项起为等差数列；（3）若数列{b n}是等差数列，试判断当b1+a3=0时，数列{a n}是否成等差数列？证明你的结论．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）三、选做题共4小题，满分20分【几何证明选讲】21．如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC．求证：∠DEB=∠DCE．【矩阵与变换】22．已知矩阵A=，B=，若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′：x+y﹣2=0，求直线l 的方程．【坐标系与参数方程选讲】23．己知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1，直线l与圆M相交于A，B两点，求弦AB的长．【不等式选讲】24．已知正实数a，b，c满足a+b+c=3，求证：++≥3．四、解答题（共2小题，满分20分）25．如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，DA=DC=2，DD′=1，A′C′与B′D′相交于点O′，点P在线段BD 上（点P与点B不重合）．（1）若异面直线O′P与BC′所成角的余弦值为，求DP的长度；（2）若DP=，求平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．26．记C i r为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足C i r≤i2的二元数组（r，i）中的r，其中i∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，每一个C i r（r=0，1，2，…，i）都等可能出现．求Eξ．2015年江苏省泰州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B={3，4}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=2sin（3x+），∵ω=3，∴T=．故答案为：【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．3．复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=4﹣3i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵iz=3+4i，∴﹣i•iz=﹣i（3+4i），∴z=4﹣3i，故答案为：4﹣3i．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．4．函数y=的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．5．执行如图所示的流程图，则输出的n为4．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=63时，不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=511，n=1满足条件S＞63，S=255，n=2满足条件S＞63，S=127，n=3满足条件S＞63，S=63，n=4不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环的S，n的值是解题的关键，属于基础题．6．若数据2，x，2，2的方差为0，则x=2．【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】由已知利用方差公式得到关于x的方程解之．【解答】解：因为数据2，x，2，2的方差为0，由其平均数为，得到=0，解得x=2；故答案为：2．【点评】本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用，熟记公式是关键，属于基础题7．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】排列组合．【分析】从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可【解答】解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；故答案为：．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题8．等比数列a n中，a1+32a6=0，a3a4a5=1，则数列前6项和为﹣．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据a1+32a6=0，求出公比q的值，再根据a3a4a5=1，求出a4与a1，即可计算数列的前6项和S6．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1+32a6=0，∴q5==﹣，即公比q=﹣；又∵a3a4a5=1，∴a4=1，∴a1===﹣8；∴该数列的前6项和为S6===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和的计算问题，是基础题目．9．已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】由已知中函数f（x）=是奇函数，可得cos（x+α）=sinx恒成立，进而α=﹣+2kπ，k∈Z，进而可得sinα的值．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x），∴cos（x+α）=sinx恒成立，∴α=﹣+2kπ，k∈Z，∴sinα=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数与函数图象和性质的综合应用，难度中档．10．双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．【解答】解：双曲线﹣=1的右焦点为（c，0），左顶点为（﹣a，0），右焦点到双曲线渐近线bx﹣ay=0的距离为：==b，右焦点（c，0）到左顶点为（﹣a，0）的距离为：a+c，由题意可得，b=（a+c），即有4b2=a2+c2+2ac，即4（c2﹣a2）=a2+c2+2ac，即3c2﹣5a2﹣2ac=0，由e=，则有3e2﹣2e﹣5=0，解得，e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．11．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为②④．（写出所有真命题的序号）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．【解答】解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；故答案为：②④．【点评】本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．12．已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，化为=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：∵实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l：y=k（x﹣2），则，化为，解得．∴的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，则△ABC的面积的最大值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4化简，根据余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4得，7a2+2b2=4，即2b2=4﹣7a2，由余弦定理得，cosC==，所以sinC===，则△ABC的面积S===a==×≤××==，当且仅当15a2=8﹣15a2取等号，此时a2=，所以△ABC 的面积的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力．14．在梯形ABCD 中，=2，=6，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足++4=，•=•，Q 为边AD 上的一个动点，则的最小值为 ．【考点】向量的加法及其几何意义． 【专题】平面向量及应用．【分析】画图，根据向量的几何意义和++4=，可求出=2，||=4，设∠ADP=θ，根据•=•，求出cos θ，继而求出sin θ，再根据射影定理得到的最小值【解答】解：取AB 的中点，连接PE ，∵=2，∴=2，∴=，∴四边形DEBC 为平行四边形，∴=，∵+=﹣2，++4=，∴=2，∵=6，∴=2，||=4，设∠ADP=θ，∵•=•，∴•=||||cos θ=•，∴cosθ=，∴sinθ=，当PQ⊥AD时，最小，∴=|DP|sinθ|=2×=故答案为：【点评】本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式，以及射影定理，属于中档题二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．（1）求sin（α+）的值；（2）若P关于x轴的对称点为Q，求•的值．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）由已知的α的三角函数值，然后利用两角和的正弦公式求值；（2）由已知求出Q的坐标，明确，的坐标，利用数量积公式解答．【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（3，4），∴，…∴．…（2）∵P（3，4）关于x轴的对称点为Q，∴Q（3，﹣4）．…∴，∴．…【点评】本题考查了三角函数的定义以及三角函数公式的运用、向量的数量积的运算．属于基础题．16．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．【解答】证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，∴点O是BD的中点，∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…又∵OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，∴直线OG∥平面EFCD．…（2）∵BF=CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD=BC，FG⊂平面BCF，FG⊥BC∴FG⊥平面ABCD，…∵AC⊂平面ABCD∴FG⊥AC，∵，，∴OG∥EF，OG=EF，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO=O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE．…【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，本题属于中档题．17．如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ 构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD的周长为ckm．（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；（2）求周长c的最大值．【考点】三角函数的最值；在实际问题中建立三角函数模型．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】（1）连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，运用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理计算即可得到AB的长；（2）设∠BOM=θ，由解直角三角形可得BM，OM，即可得到c=AB+CD+BC+AD=2（sinθ+cosθ+），再由≤（当且仅当a=b取得等号），计算即可得到最大值．【解答】（1）解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，∵C、D分别为QR、PR的中点，PQ=2，∴，∵△PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，∴，．∵MN=1，∴．在Rt△BMO中，BO=1，∴，∴．（2）设∠BOM=θ，，在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=sinθ，OM=cosθ．∵MN=1，∴CN=RN=1﹣ON=OM=cosθ，∴，∴，，当sinθ+cosθ=，即有sin2θ=，即或时取等号．∴当或时，周长c的最大值为km．【点评】本题考查三角函数的最值，考查重要不等式的运用，考查同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可．（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出．【解答】解：（1）设，∵直线PQ斜率为时，，∴，∴，=1，∴，∵，化为a2=2b2．联立，∴a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，x2+y2﹣2=0，解得，∴以MN为直径的圆过定点．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．数列{a n}，{b n}，{c n}满足：b n=a n﹣2a n+1，c n=a n+1+2a n+2﹣2，n∈N*．（1）若数列{a n}是等差数列，求证：数列{b n}是等差数列；（2）若数列{b n}，{c n}都是等差数列，求证：数列{a n}从第二项起为等差数列；（3）若数列{b n}是等差数列，试判断当b1+a3=0时，数列{a n}是否成等差数列？证明你的结论．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的定义只要证明b n+1﹣b n=一个常数即可；=a n+2a n+1﹣2，b n=a n﹣2a n+1，可得，，只要证（2）当n≥2时，c n﹣1明a n+1﹣a n等于一个常数即可；（3）解：数列{a n}成等差数列．解法1设数列{b n}的公差为d'，由b n=a n﹣2a n+1，利用“错位相减”可得，设，可得，进而得到，令n=2，得，利用b1+a3=0，可得a n+2﹣a n+1=﹣（b n+1﹣d'）+（b n﹣d'）=﹣d'，即可证明．解法2 由b n=a n﹣2a n+1，b1+a3=0，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，可得b n+1=a n+1﹣2a n+2，b n+2=a n+2﹣2a n+3，2b n+1﹣b n﹣b n+2=（2a n+1﹣a n﹣a n+2）﹣2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），由于数列{b n}是等差数列，可得2b n+1﹣b n﹣b n+2=0，可得2a n+1﹣a n﹣a n+2=2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），即可证明．【解答】证明：（1）设数列{a n}的公差为d，∵b n=a n﹣2a n+1，∴b n+1﹣b n=（a n+1﹣2a n+2）﹣（a n﹣2a n+1）=（a n+1﹣a n）﹣2（a n+2﹣a n+1）=d﹣2d=﹣d，∴数列{b n}是公差为﹣d的等差数列．=a n+2a n+1﹣2，（2）当n≥2时，c n﹣1∵b n=a n﹣2a n+1，∴，∴，∴，∵数列{b n}，{c n}都是等差数列，∴为常数，∴数列{a n}从第二项起为等差数列．（3）解：数列{a n}成等差数列．解法1设数列{b n}的公差为d'，∵b n=a n﹣2a n+1，∴，∴，…，，∴，设，∴，两式相减得：，即，∴，∴，∴，令n=2，得，∵b1+a3=0，∴，∴2a1+2b1﹣4d′=0，∴a n+1=﹣（b n﹣d′），∴a n+2﹣a n+1=﹣（b n+1﹣d′）+（b n﹣d′）=﹣d′，∴数列{a n}（n≥2）是公差为﹣d'的等差数列，∵b n=a n﹣2a n+1，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，∴数列{a n}是公差为﹣d'的等差数列．解法2∵b n=a n﹣2a n+1，b1+a3=0，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，∴b n+1=a n+1﹣2a n+2，b n+2=a n+2﹣2a n+3，∴2b n+1﹣b n﹣b n+2=（2a n+1﹣a n﹣a n+2）﹣2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），∵数列{b n}是等差数列，∴2b n+1﹣b n﹣b n+2=0，∴2a n+1﹣a n﹣a n+2=2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），∵a1﹣2a2+a3=0，∴2a n+1﹣a n﹣a n+2=0，∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）﹣g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+∞）上单调递增，可得对∀x＞0，都有h′（x）≥0，得到，由得到a的取值范围；（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值；（3）由题意知，，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0＜x1＜x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合又得到，即．【解答】（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，则，∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对∀x＞0，都有，即对∀x＞0，都有，∵，∴a≤0，故实数a的取值范围是（﹣∞，0]；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则，当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1；（3）证明：由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，∴，即，不妨令0＜x1＜x2，记，令，则，∴在（1，+∞）上单调递增，则，∴，则，∴，又，∴，即，令，则x＞0时，，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，又，∴，则，即．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法和函数构造法，本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力，难度较大．三、选做题（共4小题，满分20分ont-family: &#39;Times New Roman&#39;; mso-hansi-font-family: &#39;Times New Roman&#39;&quot;&gt;&lt;STRONG&gt;四小题中任选两题作答&lt;/STRONG&gt;&lt;/SPAN&gt;）【几何证明选讲】21．如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC．求证：∠DEB=∠DCE．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】立体几何．【分析】由切割线定理：DA2=DB•DC，从则DE2=DB•DC，进而△EDB～△CDE，由此能证明∠DEB=∠DCE．【解答】证明：∵EA与⊙O相切于点A．∴由切割线定理：DA2=DB•DC．∵D是EA的中点，∴DA=DE．∴DE2=DB•DC．…∴．∵∠EDB=∠CDE，∴△EDB～△CDE，∴∠DEB=∠DCE…【点评】本题考查两角相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．【矩阵与变换】22．已知矩阵A=，B=，若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′：x+y﹣2=0，求直线l 的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】矩阵和变换．【分析】计算出AB﹣1的值，设出变换，计算即可．【解答】解：∵，∴，∴，设直线l上任意一点（x，y）在矩阵AB﹣1对应的变换下为点（x'，y'），∴．代入l'，l'：（x﹣2y）+（2y）﹣2=0，化简后得：l：x=2．【点评】本题考查了矩阵的变换，属基础题．【坐标系与参数方程选讲】23．己知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1，直线l与圆M相交于A，B两点，求弦AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】利用sin2α+cos2α=1可得圆O的普通方程，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式可得圆心O（0，0）到直线l的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=．【解答】解：由圆O的参数方程（α为参数），利用sin2α+cos2α=1可得圆O：x2+y2=4，又直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1可得直线l：x﹣y+1=0，圆心O（0，0）到直线l的距离，弦长．【点评】本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．【不等式选讲】24．已知正实数a，b，c满足a+b+c=3，求证：++≥3．【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】证明：∵正实数a，b，c满足a+b+c=3，∴，∴abc≤1，∴．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．四、解答题（共2小题，满分20分）25．如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，DA=DC=2，DD′=1，A′C′与B′D′相交于点O′，点P在线段BD 上（点P与点B不重合）．（1）若异面直线O′P与BC′所成角的余弦值为，求DP的长度；（2）若DP=，求平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）以为一组正交基底，建立空间直角坐标系D﹣xyz，由此利用向量法能求出DP的长度．（2）求出平面DC'B的法向量和平面PA'C'的法向量，利用向量法求出设平面PA'C'与平面DC'B所成角的余弦值，由此能求出平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．【解答】解：（1）以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，由题意，知D（0，0，0），A'（2，0，1），B（2，2，0），C'（0，2，1），O'（1，1，1）．设P（t，t，0），∴，．设异面直线O'P与BC'所成角为θ，则，化简得：21t2﹣20t+4=0，解得：或，或．…（2）∵，∴，，，，，设平面DC'B的一个法向量为，∴，∴，即，取y1=﹣1，，设平面PA'C'的一个法向量为，∴，∴，即，取y2=1，，设平面PA'C'与平面DC'B所成角为φ，∴，∴．…【点评】本题考查线段长的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．26．记C i r为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足C i r≤i2的二元数组（r，i）中的r，其中i∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，每一个C i r（r=0，1，2，…，i）都等可能出现．求Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】由已知得当r=0，1，2，i﹣2，i﹣1，i时，成立，当r=3，…，i﹣3时，，由此能求出Eξ．【解答】解：∵，当i≥2时，，，，，∴当2≤i≤5，i∈N*时，的解为r=0，1，…，i．…当6≤i≤10，i∈N*，，由⇔i=3，4，5可知：当r=0，1，2，i﹣2，i﹣1，i时，成立，当r=3，…，i﹣3时，（等号不同时成立），即．…∴ξ的分布列为：…∴．…【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．。

〔第10题〕C〔第11题〕〔第5题〕〔第4题〕江苏省南通、泰州、扬州、淮安四市2015届高三第三次调研测试数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合A ={3，m }，B ={3m ，3}，且A =B ，则实数m 的值是 ▲ ． 2． 已知复数z =(1i)(12i)+-(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ ． 3． 已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z =2x +y 的最小值是 ▲ ．4． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如下图．已知在[50 75)，中的频数为5． 在如下图的算法流程图中，假设输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ．6． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x ，则log 2x 为整数的概率为 ▲ ． 7． 在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为▲ ．8． 在等差数列{a n }中，假设a n +a n +2=4n +6〔n ∈N *〕，则该数列的通项公式a n = ▲ ． 9． 给出以下三个命题： ①“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充分不必要条件； ②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a =0”是“函数f (x ) = x 3+ax 2〔x ∈R 〕为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为 ▲ ．10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其外表展开图如下图，则该空间几何体的体积V = ▲ cm 3．11． 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ．假设P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD 的最小值为 ▲ ．12． 已知函数322301()5 1x x m x f x mx x ⎧++=⎨+⎩≤≤，，，＞.假设函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，过点P 〔-5，a 〕作圆x 2+y 2-2ax +2y -1=0的两条切线，切点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值为 ▲ ． 14．已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值14分〕 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形． 〔1〕求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1；〔2〕如果点D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，求证：DE ∥平面ABC 1．16．〔本小题总分值14分〕已知函数()sin()f x A x ωϕ=+〔其中A ，ω，ϕ为常数，且A ＞0，ω＞0，22ϕππ-＜＜〕的部分图象如下图．〔1〕求函数f (x )的解析式； 〔2〕假设3()2f α=，求sin(2)6απ+的值．1〔第15题〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆221a b+=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(0)，F 20)，且经过点12)．〔1〕求椭圆的方程及离心率；〔2〕设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k 3k 4． ①求k 1k 2的值； ②求OB 2+OC 2的值．18．〔本小题总分值16分〕为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD ∥AB ；△OAB 区域为文化展示区，AB长为；其余空地为绿化区域，且CD 长不得超．．．过．200 m ． 〔1〕试确定A ，B 的位置，使△OAB 的周长最大？〔2〕当△OAB 的周长最大时，设∠DOC =2θ，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值． AB CDPQ〔第18题〕O〔第17题〕已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，211(1)n n n n b a a ++=-⋅，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n ．〔1〕假设12n n a -=，求S n ；〔2〕是否存在等比数列{a n }，使2n n b S +=对任意n ∈N *恒成立？假设存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；假设不存在，说明理由；〔3〕假设a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，求证：0≤S n ＜2．20．〔本小题总分值16分〕 已知函数1()ln f x a x x=--〔a ∈R 〕． 〔1〕假设a =2，求函数()f x 在(1，e 2)上的零点个数〔e 为自然对数的底数〕； 〔2〕假设()f x 恰有一个零点，求a 的取值集合；〔3〕假设()f x 有两零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求证：2＜x 1+x 2＜13e a --1．江苏省南通、泰州、扬州、淮安四市2015届高三第三次调研测试数学附加题21．【选做题】此题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．假设多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]〔本小题总分值10分〕如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB 于H．求证：P A·AH=PC·HB．B．[选修4-2：矩阵与变换]〔本小题总分值10分〕在平面直角坐标系xOy中，已知点A〔0，0〕，B〔2，0〕，C〔1，2〕，矩阵0112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A'，B'，C'，求△A B C'''的面积．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值10分〕在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cossinx ry rαα=⎧⎨=⎩，，〔α为参数，r为常数，r＞0〕．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos()204θπ++=．假设直线l与曲线C交于A，B两点，且AB=，求r的值．D．[选修4-5：不等式选讲]〔本小题总分值10分〕已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：14936a b b c c d a d++----≥．〔第21〔A〕题〕【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．〔本小题总分值10分〕如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，12AA AB =． 〔1〕求1AD 与面11BB D D 所成角的正弦值；〔2〕点E 在侧棱1AA 上，假设二面角E -BD -C 1， 求1AEAA 的值．23．〔本小题总分值10分〕袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． 〔1〕求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；〔2〕求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．A B CDA 1B 1C 1D 1〔第22题〕〔第5题〕〔第4题〕江苏省南通、泰州、扬州、淮安四市2015届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合A ={3，m }，B ={3m ，3}，且A =B ，则实数m 的值是 ▲ ．【答案】02．已知复数z =(1i)(12i)+-(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ ．【答案】33． 已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z =2x +y 的最小值是 ▲ ．【答案】-34． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如下图．已知在[50 75)，中的频数为【答案】10005． 在如下图的算法流程图中，假设输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ．【答案】-46． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x ，则log 2x 为整数的概率为 ▲ ．【答案】497． 在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为▲ ．【答案 8． 在等差数列{a n }中，假设a n +a n +2=4n +6〔n ∈N *〕，则该数列的通项公式a n = ▲ ．【答案】2n +19． 给出以下三个命题： ①“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充分不必要条件； ②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；32〔第10题〕C〔第11题〕其中正确命题的序号为 ▲ ．【答案】③10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其外表展开图如下图，则该空间几何体的体积V = ▲ cm 3．【答案】111． 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ．假设P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD 的最小值为 ▲ ．【答案】5-12． 已知函数322301()5 1x x m x f x mx x ⎧++=⎨+⎩≤≤，，，＞.假设函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为 ▲ ．【答案】〔-5，0〕13．在平面直角坐标系xOy 中，过点P 〔-5，a 〕作圆x 2+y 2-2ax +2y -1=0的两条切线，切点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】3或-214．已知正实数x ，y 满足24310x y x y +++=，则xy 的取值范围为 ▲ ． 【答案】[1，83]二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值14分〕 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形． 〔1〕求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1；〔2〕如果点D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，求证：DE ∥平面ABC 1．解：〔1〕因三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形， 故B 1C ⊥BC 1．……………………………………………………………………… 2分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，故B 1C ⊥平面ABC 1．5分因B 1C ⊂平面BCC 1B 1，故平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1．7分〔2〕如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又D 为A 1C 1的中点，故DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因DF ⊄平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1，故DF ∥面ABC 1． ………………… 10分 同理，EF ∥面ABC 1．因DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，故平面DEF ∥面ABC 1．……………………………………………………………… 12分 因DE ⊂平面DEF ，故DE ∥面ABC 1．…………………………………………………………………… 14分16．〔本小题总分值14分〕已知函数()sin()f x A x ωϕ=+〔其中A ，ω，ϕ为常数，且A ＞0，ω＞0，22ϕππ-＜＜〕的部分图象如下图．〔1〕求函数f (x )的解析式； 〔2〕假设3()2f α=，求sin(2)6απ+的值．解：〔1〕由图可知，A =2，…………………………………………………………… 2分 T =2π，故1ω=，所以，f (x ) =2sin()x ϕ+．…………………………………… 4分又22()2sin()233f ϕππ=+=，且22ϕππ-＜＜，故6ϕπ=-． 1 〔第15题答图〕1〔第15题〕于是，f (x ) =2sin()6x π-．…………………………………………………………7分 〔2〕由3()2f α=，得3sin()64απ-=．…………………………………………9分 所以，sin(2)sin 2()cos 2()6626αααππππ⎡⎤⎡⎤+=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………………………12分 =2112sin ()68απ--=-．……………………………………14分17．〔本小题总分值14分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(0)，F 20)，且经过点12)．〔1〕求椭圆的方程及离心率；〔2〕设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k 3k 4． ①求k 1k 2的值； ②求OB 2+OC 2的值．解：〔1〕方法一依题意，ca 2=b 2+3，……………………………………………………… 2分由2213413b b +=+，解得b 2=1(b 2=34-，不合，舍去)，从而a 2=4． 故所求椭圆方程为：2214x y +=．离心率e．…………………………………………………………………… 5分方法二由椭圆的定义知，2a4，即a =2．…………………………………………………………………………… 2分又因cb 2=1．下略．〔2〕①设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则D (-x 1，-y 1)，〔第17题〕于是k 1k 2=21212121y y y y x x x x -+⋅-+=12222221y y x x --=22212221(1)(1)44x x x x ----=14-．………………… 8分②方法一由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-，故x 1x 2=124y y -．所以，(x 1x 2)2=(-4y 1y 2)2，即(x 1x 2)2=221216(1)(1)44x x --=22221212164()x x x x -++， 所以，2212x x +=4．…………………………………………………………………… 11分又2=22221212()()44x x y y +++=222212124x x y y +++，故22121y y +=．所以，OB 2+OC 2 =22221122x y x y +++=5．………………………………………… 14分方法二由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-．将直线y =k 3x 方程代入椭圆2214x y +=中，得2123414x k =+．…………………… 9分同理，2224414x k =+．所以，22122234441414x x k k +=+++=22334411414()4k k +++-=4．…………………… 11分 下同方法一．18．〔本小题总分值16分〕为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD ∥AB ；△OAB 区域为文化展示区，AB长为；其余空地为绿化区域，且CD 长不得超．．．过．200 m ． 〔1〕试确定A ，B 的位置，使△OAB 的周长最大？〔2〕当△OAB 的周长最大时，设∠DOC =2θ，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值．解：〔1〕设(0200]OA m OB n m n ==∈，，，，， 在△OAB 中，22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，即222m n mn =++，…………………………………………………… 2分所以，22222()3()()()44m n m n mn m n m n +=+-+-=+≥，…………4分所以100m n +≤，当且仅当m =n =50时，m n +取得最大值，此时△OAB 周长取得最大值． 答：当OA OB 、都为50 m 时，△OAB 的周长最大． 6分〔2〕当△AOB 的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形． 过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ，交AB 于E ， 则E F 、分别为AB ，CD 的中点，所以DOE θ∠=，由CD 200≤，得(0]6 θπ∈，．8分在△ODF 中，200sin 200cos DF OF θθ==，． 又在△AOE 中，cos253OE OA π==，故200cos 25EF θ=-． 10分所以，1400sin )(200cos 25)2S θθ=-=8sin )(8cos 1)θθ-8sin 64sin cos θθθθ=-+，(0]6θπ∈，．…………12分〔一直没有交代范围扣2分〕令()8sin 64sin cos f θθθθθ=-+(0]6θπ∈，，()8cos 64cos216sin()64cos26f θθθθθθπ'=--+=-++，(0]6θπ∈，，又y =16sin()6πθ-+及y =cos 2θ在(0]6θπ∈，上均为单调递减函数，AB CDPQ〔第18题〕O ABCDPQ〔第18题答图〕O EF故()f θ'在(0]6θπ∈，上为单调递减函数．因1()4)62f π'=--⨯＞0，故()f θ'＞0在(0]6θπ∈，上恒成立，于是，()f θ在(0]6θπ∈，上为单调递增函数．……… 14分所以当6θπ=时，()f θ有最大值，此时S有最大值为625(8+． 答：当6θπ=时，梯形ABCD面积有最大值，且最大值为625(8+ m 2．… 16分19．〔本小题总分值16分〕 已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n ．〔1〕假设12n n a -=，求S n ；〔2〕是否存在等比数列{a n }，使2n n b S +=对任意n ∈N *恒成立？假设存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；假设不存在，说明理由；〔3〕假设a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，求证：0≤S n ＜2．解：〔1〕当a n =12n -时，b n =11(1)42n -⋅=232n +．………………………………………2分 所以，S n =1231133(1)82242n n -++++=-．……………………………………… 4分〔2〕满足条件的数列{a n }存在且只有两个，其通项公式为a n =1和a n =1(1)n --． 证明：在2n n b S +=中，令n =1，得b 3=b 1． 设a n =1n q -，则b n =211(1)nq q -．………………………………………………… 6分由b 3=b 1，得2321111(1)(1)q q q q-=-． 假设q =1±，则b n =0，满足题设条件．此时a n =1和a n =1(1)n --．………………… 8分 假设q 1≠±，则311q q=，即q 2 =1，矛盾． 综上，满足条件的数列{a n }存在，且只有两个，一是a n =1，另一是a n =1(1)n --． 10分〔3〕因1=a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，故0n a ＞，0＜1n n a a +≤1，于是0＜221nn a a +≤1．所以，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅≥0，n =1，2，3，…．所以，S n =b 1+b 2+…+b n ≥0．………………………………………………………… 13分又，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅=1111(1)(1)n n n n n a a a a a ++++-⋅=11111(1)()n n n n n n a a a a a a ++++-⋅≤1112()n n a a +-． 故，S n =b 1+b 2+…+b n ≤122311111112()2()2()n n a a a a a a +-+-++- =11112()n a a +-=112(1)n a +-＜2． 所以，0≤S n ＜2．………………………………………………………………… 16分20．〔本小题总分值16分〕 已知函数1()ln f x a x x=--〔a ∈R 〕． 〔1〕假设a =2，求函数()f x 在(1，e 2)上的零点个数〔e 为自然对数的底数〕； 〔2〕假设()f x 恰有一个零点，求a 的取值集合；〔3〕假设()f x 有两零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求证：2＜x 1+x 2＜13e a --1．解：〔1〕由题设，()f x '=21xx-，故()f x 在(1，e 2)上单调递减．…………………… 2分所以()f x 在(1，e 2)上至多只有一个零点． 又221(1)(e )1()ef f =⨯-＜0，故函数()f x 在(1，e 2)上只有一个零点．…………… 4分 〔2〕()f x '=21xx -，令()f x '=0，得x =1． 当x ＞1时，()f x '＜0，()f x 在(1 )+∞，上单调递减； 当0＜x ＜1时，()f x '＞0，()f x 在(0，1)上单调递增，故max [()]f x =f (1)=a -1．……………………………………………………… 6分 ①当max [()]f x =0，即a =1时，因最大值点唯一，故符合题设；…………… 8分②当max [()]f x ＜0，即a ＜1时，f (x )＜0恒成立，不合题设； ③当max [()]f x ＞0，即a ＞1时，一方面，e a ∃＞1，1(e )e a af =-＜0； 另一方面，e a -∃＜1，(e )2e a a f a -=-≤2a -e a ＜0(易证：e x ≥e x )， 于是，f (x )有两零点，不合题设．综上，a 的取值集合为{1}．………………………………………………………… 10分 〔3〕证：先证x 1+x 2＞2．依题设，有a =111ln x x +=221ln x x +，于是212121ln x x x x x x -=．记21x x =t ，t ＞1，则11ln t t tx -=，故11ln t x t t-=． 于是，x 1+x 2=x 1(t +1)=21ln t t t-，x 1+x 2-2=212(ln )2ln t t t t --．记函数g (x )=21ln 2x x x--，x ＞1．因22(1)()2x g x x -'=＞0，故g (x )在(1 )+∞，上单调递增． 于是，t ＞1时，g (t )＞g (1)=0．又ln t ＞0，所以，x 1+x 2＞2．…………………………………………………………… 13分 再证x 1+x 2＜13e a --1．因f (x )=0⇔h (x )=ax -1-x ln x =0，故x 1，x 2也是h (x )的两零点． 由()h x '=a -1-ln x =0，得x =1e a -(记p =1e a -)．仿〔1〕知，p 是h (x )的唯一最大值点，故有12()0.h p x p x ⎧⎨⎩＜＞，＜作函数h (x )=2()ln ln x p x p x p ---+，则22()()()x p h x x x p -'=+≥0，故h (x )单调递增． 故，当x ＞p 时，h (x )＞h (p )=0；当0＜x ＜p 时，h (x )＜0． 于是，ax 1-1=x 1ln x 1＜11112()ln x x p x p x p-++．整理，得211(2ln )(2ln 1)p a x p ap p p x p +--+--+＞0， 即，21111(3e 1)e a a x x ----+＞0．同理，21122(3e 1)e a a x x ----+＜0． 故，21122(3e 1)e a a x x ----+＜21111(3e 1)e a a x x ----+， 1212121()()(3e 1)()a x x x x x x -+---＜，于是，1123e 1a x x -+-＜．综上，2＜x 1+x 2＜13e a --1．………………………………………………………16分21．【选做题】此题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．假设多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]〔本小题总分值10分〕如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB 于H．求证：P A·AH=PC·HB．证：连AC，AB．因BC为圆O的直径，故AC⊥AB．又AH⊥PB，故AH2=CH·HB，即AH HBCH AH=．………………………………5分因P A为圆O的切线，故∠P AC=∠B．在Rt△ABC中，∠B+∠ACB=90°．在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB=90°．所以，∠HAC=∠B．所以，∠P AC=∠CAH，所以，PC PACH AH=，即AH PACH PC=．所以，PA HBPC AH=，即P A·AH=PC·HB．…………………………………………10分B．[选修4-2：矩阵与变换]〔本小题总分值10分〕在平面直角坐标系xOy中，已知点A〔0，0〕，B〔2，0〕，C〔1，2〕，矩阵0112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A'，B'，C'，求△A B C'''的面积．解：因0000⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M，2001⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M，21122⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M，即1(00)(01)(2)2A B C'''--，，，，，．……………………………………………………6分故1212S A B''=⨯⨯=．………………………………………………………………10分〔第21〔A〕题答图〕〔第21〔A〕题〕C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值10分〕在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，〔α为参数，r 为常数，r ＞0〕．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l cos()204θπ++=．假设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB =，求r 的值．解cos()204θπ++=，得cos sin 20ρθρθ-+=，即直线l 的方程为20x y -+=．…………………………………………………… 3分由cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，得曲线C 的普通方程为222x y r +=，圆心坐标为(0,0)，……… 6分所以，圆心到直线的距离d =AB =，则2r =．……………… 10分D ．[选修4-5：不等式选讲]〔本小题总分值10分〕已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ＞c ＞d ，求证：14936a b b c c d a d++----≥． 证：因a ＞b ＞c ＞d ，故a -b ＞0，b -c ＞0，c -d ＞0． 故2149[()()()](123)36a b b c c d a b b c c d ⎛⎫-+-+-++++= ⎪---⎝⎭≥，…………… 6分所以，14936a b b c c d a d++----≥．………………………………………………… 10分【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．〔本小题总分值10分〕如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，12AA AB =． 〔1〕求1AD 与面11BB D D 所成角的正弦值；〔2〕点E 在侧棱1AA 上，假设二面角E -BD -C 1， 求1AEAA 的值． 解：〔1〕以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如下图空间直角坐标系D -xyz ． 设1AB =，则D 〔0，0，0〕，A 〔1，0，0〕， B 〔1，1，0〕，C 〔0，1，0〕，D 1〔0，0，2〕，A 1〔1，0，2〕，B 1〔1，1，2〕，C 1〔0，1，2〕． 2分〔1〕设1AD 与面11BB D D 所成角的大小为θ，1(102)AD =-，，，设平面11BB D D 的法向量为n =〔x ，y ，z 〕，(1,1,0)DB =，1(0,0,2)DD =，则10,0DB DD ⋅=⋅=n n ，即0,0x y z +==．令1x =，则1y =-，所以(110) =-，，n ，111sin |cos ,|||||||AD AD AD θ⋅=<>==n n n 所以1AD 与平面11BB D D ．………………………… 6分〔2〕设E (1，0，λ)，0≤λ≤2．设平面EBD 的法向量为n 1=〔x 1，y 1，z 1〕，平面1BDC 的法向量为n 2=〔x 2，y 2，z 2〕，(110)(10)DB DE λ==，，，，，，由1100DB DE ⋅=⋅=，n n ，得11110,0x y x z λ+=+=， 令11z =，则11,x y λλ=-=，1(,,1)λλ=-n ，1(0,1,2)DC =，由22100DB DC ⋅=⋅=，n n ，得2222020x y y z +=+=，， 令z 2=1，则x 2=2，y 2=-2，2(2,2,1)=-n ，121212cos ,||||⋅<>==n n n n n n ，A B CDA 1B 1C 1D 1〔第22题〕||=，得1λ=．所以112AE AA =．…………………………… 10分23．〔本小题总分值10分〕袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． 〔1〕求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；〔2〕求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．解：〔1〕由题意可知X 2=3，4，5． 当X 2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P (X 2=3)=11331188C C C C ⨯=964；当X 2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P (X 2=4)=1111355411118888C C C C C C C C +=3564；当X 2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P (X 2=5)=11541188C C C C =516．……3分所以随机变量X 2的概率分布如下表：数学期望E (X 2)=935526734564641664⨯+⨯+⨯=．……………………………… 5分〔2〕设P (X n =3+k )=p k ，k =0，1，2，3，4，5．则p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5=1，E (X n )=3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5．P (X n +1=3)=038p ，P (X n +1=4)=58p 0+48p 1，P (X n +1=5)=48p 1+58p 2，P (X n +1=6)=38p 2+68p 3，P (X n +1=7)=28p 3+78p 4，P (X n +1=8)=18p 4+88p 5，……………………… 7分所以，E (X n +1)=3×38p 0+4×(58p 0+48p 1)+5×(48p 1+58p 2)+6×(38p 2+68p 3)+7×(28p 3+78p 4)+8×(18p 4+88p 5)=298p 0+368p 1+438p 2+508p 3+578p 4+648p 5 =78(3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5)+ p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5 =78E (X n )+1． …………………9分 由此可知，E (X n +1)-8=78(E (X n )-8)．又E (X 1)-8=358-，所以E (X n )=13578()88n --．…………………………… 10分。

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.若复数(2)i a -+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a = ▲ ． 【答案】2考点：1.复数的概念；2.已知集合{}1,2,4A =，{},4B a =，若{1,2,3,4}A B = ，则A B = ▲ ． 【答案】{4}考点：1.集合的运算；3.某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样 的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ． 【答案】16 【解析】试题分析：设高一、高二、高三年级的人数分别为x d ，x ，x +d ，则3x =1200，即高二年级的人数为1200，所以高二年级被抽取的人数为12004816⨯=；考点：1.等差数列的概念；2.抽样方法；4.已知双曲线2214x y m -=的渐近线方程为2y x =±，则m = ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：因为该双曲线的焦点在x 上，所以其渐近线方程为b y x a =±，则2212b b a a ==，所以1,242m m ==；考点：1.双曲线的几何性质；5.执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．【答案】28 【解析】考点：1.算法；6.若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为 ▲ ． 【答案】3考点：1.简单几何体的体积与表面积；7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于21，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于41，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是 ▲ ． 【答案】163 【解析】试题分析：设“看电影”、“打篮球”、“看书”三个事件分别为A 、B 、C ，则这三个事件互斥，而且()()()1P A P B P C ++=，又21()23()4P A πππ-==，21()41()16P B ππ==，所以3()1()()16P C P A P B =--=；考点：1.几何概型；2.互斥事件；8.在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ▲ ． 【答案】64考点：1.等比数列的通项公式； 9.已知函数a x x y +-=22的定义域为R ，值域为),0[+∞，则实数a 的取值集合为▲ ． 【答案】{1}考点：1.函数的定义域与值域；10.已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．【答案】[1,7] 【解析】试题分析：平面区域如图所示：考点：1.线性规划； 11.设函数π()π)3f x x =+和π()sin(π)6g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM ON ⋅=▲ ．【答案】89- 【解析】考点：1.三角函数的恒等变换；2.平面向量的数量积；12.若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=所截得的弦长之比为2，则这两条直线的斜率之积为 ▲ ．【答案】9-或19- 【解析】试题分析：设这两条直线的斜率分别为k 和k -，则它们的方程分别为10kx y k --+=和10kx y k +--=，=，即231030k k -+=，解得13k =或3，所以219k -=-或9-；考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式；13.若函数2()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】(,2][5,)-∞+∞ 【解析】考点：1.分段函数；2.用导数研究函数的单调性；14.在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，4,6AB AD AC ===，若ABC ∆的外心恰在线段BD 上，则BC = ▲ ．【答案】 【解析】而2cos cos()cos 212412cos A πθθθ==-==--，则2222cos 40BC AB AC AB AC A =+-⋅=，所以BC =考点：1.余弦定理；2.三角函数的定义及和、差角公式；二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）已知向量1(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，0πθ<<． （1）若a ∥b ，求角θ的大小； （2）若+=a b b ，求sin θ的值．【答案】（1）2π3θ=；（2； 【解析】BFEC DAO考点：1.向量共线的坐标表示；2.向量的数量积；3.三角函数公式； 16.（本题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与直角三角形ABE 所在平面互相垂直，BE AE ⊥，点N M ,分别是CD AE ,的中点．（1）求证： MN ∥平面BCE ； （2）求证：平面⊥BCE 平面ADE ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； 【解析】考点：1.线面平行的判定定理；2.线面、面面垂直的判定与性质；17.（本题满分14分）如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m．在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l、m，欲再新建一条公路PQ，点P、Q分别在公路l、m上，且要求PQ与圆A相切．（1）当P距O处2百米时，求OQ的长；（2）当公路PQ长最短时，求OQ的长．【答案】（1）83；（2）32；【解析】试题解析：∵PQ 与圆A 1=，解得83q = ，故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米．考点：1.直线与圆的位置关系；2.用导数研究函数的最值； 18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点，过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D ．已知椭圆E的离心率为3，右焦点到右准线的距离为5．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； （3）求BCD ∆面积的最大值．【答案】（1）22194x y +=；（2）详见解析，3x =；（3）274；【解析】（3）由（2）得点D 的纵坐标为2000000039(3)D x x y x y y y y --=++=+，考点：（1）椭圆的几何性质；（2）椭圆的标准方程；（3）曲线的交点；（4）利用函数或基本不等式求最值； 19.（本题满分16分）已知}{n a ，}{n b ，}{n c 都是各项不为零的数列，且满足1122n n n n a b a b a b c S +++= ，n *∈N ，其中n S 是数列}{n a 的前n 项和， }{n c 是公差为(0)d d ≠的等差数列．（1）若数列}{n a 是常数列，2d =，23c =，求数列}{n b 的通项公式； （2）若n a n λ=（λ是不为零的常数），求证：数列}{n b 是等差数列；（3）若11a c d k ===（k 为常数，k *∈N ），n nk b c +=(2,)n n *≥∈N ，求证：对任意的2,n n *≥∈N ，数列{}n nba 单调递减．【答案】（1）43()n b n n *=-∈N ；（2）详见解析；（3）详见解析； 【解析】试题分析：（1）由已知条件可化得数列}{n b 的前n 和，再作差求得通项，要注意分类讨论；（2）与（1）的思路相同，利用和作差，得到项之间的关系式，进而表示出数列}{n b 的通项，利用等差数列的定义进行证明，还应注意补充说明21b b -；（3）由（2）中和作差后的通项间的关系式可推得n S 与n a 的关系式，则证得从第2项起}{n a 成等比数列，求得其通项公式，同时也求得数列}{n b 从第二项起是等差数列，所以从第2项起{}nnb a 为差比数列，通过作差或作商可以研究它的单调性；（2）因为1122n n n n a b a b a b c S +++= ，（3）由（2）得当2n ≥时，11()n n n n n n n S c c a c a b ---+=，即1()n n n n S d a b c -=-， 因为n n k b c +=，所以n n b c kd =+，即n n b c kd -=，所以1n n S d a kd -=⋅，即1n n S ka -=， 所以1(1)n n n n S S a k a -=+=+，当3n ≥时，11(1)n n S k a --=+，两式相减得 1(1)(1)n n n a k a k a -=+-+，考点：1.等差数列的通项与求和；2.等比数列的通项；3.数列的前n 和与通项； 20.（本题满分16分）己知()ln x f x a x a =--e ，其中常数0a >． （1）当a =e 时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()y f x =有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：1211x x a a<<<<； （3）求证：221ln 0x x x x ----≥ee ．【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）详见解析；（3）详见解析； 【解析】试题解析：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，（1）当e a =时，()e eln e xf x x =--，e()e x f x x'=-， 而e()e xf x x'=-在(0,)+∞上单调递增，又(1)0f '=， 当01x <<时，()(1)0f x f ''<=，则()f x 在(0,1)上单调递减；当1x >时，()(1)0f x f ''>=，则()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()f x 有极小值(1)0f =，没有极大值．111()0e ea a f a a ''=->->->e e e ，设()(0)e x x h x x =>，则1()exxh x -'=， 当01x <<时，()0x ϕ'> ，所以()g x 在(0,1)上单调递增；考点：1.用导数研究函数的最值和极值；2.零点存在性定理；3.构造函数证明不等式；2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试高三数学试题(附加题)21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心的割线且交圆O 于B 点，过B 作O 的切线交CD 于点1,2E DE EC =． 求证：（1）3CA CB =；（2）CA ．A【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； 【解析】A（1）∵CD 是圆O 的切线，∴2CD CA CB =⋅， 连结OD ，则OD CD ⊥，考点：1.圆的切线；2.切割线定理；B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵010A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵020B b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，直线04:1=+-y x l 经矩阵A 所对应的变换得到直线2l ，直线2l 又经矩阵B 所对应的变换得到直线04:3=++y x l ． （1）求,a b 的值；（2）求直线2l 的方程． 【答案】（1）1,12a b ==-；（2）240x y --=； 【解析】考点：1.矩阵变换；2.矩阵的乘法；C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P 为椭圆221169:x y C +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）60x y -+=；（2 【解析】考点：1.极坐标方程与直角坐标方程互化；2.参数方程的应用；D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +≤-对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．【答案】x x ≤【解析】考点：1.柯西不等式；2.不等式恒成立问题；［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.(本小题满分10分)某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A 、B 两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A 奖品，抛掷点数不小于3的获得B 奖品． （1）求这5名幸运之星中获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数的概率；（2）设X 、Y 分别为获得A 、B 两种奖品的人数，并记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）51243；（2）详见解析，18581；【解析】（1）要获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数，则A 奖品的人数可能为3,4,5，则 则所求概率为33244555551212151()()()()()33333243P C C C =++=．所以ξ的分布列是：故随机变量ξ的数学期望E ξ=401381⨯+⨯10275+⨯118118581=．考点：1.独立事件的概率；2.随机变量的概率分布和数学期望； 23.(本小题满分10分)已知2()(1)nf x x x =++（n N *∈），()g x 是关于x 的2n 次多项式；（1）若23()()()f x g x g x =恒成立，求(1)g 和(1)g -的值；并写出一个满足条件的()g x 的表达式，无需证明．（2）求证：对于任意给定的正整数n ，都存在与x 无关的常数0a ，1a ，2a ，…，n a ， 使得221222110121()(1)()()()n n n n n n n n f x a x a x x a x x a x x a x ---+-=+++++++++ ． 【答案】（1）(1)0g =，(1)0g -=，例如2()(1)()n g x x n *=-∈N ；（2）；详见解析； 【解析】11212011110()k k k k k k k k a a x a x a x a x a x a x -+---=++++++++考点：1.数学归纳法；21。

2015—2016学年江苏省泰州中学、靖江中学联考高一（下）期中数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分，共70分1．已知数列{a n｝前n项之和是S n，S n=2n2﹣3n+1,那么数列的通项公式是．2．若正项等比数列｛a n｝满足：2a5﹣3a4=2a3，则公比q= ．3．已知{a n｝为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n｝的前项和,则使得S n达到最大值的是．4．如果实数﹣1,a，b，c，﹣9成等比数列,则b= ．5．已知直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直,则实数a等于．6．已知两条直线l1:(a﹣1)x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行,则a= ．7．等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n｝的公比为．8．变量x,y满足条件，则z=2x+y的最小值为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c,且a2+b2+ab=c2，则C= ．10．已知等差数列{a n}，a1=2，a3=6，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为．11．如图,在△ABC中,D是边AC上的点，且，则sinC的值为．12．在△ABC中，已知AB=3，A=120°，且△ABC的面积为，则△ABC的外接圆的半径为．13．设（ax+3)（x2﹣b）≤0对任意x∈=4n﹣5，当n=1时，a1=S1=2﹣3+1=0,不满足a n，故，则答案为：2．若正项等比数列｛a n｝满足：2a5﹣3a4=2a3，则公比q= 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用已知条件，由等比数列的通项公式推导出2q2﹣3q﹣2=0，由此能求出结果．【解答】解：∵正项等比数列{a n｝满足：2a5﹣3a4=2a3，∴2a1q4﹣3a1q3=2a1q2，∴2q2﹣3q﹣2=0，解得q=2,或q=﹣．∴q=2．故答案为：2．3．已知｛a n｝为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以S n表示｛a n｝的前项和,则使得S n达到最大值的是20 ．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式表示出特设中的等式，联立求得a1和d,进而求得a20＞0，a21＜0，判断数列的前20项为正,故可知数列的前20项的和最大．【解答】解:设等差数列公差为d，则有解得a1=39，d=﹣2∴a20=39﹣2×19=1＞0，a21=39﹣2×20=﹣1＜0∴数列的前20项为正，∴使得S n达到最大值的是20故答案为204．如果实数﹣1，a，b，c,﹣9成等比数列，则b= ﹣3 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设该数列的公比为q，由题意可得﹣1×q4=﹣9，解之可得q4，进而可得q2，而b=﹣1×q2，代入计算可得．【解答】解：设该数列的公比为q,则由题意可得﹣1×q4=﹣9，解之可得q4=9，∴q2=3，∴b=﹣1×q2=﹣3,故答案为：﹣3；5．已知直线y=ax﹣2和y=(a+2）x+1互相垂直，则实数a等于﹣1 ．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】利用斜率都存在的两直线垂直,斜率之积等于﹣1，解方程求出实数a的值．【解答】解：∵直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，∴他们的斜率之积等于﹣1，即a×（a+2）=﹣1，∴a=﹣1，故答案为:﹣1．6．已知两条直线l1：(a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行,则a= ﹣1或2 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】分别化为斜截式，利用两条直线平行与斜率、截距之间的关系即可得出．【解答】解：两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0的分别化为:，y=﹣x﹣，∵l1∥l2，∴，，解得a=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则｛a n}的公比为．【考点】等比数列的性质．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1,S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列｛a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列,∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为8．变量x，y满足条件,则z=2x+y的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解:由z=2x+y，得y=﹣2x+z作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当直线y=﹣2x+z过点A时,直线y=﹣2x+z的在y轴的截距最小，此时z最小，由，得，即A（1，），此时z=2×1+=，故答案为：．9．在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a，b,c，且a2+b2+ab=c2，则C= ．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵a2+b2+ab=c2，∴co sC===﹣,C∈（0，π），∴C=．故答案为：．10．已知等差数列｛a n｝，a1=2，a3=6，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为﹣11 ．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】由已知求得公差d=2,将a1，a4，a5都加上同一个数x，所得的三个数依次为 2+x，8+x，10+x，再由 2+x，8+x，10+x 成等比数列,求出x的值．【解答】解：∵等差数列｛a n}中，a1=2,a3=6，∴公差d=2,将a1，a4，a5都加上同一个数x，所得的三个数依次为 2+x，8+x,10+x．再由 2+x,8+x，10+x 成等比数列可得（8+x）2=(2+x）（ 10+x）,解得 x=﹣11，故答案为﹣11．11．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且,则sinC的值为．【考点】解三角形．【分析】在△ABD中,利用余弦定理可得，从而，即在△BDC中，利用正弦定理，可求sinC的值【解答】解:设AB=a,则∵∴在△ABD中,∴∴在△BDC中，∴=故答案为：12．在△ABC中,已知AB=3，A=120°，且△ABC的面积为，则△ABC的外接圆的半径为 3 ．【考点】正弦定理．【分析】利用S=sin120°=，可得b．利用余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a，利用=2R,可得R．【解答】解：在△ABC中，∵S=sin120°=，∴b=3．∴a2=b2+c2﹣2bccosA=32+32﹣2×32×cos120°=27，∴a=3．∴=2R，∴R==3．故答案为：3．13．设(ax+3)(x2﹣b）≤0对任意x∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知,f（α）=cos（α+）=，∴cos(α+)=，∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣cos2(α+）=1﹣2=1﹣=．16．如图所示，在四边形ABCD中,∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2)若BC=2，求AB的长．【考点】解三角形．【分析】（1)利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；（2）利用余弦定理求出AC,通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．【解答】解：（1）因为∠D=2∠B，cos∠B=，所以cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣．…因为∠D∈(0,π），所以sinD=．…因为 AD=1，CD=3,所以△ACD的面积S===．…(2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12．所以AC=2．…因为BC=2，，…所以=．所以 AB=4．…17．（1)过点P(0，1）作直线l使它被直线l1：2x+y﹣8=0和l2：x﹣3y+10=0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．（2)光线沿直线l1：x﹣2y+5=0射入，遇直线l：3x﹣2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；待定系数法求直线方程．【分析】（1）设l与l1的交点为A（a，8﹣2a），则根据点A关于点P的对称点B（﹣a，2a﹣6）在l2上，求得a的值．再根据再根据点A、P的坐标,用两点式求得直线l的方程．（2)先求得反射点M的坐标，在直线l1上取一点N（﹣5，0）,设点N关于直线l:3x﹣2y+7=0的对称点K，求得K的坐标，用两点式求得反射光线所在的直线（即直线MK）的方程．【解答】解：（1）过点P（0，1）作直线l使它被直线l1：2x+y﹣8=0和l2:x﹣3y+10=0截得的线段被点P平分，设l与l1的交点为A（a，8﹣2a），则点A关于点P的对称点B（﹣a，2a﹣6）在l2上，∴﹣a﹣3（2a﹣6）+10=0，求得a=4，故A（4,0）．再根据点A、P的坐标，求得直线l的方程为=，即x+4y﹣4=0．（2）由，求得，可得反射点M(﹣1，2）．在直线l1:x﹣2y+5=0上取一点N（﹣5，0），设点N关于直线l：3x﹣2y+7=0的对称点K（b,c），由，求得，可得点K(﹣，﹣）,且点K在反射光线所在的直线上．再根据点M、K的坐标,利用两点式求得反射光线所在的直线方程为=，化简为29x﹣2y+33=0．18．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1)如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC，即:vt2=400+900t2﹣1200tcos60°=900t2﹣600t+400=再由二次函数法求解最值．（2）根据题意，要用时最小,则首先速度最高，即为:30海里/小时，然后是距离最短，则由（1）可得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即:（30t)2=400+900t2﹣1200tcos60°解得：t=，再解得相应角．【解答】解：（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：v2t2=400+900t2﹣1200tcos60°=900t2﹣600t+400=当t=时，取得最小值，此时，v=30(2）要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，则由（1）可得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°解得:t=，此时∠BOD=30°此时，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．19．已知等差数列{a n｝的公差为﹣1,且a2+a7+a12=﹣6，（1）求数列｛a n｝的通项公式a n与前n项和S n；(2）将数列｛a n}的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列｛b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N＊，使对任意n∈N＊总有S n＜T m+λ恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合．【分析】（1）先利用a2+a7+a12=﹣6以及等差数列的性质，求出a7=﹣2，再把公差代入即可求出首项，以及通项公式和前n项和S n；（2）先由已知求出等比数列的首项和公比，代入求和公式得T m，并利用函数的单调性求出其范围；再利用（1）的结论以及S n＜T m+λ恒成立，即可求实数λ的取值范围．【解答】解：(1）由a2+a7+a12=﹣6得a7=﹣2，所以a1=4∴a n=5﹣n，从而(2）由题意知b1=4,b2=2，b3=1设等比数列b n的公比为q，则，∴∵随m递减，∴T m为递增数列,得4≤T m＜8又，故（S n)max=S4=S5=10，若存在m∈N*，使对任意n∈N＊总有S n＜T m+λ则10＜8+λ，得λ＞220．已知数列{a n}中，a1=2,a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n≥2，n∈N＊．（Ⅰ)求证:数列｛a n}为等差数列,并求其通项公式;(Ⅱ）设b n=a n•2﹣n，T n为数列{b n}的前n项和．①求T n的表达式；②求使T n＞2的n的取值范围．【考点】数列的求和;等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）把S n+1+S n﹣1=2S n+1整理为：（s n+1﹣s n)﹣(s n﹣s n﹣1）=1，即a n+1﹣a n=1 即可说明数列｛a n｝为等差数列；再结合其首项和公差即可求出｛a n}的通项公式;(Ⅱ)因为数列｛b n}的通项公式为一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列，故直接利用错位相减法求和即可【解答】解：（1)∵数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n≥2，n∈N*，∴(S n+1﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣1）=1(n≥2，n∈N*，）,∴a2﹣a1=1,∴数列{a n}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列，∴a n=n+1；（2）∵a n=n+1;∴b n=a n•2﹣n=（n+1）2﹣n,∴T n=2×+3×+...+n+（n+1） (1)=2×+3×+...+n+(n+1） (2)（1）﹣（2）得： T n=1++…+﹣(n+1），∴T n=3﹣，代入不等式得：3﹣＞2,即,设f（n）=﹣1，f（n+1）﹣f（n）=﹣＜0，∴f（n）在N+上单调递减,∵f（1）=1＞0，f（2）=＞0，f（3）=﹣＜0,∴当n=1,n=2时，f（n）＞0;当n≥3,f(n)＜0，所以n的取值范围为n≥3，且n∈N*．2016年5月19日。

扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案第一部分1．已知集合{1,2,4},{2,3,4,5}A B ==，则AB =．{2，4}2．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．13i -3．命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是 ．2,10x R x ∃∈+≤ 4．已知α为第三象限角，且tan 2α=，则sin 2α= ．455．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是 ．9106．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = －17．锐角ABC △中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4,5a b ==, ABC △的面积为则c = ．8．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 ． 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2244a S a S =，则12015S S 等于 ．1 10．若函数()cos f x k x =⋅的图象过点(,1)3P π，则该函数图象在P 点处的切线倾斜角等于 ．23π析：∵函数()cos f x k x =⋅的图象经过点(,1)3P π，∴()cos 1233f k k ππ==⇒=，∴x x f cos 2)(=，()2sin f x x '=-，()2sin33k f ππ'==-=11．若直线30x y m ++=截半圆y =所得的弦长为8，则m = ．-12．平面内四点,,,O A B C 满足4,0OA OB OC OB OC ==⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ．15DB13．已知椭圆E ：22221(0)x y ab a b +=>>的右焦点为F ，离心率为2，过原点O 且倾斜角为3π的直线l 与椭 圆E 相交于A 、B两点，若△AFB 的周长为413+，则椭圆方程为 ．2214x y += 析：由已知2a b =，椭圆方程可化为：2224x y a +=，将:l y =代入得||A x =， 由椭圆对称性，△AFB 的周长=2||24||A a AB a x +=+，可得2a =． 14．已知函数||()()x x f x x R e=∈，12()421()x x g x a a a a R +=-+⋅++-∈， 若{|(g())}R A x f x e =>=，则a 的取值范围是 ．[1,0]- 析：当0x ≥时，1'()x xf x e-=，得()f x 在[)0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，当1x =时有极大值1e； 当0x <时，1'()0xx f x e -=<恒成立，()f x 是减函数，且(1)f e -=． 设()g x t =，由()f t e >得1t <-，即()1g x <-对x R ∈恒成立，22()(2)21x g x a a a =--++-，当0a >时，2()21g x a a ≤+-，而2211a a +->-，不合题意；当0a ≤时，2()(,1)g x a a ∈-∞+-，∴211a a +-≤-，得10a -≤≤． 15．如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABC 是等边三角形，M 是ABC ∆的中心． ⑴若DM BC ⊥，求证AD BC ⊥；⑵若AD 上存在点N ，使//MN 平面BCD ，求AN ND 的值．证⑴连AM 并延长交BC 于E ，连DE因为M 是等边ABC ∆的中心，所以E 是BC 的中点，AE BC ⊥ ……………2分又因为DM BC ⊥，AE DM M =，,AE DM ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE ， ……………5分因为AD ⊂平面ADE ，所以AD BC ⊥； ……………7分⑵,M AE AE ∈⊂平面ADE ，所以M ∈平面ADE ， 因为AD 上存在点N ，所以N ∈平面ADE ， 所以MN ⊂平面ADE ， ……………9分又//MN 平面BCD ，平面ADE 平面BCD DE =，所以//MN DE ， ……………12分在ADE ∆中，因为12AM ME =，所以12AN ND =． ……………14分16．ABC ∆的内角,A B 满足2cossin 22A B A Ba i j +-=+(单位向量,i j 互相垂直)，且6||a =． ⑴求tan tan A B 的值； ⑵若sinA =，边长2a =，求边长c ． 解⑴因为2223||2cossin 222A B A B a +-=+=， 即1cos()31cos()22A B A B --+++=， ……………3分所以cos cos sin sin cos cos sin sin 02A B A BA B A B +--=，化简整理，得13tan tan 022A B -=，故ta n A B =13. ……………7分(2)由(1)可知,A B为锐角．因为sin A =，所以2tan 3A =，1tan 2B =，tan tan 7tan tan()1tan tan 4A B C A B A B +=-+=-=--，sin C =……………12分 因为正弦定理sin sin a cA C=，所以227c=，所以边长5c =． ……………14分 17．一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.6立方米．为保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍．保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元．为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元．⑴若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用与保险费用的和； ⑵为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？ 解⑴2248000500(2.550.6)230052.5⨯-+=； ……………4分⑵保护罩的底面边长为x 米，底面积为S 平方米，体积为V 立方米，总费用为y 元，则 48000500(0.6)y V S =-+=2248000500(20.6)x x x ⋅-+32480001000300x x =+-，（ 1.2x ≥）……9分52339600032'30003000x y x x x -=-=，令'0y =得2x =， 当1.22x ≤<时'0y <，y 递减；当2x >时'0y >，y 递增∴当2x =时，y 有极小值即最小值．答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为2米． ……………14分18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点． ⑴求椭圆的离心率；⑵过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN的距离为41，求椭圆方程． 解⑴因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=， 又a、c >，所以2a c=，所以12c e a ==； ……………4分 ⑵①解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，11NF MFe NN MM ==， 又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆= 又F是AT中点，∴ANF TNFS S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分解法二：∵2a c =，∴b =，椭圆方程为2222143x y c c+=，(,0)F c ，(4,0)T c设11(,)M x y ，22(,)N x y ，点M 在椭圆2222143x y c c+=上，即有22211334y c x =-，∴MF ==1111|2|222x c c x ==-=- 同理2122NF c x =-， 又2NF MF =，故1224x x c -=得M 是,N T 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=， 又F是AT中点，∴ANF TNFS S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分 ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c+=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c cx c y c c +=-+= 两式相减得：220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =， ……………10分可得08y=，故直线MN的斜率为87644kc c==-，……………13分直线MN的方程为4)y x c=-60y+-=原点O到直线TMN的距离为d==，41=c=故椭圆方程为2212015x y+=．……………16分解法二：设(,0)F c，则椭圆方程为2222143x yc c+=，由①知M是,N T的中点，故1224x x c-=，直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为(4)y k x c=-，与椭圆联立，并消去y得：22222(4)143x k x cc c-+=，整理得：222222(43)3264120k x ck x k c c+-+-=，（*）设11(,)M x y，22(,)N x y，依题意：⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ckx xkk c cx xk+=+-=+由⎧⎨⎩212212324324ckx x k x x c +=+-=解得：⎧⎨⎩ 2122221644316443ck c x k ck cx k +=+-=+ 所以222222221641646412434343ck c ck c k c c k k k +--⨯=+++，解之得：2536k =，即6k =． 直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c = 故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分19．设m 个正数ma a a ,...,,21()*4,m m N ≥∈依次围成一个圆圈．其中1231,,,...,,k k a a a a a -*(,)k m k N <∈是公差为d 的等差数列，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列． ⑴若12a d ==，8k =，求数列m a a a ,...,,21的所有项的和m S ； ⑵若12a d ==，2015m <，求m 的最大值； ⑶是否存在正整数k ，满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++++=++++？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解⑴依题意16k a =，故数列m a a a ,...,,21即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，此时10m =，84m S =， ……………4分⑵由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是首项为2、公差为2的等差数列知，2k a k =， 而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是首项为2、公比为2的等比数列知，22m k k a +-=， 故有222m kk +-=，12m kk +-=，即k 必是2的整数次幂，由122km k +⋅=知，要使m 最大，k 必须最大，又2015k m <<，故k 的最大值102，从而101024222m +⋅=，m 的最大值是1033． ……………9分⑶由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是公差为d 的等差数列知，1(1)k a a k d =+-， 而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列112m k k a a +-=⋅， 故1(1)a k d +-112m k a +-=⋅，11(1)(21)m k k d a +--=- 又121113()k k k k m m a a a a a a a a -+-+++=++++，12m a a =则11112(1)32212m k ka k k d a --+-=⨯⨯-，即11111[(21)]32(21)2m km k ka k a a +--+-=⨯-，则11126(21)22m k m k k k +--⋅+=-，即1126212m k m k k k +-+-⋅+=⨯-， 显然6k ≠，则112182166m k k k k +-+==-+-- 所以6k <，将12345k =，，，，一一代入验证知， 当4k =时，上式右端为8，等式成立，此时6m =，综上可得：当且仅当6m =时，存在4k =满足等式． ……………16分20．设函数1()1f x x =-，()1x g x ax =+(其中a R ∈，e 是自然对数的底数）． ⑴若函数()()()F x f x g x =-没有零点，求实数a 的取值范围；⑵若函数(),()f x g x 的图象有公共点P ，且在点P 有相同的切线，求实数a 的值；⑶若()()xf eg x ≤在x ∈[0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围．解⑴由()()()0F x f x g x =-=得2(1)(1)10a x a x ----=，显然0x =，1x a=-都不是此方程的根，当1a =时，没有实根，则1a ≠，由2(1)4(1)0a a -+-<得：31a -<<， 故当(3a ∈-时，函数()()F x f x g x =-没有零点； ……………3分 ⑵21'()f x x=，21'()(1)g x ax =+，设它们的公共点为(,)P P P x y ， 则有⎧⎪⎨⎪⎩()()'()'()P P P P P P y f x y g x f x g x ===即⎧⎨⎩()()'()'()P P P P f x g x f x g x ==也就是⎧⎪⎨⎪⎩2211111()(1)P P P P Px x ax x ax -=+=+当1P P ax x +=时111P x -=，无解；当1P P ax x +=-时111P x -=-，12P x =，3a =-；…………8分⑶由题得111xx e ax -≤+在[0,)+∞上恒成立，因为0x ≥，故1[0,1)xe --∈， 所以110x e -≥在[0,)+∞上恒成立，故01xax ≥+在[0,)+∞上恒成立，所以，0a ≥. ……………10分解法一：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0xax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立， 令1()(1)(1)1x x ax h x ax e x ax x e-+=+--=-+--，则1'()1x a x ah x a e-+=+-， 再设()'()m x h x =，则21'()xax a m x e-+-=，同时，'(0)21m a =-，'(0)0h =，(0)0h =，①当0a =时，1'()0,xm x e =-<，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴ '()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减，∴()(0)=0h x h ≤，即()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立，②当102a <≤时，21()'()xa a x a m x e ---=，因为210a a-->，所以'()0m x <，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴ ()h x 在[0,)+∞上单减，∴()(0)=0h x h ≤，即()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当12a >时，21()'()xa a x a m x e ---=，210a a->若210a x a -<<，则'()0m x >，即()'()m x h x =在21(0,)a a-上单调递增，所以'()'(0)0h x h >=即()h x 在21(0,)a a-上也单调递增，∴()(0)=0h x h >，即()()x f e g x ≥，不满足条件.综上，()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1[0,]2. ……………16分解法二：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0x xax e e x +--≤在[0,)+∞上恒成立，设()(1)(1)=(1)(1)x x x h x ax e e x e ax x ax =+---+-+，则'()xh xea x x aa=-+-，再设()'()()xm x h x e ax x a a ==-+-，则'()[(1)(21)]xm x e a x a =-+- 同时，'(0)21m a =-，(0)'(0)0m h ==，(0)0h =， ①当1a ≥时，'(0)210m a =->，故函数'()h x 是(0,)+∞上的增函数所以'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 是(0,)+∞上的增函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=， 即()()xf eg x ≤，与()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，②当102a ≤≤时2101a a -≥-，21'()(1)()01x a m x a e x a -=-+<-，故函数'()h x 是(0,)+∞上的减函数所以'()'(0)0h x h <=，函数()h x 是(0,)+∞上的减函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ≤=，即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当112a <<时，2101a a -<-，21'()(1)()1x a m x a e x a -=-+-当21(0,)1a x a -∈--时，'()0m x >，故函数'()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数所以在21(0,)1a x a -∈--上，'()'(0)h x h >=，所以函数()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数，所以当21(0,)1a x a -∈--时，()(0)0h x h >=，即()()xf eg x ≥，与()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，综上可得，使()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立实数a 的取值范围是1[0,]2．第二部分21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦，计算2M β． 解法一：矩阵M 的特征多项式为221()4312f λλλλλ- -==-+- -，令()0f λ=，解得1,λλ==，对应的一个特征向量分别为1211,11αα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ……………5分令12m n βαα=+，得1,4m n =-=，22221212(4)()4()M M M M βαααα=-+=-+22113511431137⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分解法二：因为221211212M 5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……………5分所以23353M β5⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分 21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值．解：由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以2240x y y +-=，即圆C方程为22(2)4x y +-= ……………4分又由12x y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t得0x =， ……………8分因为直线l 与圆C2=得2m =，又m >，所以23m =+． ……………10分 22．如图，平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直，且11,//2AB BE AF BE AF ===，,,2,3AB AF CBA BC P π⊥∠==为 DF 中点．⑴求异面直线DA 与PE 所成的角；⑵求平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的余弦值．解：在ABC ∆中，1,,23AB CBA BC π=∠==，所以2222cos 3AC BA BC BA BC CBA =+-⨯∠=所以222AC BA BC +=，所以AB AC ⊥又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD平面A B E F A B =，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面ABEF如图，建立空间直角坐标系{,,}AB AF AC ，则1(0,0,0),(1,0,0),((1,1,0),(0,2,0),(2A B C D E F P --⑴3(1,0,3),(,0,2DA PE =-= 设异面直线DA 与PE 所成的角为α，则cos ||||2||||2DA PE DA PE α⋅===⨯⨯ 所以异面直线DA与PE所成的角为6π； ……………5分 ⑵(0,2,0)AF =是平面ABCD 的一个法向量，设平面DEF 的一个法向量(,,)n x y z =，(2,1,3),(1,2,DE DF=-=则(,,)(2,1,20(,,)(1,2,20n DE x y z x y n DF x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，得z =，取1x =，则1,y z == 故(1,1,3)n =是平面DEF的一个法向量，设平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）为β， 则cos ||||||||2AF n AF n β⋅===⨯⨯ ……………10分23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，，集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为nmS ． ⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：nm S 111322n m n +++<+-．解⑴228S =，4232S =； (3)分⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-． 若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n n C -种可能，即为222n C ，……若12||||||n x x x m +++=，即123,,n x x x x ，，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n m m n C -种可能，即为2m m n C ， 所以1122222n m m m n n n S C C C =++⋅⋅⋅+， 因为当0k n ≤≤时，1k n C ≥，故10k nC -≥ 所以1122222n m mm n n n S C C C =+++001122112(222)(1)2(1)2m m m m nn n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++-0011221112(222222)(222)m m m m n nm m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+． ……………10分。

2015年江苏省泰州市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）−13的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．13C ．−13D ．3 2．（3分）下列4个数：√9、227、π、（√3）0，其中无理数是（ ） A ．√9 B ．227C ．πD ．（√3）0 3．（3分）描述一组数据离散程度的统计量是（ ）A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差4．（3分）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（ ）A ．四棱锥B ．四棱柱C ．三棱锥D ．三棱柱5．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△A ′B ′C ′由△ABC 绕点P 旋转得到，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，1）B ．（1，﹣1）C ．（0，﹣1）D ．（1，0）6．（3分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，则图中全等三角形的对数是（ ）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（3分）2﹣1等于．8．（3分）我市2014年固定资产投资约为220 000 000 000元，将220 000 000 000用科学记数法表示为．9．（3分）计算：√18−2√12等于．10．（3分）如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝．11．（3分）圆心角为120°，半径长为6cm的扇形面积是cm2．12．（3分）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝115°，则∠BOD等于．13．（3分）事件A发生的概率为120，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是．14．（3分）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为．15．（3分）点（a ﹣1，y 1）、（a +1，y 2）在反比例函数y =k x （k ＞0）的图象上，若y 1＜y 2，则a 的范围是 ．16．（3分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，BE 与CD 相交于点G ，且OE ＝OD ，则AP 的长为 ．三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）解不等式：{x −1＞2x 12x +3＜−1 （2）计算：3−a 2a−4÷（a +2−5a−2） 18．（8分）已知：关于x 的方程x 2+2mx +m 2﹣1＝0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．19．（8分）为了解学生参加社团的情况，从2010年起，某市教育部门每年都从全市所有学生中随机抽取2000名学生进行调查，图①、图②是部分调查数据的统计图（参加社团的学生每人只能报一项）根据统计图提供的信息解决下列问题：（1）求图②中“科技类”所在扇形的圆心角α的度数（2）该市2012年抽取的学生中，参加体育类与理财类社团的学生共有多少人？（3）该市2014年共有50000名学生，请你估计该市2014年参加社团的学生人数．20．（8分）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率．21．（10分）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？22．（10分）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．（1）求m、n的值；（2）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，P A：PB＝1：5，求一次函数的表达式．23．（10分）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高．（√5≈2.236，结果精确到0.1m）24．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，求tan C．25．（12分）如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值．26．（14分）如图，已知一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P 在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2＝3时点P的坐标；（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2＝4（a为常数），求a的值．2015年江苏省泰州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）−13的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．13C ．−13D ．3【解答】解：−13的绝对值是13， 故选：B ．2．（3分）下列4个数：√9、227、π、（√3）0，其中无理数是（ ） A ．√9 B ．227C ．πD ．（√3）0 【解答】解：π是无理数，故选：C ．3．（3分）描述一组数据离散程度的统计量是（ ）A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，所以能够刻画一组数据离散程度的统计量是方差．故选：D ．4．（3分）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（ ）A ．四棱锥B ．四棱柱C ．三棱锥D ．三棱柱【解答】解：如图所示：这个几何体是四棱锥．故选：A ．5．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△A ′B ′C ′由△ABC 绕点P 旋转得到，则点P 的坐标为（ ）A．（0，1）B．（1，﹣1）C．（0，﹣1）D．（1，0）【解答】解：由图形可知，对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线的交点是点（1，﹣1），根据旋转变换的性质，点（1，﹣1）即为旋转中心．故旋转中心坐标是P（1，﹣1）．故选：B．6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，∴CD＝BD，∠BDO＝∠CDO＝90°，在△ABD 和△ACD 中，{AB =AC AD =AD BD =CD，∴△ABD ≌△ACD ；∵EF 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，AE ＝CE ，在△AOE 和△COE 中，{OA =OC OE =OE AE =CE，∴△AOE ≌△COE ；在△BOD 和△COD 中，{BD =CD ∠BDO =∠CDO OD =OD，∴△BOD ≌△COD ；在△AOC 和△AOB 中，{AC =AB OA =OA OC =OB，∴△AOC ≌△AOB ；故选：D ．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（3分）2﹣1等于12 ． 【解答】解：2﹣1=(12)1=12．故答案是：12． 8．（3分）我市2014年固定资产投资约为220 000 000 000元，将220 000 000 000用科学记数法表示为 2.2×1011 ．【解答】解：将220 000 000 000用科学记数法表示为2.2×1011．故答案为：2.2×1011．9．（3分）计算：√18−2√12等于 2√2 ． 【解答】解：原式＝3√2−√2＝2√2．故答案为：2√2．10．（3分）如图，直线l 1∥l 2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝ 140° ．【解答】解：如图，∵l 1∥l 2，∴∠3＝∠1＝40°，∵∠α＝∠β，∴AB ∥CD ，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣40°＝140°．故答案为140°．11．（3分）圆心角为120°，半径长为6cm 的扇形面积是 12π cm 2．【解答】解：由题意得，n ＝120°，R ＝6cm ，故120π⋅62360=12π．故答案为12π．12．（3分）如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A ＝115°，则∠BOD 等于 130° ．【解答】解：∵∠A ＝115°∴∠C ＝180°﹣∠A ＝65°∴∠BOD ＝2∠C ＝130°．故答案为：130°．13．（3分）事件A 发生的概率为120，大量重复做这种试验，事件A 平均每100次发生的次数是 5 ．【解答】解：事件A 发生的概率为120，大量重复做这种试验，则事件A 平均每100次发生的次数为：100×120=5．故答案为：5．14．（3分）如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD ＝∠C ，AB ＝6，BD ＝4，则CD 的长为 5 ．【解答】解：∵∠BAD ＝∠C ，∠B ＝∠B ，∴△BAD ∽△BCA ，∴BA BC =BD BA ．∵AB ＝6，BD ＝4，∴6BC =46， ∴BC ＝9，∴CD ＝BC ﹣BD ＝9﹣4＝5．故答案为5．15．（3分）点（a ﹣1，y 1）、（a +1，y 2）在反比例函数y =k x（k ＞0）的图象上，若y 1＜y 2，则a 的范围是 ﹣1＜a ＜1 ．【解答】解：∵k ＞0，∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，①当点（a ﹣1，y 1）、（a +1，y 2）在图象的同一支上，∵y 1＜y 2，∴a ﹣1＞a +1，解得：无解；②当点（a ﹣1，y 1）、（a +1，y 2）在图象的两支上，∵y 1＜y 2，∴a ﹣1＜0，a +1＞0，解得：﹣1＜a ＜1，故答案为：﹣1＜a ＜1．16．（3分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，BE 与CD 相交于点G ，且OE ＝OD ，则AP 的长为 4.8 ．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠A ＝∠C ＝90°，AD ＝BC ＝6，CD ＝AB ＝8，根据题意得：△ABP ≌△EBP ，∴EP ＝AP ，∠E ＝∠A ＝90°，BE ＝AB ＝8，在△ODP 和△OEG 中，{∠D =∠E OD =OE ∠DOP =∠EOG ，∴△ODP ≌△OEG （ASA ），∴OP ＝OG ，PD ＝GE ，∴DG ＝EP ，设AP ＝EP ＝x ，则PD ＝GE ＝6﹣x ，DG ＝x ，∴CG ＝8﹣x ，BG ＝8﹣（6﹣x ）＝2+x ，根据勾股定理得：BC 2+CG 2＝BG 2，即62+（8﹣x ）2＝（x +2）2，解得：x ＝4.8，∴AP ＝4.8；故答案为：4.8．三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）解不等式：{x −1＞2x 12x +3＜−1 （2）计算：3−a 2a−4÷（a +2−5a−2） 【解答】解：（1）由x ﹣1＞2x ，可得x ＜﹣1，由12x +3＜−1，可得x ＜﹣8， ∴不等式组{x −1＞2x 12x +3＜−1的解集是：x ＜﹣8．（2）3−a 2a−4÷（a +2−5a−2） =3−a 2a−4÷a 2−9a−2=−12a+618．（8分）已知：关于x 的方程x 2+2mx +m 2﹣1＝0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．【解答】解：（1）由题意得，a＝1，b＝2m，c＝m2﹣1，∵Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4＞0，∴方程x2+2mx+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根；（2）∵x2+2mx+m2﹣1＝0有一个根是3，∴32+2m×3+m2﹣1＝0，解得，m＝﹣4或m＝﹣2．19．（8分）为了解学生参加社团的情况，从2010年起，某市教育部门每年都从全市所有学生中随机抽取2000名学生进行调查，图①、图②是部分调查数据的统计图（参加社团的学生每人只能报一项）根据统计图提供的信息解决下列问题：（1）求图②中“科技类”所在扇形的圆心角α的度数（2）该市2012年抽取的学生中，参加体育类与理财类社团的学生共有多少人？（3）该市2014年共有50000名学生，请你估计该市2014年参加社团的学生人数．【解答】解：（1）“科技类”所占百分比是：1﹣30%﹣10%﹣15%﹣25%＝20%，α＝360°×20%＝72°；（2）该市2012年抽取的学生一共有300+200＝500人，参加体育类与理财类社团的学生共有500×（30%+10%）＝200人；（3）50000×550+6002000=28750．即估计该市2014年参加社团的学生有28750人．20．（8分）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的只有1种情况，∴两次摸出的球都是红球的概率为：19． 21．（10分）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？【解答】解：设每件衬衫降价x 元，依题意有120×400+（120﹣x ）×100＝80×500×（1+45%），解得x ＝20．答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．22．（10分）已知二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象经过点P （﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y 轴的直线．（1）求m 、n 的值；（2）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图象相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，P A ：PB ＝1：5，求一次函数的表达式．【解答】解：∵对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y 轴的直线，∴−m 2×1=−1， ∴m ＝2，∵二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象经过点P （﹣3，1），∴9﹣3m +n ＝1，得出n ＝3m ﹣8．∴n ＝3m ﹣8＝﹣2；（2）∵m ＝2，n ＝﹣2，∴二次函数为y ＝x 2+2x ﹣2，作PC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则PC ∥BD ，∴PC BD =PA AB ，∵P （﹣3，1），∴PC ＝1，∵P A ：PB ＝1：5，∴1BD =16， ∴BD ＝6，∴B 的纵坐标为6，代入二次函数为y ＝x 2+2x ﹣2得，6＝x 2+2x ﹣2，解得x 1＝2，x 2＝﹣4（舍去），∴B （2，6），∴{−3k +b =12k +b =6，解得{k =1b =4， ∴一次函数的表达式为y ＝x +4．23．（10分）如图，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度为i ＝1：2，顶部A 处的高AC 为4m ，B 、C 在同一水平地面上．（1）求斜坡AB 的水平宽度BC ；（2）矩形DEFG 为长方体货柜的侧面图，其中DE ＝2.5m ，EF ＝2m ，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF ＝3.5m 时，求点D 离地面的高．（√5≈2.236，结果精确到0.1m ）【解答】解：（1）∵坡度为i ＝1：2，AC ＝4m ，∴BC ＝4×2＝8m ．（2）作DS ⊥BC ，垂足为S ，且与AB 相交于H ．∵∠DGH ＝∠BSH ，∠DHG ＝∠BHS ，∴∠GDH ＝∠SBH ，∴GH GD =12， ∵DG ＝EF ＝2m ，∴GH ＝1m ，∴DH =√12+22=√5m ，BH ＝BF +FH ＝3.5+（2.5﹣1）＝5m ，设HS ＝xm ，则BS ＝2xm ，∴x 2+（2x ）2＝52，∴x =√5，∴DS =√5+√5=2√5m ≈4.5m ．24．（10分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F ．（1）试说明DF 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝3AE ，求tan C ．【解答】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）解：连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，AC＝3AE，∴AB＝3AE，CE＝4AE，∴BE=√AB2−AE2=2√2AE，在RT△BEC中，tan C=BECE=2√2AE4AE=√22．25．（12分）如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH 面积的最小值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AH ＝BE ＝CF ＝DG ，在△AEH 、△BFE 、△CGF 和△DHG 中，{AE =BF =CG =DH ∠A =∠B =∠C =∠D AH =BE =CF =DG ，∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG （SAS ），∴EH ＝FE ＝GF ＝GH ，∠AEH ＝∠BFE ，∴四边形EFGH 是菱形，∵∠BEF +∠BFE ＝90°，∴∠BEF +∠AEH ＝90°，∴∠HEF ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形；（2）解：直线EG 经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC 、BD 的交点）；理由如下：连接AC 、EG ，交点为O ；如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，∴∠OAE ＝∠OCG ，在△AOE 和△COG 中，{∠OAE =∠OCG ∠AOE =∠COG AE =CG ，∴△AOE ≌△COG （AAS ），∴OA＝OC，OE＝OG，即O为AC的中点，∵正方形的对角线互相平分，∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE＝xcm，则BF＝（8﹣x）cm，根据勾股定理得：EF2＝BE2+BF2＝x2+（8﹣x）2，∴S＝x2+（8﹣x）2＝2（x﹣4）2+32，∵2＞0，∴S有最小值，当x＝4时，S的最小值＝32，∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2．26．（14分）如图，已知一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P 在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2＝3时点P的坐标；（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2＝4（a为常数），求a的值．【解答】解：（1）对于一次函数y＝2x﹣4，令x＝0，得到y＝﹣4；令y＝0，得到x＝2，∴A（2，0），B（0，﹣4），∵P为AB的中点，第 21 页 共 21 页∴P （1，﹣2），则d 1+d 2＝3；（2）①d 1+d 2≥2；②设P （m ，2m ﹣4），∴d 1+d 2＝|m |+|2m ﹣4|，当0≤m ≤2时，d 1+d 2＝m +4﹣2m ＝4﹣m ＝3， 解得：m ＝1，此时P 1（1，﹣2）； 当m ＞2时，d 1+d 2＝m +2m ﹣4＝3， 解得：m =73，此时P 2（73，23）； 当m ＜0时，不存在，综上，P 的坐标为（1，﹣2）或（73，23）； （3）设P （m ，2m ﹣4），∴d 1＝|2m ﹣4|，d 2＝|m |，∵P 在线段AB 上，∴0≤m ≤2，∴d 1＝4﹣2m ，d 2＝m ，∵d 1+ad 2＝4，∴4﹣2m +am ＝4，即（a ﹣2）m ＝0， ∵有无数个点，即无数个解，∴a ﹣2＝0，即a ＝2．。

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）1.已知数列{}n a 的前n 项和2231n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式是_________． 【答案】0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩考点：求数列的通项公式．【易错点睛】解答本题的关键是1-=-n n n a S S ，但这里1>n ，也就是说n 取从2开始的正整数，学生易忽略1-=-n n n a S S 使用的条件1>n ，直接下结论导致错误，漏掉求1=n 时11=a S 的值，有的在求1=n 时1a 的值时不是通过11=a S 来求，而是把1=n 代入1-=-n n n a S S 求得1a 导致错误.本题主要考查数列递推式的知识，难度不大，属于基础题.2.若正项等比数列{}n a 满足543232a a a -=，则公比q =________.【答案】2【解析】试题分析：543232-=a a a ，432111232∴-=a q a q a q ，即22320--=q q ，2∴=q 或12=-q ，又 0>n a ，0∴>q ，2∴=q .所以答案应填：2．考点：等比数列的通项公式．3.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则 使得n S 达到最大值的n 是________.【答案】20【解析】试题分析：等差数列{}n a 的公差为d ，则11361053999a d a d +=⎧⎨+=⎩，即11235333a d a d +=⎧⎨+=⎩，1392a d =⎧∴⎨=-⎩，22(1)39(2)40(20)4002-∴=+⨯-=-+=--+n n n S n n n n ，当20=n 时， n S 取得最大值.所以答案应填：20． 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前n 项和公式．4.如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么b =________.【答案】3-考点：等比数列的通项公式．5.已知两条直线2y ax =-和()21y a x =++互相垂直，则a 等于_________.【答案】1-【解析】试题分析：因为两直线垂直，所以(2)1a a +=-，1a ∴=-.所以答案应填：1-．考点：两直线位置关系的判定．【方法点睛】两条直线垂直的判定方法：（1）若直线1l 和2l 的斜截式方程为111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则12121l l k k ⊥⇔⋅=-；（2）若1l 和2l 中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则12l l ⊥；（3）若 2211112222:0,:0(0)l A x B y C l A x B y C A B ++=++=+≠，则1212120A A B B l l +=⇔⊥．本题主要考查两直线垂直的判定，等价转化是解题的关键，属于基础题.6.已知两条直线()1:1210l a x y -++=，2:30l x ay ++=平行，则a 等于_________.【答案】2或1-【解析】试题分析：由题意知(1)21,223,-=⨯⎧∴=⎨⨯≠⎩a a a a 或1=-a .所以答案应填：2或1-．考点：两条直线位置关系的判定．【方法点睛】两条直线平行的判定方法：（1）若直线1l 和2l 的斜截式方程为111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则直线1212//l l k k ⇔=且12b b ≠；（2）若1l 和2l 都没有斜率，则1l 与2l 平行或重合；（3）若2211112222:0,:0(0)l A x B y C l A x B y C A B ++=++=+≠，则1221A B A B =且2112B C B C ≠（或 1221A C A C ≠）12//l l ⇔.本题主要考查两直线平行的判定，等价转化是解题的关键，属于基础题.7.等比数列{}n a 前n 项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则数列{}n a 的公比=________. 【答案】13考点：等比数列的性质．【易错点睛】设出等比数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的前n 项和公式表示n S 时，容易忽视1=q ，而直接利用1(1)1-=-n n a q S q求和导致错误，利用等比数列的前n 项和公式求和必须对公比q 分1=q 和1≠q 两种情况讨论．为了避免讨论此题也可以这样做：设等比数列{}n a 的公比为q ，则2111122()3()⨯+=+++a a q a a aq aq ，即230-=q q 0∴=q （舍）或13=q ．此题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，难度不大，属于基础题．8.变量,x y 满足条件34035301x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为________. 【答案】113考点：简单的线性规划．9.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且222a b c +=，则C =________. 【答案】34π 【解析】试题分析：222++=a b c ，222∴+-=a b c ，222cos 2+-∴===a b c C ab ，又30,4ππ<<∴=C C .所以答案应填：34π． 考点：余弦定理． 10.在等差数列{}n a 中，132,6a a ==，若将145,,a a a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为_________.【答案】11-【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，所求的数为m ，则131226a a a d =⎧⎨=+=⎩，2d ∴=，458,10∴==a a ，145,,+++a m a m a m 成等比数列，2415()()()+=++a m a m a m ，即2(8)(2)(10)+=++m m m ，解得11=-m .所以答案应填：11-．考点：1、等差数列通项公式；2、等比数列的性质．11.如图，在ABC ∆中，D 是边AC上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ===，则sin C 的值为________.考点：1、解三角形；2、三角函数的平方关系．12.在ABC ∆中，已知03,120AB A ==，且ABC ∆，则ABC ∆的外接圆半径为________. 【答案】3【解析】试题分析：由题意得11sin 3sin12022∆==⨯⨯︒=ABC S bc A b ，3b ∴=，30B C ∴==︒，36sin sin 30b B ∴==︒，∴∆ABC 的外接圆半径为3.所以答案应填：3． 考点：1、正弦定理；2、三角形的面积．13.()23()0ax x b +-≤对0x ∀≥恒成立，其中,a b 是整数，则a b +取值集合为__________. 【答案】{}2,8-考点：函数恒成立问题．【思路点睛】利用换元法设2()3,()=+=-f x ax g x x b ，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质进行判断求解即可．本题考查不等式恒成立等知识，考查考生分类讨论思想、转化与化归思想及运算求解能力，属于较难题，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质，得到两个函数的零点相同是解决本题的关键．14.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行()3n ≥从左向右的第3个数为________.【答案】262n n -+考点：1、归纳推理；2、等差数列的前n 项和．【思路点睛】观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从1开始的连续的正整数，故n 行的最后一个数，即为前n 项数据的个数，故我们要判断第n 行()3n ≥从左向右的第3个数，可先判断第1-n 行的最后一个数，然后递推出第n 行的第一个数据212-+n n 即可．本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，属于基础题．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（14分）已知函数()21cos sin cos 2222x x x f x =--． （1）求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若()f a =，求sin 2α的值．【答案】(1) 2π，⎡⎢⎣；（2）725．考点：1、三角恒变换；2、诱导公式；3、两角和差的三角公式；4、二倍角的正弦、余弦公式．16.（14分）如图所示，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1,3,cos AD CD B ===． （1）求ACD ∆的面积；（2）若BC =，求AB 的长．【答案】(1) ACD S ∆=（2）4AB =．考点：1、余弦定理；2、三角形的面积公式；3、二倍角公式．17.（15分）（1）过点()0,1P 作直线l 使它被直线1:280l x y +-=和2:3100l x y -+=截得的线段被点P 平分，求 直线l 的方程；（2）光线沿直线1:250l x y -+=射入，遇直线:3270l x y -+=后反射，求反射光线所在的直线方程．【答案】(1) 440x y +-=；（2）292330x y -+=．【解析】根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为292330x y -+=.考点：直线的方程．18.（15分）某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西 30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向 匀速行驶.假设该小艇 沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的 大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【答案】(1) ；（2）航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时．（2）设小艇与轮船在B 处相遇.则()2220040090022030cos 9030v t t t =+--， 故22600400900v t t=-+………………………………9分 ∵030v <≤， ∴2600400900900t t -+≤，即2230t t -≤，解得23t ≥………………………10分 又23t =时，30v =， 故30v =时，t 取得最小值，且最小值等于23………………………………12分此时，在OAB ∆中，有20OA OB AB ===，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时…………………………15分考点：函数模型的选择与应用．19.（16分）已知等差数列{}n a 的公差为-1，且27126a a a ++=-.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前n 项 和为n T ，若存在*m N ∈，使对任意*n N ∈，总有n m S T λ<+恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1) 5n a n =-，()92n n n S -=；（2）()6,+∞．则104λ<+，得6λ>.即实数λ的取值范围()6,+∞.考点：1、等差数列的通项公式和前n 项和公式；2、等比数列的通项公式和前n 项和公式；3、数列的性质．【思路点睛】第一小题的关键是求首项，也可以根据条件列出关于首项和公差的方程组求得首项，再写出通项公式和前n 项和公式；第二小题的关键是求出n T ，确定其取值的范围，再利用n S 的最大值建立不等关系求解.本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识，以及数列与函数的综合问题，等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合，属于中档题．20.（16分）已知数列{}n a 中，122,3a a ==，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+，其中*2,n n N ≥∈. （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）设2,T nn n n b a -=为数列{}n b 的前n 项和. ①求n T 的表达式；②求使2n T >的n 的取值范围．【答案】(1)证明见解析，1n a n =+；（2）①332n n n T +=-；②3n ≥，且*n N ∈．考点：1、数列的求和；2、等差数列的判断、通项公式；3、数列与不等式；4等比数列的前n 项和公式．【方法点睛】证明或判断等差数列的常用方法有：定义法、等差中项法、通项公式法、前n 项和法.本题用的是定义法()*1+-=∈n n a a d n N .数列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、分组转化法、裂项相消法、乘公比错位相减法、合并项求和法.本题主要考查等差关系的确定以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．错位相减法适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列．。

2014～2015学年度第二学期期初调研测试高三数学试题（数学Ⅰ）(考试时间：120分钟 总分160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．设集合{}{}2,3,1,2,A B ==则AB = ▲ ．2．某学校共有师生2 400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是____▲____． 3．计算复数ii2124-+＝ ▲ （i 为虚数单位）． 4. 连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9的概率是 ▲ ．5．若3a >，则43a a +-的最小值是___▲______.6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①若//αβ，则l m ⊥； ②若αβ⊥，则//l m ； ③若//l m ，则αβ⊥； ④若l m ⊥，则//αβ.其中正确命题的序号是 ▲ ．7．已知,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为 ▲ .8．程序框图如图(右)所示,其输出结果是____▲____.9．已知条件p ：x a >，条件q ：220x x +->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是____▲____．10．若正四棱锥的底面边长为，体积为34cm ，则它的侧面积为 ▲ 2cm .11．已知抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线22213x y a -=的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ . 12．已知函数1y x =的图像的对称中心为()0,0，函数111y x x =++的图像的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数11112y x x x =++++的图像的对称中心为()1,0-，……，由此推测函数111112y x x x x n=+++++++的图像的对称中心为 ▲ ． 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2，3b sin C －5c sin B cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值是 ▲ ． 14．已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，4π=∠A ，cos cos 2sin sin B CAB AC m AO C B⋅+⋅=⋅，则=m ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分14分）如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C 是菱形，1AC 与1A C 交于点O ，E 是AB 的中点．（I ）求证：//OE 平面11BCC B ； （II ）若11AC A B ⊥，求证：1AC BC ⊥．16．(本小题满分14分) 已知函数()()sin 0,4f x x x R πωω⎛⎫=->∈ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （I ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭. （II ）在图中给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象,并根据图象写出其在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间.17. (本小题满分14分)光在某处的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，假设比例系数都为1。