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《浓度奥数应用题六年级下册奥数试题-利润-浓度.（含答案）人教版》摘要：(西城实验考题)将含农药药液加入定量水以药液含药如再加入样多水药液含药分比是________． 5． (0学考题)种酒精浓种酒精浓种酒精浓它们混合起得到了千克浓酒精溶液其种酒精比种酒精多3千克则种酒精有千克．【析，浓溶液开始次二次乙丙浓溶液浓溶液所以甲容器盐水浓是乙容器浓是丙容器浓是．结做有关浓应用题了弄清楚溶质质量、溶液质量变化尤其是变化多次常用列表方法使它们关系目了然．【例 6，设丙缸酒精溶液重量千克则乙缸千克．根据纯酒精量可列方程得所以丙缸纯酒精量是(千克)．另由甲缸酒精溶液50千克乙、丙两缸酒精溶液合起也是50千克所以如将乙、丙两缸酒精溶液混合得到酒精溶液浓．那么乙、丙两缸酒精溶液量比而它们合起共50千克所以丙缸酒精溶液有千克丙缸纯酒精量是(千克)．【例 7测试卷8·利润浓 5分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________ ． (西城实验考题)某种商品按定价卖出可得利润元若按定价出售则亏损元．问商品购入价是________元．． (清华附考题)王老板以元成买入菠萝若干按照定价卖出了全部菠萝被迫降价5菠萝只卖元直至卖完剩下菠萝算发现居然不亏也不赚那么王老板开始卖出菠萝定价元． 3． (清华附考题)某店购回甲、乙两种定价相其甲种占按定价付款给批发商乙种按定价付款给批发商请算算店按定价销售完这两种获利分率是多少？． (西城实验考题)将含农药药液加入定量水以药液含药如再加入样多水药液含药分比是________． 5． (0学考题)种酒精浓种酒精浓种酒精浓它们混合起得到了千克浓酒精溶液其种酒精比种酒精多3千克则种酒精有千克．【析】．该商品定价(元)则购入价(元)．．降价5菠萝卖元相当每菠萝卖元则降价每菠萝亏元由不亏也不赚所以开始按定价卖出菠萝赚得与降价亏损相等而开始按定价卖出菠萝量降价卖出菠萝倍所以按定价卖出菠萝每菠萝赚元开始定价元． 3．设甲、乙两种定价甲、乙两种总量则甲种数量乙种数量则店购买甲、乙两种成而销售所得所以获利分率．．开始药与水比加入定量水药与水比由操作开始前药重量不变所以我们把开始药与水比化即原药占份水占份；加入定量水药还是份水变份所以加入了份水若再加入份水则水变份药仍然份所以得到药水药分比． 5．设种酒精有千克种酒精有千克种酒精有千克则得故种酒精有7千克．升初专项训练· 利润、浓问题 8讲利润、浓问题是学六年级新学知识与现实生活系得比较紧密又涉及到分数和比例所以是升初重考察对象．利润、浓问题容与生活实际系很紧密济问题要恰当处理成、售价、利润、利润率这几量关系而浓问题则要理溶剂、溶质、溶液、浓这几量关系．⑴济问题主要相关公式；．浓问题相关公式；．⑵常用方法①抓不变量般情况下济问题成是不变量浓问题溶剂是不变量；②方程法对济浓问题采用方程是简便、有效方法；③十交叉法(甲溶液浓乙溶液浓)；形象表达④浓三角浓三角浓问题非常有用不仅如对某些利润问题有候也可以巧妙地利用浓倒三角分析其数量关系从而问题．利润问题【例】李师傅以元钱3苹价格买进苹若干以元钱苹价格将这些苹卖出卖出半因苹降价只能以元钱7苹价格将剩下苹卖出．不他不仅赚了元钱还剩下了苹那么他买了多少苹？【分析】济问题都是和成、利润相关所以只要分别考虑前利润即可．元钱3苹也就是苹元；元钱苹也就是苹元；卖出半苹降价只能以元钱7苹价格卖出也就是每元．前半每苹可以挣(元)而半每苹亏(元)．假设半也全卖完了即剩下苹统按亏价卖得元就会共赚取元钱．如从前、两半各取苹合起销售这样可赚得(元)所以每半苹有那么苹总数．［巩固］商店购进十二生肖玩具运途破损了些．破损玩具卖完利润率；破损玩具降价出售亏损了．结算商店总利润率．商店卖出玩具有多少？［分析］设商店卖出玩具有则破损玩具有．根据题有得．故商店卖出玩具有80．【例】某店原将批苹按利润(即利润是成)定价出售．由定价高无人购买．不得不按利润重新定价这样出售了其．因害怕剩余水腐烂变质不得不再次降价售出了剩余全部水．结实际获得总利润是原定利润．那么二次降价价格是原定价分多少？【分析】二次降价利润是价格是原定价．［巩固］某商店进了批笔记按利润定价．当售出这批笔记了尽早销完商店把这批笔记按定价半出售．问销完商店实际获得利润分数是多少？［分析］设这批笔记成是“”．因定价是．其卖价是卖价是．因全部卖价是．实际获得利润分数是．［巩固］有种商品甲店进货价比乙店进货价便宜．甲店按利润定价乙店按利润定价甲店定价比乙店定价便宜元．甲店进货价是多少元？［分析］因甲店进货价比乙店进货价便宜所以甲店进货价是乙店．设乙店进货价元则甲店进货价元．由题可知甲店定价元乙店定价元而终甲店定价比乙店定价便宜元由可列方程．得(元)那么甲店进货价(元)．【例 3】利民商店从日杂公司买进了批蚊香然按希望获得纯利润每袋加价定价出售．但是按这种定价卖出这批蚊香夏季即将．了加快金周利民商店按照定价打七折优惠价把剩余蚊香全部卖出．这样实际所得纯利润比希望获得纯利润少了．按规定不论按什么价钱出售卖完这批蚊香必须上缴营业税元(税金与买蚊香用钱起作成)．请问利民商店买进这批蚊香共用了多少元？【分析】法设买进这批蚊香共用元那么希望获得纯利润“”元实际上比希望少卖钱数 ()()()(元)．根据题得 ()得．故买进这批蚊香共用元．法二设买进这批蚊香共用元那么希望获纯利润“”元实际所得利润“()()”元．蚊香打七折就相当全部蚊香打九七折卖这样共卖得“”元．根据题有得．所以买进这批蚊香共用元．［巩固］成元练习00按利润定价出售．当销剩下练习打折扣出售结获得利润是预定问剩下练习出售是按定价打了什么折扣？［分析］先销可以获得利润(元)．总共获得利润利润共(元)那么出售剩下要获得利润(元)每要获得利润(元)所以现售价是(元)而定价是(元)．售价是定价故出售是打8折．【例】明到商店买红、黑两种笔共66支．红笔每支定价5元黑笔每支定价9元．由买数量较多商店就给予优惠红笔按定价付钱黑笔按定价付钱如他付钱比按定价少付了那么他买了红笔多少支？【分析】浓倒三角妙用．红笔按优惠黑笔按优惠结少付相当按优惠可类似浓问题进行配比得到红、黑两种笔总价比而红、黑两种笔单价分别5元和9元所以这两种笔数量比所以他买了支红笔．［拓展］某商品76件出售给33位顾客每位顾客多买三件．如买件按原定价买两件降价买三件降价结算平每件恰按原定价出售．那么买三件顾客有多少人？［分析］如对浓倒三角比较熟悉容易想到所以买件与买三件合起看正每件是原定价．由买件每件价格是原定价高所以将买件与买三件配对仍剩下些买三件人由所以剩下买三件人数与买两件人数比是．是33人可分成两种种每人买件种每5人买件共买76件所以种有(人)．其买二件有(人)．前种有(人)其买件有(人)．是买三件有(人)．浓问题【例 5】(六届“走美”六年级初赛)、两杯食盐水各有0克浓比是．加入60克水然倒入________克．再、加入水使它们00克这浓比．【分析】加入60克水盐水浓减少原但溶质质量不变两杯盐水盐质量比仍然盐占所有盐质量但终状态下盐占所有盐质量也就是说盐减少了所以从倒出了盐水即5克．［拓展］、、三试管各盛有克、克、克水．把某种浓盐水克倒入充分混合从取出克倒入再充分混合从取出克倒入得到盐水浓是．问开始倒入试管盐水浓是分几？［分析］整程盐水浓下降．倒入浓变原；倒入浓变；倒入浓变．所以对开始倒入盐水浓可以用倒推方法即开始倒入盐水浓．［拓展］有甲、乙、丙三容器容量毫升．甲容器有浓盐水毫升；乙容器有清水毫升；丙容器有浓盐水毫升．先把甲、丙两容器盐水各半倒入乙容器搅匀再把乙容器盐水毫升倒入甲容器毫升倒入丙容器．这甲、乙、丙容器盐水浓各是多少？［分析］列表如下甲浓溶液开始次二次乙丙浓溶液浓溶液所以甲容器盐水浓是乙容器浓是丙容器浓是．结做有关浓应用题了弄清楚溶质质量、溶液质量变化尤其是变化多次常用列表方法使它们关系目了然．【例 6】瓶装有浓酒精溶液克现又分别倒入克和克、两种酒精溶液瓶浓变成了．已知种酒精溶液浓是种酒精溶液浓倍那么种酒精溶液浓是分几？【分析】新倒入纯酒精(克)．设种酒精溶液浓则种．根据新倒入纯酒精量可列方程得即种酒精溶液浓是．另设种酒精溶液浓则种．根据题假设先把00克种酒精和00克种酒精混合得到500克酒精溶液再与000克酒精溶液混合所以、两种酒精混合得到酒精溶液浓．根据浓倒三角有得．故种酒精溶液浓是．［巩固］甲、乙两瓶盐水甲瓶盐水浓是乙瓶盐水倍．将克甲瓶盐水与克乙瓶盐水混合得到浓新盐水那么甲瓶盐水浓是多少？［分析］设乙瓶盐水浓是甲瓶盐水浓是有得即甲瓶盐水浓是．［巩固］甲、乙、丙三缸酒精溶液纯酒精含量分别占、和已知三缸酒精溶液总量是千克其甲缸酒精溶液量等乙、丙两缸酒精溶液总量．三缸溶液混合所含纯酒精分数将达．那么丙缸纯酒精量是多少千克？［分析］设丙缸酒精溶液重量千克则乙缸千克．根据纯酒精量可列方程得所以丙缸纯酒精量是(千克)．另由甲缸酒精溶液50千克乙、丙两缸酒精溶液合起也是50千克所以如将乙、丙两缸酒精溶液混合得到酒精溶液浓．那么乙、丙两缸酒精溶液量比而它们合起共50千克所以丙缸酒精溶液有千克丙缸纯酒精量是(千克)．【例 7】甲瓶酒精浓乙瓶酒精浓两瓶酒精混合浓是．如两瓶酒精各用升再混合则混合浓是．问原甲、乙两瓶酒精分别有多少升？【分析】根据题先从甲、乙两瓶酒精各取5升混合起得到0升浓酒精溶液；再将两瓶剩下溶液混合起得到浓溶液若干升．再将这两次混合得到溶液混合起得到浓是溶液．根据浓三角两次混合得到溶液量比所以次混合得到溶液升．这0升浓溶液是由浓和溶液混合得到这两种溶液量比所以其浓溶液有升浓溶液有升．所以原甲瓶酒精有升乙瓶酒精有升．［巩固］纯酒精含量分别、甲、乙两种酒精混合纯酒精含量．如每种酒精都多取克混合纯酒精含量变．甲、乙两种酒精原有多少克？［分析］原混合甲、乙质量比是现混合甲、乙质量比是．由原甲、乙质量差现甲、乙质量差所以原甲质量是该质量差倍现甲质量是该质量差倍．是多取克与对应．所以质量差(克) 原甲质量是克原乙质量是克．【例 8】甲容器有浓盐水克乙容器有浓盐水克．分别从甲和乙取出相重量盐水把从甲取出倒入乙把从乙取出倒入甲．现甲、乙容器盐水浓相．问从甲(乙)容器取出多少克盐水倒入了另容器？【分析】由两种盐水换浓相等而换程盐总质量是不变所以换盐水浓而甲容器原浓所以相倒了(克)．另由两种溶液浓不而混合得到溶液浓相只能是相混合两种溶液量比是相等．这与两人各用两种速走段路程而平速相两种速路程比、以及含铜率不两种合金熔炼成含铜率相合金(见7讲相关例题)两种合金质量比是相似．假设相倒了克那么甲容器是由克盐水和克盐水混合乙容器是由克盐水和盐水混合得到相浓盐水所以得．［巩固］甲、乙两只装有糖水桶甲桶有糖水60千克含糖率乙桶有糖水0千克含糖率两桶相交换多少千克才能使两桶糖水含糖率相等？［分析］由两桶糖水换量是对等故变化程两桶糖水量没有改变而两桶糖水含糖率由原不等变化相等那么变化含糖率甲桶原含糖率所以相交换了(千克)．【例 9】甲杯有纯酒精克乙杯有水克次将甲杯部分纯酒精倒入乙杯使酒精与水混合．二次将乙杯部分混合溶液倒入甲杯这样甲杯纯酒精含量乙杯纯酒精含量．问二次从乙杯倒入甲杯混合溶液是多少克？【分析】次从甲杯倒入乙杯纯酒精有()(克) 则甲杯剩纯酒精(克)．由二次从乙杯倒入甲杯混合溶液浓根据浓倒三角倒入溶液量与甲杯剩余溶液量比所以二次从乙杯倒入甲杯混合溶液是克．［巩固］甲容器有纯酒精立方分米乙容器有水5立方分米．次将甲容器部分纯酒精倒入乙容器使酒精与水混合；二次将乙容器部分混合液倒入甲容器．这样甲容器纯酒精含量乙容器纯酒精含量．那么二次从乙容器倒入甲容器混合液是多少立方分米？［分析］由二次操作是将乙容器溶液倒入甲容器所以乙溶液二次操作前浓不变所以乙容器倒入甲容器溶液浓而次倒入前甲容器是纯酒精浓根据浓倒三角所以乙容器倒入甲容器溶液量与甲容器剩下量相等．而次甲容器倒入乙容器酒精有立方分米所以甲容器剩下有立方分米故二次从乙容器倒入甲容器混合液是6立方分米．． (清华附考题)某种皮衣定价是50元以8折售出仍可以盈利某顾客再8折基础上要再让利50元如真是这样商店是盈利还是亏损？【分析】该皮衣成元8折基础上再让利50元元所以商店会亏损30元．．甲、乙两种商品成共00元甲商品按利润定价乙商品按利润定价都按定价打折出售结仍获利3元甲商品成是________元．【分析】设甲成元则乙元．根据条件可以列出方程得．故甲商品成00元．另甲种商品实际售价成所以甲种商品利润率；乙种商品实际售价成所以乙种商品利润率．根据“鸡兔笼”思想甲种商品成(元)． 3． 00千克刚采下鲜蘑菇含水量稍微晾晒含水量下降到那么这00千克蘑菇现还有多少千克呢？【分析】晾晒只是使蘑菇里面水量减少了蘑菇里其它物质量还是不变所以题可以抓住这不变量．原鲜蘑菇里面其它物质含量千克晾晒蘑菇里面其它物质含量还是千克所以晾晒蘑菇有千克．．有、两瓶不浓盐水明从两瓶各取升混合起得到瓶浓盐水他又将这份盐水与升瓶盐水混合起终浓．那么瓶盐水浓是．【分析】根据题瓶盐水浓那么瓶盐水浓是． 5．、、三瓶盐水浓分别、、它们混合得到克浓盐水．如瓶盐水比瓶盐水多克那么瓶盐水有多少克？【分析】设瓶盐水有克则瓶盐水克瓶盐水()克．则得．所以瓶盐水(克)．古候然数6是备受宠爱数有人认6是属美神维纳斯它象征着美满婚姻；也有人认宇宙所以这样完美因上帝创造它花了6天……然数6什么备受人们青睐呢？原6是非常“完善”数与它因数有种奇妙系6因数共有ｌ、、3、6除了6身这因数以外其他3都是它真因数数学们发现把6所有真因数都加起正等6这然数身数学上具有这种性质然数叫做完全数例如8也是完全数它真因数有、、、7、而＋＋＋7＋正等8然数里完全数非常稀少用沧海粟形容也不算太夸张有人统计万到0000000这么围里已被发现完全数也不寥寥5；另外直到95年000多年已被发现完全数总共才有并不是数学不重视完全数实际上非常遥远古代他们就开始探寻完全数方法了公元前3世纪古希腊著名数学欧几里得甚至发现了计算完全数公式如是质数那么由公式算出数定是完全数 8世纪数学欧拉又从理论上证明每偶完全数必定是由这种公式算出尽管如寻完全数工作仍然非常艰巨直到0世纪叶随着电子计算机问世寻完全数工作才取得了较进展95年数学凭借计算机高速运算下子发现了5完全数到975年人们无穷无尽然数里总共出了完全数欧几里得公式里只要是质数就定是完全数所以寻新完全数与寻新质数密切相关979年当人们知道是新质数随也就知道了是新完全数；983年人们知道是更质数也就知道了是更完全数它是迄今所知完全数这是非常数到很难将它原原地写出有趣是虽然很少有人知道这数数是多少却知道它定是偶数因由欧几里得公式算出完全数都是偶数那么奇数有没有完全数呢？曾有人验证位数少36位所有然数始终也没有发现奇完全数踪迹不比这还然数里奇完全数是否存可就谁也说不准了说起这还是尚著名数学难题呢奇妙完全数。
六年级奥数专题讲解利润与折扣《理论知识》利润=售出价-成本利润率=利润÷成本×100%=《售出价÷成本－1》×100%涨跌金额=本金×涨跌百分比折扣=实际售价÷原售价×100%《折扣〈1》利息=本金×利率×时间税后利息=本金×利率×时间×《1－20%》工厂和商店有时减价出售商品，通常我们把它称为“打折扣”出售，几折就是百分之几十。
《例1》；某商店将某种DVD按进价提高35%后，打出“九折优惠酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台仍旧获利208元，那么每台DVD的进价是多少元？解：定价是进价的1+35%打九折后，实际售价是进价的135%×90%=121；5%每台DVD的实际盈利：208+50=258《元》每台DVD的进价258÷《121；5%-1》=1200《元》答：每台DVD的进价是1200元《例2》：一种服装，甲店比乙店的进货便宜10%甲店按照20%的利润定价，乙店按照15%的利润定价，甲店比乙店的出厂价便宜11；2元，问甲店的进货价是多少元？解：设乙店的成本价为1《1+15%》是乙店的定价《1-10%》×《1+20%》是甲店的定价《1+15%》-《1-10%》×《1+20%》=7%11；2÷7%=160《元》160×《1-10%》=144《元》答：甲店的进货价为144元。
《例3》；原来将一批水果按100%的利润定价出售，由于价格过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%，此时因害怕剩余水果会变质，不得不再次降价，售出了全部水果。
结果实际获得的总利润是原来利润的30；2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？分析：要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几，则需要求出第二次是按百分之几的利润定价。
小学六年级奥数收益计算问题分析1、甲乙两件商品成本共200 元，甲商品按30%的收益订价，乙商品按 20%的收益订价，以后两件商品都按订价打九折销售，结果仍赢利27.7元，求甲商品的成本。
2、销售一件商品，现因为进货价降低了 6.4%，使得收益率提过了 8%，求原来销售这件商品的收益率。
1.解答： 200×(1+20%)÷90%-200=16(27.7-16) (30%÷-20%)÷90%=1302.解答：设本来的收益率为x，1+x%=(1-6.4%) ×(1+x%+8%)x=17%习题：本来将一批水果按100%的收益订价销售，因为价钱过高，无人购置，不得不按38%的收益从头订价，这样销售了此中的40%，此时因惧怕节余水果会变质，不得不再次降价，售出了所有水果。
结果实质获取的总收益是本来收益的30.2%，那么第二次降价后的价钱是本来订价的百分之几？答案与分析：8%×40%+x%× (1-40%)=30.2%X%=25%(1+25%)÷(1+100%)=62.5%收益例 2 某商铺有一天，预计将进货单价为 90 元的某商品按 100 元售出后，能卖出 500 个。
已知这类商品每个涨价 1 元，其销售量就减少10 个。
为了使这天能赚得更多收益，售价应定为每个______元。
讲析：因为按每个 100 元销售，能卖出 500 个，每个涨价 1 元，其销量减少 10 个，所以，这类商品按单价 90 元进货，共进了 600 个。
现把 600 个商品按每份 10 个，可分红 60 份。
因每个涨价 1 元，销量就减少 1 份（即 10 个）；相反，每个减价 1 元，销量就增添 1 份。
所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），依据等周长长方形面积原理可知，当把 60 分为两个 30 时，即每个涨价 30 元，卖出 30 份，此时有的收益。
小学六年级奥数利润计算问题解析的利润定价，后来两件商品都按定价打九折出售，结果仍获利27.7元，求甲商品的成本。
2、出售一件商品，现因为进货价降低了6.4%，使得利润率提过了8%，求原来出售这件商品的利润率。
1.解答：200×(1+20%)÷90%-200=16(27.7-16)÷(30%-20%)÷90%=1302.解答：设原来的利润率为x，1+x%=(1-6.4%)×(1+x%+8%)x=17%习题：原来将一批水果按100%的利润定价出售，因为价格过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%，此时因害怕剩余水果会变质，不得不再次降价，售出了全部水果。
结果实际获得的总利润是原来利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？答案与解析：8%×40%+x%×(1-40%)=30.2%X%=25%(1+25%)÷(1+100%)=62.5%利润例2某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。
已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。
为了使这个天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。
讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。
现把600个商品按每份10个，可分成60份。
因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。
所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方形面积原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有的利润。
所以，每个售价应定为90＋30=120（元）时，这个天能获得利润。
利润和扣头（一）1.市肆进了一批钢笔,用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润雷同.这批钢笔的进货价每支若干元？2.张师长教师向市肆订购了每件订价100元的某种商品80件.张师长教师对市肆司理说：“假如你肯降价,那么每降价1%,我就多订购4件.”市肆司理算了一下,若降价5%,则因为张师长教师多订购,获得的利润反而比本来多100元.问：这种商品的成本是若干元？3.统一种商品,甲店比乙店的进价便宜10%,甲店按10%的利润率订价,乙店按20%的利润率订价,成果甲店的订价比乙店便宜21元.乙店的进价是若干元？4.市肆以每双13元购进一批凉鞋,售价为14.8元,卖到还剩5双时,除成本外还获利88元.这批凉鞋共有若干双？5.一批商品按50%的期望利润率订价,成果只卖了70%的商品,为尽快卖完剩下的商品,市肆决议按订价打折出售,如许所获的全体利润是本来期望利润率的82%.商品打了若干扣头？6.某种商品按订价卖出可得利润960元,假如按订价的80%出售,则吃亏832元.该商品的进货价是若干元？7.某种蜜瓜从出售之日起,天天的价钱都是前一天的80%.妈妈第一天买了2个,第二天买了3个,第三天买了5个,共花了38元.蜜瓜出售第一天每个的售价是若干元？假如这10个蜜瓜都在第三天买,则能少花若干钱？利润和扣头（二）1.某商品按每个7元的利润卖出13个的钱,与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多.这种商品的成本是每个若干元？2.某商品按订价出售,每个可以获得45元钱的利润.如今按订价的八五折出售8个所获得的利润,与按订价每个降价35元出售12个获得的利润一样.这一商品订价是若干元？3.一件商品按20%的利润率订价,然后按八八折出售,共得利润84元.这件商品的成本是若干元？4.一件商品按20%的利润率订价,然后按订价的80%出售,成果每件亏了64元.这件商品的成本是若干元？5.商品甲按20%的利润卖出,卖价是240元;商品乙按10%的吃亏卖出,卖价是270元.甲和乙两件商品的成本谁高,高百分之几？6.某商品按订价的八折出售,仍能获得20%的利润.订价时代望的利润率是若干？7.甲.乙两种商品成本共200元.甲商品按30%的利润订价,乙商品按20%的利润订价,后来两种商品都按订价9折出售,成果仍获利润27.7元.乙种商品的成本是若干元？8.统一种商品,甲店比乙店的进价便宜10%,甲店按20%的利润率订价,乙店按15%的利润率订价,成果甲店的订价比乙店便宜11.2元.甲店的订价是若干元？牛吃草问题（一）1.有一片草地,天天都匀速长出青草.这片青草可供6头牛吃8天,或者供7头牛吃6天;那么,这片草地可供几头牛吃三天？2.牧场上有一片牧草,可供27头牛吃6周,或者供23头牛吃9周.假如牧草匀速发展,那么可供21头牛吃几周？3.有一个蓄水池,每小时流入的水量一样多.假如打开8个水龙头,10小时能把蓄水池里的水放空,假如打开12个水龙头,6小时能把蓄水池里的水放空.如今打开14个水龙头,须要多长时光才干把水放空？4.“六一”儿童节到了,黉舍组织同窗们介入各项游艺运动.在录像室开门前,就已经有一些同窗等在门口了.开端检票后,平均每分钟仍有4个同窗前来列队.一个检票员每分钟能让10人检票入场,假如只有一小我检票,4分钟后就没有人列队了.假如有两人一路检票,若干分钟后没有人列队？5.一个牧场,草天天匀速发展.每头牛天天吃的草量雷同.9头牛6天可以将草吃完;12头牛4天可以将草吃完;现有一群牛,吃了6天后又增长2头牛,再吃2天就将草吃完.增长2头牛后这群牛共有若干头？6.某水池漏水,用10台同样的抽水机9小时可以将水抽光,或用7台同样的抽水机12小时将水抽光.现要6小时把水抽光,须要若干台同样的抽水机？7.一个牧场,草每周匀速发展,每头牛每周吃的草量雷同.28头牛14天可以将草吃完;34头牛8天可以将草吃完.现有一群牛,吃了15天后,运走了六头牛,再吃7天才可将草吃完.没有运走6头牛前,这群牛共有若干头？牛吃草问题（二）1.牧场上有一片牧草,牧草每周匀速发展,已知30头牛8周把草吃尽,24头牛16周把草吃尽.这片草地可供几头牛12周把草吃尽？2.因为气象逐渐变冷,牧场上的草天天以平均的速度削减.经统计,这片草地可供11头牛吃8天,或8头牛吃10天,这片草地可供几头牛吃12天？3.一个牧场,草每周匀速发展,每头牛每周吃的草量雷同,37头牛7天可以将草地吃完,32头牛12天可以将草吃完.29头牛吃完这块草地,须要若干天？4.因为气象逐渐变冷,牧场上的草天天以平均的速度削减.经统计,这片草地可供6头牛吃4天,或供10头牛吃3天.假如有2头牛,几天可以把这片草地吃完？5.一只船在航行途中船内已进水,且水水仍在匀速进入船内.假如用2台同样的抽水机,5小时可抽光船内的水;假如用3台同样的抽水机,3小时内可抽光船内的水.用几台同样的抽水机能在1小时内抽光船内的水？6.在一个果园旁边建有一个仓库,本来本来库存了一些生果,并且天天果园摘取雷同数目的生果运入仓库.假如用汽车运输生果,5辆汽车10天可以运完,或8辆汽车5天可以运完.为了包管生果的新颖,现要在3天内运完所有的生果,至少须要若干辆汽车？7.博物馆在入场检票前就开端列队,检票开端后平均每分钟有10小我前来列队检票.一个检票口每分钟能让20人检票入场,假如同时开2个检票口,5分钟后就没有人列队了.假如只开一个检票口,那么开端检票后若干分钟才没有人列队？8.某车站在检票前若干分钟就开端列队,设每分钟来的搭客人数一样多.从开端检票到没有人列队等候,若同时开4个检票口需20分钟;若同时开5个检票口需15分钟.那么（1）同时开6个检票口若干分钟没有人列队等候？（2）假如要在10分钟内使没有人列队等候,需至少开若干个检票口？9.有一片草地,天天都匀速长出青草,这片青草可供68头牛吃30天,或者供76头牛吃24天.现有一群牛,吃了6天后,卖掉落了16头,余下的牛吃了2天后将草吃完.这群牛原有若干头？10.主动扶梯以平均的速度向上行驶着,一男孩和一女孩同时从主动扶梯向上走,男孩每秒钟向上走1级,女孩每2秒钟走1级.成果男孩用30秒到达楼上,女孩用户40秒到达楼上.扶梯漏在外面的部分有几级？11.一个水池有一个进水管和三个同样的出水管,进水管和出水管的每分钟的进水量或排水量雷同.现先打开进水管,等水池存了一些水后再打开排水管,假如同时打开3个出水管,那么5分钟可将水池排空.那么出水管比进水管晚开若干分钟？12.有一个水池,从进水管每分钟可流入5立方米水,假如用5部同样的抽水机3小时就可以将水抽光,或用7部同样的抽水机2小时将水抽光.用若干部同样的抽水机1.5小时可将池水抽光？有味的古算题1.一百馒头一百僧,大僧三个更无增,小僧三人分一个,大小僧人各几个？（选自《算法统宗》）意思是：有100个僧人,吃100个馒头,大僧人每人吃3个,小僧人3人吃一个,问大小僧人各有几人？2.今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱买鸡百只.问鸡翁.母.雏各几何.（选自《张邱建算经》百鸡问题）意思是：用100元钱买100只鸡,公鸡5元一只,母鸡3元一只,小鸡1元3只.求公鸡.母鸡.小鸡各买了若干只.3.今有垣厚五尺,两鼠对穿.大鼠一日一尺,小鼠亦日尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日重逢,各穿几何.（选自《九章算术》）意思是：有一堵墙厚5尺,两只老鼠分离从墙的两侧相对穿过来.大老鼠第一天穿1尺,小老鼠第一天也穿1尺.今后,大老鼠每日加倍,小老鼠每日减半.几天后两只老鼠可以重逢（即把墙穿通,两鼠相遇）？这时它们各穿了若干尺厚的墙？4.古希腊出色的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“这里是一座石墓,里面安葬着丢番图.他的童年占去平生的六分之一.再活十二分之一,他颊上长出了细细的胡须.又过了性命的七分之一,他找到了毕生伴侣.五年之后,婚姻之神赐给他一个儿子;可是儿子的命运不济,只活到父亲终岁的一半,就匆匆离去.这对父亲是一个沉重的打击.整整四年,为掉去爱子而哀痛,终于离别数学,分开人世.请你告知我：丢番图终岁几何？几岁娶亲？”（选自希腊梅特罗多尔编的习题集）5.唐朝巨大的浪漫主义诗人李白曾编了一道很有味的数学诗题：李白无事街上走,提着酒壶去买酒.遇店加一倍,见花喝一斗.三遇店和花,喝光壶中酒.试问壶华夏有若干酒.6.今有凫起南海七日至北海;雁起北海九日到南海.今凫雁俱起,问何日重逢.（选自《九章算术》）意思是：:一只凫鹰从南海飞至北海,需时7日;一只大雁从北海飞至南海需时9日,如今凫鹰和大雁同时分离从南.北海腾飞,问几日后两鸟相遇?7.甲赶群羊逐草茂,乙拽肥羊一只随厥后,戏问甲及一百否.甲云所说无差谬,若得这般一群凑,再添半群小半群,得你一只来方凑,玄机奥妙谁参透？（选自《算法统宗》）意思是：牧羊人赶着一群羊需找牧草长得旺盛的地方去放牧,有一个过路人牵着一只肥羊从后面跟上来,他对牧羊人说,“你好.你赶的这群羊精确有100只吧？”牧羊人答道：“假如这群羊加上一倍,再加上本来这群羊的一半,又加上本来这群羊一半的一半,连你这只羊也算进去,才刚好凑满100只.”这群羊毕竟有若干只？8.有人问希腊大数学家毕达哥拉斯：“请告知我,有若干学生？”毕达哥拉斯答复道：一共有这么多学生——个中二分之一在学数学,四分之一在进修音乐,七分之一在进修绘画,此外,还剩三名女学生.”请问毕达哥拉斯有若干学生.9.今有池五渠注之,其一渠开之少半日一满,次一日一满,次二日半一满,次三日一满,次五日一满.今皆决之,问：几何日满也？（选自《九章算术》）意思是：有一水池,五个水渠向里面灌水.甲渠独开;乙渠独开,1日注满;丙渠独开;丁渠独开,3日注满;戊渠独开,5日注满.五渠齐开,几日可注满水池？10.今有人持米出三关,外关三而取一,中关五而取一,内关七而取一,余米五斗,问本持米几何.（选自《九章算术》）意思是：有人带着若干斗米出关.经由内关内关时,经由中关时,经由外关时,这人走出三关后还余米5斗.这人本来带米若干？11.蜂群中的五分之一的蜜蜂落在茉莉花上,三分之一的蜜蜂落在风信子花上,,飞到蔷薇花上的蜜蜂是前两莳花上的蜜蜂数的差的三倍,还剩下一只飞前飞后的小蜜蜂.告知我,共有若干只蜜蜂. 12.今有乘空车日行七十里,重车日行五十里.今载太仓粟输上林五日三返,问太仓去上林几何.（选自《九章算术》）意思是：驾马车运输货色,空车一日行70里,重车一日行50里.如今从太仓运食粮到上林,5日往返3次,问太仓距上林若干里？13.驴和骡子并排地走着,背上都驮着沉重的包裹.驴抱怨说它的累赘太重了.“你的累赘太重？”骡子答复它,“你瞧,假若从你背上拿过来一个包裹给我,我的累赘就是你的两倍;而假如你从我背上取走一个,你的累赘也不过和我一样.”试问：驴和骡各负重若干？（选自《希腊文集》中“驴和骡子”）。
六年级奥数第六讲利润问题根本看法：商品购进的价格称为本钱〔也叫进价〕，商家在本钱的基础上提高价格销售，提高后的价格称为定价〔也叫售价〕，所赚的钱称为利润，利润占本钱的百分之几叫做利润率。
根本数量关系： 1. 利润 =销售价－本钱价2.利润率 =〔销售价－本钱价〕÷本钱价×100%3.销售价 =本钱价×〔 1+利润率〕4.本钱价 =销售价÷〔 1+利润率〕典型例题例一、某商品按20%的利润定价，尔后按八八折售出，实质获得利润84 元。
商品的本钱是多少元？例二、某商场在促销活动中，将一批商品降价办理。
若是减去定价的12%销售，那么可以盈利 170 元；若是减去定价的20%销售，那么损失150 元。
此商品的购入价是多少元？例三、足球赛门票15 元一张，降价后观大家数增加一半，收入增加了20%，那么一张门票降价了多少元？例四、商店以每副30 元的价格购进一批羽毛球拍，又以每副40 元的价格售出。
当剩下80副时，除已回收买进这批球拍所用的钱之外，还赚了100 元。
这批球拍共有多少副？例五、张先生向商店订购某一商品，没件定价100 元，共订购60 件。
张先生向商店经理说：“若是你肯减价，每件每减价1 元，我就多订购 3 件。
〞商店经理算了一下，若是减价4%，那么由于张先生的订购增加，仍可获得与原来相同多的利润。
这种商品的本钱是多少元？专项训练：1、某种商品的进价为800 元，销售时标价为1200 元。
后出处于该商品积压，商店准备打折销售，但要保持利润率不低于5%，那么最低可以打几折？2、某商场在十一促销期间，将一批商品降价销售。
若是减去定价的10%销售，那么可盈利215 元；若是减去定价的20%销售，那么损失125 元。
此商品的购入价是多少元？3、某品牌西服原价800 元一套，为了促销，降低了价格，销量增加了 1 倍，收入增加了40%。
问每套西服降价多少元？4、某书店销售一种挂历，每售出 1 本可得 18 元利润。
六年级奥数第六讲利润问题基本概念：商品购进的价格称为成本（也叫进价），商家在成本的基础上提高价格出售，提高后的价格称为定价（也叫售价），所赚的钱称为利润，利润占成本的百分之几叫做利润率。
基本数量关系：1. 利润=出售价－成本价2. 利润率=（出售价－成本价）÷成本价×100%3. 出售价=成本价×（1+利润率）4. 成本价=出售价÷（1+利润率）典型例题例一、某商品按20%的利润定价，然后按八八折售出，实际获得利润84元。
商品的成本是多少元？例二、某商场在促销活动中，将一批商品降价处理。
如果减去定价的12%出售，那么可以盈利170元；如果减去定价的20%出售，那么亏损150元。
此商品的购入价是多少元？例三、足球赛门票15元一张，降价后观众人数增加一半，收入增加了20%，则一张门票降价了多少元？例四、商店以每副30元的价格购进一批羽毛球拍，又以每副40元的价格售出。
当剩下80副时，除已收回购进这批球拍所用的钱之外，还赚了100元。
这批球拍共有多少副？例五、张先生向商店订购某一商品，没件定价100元，共订购60件。
张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每件每减价1元，我就多订购3件。
”商店经理算了一下，如果减价4%，那么由于张先生的订购增多，仍可获得与原来一样多的利润。
这种商品的成本是多少元？专项训练：1、某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元。
后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则最低可以打几折？2、某商场在十一促销期间，将一批商品降价出售。
如果减去定价的10%出售，那么可盈利215元；如果减去定价的20%出售，那么亏损125元。
此商品的购入价是多少元？3、某品牌西服原价800元一套，为了促销，降低了价格，销量增加了1倍，收入增加了40%。
问每套西服降价多少元？4、某书店出售一种挂历，每售出1本可得18元利润。
售出一部分后每本减价10元出售，全部售完。
六年级奥数－经济浓度问题1. 某商品按每个7元的利润卖出13个的钱，与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多。
这种商品的进货价是每个多少元 2. 某种商品的利润率是20％。
如果进货价降低20％，售出价保持不变，那么利润率将是多少？润率将是多少？3. 某家商店决定将一批苹果的价格降到原价的70%卖出，这样所得利润就只有原计划的31。
已知这批苹果的进价是每千克6元6角，原计划可获利润2700元，那么这批苹果共有多少千克？那么这批苹果共有多少千克？4. 现有浓度为10％的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水？％的盐水？5. 现有浓度为10％的盐水8千克，要得到浓度为20％的盐水，用什么方法可以得到，具体如何操作 6. 甲种酒精溶液中有酒精6升，水9升；乙种酒精溶液中有酒精9升，水3升；要配制成50％的酒精溶液7升，问两种酒精溶液各需多少升？升，问两种酒精溶液各需多少升？六年级奥数－经济浓度问题答案1. 解析：417121213)711(=--¸-元。
元。
2. 解析：设原来成本为100元，则相应的利润为20元，定价为120元；成本降低20%，变成80元，而售价不变，在现在的利润率为%50%1008080120=´-。
3. 解析：原价的30%相当于原利润的32，则原价与原利润的比值为20：9，因此原利润为4.592096.6=-´元；又原计划获利2700元，则这批苹果共有5004.52700=¸千克。
千克。
4. 解析：10%与30%的盐水重量之比为（30%-22%）：（22%-10%）=2：3，因此需要30%的盐水20÷20÷2×2×2×3=303=30克。
克。
5. 解析： ①蒸发掉4千克水；千克水； ②加入1千克盐。
千克盐。
6. 解析：甲种酒精浓度为40%，乙种酒精浓度为75%，因此两种酒精的体积之比为2:5%)40%50(:%)50%75(=--，因此需要甲种酒精5升、乙种酒精2升。
济南小学六年级奥数题及答案解析：浓度问题1. 浓度问题金規合金的重量是250®.就在水中称重时，重壘减轻了 16S ，卿僉在水中养 重重裱轻存 戡在水中称重童减轻新 求这块合金中金、很各含多少克？【分析】役巧［»克告金中，金有疋克，塑舉M <^0-r ）丸 储题惠亠X ） =15*-1校乘法分配律展开! 轉含的项杪到右边:所旳 丄x+15-—芝=16杠1? 1025-16 =丄Y —丄〜10 19 7=二 H*1P0址=19血盯（|_丁=点心2. 浓度应用题乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为8%的硫酸溶液600千克，乙容器中装有浓度为 40%的硫酸溶液400千克.各取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？由题意知，从甲、乙两容器中各取出一定量的溶液放入对方容器中，最终要达到两容器中溶液的浓度相等，在这个 变化过程中，两容器中溶液的重量并没有改变。
不妨设从甲、乙两容器中各取出硫酸溶液x 千克放入对方容器中，可使甲、乙两容器中硫酸溶液的浓度相等.这时甲容器中硫酸的重量可表示为（ 600-x ）X 8% + x • 40% =48+ 32%・x.甲容器中溶液的浓AS -I- 32^* 家:eoo乙春器中硫酸旳重呈为〔理0O —富〉-40%^ + x *8?^ =160-32^不艮捣题意歹■!右程彳吊:亠-48 +弓之沁•盟160 — 32^*孟SOO=-400X —240 <1 于1 克O 4答：应从两容器中各取出 240千克溶液放入对方容器中，才能使两容器中硫酸溶液的浓度相同。
上述问题还可以这样考虑：由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变，而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器中溶液的浓度由不同变为相同，而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改变，根据这个条件我们可以先计算出两容器中的溶液浓度 达到相等时的数值，从而再计算出应交换的溶液的量：甲容器中纯硫酸的重量为 600X 8% =48 （千克）；乙容器中纯硫酸的重量为 400X 40% =160 (千克)； 两容器中纯硫酸的重量和为 48＋160=208千克，硫酸溶液的重量和为 600＋400=1000千克。
时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________1．(2008年西城实验考题)某种商品按定价卖出可得利润960元，若按定价的80%出售，则亏损832元．问：商品的购入价是________元．2．(2008年清华附中考题)王老板以2元/个的成本买入菠萝若干个，按照定价卖出了全部菠萝的4 5后，被迫降价为：5个菠萝只卖2元，直至卖完剩下的菠萝，最后一算，发现居然不亏也不赚，那么王老板一开始卖出菠萝的定价为元/个．3．(2008年清华附中考题)某书店购回甲、乙两种定价相同的书，其中甲种书占35，需按定价的78%付款给批发商，乙种书按定价的82%付款给批发商，请算算，书店按定价销售完这两种书后获利的百分率是多少？4．(2008年西城实验考题)将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是________．5．(2008年101中学考题)A种酒精浓度为40%，B种酒精浓度为36%，C种酒精浓度为35%，它们混合在一起得到了11千克浓度为38.5%的酒精溶液，其中B种酒精比C种酒精多3千克，则A 种酒精有千克．测试卷8·利润浓度篇【解析】1． 该商品的定价为：(832960)(180%)8960+÷-=(元)，则购入价为：89609608000-=(元)．2． 降价后5个菠萝卖2元，相当于每个菠萝卖0.4元，则降价后每个菠萝亏20.4 1.6-=元，由于最后不亏也不赚，所以开始按定价卖出的菠萝赚得的与降价后亏损的相等，而开始按定价卖出的菠萝的量为降价后卖出的菠萝的4倍，所以按定价卖出的菠萝每个菠萝赚：1.640.4÷=元，开始的定价为：20.4 2.4+=元．3． 设甲、乙两种书的定价为a ，甲、乙两种书的总量为b ，则甲种书数量为35b ，乙种书数量为25b ，则书店购买甲、乙两种书的成本为：3278%82%0.79655a b a b ab ⨯⨯+⨯⨯=，而销售所得为ab ，所以获利的百分率为：()0.7960.796100%26%ab ab ab -÷⨯=．4． 开始时药与水的比为3:7，加入一定量的水后，药与水的比为24:766:19=，由于在操作开始前后药的重量不变，所以我们把开始时药与水的比化为6:14，即，原来药占6份，水占14份；加入一定量的水后，药还是6份，水变为19份，所以加入了5份的水，若再加入5份的水，则水变为24份，药仍然为6份，所以最后得到的药水中药的百分比为：6(624)100%20%÷+⨯=．5． 设A 种酒精有x 千克，B 种酒精有y 千克，C 种酒精有z 千克，则：11340%36%35%1138.5%x y z z yx y z ++=⎧⎪+=⎨⎪⨯+⨯+⨯=⨯⎩解得7x =， 3.5y =，0.5z =，故A 种酒精有7千克．利润、浓度问题是小学六年级新学的知识点，与现实生活联系得比较紧密，同时又涉及到百分数和比例，所以是小升初重点考察的对象．2009年的出题方式仍然可能是大题中出现一道或者两道和本讲内容相关的题目，而且占的分值权重回较大．只要认真复习，掌握解题规律，就可以顺利拿下这部分分值．利润、浓度问题的内容与生活实际联系很紧密，在经济问题中，要恰当处理好成本、售价、利润、利润率这几个量的关系，而在浓度问题中则要理解好溶剂、溶质、溶液、浓度这几个量之间的关系．⑴经济问题主要相关公式：100%100%-=+=⨯=⨯售价成本售价成本利润，利润率利润成本成本； 1⨯售价=成本（+利润率），1=售价成本利润率+．浓度问题相关公式：=+溶液溶质溶剂；100%100%⨯=⨯+=溶质溶剂溶质溶质浓度溶液． ⑵常用方法：①抓不变量：一般情况下在经济问题中成本是不变量，浓度问题中溶剂是不变量； ②方程法：对于经济浓度问题，采用方程来求解是简便、有效的方法； ③十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)； 形象表达：AB=甲溶液质量乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差④浓度三角：浓度三角在解决浓度问题时非常有用。
不仅如此，对某些利润问题，有时候也可以巧妙地利用浓度倒三角分析其中的数量关系，从而解决问题．第8讲小升初专项训练· 利润、浓度问题::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-zy %浓度x 混合浓度z%【例 1】 李师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格将剩下的苹果卖出．不过最后他不仅赚了24元钱，还剩下了1个苹果，那么他买了多少个苹果？【分析】 经济问题都是和成本、利润相关的，所以只要分别考虑前后的利润即可．1元钱3个苹果，也就是一个苹果13元；1元钱2个苹果，也就是一个苹果12元；卖出一半后，苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格卖出，也就是每个27元．在前一半的每个苹果可以挣111236-=(元)，而后一半的每个苹果亏1213721-=(元)．假设后一半也全卖完了，即剩下的1个苹果统一按亏的价卖得27元，就会共赚取2247元钱．如果从前、后两半中各取一个苹果，合在一起销售，这样可赚得11562142-=(元)，所以每一半苹果有2524204742÷=个，那么苹果总数为2042408⨯=个．［巩固］商店购进1000个十二生肖玩具，运途中破损了一些．未破损的好玩具卖完后，利润率为50%；破损的玩具降价出售，亏损了10%．最后结算，商店总的利润率为39.2%．商店卖出的好玩具有多少个？［分析］ 设商店卖出的好玩具有x 个，则破损的玩具有()1000x -个．根据题意，有：()50%100010%100039.2%x x ⨯--⨯=⨯，解得820x =．故商店卖出的好玩具有820个．【例 2】 某店原来将一批苹果按100%的利润(即利润是成本的100%)定价出售．由于定价过高，无人购买．后来不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%．此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果．结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2%．那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少？【分析】 第二次降价的利润是：(30.2%40%38%)(140%)25%-⨯÷-=，利润问题价格是原定价的(125%)(1100%)62.5%+÷+=．［巩固］某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价．当售出这批笔记本的80%后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售．问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？［分析］ 设这批笔记本的成本是“1”．因此定价是()1130% 1.3⨯+=．其中80%的卖价是1.380%⨯，20%的卖价是1.3220%÷⨯．因此全部卖价是1.380% 1.3220% 1.17⨯+÷⨯=． 实际获得利润的百分数是1.1710.1717%-==．［巩固］有一种商品，甲店进货价比乙店进货价便宜10%．甲店按20%的利润来定价，乙店按15%的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元．甲店的进货价是多少元？［分析］ 因为甲店进货价比乙店进货价便宜10%，所以甲店进货价是乙店的90%．设乙店的进货价为x 元，则甲店的进货价为90%x 元．由题意可知，甲店的定价为()90%120%x ⨯+元，乙店的定价为()115%x ⨯+元，而最终甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元，由此可列方程：()()115%90%120%11.2x x ⨯+-⨯+=．解得160x =(元)，那么甲店的进货价为16090%144⨯=(元)．【例 3】 利民商店从一家日杂公司买进了一批蚊香，然后按希望获得的纯利润，每袋加价40%定价出售．但是，按这种定价卖出这批蚊香的90%时，夏季即将过去．为了加快资金的周转，利民商店按照定价打七折的优惠价，把剩余的蚊香全部卖出．这样，实际所得的纯利润比希望获得的纯利润少了15%．按规定，不论按什么价钱出售，卖完这批蚊香必须上缴营业税300元(税金与买蚊香用的钱一起作为成本)．请问利民商店买进这批蚊香时一共用了多少元？【分析】 解法一：设买进这批蚊香共用x 元，那么希望获得的纯利润为“0.4300x -”元，实际上比希望的少卖的钱数为：x ⨯(190%-)⨯(140%+)⨯(170%-)0.042x =(元)． 根据题意，得：0.042x =(0.4300x -)15%⨯，解得2500x =． 故买进这批蚊香共用2500元．解法二：设买进这批蚊香共用x 元，那么希望获纯利润“0.4300x -”元，实际所得利润为“(0.4300x -)⨯(115%-)0.34255x =-”元．10%的蚊香打七折，就相当于全部蚊香打九七折卖，这样一共卖得“1.40.97x ⨯”元． 根据题意，有：1.40.973000.34255x x x ⨯--=-，解得2500x =． 所以买进这批蚊香共用2500元．［巩固］成本0.25元的练习本1200本，按40%的利润定价出售．当销掉80%后，剩下的练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的86%，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？［分析］ 先销掉80%，可以获得利润0.2540%120080%96⨯⨯⨯=(元)．最后总共获得86%的利润，利润共0.2540%120086%103.2⨯⨯⨯=(元)，那么出售剩下的20%，要获得利润103.2967.2-=(元)，每本需要获得利润()7.2120020%0.03÷⨯=(元)，所以现在售价是0.250.030.28+=(元)，而定价是()0.25140%0.35⨯+=(元)．售价是定价的0.28100%80%0.35⨯=，故出售时是打8折．【例 4】 小明到商店买红、黑两种笔共66支．红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元．由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85%付钱，黑笔按定价80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，那么他买了红笔多少支？【分析】 浓度倒三角的妙用．红笔按85%优惠，黑笔按80%优惠，结果少付18%，相当于按82%优惠，可类似浓度问题进行配比，得到红、黑两种笔的总价之比为()()82%80%:85%82%2:3--=，而红、黑两种笔的单价分别为5元和9元，所以这两种笔的数量之比为23:6:559=，所以他买了6663656⨯=+支红笔．［拓展］某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件．如果买一件按原定价，买两件降价10%，买三件降价20%，最后结算，平均每件恰好按原定价的85%出售．那么买三件的顾客有多少人？［分析］ 如果对于浓度倒三角比较熟悉，容易想到3(120%)1100%340%485%⨯-+⨯==⨯，所以1个买一件的与1个买三件的合起来看，正好每件是原定价的85%．由于买2件的，每件价格是原定价的110%90%-=，高于85%，所以将买一件的与买三件的一一配对后，仍剩下一些买三件的人，由于3(290%)2(380%)1285%⨯⨯+⨯⨯=⨯，所以剩下的买三件的人数与买两件的人数的比是2:3．于是33个人可分成两种，一种每2人买4件，一种每5人买12件，共买76件，所以后一种有4124763325252⎛⎫⎛⎫-⨯÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(人)．其中买二件的有：325155⨯=(人)．前一种有33258-=(人)，其中买一件的有824÷=(人)． 于是买三件的有3315414--=(人)．【例 5】 (2008年第六届“走美”六年级初赛)A 、B 两杯食盐水各有40克，浓度比是3:2．在B 中加入60克水，然后倒入A 中________克．再在A 、B 中加入水，使它们均为100克，这时浓度比为7:3． 【分析】 在B 中加入60克水后，B 盐水浓度减少为原来的25，但溶质质量不变，此时两杯盐水中的盐的质量比仍然为3:2，B 中的盐占所有盐的质量的22325=+，但最终状态下B 中的盐占所有盐的质量的337310=+，也就是说B 中的盐减少了32111054-÷=，所以从A 中倒出了14的盐水，即25克．［拓展］A 、B 、C 三个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水10克倒入A 中，充分混合后从A 中取出10克倒入B 中，再充分混合后从B 中取出10克倒入C 中，最后得到的盐水的浓度是0.5%．问开始倒入试管A 中的盐水浓度是百分之几？［分析］ 整个过程中盐水浓度在下降．倒入A 中后，浓度变为原来的10110102=+；倒入B 中后，浓度变为A 中的10110203=+；倒入C 中后，浓度变为B 中的10110304=+．所以对于一开始倒入A 中的盐水浓度可以用倒推的方法，1110.5%12%432÷÷÷=，即一开始倒入A 中的盐水浓度为12%．［拓展］有甲、乙、丙三个容器，容量为毫升．甲容器有浓度为40%的盐水400毫升；乙容器中有清水400毫升；丙容器中有浓度为20%的盐水400毫升．先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的盐水200毫升倒入甲容器，200毫升倒入丙容器．这时甲、乙、丙容器中盐水的浓度各是多少？浓度问题小结：在做有关浓度的应用题时，为了弄清楚溶质质量、溶液质量的变化，尤其是变化多次的，常用列表的方法，使它们之间的关系一目了然．【例 6】 瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A 、B 两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A 种酒精溶液浓度是B 种酒精溶液浓度的2倍，那么A 种酒精溶液的浓度是百分之几？【分析】 新倒入纯酒精：()100010040014%100015%60++⨯-⨯=(克)． 设A 种酒精溶液的浓度为x ，则B 种为2x．根据新倒入的纯酒精量，可列方程： 100400602xx +⨯=，解得20%x =，即A 种酒精溶液的浓度是20%． 另解：设A 种酒精溶液的浓度为x ，则B 种为2x．根据题意，假设先把100克A 种酒精和400克B 种酒精混合，得到500克的酒精溶液，再与1000克15%的酒精溶液混合，所以A 、B 两种酒精混合得到的酒精溶液的浓度为()100014%15%14%12%500--⨯=．根据浓度倒三角，有()12%:12%400:1002x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得20%x =．故A 种酒精溶液的浓度是20%．［巩固］甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的3倍．将100克甲瓶盐水与300克乙瓶盐水混合后得到浓度为15%的新盐水，那么甲瓶盐水的浓度是多少？［分析］ 设乙瓶盐水的浓度是%x ，甲瓶盐水的浓度是3%x ，有1003%300%(100300)15%x x ⨯+⨯=+⨯，解得10x =，即甲瓶盐水的浓度是30%．［巩固］在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占48%、62.5%和23，已知三缸酒精溶液总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量．三缸溶液混合后，所含纯酒精的百分数将达56%．那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？［分析］ 设丙缸酒精溶液的重量为x 千克，则乙缸为()50x -千克．根据纯酒精的量可列方程：()25048%5062.5%10056%3x x ⨯+-⨯+⨯=⨯， 解得18x =，所以丙缸中纯酒精的量是218123⨯=(千克)．另解：由于甲缸酒精溶液为50千克，乙、丙两缸酒精溶液合起来也是50千克，所以如果将乙、丙两缸酒精溶液混合，得到的酒精溶液的浓度为56%248%64%⨯-=．那么乙、丙两缸酒精溶液的量之比为：()264%:64%62.5%32:183⎛⎫--= ⎪⎝⎭，而它们合起来共50千克，所以丙缸酒精溶液有1850183218⨯=+千克，丙缸中纯酒精的量是218123⨯=(千克)．【例 7】 甲瓶中酒精的浓度为70%，乙瓶中酒精的浓度为60%，两瓶酒精混合后的浓度是66%．如果两瓶酒精各用去5升后再混合，则混合后的浓度是66.25%．问原来甲、乙两瓶酒精分别有多少升？【分析】 根据题意，先从甲、乙两瓶酒精中各取5升混合在一起，得到10升浓度为65%的酒精溶液；再将两瓶中剩下的溶液混合在一起，得到浓度为66.25%的溶液若干升．再将这两次混合得到的溶液混合在一起，得到浓度是66%的溶液．根据浓度三角，两次混合得到的溶液的量之比为：()()66.25%66%:66%65%1:4--=，所以后一次混合得到溶液52440⨯⨯=升．这40升浓度为66.25%的溶液是由浓度为70%和60%的溶液混合得到的，这两种溶液的量的比为：()()66.25%60%:70%66.25%5:3--=，所以其中浓度为70%的溶液有5402553⨯=+升，浓度为60%的溶液有3401553⨯=+升．所以原来甲瓶酒精有25530+=升，乙瓶酒精有15520+=升．［巩固］纯酒精含量分别为60%、35%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为40%．如果每种酒精都多取20克，混合后纯酒精的含量变为45%．求甲、乙两种酒精原有多少克？［分析］ 原来混合时甲、乙的质量比是：40%35%160%40%4-=-，现在混合时甲、乙的质量比是：45%35%260%45%3-=-．由于原来甲、乙的质量差=现在甲、乙的质量差，所以原来甲的质量是该质量差的11413=-倍，现在甲的质量是该质量差的2232=-倍．于是多取的20克与15233-=对应．所以，质量差520123=÷=(克)，原来甲的质量是112441⨯=-克，原来乙的质量是4121641⨯=-克．【例 8】 甲容器中有浓度为20%的盐水400克，乙容器有浓度为10%的盐水600克．分别从甲和乙中取出相同重量的盐水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中．现在甲、乙容器中盐水浓度相同．问：从甲(乙)容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中？【分析】 由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变的，所以互换后盐水的浓度为()()40020%60010%40060014%⨯+⨯÷+=，而甲容器中原来浓度为20%，所以相互倒了()()40020%14%20%10%240⨯-÷-=(克)．另解：由于两种溶液的浓度不同，而混合后得到的溶液的浓度相同，只能是相混合的两种溶液的量的比是相等的．这一点与两人各用两种速度走一段路程而平均速度相同中的两种速度的路程比、以及含铜率不同的两种合金熔炼成含铜率相同的合金(见第7讲相关例题)中两种合金的质量比是相似的．假设相互倒了x 克，那么甲容器中是由()400x -克20%的盐水和x 克10%的盐水混合，乙容器中是由x 克20%的盐水和()600x -10%的盐水混合，得到相同浓度的盐水，所以()()400::600x x x x -=-，解得240x =．［巩固］ 甲、乙两只装有糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为4%，乙桶有糖水40千克，含糖率为20%，两桶互相交换多少千克才能使两桶糖水的含糖率相等？［分析］ 由于两桶糖水互换的量是对等的，故在变化过程中，两桶中糖水的量没有改变，而两桶中糖水的含糖率由原来的不等变化为相等，那么变化后的含糖率为： ()()604%4020%6040100%10.4%⨯+⨯÷+⨯=，甲桶中原来的含糖率为4%，所以互相交换了：()()6010.4%4%20%4%24⨯-÷-=(千克)．【例 9】 甲杯中有纯酒精12克，乙杯中有水15克，第一次将甲杯中的部分纯酒精倒入乙杯，使酒精与水混合．第二次将乙杯中的部分混合溶液倒入甲杯，这样甲杯中纯酒精含量为50%，乙杯中纯酒精含量为25%．问第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是多少克？【分析】 第一次从甲杯倒入乙杯的纯酒精有：15÷(125%-)155-=(克)，则甲杯中剩纯酒精1257-=(克)．由于第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液的浓度为25%，根据浓度倒三角，倒入的溶液的量与甲杯中剩余溶液的量的比为()()100%50%:50%25%2:1--=，所以第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是7214⨯=克．［巩固］甲容器中有纯酒精11立方分米，乙容器中有水15立方分米．第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器．这样甲容器中的纯酒精含量为62.5%，乙容器中的纯酒精含量为25%．那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米？［分析］ 由于第二次操作是将乙容器内溶液倒入甲容器中，所以乙溶液在第二次操作的前后浓度不变，所以乙容器内倒入甲容器中的溶液的浓度为25%，而在此次倒入之前，甲容器中是纯酒精，浓度为100%，根据浓度倒三角，()()100%62.5%:62.5%25%1:1--=，所以乙容器内倒入甲容器中的溶液的量与甲容器中剩下的量相等．而第一次甲容器中倒入乙容器的的酒精有15(125%)20155÷-=-=立方分米，所以甲容器中剩下的有1156-=立方分米，故第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6立方分米．1． (2008年清华附中考题)某种皮衣定价是1150元，以8折售出仍可以盈利15%，某顾客再在8折的基础上要求再让利150元，如果真是这样，商店是盈利还是亏损？【分析】 该皮衣的成本为：()11500.8115%800⨯÷+=元，在8折的基础上再让利150元为：11500.8150770⨯-=元，所以商店会亏损30元．2． 甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是________元．【分析】 设甲成本为x 元，则乙为()2200x -元．根据条件可以列出方程：()()()90%120%115%22002200131x x ⨯+++--=⎡⎤⎣⎦，解得1200x =．故甲商品的成本为1200元． 另解：甲种商品的实际售价为成本的()120%90%108%+⨯=，所以甲种商品的利润率为8%； 乙种商品的实际售价为成本的()115%90%103.5%+⨯=，所以乙种商品的利润率为3.5%．根据“鸡兔同笼”的思想，甲种商品的成本为：()()1312200 3.5%8% 3.5%1200-⨯÷-=(元)．3． 100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，那么这100千克的蘑菇现在还有多少千克呢？【分析】 晾晒只是使蘑菇里面的水量减少了，蘑菇里其它物质的量还是不变的，所以本题可以抓住这个不变量来解．原来鲜蘑菇里面其它物质的含量为()⨯-=千克，晾晒后蘑菇里面其它物质的含量还是100199%11千克，所以晾晒后的蘑菇有()÷-=千克．1198%504．有A、B两瓶不同浓度的盐水，小明从两瓶中各取1升混合在一起，得到一瓶浓度为36%的盐水，他又将这份盐水与2升A瓶盐水混合在一起，最终浓度为32%．那么B瓶盐水的浓度是．【分析】根据题意，A瓶盐水的浓度为32%236%2⨯-=，那么B瓶盐水的浓度是⨯-=．36%228%44%5．A、B、C三瓶盐水的浓度分别为20%、18%、16%，它们混合后得到100克浓度为18.8%的盐水．如果B瓶盐水比C瓶盐水多30克，那么A瓶盐水有多少克？【分析】设C瓶盐水有x克，则B瓶盐水为30=-克．则++)702xx+克，A瓶盐水为100-(30x x()()70220%3018%16%10018.8%-⨯++⨯+⨯=⨯，解得10x x xx=．所以A瓶盐水为：7021050-⨯=(克)．96 ｜六年级 第八讲 提高班｜奇妙的完全数古时候，自然数6是一个备受宠爱的数.有人认为，6是属于美神维纳斯的，它象征着美满的婚姻；也有人认为，宇宙之所以这样完美，因为上帝创造它时花了6天时间…… 自然数6为什么备受人们青睐呢？原来，6是一个非常“完善”的数，与它的因数之间有一种奇妙的联系.6的因数共有4个：ｌ、2、3、6，除了6自身这个因数以外，其他的3个都是它的真因数，数学家们发现：把6的所有真因数都加起来，正好等于6这个自然数本身！数学上，具有这种性质的自然数叫做完全数.例如，28也是一个完全数，它的真因数有 1、2、4、7、14，而 1＋2＋4＋7＋14正好等于28.在自然数里，完全数非常稀少，用沧海一粟来形容也不算太夸张.有人统计过，在1万到40000000这么大的范围里，已被发现的完全数也不过寥寥5个；另外，直到1952年，在2000多年的时间，已被发现的完全数总共才有12个.并不是数学家不重视完全数，实际上，在非常遥远的古代，他们就开始探索寻找完全数的方法了.公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了一个计算完全数的公式：如果121n +-是一个质数，那么，由公式12(21)n n N +=-算出的数一定是一个完全数.18世纪时，大数学家欧拉又从理论上证明：每一个偶完全数必定是由这种公式算出的.尽管如此，寻找完全数的工作仍然非常艰巨. 直到20世纪中叶，随着电子计算机的问世，寻找完全数的工作才取得了较大的进展.1952年，数学家凭借计算机的高速运算，一下子发现了5个完全数.到1975年，人们在无穷无尽的自然数里，总共找出了24个完全数.在欧几里得公式里，只要121n +-是质数，12(21)n n N +=-就一定是完全数.所以，寻找新的完全数与寻找新的质数密切相关.1979年，当人们知道4972441-是一个新的质数时，随之也就知道了496497244(2441)-是一个新的完全数；1983年，人们知道2432861-是一个更大的质数时，也就知道了242243286(2861)-是一个更大的完全数.它是迄今所知最大的一个完全数.这是一个非常大的数，大到很难在书中将它原原本本地写出来.有趣的是，虽然很少有人知道这个数的最后一个数字是多少，却知道它一定是一个偶数，因为，由欧几里得公式算出的完全数都是偶数！那么，奇数中有没有完全数呢？。
