分布列和数学期望教师版

分布列和数学期望教师版
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一般来说，概率分布和数学期望是统计学中重要的概念，二者都有统一的概念，即定义随机变量取起来特定的概率。

概率分布的内容描述的是该概率大小，数学期望则对概率分布做了平均处理，描述的是统计平均值，从而给出随机变量比例和同一事件发生次数的有效参数。

首先来了解一下概率分布，概率分布表示的是某一实验事件发生可能性的大小关系，一般来说，它表示一系列不同事件发生的概率。

概率分布有几种常用的分类，可以按照要用到的变量的取值范围分类，例如离散型概率分布和连续型概率分布；根据实验中的事件分类，可以分为事件的实验型概率分布和不发生事件的实验型概率分布；也可以根据实验的类型来分类，例如抛硬币实验的贝叶斯概率分布、回报分布和条件概率分布等。

而当涉及到数学期望时，则是要研究随机变量X的总体期望，也就是把概率分布中X 取值各个概率乘以相应的数值，取平均数得出一个数值，这就是随机变量X的数学期望，也称为期望值或期望。

数学期望是衡量随机变量X发生次数大小和未来与过去的联系的参数，它是反映某一随机变量取某种值的可能性以及它取这种值时的数值的参数。

有了上面的认识，我们可以说，概率分布和数学期望是统计概念中最重要的概念，它们能够帮助我们估算实验事件发生可能性的大小关系，以及随机变量取某种值的可能性以及它取这种值时的数值。

关键提示：正确理解 PX＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)的含义， 掌握“分布列中概率和为 1”的要点．
分析：本题用等式表示分布列．(1)考查分布列的第二条 性质 .(2)(3)因为 X 的可能取值为15，25，35，45，1，所以满足 X≥35或110＜X＜170的 X 值，只能在15，25，35，45，1 中选取．根 据离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个 范围内多个值的概率的和即得．
8．一般地，如果离散型随机变量X的概率分布列为P(X＝xi) ＝pi(i＝1,2，…，n)，则称_E__X_＝__x_1_p_1＋___x_2p_2_＋__…__…__＋__x_ip_i＋__ _…__＋__x_np_n_为随机变量X的_均__值__或_数__学__期__望__，它反映了离散
型随机变量取值的_平__均__水__平__ ． 9．E(aX＋b)＝ __a_E_X_＋__b__. 10．若X服从两点分布，则EX＝__p_.
【即时巩固1】 写出下列随机变量可能的取值． (1)在10件产品中有2件是次品，其余是正品，任取3件，取 到正品的个数； (2)在10件产品中有2件是次品，其余是正品，从中每次取 一件，取后不放回，直到取出2件次品，所取次数； (3)在10件产品中有2件是次品，其余是正品，从中每次取 一件，取后放回，共取5次，取到正品的个数． 解：(1)X的取值为1,2,3；X＝i(i＝1,2,3)表示取到i个正品． (2)X的取值为2,3,4，…，10；X＝i(i＝2,3,4，…，10)表示 第i次取到两件次品． (3)X的取值为0,1,2,3,4,5；X＝i(i＝0,1,2,3,4,5)表示5次共取 到的正品数．ຫໍສະໝຸດ (即时巩固详解为教师用书独有)
考点一 随机变量的概念 【案例1】 某种彩票开奖是从1,2，…，36中任选 7个基本号码，购买的彩票上的7个号码中与基本号码相 同的个数用ξ表示．写出ξ的可能值及相对应的结果． 关键提示：本题的ξ是彩票上的号码与开奖号码(即 基本号码)相同的个数． 分析：该题是写出彩票上的号码与开奖号码相同 的个数的取值，不是可能出现的号码组数选择．

（新高考）2022届高考考前冲刺卷数 学 （一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}05,U x x x =<<∈N ，{}2560M x x x =-+=，则U M =（ ） A ．{}2,3 B ．{}1,5C ．{}1,4D ．{}2,3,5【答案】C【解析】由题设，{2,3}M =，{1,2,3,4}U =，所以{1,4}U M =，故选C ． 2．复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则i z ⋅=（ ） A ．2i -+ B ．2i +C ．2i --D ．2i -【答案】D【解析】依题意12i z =-+，12i z =--，()i 12i i 2i z ⋅=--⋅=-，故选D ．3．函数sin()()e ex xx f x π-=+的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】函数sin()()e e x x x f x π-=+定义域为R ，sin()sin()()()e e e ex xx x x x f x f x ππ-----===-++， 即()f x 是奇函数，A ，B 不满足；当(0,1)x ∈时，即0x ππ<<，则sin()0x π>， 而e e 0x x -+>，因此()0f x >，D 不满足，C 满足， 故选C ．4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是直角三角形，且1AB BC AA ==，D 为棱11B C 的中点，点E 在棱BC 上，且4BC BE =，则异面直线AC 与DE 所成角的余弦值是（ ）A ．3417B ．3434C ．105D ．1010【答案】B【解析】如图所示，在棱BC 上取点F ，使CF BE =，连接11,,C F AF A F ， 因为1AB BC AA ==，D 为棱11B C 的中点，点E 在棱BC 上，且4BC BE =，设14AB BC AA ===，可得1BE CF ==，3BF =，1142AC AC ==，2EF =， 在ABF △中，因为4,3AB BF ==，所以22435AF =+=， 在直角1A AF △中，221141A F AA AF =+=，在直角1C CF △中，221117C F CC CF =+=，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号因为D 是11B C 的中点，所以12C D =，所1EF C D =，又因为11BC B C ∥，所以1EF C D ∥，所以四边形1C DEF 是平行四边形， 所以1DE C F ∥，所以11A C F ∠是异面直线AC 与DE 所成的角，在11A C F △中，由余弦定理可得1132174134cos 3424217AC F +-∠==⨯⨯， 即异面直线AC 与DE 所成角的余弦值是3434，故选B ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足10a <，916S S =，则（ ） A ．0d < B ．n S 的最小值为25SC ．130a =D ．满足0n S >的最大自然数n 的值为25【答案】C【解析】由于916S S =，101112131415160a a a a a a a ++++++=，∴上式中等差中项130a =，13110120a a a d -=-=>，即0d >，故A 错误； 由等差数列的性质可知2513250S a ==，110S a =<，即125S S <，故B 错误； 由以上分析可知C 正确，D 错误， 故选C ．6．从编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为（ ） A ．57B ．35C ．25D ．13【答案】A【解析】随机取出三个小球共有3735C =种情况，任意两个小球编号都不相邻的基本事件有()1,3,5，()1,3,6，()1,3,7，()1,4,6，()1,4,7，()1,5,7，()2,4,6，()2,4,7，()2,5,7，()3,5,7共有10种，故所求概率为35105357-=，故选A ． 7．已知函数()21ln ,02,0x x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪+≤⎩，则函数[()1]y f f x =+的零点个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】令()()21ln 1,011,0x x x t f x x x ⎧-+>⎪=+=⎨⎪+≤⎩． ①当0t >时，1()ln f t t t=-，则函数()f t 在(0,)+∞上单调递增，由于(1)10f =-<，1(2)ln 202f =->，由零点存在定理可知，存在1(1,2)t ∈，使得()10f t =；②当0t ≤时，2()2f t t t =+，由2()20f t t t =+=，解得2320t t =-=，． 作出函数()1t f x =+，直线120t t t t ==-=、、的图象如下图所示：由图象可知，直线1t t =与函数()1t f x =+的图象有两个交点； 直线0t =与函数()1t f x =+的图象有两个交点； 直线2t =-与函数()1t f x =+的图象有且只有一个交点， 综上所述，函数()1y f f x ⎡⎤=+⎣⎦的零点个数为5，故选D ．8．已知两条直线1:2320l x y -+=，2:3230l x y -+=，有一动圆（圆心和半径都在变动）与12,l l 都相交，并且12,l l 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A ．()22165y x --= B ．()22165x y --= C ．()22165y x -+= D ．()22165x y +-=【答案】D【解析】设动圆圆心(),P x y ，半径为r ， 则P 到1l的距离1d =，P 到2l的距离2d =因为12,l l 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，24∴==，化简后得222212169,144r d r d -=-=，相减得222125d d -=，将1d =，2d =()22165x y +-=，故选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70%分位数是7B ．若随机变量1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()4=9D X C ．若事件A ，B 满足()()()1P AB P A P B ⎡⎤=⋅-⎣⎦，则A 与B 独立 D ．若随机变量()2~2,X N σ，()10.68P X >=，则()230.18P x ≤<= 【答案】CD【解析】A ：由1070%7⨯=，所以70%分位数是787.52+=，错误； B ：由题设，()1146(1)333D X =⨯⨯-=，错误；C ：因为()()()P AB P AB P A +=，即()()()P AB P A P AB =-， 又()()()[1]P AB P A P B =⋅-，即()()()()P A P B P A P AB =-， 所以()()()B P AB P A P =，故A 与B 独立，正确；D ：由题设，()P X 关于2X =对称，所以()2(1)1230.182P X P x >-≤<==，正确，故选CD ．10．已知函数()()cos 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，将()f x 的图象向左平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ） A ．()00g =B ．()g x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增 C ．()g x 的图象关于4x π=-对称D ．()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是1 【答案】AC【解析】由题意222ππω=，2ω=，所以()cos(4)6f x x π=-， 1()cos[4()]cos(4)sin 4662g x x x x πππ=+-=+=-，()sin 2g x x =-，(0)0g =，A 正确； 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，220,x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 2y x =递增，()g x 递减，B 错；()sin()142g ππ-=--=是最大值，C 正确；,123x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 2y x =的最小值是12-，()g x 的最大值是12， D 错， 故选AC ．11．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ） A ．若O 为线段PQ 中点，则2PF =B ．若4PF =，则OP =C ．存在直线l ，使得PF QF ⊥ D ．PFQ △面积的最小值为2【答案】AD【解析】抛物线24y x =的准线为1x =-，焦点()1,0F ， 若O 为PQ 中点，所以1P x =，所以12p PF x =+=，故A 正确；若4PF =，则413P x =-=，所以OP ===，故B 错误；设()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()21,2FP a a =-，22,QF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22224220FP QF a a ⋅=-+=+>，所以FP 与FQ 不垂直，故C 错误；212112212PFQ P Q S a OF a y a a y =+=⋅⨯⨯=+⋅-≥△，当且仅当1a a=，即1a =±时，取等号， 所以PFQ △面积的最小值为2，故D 正确， 故选AD ．12．定义：在区间I 上，若函数()y f x =是减函数，且()y xf x =是增函数，则称()y f x =在区间I 上是“弱减函数”．根据定义可得（ ） A ．()1f x x=在()0,∞+上是“弱减函数”B ．()ex x f x =在()1,2上是“弱减函数”C ．若()ln x f x x=在(),m +∞上是“弱减函数”，则e m ≥D ．若()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是“弱减函数”，则213k ππ≤≤ 【答案】BCD【解析】对于A ，1y x =在()0,+∞上单调递减，()1y xf x ==不单调，故A 错误； 对于B ，()e x x f x =，()1ex xf x -'=在()1,2上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，()2e x x y xf x ==，()2220e ex xx x x x y --'==>，∴y 在()1,2单调递增，故B 正确； 对于C ，若()ln x f x x =在(),m +∞单调递减，由()21ln 0xf x x-'==，得e x =， ∴e m ≥，()ln y xf x x ==在()0,+∞单调递增，故C 正确；对于D ，()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()sin 20f x x kx '=-+≤在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立minsin 2x k x ⎛⎫⇒≤ ⎪⎝⎭， 令()sin x h x x =，()2cos sin x x x h x x-'=，令()cos sin x x x x ϕ=-，()cos sin cos sin 0x x x x x x x ϕ'=--=-<，∴()x ϕ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()()00x ϕϕ<=，∴()0h x '<，∴()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()22h x h ππ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，∴212k k ππ≤⇒≤，()()3cos g x xf x x x kx ==+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()2cos sin 30g x x x x kx =-+≥'在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，∴2maxsin cos 3x x x k x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 令()2sin cos x x x F x x -=，()23cos 2cos 0x x x F x x+'=>， ∴()F x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()22F x F ππ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，∴2233k k ππ≥⇒≥，综上：213k ππ≤≤，故D 正确，故选BCD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量()(),2λλ=∈R m ，()3,3=-n ，若()3⊥+n m n ，则实数λ=______． 【答案】20【解析】依题意()()()3,233,39,11λλ+=+-=-m n ，若()3⊥+n m n ，则()()()33,39,11327330λλ⋅+=-⋅-=-++=n m n ，解得20λ=， 故答案为20．14．将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有n 种不同的放法，则在nx ⎛ ⎝的展开式中，含2x 项的系数为________． 【答案】70【解析】由题意得328n ==，在8x ⎛ ⎝展开式中，818(r r r r T C x -+=， 当1822r r --=，即4r =时，该项为270x ，故答案为70．15．《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以S ，a ，b ，c 分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；,,a b c h h h分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则111222a b c S ah bh ch ====．若在ABC △中，2a h =，7b h =，c h =__________．【答案】3【解析】由a b c ah bh ch ==，知111::::8:7:5a b ca b c h h h ==，设8,7,5a k b k c k ===，则2S ===，又182S k =⨯=，∴2=，∴1k =，∴8,7,5a b c ===，∴2221cos 22a cb B ac +-==，又()0,B π∈，∴3B π=，∴该三角形外接圆的直径2sin 3b R B ===，．16．定义：若A ，B ，C ，D 为球面上四点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则把以EF 为直径的球称为AB ，CD 的“伴随球”．已知A ，B ，C，D 是半径为2的球面上四点，AB CD ==AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围为__________；若A ，B ，C ，D 不共面，则四面体ABCD 体积的最大值为___________． 【答案】(]0,2，4【解析】设O 为,,,A B C D 所在球面的球心，∴2OA OC==． ∵AB CD ==,E F 分别是,AB CD 的中点， ∴OE AB ⊥，OE CD ⊥，且AE CF == ∴1OE OF ==，则E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点， 若以EF 为直径作球，则02EF OE OF <≤+=， 即AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围是(0,2]． ∵E 是AB 中点，∴223A BCD A CDE CDE V V S d --==⋅△， d为点A 到平面CDE 距离，d AE ≤=，又12CDE S CD h =⋅△，h 为点E 到CD 距离，2h EF ≤≤，∴22323432A BCDV -⨯≤⨯⨯=，当且仅当,E O ，F 三点共线，且AB ⊥CD 时，等号成立． 故答案为(0,2]，4．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C -=． （1）求角B 的大小；（2）已知3b =，若D 为ABC △外接圆劣弧AC 上一点，求AD DC +的最大值．【答案】（1）3π；（2）23 【解析】（1）法一：∵22cos a c b C -=， 由正弦定理得2sin()sin 2sin cos B C C B C +-=， ∴2(sin cos sin cos )sin 2sin cos B C C B C B C +-=， ∴()sin 2cos 10C B -=， ∵sin 0C ≠，∴1cos 2B =， 又∵0B π<<，∴3B π=． 法二：∵22cos a c b C -=，由余弦定理得22222222222a b c a c b a ac a b c ab +--=⋅⇒-=+-， ∴222a cb ac +-=，∴2221cos 22a cb B ac +-==，∵0B π<<，∴3B π=．（2）由（1）知，3B π=，而四边形ABCD 内角互补，则23ADC π∠=，法一：设DAC ∠θ=，则3DCA πθ∠=-，由正弦定理得232sin sinsin 33AD DC ACππθθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭∴33AD πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23DC θ=，∴23233cos 3232333AD DC ππθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+=+=+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当3AD DC ==AD DC +的最大值为23法二：在ADC △中，23ADC π∠=，3AC =， 由余弦定理得22222cos 3AC AD DC AD DC π=+-⋅，∴22()()994AD DC AD DC AD DC ++=+⋅≤+，∴23AD DC +≤当且仅当3AD DC ==AD DC +的最大值为2318．（12分）已知数列{}n a 满足113a =，1111n n a a ++=+． （1）设1n nb a =，证明：{}n b 是等差数列； （2）设数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）()()3234212n n S n n +=-++．【解析】（1）因为111111111111111n n n n n n n n n n n n a b b a a a a a a a a a +++-=-=-=-=-=-++，∵1n nb a =，∴1113b a ==，所以数列{}n b 是以3为首项，1为公差的等差数列． （2）因为1113b a ==，所以3(1)12n b n n =+-⨯=+， 由12n n a =+，得12n a n =+， 故()1111222n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以1212n n a a a S n=++⋅⋅⋅+ 1111111111111112322423521122n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111111232435112n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭()()111113113231221222124212n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫=+--=--=- ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭． 19．（12分）如图1，在平面四边形PDCB 中，PD BC ∥，BA PD ⊥，1PA AB BC ===，12AD =．将PAB △沿BA 翻折到SAB △的位置，使得平面SAB ⊥平面ABCD ，如图2所示．（1）设平面SDC 与平面SAB 的交线为l ，求证：BC l ⊥；（2）在线段SC 上是否存在一点Q （点Q 不与端点重合），使得二面角Q BD C --的余弦值为66，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在点Q 为SC 的中点时，使得二面角Q BD C --的余弦值为66，理由见解析．【解析】（1）证明：延长,BA CD 相交于点E ，连接SE ， 则SE 为平面SCD 与平面SBA 的交线l ． 证明如下：由平面SAB ⊥平面ABCD ，BA AD ⊥，AD ⊂平面ABCD ， 且平面SAB平面ABCD AB =，所以AD ⊥平面SAB ，又由AD BC ∥，所以BC ⊥平面SAB ，因为SE ⊂平面SAB ，所以BC SE ⊥，所以BC l ⊥． （2）解：由（1）知：,,SA AB AD AB SA AD ⊥⊥⊥，以A 为坐标原点，以,,AD AB AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得1(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(,0,0),(0,0,1)2A B C D S ，则1(,1,0)2BD =-，设SQ SC λ=(其中01)λ<<，则(,,1)Q λλλ-，所以(,1,1)BQ λλλ=--，设平面QBD 的法向量为(,,)x y z =n ，则()()102110BD x y BQ x y z λλλ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=+-+-=⎩n n ，令2x =，可得131,1y z λλ-==-，所以13(2,1,)1λλ-=-n ， 又由SA ⊥平面BDC ，所以平面BDC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，则21361cos ,135()11λλλλ-⋅-==⋅-+⋅-m n m n m n ，解得12λ=， 所以存在点Q 为SC 的中点时，使得二面角Q BD C --6．20．（12分）某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m （其中：100400m ≤≤），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：质量指标值m150≤m <350 100≤m <150或350≤m ≤400等级A 级B 级（1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的60%分位数；（2）从样本的B 级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A 级零件的利润是10元，一个B 级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润．【答案】（1）2875．；（2）分布列见解析，数学期望为32；（3）每箱零件的利润是4750元．【解析】（1）前三组的频率和为00010002000350030.6++⨯=<（...）.，前四组的频率和为030008500706+⨯=>．．．．， 设60%分位数为x ，(250,300)x ∈，0.3(250)0.0080.6x +-⨯=，解得2875x =.，∴产品的质量指标值的60%分位数为2875．． （2）()0.0010.0015010010+⨯⨯=，所以样本的B 级零件个数为10个，质量指标值在[350，400]的零件为5个，故ξ可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为30553101(0)12C C P C ξ===，()21553105112C C P C ξ===，()12553105212C C P C ξ===，03553101(3)12C C P C ξ===，随机变量ξ的分布列为ξ123P112512512112所以期望()1212122E ξ=++=． （3）设每箱零件中A 级零件有X 个，则B 级零件有()500X -个，每箱零件的利润为Y元，由题意知：()10550052500Y X X X =+-=+，由（2）知：每箱零件中B 级零件的概率为()0.0010.001500.1+⨯=，A 级零件的概率为10109-=．．，所以()~500,0.9X B ，所以()5000.9450E X =⨯=， 所以()()()52500525004750E Y E X E X =+=+=(元)， 所以每箱零件的利润是4750元．21．（12分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，点11,4T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在E 上． （1）求TF ；（2）O 为坐标原点，E 上两点A 、B 处的切线交于点P ，P 在直线2y =-上，P A 、PB 分别交x 轴于M 、N 两点，记OAB △和PMN △的面积分别为1S 和2S ．试探究：12S S 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．【答案】（1）54；（2）是，12S S 为定值2．【解析】（1）因为点11,4T ⎛⎫⎪⎝⎭在E 上，于是112p =，解得2p =，所以15424p TF =+=．（2）抛物线方程为24x y =，故214y x =，所以12y x '=． 设A 、B 的坐标分别为211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则P A 的方程为2111()24x x y x x =-+，即21124x x y x =-；同理PB 的方程为22224x x y x =-， 联立P A ，PB 方程得122P x x x +=，124P x xy =， 所以P 、M 、N 的坐标分别为1212,24x x x x+⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,02x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1224x x =-，128x x =-， 设AB 的直线方程为y kx b =+，联立24y kx bx y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx b --=，由韦达定理可知1248x x b =-=-，所以2b =， 故直线AB 过定点(0,2)，所以11212122S x x x x =⋅⋅-=-，12122122222x x x x S -=⋅⋅-=，因此，122S S =，故12SS 为定值2． 22．（12分）已知函数2()1e x ax f x =-，0a ≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x >，0a >时，e ()x f x bx ≥，证明：32e 27ab ≤． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）()f x 的定义域为R ，()()()2222e e e e x xxxax x ax ax f x --'=-=．①当0a >时，当(,0)x ∈-∞或(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减．②当0a <时，当(,0)x ∈-∞或(2,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(0,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．（2）由e ()x f x bx ≥，得2e 0x ax bx --≥，因为0x >，所以e 0x ax b x--≥， 令()()e 0xg x ax b x x =-->，则()()21e x x g x a x-'=-， 设()()()21e 0x x h x ax x-=->，则()()2322e 0xxx h x x-+'=>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增， 又因为()10h a =-<，()()()()21221e 1011aa a a h a a a a a a a +⋅++=->-=-=++，（由（1）知当1a =时，()()24210e f x f ≥=->，所以当0x >时，210ex x ->，即2e x x >．） 所以，存在0(1,1)x a ∈+，使得0()0h x =，即()0021e x x a x-=．所以，当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()0000e 0x g x g x ax b x ≥=--≥，所以()()000000001e 2e e xxx x x b x x x --≤-=，所以()()()222000033032e 12e x x x x x x ab xx-+---≤=．设()()()22332e 1xx x F x x x -+-=>，则()()()2322244232227106e e xx x x x x x x F x x x--+-+-'=-⋅=-⋅， 当312x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；当32x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 所以()332e 227F x F ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以32e 27ab ≤．。

3 (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共 摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率．
(Ⅱ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3 次摸到红球即停止． (i)求恰好摸5次停止的概率；
(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为 ， 求随机变量 的分布列及数学期望E．
热点题型2.随机变量的取值范围及分布列
咽齿
鲤科鱼类的第五鳃弓 的角鳃骨特别扩大，特称 为咽骨或下咽骨，咽骨上 长的齿，就是咽齿。
鲤科鱼类咽齿的形态、 数目、排列状态是该类鱼 的重要分类依据，并有记 录咽齿的一定格式，称为 齿式。如草鱼齿式为172．5
（二）舌（tongue）
鱼类的舌一般比较原始，没有弹性，不能活 动。
少数鱼类舌退化甚至无舌，如海龙科。 一些鱼类的舌上布有味蕾，并有神经支配。 鱼类的味蕾不仅分布于舌上，在口腔、触须及
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鲢的鳃耙构造
鲢的鳃耙构造更复杂，鳃耙长于鳃丝，鳃耙彼 此连成一片，有筛膜覆在鳃耙外侧面，形成 筛板，上有许多不规则孔隙，整个鳃耙似海 绵状。鳃耙数多。
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咽上器官（epibranchial organ）
鲢鱼和鳙鱼的咽 鳃骨和上鳃骨 卷成蜗卷状， 称为咽上器官， 此处相邻两鳃 弓间的鳃耙连 成四个分隔的 鳃耙管。
鳃耙数：第一鳃弓的外鳃耙数。 上鳃耙数：咽鳃骨、上鳃骨上附生的鳃 耙数。 下鳃耙数：角鳃骨、下鳃骨上附生的鳃 耙数。
也有不分上下鳃耙记载20 的，记录第一鳃弓
鳙的鳃耙构造
鳙的鳃耙稍短于鳃丝长，各 鳃弓都有两列对称的鳃耙，口咽 腔顶壁每侧有四条腭 褶，口闭 合时，腭褶正好嵌在各鳃弓内外 鳃耙间，鳃耙数多。
体侧等处均有分布。
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（三）鳃耙（gill raker）
鱼类鳃弓朝口腔的一侧 长有鳃耙，一般每一 鳃弓长有内外两行鳃 耙，其中以第一鳃弓 外鳃耙最长。

概率与统计【题集】1. 条件概率与相互独立事件1.盒子中有个白球和个红球，现从盒子中依次不放回地抽取个球，那么在第一次抽出白球的条件下，第二次抽出红球的概率是 ．【答案】【解析】设事件为第一次抽取的为白球；设事件为第二次抽到红球，∴；∴第一次抽到白球条件下，第二次抽到红球的概率为．故答案为：．【标注】【知识点】超几何分布；条件概率A.B.C.D.2.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．则甲在局以内（含局）赢得比赛的概率为（ ）．【答案】A【解析】用表示“甲在局以内（含局）赢得比赛”，表示“第局甲胜”，表示“第局乙胜”，则，，，，，，，∴．故选项．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式2. 离散型随机变量的分布列、期望与方差A.B.C.D.3.设是一个服从两点分布的离散型随机变量，其分布列为：则的值为（）．【答案】A 【解析】，∴，∴．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列A.B.C.D.4.已知随机变量的分布列如表（其中为常数）则等于（ ）．【答案】C【解析】由概率之和等于可知，∴．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；概率的基本性质5.若随机变量的概率分布如表，则表中的值为 ．【答案】【解析】由随机变量的概率分布表得：，解得．故答案为：．【标注】【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式A. B.C.D.6.设离散型随机变量的分布列为（）．若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）．【答案】AC【解析】由离散型随机变量的分布列的性质得︰，则，，即，离散型随机变量满足，∴，故结果正确的有．故选．【标注】【知识点】期望与方差的性质3. 两点分布7.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么．【答案】【解析】∵随机变量服从两点分布，且，∴，∴，设，则．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；两点分布A. B. C. D.8.设某项试验的成功率是失败率的倍，用随机变量去描述次试验的成功次数，则（）．【答案】C【解析】设失败率为，则成功率为．∴的分布列为：则“”表示试验失败，“”表示试验成功，∴由，得，即．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列9.若的分布列为：其中，则，．【答案】 ;【解析】，，故答案为：，．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列A.和 B.和 C.和 D.和10.若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（）．【答案】D【解析】∵随机变量服从两点分布，且，∴，∴，，∴，．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的方差A. B. C. D.11.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（）．【答案】D【解析】某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为：．故选：．【标注】【知识点】两点分布；离散型随机变量的分布列；相互独立事件的概率乘法公式4. 次独立重复实验与二项分布A.，B.，C.，D.，12.已知随机变量服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数，的值为（）．【答案】D【解析】由二项分布的期望和方差公式，，则，∴，，∴，∴．故选．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布A. B. C. D.13.已知服从二项分布的随机变量满足，则（）的值为（）．【答案】B【解析】．故选．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布14.一批产品的次品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的次品件数，则．【答案】【解析】∵一批产品的次品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的次品件数，∴，∴，故答案为：．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布15.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第，，层停靠，若该电梯在底层载有位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这位乘客在第层下电梯的人数，则．【答案】【解析】服从二项分布，即，∴．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布A. B. C. D.16.新冠肺炎病毒可以通过飞沫传染，佩戴口罩可以预防新冠肺炎病毒传染，已知，，三人与新冠肺炎病人甲近距离接触，由于，，三人都佩戴了某种类型的口罩，若佩戴了该种类型的口罩，近距离接触病人被感染的概率为，记，，三人中被感染的人数为，则的数学期望（）．【答案】B【解析】，，，，故．故选．【标注】【知识点】n 次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望（1）（2）17.在天猫进行大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：人数消费金额元将当日的消费金额超过元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达人”中随机抽取人，求至少有位消费者，当日的消费金额超过元的概率．该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案：按分层抽样从消费金额在不超过元，超过元且不超过元，元以上的消费者中总共抽取位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为元、元和元．方案：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有张牌，背面都是相同的喜羊羊头像，正面有张笑脸、张哭脸，将张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次．每翻到一次笑脸可得元奖励金．如果消费金额不超过元的消费者均可参加轮翻牌游戏；超过元且不超过元的消费者均可参加轮翻牌游戏；元以上的消费者均可参加轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．【答案】（1）（2）．方案投资较少；证明见解析．【解析】（1）记“在抽取的人中至少有位消费者消费超过元”为事件，由图可知，去年消费金额在内的有人，在内的有人，消费金额超过元的“消费达人”共有（人），从这人中抽取人，共有种不同方法，其中抽取的人中没有位消费者消费超过元，（2）共有种不同方法，所以．方案按分层抽样从消费金额在不超过元，超过元且不超过元，元以上的消费者中总共抽取位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为：，，，按照方案奖励的总金额为：（元），方案设表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则的可能取值为，，，，由题意，每翻牌次，翻到笑脸的概率为：，所以，，，，所以的分布列为：数学期望为：（元），按照方案奖励的总金额为：（元），因为由，所以施行方案投资较少．【标注】【知识点】组合；离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；古典概型18.（1）（2）（3）年月，我国武汉地区爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，全国各地的学校都推迟年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施，某校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了学校中的名学生对线上课程进行评价打分，其得分情况的频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分不低于分的概率估计值为．频率组距评分求直方图中的，值，若评分的平均值不低于分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由．若采用分层抽样的方法，从评分在和内的学生中共抽取人，再从这人中随机抽取人检验他们的网课学习效果，求抽取到的人中至少一人评分在内的概率．若从该校学生中随机抽取人，记评分标准在的人数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）（3）满意，证明见解析．．的分布列为：．【解析】（1）（2）由已知得，解得，又，∴，评分的平均值为：，因此该校学生对线上课程满意．由题知评分在和内的频率分别为和，则抽取的人中，评分在内的为人，评分在的有人，记评分在的位学生为 , , ，（3）评分在内的位学生为，，则从人中任选人的所有可能结果为：，，，，，，，，，，共种，其中，评分在内的可能结果为，，，共种，∴这人中至少一人评分在的概率为．学生在分的频率为，用频率估计概率，则每个学生评分在分的概率为，据题意知，的可能取值为，，，，所以，，，，，那么的分布列为：则数学期望，或知．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望；古典概型；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数；频率分布直方图；分层随机抽样19.改革开放年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国年至年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（）．（1）（2）（3）体育产业增加值体育产业年增长率从年至年随机选择年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上的概率．从年至年随机选择年，设是选出的三年中体育产业年增长率超过的年数，求的分布列与数学期望．由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）【答案】（1）（2）（3）．分布列为：期望值．从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从年开始连续三年的体育产业增加值方差最大．【解析】（1）（2）设表示事件“从年至年随机选出年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上”．由题意可知，年，年，年，年满足要求，故．由题意可知，的所有可能取值为，，，，且；；；．（3）所以的分布列为：故的期望值．从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从年开始连续三年的体育产业增加值方差最大．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列（1）（2）20.已知某同学每次投篮的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立，该同学投篮次．求至少有次投篮命中的概率．设投篮命中的次数为，求的分布列和期望．【答案】（1）（2）．的分布列为：．【解析】（1）（2）设次投篮至少有次投篮命中为事件，则，∴至少有次投篮命中的概率为．由题意知的可能取值为，，，，，，，，，，，，∴的分布列为：∵，∴．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望5. 超几何分布A. B. C. D.21.某小组有名男生，名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（）．【答案】C【解析】名男生，名女生中任选名参加活动，则女生人数为人时，女生人数为人时，，∴，∴故答案选．【标注】【素养】数学运算；逻辑推理【知识点】超几何分布（1）（2）22.已知箱中装有个白球和个黑球，且规定：取出一个白球得分，取出一个黑球得分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）个球，记随机变量为取出球所得分数之和．求的分布列；求的数学期望．【答案】（1）（2）分布列为．【解析】（1）（2）的可能取值有：45．，故所求的分布列为所求的数学期望为．【标注】【知识点】超几何分布，，，（1）（2）23.某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从道题目中随机抽取道回答，至少答对道可以晋级．已知甲同学能答对其中的道题．设甲同学答对题目的数量为，求的分布列及数学期望．求甲同学能晋级的概率．【答案】（1）（2）的分布列为数学期望．．【解析】（1）（2）可取，，，，则，，，，的分布列为．甲同学能晋级的概率．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列（1）（2）24.在某年级的联欢会上设计一根摸奖游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出个球，表示摸出红球的个数．求的分布列．（用数字作答）至少摸到个红球就中奖，求中奖的概率．（用数字作答）【答案】（1）（2）．【解析】（1）（2）的取值为，，，，设摸出个红球的概率为，，，，．中奖的概率为．【标注】【知识点】超几何分布；离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列25.年突如其来的新冠疫情，不仅是一场危机，更是一场考验，给人民的生命财产，身体健康和经济社会发展都带来了巨大的挑战．在党中央的坚强领导下，国内疫情防控取得了阶段性的成果．某企业在此期间积极应对疫情带来的影响，拓展线上经营业务，创造就业机会．该企业招聘员工，其中、、、、五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例（1）（2）（3）总计从表中所有应聘人员中随机选择人，试估计此人被录用的概率．从应聘岗位的人中随机选择人．记为这人中被录用的人数，求的分布列和数学期望．表中、、、、各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【答案】（1）（2）（3）．的分布列为：．，，，【解析】（1）（2）（3）由表可得：应聘人员总数为：，被录用的人数为：，所以从表中所有应聘人员中随机选择人，此人被录用的概率为：．可能的取值为，，，∵岗位的人中，被录用的有人，未被录用的有人，∴，，，∴的分布列为：∴．取掉岗位，男性录用比例为：，女性录用比例为：，∴去掉岗位后，男女比例接近，∴这四种岗位是：，，，．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；古典概型；分层随机抽样频率组距重量克（1）（2）（3）26.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的件产品作为样本并称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为，，，，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．求的值．在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列．用这件产品组成的样本中各组产品出现的频率估计概率，现在从流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率．【答案】（1）（2）（3）．．【解析】（1）（2）频率分布直方图中每个矩形面积之和为，可得，解得．件产品中任取件重量超过克的产品数量为：，的所有取值为，，；，（3），，从流水线上任取件产品，重量超过克的概率为，重量不超过克的概率为，恰有件产品的重量超过克的概率．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n 次独立重复试验与二项分布；频率分布直方图（1）（2）27.从名演员中选人参加表演．求甲在乙前表演的概率．若甲参加表演，门票收入会增长万元，若乙参加表演，门票收入会增长万元，若甲乙都参加演出，门票收入会增加万元，记门票增长为（万元），求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）记“甲在乙前表演”为事件，∴，∴甲在乙前表演的概率是．可能取值有，，，，∴，，，，∴的分布列为：∴．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；古典概型（1）（2）（3）28.新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的倍．下表是通过抽样调查得到的某地区年到年的年新生婴儿性别比．年份新生婴儿性别比根据样本数据，估计从该地区年的新生儿中随机选取人为女婴的概率（精确到）．从年到年这五年中，随机选取两年，用表示该地区的新生婴儿性别比高于的年数，求的分布列和数学期望．根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明理由．【答案】（1）（2）（3）．的分布列为的数学期望.可以否定，证明见解析；不能否定，证明见解析；无法判断，证明见解析．【解析】（1）（2）设“从该地区年的新生儿中随机选取人为女婴”为事件，则．的可能取值为，，，，，，所以的分布列为（3）所以的数学期望.答案一：可以否定；从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，由样本估计总体，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断；答案二：不能否定；尽管从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，但由于抽样调查本身存在一定的随机性，且从数据上看，男女婴在新生儿中的比例都近似于，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断；答案三：无法判断；由于样本容量未知，如果样本容量较小，那么通过样本数据不能“否定生男孩和生女孩是等可能的”这个判断，如果样本容量足够大，那么根据样本数据，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．【标注】【知识点】古典概型；离散型随机变量的数学期望；超几何分布；离散型随机变量的分布列（1）（2）（3）29.年月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命．为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个．已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目个数相同，则由乙再从剩下的道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜．求甲、乙两人共答对个问题的概率．试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由．求乙答对题目数的分布列和期望．【答案】（1）（2）（3）．乙胜出的可能性更大，证明见解析．分布列为：期望．【解析】（1）（2）（3）推出两人共答题，甲答对个，乙答对个，两人共答题，甲答对个，乙答对个．然后求解甲、乙两名学生共答对个问题的概率．甲、乙共答对个问题分别为：两人共答题，甲答对个，乙答对个，两人共答题，甲答对个，乙答对个，所以甲、乙两名学生共答对个问题的概率﹔．故答案为：．设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，然后求解概率；设乙获胜为事件，则，为对立事件，求出的概率，得到结论．设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，所以甲胜的概率，设乙获胜为事件，则，为对立事件，所以，，所以乙胜出的可能性更大．设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，，，，，求出概率，得到随机变量的分布列，然后求解期望．设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，，，，，，，，，，所以随机变量的分布列为：所以期望．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望；古典概型的概率计算（涉及计数原理）6. 正态分布A. B. C. D.30.已知随机变量，若，，则=（）．【答案】D【解析】根据题意，，∵随机变量，∴，故选：．【标注】【知识点】正态分布31.已知随机变量服从正态分布，若，则．【答案】【解析】因为，所以．【标注】【知识点】正态分布A.B.C.D.32.下列有关说法正确的是（ ）．的展开式中含项的二项式系数为的展开式中含项的系数为已知随机变量 服从正态分布，，则已知随机变量 服从正态分布，，则【答案】ACD【解析】、选项：对于二项式的展开式中项为，∴系数为，二次项系数为，故正确，错误；、选项：对于随机变量服从正态分布，∵，∴，∴，又∵对于随机变量服从正态分布且正态分布为∴，故正确、正确．故选．【标注】【知识点】求二项式展开式的特定项；求项的系数或二项式系数；正态分布33.在某市年月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布，现任取一名学生，则他的数学成绩在区间内的概率为 ．（附：若，则，．)【答案】【解析】∵学生的数学成绩服从正态分布，∴，．故答案为．【标注】【知识点】正态分布A.B.C.D.34.在一次数学测验中，学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，分为优秀线．下面说法正确的是（ ）．附：；；．学生数学成绩的期望为学生数学成绩的标准差为学生数学成绩及格率超过学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【答案】AC 【解析】，，∴，显然正确，错误；．，故正确；．，故错误．故选．【标注】【知识点】正态分布35.已知随机变量，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）．A.B.C.D.的取值比的取值更集中于平均值左右两支密度曲线与轴之间的面积均为【答案】B【解析】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：因为，，故正确；由图可知，故错误；因为正态分布曲线越瘦高，数据越集中，故正确；根据正态分布曲线的性质可知，故正确．故选 B .【标注】【知识点】正态分布（1）（2）（3）36.某市需对某环城快速道路进行限速，为了调查该道路的车速情况，于某个时段随机对辆车的速度进行取样，根据测量的车速制成下表：车速频数经计算，样本的平均值，标准差，以频率作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于或车速大于需矫正速度．从该快速车道上的所有车辆中任取辆，求该车辆需矫正速度的概率．从样本中任取辆车，求这辆车均需矫正速度的概率．从该快速车道上的所有车辆中任取辆，记其中需矫正速度的车辆数为．求的分布列和数学期望．【答案】（1）．（2）（3）．分布列：，．【解析】（1）（2）（3），，∴小于有辆，大于有辆，∴所求概率．．，，，∴，，，∴分布列：，∴．【标注】【知识点】正态分布；离散型随机变量的数学期望；古典概型（1）1（2）37.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图：分数频率组距根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩．精确到个位）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占．2估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）从该市高三理科学生中随机抽取人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为，求的分布列及数学期望．（说明：表示的概率．参考数据（，）【答案】（1）12（2）．．分布列为：∴．【解析】（1）12（2）．设本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为，则，∴，∴，解得．由题意可知，∴，，，，，，∴的分布列为：∴．【标注】【知识点】n 次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望38.《山东省高考改革试点方案》规定：从年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理，化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、，，，、、、共个等级，参照正态分布原则，确定各等级人。

2．设离散型随机变量ξ的分布列为：
ξ P
1 a
2 1 2 )
b 1 6
11 若 Eξ＝ ，则 3a＋b＝( 6 A．2 B．4
C．5
D．6
1 1 1 解析：由分布列的性质得 a＋ ＋ ＝1，解得 a＝ ， 2 6 3 1 1 1 11 所以 Eξ＝1×3＋2×2＋b×6＝ 6 ， 解得 b＝3， 所以 3a＋b ＝4，故选 B.
答案：D
4．一射手对靶射击，直到第一次命中或子弹打完终止射
击，若该射手每次射击命中的概率为 0.6 ，现有 4 颗子弹，则 剩余子弹数目的ξ的期望为______． 解析：由题意知ξ可取0,1,2,3，此时P(ξ＝0)＝0.43， P(ξ＝1)＝0.6×0.42
P(ξ＝2)＝0.6×0.4，P(ξ＝3)＝0.6
注意： (1)随机变量实际上是用变量对试验结果的一种刻画，是 试验结果(即样本点)与实数之间的一个对应关系，这与函数概 念本质上是相同的．不同的是，在函数概念中，函数f(x)的自
变量是实数 x ，但在随机变量的概念中，随机变量的自变量 ξ
所取的值代表的不是数，而是试验结果(即样本点)．
(2)概率论是以随机现象为研究对象的，相应地，不论自 变量ξ还是因变量P(ξ＝xi)，它们取到某个“值”都是带有偶 然性的，是不确定的．在试验之前不能断言随机变量取什么 值，即具有随机性．但在大量重复试验中随机变量又能按一
第一讲 离散型随机变量的分布列、期
望与方差
考点
考纲要求 1.了解随机变量的意义；明确 什么是离散型随机变量 2.理解离散型随机变量及其分 布列的概念；了解分布列、均 值对于刻画随机现象的重要性 3.理解二项分布、几何分布及 其推导过程，并能进行简单应 用4.能计算简单的离散型随机 变量的概率，分布列以及均值

方法技巧专题22概率与离散型随机变量的分布列及期望概率与离散型随机变量的分布列及期望在概率论中，我们经常研究随机变量的分布及其特性。

离散型随机变量是指取有限个或可列个数值的随机变量，其取值只能是离散的。

离散型随机变量的分布列描述了每个可能取值的概率，并用数学公式表示。

首先，让我们来了解离散型随机变量的分布列。

设X是一个离散型随机变量，其可能的取值为x1，x2，x3，...，xn。

分布列通过P(X=xk)表示随机变量X取值为xk的概率。

其中，k为1到n的整数。

分布列满足以下条件：1. 非负性：P(X=xk) ≥ 0， k=1,2,3,...,n；2. 正则性：∑ P(X=xk) = 1， k=1到n。

以一个骰子的投掷为例，假设X表示投掷一次骰子的结果，其可能的取值为1，2，3，4，5，6、根据一次投掷的结果不同，我们可以得到分布列如下：X，1，2，3，4，5，6---------------------------------P(X=xk) ，1/6 ，1/6 ，1/6 ，1/6 ，1/6 ，1/6接下来，我们来计算离散型随机变量的期望。

期望是指随机变量的平均值，用E(X)表示。

对于离散型随机变量，其期望的计算公式为：E(X) = ∑ (xk * P(X=xk))， k=1到n。

以上述骰子的例子为例，我们可以计算其期望。

根据分布列，我们可以得到：E(X)=(1*1/6)+(2*1/6)+(3*1/6)+(4*1/6)+(5*1/6)+(6*1/6)=3.5因此，该骰子的期望为3.5在计算期望时，我们可以利用期望的线性性质。

假设X和Y为两个离散型随机变量，常数a和b为两个实数。

则有以下公式成立：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)这个公式表明，计算两个离散型随机变量线性组合的期望时，可以将系数分别乘以各自的期望后相加。

除了期望之外，离散型随机变量还有其他重要的特性指标，例如方差和标准差。

方差衡量了随机变量离其期望值的偏离程度，标准差是方差的平方根。

二项式分布列与数学期望
二项式分布列（BinomialDistribution）是概率论中一种常见的概率分布。

它可以用来描述可以重复的试验的结果，且每次试验的结果只有两种可能：成功和失败。

该分布非常常用，在数学、统计学、投资学和金融学等领域都被广泛使用。

二项式分布列是由概率论家Jacob Bernoulli创立的，后来又有概率论家Pierre-Simon Laplace进一步完善。

与其他概率分布一样，二项式分布亦有属于自己的数学期望。

关于二项式分布的数学期望，它可以表示为：
数学期望，简称期望，是概率论中重要的概念。

它可以用来度量随机变量的长期期望值。

数学期望计算的结果取决于概率的变化，因此对于每一个可能的变量，都会得出一个固定的数学期望。

二项式分布期望可以用来解决众多实际问题，非常实用。

例如，给定一个具有特定概率的投掷正面朝上的硬币，我们就可以用二项式分布来估算其中可能发生的正面朝上的次数。

同时，二项式分布数学期望也可以用来评估投资者的投资组合的收益潜力，评估和估算投资者的投资组合所处的风险水平，以及确定建立有效的投资组合的最佳组合。

最后，二项式分布数学期望也可以用来评估大型企业或组织的财务活动，例如预测收入总额和盈利能力，以及估计组织的财务风险水平。

总之，二项式分布数学期望在解决实际问题方面发挥了重要作用，
因此它经常被应用于各个领域。

从概率论到企业或组织的财务管理，都会用到二项式分布数学期望特定的应用程序。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）离散型随机变量及其分布列与数学期望一、知识梳理二、教学重、难点三、作业完成情况四、典题探究例1 从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X,写出随机变量X的所有可能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果.例2 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即1,0,X ⎧=⎨⎩当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布．例3 从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列．例4 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列.例5一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，且给出如下规则：凡愿摸彩者，每人交1元钱作为“手续费”，然后一次从袋中摸出5个球，中彩情况如表：摸5个球 中彩给出的奖品 恰有5个白球 1个帽子（价值20元） 恰有4个白球 1张贺卡（价值2元） 恰有3个白球 纪念品（价值0．5元） 其他情况同乐一次（无任何奖品）试计算：⑴摸一次球能获得20元奖品的概率P ；⑵求中彩数额ξ的分布列.五、演练方阵A 档（巩固专练）一、选择题1.下列变量中不是随机变量的是( ).A.某人投篮6次投中的次数B.某日上证收盘指数C.标准状态下,水在100C 时会沸腾D.某人早晨在车站等出租车的时间2.下列随机变量中不是离散型随机变量的是( ). A.掷5次硬币正面向上的次数MB.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TC.从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和YD.将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X 3.设X 的分布列如表1,则m 等于( ).表1 X-11P1213mA.0B.16 C.13D. m 的取值不确定4. 下列各表中可作为随机变量X 的分布列的是（ ）. A ． Ｂ．Ｃ．Ｄ． 5.某12人组成的兴趣小组中有5名“三好学生”，现从中任意选6 人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于3357612C C C 的是（ ）.A ．(2)P X =B ．(3)P X = C. (2)P X ≤D. (3)P X ≤二、填空题6. 袋中有3 个红球, 4 个白球, 5 个蓝球,从袋中摸出一个球,摸到红球得2分,摸到白球得1分,摸到蓝球得0分,若从袋中取出一个球得分为X,则(2)P X == .7.设随机变量X 的概率分布列为1)(+==k ck X P ，,3,2,1,0=k 则=c ． 8. 设某运动员投篮命中率为0.85,则他一次投篮投中次数X 的分布列为 . 三、解答题9. 某产品40件，其中有次品3件，现从其中任取3件，求取出的3件产品中次品数X 的分布列．（结果用组合数符号表示出来即可）10. 设随机变量X 只能取5,6,7,…，16这12个值,且取每个值的概率均相同,求： (1)(8)P X >； (2) (614)P X <≤.X 1- 0 1 P 0.5 0.3 0.4 X 1 2 3 P 0.5 0.8 0.3- X 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 X 1- 0 1 P 0 0.4 0.6一、选择题1. 设随机变量X 的分布列为1()(),1,2,33i P X i a i ==⋅=，则a 的值为（ ）. A ．1B.913C.1113D. 27132. 设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( ).A.46101010100C C C B. 46108010100C C C C. 46802010100C C C D. 46208010100C C C 3. 要从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外活动小组，记其中的女生人数为X. 如果按性别依比例采用分层抽样，记其中的女生人数为a.则()P X a =的值为（ ）.Ａ．33105615C C CＢ．615615C AＣ．42105615C C CＤ．42105615A A C4. 抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X ，则“X ≥5”表示的实验结果为（ ）.Ａ．第一枚6点，第二枚2点 Ｂ．第一枚5点，第二枚1点 Ｃ．第一枚1点，第二枚6点 Ｄ．第一枚6点，第二枚1点5. 从标有1~10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有（ ）.Ａ．17个 Ｂ．18个 Ｃ．19个 Ｄ．20个 二、填空题．6. 甲、乙两队进行围棋对抗赛，每队各出5名队员进行5场比赛，每场比赛结束后胜队得3分，负队得0分．若用X 表示甲队的总得分，Y 表示乙队的总得分，则有x y += ．7.设随机变量X 的分布列为10)(i i X P ==，,4,3,2,1=i 则)271(<≤X P = ． 8. 在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选出10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄个数，则(4)P X ≤= ． （结果用组合数符号表示出来即可）三、解答题9. 在一个数学建模小组中有2男3女，从中任选2人，用X 表示所选2人中女生的人数，写出X 的取值集合并计算(03)P X <<．10.在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记2X x y x =-+-．（1）求随机变量X 的最大值，并求事件“X 取得最大值”的概率.（2）求随机变量X 的分布列．一、选择题2.在100件产品中，有8件次品，现从中任取10件用X 表示10件产品中所含的次品件数，下列概率中等于1010069248C C C ⋅的是 ( ). A ．)2(=X P B.)2(≤X P C.)4(=X P D.)4(≤X P 2．已知随机变量X 的分布列如下表：则m 的值为 ( ).A.0.1B.0.2C.0.3D.0.43. 设随机变量X 的分布列为()15k P X k ==，12345k =，，，，，则1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭等于（ ）.Ａ．215 Ｂ．25 Ｃ．15 Ｄ．1154．设随机变量X 的概率分布列为kck X P 2)(==，6,5,4,3,2,1=k ，其中c 为常数，则)2(≤X P 的值为 （ ）.A ．43 B.2116 C.6463 D.63645.有一个电话亭中装有一部公用电话，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为)(n P ，)(n P 与时刻t 无关，统计得到：1()(0)(05),()20(6),nP n P n n ⎧⋅≤≤⎪=⎨⎪≥⎩，那么在某一时刻，这个电话亭一个人也没有的概率)0(P 的值为 （ ）. A.6332 B.3265 C. 3163 D. 3253二、解答题6．学校组织一次夏令营活动，有8名同学参加，其中5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X 名男同学被抽到. 求：（1）X 的分布列；（2）去执行任务的同学中有男有女的概率.7. 在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任意取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，在这个过程中如果取出蓝色球则不再取球. 求：(1)最多取两次就结束的概率；(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率； (3)取球次数X 的分布列.X12 34 P0.1 0.2m0.48．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时停止，每个球每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数； （2）求随机变量ξ的概率分布； （3）求甲取到白球的概率．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记x y x -+-=2ξ．求：（1）随机变量ξ的最大值，以及事件“ξ取得最大值”的概率； （2）随机变量ξ的分布列．10.从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的概率相同，在下列两种情况下，分别求出直到取出合格品为止所需抽取次数X 的分布列． （1）每次取出的产品都立即放回，然后再取下一件产品； （2）每次取出一件次品后总以一件合格品放回该产品中．离散型随机变量及其分布列与数学期望答案四、典题探究例1 解：X 的所有可能取值为123...101,2,3,...,10)X k k ==，，，，，{}（表示在试验中取出第k 号球.例2 解：由题意知42(0)645P X ===+，63(1)645P X ===+，故随机变量X 的概率分布列为2(0)5P X ==，3(1)5P X ==，概率分布列如表：X0 1 P2535 例3 解：从箱中取出两个球的情形有以下六种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量X ＝－2； 当取到1白1黄时，输1元，随机变量X ＝－1；当取到1白1黑时，随机变量X ＝1；当取到2黄时，X ＝0； 当取到1黑1黄时，X ＝2；当取到2黑时，X ＝4． 则X 的可能取值为－2，－1，0，1，2，4．225)2(21226==-=C C X P ；112)1(2121216==-=C C C X P ； 661)0(21222===C C X P ；114)1(2121416===C C C X P ；334)2(2121214===C C C X P ，111)4(21224===C C X P ．从而得到X 的分布列如表：X－2－1124P225 112 661 114 334 111 例4 解：P （ξ=0）=31038C C =157，P （ξ=1）=3102812C C C =157，P （ξ=2）=3102218C C C =151，所以ξ的分布列如表： ξ0 1 2P157157 151 例5解：⑴概率565121132C P C ==.⑵565121(20)132C P C ξ===，4166512155(2)13244C C P C ξ====·；32662125025(0.5)13266C C P C ξ====·；661(0)1322P ξ===. 故中彩数额ξ的分布列为：五、演练方阵A 档（巩固专练）一、选择题1.C.提示：由随机变量的概念可知.2.B.提示：由离散型随机变量的概念可知.3.B.提示：由离散型随机变量分布列的性质可知,11123m ++=,故16m =. 4.D.提示：由分布列的性质可知.5.B.提示：根据题意可知,选了3名“三好学生”，故X=3. 二、填空题6.14. 提示：X=2表示从袋中摸出的是一个红球，其概率是313454=++. 7. 2512.提示：考查分布列性质，用各概率和是1来求出.ξ20 2 0.5 0P1132 544 2566 128.三、解答题9. 解：X 的所有可能取值为0，1，2，3，则X 服从参数为4033N M n ===，，的超几何分布．337340(0)C P X C ==，21373340(1)C C P X C ==，12373340(2)C C P X C ==，33340(3)C P X C ==． X ∴的分布列为X123P 337340C C 21373340C C C 12373340C C C 33340C C 10．解:设取每个值的概率为p,于是有121p =,112p =, 所以(8)P X >=(9)(10)(16)P X P X P X =+=++==811182121212123+++==个. (614)P X <≤=(7)(8)(14)P X P X P X =+=++=82123==. B 档（提升精练）一、选择题1. D. 提示： 由分布列的性质得:(1)(2)(3)P X P X P X =+=+= =2311113()()133327a a a a ⋅+⋅+⋅==，2713a ∴=.2. D. 提示：64802010100(6)C C P X C ⋅==. 3. C. 提示：如果按性别依比例分层抽样，从10名女生与5名男生中选出6名学生，则应选女生4人，男生2人，组成课外活动小组是无顺序的，故选C.4.D. 提示：由“X ≥5”知，最大点数与最小点数之差不小于5，只能选D.5.A. 提示：X 可能的取值是3，4，5，6，…，17，18，19，共有17个. 二、填空题6. 15.提示：无论胜负，共比赛了5场，故甲、乙两队的总得分是15分.7. 0.6.提示：)271(<≤X P =1230.6101010++=. 8. 2837467878781015C C C C C C C ++. X 0 1 P0.150.85三、解答题9．解：X 的可能取值为0，1，2，X ∴的取值集合为{}012，，． 1102232322559(03)(1)(2)10C C C C P X P X P X C C <<==+==+=。

离散型随机变量及其分布列[考试要求] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n此表称为离散型随机变量P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．(2)分布列的性质①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；②∑ni ＝1p i ＝1.3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为，其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X＝k )＝C k M C n －k N －MC nN，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝mi n {M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称随机变量X 服从超几何分布．X 01… mP C 0M C n －0N －M C n N C 1M C n －1N －M C n N… C m M C n －m N －M C nN [常用结论]1．随机变量的线性关系若X 是随机变量，Y ＝aX ＋b ，a ，b 是常数，则Y 也是随机变量． 2．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1. ( ) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． ( ) (3)如果随机变量X 的分布列由下表给出，则它服从两点分布．( )X25P 0.3 0.7(4)从4名男演员和3X 服从超几何分布．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材习题衍生1．设随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3 4 5P112 16 13 16p 则p 为( )A ．16B ．13C ．14D ．112C [由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝1－34＝14.]2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )A ．15B ．25C ．35D ．45D [P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.]3．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是 ．0,1,2,3 [因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X 的可能取值为0,1,2,3.]4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的分布列为 ．X 012P0.1 0.6 0.3[因为X 的所有可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3，所以X 的分布列为X12P 0.1 0.6 0.3]考点一 离散型随机变量的分布列的性质分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．X －1 0 1 Pab c其中a ，b ，c 成等差数列，则P ＝ ，公差d 的取值范围是 ． 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 [因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.]2．设随机变量X 的分布列为P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．则：(1)a ＝ ； (2)P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝ ； (3)P ⎝⎛⎭⎫110＜X ≤710＝ . (1)115 (2)45 (3)25[(1)由分布列的性质，得P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，所以a ＝115.(2)P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45. (3)P ⎝⎛⎭⎫110＜X ≤710＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＝115＋215＋315＝615＝25.] 3．设离散型随机变量X 的分布列为(1)求随机变量Y ＝2X ＋1(2)求随机变量η＝|X －1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X 2的分布列． [解] (1)由分布列的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 首先列表为：从而Y ＝2X ＋1的分布列为(2)列表为∴P (η＝0)＝P (X ＝1)＝0.1，P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为η0123P 0.10.30.30.3(3)首先列表为X 01234X2014916从而ξ＝X2的分布列为ξ014916P 0.20.10.10.30.3点评：由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和为1求参数值时，务必要检验．考点二求离散型随机变量的分布列离散型随机变量分布列的求解步骤[典例1]某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元．若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．(1)若该商场某周初购进20台空调器，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n∈N)的函数解析式f(n)；(2)该商场记录了去年夏天(共10周)的空调器周需求量n(单位：台，n∈N)，整理得下表．周需求量n 181920212220台空调器，X 表示当周的利润(单位：元)，求X 的分布列．[解] (1)当n ≥20且n ∈N 时，f (n )＝500×20＋200×(n －20)＝200n ＋6 000， 当n ≤19且n ∈N 时，f (n )＝500×n －100×(20－n )＝600n －2 000，所以f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧200n ＋6 000(n ≥20)，600n －2 000(n ≤19)(n ∈N )．(2)由(1)得f (18)＝8 800，f (19)＝9 400，f (20)＝10 000，f (21)＝10 200，f (22)＝10 400， 所以当周的利润X 的所有可能取值分别为8 800,9 400,10 000,10 200,10 400，易知P (X ＝8 800)＝0.1，P (X ＝9 400)＝0.2，P (X ＝10 000)＝0.3，P (X ＝10 200)＝0.3，P (X ＝10 400)＝0.1.所以X 的分布列为点评：求离散型随机变量分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时要注意应用计数原理、古典概型等知识．[跟进训练]已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310. (2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝610＝35.故X的分布列为X 200300400P 11031035考点三超几何分布超几何分布的实际应用问题，主要是指与两类不同元素的抽取问题的概率计算和离散型随机变量的分布列、期望及方差的求解等有关的问题．解题的关键如下：①定型：根据已知建立相应的概率模型，并确定离散型随机变量服从的分布的类型，特别要区分超几何分布与二项分布．②定参：确定超几何分布中的三个参数N，M，n.即确定试验中包含的元素的个数、特殊元素的个数及要抽取的元素个数．③列表：根据离散型随机变量的取值及其对应的概率列出分布列．④求值：根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数值求值．从该县城的10个乡镇中随机抽取居民进行调查，知晓率为90%及以上记为合格，否则记为不合格．已知该县城的10个乡镇中，有7个乡镇的居民的知晓率可达90%，其余的均在90%以下．(1)现从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，求抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率；(2)若记从该县城随机抽取的3个乡镇中不合格的乡镇的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解](1)从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，基本事件总数为C310＝120(个)．抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的基本事件数为C23C17＝21(个)．那么从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率P＝21120＝7 40.(2)由题可知，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝C37C310＝35120＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝63120＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝21120＝740，P(ξ＝3)＝C33C310＝1 120.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.点评：超几何分布描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．[跟进训练]端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列； (3)设Y 表示取到粽子的种类，求Y 的分布列． [解] (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为(3)由题意知Y 的所有可能值为1,2,3，且P (Y ＝1)＝C 33＋C 35C 310＝1＋10120＝11120，P (Y ＝3)＝C 12C 13C 15C 310＝30120＝14，P (Y ＝2)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝3)＝1－11120－30120＝79120.综上可知，Y 的分布列为。

课时考点19 统计-----随机变量的分布列和期望高考考纲透析：等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差高考风向标：离散型随机变量的分布列、期望和方差热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望 [样题1] (2005年高考·全国卷II ·理19)甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。

解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （ξ＝3）＝330.60.40.28+= 比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。

因而P （ξ＝4）＝2230.60.40.6C ⨯⨯⨯＋2230.40.60.40.3744C ⨯⨯⨯=比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。

因而P （ξ＝5）＝22240.60.40.6C ⨯⨯⨯＋22240.40.60.40.3456C ⨯⨯⨯=所以ξ的概率分布为ξ的期望E ξ＝3×P （ξ＝3）＋4×P （ξ＝4）＋5×P （ξ＝5）＝4.0656变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是31．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率． (Ⅱ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i) 求恰好摸5次停止的概率； (ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．解：(Ⅰ) 333512140333243C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(Ⅱ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-，得()50513*******P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是32808017131012324324324324381E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=热点题型2 随机变量ξ的取值范围及分布列[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE . 解法一：（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 解法二：（Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）.变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2，若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求：（Ⅰ）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）； （Ⅱ）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）解：以ξ表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则ξ~B （5，0 2）).5,4,3,2,1,0(8.02.0)(55=⨯⨯==-k C k P k k k ξ （Ⅰ）.21.08.02.0)2(3225≈⨯⨯==C P ξ（Ⅱ）以η表示利润，则η的所有可能取值为10，5，0，－2.328.08.0)0()10(5≈====ξηP P.410.08.02.0)1()5(4115≈⨯⨯====C P P ξη .205.08.02.0)2()0(3225≈⨯⨯====C P P ξη.7()2(≥=-=ξηP P的概率分布为利润的期望=10×0 328+5×（万元）[样题3] (2005年高考·江西卷·理19)A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望E ξ.解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=-915||ξξn m n m ，可得：.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m（2）;645)21(2)7(;161322)21(2)5(7155=====⨯==C P P ξξ .322756455964571615;64556451611)9(=⨯+⨯+⨯==--==ξξE P变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为0．8，（1）求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．（2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率。

离散型随机变量的分布列与数学期望班级姓名1.已知随机变量x 的分布列如右表：则x= 。

2.两封信随机投入A B C ，，三个空邮箱，则A 邮箱的信件数x 的数学期望E x =．3.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．（1）设所选3人中女生人数为x ，求x 的分布列及数学期望；（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．4.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球均为黑球的概率；（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（3）设x 为取出的4个球中红球的个数，求x 数学期望．x0 1 2 p x 2 X 415、为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（I）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（II）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望. 6.（本题满分12分）分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，其中第已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12. (1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望. 7．某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。

假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为21,32,32，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、分、22分、分、44分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响。

第7讲 分布列与数学期望高考预测一：求概率及随机变量的分布列的基本类型 类型一：利用古典概型求概率1．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W 型号，T 型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表（Ⅰ）若在10月1日当天，从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X 表示其中W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W 型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部)满足关系34ηξ=+．若表中W 型号手机销量的方差20(0)S m m =>，试给出表中5个手机店的W 型号手机销售成本的方差2S 的值．（用m 表示，结论不要求证明）【解析】解：()I 设事件1M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W 型号手机， 设事件2M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W 型号手机， 则事件1M ，2M 相互独立，且161()6123P M ==+，262()695P M ==+， ∴抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率为13221233535355P =⨯+⨯+⨯=． ()II 由表格可知W 型号手机销售量超过T 型号手机的店有2个，故X 的可能取值有0，1，2．且33351(0)10C P X C ===，1223353(1)5C C P X C ===，2123353(2)10C C P X C ===． X ∴的分布列为：数学期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=． 20()()III D s m ξ==，34ηξ=+，2()9()9S D D m ηξ∴===．2．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（2）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．（只需写出结论）【解析】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y 的值小于60， 答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为： 1535010p ==． （2）由图知：A 、C 两人指标x 的值大于1.7，而B 、D 两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x 的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2， 2411(0)6P C ξ===， 1122242(1)3C C P C ξ===，2411(2)6P C ξ===， ξ∴的分布列如下：答：121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=．（3）答：由图知100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大．3．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和数学期望．【解析】解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P （A ）1123252332010A A A ⨯===； （2）X 的可能取值为200，300，400，222521(200)2010A P X A ====，311232323562323(300)6010A C C A P X A ++⨯⨯====， 133(400)1(200)(300)110105P X P X P X ==-=-==--=；所以X 的分布列为：数学期望为13320030040035010105EX =⨯+⨯+⨯=． 类型二：利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率 4．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢．“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(1k =，2，3，4，5，6)．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．【解析】解：（Ⅰ）设事件A 表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为140503002008005102000+++++=部， 第四类电影中获得好评的电影有：2000.2550⨯=部，∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：P （A ）500.0252000==． （Ⅱ）设事件B 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”， 第四类获得好评的有：2000.2550⨯=部， 第五类获得好评的有：8000.2160⨯=部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：P （B ）50(800160)(20050)1600.35200800⨯-+-⨯==⨯．（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：0,1,k k k ξ⎧=⎨⎩第类电影没有得到人们喜欢第类电影得到人们喜欢，则k ξ服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下： 第一类电影：1()10.400.60.4E ξ=⨯+⨯=，221()(10.4)0.4(00.4)0.60.24D ξ=-⨯+-⨯=．第二类电影：2()10.200.80.2E ξ=⨯+⨯=，222()(10.2)0.2(00.2)0.80.16D ξ=-⨯+-⨯=．第三类电影：3()10.1500.850.15E ξ=⨯+⨯=，223()(10.15)0.15(00.15)0.850.1275D ξ=-⨯+-⨯=．第四类电影：4()10.2500.750.25E ξ=⨯+⨯=，224()(10.25)0.25(00.25)0.750.1875D ξ=-⨯+-⨯=．第五类电影：5()10.200.80.2E ξ=⨯+⨯=，225()(10.2)0.2(00.2)0.80.16D ξ=-⨯+-⨯=．第六类电影：6()10.100.90.1E ξ=⨯+⨯=，225()(10.1)0.1(00.1)0.90.09D ξ=-⨯+-⨯=．∴方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系为：632541D D D D D D ξξξξξξ<<=<<．5．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）设甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为X ，求0X =，1X =，2X =，3X =时的概率(0)P X =，(1)P X =，(2)P X =，(3)P X =．（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【解析】解：（1）321(0)(1)327P X ==-=，123222(1)(1)339P X C ==-=， 223224(2)()(1)339P X C ==-=，33328(3)()327P X C ===． （2）设乙同学上学期间的三天中在7:30之前到校的天数为Y ， 则1(0)(0)27P Y P X ====，2(1)(1)9P Y P X ====， 4(2)(2)9P Y P X ====，8(3)(3)27P Y P X ====， 418220()(2)(0)(3)(1)927279243P M P X P Y P X P Y ∴===+===⨯+⨯=． 类型三：利用条件概率公式求概率6．如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到)B ；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到)C ，当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到)D ．在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．（1）求点P 恰好返回到A 点的概率；（2）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的分布列及数学期望．【解析】解：（1）投掷一次正方体玩具，因每个数字在上底面出现是等可能的，故其概率12163P ==． 易知只投掷一次不可能返回到A 点．①若投掷两次质点P 就恰好能返回到A 点，则上底面出现的两个数字， 应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果，其概率为2211()333P =⨯=．②若投掷三次质点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字，应依次为：(1，1，2)、(1，2，1)、(2，1，1)三种结果，其概率为3311()339P =⨯=． ③若投掷四次质点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1，1，1，1)， 其概率为4411()381P ==．所以，质点P 恰好返回到A 点的概率为：23411137398181P P P P =++=++=．（2）由（1）知，质点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种情况， 且ξ的可能取值为2，3，4．则1273(2)373781P ξ===，199(3)373781P ξ===，1181(4)373781P ξ===，故ξ的分布列为：所以，27918523437373737E ξ=⨯+⨯+⨯=．7．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：)mm 对工期的影响如下表：300700X <700900X<9002610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：()I 工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．【解析】()I 由题意，(300)0.3P X <=，(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X <=<-<=-=，(700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X <=<-<=-=，(900)10.90.1P X =-=Y 的分布列为()00.320.460.2100.13E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=∴工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8；（Ⅱ）(300)1(300)0.7P X P X =-<=，(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X <=<-<=-= 由条件概率可得(300900)0.66(6|300)(300)0.77P X P Y X P X <===．类型四：利用统计图表中的数据求概率8．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C)︒有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】解：（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500， 216(200)0.290P X +===， 36(300)0.490P X ===，2574(500)0.490P X ++===， X ∴的分布列为：（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，∴只需考虑200500n ，当300500n 时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[20，25)，则63002(300)412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-， 20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EY n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=-，当200300n 时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=，若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-， 2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EY n n n ∴=⨯++-⨯=+． 300n ∴=时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．9．某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户．为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）．（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为(0，0.5]，(0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]．如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++02)k【解析】解：（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应收集手机4500.145⨯=户山区家庭的样本数据．（2）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为(0.5000.3000.100)0.50.45++⨯=． （3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为(0.3000.100)0.515030+⨯⨯=户． 而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：所以22150(2540580)200 3.175 2.706301201054563K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”． 高考预测二：超几何分布和二项分布 类型一：超几何分布10．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；()ii 设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率． 【解析】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2， 从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X 的取值为：0，1，2，3，34337()k kC C P X k C -⋅==，0k =，1，2，3． 所以随机变量的分布列为：随机变量X 的数学期望11218412()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； ()ii 设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”， 设事件B 为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C 为抽取的3人中， 睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人， 则：A BC =，且P （B ）(2)P X ==，P （C ）(1)P X ==，故P （A ）6()(2)(1)7P B C P X P X ===+==． 所以事件A 发生的概率：67． 11． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物． 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的 2.5PM 监测数据如茎叶图所示．（1）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天 2.5PM 日均监测数据未超标的概率；（2）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．【解析】解：（1）记“当天 2.5PM 日均监测数据未超标”为事件A ， 因为有24+天 2.5PM 日均值在75微克/立方米以下， 故P （A ）243105+==． （2）ξ的可能值为0，1，2，3．由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标．363101(0)6C P C ξ===，21643101(1)2C C P C ξ===，12643103(2)10C C P C ξ===，343101(3)30C P C ξ===．ξ的分布列如下表：1131601236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．类型二：二项分布12．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为X ，求X 的分布列、数学期望和方差．【解析】解：（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P．116511101037111010C C P C C =-=-=，（2）设该顾客在一次抽奖中获一等奖的概率为1P ，1145112101015C C P C C ==， 故而1?(3,)5X B ．3464(0)()5125P X ∴===，1231448(1)()55125P X C ===， 2231412(2)()55125P X C ===，311(3)()5125P X ===． 故X 的分布列为数学期望13()355E X ==，方差1412()35525D X ==． 13．近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数(,)AirQualityIndex AQI 是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0~50为优；51~100为良；101~150为轻度污染；151~200为中度污染；201~300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI 的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良(100)AQI 的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．【解析】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为63105=，从而估计该月空气质量优良的天数为330185⨯=（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究， 基本事件总数2615n C ==，抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优，∴抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：2426315C p C =-=．（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为35，ξ∴的所有可能取值为0，1，2，3，且3~(3,)5B ξ，328(0)()5125P ξ===， 1233236(1)()55125P C ξ===， 2233254(2)()55125P C ξ===， 3327(3)()5125P ξ===， 故ξ的分布列为：3~(3,)5B ξ，33 1.85E ξ=⨯=．高考预测三：概率与其他知识点交汇 类型一：以其他知识为载体14．已知正四棱锥PABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则0ξ=；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）． （1）求(0)P ξ=的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．【解析】解：（1）根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形， PAC ∆，PBD ∆为等腰直角三角形．ξ的可能取值为：0，3π，2π， 在这个正四棱锥的8条棱中任取两条基本事件总数2828n C ==种情况， 当0ξ=时有2种，当3πξ=时有342420⨯+⨯=种，当2πξ=时有246+=种．21(0)2814P ξ∴===． （2）21(0)2814P ξ===． 205()3287P πξ===， 63()22814P πξ===． 随机变量ξ的分布列如下表：15329()0143721484E πππξ=⨯+⨯+⨯=． 15．从集合{1M =，2，3，4，5，6，7，8，9}中抽取三个不同的元素构成子集1{a ，2a ，3}a ． （1）求对任意的i 和(1j i =，2，3，1j =，2，3，)i j ≠满足||2i j a a -的概率；（2）若1a ，2a ，3a 成等差数列，设其公差为(0)ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ．【解析】解：（1）由题意知基本事件数为3984C =，而满足条件||2i j a a -，即取出的元素不相邻，则用插空法有3735C =种，故所求事件的概率为3558412P ==； （2）分析1a ，2a ，3a 成等差数列的情况：1ξ=的情况有7种：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，{7，8，9}，2ξ=的情况有5种：{1，3，5}，{2，4，6}，{3，5，7}，{4，6，8}，{5，7，9}．3ξ=的情况有3种：{1，4，7}，{2，5，8}，{3，6，9}．4ξ=的情况有1种：{1，5，9}．故ξ的分布列如下：所以753115()1234161615168E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 类型二：构造递推关系求概率问题16．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0i p i =，1，⋯，8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11(1i i i i p ap bp cp i -+=++=，2，⋯，7)，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=． ()i 证明：1{}(0i i p p i +-=，1，2，⋯，7)为等比数列； ()ii 求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【解析】（1）解：X 的所有可能取值为1-，0，1．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--，(1)(1)P X αβ==-，X ∴的分布列为：（2）()i 证明：0.5α=，0.8β=，∴由（1）得，0.4a =，0.5b =，0.1c =．因此110.40.50.1(1i i i i p p p p i -+=++=，2，⋯，7)， 故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-，即11()4()i i i i p p p p +--=-， 又1010p p p -=≠，1{}(0i i p p i +∴-=，1，2，⋯，7)为公比为4，首项为1p 的等比数列；()ii 解：由()i 可得，881887761001(14)41()()()143p p p p p p p p p p --=-+-+⋯+-+==-，81p =，18341p ∴=-， 444332*********()()()()3257p p p p p p p p p p p -∴=-+-+-+-+==． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理． 17．从原点出发的某质点M ，按向量(0,1)a =移动的概率为23，按向量(0,2)b =移动的概率为13，设M 可到达点(0，)(1n n =，2，3，)⋯的概率为n P ． （1）求1P 和2P 的值；（2）求证：2111()3n n n n P P P P +++-=--；（3）求n P 的表达式．【解析】解：（1）123P =，22217()339P =+= （2）证明：M 点到达点(0,2)n +有两种情况 ①从点(0,1)n +按向量(0,1)a =移动 ②从点(0,)n 按向量(0,2)b =移动∴212133n n n P P P ++=+∴2111()3n n n n P P P P +++-=-- 问题得证．（3）数列1{}n n P P +-是以21P P -为首项，13-为公比的等比数列 1111211111()()()()3933n n n n n P P P P --++-=--=-=- 11()3n n n P P -∴-=-又因为111221()()()n n n n n P P P P P P P P ----=-+-+⋯+- 12111()()()333n n -=-+-+⋯+-111[1()]123n -=-- 11n n P P P P ∴=-+∴113()434n n P =⨯-+． 类型三：利用导数研究概率问题18．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()()f p f p 的最大值点0p （即()f p 取最大值时对应的p 的值）．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值，已知每件产品的检验费用为3元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用 ()i 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为X 求()E X ； ()ii 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解析】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，则221820()(1)f p C p p =-，2182172172020()[2(1)18(1)]2(1)(110)f p C p p p p C p p p ∴'=---=--，令()0f p '=，得0.1p =，当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>， 当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<， f ∴()p 的最大值点00.1p =．（2）()i 由（1）知0.1p =，令Y 表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知~(180,0.1)Y B ， 20328X Y =⨯+，即6028X Y =+，()(6028)6028()60281800.1564E X E Y E Y ∴=+=+=+⨯⨯=．()ii 如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为600元， ()564600E X =<，∴应该对余下的产品不进行检验．19．某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各个水果是否为不合格品相互独立．（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格品的概率为()f p ，求()f p 取最大值时p 的值0p ；（Ⅱ）现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以（Ⅰ）中确定的0p 作为p 的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a 元的赔偿费用(*)a N ∈．（ⅰ）若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？【解析】解：（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格的概率为()f p ，则22810()(1)f p C p p =-，282710()[2(1)8(1)]f p C p p p p ∴'=---，由()0f p '=，得0.2p =．且当(0,0.2)p ∈时()0f p '>，当(0.2,1)p ∈时，()0f p '<， ()f p ∴的最大值点00.2p =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知00.2p =．（ⅰ）令Y 表示余下的70个水果中的不合格数，依题意~(70,0.2)Y B ，10 1.515X aY aY =⨯+=+．()(15)15()15700.21514E X E aY aE Y a a ∴=+=+=+⨯⨯=+．（ⅱ）如果对余下的水果作检验，则这箱水果的检验费为120元， 由1514120a +>，得1057.514a >=，且*a N ∈， ∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验．高考预测三：决策问题20．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个300元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图．以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）求X 的分布列；（2）若要求()0.5P X n ，试确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？【解析】解：（1）每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，记事件1A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件(1i =，2，3，4)，记事件1B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件(1i =，2，3，4)，由题知134134()()()()()()0.2P A P A P A P B P B P B ======，22()()0.4P A P B ==，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22， 11(16)()()0.20.20.04P X P A P B ===⨯=；1221(17)()()()()0.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=；132231(18)()()()()()()0.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=；14233241(19)()()()()()()()()0.20.20.20.20.40.20.20.40.24P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯+⨯=；243342(20)()()()()()()0.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=；3443(21)()()()()0.20.20.20.20.08P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=；44(22)()()0.20.20.04P X P A P B ===⨯=．从而X 的分布列为（2）要()0.5P x n ，0.040.160.240.5++<，0.040.160.240.240.5+++，则n 的最小值为19；（3）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当19n =时，费用的期望为193005000.210000.0815000.045940⨯+⨯+⨯+⨯=元，当20n =时，费用的期望为203005000.0810000.046080⨯+⨯+⨯=元，若要费用最少，所以应选用19n =．高考预测四：正态分布21．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：)cm ．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1i =，2，⋯，16．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01)． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592≈，0.09．【解析】解：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B ．因此，16(1)1(0)10.99740.0408P X P X =-==-≈；（2）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=， 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外， 因此需对当天的生产过程进行检查，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22， 剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=， 因此μ的估计值为10.02，162221160.212169.971591.134i i x ==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22， 剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈．因此σ0.09≈．22．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用 ①的结果，求EX。

第7讲分布列与数学期望(解析版)第7讲分布列与数学期望(解析版)在统计学中，分布列与数学期望是常用的分析工具。

它们能够帮助我们理解随机变量的分布和特征。

本文将对分布列与数学期望进行解析，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、分布列分布列是用来描述离散型随机变量的概率分布的一种方式。

对于一个具体的随机变量X，其可能取到的数值通常是有限个或可数个。

我们可以列出每个数值对应的概率，形成一张分布列。

分布列通常以表格的形式呈现，其中包括随机变量的取值和对应的概率。

举个例子，假设随机变量X表示投掷一个骰子后的点数。

在这种情况下，X可以取到1、2、3、4、5、6这六个数值。

我们可以计算出每个数值对应的概率，得到如下的分布列：| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 ||-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|| P(X) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |通过分布列，我们可以清晰地看到每个点数出现的概率是相等的。

除了离散型随机变量外，连续型随机变量也可以通过分布列进行描述。

连续型随机变量的分布列变成了概率密度函数，其中表示为概率的数值变为密度。

二、数学期望数学期望是随机变量的平均值，在概率论中有着重要的意义。

数学期望反映了随机变量取值的中心位置。

对于离散型随机变量X，其数学期望E(X)定义为：E(X) = ∑(x·P(X=x))其中，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示该取值的概率。

以前述的投骰子问题为例，我们可以计算出随机变量X的数学期望：E(X) = (1/6)·1 + (1/6)·2 + (1/6)·3 + (1/6)·4 + (1/6)·5 + (1/6)·6= 3.5可以看出，投骰子问题中，骰子点数的数学期望是3.5。