大学物理习题课-经典力学-2012.4.9

3 .刚体的定轴转动定律 d M J J dt 4. 角动量和冲量矩 刚体的角动量 L J 冲量矩是反映力矩对时间累积效应的物理量 恒力矩的冲量矩 变力矩的冲量矩
M t

t2
t1
M dt
O

ri
mi
z
5. 角动量定理和角动量守恒定律 dL 角动量定理 微分形式 M dt t2 积分形式 M dt ( J) ( J )
y=2t，均为国际单位，求： (1) t1=1s，t2=2s时刻，质点的位置 (2) 质点在第2s内的位移、平均速度及平均加速度 (3) 质点在第2s末的瞬时加速度 (4) 什么时刻质点的位置矢量与速度矢量垂直？并求此时刻的 位置矢量与速度矢量
解: (1)质点运动方程的矢量形式为
r xi yj (4t 2 2)i 2tj
A外 A内 EkB EkA

沿任一闭合路径移动一周做功为零的力 AAB ( E pB E pA ) E p
E p G
万有引力势能
重力势能
1 2 弹簧弹性势能 E p kx 2
E p mgh
Mm r
（无穷远为零点）
（地面为势能零点） （自然伸长位置为零点）
f
x
N
N F sin mg cos
平行壁方向：
转速较低时，静摩擦力向上，有：
mg
f mg sin F cos
转速较高时，静摩擦力向下，有：
- f mg sin F cos
得解：
1 2
f s N
(sin s cos ) g (cos s sin )r
供小物体作半径为r的圆周运动的向心力（水平方向，指向轴线）。
N cos f sin mg 0
f s N
1 解得 n1 2
(sin s cos ) g (cos s sin )r
当n较大时，m有上滑趋势，摩擦力沿漏斗壁向下，力的平衡 方程为
角动量守恒定律
如 M 0 则 L 恒矢量
碰撞 完全弹性碰撞：动量守恒，机械能守恒。 非完全弹性碰撞：动量守恒。
完全非弹性碰撞：动量守恒。
基本概念和规律
1 .描述刚体定轴转动的物理量
角位置
角位移 角速度 角加速度

d dt d dt

角量与线量的关系
s r
水平方向
竖直方向 又
2 N sin f cos m2 r m(2 n2 )2 r
N cos f sin mg 0
f s N
1 解得 n2 2
(sin s cos ) g (cos s sin )r
所以
n在介于n1和n2之间时保持静止，即
f k k N
大小可变 最大静摩擦力
f s max s N
4. 黏滞阻力 （与相对运动方向相反） 相对速率较小时
fd k v
1 相对速率较大时 f d C Av 2 2

牛顿运动定律的解题基本思路
－认物体 －查受力 －解方程 －看运动 －列方程 －讨论

惯性系和非惯性系
非惯性系中的力学定律，引入惯性力，则
v r
an r 2
z
at r
2 .力矩和转动惯量 (1)力矩
k
F
r
M rF
r0 力臂
O

力矩的大小： Frsinθ=Fr0
(2)转动惯量
当刚体质量连续分布 组合体的转动惯量
J z mi ri2
J J1 J2 J3 ... Ji
J r 2 dm
大学物理习题课
质点运动学、牛顿定律、守恒定律、刚体定轴转动
质点运动学

质点运动函数的描述
参考系，常见参考系 坐标系：直角坐标、极坐标、自然坐标 位置矢量，运动方程
r x(t )i y (t ) j z (t )k

轨迹函数 F(x,y,z)=0
位移和速度
r r (t t ) r (t ) r2 r1 r dr lim 速度 v t 0 t dt ds 大小 v | v | 方向：轨迹切线 dt
位移
加速度
方向：指向轨道曲线凹下的一侧
v dv a lim t 0 t dt
•质点运动问题的求解
正问题：位置（运动函数） 速度 加速度——求导 反问题：加速度 速度 位置（运动函数）——积分
•常见的几种运动
匀加速运动
a 常矢量
v v0 at 1 2 r r0 v0t at 2
x
解 I ：本题为质点的圆周运动问题。物体有沿着漏斗内壁向下
（或向上）滑动的趋势，静摩擦力的方向与滑动趋势方向相反。 受力分析： 物体受到重力mg，支持力N和摩擦力f的作用，这三个力的合力提 在转速n较低时，物体有下滑趋势，摩擦力沿漏斗壁向上。 建立坐标系 沿坐标轴方向进行力的分解，列方程 水平方向 N sin f cos m12 r m(2 n1 )2 r 竖直方向 又
因此
t 1s时，r1 2i 2 j t 2s时，r2 14i 4 j
(2)第2s内的位移、平均速度、平均加速度
r r2 r1 12i 2 j r 12i 2 j v 12i 2 j t 2 1
平均加速度
dr t 1s，v1 8i 2 j v 8ti 2 j dt t 2s，v2 16i 2 j
dt dt
质量 功 动能
m
A Fdx 1 E K mv 2 2
动量 功率
mv
P Fv
A M Z d 1 1 转动动能 E K J 2 2 J 角动量 P M 角功率
2 J m r 转动惯量 ii
功
2
例1.一质点在xOy平面内运动，运动方程的参数形式为x=4t2-2,
所以
t 0s时，r1 2 j，v1 2 j 3 t s，r2 0.5i 1.22 j，v2 4.9i 2 j 8
例2. 图中A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体m1＝200g， m2＝100g，m3＝50g，滑轮及绳子的质量以及摩擦力 忽略不计。求（1）每个物体的加速度；（2）两根绳 子的张力T1和T2。（滑轮组、相对运动题目）
A
T1
B
T2
m1 m2
m3
解：以地面为参照系， 用隔离法，画出各物 体的受力图；标示各 物体的假定加速度， 并以它们为正方向。 按牛顿第二定律，应 有 m1g-T1=m1a１ m2g-T2=m2a2 T２-m３g=m３a３
T１=2T2
另一方面，动滑轮B对地应有向上的加 速度 a１；设m２对B有向下的加速度 a’， 则m３对B有向上的加速度 a′于是 a2=a’-a１ a 3 =a’+a１
1 2
(sin s cos ) g 1 n (cos s sin )r 2
(sin s cos ) g (cos s sin )r
பைடு நூலகம் y
解 II ： 以旋转的漏斗为参照系，引入惯 2 性力——离心力F F m(2 n) r
沿漏斗壁的平行和垂直方向建立坐 标系，列力的平衡方程 垂直壁方向 F
第三定律
F12 F21
（适用于惯性系）
力学中常见的几种力
GmE 1.万有引力 F G m1m2 e g 2 r 2 r R 2. 弹性力 （垂直接触面） 支持力 正压力
重力（向下）
W mg
拉力 张力
弹簧的弹力 f kx（虎克定律） 3. 摩擦力 （与相对运动或相对运动趋势方向相反） 滑动摩擦力 静摩擦力
分析：二者以何种方式碰撞，正碰？斜碰？ 若发生正碰，根据动量守恒和完全弹性碰撞前后动能不变 的条件，即可得到碰撞后A的速率变为原来的三分之一，与 题意不符。因此，此题隐含的意思是二者发生斜碰。
1 J 2 mghC 常量 2
J 常量 A M d
2 1
Z
力矩的功率 P＝Mω
7 .质点的运动和刚体的定轴转动物理量对比 质点直线运动 刚体的定轴转动 角位移 位移 x dx d v 角速度 速度 dt 2 dt 2 d d dv d x 2 2 角加速度 加速度 a dt dt
系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变
F 0
i i
则
P P i mi vi ＝恒量
i i

质心
概念
质心位矢 rc
m r
i
i i
m
,
rc
rdm m
质心运动定理
F mac

质点角动量
定义
对于某一定点
L r p r mv
角动量定理
dL M r F （合外力矩 M 与角动量 对同一定点定义） dt

功能原理 A外力 A保守内力 A非保守内力 Ek Ek 0
A外力 A非保守内力 ( Ek E p ) ( Ek 0 E p 0 )

机械能守恒定律
若 A外力 A非保守内力 0 则有 Ek E p Ek 0 E p 0 恒量
动量定理
冲量—力对时间的累积效应
F 惯性力 ma 平动加速参考系 F惯 ma 2 转动参考系，惯性离心力 F惯 man m r
守恒定律及其应用

功
dA F dr ,
AAB F dr
A