2020届广东省深圳市高三下学期第二次线上统一测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合11|22,|ln 022xA xB x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=<≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭,则()R A B =I ð( )A ．∅B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,1-【答案】B【解析】求解指数不等式与对数不等式化简集合A 、B ，再由交、并、补集的混合运算得答案． 【详解】1{|22}{|11}2x A x x x =<=-<Q 剟，113{|()0}{|}222B x ln x x x =-=<剟， 3{|2R B x x ∴=>ð或1}2x „，则12(1,)A B ⎛⎤- ⎥⎝⎦=R I ð．故选：B ． 【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查集合的交、并、补混合运算，属于基础题.2．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由题意666cos sin cos sin5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据复数的几何意义结合6cos05π<、6sin 05π<即可得解. 【详解】由题意666cos sin cos sin 5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴该复数在复平面内所对应的点为66cos ,sin 55ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 6cos05π<，6sin 05π<，∴该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数的几何意义和三角函数的符号确定，属于基础题.3．已知点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是（ ） A ．724a -<< B ．7a =或24a = C ．7a <或24a > D ．247a -<<【答案】A【解析】由点与直线的位置关系，转化为不等式求解即可得解. 【详解】Q 点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，∴()()332134260a a ⨯-⨯+⋅⨯--⨯+<⎡⎤⎣⎦即()()7240a a +-<，解得724a -<<. 故选：A. 【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域，关键是把点与直线的位置关系转化为不等式，属于基础题.4．已知()1()3,1,2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由分段函数的单调性可转化条件得1201132aaa a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解不等式组即可得解.【详解】Q()1()3,1,2,1,xa x a xf xa x⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，∴1201132aaa a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得1162a≤<.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数单调性的问题，属于基础题.5．如图，在ABCV中，AD AB⊥，3BC BD=u u u v u u u v，1AD=u u u v，则AC AD⋅=u u u v u u u v（）A．3B3C3D3【答案】D【解析】∵3AC AB BC AB=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u v，∴(3)3AC AD AB AD AB AD AD⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v，又∵AB AD⊥，∴0AB AD⋅=uu u r uuu r，∴33cos3cos33 AC AD AD AD ADB BD ADB ADu u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，故选D．6．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）A． B ．C ．13D ．【答案】D【解析】由原图与直观图的面积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解. 【详解】由题意结合原图与直观图的面积比为可知该四棱锥的底面积S =则该四棱锥的体积为11333V Sh ==⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查了原图与直观图之间的关系，考查了棱锥体积的计算，属于基础题.7．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知81335a a =，且10a >，若n S 取得最大值，则n 为（ ） A ．20 B ．21C ．22D ．23【答案】A【解析】转化条件得1392a d =-，进而可得200a >，210a <，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由81335a a =可得()()1137512a d a d +=+即1392a d =-， Q 10a >，∴0d <，数列{}n a 为递减数列，∴12011902a a d d =+=->，12112002a a d d =+=<，∴当20n =时，n S 取得最大值.故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，考查了等差数列前n 项和最大值的问题，属于基础题.8．已知抛物线28y x =，过点()2,0A 作倾斜角为的直线3π，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为（ ） A ．163B ．83C．3D．【答案】A【解析】由题意可得直线:2BC x y =+，联立方程组即可求得BC中点103M ⎛ ⎝⎭，进而可得直线10:3MP y x ⎫=-⎪⎝⎭，求出点22,03P ⎛⎫⎪⎝⎭后即可得解. 【详解】由题意可得直线:2BC x y +，设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 中点()00,M x y ，联立方程组2823y x x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x得2160y y -=，易得>0∆，∴1102y y y +=∴001023x y +=，∴点103M ⎛ ⎝⎭，又 MP BC ⊥，∴1MP BC k k =-=， ∴直线10:3MP y x ⎫=-⎪⎝⎭， 令0y =可得223x =即点22,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴线段2216233AP =-=. 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于中档题. 9．已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论：①函数()f x 的图象关于直线512x π=对称②函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减④函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．③④C ．②③D ．①③【答案】D【解析】利用函数最小正周期和平移后的对称性可得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；代入512x π=即可判断①；代入12x π=即可判断②；由,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，42,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦即可判断③；由3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦即可判断④；即可得解. 【详解】Q 函数()f x 的最小正周期是T π=，∴222T ππωπ===， Q 函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数， ∴函数()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭即2sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴()23k k Z πϕ=π-+∈即()23k k Z πϕπ=+∈，由2πϕ<可得3πϕ=-，∴()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当512x π=时，()5sin 2sin 11232f x πππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，故①正确； 当12x π=时，()1sin 2sin 12362f x πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②错误； 当,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时， 432,,33222x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确；当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点，故【点睛】本题考查了三角函数图象的综合应用，考查了整体法的应用，属于中档题.10．甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以3:1获胜的概率是（ ） A ．0.0402 B ．0.2592 C ．0.0864 D ．0.1728【答案】B【解析】由题意可得甲在前3局中获胜两局且第4局获胜，由独立性重复实验的概率公式计算即可得解. 【详解】由题意若要甲以3:1获胜则需要甲在前3局中获胜两局且第4局获胜，则所求概率()()2230.610.60.60.2592p C =⋅⋅-⋅=.故选：B. 【点睛】本题考查了独立性重复实验概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题. 11．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则[]2,0x ∈-时，()f x 的解析式为（ ）A ．()21f x x =++B ．()31f x x =-+C ．()2f x x =-D ．()4f x x =+【答案】B【解析】根据函数的奇偶性和周期性可得[]2,1x ∈--、[]1,0x ∈-时()f x 的解析式，即可得解. 【详解】Q ()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，∴当[]2,1x ∈--时，[]42,3x +∈，()()44f x f x x =+=+；当[]1,0x ∈-时，[]22,3x -+∈，()()()22f x f x f x x =-=-+=-+，∴当[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+.本题考查了利用函数的奇偶性和周期性确定函数的解析式，属于中档题.12．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点.直线1DB 与平面EFC 的交点O ，则1DOOB 的值为（ ）A ．45B ．35C ．13D ．23【答案】A【解析】在线段11C D 上取点G 使11114D G C D =，连接11B D 、FG 且11B D FG ⋂=N ，设BD CE M =I ，连接MN ，由平面相交的性质可得1MN DB O ⋂=，利用三角形相似求得11156B N B D =、23DM DB =，再利用三角形相似即可得解.【详解】在线段11C D 上取点G 使11114D G C D =，连接11B D 、FG 且11B D FG ⋂=N ， 设BD CE M =I ，连接MN ，由E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点易得//FG CE ，即G ⊂面EFC ， 由11//B D BD 可知1D ⊂面1B BD ，所以面EFC ⋂面1B BD NM =， 又 1DB ⊂面1B BD ，所以直线1DB 与平面EFC 的交点O 即为MN 与1DB 的交点， 取11B D 的中点Q ，由1D GN QFN V V ∽可得112D N QN =，所以11156B N B D =， 由BEM DCM V V ∽可得12BM DM =，所以23DM DB =，由11B D BD =可得145DM B N =， 由1DMO B NO V V ∽可得1145DM D O B B N O ==. 故选：A.【点睛】本题考查了平面的性质和平面相交的性质，考查了空间思维能力和转化化归思想，属于中档题.二、填空题13．已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________.【答案】14【解析】设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解方程即可得解. 【详解】由题意()()21241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，则()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解得01214x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故答案为：14. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题.14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54–S S =________.【答案】32 【解析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩结合题意可得2nn a =，再利用545–S S a =即可得解.【详解】当1n =时，11122a S a ==-解得12a =；当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，整理得12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，1222n nn a -=⋅=， 所以54553–22S S a ===.故答案为：32. 【点睛】本题考查了n a 与n S 关系的应用，考查了等比数列的判定和通项公式的应用，属于基础题.15．某市公租房的房源位于,,A B C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4位申请人中，申请的房源在2个片区的概率是_________. 【答案】1427【解析】由题意可得4位申请人申请的房源所在片区的情况共有4381=种，分别求出有三人在同一区域另一人在另一区域的情况数和有两人在同一区域另两人在另一区域的情况数，利用古典概型概率的公式即可得解. 【详解】由题意可得4位申请人申请的房源所在片区的情况共有4381=种；若4位申请人中，有三人在同一区域另一人在另一区域的情况共有324324C A ⋅=种；有两人在同一区域另两人在另一区域的情况共有2224232218C C A A ⋅⋅=种； 故所求概率2418148127p +==. 故答案为：1427. 【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，考查了古典概型概率的求解，属于中档题.16．在平面直角坐标系中，过椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左焦点F 的直线交椭圆于,A B 两点，C 为椭圆的右焦点，且ABC ∆是等腰直角三角形，且90A ∠=︒，则椭圆的离心率为_________. 【答案】63-【解析】设AC m =，由题意结合椭圆性质可得2AF a m =-，242BC a BF a m =-=-，由等腰直角三角形性质可得1224a m m =+，再由直角三角形性质可得222FC AF AC =+，最后利用ce a=即可得解. 【详解】如图所示，设AC m =，由椭圆定义可得2AF a m =-，Q ABC V 是等腰直角三角形，且90A ∠=︒，∴AC AB m ==，22BF AB AF m a =-=-，242BC a BF a m =-=-，∴422BC a mAC m-==，∴1224a m m =+，∴22mAF =， 在Rt AFC V 中，222232FC AF AC m =+=，∴624FC mc ==， ∴66463122224mc e a m m ====-++.故答案为：63-.【点睛】本题考查了椭圆性质的应用和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知2sin sin sin B A C =. （1）求证：03B π<≤；（2）求222sinsin 1A CB +-+的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）(【解析】（1）由正弦定理结合条件得2b ac =，再由余弦定理结合基本不等式可得1cos 2B ≥，由三角函数的性质即可得证；（2）由三角函数的性质化简得22sinsin 124A C B B π+⎛⎫++= ⎝-⎪⎭，结合（1）中03B π<≤即可得74412B πππ<+≤，即可得解. 【详解】（1）证明：由正弦定理可得2b ac =,∴22221cos 222a c b ac ac B ac ac +--=≥=，Q 0B π<<,03B π∴<≤.（2）由题意222sin sin 1A C B +-+()cos sin A C B =-++cos sin 4B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知03B π<≤，∴74412B πππ<+≤，∴14B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即222sinsin 1A CB +-+的取值范围是(. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角函数的综合问题，考查了基本不等式的应用，属于中档题.18．如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，1SA AB BC CD ====，2AD =.（1）在棱SD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面SAB ？请证明你的结论； （2）求平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）存在；证明见解析（2）14【解析】（1）当点P 为棱SD 的中点时，//CP 平面SAB ；取SA 的中点F ，连结FP 、FB 、PC ，由已知结合中位线的性质可得//FP BC 且FP BC =，进而可得//CP BF ，由线面平行的判定即可得证；（2）由题意建立空间直角坐标系，求出各点坐标，再求出平面SAB 的一个法向量为1n u r 与平面SCD 的一个法向量为2n u u r，利用121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅u r u u ru r u u r u r u u r 即可得解. 【详解】（1）当点P 为棱SD 的中点时，//CP 平面SAB . 证明如下：取SA 的中点F ，连结FP 、FB 、PC ，则//FP AD 且12FP AD =， Q //AD BC ，112BC AD ==， ∴//FP BC 且FP BC =， ∴四边形FBCP 为平行四边形， ∴//CP BF ，Q CP Ë平面SAB ，BF ⊂平面SAB ，∴//CP 平面SAB .（2）在平面ABCD 内过点A 作直线AD 的垂线Ax ，Q SA ⊥平面ABCD ，∴SA AD ⊥，SA Ax ⊥，∴直线AS 、Ax 和AD 两两垂直，以点A 为原点，分别以直线Ax 、AD 和AS 为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，过点B 作BE AD ⊥交直线AD 于E ，Q //AD BC ，1AB BC CD ===，2AD =，∴12AE =，3BE =， 从而可得()0,0,0A ，31,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0D ，()0,0,1S ， 则()0,0,1AS =u u u r ，31,022AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,2,1SD =-u u u r，31,,022DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .设平面SAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，则1100n AS n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v 即11103102z x y =⎧+=，取13x ()13,3,0n =-u r ，设平面SCD 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r，则2200n SD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v 即22222031022y z x y -=⎧-=⎩，取23x ，可得)23,3,6n =u u r ∴121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u u r ()()()222221433336=-+-⋅++， ∴平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值为14. 【点睛】本题考查了线面平行的判定和利用空间向量求二面角，考查了计算能力，属于中档题.19．已知椭圆22:1124x y C +=，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点.（1）求AMB ∠的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求直线BM 的斜率的取值范围.【答案】（1）AMB ∠的最大值为23π；证明见解析（2）2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）设()00,M x y ，（0x -<<002y <≤），过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H，由三角函数的概念可得00tan A H y x M +∠=，00tan BMH y x ∠=，由两角和的正切公式可得tan AMB∠0220012x y =+-，求出tan AMB ∠≤后由椭圆对称性即可得解；（2）由题意可知202012y k k x '⋅=-，利用22001124x y +=即可得13k k '⋅=-，由k 的取值范围即可求得k '的取值范围，即可得解. 【详解】（1）根据椭圆的对称性，不妨设()00,M x y ，（0x -<<002y <≤）. 过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，则()0,0Hx (0x -<<，于是，有00tan AH AMH M x H y +∠==，00tan BH BMH MH y x ∠==， ∴()tan tan AMB AMH BMH ∠=∠+∠=tan tan 1tan tan AMH BMHAMH BMH∠+∠-∠∠00000y y =， Q 点()00,M x y 在椭圆C 上，∴22001124x y +=，∴2200123x y =-，∴0tan AMB y ∠=-，而002y <≤，∴0tan AMB y ∠=-≤ Q 0AMB π<∠<，∴AMB ∠的最大值为23π，此时02y =，即点M 为椭圆C 的上顶点. 根据椭圆的对称性，当点M 为椭圆C 的短轴的顶点时，AMB ∠取最大值，其最大值为23π. （2）设直线BM 的斜率为k '，()00,M x y ，则k =，k '=，∴22012y k k x '⋅=-，又22001124x y +=，∴2200123x y =-， ∴13k k '⋅=-，Q 11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∴213k '<<，故直线BM 的斜率的取值范围为2,13⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆和三角函数、椭圆和直线的综合问题，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.20．已知函数()()ln 1f x x =+，()xg x e =（e 为自然对数的底数）.（1）讨论函数()()x ax f x xϕ+=-在定义域内极值点的个数； （2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()00,A x y 处的切线，证明：在区间(0,)+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切.【答案】（1）当0a ≥时，函数()x ϕ无极值点，当0a <时，函数()x ϕ有两个极值点（2）证明见解析【解析】（1）对函数()x ϕ求导得()()221x ax a x x xϕ++'=+，令()2h x x ax a =++，分类讨论()h x 有无零点以及零点与1-、0的相对位置即可得解； （2）由题意可得切线l 的方程可表示为()00011y x y x x -=-+，设直线l 与曲线()y g x =相切于点()11,x B x e ，由题意可得()()11000010011ln 111x x e x y x e y x x x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩，进而可得()0001ln 10x x x ++-=，由（1）中结论即可证明()0001ln 10x x x ++-=在()0,∞+上存在唯一的根，即可得证. 【详解】（1）由题意()()x a x f x x ϕ+=-()ln 1x ax x+=+-)0x ≠且()1121m x x +>+， 则()()222111a x ax ax x x x xϕ++'=+=++， 令()2h x x ax a =++，24a a ∆=-，①当240a a ∆=-≤即04a ≤≤时，()0x ϕ'≥，此时，()x ϕ在()1,0-和()0,∞+单调递增，()x ϕ无极值点； ②当240a a ∆=->时，即当0a <或4a >时， 函数()2h x x ax a =++有两个零点，12a x --=，22a x -+=，（i ）当0a <时，因为11x --==0<，所以2101x x >>>-，所以函数()x ϕ在()11,x -单调递增，在()1,0x 和()20,x 上单调递减，在()2x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ有两个极值点；（ii ）当4a >时，因为2212a x -+---==02>，所以121x x <<-，此时()0x ϕ'>，()x ϕ在()1,0-和()0,∞+单调递增，无极值点. 综上所述，当0a ≥时，函数()x ϕ无极值点，当0a <时，函数()x ϕ有两个极值点. （2）证明：因为()11f x x '=+，所以切线l 的方程可表示为()0011y x y x x -=-+， 设直线l 与曲线()y g x =相切于点()11,xB x e ，因为()xg x e '=，所以()()11000010011ln 111x x e x y x e y x x x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩，消去1x 并整理得()0001ln 10x x x ++-=， 由（1）可知，当1a =时，函数()()1ln 1x x x xϕ+=+-()1x >-在()0,∞+单调递增，又()1101e e ϕ-=-<-，()2222101e e e ϕ--=>-. 所以函数()x ϕ在()21,1e e --上有唯一的零点，又因为()x ϕ在()0,∞+单调递增， 所以方程()0001ln 10x x x ++-=在()0,∞+上存在唯一的根， 故在区间()0,∞+上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点和零点个数问题，考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想和推理能力，属于中档题.21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布,15().22N μ，其中μ近似为这100名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（70≥）的患者比例； （2）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按n （120n <<且n 是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为n X ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的n 的值. 参考数据：若()2,Z Nμσ:，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9973P Y μσμσ-<<+=，40.90.66≈，50.90.59≈，100.90.35≈.【答案】（1）15.87%（2）4n =【解析】（1）由题意计算出54.8μ=，由正态分布的性质可得()39.6700.6826P Z <<=，即可得解；（2）由题意n 的可能取值为2，4，5，10，1,10n X B n ⎛⎫⎪⎝⎭:，由二项分布的概率公式结合题意可得某组的化验次数Y 满足()9110nP Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()91110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，表示出()E Y ，进而可得化验总次数()f n ，代入比较即可得解. 【详解】 （1）由题意21562512351845225522651275485295100μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=54.8=，所以()54.815.254.815.2P Z -<<+()39.6700.6826P Z =<<=，()()139.670702P Y P Z -<<≥==10.68260.158715.87%2-==， 则可估计该省确诊新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例为15.87%. （2）根据题意，每名密切接触者确诊为新冠肺炎的概率均为110， n 的可能取值为2，4，5，10，当{}2,4,5,10n ∈时，1,10n X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，对于某组n 个人，化验次数Y 的可能取值为1，1n +，()9110n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()91110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()91110nE Y n ⎛⎫=⋅++⋅⎪⎝⎭99111010n nn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则20人的化验总次数为()209110nf n n n n ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1920110n n ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 经计算()213.8f =，()411.8f ≈，()512.2f ≈，()1015f ≈. 所以，当4n =时符合题意，即按4人一组检测，可使化验总次数最少. 【点睛】本题考查了正态分布的应用，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【答案】（1）28sin 120ρρθ-+=；点A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭（2）16 【解析】（1）消去参数得1C 的直角坐标方程，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得1C 的极坐标方程；由题意得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，代入1C 的极坐标方程后利用0∆=即可得解；（2）由题意可得()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2C 后即可得126ρρ+=，122ρρ=，再利用三角形面积公式可得112S ρ=，222S ρ=，化简即可得解. 【详解】（1）消去参数可得1C 的直角坐标方程为()2244x y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得1C 的极坐标方程为28sin 120ρρθ-+=， 又1l 的参数方程为cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，02πα<<），可得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈， 将θα=代入1C 得28sin 120ρρα-+=，则()28sin 4120α∆=-⨯=，sin α=，又02πα<<，所以sin α=，3πα=，此时ρ=A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由2C 的极坐标方程为2cos 20ρθ-+=，可得2C 的直角坐标方程为(2210x y -+=，所以圆心()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得2620ρρ-+=，280∆=>，所以126ρρ+=，122ρρ=，所以10ρ>，20ρ>，又因为1111sin 2362A S ππρρρ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭，22221sin 262S OC πρρ=⋅⋅=， 所以12122121S S S S ρρρρ+=+=()221212122622162ρρρρρρ+--⨯==. 【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化，考查了利用极坐标求三角形面积的应用，属于中档题. 23．已知()2f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）()6,m ∈+∞【解析】（1）由题意得221x x ->+，分2x ≥、2x <两种情况讨论即可得解； （2）由绝对值三角不等式结合题意得()22222111f x x a a a a a ++≥+=+---，利用基本不等式求出221a a +-的最小值即可得解. 【详解】（1）当1a =时，即解不等式221x x ->+，①当2x ≥时，原不等式等价于221x x ->+，所以3x <-， 所以不等式()21f x x >+的解集为空集，②当2x <时，原不等式等价于221x x ->+，解得13x <， 综上所述，不等式()21f x x >+的解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()221f x x x a a ++=--22211x a a a ++≥+--，显然等号可取. 又()1,a ∈+∞，故原问题等价于关于a 的不等式221a m a +<-在()1,+∞上有解，又因为()22221211a a a a +=-++--26≥=， 当且仅当2a =时取等号，所以6m >，即()6,m ∈+∞. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式的应用和有解问题的求解，属于中档题.。
