材料力学叠加法经典例题

第六节 简单超静定梁
q
A
B
l
求解简单超静定梁的基本步骤 ——
1. 解除多余约束，以相应的多余未知力代之作用，得到原超静 定梁的相当系统；
2. 根据多余约束处的位移条件，建立变形协调方程；
3. 计算相当系统在多余约束处的相应位移，由变形协调方程得 补充方程；
4. 由补充方程求出多余未知力，即转为静定问题。
F
2EI
EI
A
B
C
Байду номын сангаас
l/2
l/2
[例3] 外伸梁如图，试用叠加法计算截面 C 的挠度 wC 和转角C ，
设梁的抗弯刚度 EI 为常量。
F
A
B
C
l
a
[例4] 如图，在简支梁的一半跨度内作用均布载荷 q ，试用叠加 法计算截面 C 的挠度 wC。设梁的抗弯刚度 EI 为常量。
q
A
C
B
l/2
l/2
第五节 弯曲刚度计算
max
400
故梁的刚度满足要求
[例2] 图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力 F 作用。已知 F =
35 kN，跨度 l = 4 m ，许用应力 [ ] = 160 MPa ，许用挠度 [w ] =
l / 500 ，弹性模量 E = 200 GPa 。试选择工字钢型号。
解： 1）强度计算
最大弯矩
M max
w Fl3 max 48EIz
根据梁的刚度条件
w Fl3 ≤w l
max 48EIz
500
得梁截面对中性轴的惯性矩
Iz
≥ 500Fl2 48E

2.92 105
m4

P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解：AC段：M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件： x 0时，y 0
l 由对称条件： x 时，y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
最大转角和最大挠度分别为：
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解： AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件： x l时,y=0, =0
得：
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件： 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件： x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件： x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件： 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI

《材料力学》练习题（弯曲变形）
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姓名：学号：成绩：
1、试用积分法求如图所示梁：
（1）挠曲线方程，并绘出挠曲线的大致形状；
（2）截面A处的挠度和截面B处的转角。

（EI为已知）
2、用积分法求图所示各梁的挠曲线方程、转角方程和B截面的转角、挠度。

（设EI=常数）
3、试用积分法求图中截面A 处的挠度和转角。

4、外伸梁受力如图所示，试用积分法求A θ、B θ及D y 、C y 。

（设EI =常数）
6、试用叠加法求如图所示简支梁C截面的挠度和两端的转角。

8、如图所示梁AB 的右端由拉杆BC 支承。

已知：4kN/m q =，2m l =，3m h =，梁的截面为边长200mm b =的正方形，材料的弹性模量110GPa E =；拉杆的横截面面积2250mm A =，材料的弹性模量2200GPa E =。

试求拉杆的伸长l ∆，以及梁的中点在竖直方向的位移。

得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI

解： (3) 梁可简化， 为图示简朴支梁。
B
(m / 2)a 6EI
ma 12EI
（逆时针）
wC 0
mm
m
2
B
C
m
m
2a a a a a 2a
4．如图所示各梁旳抗弯刚度为EI，试用叠加法计算梁 B截面旳转角以及C点旳挠度。
解： (4) 梁可简化，为图示简朴支梁。 B
q
2qqaa22
C
B
qa3 24EI
φ w3 w2
q EI a
A a/4
θ w1
w1
a 4
qa3 a qa4 24EI 4 96EI
w2
q 8EI
a 4
4
qa 4 2048EI
φ w3
w3
a 4
a 3EI
1 2
q
a 4
2
a 4
qa 4 384EI
w2
w
w1
w2
w3
15qa 4 2048EI
7．试用叠加法计算图示各梁C点旳挠度。
解： (1) 梁可简化， 为图示悬臂梁。
A
B
F (2a)2 2EI
Fa 2 2EI
B
3Fa 2 2EI
（逆时针）
wC
wA
F (2a)3 3EI
( Fa3 3EI
Fa 2 2EI
a)
F
F
B C
Fa
a
a
F
a
BF
C
F
11Fa3 wC 6EI （向下）
4．如图所示各梁旳抗弯刚度为EI，试用叠加法计算梁 B截面旳转角以及C点旳挠度。
A
先考虑载荷作用下梁旳变形。

B
DC
1
3
2
A
B
DC
1
3
2
A
1 32
A
Δl1
Δl3
F
A'
A'
变形几何方程为 Δl1 Δl3 cos
物理方程为
Δl1
FN1l1 EA1
Δl3
FN3l cos
E3 A3
（3）补充方程
FN1
FN 3
EA E3 A3
cos2
（4）联立平衡方程与补充方程求解 B
DC
FN1 FN2
FN1 cos FN2 cos FN3 F 0
d
[] = 60MPa ,许用挤压应力为 [bs]= 200MPa .试校核销钉的
强度.
F
B
A
d1
d d1
F
解: （1）销钉受力如图b所示
F
剪切面
F
d
F
F
2
2
挤压面
d
B
A
d1
d d1
F
（2）校核剪切强度
剪切面
F
由截面法得两个面上的剪力
FS
F 2
d
剪切面积为 A d 2
4
FS 51MPa
3
2
1
l
a
a
B
C
A
F
解：（1） 平衡方程
Fx 0 Fx 0 l
3 a
2 a
1
Fy 0
B
C
A
FN1 FN2 FN3 F 0
MB 0
F FN3
FN2
FN1
3 a
2 a
1

一、一结构如题一图所示。

钢杆1、2、3的横截面面积为A=200mm 2，弹性模量E=200GPa,长度l =1m 。

制造时3杆短了△=0。

8mm.试求杆3和刚性梁AB 连接后各杆的内力。

（15分）aalABC123∆二、题二图所示手柄，已知键的长度30 mm l =，键许用切应力[]80 MPa τ=，许用挤压应力bs[]200 MPa σ=，试求许可载荷][F 。

（15分）三、题三图所示圆轴，受eM 作用。

已知轴的许用切应力[]τ、切变模量G ,试求轴直径d 。

(15分）四、作题四图所示梁的剪力图和弯矩图。

（15分)五、小锥度变截面悬臂梁如题五图所示,直径2bad d =，试求最大正应力的位置及大小。

（10分）六、如题六图所示,变截面悬臂梁受均布载荷q 作用，已知q 、梁长l 及弹性模量E .试用积分法求截面A 的得分评分人F键40633400Aal bM eBd a a aqqaqa 2dbBda AF挠度w A 和截面C 的转角θC .（15分)七、如图所示工字形截面梁AB ,截面的惯性矩672.5610zI -=⨯m 4，求固定端截面翼缘和腹板交界处点a 的主应力和主方向。

（15分）一、（15分)（1）静力分析（如图（a）)1N F2N F3N F图(a)∑=+=231,0N N N yF F F F（a)∑==31,0N N CF F M(b)（2）几何分析（如图（b)）1l∆2l∆3l∆∆图（b）wql /3x lhb 0b (x )b (x )BAC 50kN AB0.75m303030140150zya∆=∆+∆+∆3212l l l(3）物理条件EA l F l N 11=∆，EA l F l N 22=∆，EAl F l N 33=∆ （4）补充方程∆=++EAlF EA l F EA l F N N N 3212 （c） （5）联立（a）、（b）、(c)式解得:kN FkN FF N N N 67.10,33.5231===二、(15分）以手柄和半个键为隔离体，S0, 204000OM F F ∑=⨯-⨯=取半个键为隔离体，bsS20F F F ==由剪切：S []s FA ττ=≤，720 N F = 由挤压:bs bs bs bs[][], 900N FF Aσσ=≤≤取[]720N F =.三、（15分）eABM M M +=0ABϕ=， A B M a M b ⋅=⋅得 e B a M M a b =+, e A b MM a b=+当a b >时 e316π ()[]M ad a b τ≥+；当b a >时 e316π ()[]M bd a b τ≥+。

G = [σ ]A(l) − F
所以石柱体积为
V3
=
G ρ
=
[σ ]A(l) − ρ
F
= 1×106 Pa ×1.45 m 2 −1000 ×103 N = 18 m3 25 ×103 N/m3
三种情况下所需石料的体积比值为 24∶19.7∶18，或 1.33∶1.09∶1。 讨论：计算结果表明，采用等强度石柱时最节省材料，这是因为这种设计使得各截面的正应 力均达到许用应力，使材料得到充分利用。 3 滑轮结构如图，AB 杆为钢材，截面为圆形，直径 d = 20 mm ，许用应力 [σ ] = 160 MPa ，BC 杆为木材，截面为方形，边长 a = 60 mm ，许用应力 [σ c ] = 12 MPa 。试计算此结构的许用载
= 1.14 m 2
A
2=
F+ρ [σ ] −
A1 l1 ρ l2
=
1000 ×103 N + 25 ×103 N/m3 ×1.14 m 2 × 5 m 1×106 N/m 2 − 25×103 N/m3 × 5 m
= 1.31 m 2
A
3=
F
+ ρA1l1 + ρA2l2 [σ ] − ρ l3
= 1000 ×103 N + 25 ×103 N/m3 ×1.14 m 2 × 5 m + 25×103 N/m3 ×1.31 m 2 × 5 m = 1.49m 2 1×106 N/m 2 − 25 ×103 N/m3 × 5 m
解：1、计算 1-1 截面轴力：从 1-1 截面将杆截成两段，研究上半段。设截面上轴力为 FN1 ，
为压力（见图 b），则 FN1 应与该杆段所受外力平衡。杆段所受外力为杆段的自重，大

qA
q L3 24 E I
qa 3 3 EI
5 q4 E I
A
FA
qA
a2
12 EI
(3 F
4 qa )
5 qa 4 F a 3 yC y FA yqA 24 E I 6 E I
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
例题2：求图示梁C截面的挠度
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
200
yc
z
F=20 kN
D C
3m
1m
My
max
30
max
Iz
10103 158103 6010108
26.3MPa
max
t
40MPa
前情回顾：弯曲变形的度量 积分法
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
F q 例题1：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度. 解：a)载荷分解如图 b)由梁的简单载
A
C
a
a
F
a
a
q
a
a
+
=
荷变形表(教材P112页)
查简单载荷引起的变形
FA
F L2 16 EI
Fa2
4 E I F L3
Fa3
y FC 4 8 E I 6 E I
§ 3 . 8 梁的强度计算
习题：铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用拉应力 [σt]= 40 MPa,许用压应力 [σc]=160 MPa。试按正应力强度条件校核
梁的强度。若载荷不变，但将T形横截面倒置，

3
1 3 2 2 1 l 3 EIy2 qlx ql x q x C2 x D2 12 16 24 2
4
1 2 3 2 qlx ql x C1 4 8 1 3 EIy1 qlx 3 ql 2 x 2 C1 x D1 12 16 EIy1
M =3ql /8 A
2
q B C x
ql/2 y
x1 x2 l/2
(b)
l/2
1 3 2 M1 ( x) qlx ql EIy1 2 8 1 2 3 2 qlx ql x C1 EIy1 4 8 1 3 2 2 3 EIy1 qlx ql x C1 x D1 12 16
3
2
代入积分常数可得：
13ql C y(l ) 48EI
4
M =5ql /8
A
2
q
B x1 x2 l/2
(b)
ql/2
C
71ql yC y (l ) 384 EI
4
ql
l/2
补例：采用叠加法求梁截面C处的挠度yC和转角 。梁的抗弯 刚度EI为常数。 q ql/2 解：分为图示两种荷载 B 单独作用的情况 C A
3
A
yC
l/2
(b)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l/2
q
B C
A
l/2 l/2
θB
yB
y C1
ql/2
B
A
l/2 l/2
C
y C2
7.2（d）试用积分法求图示梁 C 截面处的挠度yC和转角θC 。 梁的抗弯刚度EI为常数。 q qa 解：支座反力如图， A B 本题应分3段建立 C 挠曲近似微分方程。 3qa/ 4 5qa/ 4 ( d ) 因此，写出3段弯矩 x1 x2 方程为：

2a
(h)
a
1 1 M C ( 291 ) 122 ( 215 ) 131KN m 2 2
绘出叠加后的弯矩图如图 e 所示。
P1
D
P2
A C B
P3
E D
P1
A B
E
a
a
a
a
(f)
a
2a
(e)
E3 P D A B D
P2
A C B E
a
(h)
a
(g)
2a
a
+
P
x q
(c)
x
叠加原理：由几个外力共同作用时所引起的某一参数 （内力，应力，位移），就等于每个外力单独作用时所 引起的该参数值的代数和。 例题4-17 试按叠加原理作图 a 所示简支梁的弯矩图， 设 m
ql ，求梁的极值弯矩和最大弯矩。 8
m q
A
2
x
l
m
m
q
A
q
B
A B A B
x
l
l
l
+
+
D
a
a
(a)
a
a
a
2a
(b)
P2
A C B
E D
P3
A B E
a
(C)
a 例题4-18图
2a
(d)
a
P1
D
A B
P2
E D
A C B
E
a
2a
(g)
a
a
(f)
+
P3
D A B E
M A 291 0 0 291KN m M B 0 0 215 215KN m

m 1
x
m2
l
CL9TU21
解：由梁的挠曲线近似微分方程 EIv ′′ = M ( x ) 知，在梁挠曲线的拐点处有： = 0 在梁挠曲线的拐点处有： M 从弯矩图可以看出： 从弯矩图可以看出：
m 1
x
m2
m1 1 = m2 2
l
M m 1
m2
例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂 两根材料相同、 梁Ⅰ、Ⅱ如图示，Ⅱ梁的最大挠度是Ⅰ梁的多 如图示， 梁的最大挠度是Ⅰ 少倍？ 少倍？
CL9TU31
图示梁Ｂ处为弹性支座， 例： 图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度
EI 端挠度v 端挠度 k = 3 。求C端挠度 C。 2a
CL9TU32
梁不变形， 解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的 点挠度为 梁不变形 仅弹簧变形引起的C点挠度为 3 qa 3qa 4 vC 1 = = ↓ 2 k EI
CL9TU40
解：由刚度条件
v max
得
所以
Pl l = ≤ [v ] = 48 EI 500
3
48 EI P≤ = 7.11 kN 2 500l
[ P ] = 7.11 kN
σ max
M max Pl = = = 60MPa ≤ [σ ] Wz 4Wz
所以满足强度条件。
§9-4 提高弯曲刚度的措施
P
l
Pl − 3EI
2P
3
2l
CL9TU22
作用， 例：简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若 简支梁在整个梁上受均布载荷 作用 其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？ 其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？
q
l
vmax
5ql =− 384EI

L1AL101ADB （3）偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点 到形心之距离ｅ和中性轴到形心距离ｄ之间的关系有四种答案：（A ） ｅ＝ｄ； （B ） ｅ＞ｄ；（C ） ｅ越小，ｄ越大； （D ） ｅ越大，ｄ越小。

正确答案是＿＿＿＿＿＿。

答案（C ）1BL102ADB （3）三种受压杆件如图。

设杆１、杆２和杆３中的最大压应力（绝对值）分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，现有下列四种答案：（A ）max1σ＝max 2σ＝max3σ； （B ）max1σ＞max 2σ＝max3σ；（C ）max 2σ＞max1σ＝max3σ； （D ）max 2σ＜max1σ＝max3σ。

正确答案是＿＿＿＿＿＿。

答案（C ）1BL103ADD （1）在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现有四种答案：（A ）Ａ点； （B ）Ｂ点； （C ）Ｃ点； （D ）Ｄ点。

正确答案是＿＿＿＿＿＿。

答案（C ）1AL104ADC （2）一空心立柱，横截面外边界为正方形， 内边界为等边三角形（二图形形心重 合）。

当立柱受沿图示ａ－ａ线的压力时，此立柱变形形态有四种答案：（A ）斜弯曲与中心压缩组合； （B ）平面弯曲与中心压缩组合；（C ）斜弯曲； （D ）平面弯曲。

正确答案是＿＿＿＿＿＿。

答案（B ）1BL105ADC （2）铸铁构件受力如图所示，其危险点的位置有四种答案：（A ）①点； （B ）②点； （C ）③点； （D ）④点。

正确答案是＿＿＿＿＿＿。

答案（D ）1BL106ADC （2）图示矩形截面拉杆中间开一深度为ｈ／２的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处 的最大应力的增大倍数有四种答案：（A ）２倍； （B ）４倍； （C ）８倍； （D ）１６倍。

正确答案是＿＿＿＿＿＿。

答案（C ）1BL107ADB （3）三种受压杆件如图，设杆１、杆２和杆３中的最大压应力（绝对值）分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，它们之间的关系有四种答案：（A ）max1σ＜max 2σ＜max3σ； （B ）max1σ＜max 2σ＝max3σ；（C ）max1σ＜max3σ＜max 2σ； （D ）max1σ＝max3σ＜max 2σ。

先求 AC 段： （1）列弯矩方程 在距原点 x 处取截面，列出弯矩方程为
-
(a)
(2) 列挠曲线近似微分方程并积分 将弯矩方程带入 E2Iw’’=M（x）
（b）
通过两次积分，得：
(c)
(3) 确定积分常数 悬臂梁在固定处的挠度和转角均为零，即： 在 x=0 处，
将这两个边界条件代入式（c）和（d），得：
(d)
（e） （f）
（4）建立转角方程和挠度方程 将求得的积分常数 C 和 D 代入式（c）（d），得 梁的转角和挠度方程分别为：
（g）
（5）求 C 点的转角和挠度 x=l/2 得：
（h）
再求 CB 段： （1）列弯矩方程
(2) 列挠曲线近似微分方程并积分 将弯矩方程带入
通过两次积分，得：
(3) 确定积分常数 悬臂梁在固定处的挠度和转角均为零，即： 在 x=0 处， 将这两个边界条件代入上式弯矩方程，得： （4）建立转角方程和挠度方程 将求得的积分常数 C’和 D’代入上式（c）（d）， 得梁的转角和挠度方程分别为：
（5）求 B 点的转角和挠度 得：
最后，叠加 B 点的转角=AC 点的转角+CB 的转角 B 点的挠度=AC 的挠度+ C 点的转角*BC 长度 段的惯性矩是 CB 段的 2 倍，用积分法求 B 点的转角和位移。
解：
解题思路 ①先求 AC 段，求出 C 点的转角和位移，再求 BC 段，把 C 看成固定端，求出 B 的转角和位移②叠加：B 点 的转角可以直接相加，位移要考虑 BC 段由于 C 点的转动引起（AC 引起的）B 段的转动位移（=C 点的转角 *BC 长度）.

2．6叠加法作弯矩图当梁在荷载作用下变形微小，因而在求梁的支反力、剪力、弯矩时可直接代入梁的原始尺寸进行计算，且所得结果与梁上荷载成正比。

在这种情况下，当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所引起的梁的支反力或内力，将不受其他荷载的影响。

所以在计算梁的某截面上的弯矩时，只需先分别算出各项荷载单独作用时在该截面上引起的弯矩，然后求它们的代数和即得到该截面上的总弯矩。

这种由几个外力共同作用引起的某一参数(内力、位移等)等于每一外力单独作用时引起的该参数值的代数和的方法，称为叠加法。

叠加法的应用很广，它的应用条件是：需要计算的物理量(如支反力、内力以及以后要讨论的应力和变形等)必须是荷载的线性齐次式。

也就是说，该物理量的荷载表达式中既不包含荷载的一次方以上的项，也不包含荷载的零次项。

例题2-9试按叠加原理做例题2-9图(a)所示简支梁的弯矩图。

求梁的极值弯矩和最大弯矩。

解：先将梁上每一项荷载分开(见图(b)、图(c))，分别做出力偶和均布荷载单独作用的弯矩图(见图(d)、图(e))两图的纵坐标具有不同的正负号，在叠加时可把它们画在x 轴同一侧(见图f)。

于是两图共有部分，其正、负纵坐标值互相抵消。

剩下的纵距(见图(f)中阴影线部分)即代表叠加后的弯矩值。

叠加后的弯矩图仍为抛物线。

如将它改画为以水平直线为基线的图，即得通常形式的弯矩图(见图(曲)。

求极值弯矩时，先要确定剪力为零的截面位置。

由平衡方程0Bm =∑可求得支反,剪力方程为Q 即可求出极值弯矩所在截面的位置。

令()0x极值弯矩为由例题2-9图（g)可见，全梁最大弯矩为本例中的极值弯矩并不大于梁的最大值弯矩。

当梁上的荷载较复杂时，也可将梁按荷载情况分段，求出每一段梁两端截面的内力。

这时该段梁的受载情况等效于一受相同荷载的简支梁 (见图2-12(a)、(b))。

因为每一段梁在平面弯曲时的内力，不外是轴力N、剪力Q和弯矩M。

由于轴力N不产生弯矩，故在作弯矩图时可将它略去，剩下的梁端剪力1Q，2Q和梁端弯矩1M、2M，及荷载对梁段的作用，可用图2-12(b)所示的简支梁上相应的荷载来代替(梁段端截面上的剪力可由梁的支反力提供，故图中未画出)。

3
θ
B2
P Pa
f c f c1 f c 2
pa PaL fc a 3EI 3EI
例题6 欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。
解：
2 Pa ( 2 a ) 5q(2a) wC 16EI 384EI
4
0
5 P qa 6
例题7 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。 解:
wc1
l 3 P( ) 2 3EI
2EI
B
EI
Pl 3 24 EI
A
C
l/2 l/2
( )
p B
2. 解除AB段的刚化，并令BC段刚化。
l 1 l P( ) 3 Pl ( ) 2 3 5 Pl 2 2 2 wB () 3 2 EI 2 2 EI 96EI
θB l 2 1 l ) Pl 3Pl 2 2 2 2 2 2 EI 2 EI 16EI P(
θc1
pa f c1 3EI pa2 c1 2 EI fc1
3
2）AB部分引起的位移fc2、 θc2
θ
A
P
B2
B
刚化 EI=C来自fc2PaL B2 3EI fc2 B2 a
PaL a 3EI
c c1 B 2
Pa2 PaL c 2 EI 3 EI
例题 2
解: 为了能利用简单荷载作用 下梁的挠度和转角公式， 将图a所示荷载视为与跨 中截面C正对称和反对称 荷载的叠加(图b)。
例题 2
C
A1
wC
B1
在集度为q/2的正对称均 布荷载作用下，查有关梁的 挠度和转角的公式，得
5q / 2l 4 5ql 4 wC 1 384EI 768EI ql A1 24EI 48EI q / 2l 3 ql 3 B1 24EI 48EI

注意：各种钢材（或各种铝合金）的 E 基本相同
钢与合金钢： E (200 ~ 220) GPa 铝 合 金：E (70 ~ 72) GPa
梁跨度的合理选取
d max
Fl 3 3 EI
M max Fl
M max l
d max
Fl 3 48 EI
M max
Fl 4
d max l 3
载 荷 叠 加
分 段 变 形 叠 加
三种典型载荷
简支梁、悬臂梁
加附加载荷
§6 简单静不定梁
静不定度与多余约束
简单静不定梁分析方法 例题
静不定度与多余约束
4-3=1 度 静不定 5-3 = 2 度 静不定 静不定度 ＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数
多余约束 凡是多于维持平衡所必须的约束
选No22a，Wz 3.09 10-4 m3， I z 3.40 10-5 m4
指定截面的位移控制
w d

例如滑动轴承处
0.001 rad
梁的合理刚度设计 横截面形状的合理选择
使用较小的截面面积 A，获得较大惯性矩 I 的截面形 状，例如工字形与盒形等薄壁截面
材料的合理选择
影响梁刚度的力学性能是 E ，为提高刚度，宜选用E 较高的材料
静不定度＝多余约束数 多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩
简单静不定梁分析方法
算例 求梁的支反力
一度静不定 选 Fby 为 多余力
wB 0 －变形协调条件
3 5Fl 3 FBy l wB －物理方程 48 EI 3 EI
5F 16 M A 0, 得 M A 3Fl / 16 FBy