多基雷达空间定位及其精度分析—张新洋
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图2 距离和测量误差 图3 方位角测量误差 图4 距离差测量误差 由图可知,多基地雷达采用距离和、距离差定位时,其定位精度要比采用方位角高得 多;在远距离时,采用距离和定位,其精度优于采用距离差定位;在近距离时,采 用距离差定位, 其精度优于距离和定位; 但在测量站附近,采用距离和、距离差定位, 其 精度比采用方位角定位低。 类似的，我们将距离和、距离差类比为本题中的雷达测量距离，方位角类比为本题 中的雷达自身坐标，由以上结果可类比得到以下结论： 一般情况，雷达测量距离误差较坐标误差对定位精度影响大一些； 但在测量雷达附近，雷达坐标误差较测量距离误差对定位精度影响大一些。
５．２．２ 距离误差和坐标误差对定位精度的影响分析 由上述分析可见，雷达测量距离误差和自身坐标误差对飞行物定位都有影响，两者
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误差协方差阵愈大，定位误差愈大 。为方便分析比较两者对飞行物定位精度的影响， 我们分别对这两组误差进行讨论。 由题可知，雷达距离误差服从正态分布 N (0, σ t ) ，坐标误差服从正态分布 N (0, σ r ) 。 代入（３）式有： 只考虑雷达测量距离误差，不考虑坐标误差：
五、模型建立与求解
５．１ 定位飞行物需要的最少雷达数 方法一：几何法 基于问题分析中提及的雷达扫描区可设为一个地面上的半球面，则该问题可转化为 一个几何问题：至少需要几个半球面才能定位一点（该点在ｚ轴上方） 。 用Ｍａｔｌａｂ作图分析： 先作任意两半球面相交，容易观察到交线至多为一半圆或无交点，无法确定飞行物 具体位置。 （如图 １ 所示） 再作任意三半球面相交，容易观察在一定条件下，交线可为一点，即可定位飞行物 具体位置。 （如图 ２ 所示）
s ( x , y , z ) 飞行物坐标
∑ r 雷达到飞行物距离误差协方差阵 ∑ s 雷达坐标误差协方差阵
N (0, σ t ) 距离误差服从的正态分布 N (0, σ r ) 坐标误差服从的正态分布
多基雷达空间定位及其精度分析
选做的题号：Ａ 编号 １２０１０ 组长：张新洋 组员：舒文静 组员：付 瑜
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多基雷达空间定位及其精度分析
摘要
在电子对抗领域，为最终摧毁目标，需要精确侦察辐射源位置信息。本文讨论的是 多基雷达精确定位的问题，因为在多基雷达定位过程中，测量误差的存在往往最终导致 目标定位精度的不准确，为了处理好这个问题，尽可能提高多基雷达的定位精度，最好 的措施就是在考虑测量误差对目标定位的影响下，设计一种较好的定位算法。本文就测 量误差对目标定位的影响给出了严密、合理的分析，并提供了定位算法的一般表达式， 在此基础上还根据实际情况给出了控制雷达定位精度的建议。 针对问题一，在解决至少需要几个雷达才能定位飞行物的问题时，我们合理的利用 了空间几何、 Ｍａｔｌａｂ 作图和代数知识， 分别用几何和代数两种方法确定了至少 ３ 个雷达 才能定位飞行物。 针对问题二，在分析测量误差对目标定位的影响时，我们通过对定位测量方程进行 全微分的方法，导出了多基雷达定位精度的协方差估计公式： ∆r = A∆ x + As ∆x s ， 将距离误差和坐标误差对定位精度的影响进行了科学的分析和比较。另外，我们还 通过进行雷达仿真弥补了纯理论分析的不足。 针对问题三，我们根据以上的分析，给出了几种不同的定位算法，并分别进行了建 模、分析、比较，最终得到一种纯距离雷达定位算法：
∂r 1 ∂y ∂r2 ∂y ∂r3 ∂y
∂r 1 ∂z ∂r2 ∂zຫໍສະໝຸດ ∂r3 ∂z
其中，由于雷达处在地面上，故 z1 = z2 = z3 = 0 由（２）式得：
∆x = A−1 (∆r − A s ∆x s )
根据误差协方差定义，假设雷达测量距离误差和坐标误差无关，则可导出雷达定位 误差的协方差阵为：
关键词：多基雷达 定位算法 定位精度
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一、问题重述
在某地上空发现有一可疑飞行物，需要对其进行精确定位。常用的定位方法是基于 多基雷达的测量方法。每个雷达都可以测量自身的坐标 ( xi , yi , z i )
ri
以及它到飞行物距离
(i = 1, L n) ，其中 n 为雷达总数。通过一组雷达位置坐标和飞行物到各雷达的距离测
∂r ∂r1 1 ∂x1 ∂y1 As =
∂r1 ∂z1 ∂r2 ∂x2 ∂r2 ∂y2 ∂r2 ∂z2 ∂r3 ∂x3 ∂r3 ∂y3
∂r 1 ∂ x ∂r A = 2 ∂x ∂r3 ∂r3 ∂z 3 ∂x
采用对测量方程中各变量进行全微分的方法推导定位误差协方差的计算公式。对式 （１）进行全微分，得： ∆r = A∆ x + As ∆x s （２） 其中，
∆r = [ ∆r1 ∆r2 ∆r3 ]T ∆x = [ ∆x ∆xs = [∆x1 ∆y1 ∆z1 ∆x2 ∆y2 ∆z2 ∆x3 ∆y3 ∆z 3 ]T ∆ y ∆z ]T
量，可以确定目标的空间飞行物的坐标 s ( x , y , z ) 。 由于每个雷达在测量自身坐标和飞行物到各雷达的距离都存在测量误差，这给精确 定位带来了困难。设距离误差服从正态分布 N (0, σ t ) ，坐标误差服从正态分布 N (0, σ r ) 。 在这个假设下解决以下问题： １、定位飞行物需要的最少雷达数； ２、在最少雷达条件下，分析并比较距离误差和坐标误差对定位精度的影响； ３、在实际情况中，往往使用更多雷达进行精确定位，设计一种定位算法。用所给 数据计算飞行物坐标； ４、给出控制雷达定位精度的建议。
图 １ 图 ２ 综上所述，我们得到定位飞行物需要的最少雷达数为 ３ 个。 方法二：代数法 由题意，可列出如下方程组：
ri2 = ( xi − x) 2 + ( yi − y ) 2 + z 2
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三、模型假设
１、忽略除距离误差、坐标误差外的一切误差； ２、假定距离误差、坐标误差相互独立； ３、不考虑雷达的距地高度； ４、假定雷达运行正常，记录准确。
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四、符号说明
( xi , yi , z i ) 雷达自身坐标
ri 雷达到飞行物测量距离
∑x
1
= A−1 (σ t σ t σ t ) T ( A−1) T （４）
只考虑雷达坐标误差，不考虑雷达测量距离误差（同时由模型假设可知ｚ轴不存在 误差） ： ∑ x2 = A−1[ As (σ r σ r 1 σ r σ r 1 σ r σ r 1) AsT ]( A−1 )T （５） 仅对比（４） （５）式，不难看出一般情况下，雷达测量距离误差要比雷达坐标误差 对定位精度的影响较大。 若要具体分析比较距离误差和坐标误差对定位精度的影响，需要对 σ t 、 σ r 的大小 进行比较。由于给出的数据不够充分，我们不便具体分析，但通过类文献的模拟仿真， 我们在此借鉴如下。 ５．２．３ 雷达仿真 ［２］ 假设发射机、接收机的位置分别为 : T ( 20, - 30) , R1 ( 100, - 30) , R2 ( 75, - 7313) , R3 ( 150, - 30) , R4 ( 75,- 1313) 。测量噪声的均方差:σ1 =σ3 = 0．25 km ,σ3 = ０．33°。 在区域: 0≤ x≤ 270 km, 0≤ y≤200 km ,多基地雷达定位精度仿真计算结果如图 2～图 4 所示,其中: x表示距离向( km) , y 表示方位向( km) ,其高度表示定位精度的大小。(无量 纲)
s( x , y, z ) =
∑ s (x ,y , z )
i =1 i
n
n
对于导致公式（1）无结果的部分数据我们不予考虑，从而造成产生无效数据，没 有充分利用测量数据。且整个模型计算较为复杂，计算机运行次数较多、速度太慢，不 便实际操作。综合以上分析，我们不采用这种定位算法。 5.3.2 拟合模型 接着，我们设计了一种运用 MATLAB 进行数据拟合。同样的先运用公式（1） ，求 出 ｎ 组数据 si (x ,y , z ) （对于由于测量误差的存在，导致公式（1）无结果的部分数据我 们不予考虑） 。然后考虑到误差，我们对所得数据进行三维拟合，最终得到一个球，可 以将球心定位为飞行物位置。 该模型结果类似求飞行物定位位置最大频率点，但无法从图中具体观察出来，只能 大致的设为圆心位置。综合以上分析，我们也不采用这种定位算法。 5.3.3 非线性规划模型[3] 基于以上两种模型的分析，我们在模型精确定位、可行性上作了一定改进，给出了 一种比较可行的精确定位算法。 首先，我们给出一个残差的定义：
∑ x = A (∑ r + A ∑
−1 s
s
T −1 T As )( A ) （３）
当ｎ＞４ 时，采用最小二乘求解雷达定位，同理可推得定位误差的协方差阵为：
∑ x =( A
T
A ) −1 AT ( ∑ r + As ∑ s AsT )[( AT A ) −1 AT ]T
min Q = ∑ ri + ( x − xi ) + ( y − yi ) + z − 2ri i =1
2 2 2 2 n 2 2 2 2 ( x − xi ) + ( y − yi ) + z
并对此算法进行雷达仿真，以证明其可行性。 本文充分考虑了测量误差对目标定位的影响，建立了多个模型分析比较，最终为控 制雷达定位精度提供了可行的、有效的定位算法及建议，进而很大程度上提高了定位精 度。该模型还可以推广到卫星定位等问题上。
二、问题分析
１、定位飞行物需要的最少雷达数； 雷达扫描区可设为一个地面上的半球面，定位飞行物可视为多个半球面相交的点， 用Ｍａｔｌａｂ作图直接观察即可。另外，通过代数知识方程求解，也可得到结果。 ２、在最少雷达条件下，分析并比较距离误差和坐标误差对定位精度的影响； 解决问题 １ 后，可确定定位飞行物方程组，又结合误差满足正态分布，对方程利用 全微分法变形即可。在此基础上，利用参考文献[2]中雷达仿真技术，以实际数据说明了 问题。 ３、在实际情况中，往往用更多雷达进行精确定位，设计一种定位算法。 借鉴问题 ２ 结论，以三基雷达定位为基础，运用非线性规划模型，就缓解了测量误 差造成的影响。 ４、给出控制雷达定位精度的建议。 综合上述问题的解答，综合分析给出最好的建议。
