新高考多项选择题分类精编题集

目录专题01 集合与常用逻辑用语（解析版）专题02 函数（1）（解析版）专题03 函数（2）（解析版）专题04 函数（3）（解析版）专题05 导数及其应用（解析版）专题06 不等式（解析版）专题07 数列（1）（解析版）专题08 数列（2）（解析版）专题09 平面向量（解析版）专题10 复数、推理与证明（解析版）专题11 排列组合和概率统计（解析版）专题12 三角函数（1）（解析版）专题13 三角函数（2）（解析版）专题14 三角函数（3）（解析版）专题15 平面解析几何（1）（解析版）专题16 平面解析几何（2）（解析版）专题17 平面解析几何（3）（解析版）专题18 立体几何（1）（解析版）专题19 立体几何（2）（解析版）专题20 立体几何（3）（解析版）专题01 集合与常用逻辑用语多项选择题1．（2019秋•启东市期末）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B Ü，则下列选项正确的有()A ．AB B= B ．A B B= C ．()U A B =∅ ðD ．()U A B =∅ ð【分析】利用A B Ü的关系即可判断．【解答】解：A B Ü，A B A ∴= ，A B B = ，()U C A B =≠∅ ，()U A C B =∅ ， 故选：BD ．2．（2019秋•宿迁期末）已知集合[2A =，5)，(,)B a =+∞．若A B ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．3−B ．1C ．2D ．5【分析】利用A B ⊆，求出a 的范围，即可判断． 【解答】解：A B ⊆ ， 2a ∴<，故选：AB ．3．（2019秋•临高县校级期末）已知{A =第一象限角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( )A ．B AC = B ．B C C = C ．B A B =D ．A B C ==【分析】可看出，“小于90°的角“和”第一象限的角“都包含”锐角“，从而可判断出选项B ，C 都正确；而小于90°的角里边有小于0°的角，而小于0°的角里边有第一象限角，从而可判断选项A 错误，而选项D 显然错误，从而可得出正确的选项．【解答】解： “小于90°的角”和“第一象限角”都包含“锐角”，B C ∴⊆，B A ⊆B C C ∴= ，B A B = ；“小于90°的角“里边有”第一象限角”，从而B A C ≠ ． 故选：BC ．4．（2019秋•聊城期末）若“2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，则实数k 可以是( ) A ．8−B ．5−C ．1D ．4【分析】分别解出” 2340x x +−<”，“ 22(23)30x k x k k −+++>”，根据2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，即可得出． 【解答】解：“2340x x +−<” 43x ⇔−<<． “22(23)30x k x k k −+++>” x k ⇔<，或3x k >+．“2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，3k ∴…，或43k −+…，解得：3k …，或7k −…， 则实数k 可以是AD ． 故选：AD ．5．（2019秋•临沂期末）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为( ) A ．①③B ．①④C ．④⑥D ．②⑤【分析】根据三角函数角的符号和象限之间的关系分别进行判断即可． 【解答】解：假设θ为象限角则①sin 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第二象限角， ②sin 0θ<，则θ为第三象限角或θ为第四象限角 ③cos 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第四象限角 ④cos 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第三象限角 ⑤tan 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第三象限角 ⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第四象限角， 若θ为第二象限角，则①④可以④⑥可以， 故选：BC ．6．（2019秋•泰安期末）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．:37p m <<；q ：方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆B ．:8p a …；q ：对[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立C ．设{}n a 是首项为正数的等比数列，p ：公比小于0；q ：对任意的正整数n ，2120n n a a −+<D ．已知空间向量(0a = ，1，1)−，(b x = ，0，1)−，:1p x =；q ：向量a与b 的夹角是3π【分析】A ，根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；B ，求出，[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立等价于2a x …恒成立，即等价于9a …，即可判断；C ，根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；D ，根据空间两向量的夹角大小求出x 的值，再根据充分必要条件的定义即可判断；【解答】解：A ，若方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆， 则703073m m m m −>−> −≠−，即37m <<且5m ≠， 即“37m <<”是“方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆”的必要不充分条件； B ，[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立等价于2a x …恒成立，等价于9a …； ∴ “8a …”是“对[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立”必要不充分条件； :{}n C a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，∴当11a =，12q =−时，满足0q <，但此时12111022a a +=−=>，则2120n n a a −+<不成立，即充分性不成立，反之若2120n n a a −+<，则2221110n n a q a q −−+< 10a > ，22(1)0n q q −∴+<，即10q +<，则1q <−，即0q <成立，即必要性成立，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a −+<”的必要不充分条件．D ：空间向量(0a =，1，1)−，(b x = ，0，1)−，则001a b =++ ， cos a ∴<，1cos 32||||a bb a b π>===×，解得1x =±，故“1x =”是“向量a与b 的夹角是3π”的充分不必要条件．故选：ABC ．7．（2019秋•青岛期末）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：21{(,)|1}M x y y x ==+；{2(,)|M x y y ==；3{(,)|}x M x y y e =；4{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【分析】根据题意即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′．，结合函数图象进行判断．【解答】解：由题意，对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′．21y x =+中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P ′．所以所以1M 不是“互垂点集”集合，y=所以在2M 中的任意点1(P x ∀，1)y ，在2M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′ ． 所以2M 是“互垂点集”集合，x y e =中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P ′．所以3M 不是“互垂点集”集合，sin 1y x =+的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ．8．（2019秋•淮安期末）已知函数2()43f x x x =−+，则()0f x …的充分不必要条件是( ) A ．[1，3]B ．{1，3}C ．(−∞，1][3 ，)+∞D ．(3,4)【分析】由()0f x …，得2430x x −+…，解得3x …或1x …．由此能求出()0f x …的充分不必要条件． 【解答】解：函数2()43f x x x =−+，由()0f x …，得2430x x −+…， 解得3x …或1x …．()0f x ∴…的充分不必要条件是{1，3}和(3,4)， 故选：BD ．9．（2019秋•镇江期末）使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．2x > B ．0x …C ．1x <−或1x >D ．10x −<<【分析】不等式110x+>，即10x x +>，(1)0x x +>，解得x 范围，即可判断出结论． 【解答】解：不等式110x +>，即10x x+>，(1)0x x ∴+>，解得0x >，或1x <−． 使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是：2x >．及1x <−，或1x >． 故选：AC ．10．（2019秋•连云港期末）已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则( ) A ．p 是q 的既不充分也不必要条件 B ．p 是s 的充分条件 C ．r 是q 的必要不充分条件 D ．s 是q 的充要条件【分析】由已知可得p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒，然后逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒．p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件．∴正确的是B 、D ．故选：BD ．11．（2019秋•苏州期末）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1−B ．1C ．2−D ．2【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．【解答】解：因为集合{|2}A x ax =…，{2B =，B A ⊆， 若1a =−，[2A −，)+∞，符合题意，A 对； 若1a =，(A −∞，2]，符合题意，B 对； 若2a =−，[1A −，)+∞，符合题意，C 对；若1a =，(A −∞，1]，不符合题意，D 错； 故选：ABC ．12．（2019秋•济宁期末）下列命题中的真命题是( ) A ．x R ∀∈，120x −> B ．*x N ∀∈，2(1)0x −> C ．x R ∃∈，1lgx <D ．x R ∃∈，tan 2x =【分析】根据指数函数的值域，得到A 项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B 项不正确；根据对数的定义与运算，得到C 项正确；根据正弦函数tan y x =的值域，得D 项正确．由此可得本题的答案．【解答】解： 指数函数2t y =的值域为(0,)+∞∴任意x R ∈，均可得到120x −>成立，故A 项正确；当*x N ∈时，1x N −∈，可得2(1)0x −…，当且仅当1x =时等号 ∴存在*x N ∈，使2(1)0x −>不成立，故B 项不正确；当1x =时，01lgx =<∴存在x R ∈，使得1lgx <成立，故C 项正确；正切函数tan y x =的值域为R∴存在锐角x ，使得tan 2x =成立，故D 项正确 故选：ACD ．13．（2019秋•薛城区校级月考）已知集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 可以为( ) A ．12B ．1C ．0D ．以上选项都不对【分析】由子集定义得A =∅或{1}A =或{2}A =，从而1a 不存在，11a=，12a =，由此能求出实数a ．【解答】解： 集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，A B ⊆， A ∴=∅或{1}A =或{2}A =，∴1a 不存在，11a=，12a =，解得1a =，或1a =，或12a =． 故选：ABC ．14．（2019秋•桥西区校级月考）设集合2{|0}A x x x =+=，则下列表述不正确的是( ) A ．{0}A ∈B ．1A ∉C ．{1}A −∈D ．0A ∈【分析】求出集合2{|0}{0A x x x =+==，1}−，利用元素与集合的关系能判断正确结果． 【解答】解：集合2{|0}{0A x x x =+==，1}−， 0A ∴∈，1A −∈，{0}A ⊂，{1}A −⊂，1A ∉． AC ∴选项均不正确，BD 选项正确．故选：AC ．15．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合2{|20}Ax x x =−=，则有( ) A ．A ∅⊆B ．2A −∈C ．{0，2}A ⊆D ．{|3}A y y ⊆<【分析】可以求出集合A ，根据子集的定义及元素与集合的关系即可判断每个选项的正误． 【解答】解：{0A = ，2}，A ∴∅⊆，2A −∉，{0，2}A ⊆，{|3}A y y ⊆<．故选：ACD ．16．（2019秋•临淄区校级月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是( ) A ．A B A =B ．U UA B ⊇痧C ．U B A =∅ ðD ．U A B =∅ ð【分析】根据集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件． 【解答】解：对于选项A ，由A B A = ，可得A B ⊆．由A B ⊆ 可得A B A = ，故选项A ，A B A = 是命题A B ⊆的充要条件，故A 满足条件． 对于选项B ，由S SA B ⊇痧 可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S SA B ⊇痧，故S SA B ⊇痧 是命题A B ⊆的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由S B A φ= ð，可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S B A φ= ð，故S B A φ= ð 是命题A B ⊆的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由S A B φ= ð，可得B A ⊆，不能退出A B ⊆，故选项D ，S A B φ= ð不是命题A B ⊆的充要条件，故D 不满足条件． 故选：ABC ．17．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合{||4}A x Z x =∈<，B N ⊆，则( )A ．集合B N N =B ．集合A B 可能是{1，2，3}C ．集合A B 可能是{1−，1}D ．0可能属于B【分析】根据Z ，N 的定义，及集合元素的特点进行逐一判断即可． 【解答】解：因为B N ⊆，所以B N N = ，故A 正确．集合A 中一定包含元素1，2，3，集合B N ⊆，1，2，3都属于集合N ，所以集合A B 可能是{1，2，3}正确．1−不是自然数，故C 错误．0是最小的自然数，故D 正确． 故选：ABD ．18．（2019秋•市中区校级月考）给出下列关系，其中正确的选项是( ) A ．{{}}∅∈∅B ．{{}}∅∉∅C ．{}∅∈∅D ．{}∅⊆∅【分析】根据元素与集合的关系，集合并集的运算，空集是任何集合的子集即可判断每个选项的正误． 【解答】解：显然∅不是集合{{}}∅的元素，A ∴错误；∅不是集合{{}}∅的元素，∅是{}∅的元素，∅是任何集合的子集，从而得出选项B ，C ，D 都正确．故选：BCD ．19．（2019秋•罗庄区期中）给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】首先分清条件与结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选答案推出x y >． 【解答】解：①．由22xt yt >可知，20t >，故x y >．故①是．②．由xt yt >可知，0t ≠，当0t <时，有x y <；当0t >时，有x y >．故②不是． ③由22x y >，则||||x y >，推不出x y >，故③不是； ④．由110x y <<．由函数1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，可得0x y >>，故④是． 故选：AD ．20．（2019秋•宁阳县校级期中）若220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】求解一元二次不等式，把若220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件转化为(1−，2)(2−Ü，)a ，由此得到a 的范围，则答案可求．【解答】解：由220x x −−<，解得12x −<<． 又220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件，(1∴−，2)(2−Ü，)a ，则2a …． ∴实数a 的值可以是2，3，4． 故选：BCD ．21．（2019秋•薛城区校级期中）若集合M N ⊆，则下列结论正确的是( ) A ．M N M =B ．M N N =C ．M M N ⊆D ．M N N ⊆【分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【解答】解： 集合M N ⊆， ∴在A 中，M N M = ，故A 正确；在B 中，M N N = ，故B 正确； 在C 中，M M N ⊆ ，故C 正确； 在D 中，M N N ⊆ ，故D 正确． 故选：ABCD ．22．（2019秋•凤城市校级月考）下列命题正确的有( ) A ．A ∅=∅ B ．()U UU A B A B = 痧?C ．A B B A =D ．()U U A A =痧【分析】利用集合的交、并、补运算法则直接求解． 【解答】解：在A 中，A A ∅= ，故A 错误； 在B 中，()()()U U U A B A B = 痧?，故B 错误； 在C 中，A B B A = 同，故C 正确； 在D 中，()U U A A =痧，故D 正确． 故选：CD ．23．（2019秋•北镇市校级月考）已知集合{2M −，2334x x +−，24}x x +−，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为( ) A ．2B ．2−C ．3−D ．1【分析】根据集合元素的互异性2M ∈必有22334x x =+−或224x x =+−，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【解答】解：由题意得，22334x x =+−或224x x =+−， 若22334x x =+−，即220x x +−=， 2x ∴=−或1x =，检验：当2x =−时，242x x +−=−，与元素互异性矛盾，舍去； 当1x =时，242x x +−=−，与元素互异性矛盾，舍去． 若224x x =+−，即260x x +−=， 2x ∴=或3x =−， 经验证2x =或3x =−为满足条件的实数x ． 故选：AC ．24．已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==−，a ，}b Z ∈，则( ) A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．A B =∅【分析】利用集合的基本关系可判断集合的关系．【解答】解：已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==−，a ，}b Z ∈， 若x 属于B ，则：233*(2)2*(2)x a b a b a =−=−+−； 2a b −、2a −均为整数，x 也属于A ，所以B 是A 的子集；若x 属于A ，则：322*(3)3*x a b a b =+=+−（a ）； 3a b +、a 均为整数，x 也属于B ，所以A 是B 的子集；所以：A B =， 故选：ABC ．25．已知集合2{|10}A x x =−=，则下列式子表示正确的有( ) A ．{1}A ∈B ．1A −⊆C ．A ∅⊆D ．{1，1}A −⊆【分析】利用集合与集合基本运算求出A 集合，再由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得答案， 【解答】解：已知集合2{|10}{1A x x =−==−，1}，由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得：以上式子表示正确的有：A ∅⊆，{1，1}A −⊆． 故选：CD ．26．已知集合{|13}A x x =−<…，集合{|||2}B x x =…，则下列关系式正确的是( ) A ．A B =∅B ．{|23}A B x x =− 剟C ．{|1R A B x x =− …ð或2}x >D ．{|23}R A B x x =< …ð【分析】求解绝对值不等式化简集合B ，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：{|13}A x x =−< …，{|||2}{|22}B x x x x ==−剟?， {|13}{|22}{|12}A B x x x x x x ∴=−<−=−< 剟剟，故A 不正确； {|13}{|22}{|23}A B x x x x x x =−<−=− 剟剟?，故B 正确； {|2R Bx x =<− ð或2}x >， {|13}{|2R A B x x x x ∴=−<<− …ð或2}{|2x x x >=<−或1}x >−，故C 不正确； {|13}{|2R A B x x x x =−<<− …ð或2}{|23}x x x >=<…，故D 正确．∴正确的是B ，D ．故选：BD ．27．下列命题正确的是( )A ．“26x <<”是“24120x x −−<”的必要不充分条件B ．函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈ C ．“x R ∀∈，3210x x −+…”的否定是“x R ∃∈，3210x x −+>”D ．设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x 则12373x x x π++=【分析】A 由24120x x −−<，解得26x −<<，可得“26x <<”是“24120x x −−<”的充分不必要条件； B 由tan 20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈，即可得出函数()tan 2f x x =的对称中心； C 取1x =−，则32110x x −+=−<，即可判断出；:sin D x x a +=化为sin()32ax π+=，由于常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a =，解得即可． 【解答】解：由24120x x −−<，解得26x −<<，因此“26x <<”是“24120x x −−<”的充分不必要条件，A不正确；由tan 20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈因此函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈，B 正确；取1x =−，则32110x x −+=−<，因此“x R ∀∈，3210x x −+>” C 不正确；sin x x a =化为sin()32ax π+=，由于常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a=，解得33x ππ+=，3ππ−，23ππ+，12373x x x π∴++=，D 正确． 故选：BD ．28．有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设A ，B 都为有限集合，下列命题中真命题是( ) A ．A B =∅ 的充要条件是()card A B card = （A ）card +（B ）B ．A B ⊆的必要条件是card （A ）card …（B ）C ．A B à的充要条件是card （A ）card …（B ）D ．A B =的充要条件是card （A ）card =（B ）【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：?A B =∅ 集合A 与集合B 没有公共元素，A 正确A B ⊆集合A 中的元素都是集合B 中的元素，B 正确A B à集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素，因此A 中元素的个数有可能多于B 中元素的个数，C错误A B =集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D 错误故选：AB ．29．使“a b <”成立的必要不充分条件是“( )”A ．0x ∀>，a b x +…B ．0x ∃…，a x b +<C ．0x ∀…，a b x <+D ．0x ∃>，a x b +… 【分析】根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可．【解答】解：若a b <，0x ∀>，则a x b x +<+，a a x <+ ，a a xb x ∴<+<+，即a b x <+，则a b x +…不一定成立；故A 错误，若a b <，当2a =，4b =，10x ∃=…，有a x b +<成立，反之不一定成立；故B 满足条件．0x ∀…，由a b <得a x b x +<+， 0x …，a x a ∴+…，即a a x b x +<+…则a b x <+成立，故C 满足条件，若a b <，当2a =，3b =，10x ∃=>，有a x b +…成立，反之不一定成立；故D 满足条件． 故选：BCD ．30．在下列结论中正确的是( )A ．“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件B ．“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件C ．“p q ∧”为真是“p ¬”为假的充分不必要条件D ．“p ¬”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件 【分析】利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件，A 正确； “p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件，B 不正确； “p q ∧”为真是“p ¬”为假的充分不必要条件，C 正确；“p ¬”为真，p 为假⇒ “p q ∧”为假，反之不成立，可能q 为假，p 为真，因此“p ¬”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件，D 正确． 故选：ACD ．专题02 函数（1）多项选择题1．（2019秋•清江浦区校级期末）已知函数()f x 是偶函数，且(5)(5)f x f x −=+，若()()sin g x f x x π=，()()cos h x f x x π=，则下列说法正确的是( ) A ．函数()y g x =是偶函数 B ．10是函数()f x 的一个周期C ．对任意的x R ∈，都有(5)(5)g x g x +=−D ．函数()y h x =的图象关于直线5x =对称【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()()sin g x f x x π=，()()sin ()()sin g x f x x f x x ππ−=−−=−−，又由函数()f x 是偶函数，则()()sin g x f x x π−=−， 即函数()g x 为奇函数，A 错误对于B ，由于()f x 是偶函数，且(5)(5)f x f x −=+，得(5)(5)(5)f x f x f x −=+=−，即(10)()f x f x +=， 则()f x 是周期为10的周期函数，所以(10)(10)cos(10)()cos ()h x f x x f x x h x πππ+=++==， 则()y h x =是的最小正周期为10，故B 正确；对于C ，(5)(5)sin((5))(5)sin(5)(5)(sin )(5)(sin )(5)sin (5)g x f x x f x x f x x f x x f x x g x ππππππ+=++=−+=−−=−−−=−=−，故C 正确；对于D ，(5)(5)cos(55)(5)cos(55)(5)cos(5510)(5)cos(55)(5)h x f x x f x x f x x f x x h x πππππ−=−−=+−=+−+=++=+， 所以函数()y h x =的图象关于直线5x =对称，D 正确； 故选：BCD ．2．（2019秋•胶州市期末）下列函数是偶函数的是( ) A ．()tan f x x =B ．()sin f x x =C ．()cos f x x =D ．()||f x lg x =【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()tan f x x =，是正切函数，是奇函数，不符合题意； 对于B ，()sin f x x =，是正弦函数，是奇函数，不符合题意； 对于C ，()cos f x x =，是余弦函数，是偶函数，符合题意；对于D ，()||f x lg x =，其定义域为{|0}x x ≠有()||||()f x lg x lg x f x −=−==，是偶函数，符合题意； 故选：CD ．3．（2019秋•菏泽期末）对数函数log (0a y x a >且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =−−在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【分析】对a 分类讨论，利用对数函数的单调性、二次函数的性质即可判断出结论．【解答】解：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =−−开口向上，对称轴102(1)xa >−，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =−−开口向下，对称轴102(1)xa <−，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．4．（2019秋•龙岩期末）函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x −与(2)f x −都为偶函数，则( ) A ．()f x 为偶函数 B ．(1)f x +为偶函数C ．(2)f x +为奇函数D ．()f x 为同期函数【分析】根据题意，由(1)f x −为偶函数，可得函数()f x 的图象关于直线1x =−对称，则有()(2)f x f x −−，由(2)f x −都为偶函数，可得函数()f x 的图象关于直线2x =−对称，则有()(4)f x f x −−，联立分析可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为2的周期函数，据此分析可得()f x 和(1)f x +为偶函数，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若(1)f x −为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线1x =−对称，则有()(2)f x f x −−， 若(2)f x −都为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线2x =−对称，则有()(4)f x f x −−，则有(2)(4)f x f x −−−−，变形可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为2的周期函数，则D 正确； 又由函数()f x 的图象关于直线2x =−对称且()f x 的周期为2，则()f x 的图象也关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，A 正确；又由函数()f x 的图象关于直线1x =−对称且()f x 的周期为2，则()f x 的图象也关于直线1x =对称，即(1)f x +为偶函数，B 正确； 同理：(2)f x +为偶函数，C 错误； 故选：ABD ．5．（2019秋•启东市期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)−∞上单调递减的函数是( ) A．y =B ．||1()2x y =C ．121log ||y x = D ．sin y x =【分析】结合奇偶性及单调性的定义，再结合指数与对数函数，幂函数及余弦函数的性质即可判断．【解答】解；结合幂函数的性质可知y =(,0)−∞上单调递减，符合题意； 结合指数函数的性质可知，||1()2x y =在(,0)−∞上单调递增，不符合题意；结合对数函数的性质可知，121log (,0)||y x −∞上单调递减且为偶函数，符合题意；结合正弦函数的性质可知sin y x =为奇函数，不符合题意． 故选：AC ．6．（2019秋•淮安期末）下列函数中定义域是R 的有( ) A ．2x y =B ．y lgx =C ．3y x =D ．tan y x =【分析】根据常见的基本初等函数的定义域，判断是否满足题意即可． 【解答】解：对于A ，函数2x y =，定义域为R ，满足题意； 对于B ，函数y lgx =，定义域为(0,)+∞，不满足题意； 对于C ，函数3y x =，定义域为R ，满足题意； 对于D ，函数tan y x =，定义域为(2k ππ−+，)2k ππ+，k Z ∈，不满足题意．故选：AC ．7．（2019秋•泰州期末）德国数学家狄里克雷(Dirichlet ，PeterGustavLejeune ，1805~1859)在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是( )A ．()0D π=B ．()D x 的值域为{0，1}C ．()D x 的图象关于直线1x =对称D ．()D x 的图象关于直线2x =对称【分析】结合已知定义可写出函数解析式，然后结合函数的性质即可判断． 【解答】解：由题意可得()0,1,x D x x Q =∈为无理数， 由于π为无理数，则()0D π=，故A 正确；结合函数的定义及分段函数的性质可知，函数的值域{0，1}，故B 正确；结合函数可知，当x Q ∈时，()1D x =关于1x =，2x =都对称，当x 为无理数时，()0D x =关于1x =，2x =都对称． 故选：ABCD ．8．（2019秋•连云港期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间[1−，1]上单调递增的是( ) A ．()2f x x =B ．()2x f x =C ．()tan f x x =D ．()cos f x x =【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性的定义及性质对各选项进行判断． 【解答】解：结合指数函数的性质可知，2x y =为非奇非偶函数，A 不符合题意； cos y x =为偶函数，不符合题；2y x =为奇函数且在[1−，1]上单调递增，符合题意；结合正切函数的性质可知，tan y x =为奇函数且在[1−，1]上单调递增． 故选：AC ．9．（2019秋•三明期末）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有( )A ．()f x x =与()g x =B ．()|1|f t t =−与()|1|g x x =−C ．()f x x =与2()log 2xg x =D ．21()1x f x x −=+与()1g x x =−【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．【解答】解：对于A ，函数()f x x =与()||g x x =的解析式不同，表示相同函数；对于B ，函数()|1|f t t =−的定义域为R ，()|1|g x x =−的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C ，函数()f x x =的定义域为R ，2()log 2g x =x x =的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D ，函数21()11x f x x x −==−+的定义域为(−∞，1)(1−−∪，)+∞，()1g x x =−的定义域为R ，定义域不同，不是相同函数． 故选：BC ．10．（2019秋•宿迁期末）已知2(21)4f x x −=，则下列结论正确的是( ) A ．f （3）9=B ．(3)4f −=C ．2()f x x =D ．2()(1)f x x =+【分析】利用配凑法求出函数解析式，进而得解．【解答】解：2(21)(21)2(21)1f x x x −=−+−+，故2()21f x x x =++，故选项C 错误，选项D 正确；f （3）16=，(3)4f −=，故选项A 错误，选项B 正确． 故选：BD ．11．（2019秋•泉州期末）已知1(A x ，)m 和2(B x ，)m 为函数()2sin3xf x =的图象上两点，若21||x x k π−=，{1k ∈，2，3，4，5}，则m 的值可能为( )A ．0B ．1CD 【分析】由已知可得()f x 的周期为6π，再分k 的不同取值即可求出结论． 【解答】解：由已知可得()f x 的周期为6π， 当3k =时，如下图所示，此时0m =当2k =或4k =时，如下图所示，结合对称性，此时1m =±当1k =或5k =时，如下图所示，结合对称性，此时m =综上，本题答案为ABD 故选：ABD ．12．（2019秋•清远期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +−=，且当0x …时，()1x f x e x =+−．若(sin )((2sin ))f x f k x +…在x R ∈上恒成立，则k 的可能取值为( )A ．1B ．0C ．1−D ．2−【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到sin (2sin )x k x +…，再根据题意，利用检验法判断即可． 【解答】解：定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +−=，()f x 为奇函数， 当0x …时，()1x f x e x =+−，显然()f x 在(0,)+∞递增，所以()f x 在R 上递增，(sin )((2sin ))f x f k x +…在x R ∈上恒成立， 可得sin (2sin )x k x +…，(1)sin 2k x k −…，当1k =时，02…，不成立，故A 错误；当0k =时，sin 0x …成立，不恒成立，故B 错误；当1k =−时，2sin 2x −…，即sin 1x −…，恒成立，故C 正确； 当2k =−时，3sin 4x −…，即4sin 3x −…恒成立，故D 正确； 故选：CD ．13．（2019秋•海南期末）已知函数2()361f x x x =−−，则( ) A ．函数()f x 有两个不同的零点 B ．函数()f x 在(1,)−+∞上单调递增C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈−，1]上的最大值为8，则3a =D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈−，1]上的最大值为8，则13a =【分析】结合二次函数的零点及单调性及复合函数的单调性与最值的关系分别检验各选项即可判断． 【解答】解：因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△2(6)43(1)480=−−××−=>， 所以函数()f x 有两个不同的零点，A 正确；因为二次函数()f x 图象的对称轴为1x =，且图象开口向上， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，B 不正确； 令x t a =，则22()()3613(1)4x f a g t t t t ==−−=−−． 当1a >时，1t a a 剟，故()g t 在1[,]a a 上先减后增，又112a a +>，故最大值为g （a ）23618a a =−−=，解得3a =（负值舍去）． 同理当01a <<时，1a t a 剟，()g t 在1[,]a a 上的最大值为2136()18g a a a=−−=， 解得13a =（负值舍去）．故选：ACD ．14．（2019秋•滨州期末）已知函数2()23f x x x =−−，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的最小值为4− B ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递增C ．函数(||)f x 为偶函数D ．若方程(|1|)f x a −=在R 上有4个不等实根1x ，2x ，3x ，4x ，则12344x x x x +++=【分析】由二次函数的性质，可判断选项A ，B 真假，根据奇偶性定义，可判断选项C 真假，作出()y h x =的图象，结合对称性，可判断选项D 真假．【解答】解：二次函数()f x 在对称轴1x =处取得最小值，且最小值f （1）4=−，故选项A 正确；二次函数()f x 的对称轴为1x =，其在(0,)+∞上有增有减，故选项B 错误；由()f x 得，2(||)||2||3f x x x =−−，显然(||)f x 为偶函数，故选项C 正确； 令2()(|1|)|1|2|1|3h x f x x x =−=−−−−，方程(|1|)f x a −=的零点转化为()y h x =与y a = 的交点， 作出()h x 图象如右图所示：图象关于1x = 对称，当()y h x = 与y a = 有四个交点时， 两两分别关于1x =对称，所以12344x x x x +++=， 故选项D 正确． 故选：ACD ．15．（2019秋•费县期末）已知函数()x x f x e e −=−，()x x g x e e −=+，则以下结论错误的是( ) A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x −<−B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0g x g x x x −<−C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值【分析】由函数()f x 及函数()g x 的性质直接判断即可． 【解答】解：1()x xf x e e =−在R 上单调递增，无最值，故选项AC 错误； 1()x xg x e e =+为偶函数，易知其在(,0)−∞为减函数，在(0,)+∞为增函数，且在1x =处取得最小值，无最大值，故选项B 错误； 故选：ABC ．16．（2019秋•枣庄期末）具有性质：1()()f f x x=−的函数，我们称为满足“倒负”变换的T函数．下列函数中T 函数有( )A ．1y x x=−B ．1y x x=+C ．,010,11,1x x y x x x<<== −> D ．1(0)1xy lnx x−≠+ 【分析】根据题意，逐项判断即可．【解答】解：由1()()f f x x=−可知，若函数()f x 在1x =处有意义，则f （1）0=，故排除B ；对于A ，11()()f x f x x x=−=−，符合题意，故A 正确；对于C ，当01x <<时，11x>，则1()()f x f x x =−=−，符合题意； 当1x >时，101x <<，则11()()f f x x x==−，符合题意； 当1x =时，f （1）0=符合题意，故C 正确；对于D ，函数的定义域为(1−，0)(0∪，1)，1111()()111x x f ln ln f x x x x −−==≠−++，故D 错误． 故选：AC ．17．（2019秋•泰安期末）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于任意实数对1(x ，1)y M ∈，存在2(x ，2)y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是( ) A ．21(,)|M x y y x==B ．{(,)|sin 1}M x y y x ==+C ．{(,)|22}x M x y y ==− D ．2{(,)|log }M x y y x ==【分析】由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点1(A x ，1)y 与原点的直线，曲线()y f x =上都存在过点2(B x ，2)y 与原点的直线与之垂直，根据题意，对四个选项逐一分析即可得到答案．【解答】解：由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直． 对于A ，21{(,)|}M x y yx ==，其图象向左向右和x 轴无限接近，向上和y 轴无限接近，如图，在图象上任取一点1(A x ，1)y ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与21y x =的图象相交， 即一定存在点2(B x ，2)y ，使得OB OA ⊥成立， 故21{(,)|}M x y yx ==是“垂直对点集”，故A 正确． 对于B ，{(,)|sin 1}M x y y x ==+，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作直线OA 的垂线OB ，因为sin 1y x =+的图象沿x 轴向左向右无限延展，且与x 轴相切， 因此直线OB 总会与sin 1y x =+的图象相交．所以{(,)|sin 1}M x y y x ==+是“垂直对点集”，故B 正确； 对于C ，{(,)|22}x Mx y y ==−，其图象过点(0,1)−，且向右向上无限延展，向左向下无限延展， 据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与22x y =−的图象相交， 即一定存在点B ，使得OB OA ⊥成立，故{(,)|22}x M x y y ==−是“垂直对点集”，故C 正确． 对于D ，2{(,)|log }M x y y x ==，(0)x >，取(1,0)，则不存在点2(x ，222log )(0)x x >，满足2100x ×+=， 因此集合M 不是“垂直对点集”，故D 不正确； 故选：ABC ．18．（2019秋•菏泽期末）下列函数中是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数的有( ) A ．cos y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．2log ||y x =【分析】根据函数的图象和性质判断即可．【解答】解：其中A ，B ，D 函数是偶函数，排除C ，B ，D 且在(0,)+∞上为增函数，对于D 根据翻折变换图象如下：故选：BD ．19．（2019秋•葫芦岛期末）已知函数3()2bx f x ax +=+在区间(2,)−∞上单调递增，则a ，b 的取值可以是（ ） A ．1a =，32b >B ．01a <…，2b =C ．1a =−，2b =D ．12a =，1b = 【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得23()2bb a f x ax a−=++，结合反比例函数的性质以及函数图象平移的规律可得22a −− (230)a−<，分析可得a 、b 的关系，据此分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，函数22(2)333()222b b bax bx b a a a f x ax ax ax a ++−−+===++++，其定义域为2{|}x x a≠−， 若函数3()2bx f x ax +=+在区间(2,)−∞上单调递增， 必有22a −−…且230b a−<，即01a <…且23ba<， 据此分析选项：A 、B 、D 符合； 故选：ABD ．。

新高考考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15题，共45分）1. 以下哪个选项是新高考改革的主要目标？A. 增加学生的课业负担B. 促进学生全面发展C. 减少考试科目D. 降低考试难度答案：B2. 新高考改革中，学生可以自由选择的科目组合有多少种？A. 3种B. 6种C. 12种D. 20种答案：C3. 新高考改革中，语文、数学、外语三门科目的考试形式是什么？A. 全部为闭卷考试B. 全部为开卷考试C. 语文、数学闭卷，外语开卷D. 语文、数学开卷，外语闭卷答案：A4. 新高考改革中，综合素质评价的内容包括哪些方面？A. 学业成绩、品德表现、身心健康、艺术素养、社会实践B. 学业成绩、品德表现、身心健康、艺术素养、科技创新C. 学业成绩、品德表现、身心健康、艺术素养、体育竞技D. 学业成绩、品德表现、身心健康、艺术素养、劳动实践答案：A5. 新高考改革中，学生综合素质评价的结果如何使用？A. 仅作为高校录取的参考B. 作为高校录取的主要依据C. 作为高校录取的唯一依据D. 不作为高校录取的依据答案：A6. 新高考改革中，高校招生录取的方式有哪些？A. 统一考试、综合评价、多元录取B. 统一考试、综合评价、择优录取C. 统一考试、综合评价、推荐免试D. 统一考试、综合评价、保送录取答案：A7. 新高考改革中，高校招生计划的分配方式是什么？A. 全部按照考生所在省份分配B. 按照考生所在省份和报考专业分配C. 按照考生所在省份和报考学校分配D. 按照考生所在省份、报考专业和报考学校分配答案：D8. 新高考改革中，高校招生录取的时间安排是怎样的？A. 每年6月统一考试，7月录取B. 每年6月统一考试，8月录取C. 每年7月统一考试，8月录取D. 每年7月统一考试，9月录取答案：B9. 新高考改革中，学生可以参加几次统一考试？A. 1次B. 2次C. 3次D. 4次答案：B10. 新高考改革中，学生参加统一考试的科目有哪些？A. 语文、数学、外语B. 语文、数学、外语、物理C. 语文、数学、外语、化学D. 语文、数学、外语、生物答案：A11. 新高考改革中，学生参加统一考试的时间安排是怎样的？A. 每年6月的第1个周末B. 每年6月的第2个周末C. 每年6月的第3个周末D. 每年6月的第4个周末答案：B12. 新高考改革中，学生参加统一考试的成绩如何计算？A. 按照原始分数计算B. 按照标准分计算C. 按照百分位计算D. 按照等级分计算答案：D13. 新高考改革中，学生参加统一考试的成绩如何使用？A. 仅作为高校录取的参考B. 作为高校录取的主要依据C. 作为高校录取的唯一依据D. 不作为高校录取的依据答案：B14. 新高考改革中，学生参加统一考试的成绩有效期是多久？A. 1年B. 2年C. 3年D. 4年答案：B15. 新高考改革中，学生参加统一考试的成绩如何查询？A. 通过学校查询B. 通过教育部门查询C. 通过考试机构查询D. 通过高校查询答案：C二、多项选择题（每题4分，共5题，共20分）16. 新高考改革的主要特点包括哪些方面？A. 增加学生选择权B. 强化综合素质评价C. 优化高校招生录取方式D. 减少考试科目答案：ABC17. 新高考改革中，学生可以自由选择的科目包括哪些？A. 物理B. 化学C. 生物D. 政治答案：ABCD18. 新高考改革中，学生综合素质评价的结果如何使用？A. 作为高校录取的参考B. 作为高校录取的主要依据C. 作为高校录取的唯一依据D. 不作为高校录取的依据答案：A19. 新高考改革中，高校招生录取的方式有哪些？A. 统一考试B. 综合评价C. 多元录取D. 择优录取答案：ABC20. 新高考改革中，高校招生计划的分配方式是什么？A. 按照考生所在省份分配B. 按照考生所在省份和报考专业分配C. 按照考生所在省份和报考学校分配D. 按照考生所在省份、报考专业和报考学校分配答案：D三、判断题（每题2分，共10题，共20分）21. 新高考改革的主要目标是增加学生的课业负担。

山东省莱芜市新高考高一下物理精选常考多选题汇总多选题有答案含解析1．M、N是一对水平放置的平行板电容器，将它与一电动势为E，内阻为r的电源组成如图所示的电路，R是并联在电容器上的滑动变阻器，G是灵敏电流计，在电容器的两极板间有一带电的油滴处于悬浮状态，如图，下列说法正确的是A．打开S后，使两极板靠近，则微粒将向上运动B．打开S后，使两极板靠近，则微粒仍保持静止C．保持开关S闭合，将滑动变阻器的滑片向上滑动，灵敏电流计中有从a向b的电流D．保持开关S闭合，将滑动变阻器的滑片向上滑动，灵敏电流计中有从b向a的电流2．(本题9分)物体在合外力作用下做直线运动的v-t图象如图所示，下列表述正确的是A．在0～1s内，物体做加速运动，合外力做正功B．在1～3s内，物体做匀速运动，合外力做正功C．在3～7s内，合外力做功为零D．在0～5s内，速度变化量为零，合力的平均功率为零3．(本题9分)如图所示，在匀强电场中有边长、∠A=60°的菱形ABCD，场强方向平行于ABCD 平面，已知A、B、C点电势分别为9V、4.5V、0V，则下列说法中正确的是A．D点电势大小为4.5VB．D点电势大小为3VC．匀强电场场强大小为150V/m，场强方向沿BDD．匀强电场场强大小为300V/m，场强方向沿AC4．(本题9分)如图所示，倾角为的传送带以2m/s的速度沿图示方向匀速运动现将一质量为2kg的小木块，从传送带的底端以v0＝4m/s的初速度，沿传送带运动方向滑上传送带。

已知小木块与传送带间的动摩擦因数为＝0.5，传送带足够长，sin＝0.6，cos＝0.8，取g＝10m/s2。

小物块从滑上传送带至到达最高点的过程中，下列说法正确的是( )A．物块运动时间为1.2sB．物块发生的位移大小为1.6mC．物块与传送带间因摩擦而产生的热量为6.4JD．摩擦力对小木块所做功为12.8J5．(本题9分)真空中有两点电荷1q、2q分别位于直角三角形的顶点C和顶点B上，D为斜边AB的中点∠ABC=30°，如图所示，已知Ａ点电场强度的方向垂直AB向下，则下列说法正确的是（）A．1q带正电，2q带负电B．1q带负电，2q带正电C．1q电荷量的绝对值等于2q电荷量的绝对值的二倍D．1q电荷量的绝对值等于2q电荷量的绝对值的一半6．(本题9分)关于地球同步卫星，下列说法中正确的是（）A．如果需要，可以定点在北京的正上方B．卫星的运行周期与地球的自转周期相同C．在轨道上运行的线速度大于7.9km/sD．所有同步卫星离地面的高度都相等7．如图所示，真空中有两个点电荷Q1=+4.0⨯10-8C和Q2=-1.0⨯10-8C，分别固定在x坐标轴的坐标原点和x=6cm的位置上。

新高考数学高考数学压轴题 数列的概念选择题专项训练分类精编含解析一、数列的概念选择题1．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则na n的最小值为（ ） A ．21B ．10C ．212 D ．172答案：C解析：C 【分析】由累加法求出233n a n n =+-，所以331n a n n n，设33()1f n n n=+-，由此能导出5n =或6时()f n 有最小值，借此能得到na n的最小值. 【详解】解：()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+22[12(1)]3333n n n =++⋯+-+=+-所以331n a n nn设33()1f n n n=+-，由对勾函数的性质可知， ()f n 在(上单调递减，在)+∞上单调递减，又因为n ∈+N ，所以当5n =或6时()f n 可能取到最小值. 又因为56536321,55662a a ===， 所以n a n的最小值为62162a =.故选：C. 【点睛】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.2．在数列{}n a 中，11a =，()*122,21n n a n n N a -=≥∈-，则3a =（ ）A ．6B ．2C ．23 D ．211答案：C解析：C 【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得3a 的值. 【详解】()*122,21n n a n n N a -=≥∈-，11a =，212221a a ∴==-，3222213a a ==-.故选：C. 【点睛】本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.3．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么24620201a a a a +++++=（ ）A ．2021aB ．2022aC ．2023aD ．2024a答案：A解析：A 【分析】根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a +++++++++=+3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++=+++=+=.故选：A4．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0B ．53C ．73D ．3答案：B解析：B 【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+= 故选：B5．已知数列{}n a 满足2122111,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（ ） A ．92B ．102C ．8182D ．112答案：B解析：B 【分析】本题先根据递推公式进行转化得到21112n n n n a a a a +++=．然后令1n n na b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列{}n a 的最大项． 【详解】解：由题意，可知： 21112n n n na a a a +++=． 令1n n n ab a +=，则112n n b b +=． 21116a b a ==， ∴数列{}n b 是以16为首项，12为公比的等比数列． 111163222n nn b -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．∴11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴1211322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2321322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111322n n n a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭．各项相乘，可得： 12111111(32)222n n n a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)2511()22n n n --⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2115(1)221122n n n ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211552212n n n --+⎛⎫= ⎪⎝⎭21(1110)212n n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令2()1110f n n n =-+，则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值．()2551151020f =-⨯+=-，()2661161020f =-⨯+=-，()f n ∴的最小值为20-．∴211(1110)(20)1022101112222n n -+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴数列{}n a 的最大项为102．故选：B ． 【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值； 6．在数列{}n a 中，21n n a n +=+，则{}n a （ ） A ．是常数列B ．不是单调数列C ．是递增数列D ．是递减数列答案：D解析：D 【分析】 由21111n n a n n +==+++，利用反比例函数的性质判断即可. 【详解】在数列{}n a 中，21111n n a n n +==+++， 由反比例函数的性质得：{}n a 是*n N ∈时单调递减数列， 故选：D7．已知数列{}n b 满足12122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．101,3B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(-1，1)D ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭答案：A解析：A 【分析】由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，讨论n 为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出. 【详解】数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，即()122112+1222nn n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，则()6212nn λ>-+⋅恒成立，()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-，66λ∴>-，解得1λ>-；当n 为偶数时，则()6212nn λ<+⋅恒成立，()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，620λ∴<，解得103λ<， 综上，1013λ-<<. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 8．设n a 表示421167n n +的个位数字，则数列{}n a 的第38项至第69项之和383969a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．180B ．160C ．150D ．140答案：B解析：B 【分析】根据题意可得n a 为421167n n +的个位数为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，即可求和. 【详解】由n a 为421167n n +的个位数， 可得n a 为27n n +的个位数， 而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，所以27n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 即421167n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 第38项至第69项共32项，共8个周期， 所以383969a a a ++⋅⋅⋅+=8(9317)160⨯+++=. 故选：B9．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184B ．174C ．188D ．160答案：B解析：B 【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得19a . 【详解】3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()11113322n n n n -+⋅--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.10．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072B ．2073C ．2074D ．2075答案：C解析：C 【分析】由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，因为331217282025132197=<<=，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉12个立方数，又66320254<<，所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项，所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.11．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 答案：C解析：C 【分析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令(1)10242n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是A ．21n n n a a a ++=+B ．13599100a a a a a ++++=C ．2499a a a a +++=D ．12398100100S S S S S ++++=-答案：C解析：C 【分析】21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进而D 正确. 【详解】已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正确；24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -故D 正确. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广. 13．若数列的前4项分别是1111,,,2345--，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n --B ．(1)n n -C ．1(1)1n n +-+D ．(1)1n n -+答案：C解析：C根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式. 【详解】设所求数列为{}n a ，可得出()111111a+-=+，()212121a+-=+，()313131a+-=+，()414141a+-=+，因此，该数列的一个通项公式为()111n na n +-=+.故选：C. 【点睛】本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题. 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N++=+∈且1300nS=，若23a <，则n 的最大值为（ ）A ．49B ．50C ．51D ．52答案：A解析：A 【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n nS =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n=，因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====，所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+，2511151351413752S a a +⨯-=+=+，又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A 【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题. 15．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”. 因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．二、数列多选题16．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列C ．2020312a <<D ．2020314a << 答案：ABD 【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则，所以当时，，即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数， 即， 即， 所以 ，解析：ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()131ln 2ln 1222f x <<<+<+， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥，所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 17．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23 C ．32D ．3答案：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，， ； ； ；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >答案：ABC 【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.19．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8答案：BD 【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB 选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列是递增数列，则，A 选项错误解析：BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.20．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =答案：BD 【分析】设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 因为、、成等差数列，则，即， 解得，，解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d S d -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.21．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =答案：BCD 【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意，，所以，故A 错误； 所以，所以，故B 正确； 因为， 所以当解析：BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21答案：BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由Sn>0解不等式可判断D ． 【详解】由公差，可得，即，① 由a7是a解析：BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭*n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．23．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+答案：ABD 【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】 得， ∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列，∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，解析：ABD【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】)211na=-得)211na+=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n=+-⨯=+，∴22na n n=+，得28a=，由二次函数的性质得数列{}n a为递增数列，所以易知ABD正确，故选：ABD.【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.24．设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（）A．a6＞0B．2437d-<<-C．S n＜0时，n的最小值为13D．数列nnSa⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项答案：ABCD【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得＜d＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn＜0解析：ABCD【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得247-＜d＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得S n＜0时，n的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，nnS a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．25．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值答案：AC 【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列中， 由，得，又，联立解得，， 则，． ．故正确，错误；可得数列的解析：AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。

Җ㊀湖北㊀樊会武１㊀汤㊀芹２㊀㊀随着新课程改革的推进,«有机化学基础»不再是选学选考内容,而是所有参加化学学业水平选择性考试的学生必须面对的知识．同时,由于有机化学基础知识变为必考内容,这必然拓宽了命题者的视野和出题范围,也必然增加了考查的角度．在强调 必备知识 关键能力 和 核心素养 的新高考时代,为了帮助学生顺利掌握此类试题的解题方法,特结合近三年高考试题梳理成文,供大家参考．１㊀考查化学用语例１㊀(２０２０年７月浙江卷)下列表示不正确的是(㊀㊀)．A．乙烯的结构式:C HH CHHB ．甲酸甲酯的结构简式:C ２H ４O ２C ．２Ｇ甲基丁烷的键线式:D．甲基的电子式:HCH H本题考查的是有机物或有机结构片段的正确表示方法 化学用语,C ２H４O ２是甲酸甲酯的分子式,故选项B 说法错误．答案为B ．例２㊀下列表示或说法不正确的是(㊀㊀)．A．羟基的电子式:OH B ．乙烯的结构简式:C H ２C H ２C ．O HC H ３和C H ２O H C H ３互为同系物D．C H ３C O O C H ２C H ３和C H ３C H ２C H ２C O O H 互为同分异构体乙烯的结构简式为C H ２ C H ２,选项B 说法错误．OHC H ３属于酚类,C H ２O H C H ３属于芳香醇,不是同系物．答案为B ㊁C ．２㊀考查有机物的空间结构２．１㊀原子共线共面的考查例３㊀(２０１９年全国卷Ⅲ)下列化合物的分子中,所有原子可能共平面的是(㊀㊀)．A．甲苯㊀㊀B ．乙烷C ．丙炔㊀㊀D．１,３Ｇ丁二烯该题目考查４种不同类型有机物的空间结构知识．选项A ㊁B ㊁C 分子中均含有甲基,甲基上的氢原子不可能都与碳原子形成共平面结构,因此这３种化合物都不符合题目要求．而１,３Ｇ丁二烯为一种共轭二烯烃,分子中的碳原子均为不饱和碳原子,所有原子均可在同一平面上．答案为D．２．２㊀同系物或同分异构体的考查例４㊀(２０１９年海南卷)下列各组化合物中不互为同分异构体的是(㊀㊀)．A．;B ．C ．C O O H;O D．HOO HO H选项B 中前一物质的分子式为C１４H ２０,后一物质的分子式为C １３H ２２,故两者不属于同分异构体．答案为B ．例５㊀下列说法正确的是(㊀㊀)．A ．C H ３ C H ２ C H C H ３C H ３的名称为３Ｇ甲基丁烷B ．C H ３C H ２C H ２C H ２C H ３和C H ３ C H ２ C H C H ３C H ３互为同素异形体C ．C H F C lC l 和C C l F HC l 为同一物质６５D．C H ３C H ２O H 和C H ２ C H C H ２O HO H O H具有相同的官能团,互为同系物物质C H ３ C H ２ C H C H ３C H ３为烷烃,最长碳链为４个碳原子所在碳链．根据最低系列原则,从离取代基近的一端开始编号,正确的名称为２Ｇ甲基丁烷,选项A 错误．C H ３C H ２C H ２C H ２C H ３和C H ３ C H ２ C H C H ３C H ３为分子式相同但结构不同的有机物,互为同分异构体,选项B 错误．甲烷分子为正四面体结构,４个氢原子位置完全等效,故C H FC lC l 和C C l FHC l 为同一物质,选项C 正确．C H ３C H ２O H 和C H ２ C H C H ２O H O H O H具有相同的官能团,但官能团个数不同,结构也不只是相差了１个或几个C H ２,不能互为同系物,选项D 错误．答案为C ．３㊀考查有机物的基础知识３．１㊀化学与社会例６㊀(２０１９年天津卷)化学在人类社会发展中发挥着重要作用,下列事实不涉及化学反应的是(㊀㊀)．A．利用废弃的秸秆生产生物质燃料乙醇B ．利用石油生产塑料㊁化纤等高分子材料C ．利用基本的化学原料生产化学合成药物D．利用反渗透膜从海水中分离出淡水本题结合生活中常见现象中蕴含的化学知识,考查常见变化的分类．选项A ㊁B ㊁C 中均有新的物质生成,都涉及化学反应,而用反渗透膜从海水中分离出淡水,是将盐从海水中分离出来,没有生成新的物质,所以不涉及化学反应．答案为D．３．２㊀古诗词中的有机化学例７㊀(２０１９年全国卷Ⅱ)春蚕到死丝方尽,蜡炬成灰泪始干 是唐代诗人李商隐的著名诗句,下列关于该诗句中所涉及物质的说法错误的是(㊀㊀)．A．蚕丝的主要成分是蛋白质B ．蚕丝属于天然高分子材料C ．蜡炬成灰 过程中发生了氧化反应D．古代的蜡是高级脂肪酸酯,属于高分子聚合物诗中的 丝 就是蚕丝,是由多种氨基酸用肽键聚合形成的蛋白质,是一种高品质的天然高分子材料(天然纤维)．选项A ㊁B 均不符合题意．现代的石蜡是由石油加工得到的C ２０~C ３０烷烃混合物形成的白色或黄色固体,有多种用途,亦可用来制作蜡烛．而古代的蜡绝大多数是 蜂蜡 或 白蜡 ． 蜂蜡 是由高级脂肪酸和长链一元醇或多元醇形成的酯;白蜡 又称中国蜡,是一种白蜡虫的分泌物,其主要成分为C ２６~C２８的饱和酸与C ２６饱和醇形成的酯．无论是 蜂蜡 还是 白蜡 ,虽然相对分子质量都很大,但都不属于高分子聚合物,选项D 说法错误,符合题意． 蜡炬成灰 的过程实质上就是蜡与空气中的氧气发生剧烈氧化反应 燃烧,释放出的能量一部分以光能形成呈现,选项C 正确,不符合题意．答案为D．３．３㊀有机物基本性质例８㊀(２０２０年天津卷)下列说法错误的是(㊀㊀)．A．淀粉和纤维素均可水解产生葡萄糖B ．油脂的水解反应可用于生产甘油C ．氨基酸是组成蛋白质的基本结构单元D．淀粉㊁纤维素和油脂均是天然高分子淀粉和纤维素均属于多糖,可以发生水解反应生成葡萄糖,选项A 说法正确;油脂的水解产物之一是甘油,且易于分离,故可用于生产甘油,选项B 说法正确;氨基酸是组成蛋白质的基本结构单元,选项C 正确;油脂是天然有机小分子,淀粉和纤维素均是天然高分子,选项D 说法错误．答案为D．例９㊀下列说法不正确的是(㊀㊀)．①天然气的主要成分甲烷是高效㊁较洁净的燃料,且天然气是不可再生能源．②石油的分馏㊁煤的气化和液化都是物理变化．③石油的裂化主要是为了得到更多的轻质油．④厨余垃圾中蕴藏着丰富的生物质能．⑤用水煤气可合成液态碳氢化合物和含氧有机物．⑥火棉是含氮量高的硝化纤维．⑦相同条件下等质量的甲烷㊁汽油㊁氢气完全燃烧,放出的热量依次增加．⑧油脂在碱性条件下水解生成的高级脂肪酸盐是肥皂的主要成分．⑨根据纤维在火焰上燃烧产生的气味,可以鉴别蚕丝与棉花．⑩淀粉㊁纤维素㊁蛋白质都属于高分子化合物．７５石油的分馏是物理变化,但煤的气化和液化都是化学变化,故②错误;甲烷㊁汽油[主要成分之一为辛烷(C８H１８)]和氢气的燃烧热不同㊁摩尔质量不同,故相同质量的３种物质完全燃烧,放出的热量需要通过定量计算获得,经查表可知,２５ħ,１０１k P a条件下,ΔH[H２(g)]＝－２８５k J m o l－１,ΔH[C H４(g)]＝－８９０ ３k J m o l－１,ΔH[C８H８(l)]＝－５５１８k J m o l－１,Q[H２(g)]＞Q[C H４(g)]＞Q[C８H８(l)],故⑦错误．答案为②⑦．例１０㊀下列说法不正确的是(㊀㊀)．A．石油裂解气可以使溴水褪色,也可以使高锰酸钾溶液褪色B．可以用新制氢氧化铜检验乙醇中是否含有乙醛C．正丙醇(C H３C H２C H２O H)和钠反应要比水和钠反应剧烈D．C H２ C H C H３＋C l２高温ңC H２ C H C H２Cl＋H C l属于取代反应石油裂解气中含有烯烃,故能够与溴水发生加成反应而使之褪色,能与高锰酸钾溶液发生氧化还原反应而使之褪色,选项A说法正确．新制氢氧化铜可与乙醛在加热条件下发生菲林反应,产生红色沉淀,可以用来检验乙醛,选项B说法正确．正丙醇中羟基的活性较小,与金属钠反应的程度低于水与金属钠反应的剧烈程度,选项C说法错误．丙烯甲基上氢原子被氯原子取代,是饱和碳原子的特征反应,故选项D说法正确．答案为C．例１１㊀下列说法正确的是(㊀㊀)．A．分馏石油可以得到植物油㊁柴油㊁润滑油B．在酒化酶的作用下葡萄糖水解为乙醇和二氧化碳C．乙酸㊁汽油㊁纤维素均能和氢氧化钠溶液反应D．在大豆蛋白溶液中,加入硫酸铜溶液,蛋白质会发生变性植物油的主要成分是油脂,石油分馏不会得到植物油,选项A说法错误;葡萄糖是单糖,不会水解,在酒化酶的作用下会转化为乙醇和二氧化碳,发生了氧化反应,选项B说法错误．汽油的主要成分是多种烃,烃不能与氢氧化钠溶液发生反应,选项C说法错误．硫酸铜是重金属盐,能使蛋白质发生变性,选项D正确．答案为D．例１２㊀下列说法不正确的是(㊀㊀)．A．正丁烷的沸点比异丁烷的高,乙醇的沸点比二甲醚的高B．甲烷㊁苯㊁葡萄糖均不能使溴水或酸性高锰酸钾溶液褪色C．羊毛㊁蚕丝㊁塑料㊁合成橡胶都属于有机高分子材料D．天然植物油没有恒定的熔沸点,常温下难溶于水碳原子数相同的烷烃,支链越多,分子间作用力越弱㊁熔沸点越低,故正丁烷的沸点比异丁烷的高;乙醇由于形成了分子间氢键,分子间作用力强于二甲醚,故沸点高于二甲醚,选项A说法正确．葡萄糖是多羟基醛,含有醛基,能够被溴水㊁高锰酸钾等氧化,使溴水或酸性高锰酸钾溶液褪色,选项B说法错误．羊毛㊁蚕丝㊁塑料㊁合成橡胶都是有机高分子化合物,形成的材料为有机高分子材料,其中羊毛㊁蚕丝主要成分为蛋白质,属于天然高分子化合物,塑料㊁合成橡胶属于人工合成的高分子材料,选项C说法正确．天然植物油常温下为不溶于水的液体,是混合物,没有恒定的熔沸点,选项D说法正确．答案为B．例１３㊀下列表述正确的是(㊀㊀)．A．苯和氯气生成C６H６C l６的反应是取代反应B．乙烯与溴水发生加成反应的产物是C H２C H２B r２C．等物质的量的甲烷与氯气反应的产物是C H３C lD．硫酸作催化剂,C H３C O１８O C H２C H３水解所得乙醇分子中有１８O苯和氯气在紫外线的作用下生成C６H６C l６(俗称 六六六 ,是一种农药),反应方程式为C６H６＋３C l２ңC６H６C l６,是加成反应,选项A错误．乙烯与溴水发生加成反应的产物是C H２B r C H２B r,选项B错误．甲烷与氯气反应为连续反应,得到多种氯代烃和H C l的混合物,选项C错误．乙酸乙酯的水解反应断裂C １８O单键,含有１８O的乙氧基原子团与水中的H原子结合生成H１８O C H２C H３,选项D正确．答案为D．４㊀考查有机物的分离和提纯例１４㊀(２０１９年上海卷)下列物质分离(括号内的物质为杂质)的方法错误的是(㊀㊀)．A．硝基苯(苯) 蒸馏B．乙烯(S O２) 氢氧化钠溶液C．己烷(己烯) 溴水,分液D．乙酸乙酯(乙醇) 碳酸钠溶液,分液８５苯和硝基苯是互溶的液体混合物,可以利用沸点不同进行蒸馏分离,选项A说法正确．S O２能和N a O H溶液反应,而乙烯不反应,选项B说法正确．己烯可以和溴水反应生成二溴己烷,但二溴己烷能溶于己烷,不能分离,选项C说法错误．乙醇能溶于碳酸钠溶液,乙酸乙酯不溶于碳酸钠溶液,可利用分液方法分离,选项D说法正确．答案为C．５㊀考查有机物反应机理研究例１５㊀(２０１８年北京卷)我国科研人员提出了由C O２和C H４转化为高附加值产品C H３C O O H的催化反应历程．该历程示意图如图１．下列说法不正确的是(㊀㊀)．图１A．生成C H３C O O H总反应的原子利用率为１００％B．C H４ңC H３C O O H过程中,有C H键发生断裂C．①ң②放出能量并形成了C C键D．该催化剂可有效提高反应物的平衡转化率根据示意图可知,生成C H３C O O H的反应为C H４＋C O２催化剂ңC H３C O OH．如果反应能完全进行,所有反应物都转变为生成物,故原子利用率为１００％,选项A说法正确．C H４选择性活化变为①的过程中,有１个C H键发生断裂,①ң②形成C C键,①的总能量高于②的总能量,故放出能量,选项B㊁C说法正确．催化剂只影响化学反应速率,不能改变ΔH,不能使化学平衡发生移动,不能提高平衡转化率,选项D说法不正确．答案为D．例１６㊀(２０２０年全国卷Ⅰ)铑的配合物离子[R h(C O)２I２]－可催化甲醇羰基化,反应过程如图２所示．下列叙述错误的是(㊀㊀)．A．C H３C O I是反应的中间体B．甲醇羰基化反应为C H３O H＋C O＝C H３C O２HC．反应过程中R h的成键数目保持不变D．存在反应C H３O H＋H I＝C H３I＋H２O图２由题干中提供的反应机理图可知,铑配合物在整个反应历程中的成键数目㊁配体种类等均发生了变化;并且也可以观察出,甲醇羰基化反应所需的反应物除甲醇外还需要C O,最终产物是乙酸．因此,凡是出现在历程中的,既非反应物又非产物的物种,如C H３C O I以及各种配离子等,都可视作中间产物．答案为C．例１７㊀(２０２０年天津卷)理论研究表明,在１０１k P a和２９８K下,H C N(g)⇌H N C(g)异构化反应过程的能量变化如图所示下列说法错误的是(㊀㊀)．图３A．H C N比H N C稳定B．该异构化反应的ΔH＝＋５９ ３k J m o l－１C．正反应的活化能大于逆反应的活化能D．使用催化剂,可以改变反应的反应热根据图示,H C N的相对能量低于H N C的相对能量,能量越低越稳定,故H C N较稳定,选项A说法正确．H C N(g)⇌H N C(g)为吸热反应,ΔH＝＋５９ ３k J m o l－１,选项B说法正确．根据图示可知,正反应的活化能明显大于逆反应的活化能,选项C正确．使用催化剂,可以改变反应的活化能,但不能改变反应热,选项D错误．答案为D．例１８㊀㊀(２０２０年山东卷)１,３Ｇ丁二烯与H B r发生加成反应分两步:第一步H＋进攻１,３Ｇ丁二烯生９５成碳正离子;第二步B r－进攻碳正离子完成１,２Ｇ加成或加成．反应进程中的能量变化如图４所示．已知在０ħ和４０ħ时,１,２Ｇ加成产物与１,４Ｇ加成产物的比例分别为７０ʒ３０和１５ʒ８５．下列说法正确的是()图４A．１,４Ｇ加成产物比１,２Ｇ加成产物稳定B．与０ħ相比,４０ħ时１,３Ｇ丁二烯的转化率增大C．从０ħ升至４０ħ,１,２Ｇ加成正反应速率增大,１,４Ｇ加成正反应速率减小D．从０ħ升至４０ħ,１,２Ｇ加成正反应速率的增大程度小于其逆反应速率的增大程度根据图象分析可知该加成反应为放热反应,且生成的１,４Ｇ加成产物的能量比１,２Ｇ加成产物的能量低．能量越低越稳定,即１,４Ｇ加成产物比１,２Ｇ加成产物稳定,选项A说法正确．该加成反应不管生成１,４Ｇ加成产物还是１,２Ｇ加成产物,均为放热反应,则升高温度,不利于１,３Ｇ丁二烯的转化,即在４０ħ时其转化率会减小,选项B说法错误．从０ħ升至４０ħ,化学反应速率增大,即１,４Ｇ加成和１,２Ｇ加成反应的正反应速率均会增大,故选项C错误;从０ħ升至４０ħ,对于１,２Ｇ加成反应来说,化学平衡逆向移动,即１,２Ｇ加成正反应速率的增大程度小于其逆反应速率的增大程度,选项D说法正确．答案为A㊁D．例１９㊀(２０１９年海南卷)反应C２H６(g)＝C２H４(g)＋H２(g)㊀ΔH＞０在一定条件下于密闭容器中达到平衡,下列各项措施中,不能提高乙烷的平衡转化率的是(㊀㊀)．A．增大容器容积B．升高反应温度C．分离出部分氢气D．等容下通入惰性气体该反应的正反应是气体体积增大的吸热反应,增大容器容积相当于减小压强,平衡向正反应方向移动,乙烷的平衡转化率增大,选项A不符合题意．升高温度,平衡向吸热反应方向移动,即正向移动,乙烷的平衡转化率增大,选项B不符合题意．分离出部分氢气,平衡正向移动,乙烷的平衡转化率增大,选项C不符合题意．等容下通入惰性气体,虽然导致体系的总压强增大,但原平衡体系中各物质的浓度不变,平衡不移动,乙烷的平衡转化率不变,选项D符合题意．答案为D．例２０㊀(２０１８年浙江卷)在催化剂作用下,用乙醇制乙烯,乙醇转化率和乙烯选择性(生成乙烯的物质的量与乙醇转化的物质的量的比值)随温度㊁乙醇进料量(单位:mL m i n－１)的关系如图５所示(保持其他条件相同)．在４１０~４４０ħ温度范围内,下列说法不正确的是()图５A．当乙醇进料量一定时,随乙醇转化率增大,乙烯选择性升高B．当乙醇进料量一定时,随温度的升高,乙烯选择性不一定增大C．当温度一定时,随乙醇进料量增大,乙醇转化率减小D．当温度一定时,随乙醇进料量增大,乙烯选择性增大根据图象,当乙醇进料量一定时,随温度的升高,乙醇转化率逐渐增大,乙烯选择性先增大后减小．以进料量０ ４m L m i n－１为研究对象,随乙醇转化率增大,乙烯选择性逐渐升高,但温度高于４３０ħ后,乙烯选择性逐渐降低,因此,随温度的升高,乙烯选择性不一定增大,选项A说法错误㊁选项B说法正确．根据图甲,当温度一定时,随乙醇进料量增大,乙醇转化率减小,选项C说法正确;根据图乙,当温度一定时,随乙醇进料量增大,乙烯选择性增大,选项D说法正确．答案为A．(作者单位:１．湖北省鄂南高级中学２．湖北武汉市第二十八中学)０６。

一、函数的概念与基本初等函数多选题1．设函数2,0()12,02x e xf x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，对关于x 的方程2()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（ ）．A ．当223b =-+时，方程有1个实根B ．当32b =时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则17210b <≤ D ．若方程有6个不等实根，则32232b -+<< 【答案】BD 【分析】先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】函数()22,0,0()132,01,022x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩，作图如下：由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，令()f x t =，则3,2t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，则方程转化为220b bt t +-=-，即222()22204b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭选项A 中，223b =-+时方程为(22234230t t -+-=+，即(2310t +=，故31t =，即131,12()f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A错误；选项B中，32b=，方程即23122t t-+=，即22310t t-+=，解得1t=或12t=，当()1f x t==时看图可知，存在3个根，当1()2f x t==时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B正确；选项C中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122bt t==，则31,22b⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或10,22b⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2204bb+--=，即2480b b-+=，解得223b=-±，132b=-±，均不满足上面范围，舍去；（2）12t t≠时，即(]123,,02t t=∈-∞或(]12,,0t t∈-∞.①当(]123,,02t t=∈-∞时132t=，代入方程得2220332b b+⎛⎫-⋅⎪⎝-=⎭，解得1710b=，由123210t t b=-=，得(]21,05t=∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t∈-∞时220bbtt+-=-，则()2420b b∆=-->，1220t t b=-≥，12t t b+=<，解得223t<--，故C错误；选项D中，方程有6个不等实根，则1211,1,,122t t⎛⎤⎛⎤∈∈⎥⎥⎝⎦⎝⎦且12t t≠，222()2422b bt t b tt b bϕ⎛⎫=---⎪⎝⎭+-=+-图象如下：需满足：()219324213202024bbb bbϕϕϕ⎧⎛⎫=->⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-<⎪⎪⎝⎭⎩，解得：32232b-+<<，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于对方程2()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.2．对于函数()9f x x x=+，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内是奇函数B ．函数()f x 的值域是(][),66,-∞-⋃+∞ C ．()12,0,3x x ∀∈，12x x ≠，有()()12120f x f x x x ->-D ．对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，利用基本不等式求()f x 的值域，设1203x x <<<，根据解析式判断()()12,f x f x 的大小，进而确定()()1212,0f x f x x x --的大小关系，应用作差、作商法判断12122,2()()f x f x x x f +⎛⎫⎪+⎝⎭大小关系，进而确定各项的正误. 【详解】A ：由解析式知：定义域为0x ≠，99()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--，即()f x 在定义域内是奇函数，正确； B ：当0x >时，()96f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立；当0x <时有0x ->，()9[()()]6f x x x=--+-≤-=-当且仅当3x =-时等号成立；故其值域(][),66,-∞-⋃+∞，正确；C ：当1203x x <<<时，()()1212121212999()(1)f x f x x x x x x x x x -=-+-=--，而120x x -<，12910x x -<，则()()120f x f x ->，所以()()12120f x f x x x -<-，错误；D ：若120x x >>，1212123622x x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭，12121299()()f x f x x x x x +=+++，所以121212123699()()]2[()2f x f x x x x x x x f +⎛⎫- ⎪⎝+=-++⎭，而121221212364199()x x x x x x x x +=<++，即()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大小，判断各选项的正误.3．已知函数()()124,01,21,1,x x f x af x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩其中a R ∈，下列关于函数()f x 的判断正确的为（ ）A ．当2a =时，342f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．当1a <时，函数()f x 的值域[]22-,C ．当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N 时，()1212242n n f x x --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．当0a >时，不等式()122x f x a -≤在[)0,+∞上恒成立 【答案】AC 【分析】对于A 选项，直接代入计算即可；对于B 选项，由题得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m f x a f x m =-，进而得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，故()f x 的值域(]2,2-；对于C 选项，结合B 选项得当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()()121n f x f x n -=-+进而得解析式；对于D 选项，取特殊值即可得答案.【详解】解：对于A 选项，当2a =时，3111222442222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 选项正确； 对于B 选项，由于当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m f x a f x m =-，由于(]0,1x m -∈，所以()[]0,2f x m -∈，因为1a <，所以()1,1m a ∈-，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，综上，当1a <时，函数()f x 的值域(]2,2-，故B 选项错误；对于C 选项，由B 选项得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()mf x a f x m =-，故当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()()1112122412n n f x f x n x n --⎛⎫=-+=--+- ⎪⎝⎭1112122422422n n n x n x --⎛⎫⎛-⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 选项正确； 对于D 选项，取812a =，34x =，则331241442f ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，122x a-=()311142482488111222222222---⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足式()122x f x a -≤，故D选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()mf x a f x m =-，且当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.4．函数()()1xf x x R x=∈+，以下四个结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是()1,1- B ．对任意x ∈R ，都有()()12120f x f x x x ->-C ．若规定()()()()()11,n n f x f x f x f f x +==，则对任意的(),1n xn N f x n x*∈=+ D ．对任意的[]1,1x ∈-，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，则当[]1,1a ∈-时，2t ≤-或2t ≥【答案】ABC 【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C 中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围. 【详解】由函数解析式可得1 1,01()11,01xxf xxx⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪-⎩，有如下函数图象：∴()f x的值域是()1,1-，且单调递增即()()1212f x f xx x->-(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；对于C，有()11xf xx=+，若()1,1(1)nxn N f xn x*-∈=+-，∴当2n≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)||n nxxn xf x f f xx n xn x-+-===+++-，故有(),1nxn N f xn x*∈=+.正确.对于D，[]1,1x∈-上max1()(1)2f x f==，若函数()2122f x t at≤-+恒成立，即有211222t at-+≥，220t at-≥恒成立，令2()2h a at t=-+，即[]1,1a∈-上()0h a≥，∴0t>时，2(1)20h t t=-+≥，有2t≥或0t≤（舍去）；t=时，()0h a故恒成立；t<时，2(1)20h t t-=+≥，有2t≤-或0t≥（舍去）；综上，有2t≥或0t=或2t≤-；错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.2、数学归纳法：当1n=结论成立，若1n-时结论也成立，证明n时结论成立即可.3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.5．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ） A ．()f x =B ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x =≥，若()()f m mf n n⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x =“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若 ()()222222f m m m mf n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()222f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m mf n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若()()11f m m nmf n n mn⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即 21111m n m m m n n m n ⎧+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩，化简得：2210(1)m m m m ++=+，即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1f x x x=+不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，单调递减，则 ()()11f m n mf n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.6．已知函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数可能为（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】ABC 【分析】以()1f x =的特殊情形为突破口，解出1x =或3或45或4-，将12x x+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可. 【详解】 由基本不等式可得120x x +-≥或124x x+-≤-， 作出函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：①当2a >时，1224x x +-≤-或1021x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为4； ②当2a =时，1224x x +-=-或1021x x <+-<或122x x+-=， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为6； ③当12a <<时，12424x x -<+-<-或1021x x <+-<或1122x x<+-< 或1223x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为8； ④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或121x x +-=或123x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； ⑥当0a =时，120x x +-=或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为3； ⑦当0a <时，123x x+->， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； 故选：ABC 【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.7．已知函数()221,0log1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ） A ．2 B ．6 C ．5 D ．4【答案】ACD 【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤故211212a <+-≤212121a ≤-<，当212t a =-2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解， 当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.8．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[-1，1]D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点 【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A ；对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ． 【详解】 根据题意，对于A ，()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误； 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-；故B 正确．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．故C 正确． 对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，设()()cos g x f x x =-，当2[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，()22sin g x x x '=-++，设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点， 即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[]24x ∈，时，，()()2cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--， 则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，， 当[]46x ∈，时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确；故选：BCD ． 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.9．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．122e x x >【答案】ABC 【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】函数xy e =与ln y x =互为反函数， 则xy e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与x y e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=， 设()2xf x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<，122112211ln ln ln lnx x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D，由12x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.10．下列命题正确的是（ ）A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．C ．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1()x g x x+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8【答案】BD 【分析】根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定D 正确，即可求解. 【详解】对于A 中，幂函数21()(1)m f x m x--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，当0m =时，函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；对于B 中，若函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足(0)30f m =<，解得0m <，所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确； 对于C 中，由函数31()sin ln()1x f x x x x +=++-，则满足101xx+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11()x x g x x x-+--==-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、导数及其应用多选题11．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点 【答案】ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin x f x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确；对于B ，()e cos x f x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解， 令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解， 则sin xxa e-=在()π,π-上恰有一个解， 即y a =与()sin xxg x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e-'=，()π,πx ∈-， 令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为343204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为4204g e ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sinx g x e-=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinx g x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确； 对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<， ()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为42204h eππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以422a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当422a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确； 对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.12．设函数()ln xf x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x -'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln xa x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln xt x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减.所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2xm x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.13．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ，由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确； 对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.14．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2x x aax e ef x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，其中a 为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ，则0x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为（ ）（注：[]x 表示不大于x 的最大整数）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AC 【分析】求出导数，表示出切线，令0x t a=，可得()()110t tt e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<，即可求出. 【详解】()2x x aae ef x a -+=⋅，()2xx aae ef x --'∴=，∴切线斜率002x x aae ek --=，()0002x x aae ef x a -+=⋅，则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-，直线过原点，()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=，则可得()()110t tt e t e --++=， 令()()()11xxh x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，()()x x h x x e e -'=-+，当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，021x a ∴-<<-或012xa<<， 02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令0x t a=，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.15．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故y ≤≤当15y =时，有1cos 44ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max y =B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．16．下列说法正确的是（ ） A ．函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()222sin 42cos tx x xf x x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】化简函数解析式为()2cos 12f x x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3231t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，则当cos x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x xf x x x x x+∴=+=⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x++-⋅=⋅()()2sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x⎡⎤++-⋅⎣⎦=⋅，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则21sin cos 2t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223221323112t t t t t g t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭==--，(t ∈，()()422301t g t t --'=<-，()g t ∴在区间(上单调递减，()()32min 1g t g===-所以，函数()f x 的值域为)+∞，B 错； C 选项，()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，令sin t x =，(]0,1t ∈，即2210t at --+≥，12a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，()11a g ∴≤=-，C 对；D 选项，()2222cos tx x x xf x x x⎫+++⎪⎝⎭=+ ()()2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x xx x++⋅+⋅+==+++， 所以，()()()()22sin sin 2cos 2cos t x x t x xf x t t x xx x --+-=+=-+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.17．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.18．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.。

专题07 数列（1）多项选择题1．（2019秋•泉州期末）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1+3a5＝S7，则以下结论一定正确的是（）A．a4＝0B．S n的最大值为S3C．S1＝S6D．|a3|＜|a5|【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即看到此得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a1+3（a1+4d）＝7a1+21d，解得a1＝﹣3d，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣4）d，所以a4＝0，故A正确；因为S6﹣S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于d的正负不清楚，故S3可能为最大值或最小值，故B不正确；因为a3+a5＝2a4＝0，所以a3＝﹣a5，即|a3|＝|a5|，故D错误．故选：AC．2．（2019秋•济宁期末）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1＞1，＜0，下列结论正确的是（）a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1A．S2019＜S2020B．S2019S2021﹣1＜0C．T2019是数列{T n}中的最大值D．数列{T n}无最大值【分析】本题由题意根据题干可得a2019＞1，a2020＜1，从而有a1＞1，0＜q＜1，则等比数列{a n}为正项的递减数列．再结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案即可得到正确选项．【解答】解：等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1＞1，＜0，∴a2019＞1，0＜a2020＜1，∴0＜q＜1．a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1根据a1＞1，0＜q＜1，可知等比数列{a n}为正项的递减数列．即a1＞a2＞...＞a2019＞1＞a2020＞ 0∵S2020﹣S2019＝a2020＞0，1/ 122 / 12∴S 2019＜S 2020，故选项A 正确； ∵S 2019＝a 1+a 2+…+a 2019＞1，∴S 2019•S 2021＝S 2019•（S 2019+a 2020+a 2021）=S 20192+S 2019•（a 2020+a 2021） ＞S 20192＞1．即S 2019•S 2021﹣1＞0．故选项B 错误；根据a 1＞a 2＞…＞a 2019＞1＞a 2020＞…＞0．可知T 2019是数列{T n }中的最大项，故选项C 正确、选项D 错误． 故选：AC ．3．（2019秋•菏泽期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…．，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 6＝8 B ．S 7＝33C ．a 1+a 3+a 5+…+a 2019＝a 2020D ．a 12+a 22+⋯+a 20192a 2019=a 2020【分析】根据数列的特点，求出其递推关系式；再对每一个选项逐个检验即可 【解答】解：A ．由a 1＝a 2，a 3＝a 4﹣a 2，a 5＝a 6﹣a 4，可得a 6＝8成立； B ．由a 1＝a 2，a 3＝a 4﹣a 2，a 5＝a 6﹣a 4，可得a 6＝8，a 7＝13； ∴s 7＝1+1+2+3+5+8+13＝33成立；C ．由a 1＝a 2，a 3＝a 4﹣a 2，a 5＝a 6﹣a 4，……，a 2019＝a 2020﹣a 2018，可得：a 1+a 3+a 5+…+a 2019＝a 2020． 故a 1+a 3+a 5+…+a 2019是斐波那契数列中的第2020项．即答案C 成立；D ．斐波那契数列总有a n +2＝a n +1+a n ，则a 12=a 2a 1，a 22=a 2(a 3−a 1)=a 2a 3−a 2a 1，a 32=a 3(a 4−a 2)=a 3a 4−a 2a 3，……， a 20182=a 2018(a 2019−a 2017)=a 2018a 2019−a 2017a 2018， a 20192=a 2019a 2020−a 2019a 2018；∴a 12+a 22+a 32+⋯+a 20192=a 2019a 2020；即答案D 成立故选：ABCD ．4．（2019秋•济宁期末）若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n+1，（n∈N*），则下列说法正确的是（）A．a5＝﹣16B．S5＝﹣63C．数列{a n}是等比数列D．数列{S n+1}是等比数列【分析】先利用已知条件得到数列{a n}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，即可判断各个选项的正误．【解答】解：∵S n＝2a n+1，（n∈N*），∴①当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，∴a1＝﹣1，=2，②当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n+1﹣2a n﹣1﹣1，∴2a n﹣1＝a n，∴a na n−1∴数列{a n}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，故选项C正确，=1−2n∴a n=−2n−1，S n=−(1−2n)1−2=−31，故选项A正确，选项B错误，∴a5=−24=−16，S5=−(1−25)1−2又∵S n+1=2−2n，∴数列{S n+1}不是等比数列，故选项D错误，故选：AC．5．（2019秋•淄博期末）在递增的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）A．q＝1B．数列{S n+2}是等比数列C．S8＝510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列【分析】本题先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，则即可得到等比数列{a n}的通项公式和前n 项和公式，则对选项进行逐个判断即可得到正确选项．【解答】解：由题意，根据等比中项的性质，可得a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0，故a2＞0，a3＞0．根据根与系数的关系，可知a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根．解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4．故必有公比q＞0，3/ 12∴a1=a2q＞0．∵等比数列{a n}是递增数列，∴q＞1．∴a2＝4，a3＝8满足题意．∴q＝2，a1=a2q=2．故选项A不正确．a n＝a1•q n﹣1＝2n．∵S n=2(1−2n)1−2=2n+1﹣2．∴S n+2＝2n+1＝4•2n﹣1．∴数列{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确．S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确．∵lga n＝lg2n＝n．∴数列{lga n}是公差为1的等差数列．故选项D不正确．故选：BC．6．（2019秋•聊城期末）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1=a n2+3a n(n∈N∗)，则下列结论正确的有（）A．{1a n+3}为等比数列B．{a n}的通项公式为a n=12n+1−3C．{a n}为递增数列D．{1a n}的前n项和T n=2n+2−3n−4【分析】首先利用定义求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，a n+1=a n2+3a n(n∈N∗)，整理得：2a n+1+3a n a n+1＝a n，转换为1a n+1+3=2(1a n+3)，故：1a n+1+31 a n +3=2(常数)，所以{1a n+3}是以1a1+3=4为首项，2为公比的等比数列．故：1a n +3=4⋅2n−1=2n+1，整理得a n=12n+1−3．则：{a n}为递减数列．进一步整理得：1a n=2n+1−3，4/ 125 / 12所以{1a n}的前n 项和：T n =4(2n −1)2−1−3n =2n+2−3n −4，故选：ABD ．7．（2019秋•泰安期末）设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，若a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{a n }是递增数列 B ．S 5＝60 C ．−247＜d ＜−3D ．S 1，S 2，…，S 12中最大的是S 6【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论． 【解答】解：依题意，有S 12＝12a 1+12×112•d ＞0，S 13＝13a 1+13×122•d ＜0，化为：2a 1+11d ＞0，a 1+6d ＜0，即a 6+a 7＞0，a 7＜0， ∴a 6＞0．由a 3＝12，得a 1＝12﹣2d ，联立解得−247＜d ＜﹣3．等差数列{a n }是单调递减的．S 1，S 2，…，S 12中最大的是S 6． S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3＝60．综上可得：BCD 正确． 故选：BCD ．8．（2019秋•葫芦岛期末）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1−1n =(1+1n )a n ，n ∈N *．若对于任意的t ∈[1，2]，不等式ann ＜−2t 2−(a +1)t +a 2−a +2恒成立，则实数a 可能为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．2【分析】由已知数列递推式可得an+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n −1n+1，进一步得到ann ＜2，则原不等式可转化为2t 2+（a +1）t ﹣a 2+a ≤0在t ∈[1，2]上恒成立，构造函数f （t ）＝2t 2+（a +1）t ﹣a 2+a ，t ∈[1，2]，可得{f(1)≤0f(2)≤0，求解不等式组得答案．6 / 12【解答】解：由a n +1−1n=(1+1n)a n ，得a n +1−1n=n+1na n ，∴a n+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n −1n+1，∴a n n=(a n n−a n−1n−1)+(a n−1n−1−a n−2n−2)+⋯+⋯+（a 2﹣a 1）+a 1，＝（1n−1−1n ）+（1n−2−1n−1）+…+（1−12）+1＝2−1n ＜2， ∵不等式a n n＜−2t 2−(a +1)t +a 2−a +2恒成立，∴2≤﹣2t 2﹣（a +1）t +a 2﹣a +2，∴2t 2+（a +1）t ﹣a 2+a ≤0，在t ∈[1，2]上恒成立， 设f （t ）＝2t 2+（a +1）t ﹣a 2+a ，t ∈[1，2]，∴{f(1)=2+a +1−a 2+a ≤0f(2)=8+2(a +1)−a 2+a ≤0，解得a ≤﹣2或a ≥5， ∴实数a 可能为﹣4，﹣2． 故选：AB ．9．（2019秋•潍坊期末）设数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0且S 6＝S 9，则（ ） A ．d ＞0B ．a 8＝0C ．S 7或S 8为S n 的最大值D ．S 5＞S 6【分析】由a 1＞0且S 6＝S 9，利用求和公式可得：a 8＝0，d ＜0．即可判断出结论． 【解答】解：a 1＞0且S 6＝S 9，∴6a 1+6×52d ＝9a 1+9×82d ，化为：a 1+7d ＝0，可得a 8＝0，d ＜0．S 7或S 8为S n 的最大值，S 5＜S 6． 故选：BC ．10．（2019秋•润州区校级期末）对于数列{a n }，若存在正整数k （k ≥2），使得a k ＜a k ﹣1，a k ＜a k +1，则称a k是数列{a n }的“谷值”，k 是数列{a n }的“谷值点”，在数列{a n }中，若a n =|n +9n −8|，下列数不能作为数列{a n }的“谷值点”的是（ ） A ．3B ．2C ．7D ．5【分析】根据数列的通项公式，求得a 1到a 8，利用定义即可判断． 【解答】解：由a n =|n +9n −8|，则a 1＝2，a 2=32，a 3＝2，a 4=74，a 5=65，a 6=12，a 7=27，a 8=98， 所以n ＝2，7是数列{a n }的“谷值点”当n＝3，5不是数列{a n}的“谷值点”，故选：AD．11．（2019秋•淮安期末）已知数列{a n}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（）A．{1a n}B．{log2a n}C．{a n•a n+1}D．{a n+a n+1+a n+2}【分析】本题先根据题意设等比数列{a n}的公比为q（q≠0），则a n＝a1•q n﹣1．然后对AB选项先求出通项然后进行观察即可判断，对CD两个选项可根据等比数列的定义法进行判断．【解答】解：由题意，可设等比数列{a n}的公比为q（q≠0），则a n＝a1•q n﹣1．对于A：1a n =1a1q n−1=1a1•（1q）n﹣1．∴数列{1a n }是一个以1a1为首项，1q为公比的等比数列；对于B：log2a n＝log2（a1•q n﹣1）＝log2a1+（n﹣1）log2q．∴数列{log2a n}是一个以log2a1为首项，log2q为公差的等差数列；对于C：∵a n+1⋅a n+2a n⋅a n+1=a n+2a n=a1⋅q n+1a1⋅q n−1=q2，∴数列{a n•a n+1}是一个以q2为公比的等比数列；对于D：∵a n+1+a n+2+a n+3a n+a n+1+a n+2=q(a n+a n+1+a n+2)a n+a n+1+a n+2=q，∴数列{a n+a n+1+a n+2}是一个以q为公比的等比数列．故选：ACD．12．（2019秋•南通期末）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（）A．a6＞0B．−247＜d＜−3C．S n＜0时，n的最小值为13D．数列{S na n}中最小项为第7项【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得−247＜d＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得S n＜0时，n的最小值为13．数列{S na n}中，n≤6时，S na n ＞0.7≤n≤12时，S na n＜0．n≥13时，S na n＞0．进而判断出D是否正确．7/ 12【解答】解：∵S12＞0，a7＜0，∴12(a6+a7)2＞0，a1+6d＜0．∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，又∵a3＝a1+2d＝12，∴−247＜d＜﹣3．a1＞0．S13=13(a1+a13)2=13a7＜0．∴S n＜0时，n的最小值为13．数列{S na n }中，n≤6时，S na n＞0，7≤n≤12时，S na n＜0，n≥13时，S na n＞0．对于：7≤n≤12时，S na n＜0．S n＞0，但是随着n的增大而减小；a n＜0，但是随着n的增大而减小，可得：S na n＜0，但是随着n的增大而增大．∴n＝7时，S na n取得最小值．综上可得：ABCD都正确．故选：ABCD．13．（2019秋•苏州期末）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2（a n﹣a）（其中a为常数），则下列说法正确的是（）A．数列{a n}一定是等比数列B．数列{a n}可能是等差数列C．数列{S n}可能是等比数列D．数列{S n}可能是等差数列【分析】结合已知可得a n＝2a n﹣1，n＞1，然后结合a是否为0可进行判定是否满足等差或等比．【解答】解：S n＝2（a n﹣a），当n＞1时可得，S n﹣1＝2（a n﹣1﹣a），两式相减可得，a n＝2a n﹣1，n＞1，又n＝1时，S1＝2（a1﹣a）可得，a1＝2a，若a＝0时，数列{a n}不是等比数列，而是等差数列，其各项都为0，和也为等差数列当a≠0时，数列{a n}是等比数列，不是等差数列，而非常数性等比数列的前n项和不是等比，故选：BD．8/ 1214．（2019秋•徐州期末）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是（）A．若S5＝S9，则必有S14＝0B．若S5＝S9，则必有S7是S n中最大的项C．若S6＞S7，则必有S7＞S8D．若S6＞S7，则必有S5＞S6【分析】根据题意，结合等差数列的性质依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若S5＝S9，必有S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＝0，则a7+a8＝0，S14=14×(a1+a14)2=14×(a7+a8)2=0，A正确；对于B，若S5＝S9，必有S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＝0，又由a1＞0，则必有S7是S n中最大的项，B正确；对于C，若S6＞S7，则a7＝S7﹣S6＜0，又由a1＞0，必有d＜0，则a8＝S8﹣S7＜0，必有S7＞S8，C正确；对于D，若S6＞S7，则a7＝S7﹣S6＜0，而a6的符号无法确定，故S5＞S6不一定正确，D错误；故选：ABC．15．（2019秋•连云港期末）已知等比数列{a n}中，满足a1＝1，公比q＝﹣2，则（）A．数列{2a n+a n+1}是等比数列B．数列{a n+1﹣a n}是等比数列C．数列{a n a n+1}是等比数列D．数列{log2|a n|}是递减数列【分析】由题意利用查等比数列的定义、通项公式、性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：∵等比数列{a n}中，满足a1＝1，公比q＝﹣2，∴a n＝1×（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n﹣1．由此可得2a n+a n+1＝2•（﹣2）n﹣1+（﹣2）n＝0，故A错误；a n+1﹣a n＝（﹣2）n﹣（﹣2）n﹣1＝﹣3•（﹣2）n﹣1，故数列{a n+1﹣a n}是等比数列，故B正确；a n a n+1＝（﹣2）n﹣1（﹣2）n＝（﹣2）2n﹣1，故数列{a n a n+1}是等比数列，故C正确；log2|a n|＝log22n﹣1＝n﹣1，故数列{log2|a n|}是递增数，故D错误，故选：BC．9/ 1210 / 1216．（2019秋•潍坊期末）已知等比数列{a n }的公比q =−23，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 10【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确．【解答】解：数列{a n }是公比q 为−23的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则a 9=a 1(−23)8，a 10=a 1(−23)9，∴a 9•a 10=a 12(−23)17＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（−23）8＞12+8d ，a 1（−23）9＞12+9d ，可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD ．17．（2020•山东学业考试）已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设c n =a b n ，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案．【解答】解：由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，b n =2n−1， c n =a b n =2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列， 其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21+22+…+2n ）﹣n =2(1−2n )1−2−n =2n +1﹣2﹣n ．当n ＝9时，T n ＝1013＜2019； 当n ＝10时，T n ＝2036＞2019． ∴n 的取值可以是8，9．18．（2019秋•滕州市校级月考）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项的和为s n，前n项的积为T n，并满足＜0，下列结论错误的是（）条件a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1A．S2019＞S2020B．a2019．a2021﹣1＞0C．T2020是数列{T n}中的最大值D．数列{T n}无最小值【分析】推导出a2019＞1，0＜a2020＜1，0＜q＜1，由此能求出结果．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为q，其前n项的和为s n，前n项的积为T n，＜0，并满足条件a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1∴a2019＞1，0＜a2020＜1，∴0＜q＜1，在A中，∵a2020＞0，∴S2019＜S2020，故A错误；在B中，a2019＞1，a2021﹣1＜0，∴a2019．a2021﹣1＜0，故B错误；∴T2019是数列{T n}中的最大项，故C错误；在D中，数列{T n}无最小值，故D正确．故选：ABC．19．（2019秋•常熟市校级月考）等差数列{a n}中，若S6＜S7且S7＞S8，则下面结论正确的是（）A．a1＞0B．S9＜S6C．a7最大D．（S n）max＝S7【分析】根据题意，分析可得a7＝S7﹣S6＞0，a8＝S8﹣S7＜0，且d＝a8﹣a7＜0，精粹结合等差数列的性质分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中，若S6＜S7且S7＞S8，则a7＝S7﹣S6＞0，a8＝S8﹣S7＜0，则有d＝a8﹣a7＜0，对于A，必有a1＝a8﹣7d＞0，A正确；对于B，S9﹣S6＝a7+a8+a9＝3a8＜0，必有S9＜S6，B正确；对于C，等差数列{a n}中，d＜0，数列{a n}为递减数列，故a1最大，C错误；对于D，数列{a n}为递减等差数列，a7＞0，a8＜0，故必有（S n）max＝S7，D正确；11/ 1212 / 12 20．（2019秋•海淀区校级期中）已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ）A ．0＜a 1＜1B ．1＜b 1＜√2C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；【解答】解：∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n +1＝2n ，∴{a 1+a2=2a 2+a 3=4；∴{a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n }为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n +1＝2n∴{b1b 2=2b 2b 3=4； ∴{b 2＞b 1b 3＞b 2；∴1＜b 1＜√2，故B 正确．∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）=b 1⋅(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1)；∴对于任意的n ∈N *，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．。

专题五数列考点17 等差数列题组一、选择题1. [2023全国卷甲，5分]记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a2+a6=10，a4a8=45，则S5= ( C )A. 25B. 22C. 20D. 15[解析]解法一由a2+a6=10，可得2a4=10，所以a4=5，又a4a8=45，所以a8=9.设等差数列{a n}的公差为d，则d=a8−a48−4=9−54=1，又a4=5，所以a1=2，所以S5=5a1+5×42×d=20，故选C.解法二设等差数列{a n}的公差为d，则由a2+a6=10，可得a1+3d=5①，由a4a8=45，可得(a1+3d)(a1+7d)=45②，由①②可得a1=2，d=1，所以S5=5a1+5×42×d=20，故选C.2. （2023全国卷乙，5分）已知等差数列{a n}的公差为2π3，集合S={cosa n|n∈N∗}，若S={a，b}，则ab= ( B )A. −1B. −12C. 0 D. 12[解析]由题意得a n=a1+2π3(n−1)，cosa n+3=cos(a1+2π3(n+2))=cos(a1+2π3n+4π3)=cos(a1+2π3n+2π−2π3)=cos(a1+2π3n−2π3)=cosa n，所以数列{cosa n}是以3为周期的周期数列，又cosa2=cos(a1+2π3)=−12cosa1−√32sina1，cosa3=cos(a1+4π3)=−12cosa1+√32sina1，因为集合S中只有两个元素，所以有三种情况：cosa1=cosa2≠cosa3，cosa1=cosa3≠cosa2，cosa2=cosa3≠cosa1.下面逐一讨论：①当cosa1=cosa2≠cosa3时，有cosa1=−12cosa1−√32sina1，得tana1=−√3，所以ab=cosa1(−12cosa1+√32sina1)=−12cos2a1+√32sina1cosa1=−1 2cos2a1+√32sina1cosa1sin2a1+cos2a1=−12+√32tana1tan2a1+1=−12−323+1=−12.②当cosa1=cosa3≠cosa2时，有cosa1=−12cosa1+√32sina1，得tana1=√3，所以ab=cosa1(−12cosa1−√32sina1)=−12cos2a1−√32sina1cosa1=−1 2cos2a1−√32sina1cosa1sin2a1+cos2a1=−12−√32tana1tan2a1+1=−12−323+1=−12.③当cosa2=cosa3≠cosa1时，有−12cosa1−√32sina1=−12cosa1+√32sina1，得sina1=0，所以ab=cosa1(−12cosa1−√32sina1)=−12cos2a1=−12(1−sin2a1)=−12.综上，ab=−12，故选B.【速解】取a1=−π3，则cosa1=12，cosa2=cos(a1+2π3)=12，cosa3=cos(a1+4π3)=−1，所以S={12,−1}，ab=−12，故选B.3. [2021北京，4分]已知{a n}和{b n}是两个等差数列，且a kb k(1≤k≤5)是常值，若a1=288 ,a5=96 ,b1=192，则b3的值为( C )A. 64B. 100C. 128D. 132[解析]因为{a n}和{b n}是两个等差数列,所以2a3=a1+a5=288+96=384，所以a3=192.因为当1≤k≤5时，a kb k 是常值，所以a3b3=a1b1=288192=192b3，从而b3=128.故选C.4. [2020全国卷Ⅱ，5分]如图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( C )A. 3 699块B. 3 474块C. 3 402块D. 3 339块[解析]由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{a n}，设数列{a n}的公差为d,前n项和为S n，易知其首项a1=9，d=9，所以a n=a1+(n−1)d=9n．由等差数列的性质知S n,S2n−S n,S3n−S2n也成等差数列，所以2(S2n−S n)=S n+S3n−S2n，所以(S3n−S2n)−(S2n−S n)=S2n−2S n=2n(9+18n)2−2×n(9+9n)2=9n2=729，得n=9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n=3n(9+27n)2=3×9×(9+27×9)2=3402，故选C．5. [2020浙江，4分]已知等差数列{a n}的前n项和为S n ,公差d≠0，且a1d≤1 .记b1=S2，b n+1=S2n+2−S2n ,n∈N∗ ,下列等式不可能成立的是( D )A. 2a4=a2+a6B. 2b4=b2+b6C. a42=a2a8D. b42=b2b8 [解析]由b n+1=S2n+2−S2n，得b2=a3+a4=2a1+5d，b4=a7+a8=2a1+13d，b6=a11+a12,b8=a15+a16=2a1+29d.由等差数列的性质易知A成立；若2b4=b2+b6,则2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12=2a7+2a8，故B成立；若a42=a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),则a1=d,故C可能成立；若b42=b2b8,即(2a1+13d)2=(2a1+5d)(2a1+29d)，则a1d =32，与已知矛盾，故D不可能成立.6. [2020北京，4分]在等差数列{a n}中，a1=−9 ,a5=−1 .记T n=a1a2…a n(n=1,2,…) ,则数列{T n} ( B )A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项[解析]设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=−9，a5=−1,∴a5=−9+4d=−1,∴d=2,∴a n=−9+(n−1)×2=2n−11.令a n=2n−11≤0,则n≤5.5,∴n≤5时,a n<0；n≥6时,a n>0.∴T1=−9<0,T2=(−9)×(−7)= 63>0，T3=(−9)×(−7)×(−5)=−315<0,T4=(−9)×(−7)×(−5)×(−3)=945>0,T5=(−9)×(−7)×(−5)×(−3)×(−1)=−945<0,当n≥6时,a n>0,且a n≥1，∴T n+1<T n<0，∴T n=a1a2…a n(n=1,2,…)有最大项T4，无最小项,故选B．7. [2019全国卷Ⅰ，5分]记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0，a5= 5，则( A )A. a n =2n −5B. a n =3n −10C. S n =2n 2−8nD. S n =12n 2−2n[解析]解法一 设等差数列{a n } 的公差为d ，∵{S 4=0,a 5=5,∴{4a 1+4×32d =0,a 1+4d =5,解得{a 1=−3,d =2,∴a n =a 1+(n −1)d =−3+2(n −1)=2n −5 ，S n =na 1+n (n−1)2d =n 2−4n .故选A ．解法二 设等差数列{a n } 的公差为d ，∵{S 4=0,a 5=5,∴{4a 1+4×32d =0,a 1+4d =5,解得{a 1=−3,d =2.选项A ，a 1=2×1−5=−3 ；选项B ，a 1=3×1−10=−7 ，排除B ;选项C ，S 1=2−8=−6 ，排除C ；选项D ，S 1=12−2=−32 ，排除D ．故选A ．【方法技巧】 等差数列基本运算的常见类型及解题策略 （1）求公差d 或项数n .在求解时，一般要运用方程思想. （2）求通项.a 1 和d 是等差数列的两个基本元素.（3）求特定项.利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解.（4）求前n 项和.利用等差数列的前n 项和公式直接求解，或利用等差中项间接求解.二、填空题8. [2022全国卷乙，5分]记S n 为等差数列{a n } 的前n 项和.若2S 3=3S 2+6 ，则公差d = 2.[解析]因为2S 3=3S 2+6 ,所以2(a 1+a 2+a 3)=3(a 1+a 2)+6 ，化简得3d =6 ，得d =2 .9. [2020新高考卷Ⅰ，5分]将数列{2n −1} 与{3n −2} 的公共项从小到大排列得到数列{a n } ,则{a n } 的前n 项和为3n 2−2n .[解析]设b n =2n −1 ,c n =3n −2 ,b n =c m ,则2n −1=3m −2 ,得n =3m−12=3m−3+22=3(m−1)2+1 ，于是m −1=2k ,k ∈N ，所以m =2k +1 ,k ∈N ,则a k =3(2k +1)−2=6k +1 ,k ∈N ，得a n =6n −5 ,n ∈N ∗.故S n =1+6n−52×n =3n 2−2n .10. （2019全国卷Ⅲ，5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1≠0，a2= 3a1，则S10S5=4.[解析]设等差数列{a n}的公差为d,由a2=3a1，即a1+d=3a1，得d=2a1，所以S10S5=10a1+10×92d5a1+5×42d=10a1+10×92×2a15a1+5×42×2a1=10025=4.11. [2019北京，5分]设等差数列{a n}的前n项和为S n .若a2=−3，S5=−10，则a5=0，S n的最小值为−10 .[解析]设等差数列{a n}的公差为d，∵{a2=−3,S5=−10,即{a1+d=−3,5a1+10d=−10,∴可得{a1=−4,d=1,∴a5=a1+4d=0.∵S n=na1+n(n−1)2d=12(n2−9n),∴当n=4或n=5时，S n取得最小值，最小值为−10.12. [2019江苏，5分]已知数列{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5+a8=0，S9=27，则S8的值是16.[解析]解法一设等差数列{a n}的公差为d，则a2a5+a8=(a1+d)(a1+4d)+ a1+7d=a12+4d2+5a1d+a1+7d=0，S9=9a1+36d=27，解得a1=−5,d=2,则S8=8a1+28d=−40+56=16.解法二设等差数列{a n}的公差为d.S9=9(a1+a9)2=9a5=27,a5=3，又a2a5+a8=0，则3(3−3d)+3+3d=0,得d=2，则S8=8(a1+a8)2=4(a4+a5)= 4(1+3)=16.【方法技巧】在等差数列{a n}中，若m+n=p+q ,m ,n ,p ,q∈N∗，则a m+a n=a p+a q .三、解答题13. [2023全国卷乙，12分]记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a2=11 ,S10=40 .（1）求{a n}的通项公式；[答案]设{a n}的公差为d，则{a2=a1+d=11,S10=10a1+45d=40,解得a1=13,d=−2.所以{a n}的通项公式为a n=13+(n−1)⋅(−2)=15−2n.（2）求数列{|a n|}的前n项和T n .[答案]由（1）得∣a n∣={15−2n,n≤7, 2n−15,n≥8.当n≤7时，T n=S n=13n+n(n−1)2×(−2)=14n−n2,当n≥8时，T n=−S n+2S7=−(14n−n2)+2(14×7−72)=98−14n+ n2.综上,T n={14n−n2,n≤7,98−14n+n2,n≥8.14. [2023新高考卷Ⅰ，12分]设等差数列{a n}的公差为d，且d>1 .令b n=n2+na n,记S n ,T n分别为数列{a n}，{b n}的前n项和.（1）若3a2=3a1+a3 ,S3+T3=21 ,求{a n}的通项公式；[答案]因为3a2=3a1+a3，所以3(a2−a1)=a1+2d，所以3d=a1+2d,所以a1=d,所以a n=nd.因为b n=n2+na n ,所以b n=n2+nnd=n+1d，所以S3=3(a1+a3)2=3(d+3d)2=6d，T3=b1+b2+b3=2d+3d+4d=9d.因为S3+T3=21，所以6d+9d =21，解得d=3或d=12，因为d>1，所以d=3.所以{a n}的通项公式为a n=3n.（2）若{b n}为等差数列，且S99−T99=99，求d . [答案]因为b n=n2+na n，且{b n}为等差数列，所以2b2=b1+b3，即2×6a2=2a1+12a3，所以6a1+d −1a1=6a1+2d，所以a12−3a1d+2d2=0，解得a1=d或a1=2d.①当a1=d时，a n=nd，所以b n=n2+na n =n2+nnd=n+1d，S99=99(a1+a99)2=99(d+99d)2=99×50d，T99=99(b1+b99)2=99(2d+100d)2=99×51d.因为S99−T99=99，所以99×50d−99×51d=99，即50d2−d−51=0，解得d=5150或d=−1（舍去）.②当a1=2d时，a n=(n+1)d，所以b n=n2+na n =n2+n(n+1)d=nd，S99=99(a1+a99)2=99(2d+100d)2=99×51d，T99=99(b1+b99)2=99(1d+99d)2=99×50d.因为S99−T99=99，所以99×51d−99×50d=99，即51d2−d−50=0，解得d=−5051（舍去）或d=1（舍去）.综上，d=5150.15. [2022全国卷甲，12分]记S n为数列{a n}的前n项和.已知2S nn+n=2a n+1 . （1）证明:{a n}是等差数列;[答案]由2S nn+n=2a n+1，得2S n+n2=2a n n+n①，所以2S n+1+(n+1)2=2a n+1(n+1)+(n+1)②，②−①，得2a n+1+2n+1=2a n+1(n+1)−2a n n+1，化简得a n+1−a n=1，所以数列{a n}是公差为1的等差数列.（2）若a4 ,a7 ,a9成等比数列，求S n的最小值.[答案]由（1）知数列{a n}的公差为1.由a72=a4a9，得(a1+6)2=(a1+3)(a1+8)，解得a1=−12.所以S n=−12n+n(n−1)2=n2−25n2=12(n−252)2−6258，所以当n=12或13时，S n取得最小值,最小值为−78.16. [2021新高考卷Ⅱ，10分]记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3=S5 ,a2a4=S4 .（1）求数列{a n}的通项公式；[答案]设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，则由题意，得{a1+2d=5a1+10d,(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d得{a1=−4,d=2所以a n=a1+(n−1)d=2n−6.（2）求使S n>a n成立的n的最小值.[答案]S n=n(a1+a n)2=n(2n−10)2=n2−5n，则由n2−5n>2n−6，整理得n2−7n+6>0，解得n<1或n>6.因为n∈N∗，所以使S n>a n成立的n的最小值为7.17. [2021全国卷甲，12分]已知数列{a n}的各项均为正数,记S n为{a n}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列；②数列{√S n }是等差数列；③a2=3a1 .注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.[答案]①③⇒②.已知{a n}是等差数列，a2=3a1.设数列{a n}的公差为d，则a2=3a1=a1+d，得d=2a1，所以S n=na1+n(n−1)2d=n2a1.因为数列{a n}的各项均为正数，所以√S n=n√a1，所以√S n+1−√S n=(n+1)√a1−n√a1=√a1（常数），所以数列{√S n}是等差数列.①②⇒③.已知{a n}是等差数列，{√S n}是等差数列.解法一易得√S3+√S1=2√S2,即√3a2+√a1=2√a1+a2,两边同时平方得3a2+a1+2√3a1a2=4(a1+a2),整理得(√3a1−√a2)2=0,所以a2=3a1.解法二设数列{a n}的公差为d，则S n=na1+n(n−1)2d=12n2d+(a1−d2)n.因为数列{√S n}是等差数列，所以数列{√S n}的通项公式是关于n的一次函数，则a1−d2=0，即d=2a1，所以a2=a1+d=3a1.②③⇒①.已知数列{√S n}是等差数列，a2=3a1，所以S1=a1,S2=a1+a2=4a1.设数列{√S n}的公差为d，d>0，则√S2−√S1=√4a1−√a1=d，得a1= d2，所以√S n=√S1+(n−1)d=nd，所以S n=n2d2，所以a n=S n−S n−1=n2d2−(n−1)2d2=2d2n−d2(n≥2)，所以a n−a n−1=2d2(n≥2)，所以数列{a n}是等差数列.考点18 等比数列题组一、选择题1. [2023全国卷甲，5分]设等比数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n ,若a1=1，S5=5S3−4，则S4= ( C )A. 158B. 658C. 15D. 40[解析]解法一若该数列的公比q=1，代入S5=5S3−4中，有5=5×3−4，不成立，所以q≠1.由1−q 51−q =5×1−q31−q−4，化简得q4−5q2+4=0,所以q2=1（舍）或q2=4,由于此数列各项均为正数，所以q=2，所以S4=1−q41−q= 15.故选C.解法二由已知得1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)−4,整理得(1+q)(q3−4q)=0,由于此数列各项均为正数，所以q=2，所以S4=1+q+q2+q3=1+2+4+8=15.故选C.2. [2023天津，5分]已知{a n}为等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，a n+1= 2S n+2 ,则a4的值为( C )A. 3B. 18C. 54D. 152[解析]解法一因为a n+1=2S n+2，所以当n≥2时，a n=2S n−1+2，两式相减得a n+1−a n=2a n，即a n+1=3a n，所以数列{a n}是公比q=a n+1a n=3的等比数列.当n=1时，a2=2S1+2=2a1+2，又a2=3a1，所以3a1=2a1+ 2，解得a1=2，所以a4=a1q3=2×33=54，故选C.解法二设等比数列{a n}的公比为q，因为a n+1=2S n+2，所以公比q≠1，且a1q n=2a1(1−q n)1−q +2=−2a11−qq n+2a11−q+2，所以{a1=−2a11−q,0=2a11−q+2,又a1≠0，所以q=3，a1=2，所以a4=a1q3=2×33=54，故选C.3. [2023新高考卷Ⅱ，5分]记S n 为等比数列{a n } 的前n 项和，若S 4=−5 ,S 6=21S 2 ,则S 8= ( C ) A. 120B. 85C. −85D. −120[解析]解法一 设等比数列{a n } 的公比为q (q ≠0) ，由题意易知q ≠1 ，则{a 1(1−q 4)1−q=−5,a1(1−q6)1−q=21×a 1(1−q 2)1−q,化简整理得{q 2=4,a 11−q =13. 所以S 8=a 1(1−q 8)1−q=13×(1−44)=−85 .故选C . 解法二 易知S 2 ，S 4−S 2 ，S 6−S 4 ，S 8−S 6 ，…… 为等比数列，所以(S 4−S 2)2=S 2⋅(S 6−S 4) ,解得S 2=−1 或S 2=54.当S 2=−1 时，由(S 6−S 4)2=(S 4−S 2)⋅(S 8−S 6) ，解得S 8=−85 ；当S 2=54 时，结合S 4=−5得{a 1(1−q 4)1−q =−5a 1(1−q 2)1−q =54,化简可得q 2=−5 ，不成立，舍去.所以S 8=−85 ，故选C .4. [2022全国卷乙，5分]已知等比数列{a n } 的前3项和为168，a 2−a 5=42 ,则a 6= ( D ) A. 14B. 12C. 6D. 3[解析]解法一 设等比数列{a n } 的公比为q ，由题意可得{a 1+a 2+a 3=168,a 2−a 5=42,即{a 1(1+q +q 2)=168,a 1q (1−q 3)=a 1q (1−q )(1+q +q 2)=42, 解得{a 1=96,q =12, 所以a 6=a 1q 5=3 ，故选D .解法二 设等比数列{a n } 的公比为q ,易知q ≠1 ,由题意可得{a 1(1−q 3)1−q=168,a 1q (1−q3)=42,解得{a 1=96,q =12,所以a 6=a 1q 5=3 ，故选D .5. [2021全国卷甲，5分]记S n 为等比数列{a n } 的前n 项和.若S 2=4 ，S 4=6 ,则S 6= ( A ) A. 7B. 8C. 9D. 10[解析]解法一因为S2=4,S4=6，所以公比q≠1，所以由等比数列的前n项和公式，得{S2=a1(1−q2)1−q=a1(1+q)=4,S4=a1(1−q4)1−q =a1(1+q)(1+q2)=6,两式相除，（技巧点拨：与等比数列有关的方程组，求解时通常利用两式相除，达到消元、降次的目的）得q2=12，所以{a1=4(2−√2),q=√22或{a1=4(2+√2),q=−√22,所以S6=a1(1−q6)1−q=7．故选A．解法二易知公比q≠−1，则S2,S4−S2,S6−S4构成等比数列，所以S2(S6−S4)=(S4−S2)2，即4(S6−6)=22，所以S6=7．故选A．6. [2020全国卷Ⅰ，5分]设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1 ,a2+a3+ a4=2 ,则a6+a7+a8= ( D )A. 12B. 24C. 30D. 32[解析]解法一设等比数列{a n}的公比为q，所以a2+a3+a4a1+a2+a3=(a1+a2+a3)qa1+a2+a3=q=2，由a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=a1(1+2+22)=1，解得a1=17，所以a6+a7+a8=a1(q5+q6+q7)=17×(25+26+27)=17×25×(1+2+22)=32，故选D.解法二令b n=a n+a n+1+a n+2(n∈N∗)，则b n+1=a n+1+a n+2+a n+3.设数列{a n}的公比为q，则b n+1b n =a n+1+a n+2+a n+3a n+a n+1+a n+2=(a n+a n+1+a n+2)qa n+a n+1+a n+2=q，所以数列{b n}为等比数列，由题意知b1=1,b2=2，所以等比数列{b n}的公比q=2，所以b n=2n−1,所以b6=a6+a7+a8=25=32，故选D.7. [2020全国卷Ⅱ，5分]数列{a n}中，a1=2 ,a m+n=a m a n .若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25 ,则k= ( C )A. 2B. 3C. 4D. 5[解析]令m=1，则由a m+n=a m a n，得a n+1=a1a n，即a n+1a n=a1=2，所以数列{a n}是首项为2、公比为2的等比数列，所以a n=2n，所以a k+1+a k+2+⋯+a k+10=a k(a1+a2+⋯+a10)=2k×2×(1−210)1−2=2k+1×(210−1)=215−25=25×(210−1)，解得k=4，故选C．8. [2019全国卷Ⅲ，5分]已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3= ( C )A. 16B. 8C. 4D. 2[解析]设等比数列{a n}的公比为q，由a5=3a3+4a1得q4=3q2+4，得q2= 4，因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=2，又a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+2+4+8)=15，所以a1=1，所以a3=a1q2= 4.二、填空题9. [2023全国卷乙，5分]已知{a n}为等比数列，a2a4a5=a3a6 ,a9a10=−8 ,则a7=−2 .[解析]解法一设数列{a n}的公比为q，则由a2a4a5=a3a6，得a1q⋅a1q3⋅a1q4=a1q2⋅a1q5.又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q=1①.又a9a10=a1q8⋅a1q9=a12q17=−8②，所以由①②可得q15=−8，q5=−2，所以a7=a1q6=a1q⋅q5=−2.解法二设数列{a n}的公比为q.因为a4a5=a3a6≠0，所以a2=1.又a9a10= a2q7⋅a2q8=q15=−8，于是q5=−2，所以a7=a2q5=−2.10. [2019全国卷Ⅰ，5分]记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=13，a42=a6，则S5=1213.[解析]解法一设等比数列{a n}的公比为q，因为a42=a6，所以(a1q3)2=a1q5，所以a1q=1，又a1=13，所以q=3，所以S5=a1(1−q5)1−q=13×(1−35)1−3=1213．解法二设等比数列{a n}的公比为q，因为a42=a6，所以a2a6=a6，所以a2=1，又a1=13，所以q=3，所以S5=a1(1−q5)1−q=13×(1−35)1−3=1213．三、解答题11. [2020全国卷Ⅰ，12分]设{a n}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.（1）求{a n}的公比；[答案]设{a n}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q−2=0，解得q=1（舍去）或q=−2.故{a n}的公比为−2.（2）若a1=1，求数列{na n}的前n项和.[答案]记S n为{na n}的前n项和.由（1）及题设可得，a n=(−2)n−1.所以S n=1+2×(−2)+⋯+n×(−2)n−1,−2S n=−2+2×(−2)2+⋯+(n−1)×(−2)n−1+n×(−2)n.可得3S n=1+(−2)+(−2)2+⋯+(−2)n−1−n×(−2)n=1−(−2)n3−n×(−2)n.所以S n=19−(3n+1)(−2)n9.12. [2020新高考卷Ⅰ，12分]已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4= 20 ,a3=8 .（1）求{a n}的通项公式；[答案]设{a n}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20，a1q2=8.解得q=12（舍去）或q=2.由题设得a1=2.所以{a n}的通项公式为a n=2n.（2）记b m为{a n}在区间(0,m](m∈N∗)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100 .[答案]由题设及（1）知b1=0，且当2n≤m<2n+1时，b m=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+⋯+(b32+b33+⋯+b63)+ (b64+b65+⋯+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100−63)=480.【方法技巧】求解本题第（2）问的关键在于找准m的取值和a n的联系，可从小到大进行列举，找规律，从而可得结果.13. [2019全国卷Ⅱ，12分]已知{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=2 ,a3= 2a2+16 .（1）求{a n}的通项公式;[答案]设{a n}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2−2q−8=0.解得q=−2（舍去）或q=4.因此{a n}的通项公式为a n=2×4n−1=22n−1.（2）设b n=log2a n ,求数列{b n}的前n项和.[答案]由（1）得b n =(2n −1)log 22=2n −1 ,因此数列{b n } 的前n 项和为1+3+⋯+2n −1=n 2 .考点19 递推数列与数列求和题组一一、选择题1. [2021浙江，4分]已知数列{a n } 满足a 1=1 ,a n+1=n 1+√a n ∈N ∗) ,记数列{a n } 的前n 项和为S n ,则( A ) A. 32<S 100<3B. 3<S 100<4C. 4<S 100<92D. 92<S 100<5[解析]因为a 1=1 ,a n+1=n 1+√a ，所以a n >0 ，a 2=12 ,所以S 100>32.1an+1=1+√a n a n =1a n+√a =(√a +12)2−14 .所以1a n+1<(√a +12)2，两边同时开方可得√a <√a +12 ，则√a <√a +12 ,… ，√a <√a 12 ,由累加法可得√a <√a +n2=1+n2 ，所以√a ≤1+n−12=n+12，所以√a n ≥2n+1 ,所以a n+1=n 1+√a ≤a n1+2n+1=n+1n+3a n ，即a n+1a n≤n+1n+3 ，则a nan−1≤n n+2 ,… ,a 2a 1≤24 ,由累乘法可得当n ≥2 时，a n =a n a 1≤nn+2×n−1n+1×n−2n ×…×35×24=6(n+2)(n+1)=6(1n+1−1n+2) ，所以S 100<1+6(13−14+14−15+⋯+1101−1102)=1+6(13−1102)<1+2=3 ，故选A .【方法技巧】利用放缩法，结合累加法与累乘法求得a n ≤6(1n+1−1n+2) ，从而利用裂项相消法计算S 100 的取值范围.二、填空题2. [2021新高考卷Ⅰ，5分]某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm ×12dm 的长方形纸,对折1次共可以得到10dm ×12dm ,20dm ×6dm 两种规格的图形,它们的面积之和S 1=240dm 2 ,对折2次共可以得到5dm ×12dm ,10dm ×6dm ,20dm ×3dm 三种规格的图形,它们的面积之和S 2=180dm 2 ,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5；如果对折n 次,那么∑nk=1S k = 240(3−n+32n) dm 2 .[解析]依题意得，S 1=120×2=240 ；S 2=60×3=180 ；当n =3 时，共可以得到5dm ×6dm ，52dm ×12dm ,10dm ×3dm ,20dm ×32dm 四种规格的图形，且5×6=30 ,52×12=30 ，10×3=30 ，20×32=30 ，所以S 3=30×4=120 ；当n =4 时，共可以得到5dm ×3dm ，52dm ×6dm ,54dm ×12dm ,10dm ×32dm ,20dm ×34dm 五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3=15 ,52×6=15 ，54×12=15 ，10×32=15 ，20×34=15 ，所以S 4=15×5=75 ； ……所以可归纳S k =2402k×(k +1)=240(k+1)2k.所以∑n k=1S k =240(1+322+423+⋯+n2n−1+n+12n) ①，所以12×∑nk=1S k =240(222+323+424+⋯+n2n +n+12n+1) ②，由①−② 得，12×∑nk=1S k =240(1+122+123+124+⋯+12n −n+12n+1)=240(1+122−12n ×121−12−n+12n+1)=240(32−n+32n+1) ，（提示：用等比数列的前n 项和公式S n =a 1−a n q 1−q(q ≠1) ，可避免计算数列项数时出错）所以∑nk=1S k =240(3−n+32n)dm 2 .3. [2020全国卷Ⅰ，5分]数列{a n } 满足a n+2+(−1)n a n =3n −1 ,前16项和为540，则a 1= 7.[解析]因为数列{a n } 满足a n+2+(−1)n a n =3n −1 ，所以当n =2k(k ∈N ∗) 时，a 2k+2+a 2k =6k −1(k ∈N ∗) ，所以(a 2+a 4)+(a 6+a 8)+(a 10+a 12)+(a 14+a 16)=5+17+29+41=92 .当n =2k −1(k ∈N ∗) 时，a 2k+1−a 2k−1=6k −4(k ∈N ∗) ，所以当k ≥2 时，a 2k−1=a 1+(a 3−a 1)+(a 5−a 3)+(a 7−a 5)+⋯+(a 2k−1−a 2k−3)=a 1+2+8+14+⋯+[6(k −1)−4]=a 1+(2+6k−10)(k−1)2=a 1+(3k −4)(k −1) ，当k =1 时上式也成立，所以a 2k−1=a 1+(3k −4)(k −1)(k ∈N ∗) ，即a 2k−1=a 1+3k 2−7k +4(k ∈N ∗) .解法一所以a1+a3+a5+a7+⋯+a15=8a1+3×(12+22+32+⋯+82)−7×(1+2+3+⋯+8)+4×8=8a1+3×8×(8+1)×(2×8+1)6−7×(1+8)×82+32=8a1+612−252+32=8a1+392.又前16项和为540，所以92+8a1+ 392=540，解得a1=7.解法二所以a2k−1=a1+(3k2+3k+1)−10k+3=a1+[(k+1)3−k3]−10k+3，所以a1+a3+a5+a7+⋯+a15=8a1+(23−13)+(33−23)+⋯+(93−83)−10×(1+8)×82+3×8=8a1+93−13−360+24=8a1+392.又前16项和为540，所以92+8a1+392=540，解得a1=7.【拓展结论】12+22+32+42+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.三、解答题4. [2023全国卷甲，12分]记S n为数列{a n}的前n项和，已知a2=1，2S n= na n .（1）求{a n}的通项公式；[答案]当n=1时，2S1=a1，即2a1=a1，所以a1=0.当n≥2时，由2S n=na n，得2S n−1=(n−1)a n−1，两式相减得2a n=na n−(n−1)a n−1，即(n−1)a n−1=(n−2)a n，当n=2时，可得a1=0，故当n≥3时，a na n−1=n−1n−2，则a na n−1⋅a n−1a n−2⋅…⋅a3a2=n−1n−2⋅n−2n−3⋅…⋅21，整理得a na2=n−1，因为a2=1，所以a n=n−1(n≥3).当n=1，n=2时，均满足上式，所以a n=n−1.（2）求数列{a n+12n}的前n项和T n .[答案]令b n=a n+12n =n2n，则T n=b1+b2+⋯+b n−1+b n=12+222+⋯+n−12n−1+n2n①，1 2T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1②，由①−②得12T n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−2+n2n+1，即T n=2−2+n2n．5. [2019全国卷Ⅱ，12分]已知数列{a n}和{b n}满足a1=1，b1=0，4a n+1= 3a n−b n+4，4b n+1=3b n−a n−4 .（1）证明:{a n+b n}是等比数列，{a n−b n}是等差数列;[答案]由题设得4(a n+1+b n+1)=2(a n+b n),即a n+1+b n+1=12(a n+b n).又因为a1+b1=1,所以{a n+b n}是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(a n+1−b n+1)=4(a n−b n)+8,即a n+1−b n+1=a n−b n+2.又因为a1−b1=1,所以{a n−b n}是首项为1,公差为2的等差数列.（2）求{a n}和{b n}的通项公式.[答案]由（1）知,a n+b n=12n−1,a n−b n=2n−1.所以a n=12[(a n+b n)+(a n−b n)]=12n+n−12,b n=12[(a n+b n)−(a n−b n)]=12n−n+12.【方法技巧】破解此类题的关键：一是用定义，即根据所给的等式的特征，将其转化为数列相邻两项的差（比）的关系，利用等差（比）数列的定义，即可证明数列为等差（比）数列；二是用公式，即会利用等差（比）数列的通项公式，得到各个数列的通项所满足的方程（组），解方程（组），即可求出数列的通项公式．【易错警示】在利用等差（比）数列的定义时，既需注意是从第二项起，又需注意是后项与前项的差（比），在运用等比数列的通项公式时，注意不要与等比数列的前n项和公式搞混．题组二解答题1. [2023新高考卷Ⅱ，12分]已知{a n}为等差数列,b n={a n−6,n为奇数2a n,n为偶数.记S n，T n分别为数列{a n} ,{b n}的前n项和，S4=32，T3=16 . （1）求{a n}的通项公式;[答案]设等差数列{a n}的公差为d．因为b n={a n−6,n为奇数, 2a n,n为偶数,所以b1=a1−6，b2=2a2=2a1+2d，b3=a3−6=a1+2d−6.（提示：由于数列{b n}是一个奇偶项数列，因此求项时需“对号入座”）因为S4=32，T3=16，所以{4a1+6d=32,(a1−6)+(2a1+2d)+(a1+2d−6)=16,（方法技巧：求等差数列的基本量时，常根据已知条件建立方程组求解）解得{a1=5,d=2,所以{a n}的通项公式为a n=2n+3.（提示：等差数列的通项公式为a n=a1+(n−1)d）（2）证明:当n>5时，T n>S n . [答案]由（1）知a n=2n+3，所以S n=n[5+(2n+3)〗2=n2+4n，b n={2n−3,n为奇数,4n+6,n为偶数,当n为奇数时，T n=(−1+14)+(3+22)+(7+30)+⋯+[(2n−7)+(4n+2)]+2n−3= [−1+3+7+⋯+(2n−7)+(2n−3)]+[14+22+30+⋯+(4n+2)]=n+12(−1+2n−3)2+n−12(14+4n+2)2=3n2+5n−102．（方法技巧：如果数列的奇数项、偶数项构成等差或等比数列，则求其前n项和时可以使用分组求和方法，使具有相同结构的部分求和，然后将结果相加、化简即可）当n>5时，T n−S n=3n2+5n−102−(n2+4n)=n2−3n−102=(n−5)(n+2)2>0，所以T n>S n．当n为偶数时，T n=(−1+14)+(3+22)+(7+30)+⋯+[(2n−5)+ (4n+6)]=[−1+3+7+⋯+(2n−5)]+[14+22+30+⋯+(4n+6)]= n2(−1+2n−5)2+n2(14+4n+6)2=3n2+7n2．当n>5时，T n−S n=3n2+7n2−(n2+4n)=n2−n2=n(n−1)2>0，所以T n>S n．综上可知，当n>5时，T n>S n．2. [2022新高考卷Ⅰ，10分]记S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=1 ,{S na n}是公差为13的等差数列.（1）求{a n}的通项公式；[答案]因为a1=1，所以S1a1=1，又{S na n }是公差为13的等差数列，所以S na n =1+(n−1)×13=n+23.所以S n=n+23a n.因为当n≥2时，a n=S n−S n−1=n+23a n−n+13a n−1，所以n+13a n−1=n−13a n(n≥2)，所以a na n−1=n+1n−1(n≥2)，所以a2a1×a3a2×…×a n−1a n−2×a na n−1=31×42×53×…×nn−2×n+1n−1=n(n+1)2(n≥2)，所以a n=n(n+1)2(n≥2)，又a1=1也满足上式，所以a n=n(n+1)2(n∈N∗).（2）证明：1a1+1a2+⋯+1a n<2 .[答案]因为a n=n(n+1)2，所以1a n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以1a1+1a2+⋯+1a n=2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)]=2(1−1n+1)<2.3. [2021全国卷乙，12分]记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n +1b n=2 .（1）证明：数列{b n}是等差数列. [答案]因为b n是数列{S n}的前n项积，所以n≥2时，S n=b nb n−1,代入2S n +1b n=2可得，2b n−1b n+1b n=2，整理可得2b n−1+1=2b n，即b n−b n−1=12(n≥2).又2S1+1b1=3b1=2，所以b1=32，故{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列.（2）求{a n}的通项公式.[答案]由（1）可知，b n=n+22，则2S n+2n+2=2，所以S n=n+2n+1，当n=1时，a1=S1=32，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n+2n+1−n+1n=−1n(n+1).故a n={32,n=1,−1n(n+1),n≥2.【易错警示】研究数列{a n}的通项与前n项和S n的关系时，一定要检验n=1的情况.4. [2021新高考卷Ⅰ，10分]已知数列{a n}满足a1=1 ,a n+1={a n+1,n为奇数, a n+2,n为偶数.（1）记b n=a2n ,写出b1 ,b2 ,并求数列{b n}的通项公式；[答案]因为b n=a2n，且a1=1，a n+1={a n+1,n为奇数, a n+2,n为偶数,所以b1=a2=a1+1=2，b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.因为b n=a2n，所以b n+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3，所以b n+1−b n=a2n+3−a2n=3，所以数列{b n}是以2为首项，3为公差的等差数列，b n=2+3(n−1)=3n−1，n∈N∗.（2）求{a n}的前20项和.[答案]因为a n+1={a n+1,n为奇数, a n+2,n为偶数,所以k∈N∗时，a2k=a2k−1+1=a2k−1+1，即a2k=a2k−1+1①，a2k+1=a2k+2②，a2k+2=a2k+1+1=a2k+1+1，即a2k+2=a2k+1+1③，所以①+②得a2k+1=a2k−1+3，即a2k+1−a2k−1=3，所以数列{a n}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；②+③得a2k+2=a2k+3，即a2k+2−a2k=3，又a2=2，所以数列{a n}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.所以数列{a n } 的前20项和S 20=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 19)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 20)=10+10×92×3+20+10×92×3=300 .5. [2020全国卷Ⅲ，12分]设数列{a n } 满足a 1=3 ,a n+1=3a n −4n . （1） 计算a 2 ,a 3 ,猜想{a n } 的通项公式并加以证明； [答案]a 2=5 ,a 3=7 . 猜想a n =2n +1 .由已知可得 a n+1−(2n +3)=3[a n −(2n +1)] , a n −(2n +1)=3[a n−1−(2n −1)] , …a 2−5=3(a 1−3) .因为a 1=3 ,所以a n =2n +1 . （2） 求数列{2n a n } 的前n 项和S n . [答案]由（1）得2n a n =(2n +1)2n ,所以S n =3×2+5×22+7×23+⋯+(2n +1)×2n ①. 从而2S n =3×22+5×23+7×24+⋯+(2n +1)×2n+1 ②.①−② 得−S n =3×2+2×22+2×23+⋯+2×2n −(2n +1)×2n+1 . 所以S n =(2n −1)2n+1+2 .6. [2019天津，14分]设{a n } 是等差数列，{b n } 是等比数列.已知a 1=4 ，b 1=6 ，b 2=2a 2−2 ，b 3=2a 3+4 . （Ⅰ） 求{a n } 和{b n } 的通项公式；[答案]设等差数列{a n } 的公差为d ,等比数列{b n } 的公比为q .依题意得{6q =6+2d,6q 2=12+4d,解得{d =3,q =2, 故a n =4+(n −1)×3=3n +1 ,b n =6×2n−1=3×2n .所以{a n } 的通项公式为a n =3n +1 ,{b n } 的通项公式为b n =3×2n . （Ⅱ） 设数列{c n } 满足c 1=1 ，c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k, 其中k ∈N ∗ . （ⅰ） 求数列{a 2n (c 2n −1)} 的通项公式；[答案]a 2n (c 2n −1)=a 2n (b n −1)=(3×2n +1)(3×2n −1)=9×4n −1 . 所以数列{a 2n (c 2n −1)} 的通项公式为a 2n (c 2n −1)=9×4n −1 .（ⅱ） 求∑2ni=1a i c i (n ∈N ∗) .[答案]∑2n i=1a i c i =∑2ni=1[a i +a i (c i −1)]=∑2ni=1a i +∑ni=1a 2i (c 2i −1)=[2n×4+2n (2n −1)2×3]+∑ni=1(9×4i −1)=(3×22n−1+5×2n−1)+9×4(1−4n )1−4−n=27×22n−1+5×2n−1−n −12(n ∈N ∗) .考点20 数列的综合应用题组一一、选择题1. [2021北京，4分]数列{a n } 是递增的整数数列，且a 1≥3 ，a 1+a 2+a 3+⋯+a n =100 ，则n 的最大值为( C ) A. 9B. 10C. 11D. 12[解析]因为数列{a n } 满足三个特征，整数数列，递增，前n 项和为100，所以欲求n 的最大值，需要保证a k+1−a k (k ≤n −1) 的值取最小的正整数.又a 1≥3 ，故可取a 1=3 ，a k+1−a k =1 ，则数列{a n } 的前10项为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,第11项a 11=100−(3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)=25 ，满足题意，取数列{a n } 的前11项为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13，则第12项a 12=100−(3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)=12 ，不满足题意，故n 的最大值为11.二、填空题2. [2020江苏，5分]设{a n } 是公差为d 的等差数列，{b n } 是公比为q 的等比数列.已知数列{a n +b n } 的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗) ,则d +q 的值是4.[解析]解法一 当n =1 时，S 1=a 1+b 1=1 ①，当n ≥2 时，a n +b n =S n −S n−1=2n −2+2n−1 ，则a 2+b 2=4 ②，a 3+b 3=8 ③，a 4+b 4=14 ④，②−① 得d +b 1(q −1)=3 ⑤，③−② 得d +b 2(q −1)=4 ⑥，④−③ 得d +b 3(q −1)=6 ⑦，⑥−⑤ 得b 1(q −1)2=1 ，⑦−⑥ 得b 2(q −1)2=2 ，则q =2 ,b 1=1 ,d =2 ，所以d +q =4 .解法二 由题意可得S 1=a 1+b 1=1 ，当n ≥2 时，a n +b n =S n −S n−1=2n −2+2n−1 ，易知当n =1 时也成立，则a 1+(n −1)d +b 1q n−1=dn +a 1−d +b 1q n−1=2n −2+2n−1 对任意正整数n 恒成立，则d =2 ,q =2 ，d +q =4 . 【速解】 由等差数列和等比数列的前n 项和的特征可得等差数列{a n } 的前n 项和H n =n 2−n ，等比数列{b n } 的前n 项和T n =2n −1 ，则d =2 ,q =2 ，d +q =4 .【方法技巧】 公差为d 的等差数列{a n } 的前n 项和S n =An 2+Bn ,其中A =d2 ,B =a 1−d 2 ;公比为q 的等比数列{b n } 的前n 项和T n =C −Cq n,其中C =b11−q（公比q 不等于1）.三、解答题3. [2023天津，15分]已知数列{a n } 是等差数列，a 2+a 5=16 ，a 5−a 3=4 . （1） 求{a n } 的通项公式和∑2n −1i=2n−1a i .[答案]设{a n } 的公差为d ， 由{a 2+a 5=16,a 5−a 3=4, 得{a 1+d +a 1+4d =16,a 1+4d −(a 1+2d )=4,解得{a 1=3,d =2,所以{a n } 的通项公式为a n =3+2(n −1)=2n +1 .a 2n−1=2⋅2n−1+1=2n +1 ，a 2n −1=2(2n −1)+1=2n+1−1 .（易错：不要把a 2n−1 和a 2n −1 的表达式理解成等比数列的通项公式）从a 2n−1 到a 2n −1 共有2n −1−2n−1+1=2n−1 （项）.（提醒：下标相减算项数时要加1） 所以∑2n −1i=2n−1a i =(2n +1+2n+1−1)⋅2n−12=(2n +2⋅2n )⋅2n−12=3⋅2n ⋅2n−12=3⋅22n−2 .( 或∑2n −1i=2n−1a i =2n−1⋅(2n+1)+2n−1(2n−1−1)2⋅2=3⋅22n−2)（2） 已知{b n } 为等比数列，对于任意k ∈N ∗，若2k−1≤n ≤2k −1 ，则b k <a n <b k+1 .（ⅰ） 当k ≥2 时，求证:2k −1<b k <2k +1 ; [答案]因为当2k−1≤n ≤2k −1 时，b k <a n <b k+1 ， 所以当2k ≤n +1≤2k+1−1 时，b k+1<a n+1<b k+2 ， 可得a n <b k+1<a n+1 .因为{a n}为递增数列，所以若2k−1≤n≤2k−1,则a2k−1≤a n≤a2k−1,得2k+ 1≤a n≤2k+1−1.同理可得2k+1+1≤a n+1≤2k+2−1.故可得2k+1−1<b k+1<2k+1+1,（提醒：大于大的，小于小的）所以2k−1<b k<2k+1.综上，当k≥2时，2k−1<b k<2k+1.（ⅱ）求{b n}的通项公式及其前n项和.[答案]由题意知{b n}是q≠1的正项等比数列，（若q=1,则{b n}为常数列，与(i)矛盾）设{b n}的通项公式为b n=p⋅q n(p>0,q>0且q≠1)，（点拨：若设成b n= b1⋅q n−1，不利于下一步的化简）由(i)知,2n−1<b n<2n+1，即2n−1<p⋅q n<2n+1，则有1−12n <p⋅(q2)n<1+12n.①当q2>1，即q>2时，∃n0∈N∗，使得p⋅(q2)n0>2，与p⋅(q2)n0<1+12n0矛盾；②当0<q2<1，q≠1，即0<q<2且q≠1时，∃n1∈N∗，使得p⋅(q2)n1<12，与p⋅(q2)n1>1−12n1矛盾.故q=2.(思路引导：从(i)的结论可以观察出b n=2n，通过反证法证明q>2和0<q<2且q≠1时不等式不成立，从而得到q=2)因为2n−1<b n<2n+1，所以b n=2n.设{b n}的前n项和为S n，则S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2.4. [2022新高考卷Ⅱ，10分]已知{a n}是等差数列，{b n}是公比为2的等比数列，且a2−b2=a3−b3=b4−a4 .（1）证明：a1=b1 ;[答案]设等差数列{a n}的公差为d，由a2−b2=a3−b3得a1+d−2b1=a1+2d−4b1，即d=2b1，由a2−b2=b4−a4得a1+d−2b1=8b1−(a1+3d)，即a1=5b1−2d，将d=2b1代入，得a1=5b1−2×2b1=b1，即a1=b1.。

一、等差数列选择题1．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21 D ．6、10、14、18、22解析：C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列， 则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C2．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15 B ．30C ．3D ．64解析：A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==， 所以12a 的值是15， 故选：A3．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020 D ．2021解析：B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈， 即112n n a a +-=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列， 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=， 所以2021a =2021110112+=. 故选：B4．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36 B ．48 C ．56 D ．72解析：A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键.5．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．5解析：A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92n =， 因为n ∈+N ，02d<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值， 故选：A6．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ） A ．13 B ．26C ．52D ．56解析：B 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=， 因为()()3589133224a a a a a ++++=， 可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=， 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B.7．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．13解析：B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120C ．160D ．240解析：B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 解析：D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A 选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=， 整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++，()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ． 【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 10．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16解析：A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22n n n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2n n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n n n a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A11．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7解析：A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A12．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．85解析：C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a k b k ⨯-==⨯-，故选：C ．13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ）A ．21B ．20C ．19D ．19或20解析：B 【分析】 由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 14．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4解析：A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．0解析：A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解.二、等差数列多选题16．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2 B ．5C ．3D ．4解析：BD 【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减， 可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1n n a a -的最大值为3． 故选：BD ．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 18．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列解析：ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为1112a =+，1(1)2n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得15d =-. 故选ACD19．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S += B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.20．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n+⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.21．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k N k ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k kk aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k aa kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 解析：ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7nnN，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确； 由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ） A ．2n S n = B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-解析：AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-==故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 解析：ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，nnS a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．25．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值解析：AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。

新高考多项选择题分类精编题集说明：新高考山东卷、海南卷开始第1年使用，试卷结构发生改变，其中多项选择题的出现是与以往试卷的一大改变。

关于数学多项选择题的题目很少，本人收集了今年山东、海南高考卷，以及山东、海南等地今年的模拟试卷中的多项选择题，按照章节内容、具体知识点分类汇编成册.时间仓促，极少数题目详解未录入.2020年8月2日目录第一章函数与导数 (1)1.1指对数运算 (1)1.2具体函数性质判定 (1)1.3抽象函数性质判断 (3)1.4新定义问题 (4)第二章三角函数与解三角形 (6)2.1三角函数图象与性质 (6)2.2解三角形 (8)第3章立体几何 (9)3.1线面关系判定 (9)3.2正方体中静态线面关系判定 (9)3.3柱体中动态线面关系判定 (10)3.4锥体中线面关系判定 (12)第4章平面解析几何 (15)4.1直线与圆 (15)4.2圆锥曲线定义 (15)4.3椭圆性质 (15)4.4双曲线性质 (16)4.5抛物线性质 (17)第5章概率与统计 (19)5.1统计图、表的识别 (19)5.2概率运算 (22)5.3相关概念识别 (23)第6章复数、不等式、数列、二项式定理 (25)6.1复数 (25)6.2基本不等式 (25)6.3数列 (25)6.4二项式定理 (26)参考答案 (27)第一章一、指对数运算1．若10a 4，10b 25，则（A ．a b 2B ．b a 1）函数与导数C ．ab 81g 22D ．b a lg6)2．已知a x lg x ，b y lg y ，c x lg y d y lg x ，且x 1，y 1，则(A ．∃x ，y R ，使得a b c dB ． x ，y R ，都有c ＝dC ．∃x ，y 且x y ，使得a ＝b ＝c ＝dD ．a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1二、具体函数性质判断3．下列函数中，既是偶函数，又在(0, )上单调递增的是（A ．y ln(1 9x 2 3x )C ．y x 2 1B ．y e x e x D ．y cos x 3）4．已知函数f (x ) e x e x ，g (x ) e x e x ，则以下结论错误的是A ．任意的x 1，x 2 R 且x 1 x 2，都有B ．任意的x 1，x 2 R 且x 1 x 2，都有C ．f (x )有最小值，无最大值5．“已知函数f (x ) x 2 cos x ，对于[f (x 1) f (x 2) 0x 1x2g (x 1) g (x 2)0x 1x2D ．g (x )有最小值，无最大值,]上的任意x 1，x 2，若_______，则必有22f (x 1) f (x 2)恒成立．”在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是A ．|x 1| x2B ．x 1x 22C ．x 12 x 2D ．）x1 1x26．已知函数f (x )＝x +sin x -x cos x 的定义域为[-2π，2π），则（A ．f (x )为奇函数C ．f (x )恰有4个极大值点B ．f (x )在[0，π）上单调递增D ．f (x )有且仅有4个极值点）7.已知f (x ) x 3 6x 2 9x abc ,a b c 且f (a ) f (b ) f (c ) 0.如下结论正确的为（A.f (0)f (1) 0B.f (0)f (1) 0C.f (0)f (3) 0D.f (0)f (3) 08．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x 3) f (x )，当x [0,3]时，f (x ) x 2 3x ，下列等式成立的是（）A ．f (2019) f (2020) f (2021)C ．2f (2019) f (2020) f (2021)B ．f (2019) f (2021) f (2020)D ．f (2019) f (2020) f (2021)9.设函数f (x )是定义在R 上的函数，满足f ( x ) f (x ) 0，且对任意的x R ，恒有 1 f (x 2) f (2 x )，已知当x [0,2]时，f (x ) 2 2 x ，则有（）A.函数f (x )的最大值是1，最小值是14B.函数f (x )是周期函数，且周期为2 1 D.当x [2,4]时，f (x ) 22 x C.函数f (x )在[2,4]上递减，在[4,6]上递增2 x 2x ，x 010．已知函数f x ，以下结论正确的是f x 2 ，x 0A ．f 3 f 2019 3B ．f x 在区间[4，5]上是增函数11 C ．若方程f x kx 1恰有3个实根，则k 的取值范围为 ，24D ．若函数y f x b 在 ，4 上有6个零点x ii 1，2，3，4，5，6 ，则 x if x i的取值范围i 16是(0，6) ln x ,x 011．设函数f xx，若函数g x f x b 有三个零，则实数b 可取的值可e x 1 ,x 0能是(A ．0)B ．12C ．1D ．212．设定义在R 上的函数f x 满足f x f x x 2，且当x 0时，f x x .己知存在112 x 0 x f x x 2 f 1 x 1 x ，且x 0为函数g x e x ex a (a R ,e 为22自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（A ．12）D ．e)B ．e 2C ．e 213.已知函数y f (x )的导函数f (x )的图象如图所示，则下列判断正确的是(1A.函数y f (x )在区间( 3, )内单调递增2B.当x 2时，函数y f (x )取得极小值C.函数y f (x )在区间(－2,2)内单调递增D.当x 3时，函数y f (x )有极小值14．已知ln x 1x 1y 12 0，x 22y 24 2ln 2 0，记M x 1x2y1y2，则（22）A ．M 的最小值为C ．M 的最小值为25545B ．当M 最小时，x 2D ．当M 最小时，x 21256515．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定 1,x Q 义了一个“奇怪的函数”y f x 其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数0,x C Q Rf x 有如下四个命题,正确的为(A ．函数f x 是偶函数)B ． x 1,x 2RQ ,f x 1 x2f x 1f x 2恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ,f (x +T )=f (x )对任意的x R 恒成立D ．不存在三个点A x 1,f x1,B x 2,f x 2,C x 3，f x 3,使得 ABC 为等腰直角三角形三、抽象函数性质判断16.函数f (x )的定义域为R ，且f (x 1)与f (x 2)都为奇函数，则(A.f (x )为奇函数C.f (x 3)为奇函数B.f (x )为周期函数D.f (x 4)为偶函数)17．已知函数y f (x )是R 上的偶函数，对于任意x R ，都有f (x 6) f (x ) f (3)成立，当x 1,x 2 [0,3]，且x 1 x 2时，都有命题为（A ．f (3) 0B ．直线x 6是函数y f (x )的图象的一条对称轴C ．函数y f (x )在[ 9, 6]上为增函数D ．函数y f (x )在[ 9,9]上有四个零点18.已知f (x )是定义在R 上的函数，f (x )是f (x )的导函数．给出如下四个结论,正确是．A.若f (x )f (x )0，且f (0) e ，则函数xf (x )有极小值0；xf x 1 f x 2 x 1x20，给出下列命题，其中所有正确）.B.若xf (x ) 2f (x ) 0，则4f (2n 1) f (2n )，n N ；C.若f (x ) f (x ) 0，则f (2017) ef (2016)；D.若f (x ) f (x ) 0，且f (0) 1，则f (x ) e x 的解集为(0, )．19.已知定义在R上的函数f(x)，对于任意的x,y R恒有f(x y) f(x y) 2f(x)f(y)，且f(0) 0.若存在正数t，使得f(t) 0.给出下列四个结论：t1①f(0) 1；②f2() ；③f(x)为偶函数，④f(x)为周期函数.24其中正确的结论编号是A.①B.②C.③D.④四、新定义问题20．已知集合M=x,y y f x ,若对于 x1,y1M, x2,y2M,使得x1x2y1y20成立，则称集合M是“互垂点集”.给出下列四个集合:M1M2x,y y x 1；2x,y y x 1；M3x,yy e；Mx4x,yy sin x 1 .其中是“互垂点集”集合的为( A．M1)B．M2C．M3D．M4x1x21)f(x1) f(x2)则2221．函数f(x)在[a,b]上有定义，若对任意x1,x2[a,b]，有f(称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P，则下列说法错误的是：（A．f(x)在[1,3]上的图像是连续不断的；B．f(x2)在[1,3]上具有性质P；C．若f(x)在x 2处取得最大值1，则f(x) 1，x [1,3]；D．对任意x1,x2,x3,x41,3 ，有f(x1x2x3x41)f(x1) f(x2)+f(x3)+f(x4)44）22．定义：N{f(x) g(x)}表示f(x) g(x)的解集中整数的个数．若f(x) |log2x|，g(x) a(x 1)2 2，则下列说法正确的是A．当a 0时，N{f(x) g(x)}=01B．当a 0时，不等式f(x) g(x)的解集是(,4)4C．当a 0时，N{f(x) g(x)}=3D．当a 0时，若N{f(x) g(x)} 1，则实数a的取值范围是( , 1]23．定义：若函数Fx 在区间 a，b 上的值域为 a，b ，则称区间 a，b 是函数F x 的“完美区间”，另外，定义区间Fx 的“复区间长度”为2 b a ，已知函数f x x2 1，则（）A．0,1 是f x 的一个“完美区间”1 51 5B． , 是f x 的一个“完美区间”22x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3 5 C．fx 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3 25 D．f第二章一、三角函数图象与性质三角函数与解三角形1．要得到y cos 2x 的图象C 1,只要将y sin 2x 图y sin 2x 象C 2怎样变化得到3 3()A ．将y sin 2x 的图象C 2沿x 轴方向向左平移个单位12311 B ．将y sin 2x 的图象C 2沿x 轴方向向右平移个单位312C ．先作C 2关于x 轴对称图象C 3,再将图象C 3沿x 轴方向向右平移D ．先作C 2关于x 轴对称图象C 3,再将图象C 3沿x 轴方向向左平移2.右图是函数y sin( x )的部分图像，则sin( x ) A.B.C.D.sin(x sin(5个单位12个单位12 )3y 1O 62 3x2x )3)6cos(2x cos(52x )63.在下列函数中，最小正周期为 的是（A.y |cos x |B.y sin |x |）C.y cos(2x)6D.y tan(2x)44．将函数f (x ) sin 3x 3cos3x 1的图象向左平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，65 2对称；②它的最小正周期为；93给出下列关于g (x )的结论：①它的图象关于直线x ③它的图象关于点(是（A ．①）B ．②C ．③11 5 19,1)对称；④它在[,]上单调递增．其中正确的结论的编号1839D ．④个单位长度65．已知函数f x 2sin 2x 0 ，若将函数f x 的图象向右平移后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是()A ．56B ． ,0 是f x 图象的一个对称中心12C ．f 2D ．x 是f x 图象的一条对称轴6）6．已知函数f x sin 3x 的图象关于直线x对称，则（422 A ．函数f x 为奇函数12B ．函数f x 在 , 上单调递增123 C ．若f x 1f x22，则x 1x 2的最小值为D ．函数f x 的图象向右平移3个单位长度得到函数y cos3x 的图象47．将函数f x 3cos 2x 1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长33 度，得到函数g x 的图象，则下列关于函数g x 的说法正确的是（A ．最大值为3，图象关于直线x C ．最小正周期为）对称12B ．图象关于y 轴对称D ．图象关于点 ,0 对称 48．已知函数f (x ) sin 2x 2sin 2x 1，给出下列四个结论，其中正确的结论是（A ．函数f (x )的最小正周期是2）.5 B ．函数f (x )在区间, 上是减函数 88 C ．函数f (x )的图象关于直线x对称:8个单位得到4D ．函数f (x )的图象可由函数y 2sin 2x 的图象向左平移π9．已知函数f (x ) 2cos 2x cos(2x ) 1，则2A ．f (x )的图象可由y 2sin 2x 的图象向左平移πB ．f (x )在(0,)上单调递增8π个单位长度得到4C ．f (x )在[0,π]内有2个零点πD ．f (x )在[ ,0]上的最大值为22sin x ,x 4，则下列结论正确的是（10．已知函数f (x )cos x ,x4A ．f (x )不是周期函数C ．f (x )的图象关于直线xB ．f (x )奇函数）对称4D ．f (x )在x 5处取得最大值211.已知函数f (x ) |sin x ||cos x |，则下列说法正确的是（A ．f (x )的图象关于直线x ）对称2B ．f (x )的周期为2D ．f (x )在区间 ，上单调递增 4212．已知向量m sin x ， 3,n cos x ,cos 2x ，函数f (x ) 2m n 3 1，下列命题，说C ．( ,0)是f (x )的一个对称中心法正确的选项是（）A ．f x 2f (x ) 6B ．f x 的图像关于x 对称4 6D ．若x 1,x 2,x 3, ，则f (x 1) f (x 2) f (x 3)32C ．若0 x 1 x 2 ，则f (x 1) f (x 2)2二、解三角形13．在 ABC 中，D 在线段AB 上，且AD 5,BD 3若CB 2CD ,cos CDBA ．sin CDB3105，则（5）B ． ABC 的面积为8D ． ABC 为钝角三角形C ． ABC 的周长为8 4514.给出下列四个命题，其中正确命题的为A.在 ABC 中，A B 是cos A cos B 的充分不必要条件；B.若f (x ) x cos x ，则f (x )是偶函数；C.f (x ) 2cos(2x 5 )的一个对称中心是(，0)；312c，则 ABC 是等腰三角形.bD.在 ABC 中，若cos A第三章立体几何一、线面关系判定1.已知l ,m 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，且l // ,m ，则下列命题中正确的是A.若 // ，则m C.若l m ，则l //B.若 ，则l m D.若m // ，则二、正方体中静态线面关系判定2．如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是（）A ．B ．C ．D ．3.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点.则A.直线D 1D 与直线AF 垂直B.直线A 1G 与平面AEF 平行C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为D.点C 与点G 到平面AEF 的距离相等4．已知在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，H 分别是AB ，A 1D 1，BC 1的中点，下列结论中正确的是(A ．D 1C 1∥平面CHDC ．三棱锥D ﹣BA 1C 1的体积为5698)B ．AC 1⊥平面BDA 1D ．直线EF 与BC 1所成的角为30°)5．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列四个命题正确的是(A ．直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于B ．点C 到面ABC 1D 1的距离为224C ．两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角为D ．三棱柱AA 1D 1 BB 1C 1外接球半径为4326．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，如图，M ,N 分别是正方形ABCD ，BCC 1B 1的中心.则下列结论正确的是（）A ．平面D 1MN 与B 1C 1的交点是B 1C 1的中点B ．平面D 1MN 与BC 的交点是BC 的三点分点C ．平面D 1MN 与AD 的交点是AD 的三等分点D ．平面D 1MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶17．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在线段CB 1上，且B 1P 2PC ，过点A ,P ,C 1的平面分别交BC ,A 1D 1于点E ,F ，则下列说法正确的是A ．AC 1EFC ．平面AEC 1F ⊥平面AA 1D 1D∥平面AC 1F B ．A 1BD ．过点A ,P ,C 1的截面的面积为268．如右图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．则以下命题正确的是（）B ．AH 平面CB 1D1D ．直线AH 和BB 1所成角为45A ．点H 是△A 1BD 的重心C ．AH 延长线经过点C1三、柱体中动态线面关系判定9．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF 则下列结论中正确的是（A ．AC BE B ．EF //平面ABCDC ． AEF 的面积与 BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF 的体积为定值10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，F 是棱A 1D 1上动点，下列说法正确的是（A ．对任意动点F ，在平面ADD 1A 1内存在与平面CBF 平行的直线1，2））.B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从A 1运动到D 1的过程中，FC 与平面ABCD所成的角变大D ．当点F 从A 1运动到D 1的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小11．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，已知平面 AC 1，则关于 截此正方体所得截面的判断正确的是A ．截面形状可能为正三角形C ．截面形状可能为正六边形B ．截面形状可能为正方形D ．截面面积最大值为3312．如图,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点E 在线段A 1C 1上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点,则下列结论中正确的是A ．FM //A 1C1B ．BM 平面CC 1FC ．存在点E ，使得平面BEF //平面CC 1D 1DD ．三棱锥B CEF 的体积为定值13.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB 1，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP BD 1，则以下四个结论正确的是（A.V P AA 1DC.AP BC113）B.点P 必在线段B 1C 上D.AP //平面A 1C 1D .14．已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱AA 11，P 为上底面A 1B 1C 1D 1上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（）A ．若PD 3，则满足条件的P 点有且只有一个B ．若PD 3，则点P 的轨迹是一段圆弧C ．若PD ∥平面ACB 1，则DP 长的最小值为2D ．若PD ∥平面ACB 1，且PD 3，则平面BDP 截正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的外接球所得平面图形的面积为9415．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝2AB ＝2，AB ⊥AC ，点D ，E 分别是3EC DC线段BC ，B 1C 上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（）B 1C BCA ．ED ∥平面ACC 1B ．该三棱柱的外接球的表面积为68πC ．异面直线B 1C 与AA 1所成角的正切值为D ．二面角A ﹣EC ﹣D 的余弦值为41332四、锥体中的线面关系判定16．在空间四边形ABCD 中,E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点,当BD //平面EFGH 时,下面结论正确的是()B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点C ．AE :EB AH :HD ，且BF :FC DG :GC17．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形， DAB 60 ，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD 平面ABCD ，则下列说法正确的是（A ．在棱AD 上存在点M ，使AD 平面PMB B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90°C ．二面角P BC A 的大小为45°D ．BD 平面PAC18．在三棱锥D -ABC 中，AB BC CD DA 1，且AB BC ，CD DA ，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，下面结论正确的是（A ．AC BDC ．三棱锥A -CMN 的体积的最大值为212））B ．MN //平面ABDD ．AD 与BC 一定不垂直19．三棱锥P−ABC 的各顶点都在同一球面上，PC 底面ABC ，若PC AC 1，AB 2，且 BAC 60 ，则下列说法正确的是（A ． PAB 是钝角三角形）B ．此球的表面积等于5C ．BC 平面PACD ．三棱锥A−PBC 的体积为3220．如图，在四棱锥P ABCD 中，PC 底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB //CD ，AB AD ，AB 2AD 2CD 2，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是（）A ．若PB 2PE ，则EF //平面PACB ．若PB 2PE ，则四棱锥P ABCD 的体积是三棱锥E ACB 体积的6倍C ．三棱锥P ADC 中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP 平面ACE21．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将 ABM 沿直线AM 翻折成 ABM ，连结B 1D ，N 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）A ．存在某个位置，使得CN AB B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM ，则AM B 1DD ．若AB BM 1，当三棱锥B 1AMD 的体积最大时，三棱锥B 1AMD 的外接球的表面积是422．如图所示，在四棱锥E ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形， CDE 是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（A ．若BC DE 时，平面CDE 平面ABCDB ．若BC DE 时，直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为C ．若直线BM 和EN 异面时，点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE 平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心时，BM EN104）23．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的2（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（）A ．沙漏中的细沙体积为102481cm 3B ．沙漏的体积是128 cm 3C ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD ．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（ 3.14）第四章平面解析几何一、直线与圆1．已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，点A是直线y＝kx﹣3上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A与圆C没有公共点，则整数k的值可能为( A．﹣2B．﹣1C．0)D．12．设有一组圆Ck:(x k 1)2 (y 2k)2 1，下列说法正确的是A．这组圆的半径均为1B．直线2x y 2 0平分所有的圆CkC．存在无穷多条直线l被所有的圆Ck截得的弦长相等D．存在一个圆Ck与x轴和y轴均相切二、圆锥曲线定义3.已知曲线C:mx2 ny2 1.A. B. C. D.若m n 0，则C是椭圆，其焦点在y轴上若m n 0，则C是圆，其半径为n若mn 0，则C是双曲线，其渐近线方程为y若m 0，n 0，则C是两条直线mxn三、椭圆性质4.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴2b、2c，则（长、焦距分别为2a、A．a c m R B．a c n R ）C．2a m n D．b (m R)(n R)x2y25．设椭圆的方程为 1，斜率k为的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A,B两24点，M为线段AB的中点.下列结论正确的是（A．直线AB与OM垂直；B．若点M坐标为1,1 ，则直线方程为2x y 3 0；13C．若直线方程为y x 1，则点M坐标为 ,34）D ．若直线方程为y x 2，则AB42.3x 2y 26.已知椭圆 1的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m ( 1 m 1)与椭圆相交于43点A 、B ，则（）B ．不存在m 使 FAB 为直角三角形D ．存在m ，使 FAB 的周长最大A ．当m 0时， FAB 的面积为3C ．存在m 使四边形FBEA 面积最大四、双曲线性质x 2y 27.已知双曲线 21的右焦点与抛物线y 2 12x 的焦点F 重合，则（4b ）A.双曲线的实轴长为2C.双曲线的渐近线方程为y 5x2B.双曲线的离心率为3D.F 到渐近线的距离为58.已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y x 2A.C 的方程为 y 2 13C.曲线y e x 2 1经过C 的一个焦点3x ，则下列结论正确的是3B.C 的离心率为3D.直线x 2y 1 0与C 有两个公共点x 2y 29.已知双曲线C :2 21(a 0,b 0)的离心率e ＝2，C 上的点到其焦点的最短距离为1，a b 则（）B ．C 的渐近线方程为y 3xD ．直线mx ﹣y ﹣m ＝0（m R ）与C 恒有两个交点A ．C 的焦点坐标为（0，±2）C ．点（2，3）在C 上x 2y 210.双曲线2 21(a 0,b 0)的一条渐近线上的点M ( 1,3)关于另一条渐近线的对称a b 点恰为右焦点F ，点P 是双曲线上的动点，则|PM | |PF |的值可能为A.4B.43C.2D.23x 2y 211.已知双曲线2 21(a 0，b 0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，a b 且|PF 1| 2|PF 2|，若sin F 1PF 2 是（A ．e 3）B ．e 215，则对双曲线中a ，b ，c ，e 的有关结论正确的4C ．b 5aD ．b 3a15x 2y 212.设F 1,F 2为双曲线C :2 21(a 0,b 0)的左、右焦点，过左焦点F 1且斜率为的7a b直线l与C在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是（A．直线l倾斜角的余弦值为78）43 B．若F1P F1F2，则C的离心率eC．若PF2 F1F2，则C的离心率e 2D．△PF1F2不可能是等边三角形x2y213．已知点P在双曲线C: 1上，F1、F2是双曲线C的左、右焦点，若 PF1F2的面169积为20，则下列说法正确的有（A．点P到x轴的距离为203）B．PF1PF2D． F1PF2503C． PF1F2为钝角三角形3x2y21的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，14．已知点P是双曲线E：169PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是（）803A．点P的横坐标为C． F1PF2小于203B． PF1F2的周长为3D． PF1F2的内切圆半径为34五、抛物线性质15．设A，B是抛物线y=x2上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是（A．若OA OB，则OA OB 2B．若OA OB，直线AB过定点(1,0)C．若OA OB，O到直线AB的距离不大于1D．若直线AB过抛物线的焦点F，且AF 1，则|BF| 13）16．设抛物线C:y2 2pxp 0 的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，FA 为半径的圆交l于B,D两点，若 ABD 90o，且 ABF的面积为93，则(A．BF 3C．点F到准线的距离为3B． ABF是等边三角形D．抛物C的方程为y2 6x)17．已知抛物线x2 2py(p 0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（）A．抛物线的方程是x2 2yC．sin QMN的最小值是12B．抛物线的准线是y 1D．线段AB的最小值是6第五章概率与统计一、统计图、表的识别1．甲、乙两位体育特长生在平时训练中，5次的成绩如下面的茎叶图所示，则下列说法正确的是（）A ．甲同学成绩的极差为18C ．乙同学成绩的中位数是85B ．乙同学的平均成绩较高D ．甲同学成绩的方差较小2．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类营业收入占比净利润占比90.10%95.80%）冰箱类4.98%﹣0.48%小家电类3.82%3.82%其它类1.10%0.86%则下列判断中正确的是（A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低3．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：所需时间（分钟）线路一线路二则下列说法正确的是（）300.50.3400.20.5500.20.1600.10.1A ．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B ．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C ．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D ．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.044．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如柱形图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图2所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（A ．他们健身后，体重在区间[90，100）内的人数增加了2个B ．他们健身后，体重在区间[100，110）内的人数没有改变）C ．因为体重在[100，110）内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D ．他们健身后，原来体重在区间[110，120）内的肥胖者体重都有减少5．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数越小，表明空气质量越好，表1是空气质量指数与空气质量的对应关系，图1是经整理后的某市2019年2月与2020年2月的空气质量指数频率分布直方图表1空气质量指数（AQI ）优（AQI 50）良（50 AQI 100）轻度污染（100 AQI 150）中度污染（150 AQI 200）重度污染（200 AQI 300）严重污染（AQI>300）下列叙述正确的是A ．该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032B ．该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量C．该市2020年2月份空气质量指数的中位数小于2019年2月份空气质量指数的中位数D．该市2020年2月份空气质量指数的方差大于2019年2月份空气质量指数的方差6．我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为140的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各70人；男性60人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别有关C．调查样本中倾向选择生育二胎的群群中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的群群中，农村户籍人数多于城镇户籍人数7.下图为某地区2006年 2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该折线图可知，该地区2006年 2018年A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大8．“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007~2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论正确的有（）A．2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大B．2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小C．该企业连续12年来研发投入逐年增加D．该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）A．年接待游客量逐年增加B．各年的月接待游客量高峰期大致在8月C．2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳二、概率运算10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（A．P B 25）B．P B|A1511C．事件B与事件A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事件11．甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（）A．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件B．甲的不同的选法种数为15C．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是D．乙、丙两名同学都选物理的概率是94916三、相关概念辩别12．下列说法中，正确的命题是（）A．已知随机变量 服从正态分布N2, 2，P4 0.84，则P 2 4 0.16．B．以模型y ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ln y，将其变换后得到线性方程z 0.3x 4，则c，k的值分别是e4和0.3．C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx，若b 2，x 1，y 3，则a 1．D．若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x11，2x21，…，2x101的方差为16．13．下列命题中是真命题的是（）A．“x 1”是“x2 1”的充分不必要条件B．命题“ x 0，都有sin x 1”的否定是“ x0 0，使得sin x1”C．数据x1,x2, ,x8的平均数为6，则数据2x15,2x25, ,2x85的平均数是63x 2y 1 0 D．当a 3时，方程组2有无穷多解a x 6y a14.下列说法正确的是（）ˆ 0.85x 2.3中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量yˆ平A.在回归直线方程y均减少2.3个单位B.两个具有线性相关关系的变量，当相关指数R2的值越接近于0，则这两个变量的相关性就越强C.若两个变量的相关指数R2 0.88，则说明预报变量的差异有88%是由解释变量引起的ˆ 0.85x 2.3中，相对于样本点(1，1.2)的残差为—0.25D.在回归直线方程y15．下列判断正确的是（）A．命题p“，则p的否定：“ x 0，都有x2 x 1 0”: x 0，使得x2 x 1 0”B． ABC中，角A,B,C成等差数列的充要条件是B 3ˆ aˆ bxˆ必经过点x1,y1, x2,y2, (x)n,yn的中心点 x,yC．线性回归直线yD．若随机变量 服从正态分布N1, 2,P 4 0.79，则P 2 0.2116信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能取值为1,2, ,n，且P(X i) pi 0(i 1,2, n)，n npi 1i1，定义X的信息熵H(X)p logi 1i2pi.A. B. C. D.若n 1，则H(X) 0若n 2，则H(X)随着p1的增大而增大若pi1(i 1,2, ,n)，则H(X)随着n的增大而增大n若n 2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2, ,m，且P(Y j) pjp2m 1 j(j 1,2, ,m)，则H(X) H(Y)17．一组数据2x1 1，2x21，2x3+1，…，2xn1的平均值为7，方差为4，记3x12，3x2 2，3x32，…，3xn2的平均值为a，方差为b，则（）D．b 9A．a 7B．a 11C．b 12。

2021年新高考数学多项选择题专项练习（含详解）1．对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（ ） A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项； B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项； C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项； D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项． 【答案】AD【解析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。

设二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为1r T +， 则3411=()()r n r r r r nr n n T C x C x x--+=，不妨令4n =，则1r =时，展开式中有常数项，故答案A 正确，答案B 错误； 令3n =，则1r =时，展开式中有x 的一次项，故C 答案错误，D 答案正确。

故答案选AD2．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测．结合下图，下列说法正确的是（ ）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大趋势 【答案】ABD【解析】本题结合图形即可得出结果．由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误．故选：ABD ．3．已知三个数1,,9a 成等比数列，则圆锥曲线2212x y a +=的离心率为（ ）ABCD【答案】BC【解析】由等比数列的性质求出a ，再判断曲线类型，进而求出离心率由三个数1,,9a 成等比数列，得29a =，即3a =±；当3a =，圆锥曲线为22132x y +=，曲线为椭圆，则33e ==；当3a =-时，曲线为22123y x -=，曲线为双曲线，5102e ==， 则离心率为：3或2．故选：BC ． 4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…．，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 【答案】ABCD【解析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案．对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=．故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项．对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD ．5若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有（ ） A ．0.1q = B ．2EX=， 1.4DX =C ．2EX=， 1.8DX =D ．5EY =，7.2DY =【答案】ACD【解析】先计算q 的值，然后考虑EX 、DX 的值，最后再计算EY 、DY 的值． 因为0.40.10.20.21q ++++=，所以0.1q =，故A 正确； 又00.110.420.130.240.22EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(02)0.1(12)0.4(22)0.1(32)0.2(42)0.2 1.8DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，故C 正确；因为21Y X =+，所以215EY EX =+=，47.2DY DX ==，故D 正确，故选：ACD ．6．下列说法中正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．B ．若A 、B 为互斥事件，则A 的对立事件与B 的对立事件一定互斥．C ．某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中．D ．若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关． 【答案】AD【解析】利用频率分布直方图和回归直线方程，以及互斥事件和对立事件的概念，逐项判定，即可求解．对于A 中，在频率分布直方图中，据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确的；对于B 中，若A 、B 为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则A 的对立事件与B 的对立事件不一定互斥，所以不正确；对于C 中，某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，根据概率的概念，可得每4人中不一定必有1人抽中，所以是不正确的；对于D 中，若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，据回归系数的含义，可得变量x 与y 正相关是正确的． 故选：AD ．7． 若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD【解析】据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案．由题意，若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，对于A 中，当3t =时，此时方程222x y +=表示圆，所以不正确；当方程22151x y t t +=--表示焦点在y 轴上椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得35t <<，所以D 项正确；对于B 中，当1t <时，50,10t t ->-< ，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以是正确的；对于C 中，当0t =时，方程22151x y -=，此时双曲线的焦距为故选BD ．若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<．8． 等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8 【答案】ABD【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，求得13a d =-，根据数列{}n a 是递增数列，得到,A B 正确；再由前n 项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解． 由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确； 因为22172222n d d d dS n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 由7722d nn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误，令27022n d d S n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确． 故选ABD9． 下列命题中正确的是（ ）A ．,,,AB M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l α D ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α 【答案】ABD【解析】不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，由此可判断A 、B ，若直线的方向向量与平面α的法向量垂直，则线面平行，可判断C ，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等，由此可判断D ． 对于A ，,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,BA BM BN 共面，则,,,A B M N 共面，故A 对；对于B ，已知{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，若m a c =+，则,,a b m 也不共面，则{},,a b m 也是空间的基底，故B 对； 对于C ，因为21(2)+00+3=03e n ⋅=⨯-⨯⨯，则e n ⊥，若l α⊄，则//l α，但选项中没有条件l α⊄，有可能会出现l α⊂，故C 错；对于D ，∵cos ,e n e n e n ===，则则直线l 与平面α所成角的正弦，故D 对； 故选：ABD ．10．在统计中，由一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y 利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，那么下面说法正确的是（ ）A ．直线ˆˆˆy bx a =+至少经过点()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y 中的一个点B ．直线ˆˆˆy bx a =+必经过点(),x yC ．直线ˆˆˆy bx a =+表示最接近y 与x 之间真实关系的一条直线D ．||1r ≤，且||r 越接近于1，相关程度越大；||r 越接近于0，相关程度越小 【答案】BCD【解析】理解回归直线的含义，逐项分析．A ．直线ˆˆˆy bx a =+由点拟合而成，可以不经过任何样本点，故A 错；B ．直线ˆˆˆy bx a =+必过样本点中心即点(),x y ，故B 正确；C ．直线ˆˆˆy bx a =+是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C 正确；D ．相关系数r 的绝对值越接近于1，表示相关程度越大，越接近于0，相关程度越小，故D 正确． 故选：BCD ．11．已知A 、B 两点的坐标分别是(1,0),(1,0)-，直线AP 、BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是（ ）A ．当1m =-时，点P 的轨迹圆（除去与x 轴的交点）B ．当10m -<<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去与x 轴的交点）C ．当01m <<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D ．当1m 时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去与x 轴的交点） 【答案】ABD【解析】M 的坐标为(,)x y ，直线AP 的斜率为()11AP y k x x =≠-+，()11BM yk x x =≠- 由已知得，()111y ym x x x ⨯=≠±+- 化简得点M 的轨迹方程为()2211y x x m+=≠±-，对A ，当1m =-时，方程为221(1)x y x +=≠±，故A 正确；对B ，当10m -<<，方程为()2211y x x m+=≠±-，表示椭圆，故B 正确；对C ，当01m <<，方程为()2211y x x m+=≠±-，不表示抛物线，故C 错误；对D ，1m ，方程为()2211y x x m+=≠±-，表示双曲线线，故D 正确；故选：ABD ．12． 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了四十八里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 【答案】ABD【解析】设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列． 所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--，解得1192a =． 2311192484a a q ==⨯=，所以A 正确，由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，所以B 正确．211192962a a q ==⨯=，而6194.6964S =<，所以C 不正确．2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=，则后3天走的路程为378336=42-而且428=336⨯，所以D 正确． 故选：ABD13． 如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-=C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．1BD 与AC 【答案】AB【解析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断． 以顶点A 为端点的三条棱长都相等， 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1，则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB ADAB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 所以A 正确．()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0，所以B 正确．向量11B C A D=，显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒．所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ，向量1B C 与1AA 的夹角是120︒，则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以111cos ==6||||2BD AC BD AC BD AC ⋅⋅，，所以D 不正确．故选：AB14．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1．6，全年比赛失球个数的标准差为1．2；二队每场比赛平均失球数是2．2，全年失球个数的标准差是0．5．下列说法正确的是（ ）．A ．平均说来，一队比二队防守技术好B ．二队比一队技术水平更稳定C ．一队有时表现很差，有时表现又非常好D ．二队很少不失球【答案】ABCD【解析】根据平均值和方差的实际意义说明．一队每场比赛平均失球数是1．6，二队每场比赛平均失球数是2．2，所以从平均数的角度来说一队比二队防守技术好，A 正确．一队全年比赛失球个数的标准差为1．2，二队全年失球个数的标准差是0．5，所以二队比一队技术水平更稳定，B 正确．一队全年比赛失球个数的标准差为1．2，二队全年失球个数的标准差是0．5，所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，C 正确．二队每场比赛平均失球数是2．2，全年失球个数的标准差是0．5，所以二队很少不失球，D 正确． 故选：ABCD ．15． 如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是（ ）A ．()11222a c a c +>+B ．1122a c a c -=-C ．1221a c a c >D ．2112e e +=E ．椭圆Ⅱ比椭圆I 更扁【答案】ABD【解析】先据已知的条件确定1a 和2a 的关系，以及1c 和2c 的关系，再判断正确选项． 由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得212a a =，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得221a c c +=；因为112222a c a a c +=++，且22a c >，则112222222()a c a a c a c +=++>+，所以A 正确；因为11222222()a c a a c a c -=-+=-，所以B 正确；因为21222a a c c =，212222222()a c a c a a a c =+=+，则有22222222121222()0a c a a c a a c a a c c -=--=-<，所以C 错误；因为1211222122a c c e a e a +==+=，所以D 正确；因为12221122222222022a c a c c c c e a a a e a -=+--==>-，即12e e >，则椭圆I 比椭圆Ⅱ更扁，所以E 不错误，故选ABD ．16． 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，且167671,12a a a a a >+>+>，记{}n a 的前n 项积为n T ，则下列选项中正确的选项是 A ．01q << B ．61a >C ．121T >D ．131T >【答案】ABC【解析】化简不等式67671a a a a +>+，由此判断出671,1a a ><，01q <<，进而判断出正确选项．由于等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，且167671,12a a a a a >+>+>，所以()()67110a a --<，由题意得671,1a a ><，所以01q <<．因为6712a a +>，所以671a a >，()212121112671T a a a a a a =⋅⋅⋅⋅=>，131371T a =<．故选ABC ．4． 已知随机变量X 服从正态分布N （100，102），则下列选项正确的是（ ） （参考数值：随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0．6826），P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0．9544，P （μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0．9974） A ．E （X ）＝100B ．D （X ）＝100C ．P （X≥90）＝0．8413D ．P （X≤120）＝0．9987【答案】ABC【解析】据对称性，由题意可求出答案．∵随机变量X 服从正太分布N （100，102）， ∴曲线关于x ＝100对称，据题意可得，P （90＜x ＜110）＝0．6826，P （80＜x ＜120）＝0．9544，∴P （x≥90）＝0．5+6826.021⨯＝0．8413，故C 正确； P （x≤120）＝0．5+9772.09544.021=⨯，故D 错误．而A ，B 都正确．故选ABC ．17．“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下 列结论正确的是（ ）A ．月跑步里程逐月增加B ．月跑步里程最大值出现在9月C ．月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数D ．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳 【答案】BCD【解析】根据折线图，判断A ，B ，D 选项的正确性，判断出中位数所在的月份，由此判断C 选项的正确性．根据折线图可知，7月跑步里程下降了，故A 选项错误． 根据折线图可知，9月的跑步里程最大，故B 选项正确．一共11个月份，里程中间的是从小到大的第6个，根据折线图可知，跑步里程的中位数为8月份对应的里程数，故C 选项正确．根据折线图可知，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D 选项正确．综上所述，正确的选项为BCD ． 故选：BCD18． 已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，且||3||AF BF =，M 为AB 中点，则下列结论正确的是（ ） A ．90CFD ︒∠= B ．CMD △为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为D ．AOB 的面积为4【答案】AC【解析】A ．根据抛物线性质，结合角度之间的关系，求解出CFD ∠的度数；B ．利用抛物线的焦半径结合||3||AF BF =，判断CMD △为等腰直角三角形的可能性；C ．根据||3||AF BF =，设出直线方程完成直线AB 斜率的求解；D ．取直线AB 的方程，联立抛物线方程求解出A B y y -的值，根据12AOBA B SOF y y =⋅⋅-求解出三角形面积． 过点M 向准线l 作垂线，垂足为N ，()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ， 如下图所示：A ．因为AF AC =，所以AFC ACF ∠=∠，又因为OFC ACF ∠=∠，所以OFC AFC ∠=∠，所以FC 平分OFA ∠， 同理可知FD 平分OFB ∠，所以90CFD ︒∠=，故结论正确； B ．假设CMD △为等腰直角三角形，所以90CFD CMD ︒∠=∠=， 所以,,,C D F M 四点共圆且圆的半径为12CD MN =， 又因为3AF BF =，所以24AB AC BD MN BF+==，所以2MN BF=，所以CD =，所以CD AB =，显然不成立，故结论错误；C ．设直线AB 的方程为1x my =+，所以241y x x my ⎧=⎨=+⎩，所以2440y my --=，所以121244y ymy y +=⎧⎨=-⎩， 又因为||3||AF BF =，所以123y y =-，所以2222434y my -=⎧⎨-=-⎩， 所以213m =，所以1m =，所以直线AB的斜率为D ．取m =，由上可知12124y y y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以12yy -==， 所以1112233AOBA B SOF y y =⋅⋅-=⨯⨯=，故结论错误．19． 已知等比数列{}n a 中，满足11,2a q ==，则（ ） A ．数列{}2n a 是等比数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．数列{}2log n a 是等差数列 D ．数列{}n a 中，102030,,S S S 仍成等比数列 【答案】AC【解析】据题意求出等比数列{}n a 的通项公式，即可求出数列{}2n a ，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2log n a 的通项公式，并判断数列类型，由等比数列前n 项和公式，可求出102030,,S S S ，即可判断选项D 的真假．等比数列{}n a 中，11,2a q ==，所以12n na ，21n n S =-．于是124n n a -= ，1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 1n a n =-，故数列{}2n a 是等比数列，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，数列{}2log n a 是等差数列． 因为10203010203021,21,21,S S S =-=-=- 20301020S S S S ≠ ，所以102030,,S S S 不成等比数列． 故选：AC ．20． 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 和点G 到平面AEF 的距离相等【解析】利用向量法判断异面直线所成角；利用面面平行证明线面平行；作出正方体的截面为等腰梯形，求其面积即可；利用等体积法处理点到平面的距离．对选项A ：（方法一）以D 点为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D 、(1,0,0)A 、1(1,0,1)A 、1,1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,1,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭．从而1(0,0,1)DD =，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而1102DD AF ⋅=≠，所以1DD 与直线AF 不垂直，选项A 错误；（方法二）取1DD 的中点N ，连接AN ，则AN 为直线AF 在平面11ADD A 内的射影，AN 与1DD 不垂直，从而AF 与1DD 也不垂直，选项A 错误；取BC 的中点为M ，连接1A M 、GM ，则1A M AE ∥，GM EF ∥，易证1A MG AEF 平面∥平面，从而1AG AEF ∥平面，选项B 正确；对于选项C ，连接1AD ，1D F ，易知四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形（如图所示），且1D H AH ==1A D ，所以132AD HS∆==，而113948AD HAEFDS S==四边形△，从而选项C正确；对于选项D：（方法一）由于111111112222224GEF EBGBEFGS S S∆∆⎛⎫=-=+⨯-⨯⨯=⎪⎝⎭梯形，而11112228ECFS∆=⨯⨯=，而13A GEF EFGV S AB-∆=⋅，13A ECF ECFV S AB-∆=⋅，所以2A GEF A ECFV V--=，即2G AEF C AEFV V--=，点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF 的距离的二倍．从而D错误．（方法二）假设点C与点G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于点O，易知O不是CG的中点，故假设不成立，从而选项D错误．21．关于茎叶图的说法正确的是（）A．甲的极差是29 B．甲的中位数是25C．乙的众数是21 D．甲的平均数比乙的大【答案】ACD【解析】根据选项依次求出甲的极差，甲的中位数，乙的众数，甲、乙的平均数，进而对选项进行判断即可．由茎叶图知，甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为37829-=，故A正确；将甲数据按从小到大的顺序排列之后，其中间位置的两个数为22，24，所以甲的中位数为1(2224)232⨯+=，故B错误；乙数据中出现次数最多的是21，所以众数是21，C正确；计算可知，21.4x=甲，16.9x=乙，因为21.416.9＞，所以甲的平均数大，D正确故选ACD．22．当3(,)44ππα∈时，方程22sin cos1x yαα+=表示的轨迹可以是（）A．两条直线B．圆C．椭圆D．双曲线【答案】ACD【解析】将α分为ππππ3π,,,,42224ααα⎛⎫⎛⎫∈=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项．当ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()11sin,,cos0,,2sin2cosαααα⎛⎫⎛⎫∈∈∈∈+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos sinαα>>．方程22sin cos1x yαα+=可化为22111sin cosx yαα+=，表示焦点在y轴上的椭圆．当π2α=时，sin1,cos0αα==，方程22sin cos1x yαα+=化为21,1x x==±，表示两条直线．当π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(1sin ,sin αα⎫∈∈⎪⎪⎝⎭，(1cos ,0,,2cos αα⎛⎫∈-∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭．方程22sin cos 1x y αα+=可化为22111sin cos x y αα-=-，表示焦点在x 轴上的双曲线． 所以曲线不可能表示圆． 故选ACD ．23．若数列{}n a 满足：对任意正整数n ，{}1n n a a +-为递减数列，则称数列{}n a 为“差递减数列”．给出下列数列{}()*n a n N ∈，其中是“差递减数列”的有（ ）A ．3n a n =B ．21n a n =+C．n aD ．ln1n na n =+ 【答案】CD【解析】分别求出四个选项中数列{}()*n a n N∈对应的{}1n n aa +-，再进行判断．对A ，若3n a n =，则13(1)33n n a a n n +-=+-=，所以{}1n n a a +-不为递减数列，故A 错误；对B ，若21n a n =+，则221(1)21n n a a n n n +-=+-=+，所以{}1n n a a +-为递增数列，故B 错误；对C，若n a1n n a a +-==，所以{}1n n a a +-为递减数列，故C 正确； 对D ，若ln1n na n =+，则121111lnln ln ln(1)2122n n n n n n a a n n n n n n++++-=-=⋅=+++++，由函数21ln(1)2y x x=++在(0,)+∞递减，所以数{}1n n a a +-为递减数列，故D 正确．故选CD．。