湘教版初中数学八年级上册 5.1二次根式的概念及性质 课件

二次根式的概念及性质
创景导入 思考：用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 ___2__m；若面积为S m2，则边长为___S__m．
图
(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积 为6m2，则它的宽为___3__m．
图
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时
9...
3...
观察两者有什么关系？
归纳总结
a2 (a 0) 的性质：
a (a≥0) a2 a
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的 绝对值.
议一议：如何区别( a )2 与 a2 ？
( a)2
a2
从运算 顺序看 先开方,后平方 先平方，后开方
从取值 范围看
从运算 结果看
注意 a2 a ，而3.14＜π，要注意a的正负性.
•辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
(1) 22 2
2
(2) 2 2
2
(3) 2 2
（×） （× ） （√ ）
(4) 22 2 （ √ ）
拓展 提升 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，
请你化简:
a2 b2 a b2 .
积的乘方： （ab）2=a2b2
例6 化简：
(1) 16; (3) 102 ;
解：(1) 16 42 4.
(2) (5)2；
(4) (3.14 π)2 .
(2) (5)2 52 5.
(3) 102 = 101 2 = 101 =101= 1 . 10 (4) (3.14 π)2 = 3.14 π=π 3.14.
二次根式的概念及有意义的条件
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式. ①外貌特征：含有“ ”
两个必备特征 ②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
例1 下列各式是二次根式不吗含二?次根号
被开方数是负数
(1) 32, (2) 6, (3)
是
不是
(4) -m 当m>0时被开 方数是负数
(5)
不是
12 ,
不是 xy＜0
xy（x,y异号），
不是
(6) a2 1 , (7) 3 5
是
非负数+正数
不是
恒大于零
根指数是3
思考：当x取何值时, 例2 当x取何值时，
x 2在实数范围内有意义? 1 在实数范围内有意义？
x 1
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0.若二次根式为分母或二次根式为分式的 分母时，应同时考虑分母不为零.
探究： a2 的性质
填一填：
a2 ＝a (a≥0).
a(a≥0)
a2
a2
平方
2
运算
4
算术平 方根
2
0.1
0.01
0.1
2
4
2
3
9
3
0
0...
0...
...
观察两者有什么关系？
•思考：当a＜0时，a2 =？-a
a(a＜0) 平方 -2 运算
a2
算术平 a2
4 方根
2
-0.1
0.01
0.1
2
4
2
...3
a≥0 a
a取全体实数 |a|
意义
表示一个非负数 表示一个实数a
a的算术平方根 的平方的算术平
的平方
方根
典例精析
例5 计算： (1) ( 1.5)2;
(2) (2 5)2；
解：(1) ( 1.5)2 1.5.
(2)可以用到幂 的哪条基本性 质呢？
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满
足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为
h
___5__．
一 上面问题中，得到的结果分别是： 2，S， 3，h．
5
问题1 这些式子分别表示什么意义？ h
分别表示2，S，3， 5 的算术平方根．
问题2 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
探究： ( a )2（a≥0）的性质
活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积 为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积， 你发现了什么？
活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面 根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
分析：
利用三角形 三边关系
三边长均为正数，a+b＞c
两边之和大于第三边，b+c-a
＞0，c-b-a＜0
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．
a(a≥0) 算术平 0 方根
2
a 0 0
2
平方 运算
( a)2
02 = 022 244 222 = 4
2
1 3
...
1 3
1
3
1 3
...
...
观察两者有什么关系？
归纳总结
( a )2 (a 0) 的性质： 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
即 ( a )2 ＝a (a ≥0).
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根 式 a 有意义的前提条件.
典例精析
例3 已知y= x 3 3 x 8 ,求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 x 3≥0，
3 x≥0，
∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5．
b 3 a 2a 6 4
3 a≥0，
解：由题意得 2a 6≥0， 解不等式组得：a=3 求得：b=4.
课堂小结
二次根式
二次根式的概念 二次根式的表示
性质
二次根式有意义的条件 → 被开方数≥0
( a )2 a(a 0)
应用
a2 a(a 0)
a
•
b•
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b）
=-2a. 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要 要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
拓展例8 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简： 提升
a b c2 b c a2 c b a2 .