高考分段函数主要考点

函数的概念和性质考点 分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩226(12).()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（ ）CD6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.9．解分段函数的方程例10．设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值围是（ ）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值围为（ ）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值围是( )A ．(－∞，0] B.(－∞，1] C ．[－2,1]D ．[－2,0]2．（2013，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.3．（2013，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．4．（2012，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．05．（2011，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,166．（2012，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________．7．（2011，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．函数的概念和性质考点一 分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-.3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 【解析】当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)x x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .5．作分段函数的图像 例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（ ）CD解析：在定义围讨论，当0<x<1时，11y x x=+-；当x>1时1y =，故选D 6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.【解析】设0x <, 则0x ->, 所以()31xf x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13xf x -=-, 因此31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩, 从而可得33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【解析】当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【解析】显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-.9．解分段函数的方程例10．（01年）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为【解析】 若142x-=, 则222x--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =,则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值围是（ ）x.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞【解析1】首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.【解析2】因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-, 当00x >时,1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例12．设函数2(1)(1)()41(1)x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值围为（ ）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()14111310f x x x x ≥⇔--≥⇔-≤⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.【点评：】以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值围是( )A ．(－∞，0]B.(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.答案：D2．（2013，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析：本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2 3．（2013，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．解析：本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度．分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x ≥1时，log 12x ≤0，当x <1时，0<2x<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)4．（2012，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.答案：B5．（2011，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x <A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15(1)，所以必有4<A ，且c 4＝c 2＝30(2)，联立(1)(2)解得c ＝60，A ＝16.答案：D 6．（2012，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________． 解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f (32)＝f (－12)，且f (－1)＝f (1)，故f (12)＝f (－12)，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2. ① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a . ②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.答案：－107．（2011，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意，所以综上所述，a ＝－34. 答案：－34。

试题分析浅析新高考试题中的分段函数文|陶庆梅函数既是中学数学中的核心内容，又是高等数学中最基础的知识。

在高中阶段乃至是在高考中，函数的相关内容都是重点和必考点，因此函数在高中数学中占有很高的地位。

历年高考答题中都会有函数相应内容的出现，而且考查的方式以及题型都在逐年变化。

在新高考函数类型中大多会将函数图象与函数解析式相结合（即数形结合），这一类型的试题大多会在高考填空或选择题中出现，该类题型主要是考查学生对函数表达式以及三角函数、对勾函数等的掌握程度，以及与之对应的图象转换进行判断和分析。

这题型在新高考数学中占一定比例的分值，是一种不容小觑的考试题型。

所以，教师在平时针对分段函数进行教学时应多通过一些典型的考试题目或者借助历年的考试真题，让学生有针对性地训练，提升学生分析问题和解决问题的能力，让学生对与分段函数相关的题型有进一步的了解以及更深刻的认识，从而促使学生在高考中对这一类问题的解决达到事半功倍的效果。

下面主要通过近几年的新高考试题来探讨分段函数在高考中的应对措施和解决方法。

一、分段函数中的奇偶性问题例1（2022上海8）若函数f（x）=a2x-1，x<0 0，x=0x+a，x>0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐为奇函数，则实数a的值为_________.﹢考点：函数的奇偶性函数的解析式（理性思维）分析：判断分段函数的奇偶性要分段进行判断、整体考虑，即在分段函数的定义域内根据函数奇偶性的定义分别考虑各个分段上函数f（-x）与f（x）的关系，判断各个分段上函数的奇偶性，然后综合在一起判断分段函数的奇偶性。

分段函数中奇偶性在高考试题中经常出现，但学生在利用函数奇偶性的定义判断和研究分段函数中奇偶性时，经常会犯以下几种错误：（1）函数的奇偶性的概念理解不清由奇偶函数的定义可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的；（2）函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的，不能把定义域分割开来，因此，“当x<0时，函数是偶函数；当x>0时，函数是偶函数”的说法是错误的。

第一讲 分段函数【基础知识】1.定义：一般地在定义域不同的部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数.2.理解：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；分段函数的值域是各段函数值的并集。

（3）写分段函数的定义域时，区间端点位置要不重不漏.3. 类型：（1）取整函数：f(x)=[x]([x]表示不大于x 的最大整数）.（2）f(x)=（-1)x = -1,x 为正奇数1，x 为非付偶数（3）含绝对值符号的函数.如f(x)=|x+2|= x+2,x ≥2,-(x+2),x<-2（4）自定义函数. 如 -x-1,x ≤-1,f(x) = x 2-x-2,-1<x ≤2,x-2,x>24. 分段函数的图像（1）翻折法 （2）对折法 （3）分类讨论法【典型分析】题型一：分段函数的求值【例1】设函数,,,,)1()1(lg 2)(2>≤+=⎩⎨⎧--x x x x x x f 则f[f(-4)]=________.【例2】已知,,,,)0()0(log )(3≤>⎩⎨⎧+=x x b a x x f x 且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))等于________.【例3】已知函数,,,,)31()3()3()1()(<≥⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x f x f x 则f(2+log 32)的值为_________.【例4】已知函数)34()0()0(1)1()(,,,,cos 2f x x x f x f x 则>≤⎩⎨⎧+-=π的值为________.【例5】函数,,,,)21()1(2)(2<<-⎩⎨⎧+-≤=x x x x x f 若f(x)=3,则x=________.题型二：分段函数与方程、不等式问题【例6】函数,,,,,)4()42()2(31)(≥<<--≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x x f 若f(a)<-3,则a 的取值范围是________.【例7】已知函数,,,,)1()1()1(log 22)(21>⎩⎨⎧+--≤=-x x x x f x 且f(a)=-3，则f(6-a)=________.【例8】已知函数,,,,)0()0(2log )(31≤>⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x f x 若21)(>a f ,则a 的取值范围是______.。

热点一 分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量X 在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题． 例 1【山东省枣庄第八中学2019届高三1月考前测试】已知函数（ ）A ．8B ．6C ．3D ．1 【答案】C 【解析】 由函数,可得，则，解得.所以.故选C.2 分段函数与图象：分段函数的图象分段画.例 2.已知函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，化简得，因g x在上都是增函数.又，故选B.此()3 分段函数与方程已知函数值求自变量x或其它参数的值的问题，一般按自变量x的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.数形结合是解答此类问题的重要方法.例3【河北省衡水中学2019届高三上学期五调】已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B.4 分段函数与不等式将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.例4【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟】已知函数若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B5 分段函数与零点解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．讨论参数、数形结合是解答此类问题的重要方法.例5【2019年上海市普陀区高考一模】设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若则函数在区间上零点的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】由图可知：直线与在区间上的交点有8个，故选：D ．6 分段函数与解析式分段函数是定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时，也是分段求解析式的.例 6【2018届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）】已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时，，则不等式()0f x >的解集用区间表示为（ ）A. ()1,1-B.C.D.【答案】D【解析】f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （0）=0．设x ＜0，则-x ＞0，∵当x ＞0时，f （x ）=x 2-x ， ∴f （-x ）=x 2+x ，又f （-x ）=x 2+x=-f （x ），∴f （x ）=-x 2-x ，x ＜0．当x ＞0时，由f （x ）＞0得x 2-x ＞0，解得x ＞1或x ＜0（舍去），此时x ＞1． 当x=0时，f （0）＞0不成立．当x ＜0时，由f （x ）＞0得-x 2-x ＞0，解得-1＜x ＜0． 综上x ∈（-1，0）∪（1，+∞）． 故选D.7 分段函数与周期和最值分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.例 7【2018届山西省太原十二中高三1月月考】已知8m n -<<，函数若()f x 的值域为[]1,3-，则n m -的最大值与最小值之积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B点睛：这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间[)8,m -有最大值3，但无最小值，故函数的最小值1-只能在[],m n 取得，但是，因此[]1,m n ∈且12m ≤-，再根据()f x 的最大值为3，得到，所以n m -的最小值为32，最大值为4，它们的乘积为6. 例 8【2018届贵州省贵阳市第一中学高三12月月考】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，，则函数在区间3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，所以，又，所以()f x。

分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。

即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。

否则是断开的。

例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。

再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。

例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

高考分段函数知识点高考是每个学生都将经历的一次重要考试，它对于一个人的人生道路具有至关重要的影响。

其中，数学科目一直被认为是让人头疼的科目之一。

而在数学中，分段函数是一个重要的知识点。

本文将向大家介绍高考分段函数的相关知识点。

一、分段函数的定义分段函数是指由两个或多个函数组成的函数，其定义域上按照不同的条件来确定函数表达式。

通常情况下，每个函数表达式只在特定的子区间上有效。

二、分段函数的表示方式在数学中，对于分段函数的表示方式有两种常见的形式，分别是符号函数和条件函数。

1. 符号函数：符号函数是一种用数系的符号表示函数。

一般来说，符号函数的定义可以写成 f(x) = {±1, x＞0或x＜0}，表示在不同的区间上函数取不同的值。

2. 条件函数：条件函数是一种用条件表达式表示函数的形式。

它的定义可以写成 f(x) = {f₁(x), x ∈ D₁；f₂(x), x ∈ D₂；f₃(x), x ∈D₃……}，其中D₁、D₂、D₃……表示不同的区间，f₁(x)、f₂(x)、f₃(x)……表示不同的函数表达式。

三、分段函数的性质1. 连续性：一段函数在其定义域上是否连续是其性质之一。

对于分段函数而言，每个子区间内的函数表达式都是连续的，即在各个子区间的边界处函数值存在且相等。

2. 求导性质：在求导过程中，需要根据不同的子区间分别对函数进行求导。

首先，找到函数在定义域内的各个子区间，然后对每个子区间内的函数进行求导，最后将求导结果合并。

3. 极值问题：对于分段函数来说，极值问题也是一个值得关注的问题。

因为分段函数在定义域的不同子区间内可能存在多个极值点，所以需要根据实际题目的条件来确定具体的极值点。

四、解题技巧1. 确定分段函数的子区间：在解答分段函数的题目时，首先需要确定函数的定义域和区间。

这一步是解题的基础，也是问题的关键。

2. 绘制函数图像：根据所给的函数表达式和子区间，可以尝试绘制出函数的图像。

专题05分段函数(解析版)分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义,函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用.分段函数情形复杂,综合性强,即能有效考查复杂函数的图象和性质,又能体现分类讨论,数形结合的数学思想方法.因此,分段函数倍受高考命题人的青睐,是历年高考中的热点题型之一.分段函数易错点易错点1：定义域与相应的解析式分不清,用错解析式来解决问题；易错点2：忽略分段点的特殊性,要明确分段点的性质；易错点3：混淆分段函数单调性与其他函数单调性判断的不同点；易错点4：不能正确做出分段函数的图像；在分段函数性质的考查中,若能画出其大致图像,定义域,值域,最值,单调性,奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程,不等式等可用数形结合思想,等价转化思想,分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.题组一1．(2015新课标Ⅱ)设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥,则2(2)(log 12)f f -+= A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【解析】由于2(2)1log 43f -=+=,22log 121log 62(log 12)226f -===, 所以2(2)(log 12)f f -+=9．2.设2,0.()log ,0.x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________. 【解析】1211()log 1,(1),22g g e -==--=所以11(())2g g e=题组二3.若函数 则不等式的解集为____________. 【解析】∵,∴等价于001111333x x x x ≥⎧<⎧⎪⎪⎨⎨⎛⎫≥≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩或 解得3001x x -≤<≤≤或,综上[]-31x 的取值范围为，4．(2014新课标)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是______．【解析】当1x <时,由12x e-≤得1ln 2x +≤,∴1x <；当1x ≥时, 由132x ≤得8x ≤,∴18x ≤≤,综上8x ≤．5.(2017新课标Ⅱ)设函数1,0,()2,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩　则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【解析】当12x >时,不等式为12221x x -+>恒成立； 当102x <≤,不等式12112x x +-+>恒成立； 当0x ≤时,不等式为11112x x ++-+>,解得14x >-,即104x -<≤； 1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩1|()|3f x ≥1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩1|()|3f x ≥综上,x 的取值范围为1(,)4-+∞．题组三 ★6.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若则实数的取值范围是( ) A. B.C. D.【解析】由题意知()f x 在R 上为增函数,所以22,a a -> 21a -<<解得,故选C7．(2013新课标Ⅱ)已知函数=,若||≥,则的取值范围是( ) A ． B ． C ．[－2,1] D ．[－2,0]【解析】∵||=,∴由||≥得,且,由可得,则≥-2,排除A,B, 当=1时,易证对恒成立,故=1不适合,排除C,故选D ．题组四8．(2010新课标)已知函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ,若a ,b ,c 均不相等,且()f a = ()f b =()f c ,则abc 的取值范围是2(2)(),f a f a ->a (,1)(2,)-∞-⋃+∞(1,2)-(2,1)-(,2)(1,)-∞-⋃+∞2(2)(),f a f a ->()f x 22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩()f x ax a (,0]-∞(,1]-∞()f x 22,0ln(1),0x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩()f x ax 202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩0ln(1)x x ax >⎧⎨+≥⎩202x x x ax≤⎧⎨-≥⎩2a x ≥-a a ln(1)x x +<0x >aA ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)【解析】画出函数的图象, 如图所示,不妨设a b c << ,因为()()()f a f b f c == ,所以1ab = ,c 的取值范围是(10,12) ,所以abc 的取值范围是(10,12)．()()()2,,-3+2=0f x f x f x π⎧-≤≤⎪⎨⎪=-⎩2xcos 1x 12x 1x 19.已知函数的实根的个数是___.，则关于x 的方程＞，【解析】()()()()2-3+2=0=1=2f x f x f x f x 方等价于程或()()[]()1,1,>110,,f x f x x f π⎧-≤≤⎪-≤≤⎨-⎪-⎩=∈>2xcos 1x 121x 1x 1x 1函，当，时＞数,， ()2=1cos 111,022f x x x x x 时，或所以或π=-===± ()2=212,3f x x x 时，所以-==±()()2-3+2=0f x f x 的实根个数为5个综上知方程x yO 11012。

考点4 分段函数以及应用一、 知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值1.1考题展示与解读例1.（2017山东文9）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题. 【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 1.2【典型考题变式】1.【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2,8220,2x x x x x ，若)2()(+=a f a f ，则)1(a f =（ ）A.165 B. 2 C.6 D.217【答案】B【解析】由2x ≥时()28f x x =-+是减函数可知,若2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =,则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,故选B.2. 【变式2：改编结论】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = （ ）B.41 B. 45 C. 41或45D. 2【答案】C【解析】由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧=<<2110a a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-≥21)1(21a a ，解得14a =或45=a ，故选C【变式3：改编问法】已知f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=（ ）A ．B ．C ．1D ．﹣1【答案】C ．【解析】∵f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=﹣f （）=﹣f （）=﹣log 2=1，故选C ．【变式4：函数迭代】已知a ∈R ，函数()24,2,3, 2.x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a = ． 【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值．【解析】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2． 2.分段函数的最值与值域2.1考题展示与解读例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =-是函数()g x 的极大值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值域的并集就是函数的值域. 2.2【典型考题变式】 【变式1：改编条件】设函数的最小值是1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，4]B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，5]D ．[5，+∞） 【答案】B【解析】由题知，当x ＜1时，f （x ）=x 2﹣4x+a=（x ﹣2）2+a ﹣4，且为减函数，可得f （x ）＞f （1）=a ﹣3，由x≥1时，f （x ）递增，可得f （x ）的最小值为f （1）=1，由题意可得a ﹣3≥1，即a≥4，故选B ．【变式2：改编结论】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩，讨论)(x f 的值域.【答案】当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【解析】如图作出函数3()3h x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33h x x =-，知1x =-是函数()h x 的极大值点，1=x 是函数()h x 的极小值点，当1-<a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为)2(33a a a --- =0)1)(1(<-+a a a ，所以a a a 233-<-，所以函数)(x f 的值域为)2,(a --∞；当21≤≤-a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]2,(-∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为22≤-a ，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞；当2>a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为a a a 323-<-，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞；综上所述，当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣，1] B ．[，] C ．[，] D ．[，2] 【答案】B【解析】当x ∈[0，]时，y=﹣x ，值域是[0，]；x ∈（，1]时，y=，y′=＞0恒成立，故为增函数，值域为（，1]．则x ∈[0，1]时，f （x ）的值域为[0，1]，当x ∈[0，1]时，g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），为增函数，值域是[2﹣2a ，2﹣]，∵存在x 1、x 2∈[0，1]使得f （x 1）=g （x 2）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]≠∅，若[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]=∅，则2﹣2a ＞1或2﹣＜0，即a ＜，或a ＞．∴a 的取值范围是[，]，故选B ．3.分段函数的解析式3.1考题展示与解读例3．（2021年高考天津卷9）设a ∈R ，函数()()()22cos 22,,215,x a x a f x x a x a x aπ-π<⎧⎪=⎨-+++≥⎪⎩，若函数()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B ．7511,2,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．711,2,344⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【解题能力要求】本题主要考查分段函数、函数零点、数形结合思想、转化与化归思想，是难题. 【答案】A【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a π-π=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出． 【解析】()222150x a x a -+++=最多有2个根，()cos 220x a ∴π-π=至少有4个根，由22,2x a k k ππ-π=+π∈Z 可得1,24k x a k =++∈Z ，由1024k a a <++<可得11222a k --<<-． （1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤；当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤．（2）当x a ≥时，()()22215f x x a x a =-+++，()()()22Δ414582a a a =+-+=-，当2a <时，∆<0，()f x 无零点；当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点； 当2a >时，令()()22215250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点；∴若52a >时，()f x 有1个零点．综上，要使()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩，则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况． 【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，利用数形结合思想求解. 3.2【典型考题变式】【变式1：改变条件】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) （A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.【变式2：改编条件】已知函数f（x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【答案】D【解答】函数f（x）=，可得f（1﹣x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）=kx﹣k+有三个不同的实根，作出y=f（1﹣x）和y=kx﹣k+的图象，当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x≤1）相切于原点时，即k=时，两图象恰有三个交点；当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k=2（m﹣2），且km﹣k+=（m﹣2）2，解得m=1+，k=﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选D．【变式3：改编结论】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若方程()()=0f x g x - 恰有2个不同的解，则b 的取值范围是( ) （A ）()72,{}4+∞⋃ （B ）()2,+∞ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()(2)0f x f x b +--=有2个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知2b >或47=b ，故选.A.【变式4：改编问法】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =x x 42-，则方程2)(-=x x f 解的个数为 . 【答案】3【解析】当0<x 时，0>-x ，所以x x x f 4)()(2+-=-，因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-=x x 42+，所以x x x f 4)(2--=，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=0,404)(22x x x x x x x f ，，所以2)()(+-=x x f x g =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+--0,250,2522x x x x x x ，由)(x g y =的图象知，)(x g y =有3个零点，所以方程2)(-=x x f 解的个数为3.4.分段函数图像4.1考题展示与解读例4．（2021高考上海卷14）已知参数方程[]334,1,12x t t t y ⎧=-⎪∈-⎨=⎪⎩，下列选项的图中，符合该方程的是 （ ）【答案】B【解析】当0,0,0,t x y ===∴过原点，排除A ；当1t =时1,0x y =-=，排除C 和D ；当31230,340,0,,22x t t t t t =-===-=时，1230,,22y y y ==-=，故选B ． 4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，g （x ）=f （x ）+x +a ．若g （x ）存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0）B ．[0，+∞）C ．[﹣1，+∞）D ．[1，+∞）【命题意图探究】本题主要考查利用分段函数图像解含参数函数零点问题，是难题. 【答案】C【解析】由g （x ）=0得f （x ）=﹣x ﹣a ，作出函数f （x ）和y =﹣x ﹣a 的图象如图，当直线y =﹣x ﹣a 的截距﹣a ≤1，即a ≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g （x ）存在2个零点，故实数a 的取值范围是[﹣1，+∞），故选C ．【解题能力要求】数形结合思想、转化思想、分类整合思想、运算求解能力【方法技巧归纳】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.【变式2：改编条件】已知函数()22,0,{ ,0x x f x x x ≤=>，若函数()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A. ()(),14,-∞-⋃+∞B. ][(),14,-∞-⋃+∞ C. [)()1,04,-⋃+∞ D. [)[)1,04,-⋃+∞【答案】C【解析】()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，等价于()y f x =与()1y k x =-有两个交点，同一坐标系，画出()y f x =与()1y k x =-的图象，直线过()0,1时， 1k =-，直线与()20y xx =≥，相切时4k =，由图知， [)()1,04,k ∈-⋃+∞时，两图象有两交点，即k 的取值范围是[)()1,04,-⋃+∞，故选C.【变式3：改编结论】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，则函数||)(x x f y -=零点个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】A【解析】函数||)(x x f y -=零点个数，即为方程||)(x x f =解得个数，即为函数)(x f y =与函数||x y =交点个数，画出函数()f x 的图象与函数||x y =，由图像知，函数)(x f y =与函数||x y =交点个数0， 所以函数||)(x x f y -=零点个数为0，故选A.【变式4：改编问法】已知函数，则函数f (x )的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数，当x ＜0时，函数是二次函数，开口向下，对称轴为x=﹣1，排除选项B ，C ；当x≥0时，是指数函数向下平移1单位，排除选项A ，故选D ．5.分段函数性质5.1考题展示与解读例5【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}【命题意图探究】本题主要考查分段函数的性质及函数方程解的个数问题，考查数形结合思想、运算求解能力，是中档题. 【答案】C【解析】由()f x 在R 上递减可知43020131a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得1334a ≤≤，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C.【解题能力要求】数形结合思想、分类整合思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，] B ．[，+∞）C ．[，]D ．（，）【答案】C【解析】由于函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，2a≥e ﹣a ，解得a≥．排除A ，D ，当a=2时，x=1可得e x ﹣2x 2=e ﹣2；2a+lnx=4＞e ﹣2，显然不成立，排除B ，故选C ．【变式2：改编结论】已知()2243,0,23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩不等式()()2f x a f a x +>-在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】二次函数243x x -+的对称轴是2x =，所以该函数在(],0-∞上单调递减； 2433x x ∴-+≥，同样可知函数223x x --+， 2233x x ∴--+<，在()0,+∞上单调递减， ()f x ∴在R 上单调递减，；，所以由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a < , 2x a ∴<在[],1a a +上恒成立，()21;2a a a ∴+<∴<-，所以实数a 的取值范围是(),2-∞-，故选A.【变式3：改编问法】已知函数则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）不是周期函数B ．f （x ）在上是增函数C ．f （x ）的值域为[﹣1，+∞）D ．f （x ）的图象上存在不同的两点关于原点对称 【答案】D 【解析】函数的图象如图所示，则f （x ）不为周期函数，A 正确；f （x ）在[﹣，+∞）递增，B 正确；f （x ）的最小值为﹣1，无最大值，则C 正确；由于x ＜0时，f （x ）=sinx ，与原点对称的函数为y=sinx （x ＞0），而sinx=x 在x ＞0无交点，则D 不正确，故选D ．6.分段函数的综合应用6.1考题展示与解读例2【2018全国卷Ⅰ】设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【命题意图探究】本题主要考查分段函数不等式及分类整合思想，是中档题. 【答案】D【解析】当0x ≤时，函数()2xf x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥，所以0x <，故选D ．【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.6.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，则不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ）的解集是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】函数f （x ）=，可得x≥0，f （x ）递增；x ＜0时，f （x ）递增；且x=0时函数连续，则f （x ）在R 上递增，不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ），可化为x+2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故选C ．【变式2：改编结论】．已知函数(),0{2,lnx x e f x lnx x e<≤=->，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ）A. ()2,e eB. ()21,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】作出)(x f 的图像，不妨设c b a <<，由图知，201a b e c e <<<<<<,由题知，|ln ||ln |b a =，即b a ln ln =-，所以0)ln(ln ln ==+ab b a ，所以ab =1,则c abc =),(2e e ∈,故选A.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数y=f （x ）﹣a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为（ ） A ．[4，5） B ．（4，5] C ．[4，+∞） D ．（﹣∞，4]【答案】A【解析】当x ＞0时，f （x ）=x+﹣3≥2﹣3=1，可得f （x ）在x ＞2递增，在0＜x ＜2处递减，由f（x ）=e，x≤0，当x ＜﹣1时，f （x ）递减；﹣1＜x ＜0时，f （x ）递增，可得x=﹣1处取得极小值1，作出f （x ）的图象，以及直线y=a ，可得e=e=x 3+﹣3=x 4+﹣3，即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1=﹣2﹣x 2，﹣1＜x 2≤0，x 3﹣x 4=﹣=，可得x 3x 4=4，x 1x 2+x 3x 4=4﹣2x 2﹣x 22=﹣（x 2+1）2+5，在﹣1＜x 2≤0递减，可得所求范围为[4，5），故选A ．三、课本试题探源必修1 P39页习题1.3 A 第6题：已知函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =)1(x x +.画出函数)(x f 的图象，并求出函数的解析式.【解析】当0<x 时，0>-x ，所以)1()(x x x f --=-， 因为函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数， 所以)1()()(x x x f x f --=-=-， 所以)1()(x x x f -=， 所以函数的解析式⎩⎨⎧≥+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f ，函数图象如下图所示：四．典例高考试题演练一、单选题1．（2021·四川成都零模（文））已知函数2log (2),1()e ,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则(2)(ln 4)f f -+=（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【分析】分别求出()2f -和()ln 4f 的值再求它们的和，从而可得正确的选项. 【详解】()22log 42f -==，()ln4ln 44f e ==，故(2)(ln 4)6f f -+=，故选：C. 【点睛】易错点睛：本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小选择合适的解析式来计算，本题属于基础题.2．（2021·四川射洪模拟（理））定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[2]2=.当*[))0,(x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A .记集合n A 中元素的个数为n a ，则2020211i i a =-∑的值为（ ） A ．40402021B ．20192021C ．20192020D ．20191010【答案】D【分析】先根据条件分析出当[)0,x n ∈时，集合n A 中的元素个数为222n n n a -+=，进而可得111211n a n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再结合裂项相消法进行求和可得结果. 【详解】因为[][)[)[)[)0,0,11,1,22,2,3......1,1,x x x x n x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[][)[)[)()[)0,0,1,1,22,2,3......1,1,x x x x x x x n x x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[]x x 在各个区间中的元素个数分别为：1,1,2,3,4,......,1n -，所以当[)*0,,x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A ，集合n A 中元素个数为：()()2121123 (1122)n n n n n a n --+=+++++-=+=，所以()1112211n n a n n ⎛⎫=-≥ ⎪--⎝⎭， 所以2020211111112019212...22112232019202020201010i ia =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，故选：D. 3．（2021·山东高三其他模拟）已知函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1a ∈B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】C 【分析】 将条件()()12120f x f x x x -<-等价于函数函数()f x 为定义域上的单调减函数，由分段函数的单调性要求，结合指数函数、一次函数的单调性得到关于a 的不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数()f x 对任意的12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，即函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩为R 上的减函数，可得0120,123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩解得304a <≤，故选:C.4．（2021·江苏南京模拟（理））我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈.定义：(),00,0N n W N N n ≥⎧⎨<⎩的整数部分的位数＝的非有效数字的个数，如()()()2211.2103,(1.2310)2,3102, 3.001101W W W W --⨯=⨯=⨯=⨯=，则下列说法错误的是（ ）A ．当1,1M N >>时，()()()W M N W M W N ⋅=+B ．当0n <时，()W N n =-C ．当0,()1n W N n >=+D ．若1002,lg 20.301N ≈＝，则()31W N = 【答案】A【分析】A ．理解()W N 的含义，举例分析即可；B ．根据0n <分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；C ．根据0n >分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；D ．先将N 化为10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈的形式，然后计算出()W N 的值.【详解】当[)0,100N ∈时，N 的整数部分位数为2，当[)100,1000N ∈，N 的整数部分位数为3，一般地，)()110,100,1,2,3,4,......n n N n +⎡∈=⎣时，N 的整数部分位数为1n +； 当[)0.1,1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为1，当[)0.01,0.1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为2，一般地，)()110,101,2,3,4,5,......n n N n +⎡∈=-----⎣时，N 的非有效数字0的个数为n -，A ．取210,10M N ==，所以()()()()33,2,104W M W N W M N W ==⋅==，()()325W M W N +=+=，所以()()()W M N W M W N ⋅≠+，故错误；B ．当0n <时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 的非有效数字0的个数为n -，所以()W N n =-，故正确；C ．当0n >时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 整数部分位数为1n +，所以()1W N n =+，故正确； D ．因为1002N ＝，所以lg =100lg230.1N ≈，所以30.110N ≈，所以)303110,10N ⎡∈⎣，所以()30131W N =+=，故正确，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解()W N 的含义以及计算的方法， 通过对10n N a =⨯的分析，首先判断n 与0的关系，然后决定采用哪一种计算方法（类似分段函数）.5．（2021·安徽皖江名校联考）已知函数()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，方程()10f x -=有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,1)2B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．()1,+∞【答案】B【分析】根据已知条件对a 进行分类讨论：01a <<、1a >，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程()10f x -=有两解时a 所满足的不等式，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，所以0a >且1a ≠， 当01a <<时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递增，所以()()max 11f x f =-=； 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，且()()12f x f a >-=， 因为方程()10f x -=有两解，所以21a <，所以102a <<； 当1a >时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递减，()()min 11f x f =-=； 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，()()12f x f a >-=， 因为方程()10f x -=要有两解，所以21a <，此时不成立. 综上可得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】方法点睛：根据方程解的个数求解参数范围的常见方法：方法（1）：将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过图象直观解答问题；方法（2）：若方程中有指、对数式且底数为未知数，则需要对底数进行分类讨论，然后分析()f x 的单调性并求解出其值域，由此列出关于参数的不等式，求解出参数范围.6．（2021·山东济南模拟）若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,2C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得. 【详解】因函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则有2y ax =-在(,2]-∞上递增，()()32ln 1y a x =--在(2,)+∞上也递增， 根据增函数图象特征知，点(2,22)a -不能在点(2,0)上方，于是得0320220a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ ，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,1. 故选：A7．（2021·山西名校联考）已知函数()cos ()ln f x x g x x ==，用max{,}a b 表示a ，b 中的最大值，则函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论可得结果. 【详解】 分三种情况讨论：① 当1x >时，()ln 0g x x =>，所以()()0h x g x ≥>，故()h x 无零点；② 当1x =时，(1)cos110f =-<，(1)0g =，所以(1)0h =，故1x =是()h x 的零点；③ 当01x <<时，()ln 0g x x =<，所以()f x 的零点就是()h x 的零点.显然，()cos f x x =(0,1)上单调递减，且(0)10=>f ，(1)cos110f =-<， 故()f x 在(0,1)内有唯一零点，即()g x 在(0,1)内有唯一零点. 综上可知，函数()h x 在0x >时有2个零点. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论.8．（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数()22,0313,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a->-成立，则满足条件的整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．无数【答案】C 【分析】作出f （x ）的函数图象，利用直线的斜率，根据不等式只有1整数解得出a 的范围． 【详解】作出f （x ）的函数图象如图所示：()1f x x a--表示点(,())x f x 和点(,1)a 所在直线的斜率，即曲线上只有一个点(,())x f x 且x 是整数和点(,1)a 所在直线的斜率大于零.如图所示，动点(,1)a 在直线1y =上运动.因为(0)0,(1)3,(2)0f f f ===,当[1,0]a ∈-时，只有点(1,3)这个点满足()10f x x a ->-，当[1,2]a ∈时，只有点(0,0)这个点满足()10f x x a->-. 所以a ∈][1,01,2⎡⎤-⋃⎣⎦.所以满足条件的整数a 有4个.故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的图像，考查直线的斜率，关键在于考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力. 二、多选题9．（2021·重庆高三三模）()f x 是定义在R 上周期为4的函数，且()(](]1,112,1,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，则下列说法中正确的是（ ） A ．f ()x 的值域为[]0,2B ．当(]3,5x ∈时，()f x =C ．()f x 图象的对称轴为直线4,x k k Z =∈D ．方程3f x x 恰有5个实数解【答案】ABD 【分析】画出()f x 的部分图象结合图形分析每一个选项即可. 【详解】根据周期性，画出()f x 的部分图象如下图所示，由图可知，选项A ，D 正确，C 不正确；根据周期为4，当(3,5]x ∈时，()(4)f x f x =-==B 正确.故选：ABD.10．（2021·辽宁铁岭二模）设函数()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 值域为[)1,-+∞C ．存在00x <，使得()()00f x f =D ．()f x 与()f x -具有相同的单调区间【答案】BC【分析】根据函数奇偶性的定义判断A ，由分段函数求值域确定B ，由余弦函数性质确定C ，由二次函数及余弦函数的单调性确定D.【详解】因为()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≤-=⎨>⎩.所以()()f x f x -≠，()f x 不是偶函数，故选项A 错误. 当0x ≥时，211x +≥，当0x <时，cos [1,1]x ∈-，所以()f x 值域为[)1,-+∞，故B 正确； 因为()01f =，()21f π-=，选项C 正确.因为()f x 具有单调性的区间与()f x -具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，选项D 错误(由()f x -表达式也可以看出).故选：BC 。