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计算方法C（2014-2015-2）【不同拟合曲线的比较】实验报告学号：******* 姓名：*****8课程教师：戴克俭教学班级：无实验三 不同拟合曲线的比较实验目的：掌握曲线拟合和最小二乘法的思想，比较不同拟合曲线的精度。
实验题目：下表给出了我国1949~1984年间的一些人口数据，分别按下述方案求最小二乘拟合函数及其偏差平方和Q ，求1969年人口并预测方案I 拟合函数取如下形式的三次多项式3322101)(x a x a x a a x F +++=方案II 用离散正交多项式求三次拟合多项式)(2x F 方案III 用离散正交多项式求四次拟合多项式)(3x F 方案IV 拟合函数为如下形式的函数10sin)(4xb a x F π+=算法流程图如下：i、方案1 ii、方案2iii、方案3iv、方案4源程序清单如下：i、方案1图1：求3次多项式图2：求偏差ii、方案2图3：求3次多项式iii、方案3图4：求4次多项式图5：求sin(π*X/10)图6：nafit函数M文件图7:命令行输入运算结果如下：⑴、方案1P(X)=745181.85611415-1135.160413656X+0.576328328X^2-0.000097520X^3 P(1969)= 11.4973750142380600 亿P(2000)=14.3408021503128110亿图8 拟合曲线：蓝色线表示拟合曲线P(X)，红色线表示真实数据误差很大⑵、方案2P(X)=732370.3125-1115.615844727X+0.566389024X^2-0.000095836X^3P(1969)= 4.1277828774182126亿P(2000)= 6.7190460005076602亿图9 拟合曲线：蓝色线表示拟合曲线P(X)，红色线表示真实数据误差很大⑶、方案3P(X)=30212.5+320.9404296875X-0.5357236862X^2+0.0002799341X^3-0.000000048X^4P(1969)= 627.7665998683078200 亿P(2000)= 671.4145749998278900 亿图10 拟合曲线：蓝色线表示拟合曲线P(X)，红色线表示真实数据蓝色线的数值全是上百亿与实际严重不符误差巨大⑷、方案4P(X)=0.2414+7.7753sin(π*X/10)P(1969)= 2.6441006951177228 亿P(2000)= 0.2413990828363674 亿图11 拟合曲线：蓝色线表示拟合曲线P(X)，整体看该曲线具有和sin近似的周期性质，与实际数据不是很符合。
eigen库曲线拟合（实用版）目录1.Eigen 库简介2.曲线拟合的概念与方法3.Eigen 库中的曲线拟合算法4.Eigen 库曲线拟合的实例与应用5.总结正文【1.Eigen 库简介】Eigen 库是一个开源的 C++库，主要用于线性代数、矩阵计算和其他相关领域。
它提供了大量的计算算法和工具，使得开发者可以更加高效地处理复杂的数学问题。
Eigen 库被广泛应用于各种领域，如计算机视觉、图形学、控制系统等。
【2.曲线拟合的概念与方法】曲线拟合是一种数学方法，通过寻找一条曲线来最佳地表示一组数据点。
拟合的方法有很多种，如最小二乘法、逆距离加权法、多项式拟合等。
曲线拟合在实际应用中有广泛的应用，例如在数据分析、信号处理、图像处理等领域。
【3.Eigen 库中的曲线拟合算法】Eigen 库提供了丰富的曲线拟合算法，包括线性拟合、多项式拟合、非线性拟合等。
这些算法都基于模板类，使用方便且高效。
（1）线性拟合：Eigen 库中的线性拟合算法主要使用Levenberg-Marquardt 算法，它是一种迭代算法，可以用于解决最小二乘问题。
（2）多项式拟合：Eigen 库中的多项式拟合算法可以用于拟合数据点，通过调整多项式系数来获得最佳拟合效果。
（3）非线性拟合：Eigen 库中的非线性拟合算法可以用于处理非线性数据关系，例如指数拟合、对数拟合等。
【4.Eigen 库曲线拟合的实例与应用】下面通过一个简单的例子来说明如何使用 Eigen 库进行曲线拟合。
假设我们有以下一组数据点：x: [1, 2, 3, 4, 5], y: [2, 4, 5, 8, 10]首先，我们需要将这些数据点表示为 Eigen 库中的矩阵或向量。
然后，我们可以使用 Eigen 库中的曲线拟合算法来拟合一条直线，如下所示：```cpp#include <iostream>#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;using namespace std;int main() {// 创建数据矩阵MatrixXd x(5, 1);VectorXd y(5);x << 1, 2, 3, 4, 5;y << 2, 4, 5, 8, 10;// 进行线性拟合double x_mean = x.mean();double y_mean = y.mean();double num = 0.0, den = 0.0;for (int i = 0; i < x.size(); ++i) {num += (x(i, 0) - x_mean) * (y(i) - y_mean);den += (x(i, 0) - x_mean) * (x(i, 0) - x_mean);}double k = num / den;double b = y_mean - k * x_mean;// 输出拟合结果cout << "拟合后的直线为：y = " << k << "x + " << b << endl;return 0;}```通过这个简单的例子，我们可以看到如何使用 Eigen 库进行曲线拟合。
第三章数据拟合知识点：曲线拟合概念，最小二乘法。
1 .背景已知一些离散点值时，可以通过构造插值函数来近似描述这些离散点的运动规律或表现这些点的隐藏函数观测到的数据信息• •*■*曲线拟合方法也可以实现这个目标，不同的是构造拟合函数。
两种方法的一个重要区别是：由插值方法构造的插值函数必须经过所有给定离散点，而曲线拟合方法则没有这个要求，只要求拟合函数(曲线)能“最好”靠近这些离散点就好。
2.曲线拟合概念实践活动中，若能观测到函数y=f(x)的一组离散的实验数据(样点):(x i,y)，i=1，2…,n。
就可以采用插值的方法构造一个插值函数x)，用「x)逼近f(x)。
插值方法要求满足插值原则xj=y i,蕴涵插值函数必须通过所有样点。
另外一个解决逼近问题的方法是考虑构造一个函数X）最优靠近样点，而不必通过所有样点。
如图。
即向量T= （「X1），X2），•••「x n））与丫= （y1, y2, ）的某种误差达到最小。
按T和丫之间误差最小的原则作为标准构造的逼近函数称拟合函数。
曲线拟合问题：如何为f（x）找到一个既简单又合理的逼近函数X）。
曲线拟合：构造近似函数x）,在包含全部基节点x<i=1 , 2…,n）的区间上能“最好”逼近f（x）（不必满足插值原则）。
逼近/近似函数y=「x）称经验公式或拟合函数/曲线。
拟合法则：根据数据点或样点（xy）, i=1 , 2…,n，构造出一条反映这些给定数据一般变化趋势的逼近函数y=「x），不要求曲线■- x）经过所有样点，但要求曲线x）尽可能靠近这些样点，即各点误差S i= x i）-y i按某种标准达到最小。
均方误差/误差平方和/误差的2-范数平方：n卜||2八1i 4常用误差的2-范数平方作为总体误差的度量，以误差平方和达到最小作为最优标准构造拟合曲线的方法称为曲线拟合的最小二乘法（最小二乘原理）。
3.多项式拟合2012〜2013学年第2学期计算方法 教案 计1101/02 , 1181 开课时间：2012-02年4月第三版 第三章数据拟合 2h 3(1) 线性拟合给定一组(x i ,y i ), i=1 , 2…,n 。
线性曲线拟合程度计算公式引言。
线性曲线拟合是一种常见的数据分析方法，它可以帮助我们找到数据中的趋势和规律。
在实际应用中，我们经常需要评估线性曲线拟合的程度，以确定拟合是否准确。
本文将介绍线性曲线拟合程度的计算公式，并讨论其在实际应用中的意义和应用。
线性曲线拟合程度计算公式。
线性曲线拟合程度的计算公式通常使用R方值（R-squared）来衡量。
R方值是一个统计量，用于评估拟合模型对观测数据的拟合程度。
它的取值范围在0到1之间，越接近1表示拟合越好，越接近0表示拟合越差。
R方值的计算公式如下：R方 = 1 (Σ(yi ŷi)²) / Σ(yi ȳ)²。
其中，yi表示观测数据的实际值，ŷi表示拟合模型的预测值，ȳ表示观测数据的平均值。
通过计算R方值，我们可以评估拟合模型对观测数据的解释能力，进而确定拟合的程度。
R方值的意义和应用。
R方值是一种常用的拟合程度衡量指标，它在实际应用中具有重要的意义和应用价值。
首先，R方值可以帮助我们评估拟合模型的准确性。
通过比较不同模型的R方值，我们可以确定哪个模型对观测数据的拟合效果更好，从而选择最合适的模型。
其次，R方值还可以帮助我们理解数据的变异性。
当R方值接近1时，说明观测数据的变异性大部分可以由拟合模型解释，反之则说明模型的解释能力较弱。
最后，R方值还可以用于预测模型的可靠性。
当R方值较高时，我们可以认为拟合模型的预测结果比较可靠，反之则需要对模型进行进一步的验证和调整。
实际应用。
线性曲线拟合程度计算公式在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在金融领域，我们经常需要对股票价格走势进行拟合分析，以预测未来的价格变化。
通过计算R 方值，我们可以评估拟合模型对股票价格走势的拟合程度，从而确定预测结果的可靠性。
在医学领域，线性曲线拟合也常用于分析药物的剂量-效应关系。
通过计算R方值，我们可以评估拟合模型对药物剂量和效应之间的关系的拟合程度，从而确定最佳的用药方案。
拟合曲线的方法(一)拟合曲线拟合曲线是一种数据分析方法，用于找到最符合给定数据的函数曲线。
在实际应用中，拟合曲线广泛应用于计算机图形学、统计学和机器学习等领域。
不同的方法可以应用于不同类型的数据和问题，下面将介绍几种常见的拟合曲线方法。
线性拟合线性拟合是最简单也是最常见的拟合曲线方法之一。
其基本思想是通过一条直线来拟合数据点。
线性拟合常用于描述两个变量之间的线性关系。
线性拟合的数学模型可以表示为：y=a+bx，其中y是因变量，x是自变量，a是截距，b是斜率。
线性拟合的目标是通过最小化实际数据点和拟合直线之间的误差来确定最佳的a和b。
多项式拟合多项式拟合是一种通过多项式函数来拟合数据点的方法。
多项式函数是由多个幂函数组成的函数，可以适应各种形状的数据。
多项式拟合的数学模型可以表示为：y=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，其中y是因变量，x是自变量，a0,a1,…,a n是拟合函数的系数。
多项式拟合的目标是通过最小化实际数据点和拟合曲线之间的误差来确定最佳的系数。
曲线拟合曲线拟合是一种通过曲线函数来拟合数据点的方法。
曲线函数可以是任意形状的函数，可以适应各种复杂的数据。
常见的曲线拟合方法包括：贝塞尔曲线拟合贝塞尔曲线拟合是一种用于拟合平滑曲线的方法。
贝塞尔曲线由控制点和节点构成，通过调整控制点的位置来改变曲线的形状。
贝塞尔曲线拟合的目标是通过最小化实际数据点和贝塞尔曲线之间的误差来确定最佳的控制点和节点。
样条曲线拟合样条曲线拟合是一种用于拟合光滑曲线的方法。
样条曲线由多个局部曲线段组成，每个曲线段由一组控制点和节点定义。
样条曲线拟合的目标是通过最小化实际数据点和样条曲线之间的误差来确定最佳的控制点和节点。
非线性拟合非线性拟合是一种用于拟合非线性关系的方法。
非线性关系在现实世界中很常见，例如指数函数、对数函数等。
非线性拟合的数学模型可以表示为：y=f(x,θ)，其中y是因变量，x是自变量，θ是模型的参数。
曲线拟合的数值计算方法实验【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。
曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。
曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。
对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。
常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。
关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束一、实验目的1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。
2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。
3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。
二、实验原理1.曲线拟合曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。
用解析表达式逼近离散数据的一种方法。
在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i，Y i)（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。
人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。
f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c1，c2，…c n)是一些待定参数。
当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。
有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点的残差(或离差)，c）-f （f y e k k k =的加权平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。
