《三角形边的关系》PPT教学课件

• 相似三角形定义：两个三角形如果它们的对应角相等，则 这两个三角形相似。
相似三角形判定条件及性质
相似三角形判定条件
两边对应成比例且夹 角相等，则两个三角 形相似。
两角对应相等，则两 个三角形相似。
相似三角形判定条件及性质
01
02
03
04
三边对应成比例，则两个三角 形相似。
相似三角形的性质
对应角相等，对应边成比例。
在几何变换中，如平移、旋转、对称等，面积公式可以帮助我们判断图形变换前后面积是 否发生变化，以及变化的具体数值。
面积公式在解决实际问题中的应用
在实际问题中，如土地测量、建筑设计等领域，面积公式可以帮助我们计算不规则图形的 面积，为决策提供支持。
05
三角形相似与全等判 定方法
相似三角形判定条件及性质
学生自我评价报告分享
学习成果展示
邀请学生代表分享自己在课堂上的学习成果，包括对于三角形三 边之间关系的理解、相关问题的解决思路等。
学习方法分享
鼓励学生分享自己在学习过程中的有效方法和经验，如如何记忆 公式、如何理解抽象概念等。
学习困惑与反思
引导学生反思自己在学习过程中遇到的困难和问题，并提出改进 的建议和措施。
几何意义
确保三条边长度不会相差 过大，从而无法形成三角 形。
验证方法
通过测量或计算三角形的 三条边，验证两边之差是 否小于第三边。
特殊情况讨论
等腰三角形
两条等长的边与第三边的关系 仍然满足上述定理。
等边三角形
三条等长的边自然满足上述定 理。
直角三角形
在直角三角形中，斜边是最长 的一边，两条直角边之和大于 斜边，同时两条直角边之差小 于斜边。
周长相等，面积相等。

（1）15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm
(3) 3cm、8cm、5cm
(4) 4cm、5cm、6cm
解：(1) 因为10cm+7cm>15cm， 所以这三条线段能组成一个三角形.
(2) 因为4cm+5cm<10cm， 所以这三条线段不能组成一个三角形.
(3) 因为3cm+5cm=8cm， 所以这三条线段不能组成一个三角形.
1.画一个三角形,使它的三边长分别为 ①2cm、3cm、4cm.
两条线段长度之和大于第三条线段 可以围成三角形
1.画一个三角形,使它的三边长分别为 ②2cm、3cm、5cm.
两条线段长度之和等于第三条
不能围成三角形
1.画一个三角形,使它的三边长分别为 ③2cm、3cm、6cm.
两条线段长度之和小于第三条
3.怎样应用三边关系判断三条线段能否组成 三角形?应该怎样选择边进行比较？
4.三角形是否具有稳定性？四边形呢？
大胆猜测：
两根小棒的长度和与第三根 小棒存在什么关系时,就能围 成三角形呢？
猜想1：
当两根小棒的长度和小于第三根小棒时，能围成三角形。
猜想2：
当两根小棒的长度和大于第三根小棒时，能围成三角形。
4㎝
并比较大小：
B
7㎝ C
AB+BC= 12㎝ ， AB+BC ＞ AC ；
AC+BC= 11 ㎝ ， AC+BC ＞ AB ；
AB+AC= 9 ㎝ ， AB+AC ＞ BC ；
再画一任意三角形，观察上述结论是否仍成立？ 由此，你能得出什么结论？
三角形的任何两边的和大于第三边
发现 三角形的任何两边之和大于第三边！

写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
13
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
c
b
B aC
这个三角形记作：ΔABC， 读作：三角形ABC
三角形的顶点：点A、B、C， 三角形的(内)角：∠A、 ∠B、 ∠C, 三角形的边：AB、BC、AC，
c、 a、 b
现学现用：
1、图中共有_____个三角形？ 它们分别是
___________________________.B
A
DC
___________________________. 2、△ACD中，三条边是____________________, 三个角是___________________, ∠DAC的对边是_____，AC的对角___________.
A
B
C
由“两点的所有连线中，线段最短”可得：
AB+AC＞BC
同理可得：AC+BC＞AB，AB+BC＞AC
结论
三角形中任 意的两边
三角形中任意两边的和大于第三边。
AB+AC＞BC AC+BC＞AB BC+AB＞AC
AB＞BC-AC AC＞AB-BC BC＞AC-AB
三角形中任意两边的差小于第三边。

注意：不在同一直线上的
三条线段
首尾顺次相接 这三条线段叫三角形的什么？ 这三条边有什么要求？ 是不是任意三条线段都能 成为同一三角形的边呢？
这就是我们今天要探究 的主要内容
11.1 三角形的三边关系
二 探索新知
探究1
C
任意画一个三角形
A
B
从A点出发，沿着三角形的边 到点B，有几条路线可选择？ 各条路线长度有什么关系？ 能证明你的结论吗？
如果告诉你： 三角形两边的长度， 已知三角形两边的长度， 第三边长度的范围你能确定吗？ 第三边长度范围是:
例题2：用一根18 cm的细绳围成一个 等腰三角形 （1）如果腰长是底边长的2倍，那
么各边长多少？ （2） 能围成一边长为4cm的等腰 三角形吗？为什么？
如何理解等腰三角形一边长4cm? 等腰三角形边有什么特点？ 一边指的哪一边？ 腰还是底？ 所以本题应该如何解答？
教 学 楼
请勿 践踏！
大
草坪
道
图 书 馆
巩固练习1：
课本P4练习第2题 P8习题第2题
四 例题示范
例题1：要做一个三角形的铁架子， 已有两根长分别为1m和1.5m的铁条， 需要再找一根铁条，把它们首尾相 接焊在一起。小红拿来的铁条长 2.2m，小明拿来的铁条长0.4m，这 两根铁条合适吗？长度为多少的铁 条才合适？
2，基于上面分析，我的策 略是：以课本为蓝本，深挖 教材，注重基础，力争每个 学生通过基础知识的学习和 探究过程领悟层层深入的思 考过程和学习方法，养成思 维的严密性，全面性等良好 的思维品质，形成能力：并 能通过结论的归纳体味几何 语言的精妙，更重要的是激 发他们学习热情和兴趣，所 以我确定的： 知识目标是：掌握三角形三 边关系及其应用 教学重点是：三角形任意两 边之和大于第三边，任意两 边之差小于第三边”，教学 难点是：三边关系在生活中 和数学中的应用

小学数学四年级下册
通过测量、比一比，发现走中间的路最近。
新知探究
思考:通过活动，你能得出什么结论？
小学数学四年级下册
两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。
新知探究 小组活动:尝试用每组纸条摆三角形，并展示你的成果。
小学数学四年级下册
剪出下面4组纸条（单位：cm） （1）6、7、8。 （2）4、5、9。 （3）3、6、10。 （4）8、11、11。
11
验证:算算试试，是不是任意两边之和都大于第三边？
小学数学四年级下册
新知探究
小学数学四年级下册
（1）两点间线段长度小于曲线长度。 （2）三角形中两边的和大于第三边。
033
纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行
课堂练习
小学数学四年级下册
（1）
（2）
（3） （4）
（√）
（）
（）
（ √）
课堂练习
小学数学四年级下册
10
（√4）8
8 11 11 1111
三角形任意两边的和大于第三边。
四 下数 学
感谢各位的仔细聆听
讲师：
2021年1月5日
新知探究
讨论:你发现了什么问题？为什么会出现这个问题？
（1） 6
6 7
7
88
（3）
3 6
130 6
10
（2） 4 5
49 5 9
（4）8
8 11 11
1111
并不是任意三个纸条都能拼成一个三角形。
小学数学四年级下册
新知探究
小学数学四年级下册
思考:观察下面四组纸条，说一说需要满足什么条件才能拼成三角形?
四 下数 学

3
轴对称
等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂 直平分线。
等边三角形
三边相等
等边三角形的三条边长度 相等，即a=b=c。
三个内角相等
等边三角形的三个内角相 等，即∠A=∠B=∠C=60° 。
轴对称
等边三角形是轴对称图形 ，对称轴为各边的垂直平 分线。
直角三角形
勾股定理
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平 方，即a^2+b^2=c^2。
一个锐角为90°
直角三角形中，有一个内角为90°，即∠C=90°。
轴对称
等腰直角三角形是轴对称图形，对称轴为底边的 垂直平分线。
06
总结
主要观点的总结
三角形三边关系是指三角形的三条边之间的长度关系， 可以用不等式表示为两边之和大于第三边，两边之差小 于第三边。
在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边。
定理3
三角形三个内角之和等于180度。
定理4
三角形三个内角中，最多有一个内 角是直角或钝角。
03
三角形三边关系的应用
几何中的应用
三角形面积
利用三角形三边长度可求出三角形面积，公式为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(pc)}$，其中$p$为三角形半周长。
判断三条边能否构成三角形
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，若三条边符合 这个条件则可以构成一个三角形。
三角形稳定性
三角形三条边确定后，这个三角形的形状和大小就能唯一确 定下来，因此三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。
04
三角形三边与面积的关系
海伦公式
海伦公式概述
海伦公式是一种基于三角形三边长度计算其面积的公式。它基于三角形的半 周长s=(a+b+c)/2，然后利用公式面积=√(s(s-a)(s-b)(s-c))计算面积。

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1
15.03.2021
小
明上学来自线路1、我上学有几条路可以怎么走？
图
2、走哪条路最近，为什么？
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15.03.2021
思考：
• 任意长度的3条线段都可以围 成三角形吗？
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两边的和小于第三边, 不能围成三角形。
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15.03.2021
教 学 楼
大 草坪
道
请勿 践踏！
图书馆
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15.03.2021
挑战自我
因为a+b>c,所以a、b、c三边可以构成三角形（
×)
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15.03.2021
• 用一根10米长的木料做一个三角形 的支架，如果其中的一边是2米， 另外两边分别是多长？
• （1）2米、3米、5米 • （2）2米、4米、4米 • （3）2米、2米、6米 • （4）2米、1米、7米
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15.03.2021
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15.03.2021
任意两边之和大于第三边, 能围成三角形。
5
6
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8
15.03.2021
下列各组线段能围成三角形吗？
1、4cm ，9cm， 5cm （×）
2、8cm ，1cm， 6cm （ ） 3、3cm ，3cm， 3cm （ ）
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9
15.03.2021
尽管草地不允许 踩，但还是被人们 踩出了一条小路， 这是为什么？我们 能不能运用今天所 学的知识解释这一 现象？

任意两点之间的距离小于 另外两点之间的距离之和 ，保证了三点不共线，从 而形成三角形。
验证方法
通过测量三角形的三边长 ，验证是否满足任意两边 之和大于第三边的条件。
8
任意两边之差小于第三边
三角形的不等式性质
验证方法
任意两边之差小于第三边，确保了三 角形的稳定性。
通过比较三角形的三边长，验证是否 满足任意两边之差小于第三边的条件 。
20
工程学：优化设计方案2024 Nhomakorabea1/26
工程测量
在工程测量中，利用三角形三边关系可以通过已知的两点距 离和方位角来计算第三点的位置，从而进行精确的测量和定 位。
机械设计
在机械设计中，三角形三边关系可以帮助工程师计算和优化 机械部件的形状和尺寸，以提高机械的性能和效率。
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计算机图形学：实现三维模型构建和渲染
推论2
三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和。
推论3
三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角。
2024/1/26
5
三角形外角性质
三角形外角性质
推论1
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相 邻的内角。
推论2
三角形的外角和等于360°。
2024/1/26
几何意义
两点之间的距离差小于第三点与前两 点之间的距离，保证了三角形的形状 不会因为边的长度差异而发生变化。
2024/1/26
9
特殊情况下的三边关系
等边三角形
三边长度相等，满足任意两边之 和大于第三边和任意两边之差小
于第三边的条件。
等腰三角形
有两边长度相等，满足任意两边 之和大于第三边和任意两边之差 小于第三边的条件，同时等腰三 角形的两等边对应的两个角相等

地图制作 在制作地图时，利用三角形不等式原理可以根据 已知的距离和角度信息，推算出未知地点的坐标 位置。
遥感技术 在遥感技术中，三角形不等式可用于处理和分析 卫星图像数据，提取地物信息和进行地形分析。
其他领域中的实际应用案例
机器人路径规划
在机器人技术领域，三角形不等式可用于规划机器人的行动路径， 确保其以最短距离到达目的地。
通过测量或计算三角形的三条边， 验证两边之和是否大于第三边。
三角形两边之差小于第三边
01
02
03
定理内容
在任意三角形中，任意两 边之差小于第三边。
几何意义
确保三条边能够形成一个 稳定的三角形，避免过长 或过短的边导致三角形变 形。
验证方法
通过测量或计算三角形的 三条边，验证两边之差是 否小于第三边。
面积的影响。
面积最大化问题
03
在给定周长或某些边长的条件下，探讨如何使三角形面积最大
化。
面积最大化问题探讨
等周长的三角形面积最大化
对于周长一定的三角形，探讨其面积最大化的条件及求解方法。
等腰三角形的面积最大化
对于等腰三角形，在给定底边和腰长的情况下，探讨其面积最大化 的条件及求解方法。
直角三角形面积最大化
三边长度可以求出相似比。
在全等三角形中，已知三边长度 可以直接判定两个三角形全等， 或者已知两边和夹角可以求出第
三边长度。
通过比较相似三角形或全等三角 形的三边长度，可以解决一些与 三角形有关的实际问题，如测量、
建筑设计等。
06
三角形不等式在实 际问题中的应用
城市规划与建筑设计中的应用
道路设计
在道路规划中，利用三角形不等 式原理可以确定最短路径，优化

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等腰三角形 等边三角形
A
A
A
腰 顶角 腰
底角底角
B
C B 底 CB
C
三边都不等
有两边相等
三条边都相等
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思考：
• 任意长度的3条线段都可以围 成三角形吗？
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两边的和小于第三边, 不能围成三角形。
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两边的和等于第三边， 不能围成三角形。
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两边的和小于第三边,不能围成三角形。 两边的和等于第三边,不能围成三角形。
大胆猜测：
两根小棒的长度之和与 第三根小棒存在什么关系时, 就能围成三角形呢？
20:30:54
猜想：
两边的和大于第三边， 能围成三角形。
20:30:54
任意两边之和大于第三边, 能围成三角形。
5
6
7
20:30:54
①
②
③
任意两边之差小于第三边， 能围成三角形
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下列各组线段能围成三角形吗？
1、4cm ，9cm， 5cm （×）
2、8cm ，1cm， 6cm （ ） 3、3cm ，3cm， 3cm （ ）
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下列各组线段能围成三角形吗？
1、4cm ，9cm， 5cm （×）
2、8cm ，1cm， 6cm （ ） 3、3cm ，3cm， 3cm （ ）
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