第11章 1 动量 动量定理
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第十一章动量 近代物理
第 1 课时 动量 动量定理
读 基础知识
基础回顾： 一、动量 1.定义：物体的质量与速度的乘积. 2.表达式：p＝mv，单位：kg·m/s. 3.动量的性质 (1)矢量性：方向与瞬时速度方向相同. (2)瞬时性：动量是描述物体运动状态的物理量，是针对某一时刻而言的. (3)相对性：大小与参考系的选取有关，通常情况是指相对地面的动量. 4.动量与动能、动量的变化量的关系 (1)动量的变化量：Δp＝p′－p. (2)动能和动量的关系：Ek＝2pm2 . 二、冲量和动量定理 1.冲量 (1)定义：力与力的作用时间的乘积叫做力的冲量. (2)公式：I＝Ft. (3)单位：N·s. (4)方向：冲量是矢量，其方向与力的方向相同. 2.动量定理 (1)内容：物体在一个运动过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量. (2)公式：mv′－mv＝F(t′－t)或 p′－p＝I. 3.动量定理的理解 (1)动量定理反映了力的冲量与动量变化量之间的因果关系，即外力的冲量是原因，物体的动量变化量是结 果. (2)动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，可以是各力冲量的 矢 量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和. (3)动量定理表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义. 自查自纠： (1)一个物体的运动状态变化，它的动量一定改 变。( ) (2)动量越大的物体，其速度越大。( ) (3)两物体的动量相 等，动能也一定相等。( ) (4)物体的动量变化量等于某个力的冲量。( ) (5)物体沿水平面运动，重力不做功，重力的冲量也等于零。( ) (6)系统的动量守恒时，机械能也一定守恒。( ) (7)若在光滑水平面上的两球相向运动，碰后均变为静止，则两球碰前的动量大小一定相同。( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)√
冲量
功
定义
作用在物体上的力和力的作 作用在物体上的力和物体在
用时间的乘积
力的方向上的位移的乘积
单位
N·s
J
公式
I＝Ft(F 为恒力)
W＝Flcos α(F 为恒力)
标矢性
矢量
标量
意义
①表示力对时间的累积 ②是动量变化的量度
①表示力对空间的累积 ②是能量变化多少的量度
都是过程量，都与力的作用过程相互联系
t
t
2.解题的基本思路
(1)确定研究对象.在中学阶段用动量定理讨论的问题，其研究对象一般仅限于单个物体.
(2)对物体进行受力分析.可先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和——合力的冲量；或先
求合力，再求其冲量.
(3)抓住过程的初、末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正负号.
(4)根据动量定理列方程，如有必要还需要补充其他方程，最后代入数据求解.
1.动量定理的理解
(1)中学物理中，动量定理研究的对象通常是单个物体.
(2)Ft＝p′－p 是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同.式中 Ft 是物体所受的合外力的冲量.
(3)Ft＝p′－p 除表明两边大小、方向的关系外，还说明了两边的因果关系，即合外力的冲量是动量变化的
原因.
(4)由 Ft＝p′－p，得 F＝p′－p＝Δp，即物体所受的合外力等于物体的动量对时间的变化率.
量Δp 越小。 2．应用动量定理解题的一般步骤
(1)明确研究对象和研究过程 研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的系统，系统内各物体 可以是保持相对静止的，也 可以是相对运动的。研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段。 (2)进行受力分析 只分析研究对象以 外的物体施加给研究对象的力，所有外力之和为合外力。研究对象内部的相互作用 力(内力)会改变系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力。如果在所选定的研 究过程的不同阶段中物体的受力情况不同，则要分别计算它们的冲量，然后求它们的矢量和。 (3)规定正方向 由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的情况下，列式前 可以先规定一个正方向，与规定的正 方向相同的矢量为正，反之为负。 (4)写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量(或各外力在各个阶段的冲量的矢量和)。 (5)根据动量定理列式求解。 3．应用动量定理解题的注意事项 (1)动量定理的表达式是矢量式，列式时要注意各个量与规定的正方向之间的关系(即要注意各个量的 正负)。 (2)动量定理中的冲量是合外力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，也可以是各力 冲量的矢量和，还可以是外力在不同阶段的冲量的矢量和。 (3)应用动量定理可以只研究一个物体，也可以研究几个物体组成的系统。 (4)初态的动量 p 是系统各部分动量之和，末态的动量 p′也是系统各部分动量之和。 (5)对系统各部分的动量进行描述时，应该选取同一个参考系，不然求和无实际意义。
【例 3】某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为 M 的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便
起见，假设水柱从横截面积为 S 的喷口持续以速度 v0 竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于 S)；水
柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水
的密度为ρ，重力加速度大小为 g。求
研 考纲考题
要点 1 动量与冲量的理解
1
1．动能、动量、动量变化量的比较
动能
动量
动量变化量
定义
物体由于运动而具有的 物体的质量和速度的乘 物体末动量与初动量的
能量
积
矢量差
定义式
Ek＝1mv2 2
p＝mv
Δp＝p′－p
标矢性
标量
矢量
矢量
特点
状态量
状态量
过程量
关联方程
Ek＝ p2 ，Ek ＝1pv，p＝
(1)若开始时足球的速度大小是 4 m/s，方向向右，踢球后，球的速度大小是 10 m/s，方 向仍向右(如图甲)， 求足球的初动量、末动量以及踢球过程中动量的改变量；
(2)若足球以 10 m/s 的速度向右撞向球门门柱，然后以 3 m/s 的速度反向弹回(如 图乙)，求这一过程中足球的动量改变量. 答案 见解析
解析 (1)取向右为正方向，初、末动量分别为 p＝mv＝0.4×4 kg·m/s＝1.6
kg·m/s，方向向右， p′＝mv′＝0.4×10 kg·m/s＝4 kg·m/s，方向向右， 动量的改变量为Δp＝p′－p＝2.4 kg·m/s，方向向右. (2)取向右为正方向，初、末动量分别为 p1＝mv1＝0.4×10 kg·m/s＝4 kg·m/s， 方向向右，
2m
2
2mEk，p＝2vEk
(1)都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系
联系
(2)若物体的；动能发生变化，则动量一定也发生变化；但动量发生变化时动
能不一定发生变化
2．冲量和功的区别 (1)冲量和功都是过程量。冲量表示力对时间的积累作用，功表示力对位移的积累作用。 (2)冲量是矢量，功是标量。 (3)力作用的冲量不为零时，力做的功可能为零；力做的功不为零时，力作用的冲量一定不为零。 2.对冲量和功的理解
3．冲量的计算 (1)恒力的冲量：直接用定义式 I＝Ft 计算。 (2)变力的冲量 ①方向不变的变力的冲量，若力的大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，
则力 F 在某段时间 t 内的冲量 I＝F1＋F2t，其中 F1、F2 为该段时间内初、末两时刻力的 2
大小。
②作出 Ft 变化图线，图线与 t 轴所夹的面积即为变力的冲量。如图所示。 ③对于易确定始、末时刻动量的情况，可用动量定理求解，即通过求Δp 间接求出冲量。 【例 1】如图所示，在某届亚洲杯足球赛上，一足球运动员踢一个质量为 0.4 kg 的足球.
解得 IF＝ F t＝2mv＋mgt. 【训练 2】“蹦极”运动中，长弹性绳的一端固定，另一端绑在人身上，人从几十米高处跳下，将蹦极过 程简化为人沿竖直方向的运动，从绳恰好伸直，到人第一次下降至最低点的过程中，下列分析正确的是 ()
A．绳对人的冲量始终向上，人的动量先增大后减小 B．绳对人的拉力始终做负功，人的动能一直减小 C．绳恰好伸直时，绳的弹性势能为零，人的动能最大 D．人在最低点时，绳对人的拉力等于人所受的重力 解析：选 A 从绳恰好伸直到人第一次下降至最低点的过程中，人先做加速度减小的加速运动，后做 加速度增大的减速运动，加速度等于零时，速度最大，故人的动量和动能都是先增大后减小，加速度等于 零时(即绳对人的拉力等于人所受的重力时)速度最大，动量和动能最大，在最低点时人具有向上的加速度， 绳对人的拉力大于人所受的重力。绳的拉力方向始终向上与运动方向相反，故绳对人的冲量方向始终向上， 绳对人的拉力始终做负功。故选项 A 正确，选项 B、C、D 错误。
2.微粒类问题 微粒及 通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积 其特点 内粒子数 n
分析 步骤
(1)建立“柱体”模型，沿运动的方向选取一段柱体，柱体的横截面积为 S (2)微元研究，作用时间Δt 内一段柱体的长度为Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒 子数 N＝nv0SΔt (3)先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以 N 计算
p2＝mv2＝0.4×(－3) kg·m/s＝－1.2 kg·m/s，负号表示方向向左， 动量的改变量为Δp′＝p2－p1＝－5.2 kg·m/s，负号表示方向向左.
ห้องสมุดไป่ตู้
【训练 1】将质量为 1.00 kg 的模型火箭点火升空，50 g 燃烧的燃气以大小为 600 m/s 的速度从火箭喷口在
2
很短时间内喷出。在燃气喷出后的瞬间，火箭的动量大小为(喷出过程中重力和空气阻力可忽略)( ) A.30 kg·m/s B.5.7×102 kg·m/s C.6.0×102 kg·m/s D.6.3×102 kg·m/s 答案 A 解析 设火箭的质量为 m1，燃气的质量为 m2。由题意可知，燃气的动量 p2＝m2v2＝50×10－3×600 kg·m/s ＝30 kg·m/s。根据动量守恒定律可得 0＝m1v1－m2v2，则火箭的动量大小为 p1＝m1v1＝m2v2＝30 kg·m/s，所 以选项 A 正确，B、C、D 错误。
第 1 课时 动量 动量定理
读 基础知识
基础回顾： 一、动量 1.定义：物体的质量与速度的乘积. 2.表达式：p＝mv，单位：kg·m/s. 3.动量的性质 (1)矢量性：方向与瞬时速度方向相同. (2)瞬时性：动量是描述物体运动状态的物理量，是针对某一时刻而言的. (3)相对性：大小与参考系的选取有关，通常情况是指相对地面的动量. 4.动量与动能、动量的变化量的关系 (1)动量的变化量：Δp＝p′－p. (2)动能和动量的关系：Ek＝2pm2 . 二、冲量和动量定理 1.冲量 (1)定义：力与力的作用时间的乘积叫做力的冲量. (2)公式：I＝Ft. (3)单位：N·s. (4)方向：冲量是矢量，其方向与力的方向相同. 2.动量定理 (1)内容：物体在一个运动过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量. (2)公式：mv′－mv＝F(t′－t)或 p′－p＝I. 3.动量定理的理解 (1)动量定理反映了力的冲量与动量变化量之间的因果关系，即外力的冲量是原因，物体的动量变化量是结 果. (2)动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，可以是各力冲量的 矢 量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和. (3)动量定理表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义. 自查自纠： (1)一个物体的运动状态变化，它的动量一定改 变。( ) (2)动量越大的物体，其速度越大。( ) (3)两物体的动量相 等，动能也一定相等。( ) (4)物体的动量变化量等于某个力的冲量。( ) (5)物体沿水平面运动，重力不做功，重力的冲量也等于零。( ) (6)系统的动量守恒时，机械能也一定守恒。( ) (7)若在光滑水平面上的两球相向运动，碰后均变为静止，则两球碰前的动量大小一定相同。( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)√
冲量
功
定义
作用在物体上的力和力的作 作用在物体上的力和物体在
用时间的乘积
力的方向上的位移的乘积
单位
N·s
J
公式
I＝Ft(F 为恒力)
W＝Flcos α(F 为恒力)
标矢性
矢量
标量
意义
①表示力对时间的累积 ②是动量变化的量度
①表示力对空间的累积 ②是能量变化多少的量度
都是过程量，都与力的作用过程相互联系
t
t
2.解题的基本思路
(1)确定研究对象.在中学阶段用动量定理讨论的问题，其研究对象一般仅限于单个物体.
(2)对物体进行受力分析.可先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和——合力的冲量；或先
求合力，再求其冲量.
(3)抓住过程的初、末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正负号.
(4)根据动量定理列方程，如有必要还需要补充其他方程，最后代入数据求解.
1.动量定理的理解
(1)中学物理中，动量定理研究的对象通常是单个物体.
(2)Ft＝p′－p 是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同.式中 Ft 是物体所受的合外力的冲量.
(3)Ft＝p′－p 除表明两边大小、方向的关系外，还说明了两边的因果关系，即合外力的冲量是动量变化的
原因.
(4)由 Ft＝p′－p，得 F＝p′－p＝Δp，即物体所受的合外力等于物体的动量对时间的变化率.
量Δp 越小。 2．应用动量定理解题的一般步骤
(1)明确研究对象和研究过程 研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的系统，系统内各物体 可以是保持相对静止的，也 可以是相对运动的。研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段。 (2)进行受力分析 只分析研究对象以 外的物体施加给研究对象的力，所有外力之和为合外力。研究对象内部的相互作用 力(内力)会改变系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力。如果在所选定的研 究过程的不同阶段中物体的受力情况不同，则要分别计算它们的冲量，然后求它们的矢量和。 (3)规定正方向 由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的情况下，列式前 可以先规定一个正方向，与规定的正 方向相同的矢量为正，反之为负。 (4)写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量(或各外力在各个阶段的冲量的矢量和)。 (5)根据动量定理列式求解。 3．应用动量定理解题的注意事项 (1)动量定理的表达式是矢量式，列式时要注意各个量与规定的正方向之间的关系(即要注意各个量的 正负)。 (2)动量定理中的冲量是合外力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，也可以是各力 冲量的矢量和，还可以是外力在不同阶段的冲量的矢量和。 (3)应用动量定理可以只研究一个物体，也可以研究几个物体组成的系统。 (4)初态的动量 p 是系统各部分动量之和，末态的动量 p′也是系统各部分动量之和。 (5)对系统各部分的动量进行描述时，应该选取同一个参考系，不然求和无实际意义。
【例 3】某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为 M 的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便
起见，假设水柱从横截面积为 S 的喷口持续以速度 v0 竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于 S)；水
柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水
的密度为ρ，重力加速度大小为 g。求
研 考纲考题
要点 1 动量与冲量的理解
1
1．动能、动量、动量变化量的比较
动能
动量
动量变化量
定义
物体由于运动而具有的 物体的质量和速度的乘 物体末动量与初动量的
能量
积
矢量差
定义式
Ek＝1mv2 2
p＝mv
Δp＝p′－p
标矢性
标量
矢量
矢量
特点
状态量
状态量
过程量
关联方程
Ek＝ p2 ，Ek ＝1pv，p＝
(1)若开始时足球的速度大小是 4 m/s，方向向右，踢球后，球的速度大小是 10 m/s，方 向仍向右(如图甲)， 求足球的初动量、末动量以及踢球过程中动量的改变量；
(2)若足球以 10 m/s 的速度向右撞向球门门柱，然后以 3 m/s 的速度反向弹回(如 图乙)，求这一过程中足球的动量改变量. 答案 见解析
解析 (1)取向右为正方向，初、末动量分别为 p＝mv＝0.4×4 kg·m/s＝1.6
kg·m/s，方向向右， p′＝mv′＝0.4×10 kg·m/s＝4 kg·m/s，方向向右， 动量的改变量为Δp＝p′－p＝2.4 kg·m/s，方向向右. (2)取向右为正方向，初、末动量分别为 p1＝mv1＝0.4×10 kg·m/s＝4 kg·m/s， 方向向右，
2m
2
2mEk，p＝2vEk
(1)都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系
联系
(2)若物体的；动能发生变化，则动量一定也发生变化；但动量发生变化时动
能不一定发生变化
2．冲量和功的区别 (1)冲量和功都是过程量。冲量表示力对时间的积累作用，功表示力对位移的积累作用。 (2)冲量是矢量，功是标量。 (3)力作用的冲量不为零时，力做的功可能为零；力做的功不为零时，力作用的冲量一定不为零。 2.对冲量和功的理解
3．冲量的计算 (1)恒力的冲量：直接用定义式 I＝Ft 计算。 (2)变力的冲量 ①方向不变的变力的冲量，若力的大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，
则力 F 在某段时间 t 内的冲量 I＝F1＋F2t，其中 F1、F2 为该段时间内初、末两时刻力的 2
大小。
②作出 Ft 变化图线，图线与 t 轴所夹的面积即为变力的冲量。如图所示。 ③对于易确定始、末时刻动量的情况，可用动量定理求解，即通过求Δp 间接求出冲量。 【例 1】如图所示，在某届亚洲杯足球赛上，一足球运动员踢一个质量为 0.4 kg 的足球.
解得 IF＝ F t＝2mv＋mgt. 【训练 2】“蹦极”运动中，长弹性绳的一端固定，另一端绑在人身上，人从几十米高处跳下，将蹦极过 程简化为人沿竖直方向的运动，从绳恰好伸直，到人第一次下降至最低点的过程中，下列分析正确的是 ()
A．绳对人的冲量始终向上，人的动量先增大后减小 B．绳对人的拉力始终做负功，人的动能一直减小 C．绳恰好伸直时，绳的弹性势能为零，人的动能最大 D．人在最低点时，绳对人的拉力等于人所受的重力 解析：选 A 从绳恰好伸直到人第一次下降至最低点的过程中，人先做加速度减小的加速运动，后做 加速度增大的减速运动，加速度等于零时，速度最大，故人的动量和动能都是先增大后减小，加速度等于 零时(即绳对人的拉力等于人所受的重力时)速度最大，动量和动能最大，在最低点时人具有向上的加速度， 绳对人的拉力大于人所受的重力。绳的拉力方向始终向上与运动方向相反，故绳对人的冲量方向始终向上， 绳对人的拉力始终做负功。故选项 A 正确，选项 B、C、D 错误。
2.微粒类问题 微粒及 通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积 其特点 内粒子数 n
分析 步骤
(1)建立“柱体”模型，沿运动的方向选取一段柱体，柱体的横截面积为 S (2)微元研究，作用时间Δt 内一段柱体的长度为Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒 子数 N＝nv0SΔt (3)先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以 N 计算
p2＝mv2＝0.4×(－3) kg·m/s＝－1.2 kg·m/s，负号表示方向向左， 动量的改变量为Δp′＝p2－p1＝－5.2 kg·m/s，负号表示方向向左.
ห้องสมุดไป่ตู้
【训练 1】将质量为 1.00 kg 的模型火箭点火升空，50 g 燃烧的燃气以大小为 600 m/s 的速度从火箭喷口在
2
很短时间内喷出。在燃气喷出后的瞬间，火箭的动量大小为(喷出过程中重力和空气阻力可忽略)( ) A.30 kg·m/s B.5.7×102 kg·m/s C.6.0×102 kg·m/s D.6.3×102 kg·m/s 答案 A 解析 设火箭的质量为 m1，燃气的质量为 m2。由题意可知，燃气的动量 p2＝m2v2＝50×10－3×600 kg·m/s ＝30 kg·m/s。根据动量守恒定律可得 0＝m1v1－m2v2，则火箭的动量大小为 p1＝m1v1＝m2v2＝30 kg·m/s，所 以选项 A 正确，B、C、D 错误。
