第五章抽样估计3.pptx
- 格式：pptx
- 大小：390.36 KB
- 文档页数：22
下载文档原格式
合集下载
抽样与抽样估计课件
抽样与抽样估计课件
$number {01}
目 录
• 抽样的基本概念 • 抽样分布 • 参数估计 • 样本量的确定 • 抽样误差与非抽样误差 • 实际应用案例
01
抽样的基本概念
定义与意义
定义
抽样是从总体中选取一部分个体 进行研究的方法。
意义
通过对样本的研究，可以推断出 总体的特征和规律，从而提高研 究效率和准确性。
误差的评估
误差的评估方法包括通过历史数据或置信区间来评估误差的 大小和分布，以及通过对比不同调查方法或不同时间点的调 查结果来评估误差的可控性和稳定性。
06
实际应用案例
市场调查抽样
实施调查
按照抽样计划进行调查，收集所 需数据，并确保数据质量和完整 性。
选择抽样方法
根据调查目的和资源限制，选择 合适的抽样方法，如简单随机抽 样、分层抽样、系统抽样等。
抽样的常见方法
01
随机抽样
按照随机原则从总
体中抽取样本。
02
系统抽样
按照一定的间隔或 顺序从总体中抽取
样本。
04
整群抽样
将总体分成若干群
03
，然后从各群中随
机抽取样本。
分层抽样
将总体分成若干层 ，然后从各层中随
机抽取样本。
抽样的原则与步骤
原则
随机性、代表性、可行性、经济性。
步骤
确定研究目的和总体范围、选择抽样方法、确定样本量和样本分布、实施抽样、 分析样本数据并推断总体特征。
02 抽样分布
随机抽样与概率分布
1 2
3
随机抽样
在统计学中，随机抽样是从总体中选取一部分个体的过程， 每个个体被选中的机会均等且不受其他因素的影响。
$number {01}
目 录
• 抽样的基本概念 • 抽样分布 • 参数估计 • 样本量的确定 • 抽样误差与非抽样误差 • 实际应用案例
01
抽样的基本概念
定义与意义
定义
抽样是从总体中选取一部分个体 进行研究的方法。
意义
通过对样本的研究，可以推断出 总体的特征和规律，从而提高研 究效率和准确性。
误差的评估
误差的评估方法包括通过历史数据或置信区间来评估误差的 大小和分布，以及通过对比不同调查方法或不同时间点的调 查结果来评估误差的可控性和稳定性。
06
实际应用案例
市场调查抽样
实施调查
按照抽样计划进行调查，收集所 需数据，并确保数据质量和完整 性。
选择抽样方法
根据调查目的和资源限制，选择 合适的抽样方法，如简单随机抽 样、分层抽样、系统抽样等。
抽样的常见方法
01
随机抽样
按照随机原则从总
体中抽取样本。
02
系统抽样
按照一定的间隔或 顺序从总体中抽取
样本。
04
整群抽样
将总体分成若干群
03
，然后从各群中随
机抽取样本。
分层抽样
将总体分成若干层 ，然后从各层中随
机抽取样本。
抽样的原则与步骤
原则
随机性、代表性、可行性、经济性。
步骤
确定研究目的和总体范围、选择抽样方法、确定样本量和样本分布、实施抽样、 分析样本数据并推断总体特征。
02 抽样分布
随机抽样与概率分布
1 2
3
随机抽样
在统计学中，随机抽样是从总体中选取一部分个体的过程， 每个个体被选中的机会均等且不受其他因素的影响。
05抽样估计资料
第五章抽样估计第一节抽样估计的理论基础抽样估计的基本内容就是研究如何根据总体的部分数据信息（构造样本指标也称统计量）去估计未知总体指标（也称参数）的理论和方法。
学习步骤：抽样估计的理论基础——大数定律和中心极限定理→掌握抽样分布的有关概念及基本原理→抽样估计的理论和方法。
一、大数定律大量的独立重复测量值的算术平均值具有稳定性。
对于这种稳定性的研究构成了大数定律的基本内容。
两个重要的大数定律：贝努里大数定理、辛钦大数定律设事件A在一次试验中发生的概率为p，在n次独立重复试验中，事件A发生了m次，那么对任意给定的正数ε，有其等价形式是贝努里大数定理说明：事件发生的频率m/n，依概率收敛于事件发生的概率p，这个定理用严格的数学形式表达了频率的稳定性，也就是说，当n很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。
因此，当n很大时，可用事件发生的频率m/n近似地代替事件发生的概率p，即p≈m/n，这种方法称为抽样估计，它是数理统计的主要研究课题。
（二）辛钦大数定律设随机变量X1，X2，…，X n相互独立，服从同一分布，且（E（X k）＝μ，k＝1，2，…），则对任意正数ε，恒有：辛钦大数定律为我们用测量数据的算术平均数代替其真值的方法提供了理论依据。
假定要测量某一物理量μ，在不变条件下测量n次，得到的结果X1，X2，…，X n是不完全相同的，它们可以看作n个独立随机变量X1，X2，…，X n（它们服从同一分布且数学期望均为μ）。
按照辛钦大数定律，当n很大时，我们取n次测量结果的算术平均数作为真值μ的近似值，这时出现较大偏差的可能性很小。
一般说来，测定的次数越多，近似程度越好。
二、中心极限定理当处理大样本问题时，将它作为一个非常重要的工具。
下面介绍两个常用的中心极限定理。
定理1：林德贝格—勒维中心极限定理，也称为独立同分布中心极限定理。
定理2：德莫佛—拉普拉斯中心极限定理。
它表明：二项分布的极限分布是正态分布，因此，当n充分大时，若随机变量X n～B（n，p），则近似地有X n～N（np，np（1－p），于是我们可以利用正态分布近似地计算二项分布的概率。
统计学课件05第5章抽样与参数估计
反映样本数据的集中趋势和平均水平。
样本方差
定义
样本方差是每个样本数据与样本均值差的平方和的平均值，即 $s^2 = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} (x_i - overline{x})^2$。
计算方法
先计算每个样本数据与样本均值的差，然后将差平方，最后求和平 均。
作用
反映样本数据的离散程度和波动情况。
样本量的确定
根据调查目的和精度要求确定样 本量：精度要求越高，需要的样
本量越大。
根据总体规模和抽样方法确定样 本量：总体规模越大，需要的样 本量越大；分层或整群抽样较简 单随机抽样需要的样本量更大。
根据调查资源确定样本量：资源 有限时，需要在满足调查目的和 精度要求的前提下，合理确定样
本量。
02 参数估计
大数定律的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布函数F(x)，则对于任意正实数ε，有 lim(n->∞)P(|X1+X2+...+Xn/n-E(X))/ε)=0，其中E(X)是随机变量X的期望值。
大数定律的实例
在抛硬币实验中，随着实验次数的增加，正面朝上的频率将趋近于0.5。
中心极限定理
中心极限定理定义
中心极限定理是指在大量独立同分布的随机变量中，不论 这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布总是趋 近于正态分布。
中心极限定理的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布 函数F(x)，则对于任意实数x，有lim(n->∞)P(∑Xi≤x)=∫(∞->x)F(t)dt。
样本分布的性质
无偏性
如果样本统计量的数学期 望等于总体参数，则该统 计量是无偏的。
第五章抽样估计
第五章抽样估计第五章抽样调查与参数估计在实际的统计分析过程中，由于各种因素的限制，我们很少能够将研究对象中所有单位的数据收集起来进行计算分析。
在很多情况下，我们是进行抽样调查，根据样本的信息对研究对象的数量特征进行推断。
参数估计是一种关于如何利用样本的信息对总体特征做出具有一定可靠程度推断的统计分析方法，它是推断统计中非常重要的方法之一。
本章将介绍抽样调查的基本问题，然后在介绍抽样分布的基础上讨论参数估计的基本原理，最后介绍对一个总体参数进行估计的方法。
第一节抽样调查与抽样的组织形式抽样调查是一种非全面调查，它是按照随机原则从总体中抽取部分调查单位作为样本进行调查，以搜集样本数据的调查形式。
抽样调查获取的样本资料是进行参数估计、方差分析、假设检验等推断统计的基本依据。
一、抽样调查的特点与作用（一）抽样调查的特点抽样调查与其他非全面调查方式相比具有以下特点：1.抽样调查是按随机原则抽取总体单位作为样本的。
随机抽样意味着总体中某个单位被抽中与否，不会受到调查者和被调查者主观愿望的影响，从而保证了样本对总体的代表性。
2.抽样调查得到的样本资料可以用来推断总体数量特征。
依据概率论与数理统计的相关原理，在一定的置信水平下，可以估计出总体的数量特征和状态，这种估计有着坚实的理论基础。
3.用抽样调查的数据估计总体的状况必然产生抽样误差，抽样误差虽不可避免，但它是可以估计和控制的。
（二）抽样调查的作用与优点抽样调查是实际中应用最广泛的一种调查方式，它的作用和优点表现在以下几个方面：1.对于一些不可能或者不必要进行全面调查的现象，可以采用抽样调查的方式。
比如对灯泡的使用寿命、轮胎的里程试验、食品的合格率等破坏性检查就不可能进行全面调查；而对于有些社会经济现象，总体单位数多且分布很广，调查资源有限，就没有必要采用全面调查，这时都可以考虑采用抽样调查，然后据之推断出总体的特征。
2.抽样调查可以对全面调查的资料进行补充和修正。
第5章 抽样和参数估计PPT演示课件
一个任意 分布的总
体
x
n
当样本容量足
够大(n﹥30)
，样本均值的 抽样分布逐渐 趋于正态分布
x
x
南京农业大学工学院 5
12
单一总体样本统计量的抽样分布
样本统计量
样本均值 x
样本比例 p
正态或非正 态
大样本
正态分布
非正态总 体
（小样本 ）
非正态分布
大样本
正态分布
样本方差 s 2
2分布
南
21
（一）科学的估计方法具备的条件
要有合适的统计量作为估计量 要有合理的允许误差范围 要有一个可接受的置信度，即概率保证
程度
南京农业大学工学院 5
22
（二）点估计(point estimate)
用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的 估计值
例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样 本均值之差直接作为总体均值之差的估计
x 2.5
σ2 =1.25
0.625 2
x 南京农业大学工学院 5
9
所有样本均值的均值和方差
n
x
xi
i1
M
1.0 1.5 4.0 16
2.5
（M为样本数目）
n
(xi x )2
2 x
i 1
M
(1.0 2.5)2 (4.0 2.5)2 0.625 2
的概率落入某一区间”
是不严格的，因为总体
均值是非随机的 。
南京农业大学工学院 5
19
5.2 参数估计
5.2.1 参数估计的一般问题 5.2.2 一个总体参数的区间估计 5.2.3 两个总体参数的区间估计 5.2.4 全及总量指标的推算
第5章抽样与抽样估计演示
PPT文档演模板
第5章抽样与抽样估计演示
三、样本比例的抽样分布
∵样本中具有某种特征的单位数x~B（n，P）
∴样本比例的精确分布——二项分布
PPT文档演模板
样本比例的近似分布——正态分布
•(大样本下)
•均值、比率 抽样分布一览 表
第5章抽样与抽样估计演示
第三节 抽样估计的基本方法
这节是本章的中心。参数估计最基本的方 法是简单估计（又有点估计和区间估计 两种）。不讨论比估计和回归估计。抽 样数目也是事先必须估计的量。
（一）正态总体，总体方差已知时 样本均值的抽样分布——正态分布
样本均值的标准值的抽样分布——标准正态分布
大样本下，样本均值的抽样分布—— —渐进正态分布
均值的抽样平均误差=样本均值的标准差
（二）正态总体，总体方差未知时 样本均值的标准值的抽样分布——t分布
PPT文档演模板
第5章抽样与抽样估计演示
均值的抽样分布
第5章_抽样与抽样估计 演示
PPT文档演模板
2020/11/26
第5章抽样与抽样估计演示
本章要解决的主要问题
• 抽样——抽取样本
• 什么是样本 • 怎么抽——抽样方式、方法 • 从哪里抽——抽样框 • 抽 多 少 —— 样本大小
• 抽样估计——用所抽取样本去估计总体
• 要估计什么——总体参数（总体特征） • 用什么来估计——样本估计量 • 用什么估计方法 • 估计结果的形式 • 估计结果的可靠性和准确性
再见，see you again
PPT文档演模板
2020/11/26
第5章抽样与抽样估计演示
第一节 抽样调查中的基本概念
本节的目的、说明
本节的主要内容——
抽样估计
Hale Waihona Puke 2 n 1 n N
•计算抽样平均误差时，用样本标准差s代替总体标 准差 。
s
2 ( x x )
n 1
X-样本变量
x
--样本平均数
n 1 --样本变量自由度
例题 分析
抽样平均数的平均误差例题： 某工厂有1500个工人，用简单随机重复抽样的方 法抽出50个工人作为样本，调查其工资水平资 料如下：
2、假设检验：
先对总体的状况作某种假设，然后再根据抽样推 断的原理，根据样本观察资料对所作假设进行 检验，来判断这种假设的真伪，以决定我们行 动的取舍。
三、有关抽样的基本概念
1、总体和样本 • 总体定义：总体也称为全及总体，指所要认识的 研究对象全体。它是由所研究范围内具有某种共 同性质的全体单位所组成的集合体。 • 总体的单位数通常都是很大的，甚至无限的，用 N表示。 • 样本又称子样，它是从全及总体中随机抽取出来， 作为代表这一总体的那部分单位组成的集合体。 • 样本的单位数是有限的，数目较小，用n表示。 • 作为推断对象的总体是确定的，而且是唯一的。
x p
2 ( x X )
M
2 ( p P )
M
M是样本个数
3、抽样平均数的平均误差
• 重复抽样的条件下：
n 总体标准差、n 样本容量
x
、
•不重复抽样条件下：
n N 1 当N很大的时候，N 1 N
x
2 N n
(
)、N为总体单位数
1 — 估计置信度、 — 显著性水平
3、进行总体参数区间估计应具备的要素：
估计值、抽样误差范围、概率保证程度 • 抽样误差范围决定估计的准确性，概率保证程 度决定估计的可靠性。 抽样误差范围越大，准确性越低，反之就越高； 概率保证程度越大，可靠性越高，反之就越低。 • 在抽样估计时，希望准确性高些，可靠性大些， 但两者同时实现是有矛盾的。 x t x
6-第5章抽样与参数估计
滚雪球抽样是指先对随机选择的一些被调查 者实施访问，然后再请他们推荐属于研究目 标总体特征的调查对象。
配额抽样又称定额抽样，通常被认为是一种 与分层抽样法相对的非随机抽样方法。 。
2008-2009
抽样分布(sampling distribution)
1. 在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本算 出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布
2008-2009
5.3 总体均值的区间估计
正态总体且方差已知，或非正 态总体，方差未知、大样本
正态总体，方差未知、小样本
2008-2009
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
符号表示
2
样本统计量
X P S2
2008-2009
总体均值的区间估计(大样本)
假定条件
2. 是一种理论分布 3. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本比例，样本方差等
4. 结果来自容量相同的所有可能样本
5. 提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进 行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重 值的抽样分布
1. 容量相同的所有可能样本的样本均值的概 率分布
先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为 初始单位，以后依次取r+k，r+2k…等单位
2. 优点：操作简便，可提高估计的精度 3. 缺点：对估计量方差的估计比较困难
2008-2009
方便抽样是从便利的角度来考虑获取样本的。 样本的选取主要是让调查员来决定。
判断抽样是指根据调查人员的主观经验从总 体样本中选择那些被判断为最能代表总体的 单位作样本的抽样方法。
不同性别的人与全部人数之比 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比
配额抽样又称定额抽样，通常被认为是一种 与分层抽样法相对的非随机抽样方法。 。
2008-2009
抽样分布(sampling distribution)
1. 在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本算 出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布
2008-2009
5.3 总体均值的区间估计
正态总体且方差已知，或非正 态总体，方差未知、大样本
正态总体，方差未知、小样本
2008-2009
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
符号表示
2
样本统计量
X P S2
2008-2009
总体均值的区间估计(大样本)
假定条件
2. 是一种理论分布 3. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本比例，样本方差等
4. 结果来自容量相同的所有可能样本
5. 提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进 行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重 值的抽样分布
1. 容量相同的所有可能样本的样本均值的概 率分布
先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为 初始单位，以后依次取r+k，r+2k…等单位
2. 优点：操作简便，可提高估计的精度 3. 缺点：对估计量方差的估计比较困难
2008-2009
方便抽样是从便利的角度来考虑获取样本的。 样本的选取主要是让调查员来决定。
判断抽样是指根据调查人员的主观经验从总 体样本中选择那些被判断为最能代表总体的 单位作样本的抽样方法。
不同性别的人与全部人数之比 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9
2、泊松分布参数λ的区间估计
设总体服从参数λ的泊松分布， x1,x2,…xn是来自
总体的样本值 （xi 为第i次抽样事件发生的次数，注意
与二项分布中xi的区别）。
n
样本总计数--各次试验事件发生次数之和， 记作 X xi i 1 在小样本情况下，通常也是通过查表得到。 只要给出样本总计数X和α，就可从附表10中查出
n
（3）对给定置信水平1-α
pP
P(|
p(1 p)
|
u) 1
2
n
(4)变形，P(p u
2
p(1 p)
n
P pu
2
p(1 p) ) 1 n
所以总体率P的1-α置信区间为
( p u
2
p(1 p)
n
, p u
2
p(1 p) ) n
简记为
p u
2
p(1 p) n
14
例19 随机抽查了某校200名沙眼患者，经治疗有168名治愈， 求总体治愈率的0.95的置信区间. 解 样本治愈率p=168/200=0.84, α=0.05
X=x1+x2+x3=20, n=3, 1-α=0.99。 查附表10得，总体参数 3λ的0.99置信区间
(10.35,34.67) 则每毫升井水所含细菌数的0.99的置信区间 (3.45,11.56)。
11
二、大样本正态近似估计方法
（计数样本容量n>50)
1、二项分布参数P的区间估计
从总体中抽取容量为n的样本，可看做n重贝努利试 验，所以具有某种特征的的样本数X~B(n,P)，且 E(X)=nP, V(X)=nP(1-P)，则样本率
/
2
(n
1)
21.026
(n 1)S2 12 1.701
3.906
2 1
/
2
(n
1)
5.226
故σ2的0.9置信区间为（0.971,3.906).
6
§5.4 二项分布、泊松分布总体参数的区间估计
前面介绍的区间估计方法都是正态总体的情况， 解决的也是计量资料问题。
本节讨论总体服从二项分布和泊松分布的情况， 解决计数资料参数的区间估计问题。 一、小样本精确估计方法（n≤50) 二、大样本正态近似估计方法（n>50)
为计算方便，在大样本情况下(n足够大)，常用样 本率p代替总体率P计算样本率p 的标准差，即
u p P ~ N (0,1) p(1 p) n
13
用求区间估计的一般步骤求出P的置信区间：
(1) 总体率P 以样本率p为点估计量。
(2) 取U(p, P) p P (~ N(0,1)) p(1 p)
总体参数nλ的1-α置信区间，将其上下限再除以n即得 参数λ的1-α置信区间。
10
例18 从一份充分混合的井水中随机抽取3 次水 样(每次1ml)，经检查有20只细菌，求每毫升井 水所含细菌数的0.99的置信区间。
解 井水含细菌是稀有事件，则本题为泊松分布 均数λ的区间估计 。
设 xi（i=1,2,3)为第i次抽样所含细菌数，则
1
目标要求
1、了解正态总体方差的区间估计 2、熟悉大样本二项分布、泊松分
布总体参数的区间估计 3、了解小样本二项分布、泊松分布总
体参数的区间估计
2
三、正态总体方差的区间估计
标准型：若总体X~N(μ,σ2)，且μ,σ2未知，
x1,x2,…xn是来自总体的样本值，求σ的置信
度1-α的置信区间。
解(1)选σ2 的点估计为S2
解 n=13,自由度df=12
当1-α=0.9时，α=0.1, 查附表6 得
2 1
0.1
/
2
(12)
2 0.95
(12)
5.226
2 0.1
/
2
(12)
2 0.05
(12)
21.026
5
又
S2
1 n1
n i1
(xi
x)2 .
1.701
所以 (n 1)S2 12 1.701 0.971
2
f(x)
(2)
取
T(
2 ,S2 )
(n
1)S 2
2
(~ 2 (n 1))
α/2
1-α
α/2
(3) 对给定置信水平1-α
2 1 / 2
2 /2
P(
2 1
/
2
(n
1)
(n 1)S2
2
2
/
2
(n
1))
1
3
(4) 变形，P( (n 1)S2 2 (n 1)S2 ) 1
2
/
2
(n
回顾：区间估计的一般步骤:
1. 寻找参数θ的一个好的点估计量T; 2. 2. 寻找θ和估计量T 的函数U(θ,T),且分布已知; 3. 3. 由P(a≤U(θ,T)≤b)=1-α查表得a, b ; 4. 4. 对“a ≤U(T,θ)≤b”作等价变形,得到
P{ˆ1 ˆ2 } 1
则 (ˆ1,就ˆ2 )是θ在1-α下的置信区间.
p X 也服从二项分布，且 E( p) P, V ( p) P(1 P)
n
n
这说明样本率p是总体率P的无偏估计量。
12
由中心极限定理，在大样本情况下(n足够大)， 样本率p 近似服从正态分布N(P,P(1-P)/n).
则样本率p 的标准化随机变量
u p P ~ N (0,1) P(1 P) n
8
在小样本情况下，用公式直接计算很复 杂，通常通过查表得到。
只要给出n,k 和α(常用0.05及0.01)，就可 从附表9中查出总体率P的1-α置信区间.
例17 设用某种药物治疗近视眼,随机抽取样20 例作为样本，结果12例有效，求总体有效率 的0.95的置信区间.
解 显然,是二项分布参数P的区间估计 n=20, k=12, 1-α=0.95 查附表9得0.95的置信区间(0.361,0.809)
7
一、小样本精确估计方法（n≤50)
1、二项分布参数P的区间估计 总体(概)率P：具有某种特征的个体数与总体数的比率， 如有效率、发病率。
总体率一般未知，需要根据样本值进行区间估计。 样本(概)率p: 具有某种特征的个体数占样本容量的比率。
重复抽取n个个体可看作n重贝努利试验，则具有某 种特征的个体数X~B(n，P) 。
1)
2 1
/
2
(n
1)
所以σ2 的1-α置信区间为
(n 1)S2 (n 1)S2
(
,
)
2
/
2
(n
1)
2 1
/
2
(n
1)
总体标准差σ的1-α置信区间为
n1
n1
(
2
/
2
(nБайду номын сангаас
1)
S,
2 1
/
2
(n
1)
S)
4
例14 从某地随机抽取13人，测得血磷值为 1.67,1.98,2.33,2.34,2.5,3.6,3.73,4.14,4.1 7,4.57,4.82,5.78，若血磷值近似服从正态分 布,求总体方差σ2的0.9置信区间.
2、泊松分布参数λ的区间估计
设总体服从参数λ的泊松分布， x1,x2,…xn是来自
总体的样本值 （xi 为第i次抽样事件发生的次数，注意
与二项分布中xi的区别）。
n
样本总计数--各次试验事件发生次数之和， 记作 X xi i 1 在小样本情况下，通常也是通过查表得到。 只要给出样本总计数X和α，就可从附表10中查出
n
（3）对给定置信水平1-α
pP
P(|
p(1 p)
|
u) 1
2
n
(4)变形，P(p u
2
p(1 p)
n
P pu
2
p(1 p) ) 1 n
所以总体率P的1-α置信区间为
( p u
2
p(1 p)
n
, p u
2
p(1 p) ) n
简记为
p u
2
p(1 p) n
14
例19 随机抽查了某校200名沙眼患者，经治疗有168名治愈， 求总体治愈率的0.95的置信区间. 解 样本治愈率p=168/200=0.84, α=0.05
X=x1+x2+x3=20, n=3, 1-α=0.99。 查附表10得，总体参数 3λ的0.99置信区间
(10.35,34.67) 则每毫升井水所含细菌数的0.99的置信区间 (3.45,11.56)。
11
二、大样本正态近似估计方法
（计数样本容量n>50)
1、二项分布参数P的区间估计
从总体中抽取容量为n的样本，可看做n重贝努利试 验，所以具有某种特征的的样本数X~B(n,P)，且 E(X)=nP, V(X)=nP(1-P)，则样本率
/
2
(n
1)
21.026
(n 1)S2 12 1.701
3.906
2 1
/
2
(n
1)
5.226
故σ2的0.9置信区间为（0.971,3.906).
6
§5.4 二项分布、泊松分布总体参数的区间估计
前面介绍的区间估计方法都是正态总体的情况， 解决的也是计量资料问题。
本节讨论总体服从二项分布和泊松分布的情况， 解决计数资料参数的区间估计问题。 一、小样本精确估计方法（n≤50) 二、大样本正态近似估计方法（n>50)
为计算方便，在大样本情况下(n足够大)，常用样 本率p代替总体率P计算样本率p 的标准差，即
u p P ~ N (0,1) p(1 p) n
13
用求区间估计的一般步骤求出P的置信区间：
(1) 总体率P 以样本率p为点估计量。
(2) 取U(p, P) p P (~ N(0,1)) p(1 p)
总体参数nλ的1-α置信区间，将其上下限再除以n即得 参数λ的1-α置信区间。
10
例18 从一份充分混合的井水中随机抽取3 次水 样(每次1ml)，经检查有20只细菌，求每毫升井 水所含细菌数的0.99的置信区间。
解 井水含细菌是稀有事件，则本题为泊松分布 均数λ的区间估计 。
设 xi（i=1,2,3)为第i次抽样所含细菌数，则
1
目标要求
1、了解正态总体方差的区间估计 2、熟悉大样本二项分布、泊松分
布总体参数的区间估计 3、了解小样本二项分布、泊松分布总
体参数的区间估计
2
三、正态总体方差的区间估计
标准型：若总体X~N(μ,σ2)，且μ,σ2未知，
x1,x2,…xn是来自总体的样本值，求σ的置信
度1-α的置信区间。
解(1)选σ2 的点估计为S2
解 n=13,自由度df=12
当1-α=0.9时，α=0.1, 查附表6 得
2 1
0.1
/
2
(12)
2 0.95
(12)
5.226
2 0.1
/
2
(12)
2 0.05
(12)
21.026
5
又
S2
1 n1
n i1
(xi
x)2 .
1.701
所以 (n 1)S2 12 1.701 0.971
2
f(x)
(2)
取
T(
2 ,S2 )
(n
1)S 2
2
(~ 2 (n 1))
α/2
1-α
α/2
(3) 对给定置信水平1-α
2 1 / 2
2 /2
P(
2 1
/
2
(n
1)
(n 1)S2
2
2
/
2
(n
1))
1
3
(4) 变形，P( (n 1)S2 2 (n 1)S2 ) 1
2
/
2
(n
回顾：区间估计的一般步骤:
1. 寻找参数θ的一个好的点估计量T; 2. 2. 寻找θ和估计量T 的函数U(θ,T),且分布已知; 3. 3. 由P(a≤U(θ,T)≤b)=1-α查表得a, b ; 4. 4. 对“a ≤U(T,θ)≤b”作等价变形,得到
P{ˆ1 ˆ2 } 1
则 (ˆ1,就ˆ2 )是θ在1-α下的置信区间.
p X 也服从二项分布，且 E( p) P, V ( p) P(1 P)
n
n
这说明样本率p是总体率P的无偏估计量。
12
由中心极限定理，在大样本情况下(n足够大)， 样本率p 近似服从正态分布N(P,P(1-P)/n).
则样本率p 的标准化随机变量
u p P ~ N (0,1) P(1 P) n
8
在小样本情况下，用公式直接计算很复 杂，通常通过查表得到。
只要给出n,k 和α(常用0.05及0.01)，就可 从附表9中查出总体率P的1-α置信区间.
例17 设用某种药物治疗近视眼,随机抽取样20 例作为样本，结果12例有效，求总体有效率 的0.95的置信区间.
解 显然,是二项分布参数P的区间估计 n=20, k=12, 1-α=0.95 查附表9得0.95的置信区间(0.361,0.809)
7
一、小样本精确估计方法（n≤50)
1、二项分布参数P的区间估计 总体(概)率P：具有某种特征的个体数与总体数的比率， 如有效率、发病率。
总体率一般未知，需要根据样本值进行区间估计。 样本(概)率p: 具有某种特征的个体数占样本容量的比率。
重复抽取n个个体可看作n重贝努利试验，则具有某 种特征的个体数X~B(n，P) 。
1)
2 1
/
2
(n
1)
所以σ2 的1-α置信区间为
(n 1)S2 (n 1)S2
(
,
)
2
/
2
(n
1)
2 1
/
2
(n
1)
总体标准差σ的1-α置信区间为
n1
n1
(
2
/
2
(nБайду номын сангаас
1)
S,
2 1
/
2
(n
1)
S)
4
例14 从某地随机抽取13人，测得血磷值为 1.67,1.98,2.33,2.34,2.5,3.6,3.73,4.14,4.1 7,4.57,4.82,5.78，若血磷值近似服从正态分 布,求总体方差σ2的0.9置信区间.