苏苑高级中学2021届高三数学冲刺卷(代数推理题)制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
1．〔04〕函数))((R x x f ∈满足以下条件：对任意的实数x 1，x 2都有 )]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -= 〔Ⅰ〕证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； 〔Ⅱ〕证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； 〔Ⅲ〕证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.解： 证明：〔I 〕任取则由,,,2121x x R x x ≠⊂ )]()()[()(2121221x f x f x x x x --≤-λ 和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ②可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-⋅-≤--≤-λ， 从而 1≤λ. 假设有则由使得,0)(,000=≠b f a b ①式知.0)]()()[()(00000200矛盾=--≤-<b f a f b a b a λ∴不存在.0)(,000=≠b f a b 使得〔II 〕由)(a f a b λ-= ③可知 220202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得20000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤ 由0)(0=a f 和②式知，20202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ202))(1(a a --=λ〔III 〕由③式可知22)]()()([)]([a f a f b f b f +-=22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-=22)]([)]()([2)(a f a f b f ab a b +--⋅--≤λ〔用②式〕222)]([)]()()[(2)]([a f a f b f a b a f +---=λλ2222)]([)(2)([a f a b a f +-⋅⋅-≤λλλ 〔用①式〕2222222)]()[1()]([)]([2)]([a f a f a f a f λλλ-=+-=2．〔02〕a ＞0，函数f (x )=ax －bx 2〔I 〕当b ＞0时，假设对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b ；〔II 〕当b ＞1时，对任意x ∈[0，1]，)(x f ≤1的充要条件是b －1≤a ≤b 2；〔III 〕当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈[0，1]，)(x f ≤1的充要条件．解：〔I 〕证：依设，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1， ∵f (x )=b a b a x b 4)2(22+--，∴ba b a f 4)2(2=≤1，∵a ＞0，b ＞0，∴a ≤2b 。
