2014年李永乐线性代数练习题答案详解(图片形式)

线性代数课后习题答案全)习题详解第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x yyx y x +++. 解 （1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --1002310021214---34)1(142101+-⨯--=143102211014-- 321132c c c c ++141717001099-(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4)4444442222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边)()()222222222222a d d a c c a a d a c ad a c ------ =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na a a (再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=n n n nd c d c b a b a a 0000111111--展开按第一行0000)11111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=0432********0122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121n n n n a a a a a a a a +------10001001000100100010000114332展开（由下往上）按最后一列1(+n a nn n a a a a a a a ------00000000000000000000000224332 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x 解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=000100210151---= 112035122412111512-----=D 11503120270151------=313911230231115-2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 5101065100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列0000105165610050066100510656510650061+= 703114619=⨯+= 51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 11051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A TB .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗? 解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k.解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k.解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以 AB =(AB)T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122.(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1. 证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得|A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2,故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆.由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-. 16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|. 解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |1-A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16.17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以(A*)-1=|A|-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*.18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明:(1)若|A|=0, 则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n -1.证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到 |A||A*|=|A|n .若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立.因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解 由AB +E =A 2+B 得(A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=201030102E A B . 21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B .解 由A*BA =2BA -8E 得(A*-2E)BA =-8E ,B =-8(A*-2E)-1A -1=-8[A(A*-2E)]-1=-8(AA*-2A)-1=-8(|A|E -2A)-1=-8(-2E -2A)-1=4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-= =2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2.由ABA -1=BA -1+3E 得AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161.23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001, 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114. 25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解 41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 |||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A , 故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

线性代数课后练习参考答案（初稿）线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1. 用行列式定义计算下列各题（1）4245322635-=-?-?=-（2）12130111110101(1)(1)21011110++=-+-= （3）13120010020020030(1)3002(1)243000040040004++=-=?-=-（4）111213100002300234645(1)4562(1)3(1)4045681089891078910+++=-=?-+?-=2. 利用行列式的性质计算下列各题（1）2 1412141312150620123212325625062-==（2）2851285110513102531906196512511310805120512121117609712--------==---=----=----------（3）111111111ab ac ae b c e bdcd de adf b c e adfbce bfcfefbce----=-=----111024020adfbce adfbce -== （4）3300011()()010a b b ba b b b a b a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b ab a b a-==--=--------（5）x a a aa x a aa a x a a a ax =(1)(1)(1)(1)x n a a a ax n a xa a x n a a x a x n a a a x+-+-+-+- =[(1)]x n a +-1111a aa x a a a x a a ax=[(1)]xn a+-1001001001x ax a x a---[(1)]x n a =+-1()n x a --（6）2222222222222222222(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++（7）12311000011231110001223110200(1)!1232110020123111001n n n n n n n n n n n n n nn -+-+-==--+----+-(8)012111110001012111 11200213111112201231230 123241n n n n n n n n n n n n n --------==-----------------12(1)2(1)n n n --=--3. 证明下列各题（1）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a bb c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++111111*********22222222222223333333333333a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a ++=+++=+++ 1112223332a b c a b c a b c = （2）0()()()()00x y z x z y x y z y z x z x y x y z y z x zy x =-+++-+-+-（证明略）（3）11111111111111111110111111111110111111111110111xx x xxy y y y yy+---=++++---21000111111111001111110111001111110111000x x x x y xy x y y yy y y y-?-?- ?=++=++++ ?---??22222210011001100y xy x y x xy xy x y x y y y + ?=+-=-+= ?- ?-?（4）设012110001000100n n n a a x D a x a x----=-，则按最后一行展开，可得011132 10001101(1)00110n n n n n a a x x D a xa x x a x+-------=-+--211122122()n n n n n n n n a xD a x a xD a xa x D --------=+=++=++.332123223321123210n n n n n n n n n n na xa a x a x x D a xa a x a x a x a x -----------= =+++++=++++++4. 解法参考例 1.11.5. 问齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=??+-+=??++-=? 有非零解时，必须满足什么条件？解：齐次线性方程组有非零解，当且仅当1242310111λλλ---=-.又124111111231231012111112403(1)(3)λλλλλλλλλλλλ-----=--=--------+-(2)(3)0,λλλ=---=解得，0,λ=或2λ=，或3λ=.所以，当0,λ=或2λ=，或3λ=，齐次线性方程组有非零解.习题二 1. 1654127,2211210712A B A B -+=-=---2. 解：由A X B +=，得020133.221X B A -??=-=-- ? ?--?? 3. 解：213220583221720,0564292290T AB A A B -???? ? ?-=--=- ? ? ? ?- 4. 解：（1）()31,2,32132231101?? ?=?+?+?= ? （2）()22411,212336-???? ? ?-=- ? ? ? ?-????，（3）12110162134021311491231042217--?????? ??? ?= -（4） 1312140012678113413120510402??--???? ?= ? ? ?---????5. 解：（1）错误，令1101,,0111A B == ? ?则有AB BA ≠；（2）错误，令1101,,0111A B == ? ?则有222()2.A B A AB B +≠++(3) 错误，令1101,,0111A B == ? ?则可得22()().A B A B A B +-≠- (4) 错误，设00,10A ??=则有20A =，但0.A ≠（5）错误，设10,00A ??=则有2A A =，但.A I ≠6．解：2221010(),0101AB A B -== ? ?-7．证明：因为A 为对称矩阵，所以T A A =. 故(),T T T T T B AB B A B B AB ==因此，T B AB 是对称矩阵.8. 证明：因为(),(),T T T T T T A A A A AA AA == 所以,T T A A AA 是对称矩阵.9. 解：由32,A X B -=得43/211(3)15/2127/211/25/2X B A -?? ?=--=- ? ???. 10. 2cos 2sin 2,sin 2cos 2A θθθθ-??=cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-??=对n 作数学归纳法. 当2n =时,22222cos 2s in 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin A θθθθθθθθθθθθ-??--??==-??, 结论成立. 假设, 当n k =时, 结论成立, 即cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-??=. 下证1n k =+结论成也立. 由归纳假设可得,1k A+=cos sin cos sin sin cos sin cos k k k A A k k θθθθθθθθ--=cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---??=+-??cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+??=++??因此，由归纳法可得cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-??=. 11. （1）解：由初等行变换可得，111031113111031107221240012200122001043314500244000390001311118002150000000000A -------???????? ?----=→→→ ? ? ? ?------ ?-（2）解：由初等行变换可得，111111107125016016234000000 ? ? ?-→-→- ? ? ? ? ? ?-12. 解法见第38页例2.14.13. (1) 解：22222311111111111011111110111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ→→--- ? ? ? ? ? ?---?2221101100(1)(2)(1)(1)λλλλλλλλλλ?? ?→--- ? ?-+-+?，当2λ=-时，方程组无解，当1λ=时，方程组的增广矩阵为111100000000??因此方程组的解为12111010001k k --++ ? ? ? ? ? ???????， 12,k k 为任意常数，当1λ≠，且2λ≠-时，方程组有唯一解，221211(1)(1),,222x x x λλλλλλλ+++=-=-+=-+++（2）解：322111************213221λλλλλλλλλλλλ---??--→-- ? ? ? ?---?112111210111011101(2)(1)2(1)00(1)(3)1λλλλλλλλλλλλλλλ--???? ? ?→-+--→--- ? ? ? ?-------当1λ=时，方程组无解，方程组的增广矩阵为111100000000??因此方程组的解为12111010001k k --++ ? ? ? ? ? ???????， 12,k k 为任意常数，当3λ=时，方程组无解，当3λ≠且1λ≠时，方程组有唯一解，123411,,.33x x x λλλ-=-==-- 14. 解：通过初等变换，可得A 的标准型矩阵为，17100010101002800105100015?- ? ? ? ? ? ? ? ? ?-?15. 解析：通过初等行变换可将矩阵()A I 化为()()A I I B →，则1A B -= 例如（1）通过初等行变换，121012101052250101210121-→→ ? ? ?--，故 112522521--= ? ?-相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵，答案见教材第177页. 16. 解：原线性方程组可写成123123122103430x x x= ??? ? ??? ???????，因此，11231123132210234301x x x -??==- ? ? ? ? ? ? ? ?17.（1）由原矩阵方程可得121122111321182431511133X --??-??-?? ? ?== ? ? ?-- ??? ?-，（2）由原矩阵方程可得1111143120112011104X --???????? ?== ? ??? ?---??????（3）由原矩阵方程可得11010143100210100201001134001120010102X ----???????? ? ??? ?=-=- ? ??? ? ? ??? ?--????????18证明：因为21()()k k I A I A A A I A I +-++++=-=，所以12()()k I A I A A A --=++++19．解：由220A A I --=，得()2A I AI -=，3(2)4A IA I I -+=-，因此，1(),2A I A --=13(2)4A IA I --+=-20. 证明：由220A AB B ++=，且B 可逆得，22[()],()A A B B E B A A B E ---+=-+=，因此，,A A B +可逆，且1212(),().A A B B A B B ----=-++=- 21. 令11123,01121001B C ??== ? ??? ?，则111311044,0111100122B C --??-??- ? ?==--，因此1111130004411000002200001100001100001B B A A A ----??- ? ?-=== ?- ? ?- ?. 22. 证明：若,B C 可逆，则有11000B C I CB --= ? ?，所以A 可逆，且1110.0C A B---??= 反之，若A 可逆, 设其逆为X Y Z V ??，则， 000B X Y I o CZ V I= ??? ???????，因此，,BZ I CY I ==，因此,B C 可逆.23. 证明：用反证法. 假设A 是奇异矩阵，则由2A A =，得211A A AA --=，即A E =，这与已知条件矛盾，所以A 是非奇异矩阵.习题三 1. (3,8,7)T β=2. 解: 设11223344,x x x x βαααα=+++ 即12341111121111,1111111111x x x x ? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?=+++ ? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?-- 解得, 12345111 ,,,4444x x x x ===-=-, 因此12345111.4444βαααα=+--3. 解: 由3(),αβαβ-=+ 得117(1,,2,)222T αα=-=---. 4. 类似第2题的解法，可得1234243.βαααα=+-+ 5. (1) 解: 设1122330,x x x ααα++= 即1231111260133x x x++= ? ? ? ? ? ???????，上面方程组只有零解，所以123,,ααα线性无关. (2) 因为111111111141406120612117024000A ? ? ?=-→-→- ? ? ? ? ? ?-, 所以秩(A)=2, 故123,,ααα线性相关. 6. 用反证法容易证明结论成立. 7. 证明: (1) 设11220,m m x x x βββ+++= 则有11220,m m x x x ααα+++= 又因为12,,,m ααα线性无关, 所以120,m x x x ==== 因此12,,,,mβββ线性无关.(2) 若12,,,,m βββ线性相关, 则存在不全为零的数12,,,,m x x x 使得11220,m m x x x βββ+++= 因此11220,m m x x x ααα+++= 故而12,,,m ααα线性相关.8. 证明: ()?设112223331()()()0,k k k αααααα+++++= 整理得,131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=,因为123,,ααα线性无关, 所以131223000k k k k k k +=??+=??+=? 又因为1011100011≠, 所以上面方程组只有零解, 故122331,,αααααα+++线性无关.()? 设1122330,k k k ααα++= 整理得,123121232312331111()()()()()()0,222k k k k k k k k k αααααα+-++-++++-++= 又因为122331,,αααααα+++线性无关，所以123123123(000k k k k k k k k k +-=??-++=??-+=? 解得上面方程组只有零解，因此，123,,ααα线性无关. 证明： 9.（?）设1mi i i k αα==∑，和10.mi i i l α==∑ 则，111()mmmi i i i i i i i i i k l k l αααα====+=+∑∑∑，又α的表达式唯一，因此,i i i k l k += 即0,i l = 故，12,,,m ααα 线性无关.（?）设11m m i i i i i i k l ααα====∑∑，则1()0mi i i i k l α=-=∑，因为12,,,m ααα 线性无关，所以，,i i k l =故α的表达式唯一.10. 证明：因为12,,,m ααα 线性相关，则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得，10.mi ii k α==∑若有某个0i k =，不妨设10k =，则有20,mi ii k α==∑ 又任一1m -向量都线性无关，因此230m k k k ====，这与12,,,m k k k 不全为零矛盾，因此12,,,m k k k 全不为零，命题得证. 11. 答案见教材178页. 12. 解: (1) 因为13213213221307107132076005A c c c ? ? ?=-→--→-- ? ? ? ? ? ?--+-+所以，当50,c -+≠ 即5c ≠时，123,,ααα线性无关.(2 ) 当5c =时，123,,ααα线性相关，且312111.77ααα=+ 13. 解：（1）因为2344112311231123112323440501005010326132610501000001021102101020000A --------=→→→ ? ? ? ?------因此，向量组1234,,,αααα的秩为2，12,αα是一个极大线性无关组，且314122,2.ααααα==-+用类似的方法可求（2），（3），答案见教材.14. (1) 因为120131(,)1224αα?? ?-= ? ???，有一个二阶子式01331=--，所以秩（12,αα）=2，即12,αα线性无关.（2）容易计算124,,ααα线性无关. 15. 答案见教材.16. (1)任取()()12121,,,,,,,,,n n x x x y y y V k R ∈∈则有11220n n x y x y x y ++++++=，120n kx kx kx +++=所以()()()121211221,,,,,,,,,n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∈，12121(,,,)(,,,)n n k x x x kx kx kx V =∈，因此，1V 是线性空间.(2) 任取()()12122,,,,,,,n n x x x y y y V ∈,则有11222n n x y x y x y ++++++=，因此， ()()()121211222,,,,,,,,,.n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++? 因此，2V 不是线性空间. 17. 证明：因为01101111101101211110011==-=--，所以123,,ααα线性无关，即秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα生成的子空间就是R .18. 因为 12311160,032-=-≠ 所以，秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα是R 的一组基.令1112233k k k βααα=++，即123(5,0,7)(1,1,0)(2,1,3)(3,1,2).k k k =-++ 因此123123232350327k k k k k k k k ++=??-++=??+=?，解得，1232,3,1,k k k ===- 所以112323βααα=+-.19. 方法见例3.17. 20. 见教材答案21. 证明：因为A 是正交阵，所以21,1T A A A -==.又*,A A A E = 即*1A A A -=.因此，2**()T A A A E E ==，故*A 是正交阵. 习题四 1. 解（1）1251251251320170171490214000378017000?????? ? ?--- ? ? ?→→-- ? ?-, 所以，原方程组与下面方程组同解，1232325070x x x x x ++=??-=?选取3x 作为自由未知量，解得基础解系为1971-?? ? ? ???，因此，方程组的解为1971k -?? ? ? ???（2）313411311131159815980467113131340000--------→--→-- ? ? ? ? ? ?----，选取选取34,x x 作为自由未知量，解得基础解系为3/23/43/27/4,1001-故方程组的同解为123/23/43/27/41001k k -+ ? ? ? ?????（3）见教材答案（4）见教材答案2. （1）对增广矩阵做行初等变换得1121011210(,)211210*********/200031/2A b --???? ? ?=--→ ? ? ? ?----解得特解为5/6101/6??-??，对应的齐次线性方程组的基础解系为3510-?? ?- ? ? ???，因此方程组的同解为5/6101/6?? ? ? ? ?-??+3510k -?? ?- ? ? ???（2）答案见教材 3. （略）4. 证明：令i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，即(0,0,,1,0,,0)Ti ie =, 则有0,1,2,,i Ae i n ==，因此12(,,,)0,n A e e e AI == 故0A =。

20142学期《线性代数》考试A 卷答案及评分标准一、选择题(每题2分，共计20分)1-5 D C C A C 6-10 C A A A C二、填空题(每题2分，共计20分)1、-122、1或33、10123321015432176543---⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎪⎝⎭4、1815、28a6、11121321111222231331323322()2a a a a a a a a a aa a -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭7、R （A ）=R （A ，b ）或线性方程组系数矩阵的秩与线性方程组增广矩阵的秩相等。

8、21,αα3,α 9、无 10、16三、证明题(每题10分，共计20分)1、证明：线性方程组的系数矩阵为A=1100011000111001-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭； （1分） 线性方程组的增广矩阵为12341100011000111001a a A a a -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭； （1分） 又线性方程组有解的充分必要条件为R （A ）=R （A ）， （2分）12341100011000111001a a a a -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭~12314110001100011011a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+⎝⎭~123214110001100011011a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-++⎝⎭~12332141100011000110a a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪+++⎝⎭（4分）∴3214a a a a +++=0 （2分） 证毕。

2、证明：假设存在一组数12,r k k k ，使得02211=+++r r k k k βββ 成立， （2分）即++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00010011011121 r k k k ，因为01100110111≠= ,(6分） 故方程组只有零解，即当且仅当021====r k k k ，故r βββ,,,21 线性无关. （2分）四、计算题（共计40分）1、解：将第2，3…n 列都加到第一列得：(3分)()()()()1111a n bb b b a n b a bb a n b b a b a n b bba+-+-+-+-D =[]11(1)1b b b a b b a n b b a b =+-(4分)(1分)2、解：由 B AX X +=2，得 B X A E =-)2(. 因为032110111|2|≠=--=-A E ，所以矩阵A E -2可逆， (2分) B A E A E B A E X |2|*)2()2(1--=-=- 求出1(2)E A --得(4分)或者(2)E A E -=110100101010102001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭~1((2))E E A --=10002/31/301012/31/300101/31/3⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭,即1(2)E A --=02/31/312/31/301/31/3⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ X = 02112211321303330110311--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2分) 3、解：非齐次线性方程组的增广矩阵为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==b a A B 1223131121β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---225050501121~b a []10011101201j c bc a b a (n )b a b j ,,nab--======+--=-[]1(1)().n a n b a b -=+--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---320010101121~b a (2分) 所以（1）当3,2-≠-=b a 时，()()B R A R ≠，非齐次线性方程组无解； (2分)（2）当2-≠a 时，()()3==B R A R ，非齐次线性方程组有唯一解； (2分)（3）当3,2-=-=b a 时，()()3<=B R A R ，非齐次线性方程组有无穷多解，(2分)当3,2-=-=b a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000010101101~000010101121~B =R (4分) 矩阵R 对应的线性方程组为1321,1.x x x -=⎧⎪=-⎨⎪⎩把3x 看成自由未知数，取3x =k,k 为任意实数得1231,1.x k x x k=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，其通解为123111*********x k k x x k x k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中k 为任意实数.） 4、解 (1) A 的特征多项式为|A -λE|=λλλ---111011002=(1-λ)2(2-λ)所以A 的特征值为λ1=2, λ2=λ3=1. (4分)当λ1=2时,解线性方程组(A-2E)x =0.由A-2E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111011000∽⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00021102101得基础解系x 1=(1/2，1/2，1)T所以对应于λ1=2的所有特征向量为k 1 x 1 （k 1≠0）当λ2=λ 3 =1时,解线性方程组(A-E)x =0.由 (4分)A- E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011001001∽⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001得基础解系x 2=(0，0，1)T所以对应于λ2=λ 3 =1的所有特征向量为k 2 x 2 （k 2≠0） (4分)。

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2014年] 行列式A．(ad—bc)2B．一(ad—bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：解一令则此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式由命题2．1．1．1(1)，即得|A|=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad一bc)2．仅(B)入选．解二将|A|按第1行展开，然后可利用命题2．1．1．1(2)，即式(2．1．1．5)直接写出结果：解三仅(B)入选．解四仅(B)入选．(注：命题2．1．1．1 设非零元素仅在主、次对角线上的2n阶、2n一1阶行列式分别为D2n，D2n-1，则命题2．1．2．3 设A，B分别是m阶与n阶矩阵，则) 知识模块：线性代数2．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=O，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E—A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：解一由A3=O得E=E-A3=(E－A)(E+A+A3)，E=E+A3=(E+A)(E －A+A3)．由命题2．2．1．2知，E－A，E+A均可逆．仅(C)入选．解二因A3=0，即A为幂零矩阵，其n个特征值全部都等于零，则A的矩阵多项式f1(A)=E－A的n个特征值为f1(λ)｜λ=0=(1-λ)｜λ=0=1．因而|E－A|=1≠0，故E一A可逆．A的另一个矩阵多项式f2(A)=E+A的n个特征值为f2(λ)｜λ=0=(1+λ)｜λ=0=1．故|E+A|=1，所以E+A可逆．知识模块：线性代数3．[2017年] 设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )．A．E—ααT不可逆B．E+ααT不可逆C．E+2ααT不可逆D．E一2ααT不可逆正确答案：A解析：令A=ααT，则A2=A．又令AX=λX，由(A2－A)X=(λ2－λ)X=0得λ2－λ=0，即λ=0或λ=1．因为tr(A)=αTα=1=λ1+…+λn故得A的特征值为λ1=…=λn-1=0，λn=1．而E－ααT的特征值为λ1=…=λn－1=1，λn=0，从而|E－ααT|=0，E－ααT不可逆．仅(A)入选．知识模块：线性代数4．[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．A．B．3C．1／3D．正确答案：A解析：解一显然矩阵A满足命题2．2．2．1中的三个条件，因而由该命题得|A|=1．将|A|按第1行展开得到1=|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112，故仅(A)入选．解二由A*=AT，即其中Aij为|A|中元素aij的代数余子式，得aij=Aij(i，j=1，2，3)．将|A|按第1行展开，得到|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+122+a132=3a112＞0．又由A*=AT得到|A*|=|A|3-1=|AT|=|A|，即|A|(|A|=1)=0，而|A|>0，故|A|－1=0，即|A|=1，则3a112=1．因a11＞0，故仅(A)入选．注：命题2．2．2．1 设A为n(n≥3)阶实矩阵，其元素分别与其代数余子式相等(aij=Aij(i，j=1，2，…，n)，即AT－A*或A=(A*)T)且其中一元素不等于0，则其行列式|A|等于1．知识模块：线性代数5．[2009年] 设A，B均为二阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：解一令则|C|=(－1)2×2|A||B|=2×3=6，即分块矩阵可逆，则由C*=|C|C-1得到解二因对任一四阶矩阵C，有C*C=CC*=|C|4，其中C*为C的伴随矩阵．下面用直接验证法进行选择．对于选项(A)，有其中E2，E4分别为二阶、四阶单位矩阵．对于选项(B)，有满足伴随矩阵的性质．对选项(C)、(D)，分别有由此可知，仅(B)入选．知识模块：线性代数6．[2004年] 设n阶矩阵A与B等价，则必有( )．A．当|A|=a(a≠0)时，|B|=aB．当|A|=a(a≠0)时，|B|=－aC．当|A|≠0时，|B|=0D．当|A|=0时，|B|=0正确答案：D解析：解一因A与B等价，由命题2．2．5．4(1)知，仅(D)入选．（注：命题2．2．5．4 (1)矩阵等价的必要条件是矩阵的行列式同时为零或同时不为零．）解二因A与B等价，其秩必相等．当|A|=0时，秩(A)&lt;n，故秩(B)＜n，于是|B|=0．所以选项(D)正确．因秩(A)=秩(B)，不一定有|A|=|B|或|A|=－|B|，故(A)、(B)不成立．至于(C)，显然有秩(A)&gt;秩(B)，故(C)不成立．仅(D)入选．解三因A与B等价，由矩阵等价的必要条件知，存在可逆矩阵P与Q，使得A=PBQ．两边取行列式得|A|=|P||B||Q|，而|P|≠0，|Q|≠0，因而|A|与|B|同时为零或同时不为零．故当|A|=0时，必有|B|=0．仅(D)入选．知识模块：线性代数7．[2013年] 设矩阵A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则( )．A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B解析：解一对矩阵A，C分别按列分块，记A=[α1，α2，…，αn]，C=[γ1，γ2，…，γn]，又令B=(bγij)γn×n，则由AB=C得到可见，C的列向量组可由A的列向量组线性表出．因B可逆，由A=CB-1类似可证，A的列向量组也可由C的列向量组线性表出．由两向量组等价的定义知，仅(B)入选．解二因可逆矩阵可表示成若干个初等矩阵的乘积，而每个初等矩阵表示一次初等变换，可逆矩阵B左乘矩阵A，于是A经过有限次初等列变换化为C，而初等列变换能保持变换前的矩阵与变换后所得矩阵的列向量组的等价关系(见命题2．3．1．3)，因而仅(B)入选．注：命题2．3．1．3 如果矩阵A 经有限次初等行(列)变换化成矩阵B(即A≌B)，则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价．知识模块：线性代数8．[2003年] 设α1，α2，…，α3均为n维向量，下列结论中不正确的是( )．A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关B．若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，有k1α1+k2α2+…+ksαs=0C．α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为sD．α1，α2，…，α3线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关正确答案：B解析：解一(A)正确．事实上，若α1，α2，…，α3线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0．这定义的逆否命题就是选项(A)中的命题．可见(A)成立．若α1，α2，…，αs线性相关，由其定义知，存在一组而不是任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks使得k1α1+k2αs+…+ksαs=0．(B)不成立．由“向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是秩([α1，α2，…，αs])=s”知，(C)也成立．因α1，α2，…，αn线性无关的必要条件是其任一部分向量组线性无关．当然其中任意两个向量也线性无关，(D)也成立．仅(B)入选．解二可举反例证明(B)不正确：向量组α1=[1，0]T，α2=[4，0]T线性相关，但对于一组不全为零的常数k1=1，k2=0，却有k1α1+k2α2=α1=[1，0]T≠0．知识模块：线性代数9．[2006年] 设α1，α2，…，αs都是n维列向量，A是m×n矩阵，则( )成立．A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关正确答案：A解析：解一由定义知，若α1，α2，…，αs线性相关，则存在不全为零的数c1，c2，…，cs，使得c1α1+c2α2+…+csαs=0．用A左乘等式两边，得c1A α1+c2Aα2+…+csAαs=0，于是Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．仅(A)入选．解二若α1，α2，…，αs线性相关，则秩([α1，α2，…，αs])其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )．A．α1，α2，α3B．α1，α2，α4C．α1，α3，α4D．α2，α3，α4正确答案：C解析：因故α1，α3，α4线性相关．仅(C)入选．知识模块：线性代数11．[2007年] 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．A．α1一α2，α2一α3，α3一α1B．α1+α2，α2+α3，α3+α1C．α1—2α2，α2—2α3，α3—2α1D．α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1正确答案：A解析：解一用观察易知，选项(A)中向量有关系(α1－α2)+(α2－α3)+(α3－α1)=0，故(A)中向量线性相关．解二由命题2．3．2．3判别之．s=3为奇数，k=3也为奇数，故(A)中向量线性相关．(注：命题2．3．2．3 已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，设β1=α1±α2，β2=α2±α3，…，βs-1=αs-1±αs，βs=αs±α1，其中s为向量组中的向量个数．又设上式中带负号的向量个数为k，则(1)当s与k的奇偶性相同时，向量组β1，β2，…，βs线性相关；(2)当s与k的奇偶性不同时，向量组β1，β2，…，βs线性无关．) 解三用线性相关的定义判定．为此令x1(α1－α2)+x2(α2－α3)+x3(α3－α1)=0，即(x1－x3)α1+(－x1+x2)α2+(－x2+x3)α3=0．因α1，α2，α3线性无关，故因其系数矩阵行列式等于零，故上述方程组有非零解，即α1－α2，α2－α3，α3－α1线性相关．知识模块：线性代数12．[2014年] 设α1，α2，α3是三维向量，则对任意常数k，l，向量α1+kα3，α2+α3线性无关是向量α1，α2，α3线性无关的( )．A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件正确答案：A解析：记β1=α1+kα3，β2=α2+lα3，则若α1，α2，α3线性无关，则[α1，α2，α3]为可逆矩阵，故秩即β1=α1+kα3，β2=α2+lα3线性无关．反之，设α1，α2线性无关，α3=0，则对任意常数k，l必有α1+kα3，α2+lα3线性无关，但α1，α2，α3线性相关，故α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的必要但非充分条件．仅(A)入选．知识模块：线性代数填空题13．[2016年] 行列式正确答案：λ4+λ3+2λ2+3λ+4解析：知识模块：线性代数14．[2010年] 设A，B为三阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=________．正确答案：3解析：|A+B-1|=|AE+EB-1|=|ABB-1+AA-1B-1|=|A(B+A-1)B-1|=|A||B+A-1||B-1|=|A||A-1+B ||B|-1=3×2×(1／2)=3．解二|A+B-1|=|EA+B-1E|=|B-1BA+B-1A-1A|=|B-1||B+A-1||A|=|B|-1|B+A-1||A|=(1／2)×2×3=3．知识模块：线性代数15．[2006年] 设矩阵E为二阶单位矩阵，矩阵A满足BA=B+2E，则|B|=____________．正确答案：2解析：解一由BA=B+2E得到B(A-E)=2E，两边取行列式利用命题2．1．2．1(2)和(5)得到|B||A—|=|2E|=22|E|=4．而故|B|=2．解二解一中没有求出矩阵B．但若要求出也不难．由B(A—E)=2E知B==2(A-E)-1而故从而|B|=2．(注：命题2．1．2．1 设A=[aij]n×n，B=[bij]n×n，E为n阶单位矩阵，k为常数．(2)|AB|=|A||B|，|AB|=|BA|，但AB≠BA；(5)|kA|=kn|A|，但[kaij]n ×n=k[aij]n×n=kA；) 知识模块：线性代数16．[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则|4A-1一E|=_________.正确答案：3解析：解一因A的特征值为1，2，2，故A-1的特征值为1，1／2，1／2．因而4A-1一E的特征值为λ1=4×1—1=3，λ2=4×(1／2)一1=1，λ3=4×(1／2)一1=1，故|4A-1一E|=λ1λ2λ3=3×1×1=3．解二所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如果A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP—diag(1，2，2)①=Λ，即A=PΛP-1．于是A-1=PΛ-1P-1，4A-1一E=4．PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1-E)P-1，两端取行列式得到|4A-1一E|=|P||4Λ-1一E||P-1|=|4Λ-1一E|=|4diag(1，1／2，l ／2)一E|=|diag(3，1，1)|=3．知识模块：线性代数17．[2003年] 设n维向量α=[a，0，…，0，a]T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A=E－ααT，B=E+(1／a)ααT，其中A的逆矩阵为B，则a=____________．正确答案：－1解析：解一由题设有A－1=B，故AB=E，注意到αTα=2a2(是一个数)，有E=AB－(E－ααT)[E+(1／a)ααT]=E+(1／a)ααT－ααT－(1／a)α(αTα)αT =E+[1／a－1－(1／a)·2a2]ααT=E+(1／a－1－2a)ααT，故(1／a－1－2a)ααT=O．因ααT≠O，所以1／a－1－2a=0，即(2a－1)(a+1)=0．因而a=1／2或a=－1．因a＜0，故a=－1．解二因(E－A)2=(ααT)2=ααTααT=(αTα)ααT=2a2ααT=2a2(E－A)，即A2－2A+2a2A=2a2E－E，亦即A[A－(2－2a2)E]=(2a2－1)E，故A可逆，且由题设有故整理得到而ααT≠O，故(a+1)(2a－1)=0，又因a＜0，故a=-1．知识模块：线性代数18．[2012年] 设A为三阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A 的第1行与第2行得矩阵B，则|BA*|=__________．正确答案：－27解析：由题设有B=E12A，两边右乘A*，得到BA*=E12AA*=|A|E12E=|A|E12，则|BA*|=||A|E12|=|A|3|E12|=33×(-1)=－27．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第一章答案与提示第一、二节．一．1. （1）0 （2）5 （3）2)1(-n n （4）2)1(-n n （5）)1(-n n 3. 1123344214233142,a a a a a a a a - 4. 正号（6(1)-，注意将行标调为标准排列） 5. 1)1(--n 6. 2，1 （将行标调为标准排列，列标排列的逆序数应为奇数）7. 2- （只有主对角线上的元素相乘为3x ）8.2)1(-n n 9. 0 （一元n 次方程n 个根之和为1n -次项的系数变号，本题中2x 的系数为0，也即0a b c ++=，利用行列式的性质可得结果为0） 10.t n n --2)1( 或 2n C t - 二．1. 6457D -=，1104297D -= ，2610529D =，12123,2D Dx x D D ====2. 0,021==x x （仿照1的做法） 三．1. 0（直接利用定义，也可用性质计算）2.1234110123410101010111123412341234110341234123412412341234123r r r r r +++÷2131324341422343111111111111012101210121101010160012100400040032100440004r r r r r r r r r r r r ---+-+---=--------- 3. 按定义只有一项不为0，乘积abcd 的列标排列为1324，逆序数为奇数，故为 abcd - 4. 乘积!n 的列标排列为231n ，其逆序数为1n -，故结果为1(1)!n n --5. 乘积!n 的列标排列为(1)(n 2)21n n -- ，其逆序数为(2)(1)2n n --，故结果为(2)(1)2(1)!n n n --- 6. (1)212(n 1)1(1)n n n n a a a ---四． 错。

线性代数课后题详解第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1）381141102---； （2）b a c a c b cb a（3）222111c b a c b a ； （4）yxy x x y x y y x y x +++.解 注意看过程解答（1）=---38114112811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4-（2）=ba ca cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=（4）yxyx x y x y y x y x+++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n)2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个 5 2，54 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-260523********12； （3）⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bfde cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001 解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯--- =143102211014--321132c c c c ++141717201099-=0(2)265232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)efcfbfde cd bd ae ac ab---=ecbe c b e c badf ---=111111111---adfbce=abcdef 4(4)dc b a 100110011001---21ar r +d cb a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dca ab 101101--+23dc c +010111-+-+cd c ad a ab=23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明:(1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -;(2)bzay by ax bxaz by ax bxaz bz ay bx az bz ay byax +++++++++=yxz x z yz y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅; (5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +----- n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边ab a b ab a ab 22)1(22213-----=+ 21))((ab a a b a b +--=右边=-=3)(b a (2)bzay by ax z by ax bx az y bxaz bz ay x a ++++++分开按第一列左边bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++++++++002y by ax zx bxaz y z bz ay x a 分别再分bzay yx byax x zbxaz z y b +++zyxy x zx z y b yxzx z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yxzx z yzy x b yxzx z yz y x a (3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d dd c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423dd c cb b a ac c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+d dd c c cb b b a a a(4) 444444422222220001a d a c a b a a d a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b ad ac ab a d ac a b++++++---=⨯---))()((a d a c a b)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得nnnn a a a a D 11111=， 11112n nnn a a a a D = ，11113a a a a D n nnn=，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴=--=--nnn n nn n n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nn n nn n a a a a111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnnn n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaa x a a a xD n=;(3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn nn ------=---+;提示：利用范德蒙德行列式的结果．(4)nnnnn d c d c b a b a D00011112=;(5)ji a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1)aa a a a D n 00010000000000001000=按最后一行展开)1()1(100000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得a x x a a x xa a x x a a a a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax a x a x a a a an x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=-(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-∙-∙-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4)nnnnn d c d c b a b a D 011112=n n n n n nd d c d c b a b a a 00000011111111----展开按第一行0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i i i nD c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)ji a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n,3221r r r r --0432111111111111111111111--------------n n n n ,,141312c c c c c c +++1524232102221002210002100001---------------n n n n n=212)1()1(----n n n(6)nn a a a D +++=11111111121,,433221c c c c c c ---nnn n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000022433221nn n a a a a a a a a ----+--000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑+==n i in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D812073503211111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---=112105132412211151------=D 11210513290501115----= 1121023313090509151------=23313095112109151------=12023461000112109151-----=14238100112109151----=142-=11235122412111512-----=D 81150731203271151-------=31390011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DD x DD x D D x DD x(2)510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',)5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=5101065100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065*********-365510651065⨯-=1145108065-=--=5110065000060100051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061*********+6100510656510650061+=703114619=⨯+=5100060100005100651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651-- 51065106565--=395-=110005100065100651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ得10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？ 解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-= 3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1．已知线性变换：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=,323,53,22321332123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换．解由已知：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=321423736947y y y ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947xx x y x x x y x x x y2．已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=,54,232,232133212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．解 由已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=321161109412316z z z所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ,150421321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B 求.23B A A AB T及-解A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508504．计算下列乘积：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛;(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412;(5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ; (6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635 (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142 (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876 (5)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321x x x a a a a a a a a a x x x ()333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++= (6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3000320012101313000120010100121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=90003400421025215．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，问：(1)BA AB =吗?(2)2222)(B AB A B A ++=+吗?(3)22))((B A B A B A -=-+吗?解(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴ (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2914148 但=++222B AB A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎪⎭⎫⎝⎛=27151610 故2222)(B AB A B A ++≠+(3) =-+))((B A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10205222⎪⎪⎭⎫⎝⎛9060而 =-22B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎪⎭⎫⎝⎛7182 故22))((B A B A B A -≠-+6．举反列说明下列命题是错误的:（１）若02=A ,则0=A ; （２）若A A =2,则0=A 或E A =;（３）若AY AX =,且0≠A ,则Y X =.解 (1) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 02=A ,但0≠A(2) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A A A =2,但0≠A 且E A ≠(3) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011YAY AX =且0≠A 但Y X ≠7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA ,求kA A A ,,,32 . 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A 利用数学归纳法证明: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101λk A k当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A kk 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101λk A k8．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求k A . 解 首先观察⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A由此推测 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明: 当2=k时,显然成立.假设k 时成立，则1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---kk kk k k kk k k k A λλλλλλ0002)1(1219．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵.证明 已知：A A T=则AB B B A B A B B AB B T T T T TT TT ===)()(从而 AB B T也是对称矩阵.10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =.证明 由已知：A A T = B B T=充分性：BA AB =⇒A B AB TT =⇒)(AB AB T = 即AB 是对称矩阵.必要性：AB AB T =)(⇒AB A B TT =⇒AB BA =.11．求下列矩阵的逆矩阵：(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001; (5)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n解(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A 1=A1),1(2),1(2,522122111=-⨯=-⨯==A A A A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A *-=A A A 11故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-12251A(2)01≠=A 故1-A 存在θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A (3) 2=A , 故1-A 存在024312111==-=A A A 而 1613322212-==-=A A A 21432332313-==-=A A A 故 *-=A A A 11⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4121031200210001A24=A 0434232413121======A A A A A A 68122444332211====A A A A12411032001)1(312-=-=A 12421012021)1(413-=-=A3121312021)1(514=-=A 4421012001)1(523-=-=A5121312001)1(624-=-=A 2121021001)1(734-=-=A*-=A A A 11故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-4112124581031612100212100011A(5)01≠=A 故1-A 存在而002141312111==-==A A A A005242322212===-=A A A A320043332313-====A A A A 850044342414=-===A A A A从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-85003200005200211A (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a A 0021 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 1001121112．解下列矩阵方程：(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X ;(3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解 (1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=80232 (2)1111012112234311-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)11110210132141--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111(4)11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101213．利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x解 (1)方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x (2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x 14．设O A k =(k 为正整数),证明121)(--++++=-k A A A E A E .证明 一方面， )()(1A E A E E --=-另一方面，由O A k =有)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-故 )()(1A E A E ---))((12A E A A A E k -++++=-两端同时右乘1)(--A E就有121)(--++++=-k A A A E A E15．设方阵A 满足O E A A =--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及 1)2(-+E A .证明 由O E A A =--22得E A A 22=-两端同时取行列式: 22=-A A即 2=-E A A ,故 0≠A所以A 可逆,而22A E A =+0222≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.由O E A A =--22E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(211E A A -=⇒-又由O E A A =--22E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒ E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A)3(41)2(1A E E A -=+∴-16．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ,B A AB 2+=,求B . 解 由B A AB 2+=可得A B E A =-)2(故A E A B 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3210113301210113321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133017．设Λ=-AP P 1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001,求11A .解 Λ=-AP P 1故1-Λ=P P A 所以11111-Λ=P P A3=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=*1141P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120012001故⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273118．设m 次多项式m m x a x a x a a x f ++++= 2210)(,记m m A a A a A a E a A f ++++= 2210)()(A f 称为方阵A 的m 次多项式.(1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ2100λλ,证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λk k k2100λλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ)(00)()(21λλf f f ; (2)设1-Λ=P P A ,证明: 1-Λ=P P A k k ,1)()(-Λ=P Pf A f .证明(1) i)利用数学归纳法.当2=k时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ212120000λλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222100λλ命题成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛ=Λ+212110000λλλλk kkk ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++121100k k λλ 故命题成立. ii)左边m m a a a E a f Λ++Λ+Λ+=Λ= 2210)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m m m a a a 21211000001001λλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=m m m m a a a a a a a a 2222210121211000λλλλλλ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)(00)(21λλf f =右边 (2) i) 利用数学归纳法.当2=k 时12112---Λ=ΛΛ=P P P P P P A 成立假设k 时成立,则1+k 时11111-+--+Λ=ΛΛ=⋅=P P P P P P A A A k k k k 成立,故命题成立,即 1-Λ=P P A k kii) 证明 右边1)(-Λ=P Pf12210)(-Λ++Λ+Λ+=P a a a E a P m m11221110----Λ++Λ+Λ+=P P a P P a P P a PEP a m m m m A a A a A a E a ++++= 2210)(A f ==左边19．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若0=A ,则0=*A ;(2) 1-*=n AA .证明(1) 用反证法证明．假设0≠*A 则有E A A =-**1)(由此得O A E A A AA A ===-*-**11)()(O A =∴*这与0≠*A 矛盾，故当0=A 时有0=*A(2) 由于*-=A AA 11, 则E A AA =* 取行列式得到: nAA A =* 若0≠A 则1-*=n A A若0=A 由(1)知0=*A 此时命题也成立故有1-*=n AA20．取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A ,验证DCB A DC B A ≠检验: =D C BA =--101001011010010111001010020002--410012002== 而01111==D C B A 故 DCB A DC B A ≠21．设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ,求8A 及4A解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故8218⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A1682818281810===A A A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A OO A A22．设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ．解 将1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O 分块为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C其中 1C 为n s ⨯矩阵, 2C 为s s ⨯矩阵3C 为n n ⨯矩阵, 4C 为s n ⨯矩阵则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯O B A O s s n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ==E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛s n E O O E 由此得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒==⇒==⇒==⇒=----122111144133)()(B C E BC B O C O BC A O C O AC A C E AC s n 存在存在故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---O A B O O B A O 111．第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----221002210022*******12423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000000000221003211(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132242321232~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201 32~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012．在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的1-r 阶子式?有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000010000100001α 3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样?解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得 到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ， 故而)()(B R A R ≥.4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(- 解 设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100000100000011001015．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-．(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0230102420536307121131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．6．求解下列齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x(3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010*********~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000001720171910171317301~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x7．求解下列非齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60003411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201~即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000100011112~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----00007579751025341253414312311112~ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000007579751076717101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x8．λ取何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1)0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2))()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ 得2-=λ时,方程组无解.(3)3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ,得1=λ时,方程组有无穷多个解.9．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB 方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------154224521222λλλλ 初等行变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------2)4)(1(2)10)(1(00111012251λλλλλλλλ当0≠A ,即02)10()1(2≠--λλ 1≠∴λ且10≠λ时，有唯一解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(≠--λλ，即10=λ时，无解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(=--λλ，即1=λ时，有无穷多解.此时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000001221 原方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1210232112201023. 解（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123~。

线性代数课后习题答案全）习题详解前言因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。

第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x yyx y x +++. 解（1）=---381141102811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）7110025*********4；（2）-265232112131412；（3）---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-?---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1 11111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22) 1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(+++++++++++++++ +=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边964412964412964412964412241312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+dd d c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)11))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =?---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n nn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 000100000000 00001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-?-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--?-+n n n a a a(再按第一行展开)n n n nn a a a+-?-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?-?-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即∏=-=ni i i iin D c b d22)(而 111111112c b d a d c b a D -==得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0 432111111111111111111111 --------------n n n n ,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n (6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------100 00100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------000 00000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x上一页下一页。

A 组1.判别Q (厉)二｛0 +勿亦|0,处0｝是否为数域？解是.2.设/(x) = x3 4-x2 4-x+l, g(兀)=兀2+3兀+ 2,求 /(兀)+ g(x)，/(x)-g(x), f(x)g(x). 解/(x) + g (x) = x3 4- 2x2 + 4x + 3 ,/(兀)-g(x)"-2x-l,f(x)g(x) = x5 +4x4 +6兀'+6兀$ +5x + 2 .3.设/(%) = (5x-4),993(4x2 -2x-l),994 (8x3 -1 lx+2)'995,求 /(%)的展开式中各项系数的和.解由于/(兀)的各项系数的和等于/⑴，所以/(I) = (5-4严3(4-2- 1尸94(8-11 + 2)1995 =-1.4.求g(兀)除以/(兀)的商q(x)与余式心).(1)f (x) —— 3%2— x — 1, g(兀)=3F - 2兀+1 ；(2)/(x) = x4 -2x4-5, g(x) = x2 -x + 2 .解（1）用多项式除法得到x 73x~ — 2x +13_93X + 3—x —x-i3 37 ° 14 7-- 无_+ —x --3 9 926 2-- X ---9 9所以'恥）十岭心）W（2）用多项式除法得到x4— 2x + 5兀4 —”丫" + 2 兀2— 2x~ — 2 兀+5 jy?—兀~ + 2 兀-x2-4x4-5-兀? + X - 2—5x + 7所以，q(x) = x2 +x-l, r(x) = -5x + 7 .5.设是两个不相等的常数，证明多项式/(兀)除以(x-a)(x-b)所得余式为af(b)_bg)a-b a-h证明依题意可设/(x) = (x - a)(x - b)q(x) + cx+d,则”(a) = ca + d,[f(b) = cb + d.解得F=(/a) --,\d = (af(b)-bf(a))/(a-b).故所得余式为a-b a-b6.问m,p,q适合什么条件时，/(兀)能被g(x)整除？(1) /(x) = x3 + px + q , g(x) = x2 + nvc-1；(2) f(x) = x4 + px2 +q , g(兀)=x2 + mx+l.解(1)由整除的定义知，要求余式r(x) = 0 .所以先做多项式除法,3x2 + mx -1x-in“+ “X + q3 2x + mx^ - x-mx1 +(〃 + l)x + g2 2一 mx_ — m^x + m°(# +1 + 加〜)兀 + (g —m)要求厂(x) = (/? + l +加2)兀+ (§ —加)=0 ,所以(“ + 1 +加2) = 0, q-m = 0.即p = -l-m2, q - m时, 可以整除.（2）方法同上.先做多项式除法，所得余式为厂（兀）=加（2 — ”一nr ）兀+ （1 + @ —卩一加〜），所以 m （2-p-/772） = 0, 1 + ^ - p - m 2= 0 ,即 m = 0, p = q + \ 或“二 2— 加［q = l 时，可以整除.7. 求/（兀）与gCr ）的最大公因式:(1) f (x) — x 4 + — 3%2 — 4x — 1, g (x)=兀彳 + — x — 1 ； (2) f(x) = x 4— 4x 3+ 1, g(x) = x 3— 3x 2+1 ；(3) /(x) = x 4 -10x 2 +1, g(x) = x 4 -4A /2X 3 +6X 2 +4A /2X +1 .解（1）用辗转相除法得到用等式写出來，就是所以(/(x),g(x)) = x + l ・（2）同样地,<8 4 / 3 3= -X + — — -X-—(3 344-2x 2-3x-l1 1 --- X 4——2 -- 4 X 3+ X 2- X - 1 x 4 + x 3- 3x 2- 4x- 11 2 3 , -2x 2 — 3兀—12 21 2 3 1 -- X ----- X ---—2兀~ — 2兀2 4 433-- X ----X -144一丄 184—X H - 3 3 0心宀丄兀2 24 3 2牙+牙-X - Xf(x) = xg(x)^(-2x 2-3x-l),g(x) =所以(/⑴,g (兀)) = 1.⑶ 同样用辗转相除法，可得(/(x),g(x)) = F —2血兀一1.8.求 w(x),仄兀)使 w(x) f\x) + v(x)g(ji) = (/(x), g(%))：(1) f (x) = %4 4- 2x^ — %2 — 4x — 2, (x) = %4 + x — x~ — 2x — 2 : (2) /(x) = 4x 4-2x 3-16x 2+5x4-9, g(x) = 2兀3-x 2-5x+4:(3) /(x) = x A-x 3-4x 2 +4x + l, g (兀)=x 2 -x-l.解(1)利用辗转相除法，可以得到/(x) = g (A ：) + (x 3-2x)'g (兀)=(x+l)(x 3 - 2x) + (x 2 -2),x — 2兀=x(^x~ — 2).因而，(/(x),g(x)) = x 2-2,并且(/(兀),g (兀))=/ 一 2 = g (兀)_ (兀+1)(疋 _ 2兀) =g (兀)一(X +1) (f(x) -g (兀))=(一兀 一 1)/(兀)+ (兀+2)g(x),所以 u(x) = -x-\, v(x) = x + 21 10 -- X H --- 3 9x 3 - 3x 2x-13 1 2 2X H —X X 3 3 10 2 2~~'- ---- X H 兀+ 13 -- 3 10 ° 10 20 X --- 兀 3 9 916~~1T —X ------ 9 927 441 --------- X ---------------16 256-3x 2+—x1649一一539 兀+ --- 27 256(2)利用辗转相除法，可以得到/(x) = 2xg(x)-(6x 2 +3兀-9),(\ 1Ag(x) = —(6x_ + 3兀一9) ——% + — — (% — 1), —(6x - + 3x — 9) = —(x —1)(6% + 9).因而，(/⑴,g(Q) = x-1，并且(1 1 …厶— —X + _ f (x) + _兀_—x~\ I 3 3丿 (3 3丿] 1 2 7 2fi/f 以 W (X )= X H —, V (X )= — --- X — \ •3 3 3 3(3) 利用辗转相除法，可以得到fM = X —3)g(x) + (x — 2),g(x) = (x+l)(x-2) + l ・因而( f(x), g(x)) = 1 ,并且(/(兀),g(x)) = 1 = g(x) - (x+1)(兀一 2)=g (兀)-(兀+1)(/(兀)-(x 2 一3)gCr))—(—兀―1) f (x) + (兀'+ 兀2 — 3兀—2)g(x),所以u (兀)= -x-l, v(x) = x 3 +x 2 -3x-2.9.设/(x) = %3+ (14-t)x 2+ 2x + 2w, g(x)二F+zx + u 的最大公因式是一个二次多项式，求/，凤的值.解利用辗转相除法，可以得到/(%) = g(x) + (l + /)兀2 +(2-/)兀 + « ,(/(x), g(x)) = x-l = -(6x 2+ 3x-9)+ | _g(x)I d J J(I ] \= (/(x)-2xg(x)) --x+- -g(x)\ 3丿 <2 o 2 d ,、 U 3 广—---- 兀+ (1 + r t-2(l +r)2(尸 + r—w)(i+r) + (t— 2)~u[(l + t)2 — (r —2)]由题意，/(x)与g(Q的最大公因式是一个二次多项式，所以(广 + / —w)(l + /) + (f— 2)~(T H?皿(l + r)2-(r-2)] A ；=0,(l + O2解得u = o^t = -4.10.设(x —I)[(A/+ B F+I),求A和B.由题意要求知解用(兀一1)2 去除f\x) = Ar4 + Bx2 +1 ,得余式”(x) = (4A + 2B)兀+1 -3人一B,斤（兀）=0,即4A + 2B = 0,1-3A-B = O,解得A = l,B = -2.11.证明:如果(/(x),g(x)) = l, (/(x),/z(x)) = l,那么(/(x), g(x)/z(x)) = l. 证明由条件可知,存在络(兀)和片⑴ 使得旳(兀)/(兀)+岭⑴g(x) = l,存在如(兀)和卩2(兀)使得u2(x)f(x) + v2(x)h(x) = 1.用/?(兀)乘以第一式得坷(x)f(x)h(x) + V, (x)g(x)h(x) = h(x),代入第二式得u2(x)f(x) + v2 (x) [u t (x)f(x)h(x) 4-Vj (x)g(x)/z(x)] = 1, 即[w2(兀)+ u\ (x)v2(x)h(x)]f(x) + [v, (x)v2(x)]g(x)h(x) = 1,所以(/(x),g(x)/z(x)) = l.12.证明：如果/(x)与g(x)不全为零，且/心)/(兀)+ 咻)g(兀)=(/(%), g(Q)，证明由于w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x),g(x)), /(X )与 g(x)不全为零，所以(/(x)，g(x))HO.两 边同时除以(/(Hg(Q)HO,有所以(弘(兀),咻)) = 1 .13.证明：如果〃(兀)|/(兀),〃(兀)|g(x),且〃(兀)为/(兀)与g(x)的一个组合，那么〃(兀)是/G)与 g(x)的一个最大公因式.证明由题意知d(x)是/(X )与g(x)的公因式.再由条件设d(x) = w(x)/(x) + v(x)^(x) •又设h(x) 为/(x)与g(x)的任一公因式，即/z(x)|/(x), h(x)\g(x),则由上式有h(x)\d(x).故而”(兀)是/(兀)与 g(x)的一个最大公因式.14.证明：(.fO)/2(X ), gO)/2(X )) = (.f(X ), g(x))〃(x),其中力(兀)的首项系数为 1.证明显然(/(x), g(x))/?(x)是f{x)h{x)与g(x)h(x)的一个公因式.下面來证明它是最大公因式. 设 /心),v(x)满足 w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x), g(X>),贝iJu(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = (/(x),g(x))/z(x).由上题结果知，(/(兀),g(X ))/7(X )是/(X )/?(X )与g(JC”7(X )的一个最大公因式，又首项系数为1,所以(/(x)A(x), ^(%)/?(%)) = (/(x), ^(x))/i(x)・/⑴ g (兀)、(/(兀),g (兀))’(f(x),g(x))丿证明设〃(兀)=(/(兀),g(x)),则存在多项式M (x), v(x),使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)・因为/(X )与g (尢)不全为零，所以d(x)HO.上式两边同时除以〃(兀)，有故 /(兀) _____________ g (x)l (/(x),g(x))‘(/(x),g(x))‘u(x) /(X ) (/(%), g(x)) + v(x) g(x) (y (x ),^(x ))15.设多项式/(x)与gS)不全为零，证明1 = u(x)/(兀)(/(兀),g(x))+咻)g(x) (/(兀),g(x))=1成立.16. 分别在复数域、实数域和有理数域上分解兀4+ 1为不可约因式之积.在有理数域上兀°+1是不可约多项式.否则，若+ +1可约，有以下两种可能.(1) 兀4+1有一次因式，从而它有有理根，但/(±1)工0,所以卍+1无有理根.(2) x 4+ 1 无一次因式，设x 4+1 = (x 2+处 +方)(F +cx + d),其中 a,b y c,cl 为整数.于是a + c = O, b+ 〃 + ac = O, cut + be = 0 , bd = \,又分两种情况：① b = d = \,又 a = —c,从而由 b + 〃 + ac = O,得 a 2=2,矛盾； ② b = d = — \,则 a 2= —2 ,矛盾.综合以上情况，即证.17. 求下列多项式的有理根： (1) /(x) = x 3-6x 2+15兀一 14 ；(2) ^(X ) = 4X 4-7X 2-5X -1；(3) /z(x) = x 5+ %4— 6x^ — 14x~ — 1 lx — 3 ・解(1)由于/(x)是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为-14的因数.-14的 因数有：±1, ±2, ±7, ±14,计算得到:/(D = -4, /(-1) = -36, /(2) = 0, /(-2) = -72,/(7) = 140, /(-7) = -756, /(14) = 1764, /(一 14) = —4144,故x = 2是/(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = 2是于(兀)的单根.⑵ 类似(1)的讨论可知，g(x)的可能的有理根为:故x = --是巩兀)的有理根.再由多项式除法可知，兀二-丄是/(劝的2重根.2 2⑶ 类似地，加兀)的可能的有理根为：±1,±3,计算得到解在实数域上的分解式为X4+ 1 = (X 2 + 1)2-2X 2 =(X 2+V2X + 1)(X 2-V2X +1).在复数域上的分解式为x + ----------1 2 2%4+ 1 = f亠迈亠近、X ---------- 12 2/±1, ±1 ±?计算得到g(l) = -9,g(-1) = 1, g(］、r 、171=-5, g —=0, g — 一 —‘ g —〔2< 264 ,4丿11A(l) = -28, /?(-l) = 0,(3) = 0,加一3) = -96.故x = -l, x = 3是//(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = -\是/z(x)的4重根，兀=3是//(兀)的单根.18.若实系数方程x34- px + q = 0有一根a + bi (a,b为实数，/?工0),则方程x3 + px-q = 0有实根2—证明设原方程有三个根不失一般性，令=a + bi,从而有a2 =a-bi,由根与系数的关系可知0 = $ + 冬 + 他=(° + 勿)+ (a - bi) + ,所以冬二-2d，即(-2a)‘ + /?(-2a) + g = 0，故(2a)' + p(2a)-q = 0.这说明x3 + /zr-g = 0有实根2a .19.证明：如果(%-i)|/(r),那么证明因为u-i)|/(z),所以/(r)= /(i)= 0.因此，令y(x)=(x-i)g(x),则有E =(*-i)g(;),即(伙-1)|/(疋).20.下列多项式在有理数域上是否可约？(1)土 (%) = F+1；(2)/；(X)= X4-8?+12X2+2；(3)人(x) = x" +『+1 ；(4)厶(无)=* + "； + 1,门为奇素数；(5)厶(兀)=兀°+4尬+ 1, A为整数.解(1) ./；(兀)的可能的有理根为：±1,而/(±1) = 2,所以它在有理数域上不可约.(2)由Eisenstein判别法，取素数p = 2,则2不能整除1,而2|(-8), 2|12, 2|2,但是2?不能整除2,所以该多项式在有理数域上不可约.(3)令x=y + l,代入厶(x) = P+x'+l有^(y) = ^(y + l) = / + 6/+15/+21/+18y24-9y4-3.取素数0 = 3,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以/(兀)在有理数域上不可约.(4)令兀= y_l,代入f4(x) = x p 4-px + 1,得g(y)=厶(y j) = -+ cy~2——C；-2y2 + (Cf* + p)y-p，取素数p,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以£(兀)在有理数域上不可约.(5)令x=y + l,代入农(兀)=兀4+4Ax+l,得g(.y)=厶(y +1) = y" + 4y‘ + 6y2 + (4k + 4)y + 4R + 2 ,収素数p = 2,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以点(兀)在有理数域上不可约.1•设/(X)，g(X)，加兀)是实数域上的多项式，(1)若/2U) = xg2(x) + x/z2(x),则/(x) = g(x) = h{x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题是否成立？证明(1)当g(兀)=/2(兀)=0时，有严⑴=0,所以/(%) = 0 ,命题成立.如果g(x), /z(x)不全为零，不妨设g(x)H0・当h(x) = 0时，a(xg2(x) + x/i2U)) = l + 2a^(x)为奇数；当加兀)工0时，因为g(x),瓜兀)都是实系数多项式，所以Xg2(x)与兀胪(兀)都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有d(xg2(x) + x/『(x))为奇数.而这时均有/2(x)^0 ,且df\x) = 2df(x)为偶数,矛盾.因此有g(兀)=力(兀) = 0,从而有f(x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题不成立.例如，设f(x) = 0 , g(x) = x\ h(x) = ix,1,其中斤为自然数, 有/2 (x) = xg2 (x)xh2 (x),但g(x) / 0 ,力(兀)工0.2.设/(x), g(x)9 h(x)e P[x],满足(x2 4-l)h(x)4-(x-l)/(x) + (x+2)g(x) = 0,(x2 + l)/?(x) + (x+ l)/(x) + (x - 2)^(%) = 0.证明(X2+1)|(/U), g(X))・证明两式相加得到2(x2 + l)h(x) + 2x(/(x) + g(兀))=0.由(x2+l,兀)=1可知(x2 + l)|(/(x) + g(x)).两式相减得到-2f(x) + 4g(x) = 0, f(x) = 2g(x).故(x2 + l)|/(x), (x2+l)|g(x), BP(X2+1)|(/(X),g(x)).3・设gi(x)g2(x)\f{(x)f2(x),证明(1)若/(x)|g](x)，/(X)H0,则g2(x)\f2(x)；(2)若g2(x)|/；(x)/；(x),是否有g2(x)\f2(x)?解(1)因为gi(兀)g2(兀)庞(兀)£(兀)，/O)|gi(X)，故存在多项式h(x), h}(x)使得fl(x)f 2(x) = g](x)g 2(x)h(x\ g](兀)=Z (x)h }(x).于是/；(兀)£(兀)=/(兀)人(兀)g2(x)力(兀)•由于 土(兀)工0,故有 f 2(x) = h l (x)g 2(x)h(x),即g 2(x)\f 2(x).(2)否•例如取 g {(x) = x-2 , ^2(X ) = X 2-1 , (x) = (x-l)(x-2), (x) = (x + l)(x4-2).虽 然 gSx)g 2(x)\f^x)f 2(x)且 g 2(x)\f {(x)f 2(x),但 g 2(x)不能整除 f 2(x).4.当R 为何值时，/(x) = X 2 +伙+ 6)x + 4k + 2和g(x) = F+(£ + 2)x + 2R 的最大公因式是一次 的？并求出此吋的最大公因式.解 显然 g(x) = (x + £)(x+2).当(/(x),g(Q) = x + 2时'/(一2) = 4 — 2伙+ 6) + 4£ + 2 = 0‘ 则k = 3.当(于(兀),g(Q )=兀 + £ 时’/(一灯=k 2 - k(k + 6) + 4Z: + 2 = 0 ‘ 则 k = l.这时(/(x), g(x))=兀+1. 5.证明：对于任意正整数斤，都有(/(x),g(Q)"=(/"(x),g"(x))・证明 由题意可知/(%)与&(兀)不全为零.令(/(x), g(x)) = d(x),Z 、” g(x) 、d(x)丿/心)/"(兀)+ 咚)g"(兀)=d\x).又由 d(x)\f(x), d(x)|g(x),有 d n (x) f l \x), d"(x) g"(x),因此 d"(x)是厂(x)与 g"(x)的首项系数为1的最大公因式，从而有(广(x),g"(x))= 〃"(兀)=(/(x),g(x))" •6.设 / (x) = af(x) + bg(x), g[ (x) = c/(x) + dg(x),且 ad - be H 0 ,证明(/(x),g(x)) = (/](x), g](X ))・证明设(/(x), g(x)) = d(x),则 d(x)\f(x\d(x)\g(x).由于 “所以对任意正整如，有爲J 寫〕"卜 于是有u{x) +咻) 则〃(兀)工0,从而fi (兀)=妙(x) + bg(x) , g] (x) = (x) + dg (x),故d (x)| (x), d (x)|g t (x).又设h(x)\ (x), /z(x)|(x),由上式及ad-bc^O ,可得从而/?(x)|/(x), h(x)\g(x),于是h(x)\d(x),即〃(兀)也是/；(兀)和g|(x)的最大公因式，即(/(x), g(x)) = (/；(x),&(兀))・7.设 /(x) = t/(x)/(x), g(Q 二 dCr)g](x),且/O)与 gd)不全为零，证明〃(兀)是/O)与 gCO的一个最大公因式的充分必要条件是(/(劝,g|(x)) = 1.证明必要性.若〃(x)是/(兀)与g (兀)的一个最大公因式，则存在多项式w(x),v(x)使W (x)/(x) +v(x)g(x) = d(x),于是u(x)d(x)f t (x) + v(x)d(x)g l (x) = d(x).由/(力与g (兀)不全为零知如工0,因此有u(x)f l (x) + v(x)g l (x) = l f 即(土(兀),g©))i •充分性.若(f l (x),g l (x)) = l ,则存在多项式u(x),v(x),使 u(x)f l (x)+ v(x)g l (x) = l. 两边同吋乘〃(兀)有u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)・由d(x)是/(x)与g(x)的一个公因式知，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.8.设于(兀)和g(x)是两个多项式，证明(f(x), g(x)) = l 当且仅当(f(x)-l-g(x), f(x)g(x)) = l. 证明 必要性.设(f(x)9g(x)) = l,若f(x) + g(x)与/⑴g(x)不互素，则有不可约公因式p(x), 使p(x)lf(x)g(x)f所以 p(x)| /(X )或 0(x)|g(x).不妨设 p(x)\ /(x),由 P (x)|(/(x) + g (兀))可知 p(x)|g(x),因此 P (兀)是 /(兀)和g“)的公因式,与/(%), g (x)互素矛盾,故 蚀+g (兀)与蚀g (兀)互素.充分性.设(/(兀)+ gO) J(x)g (兀)) = 1,则存在w(x), v(x)使(/(兀)+ g (兀))心)+ /(x)g(x)v(x) = 1 , f(x)u(x) + g (兀)(臥兀)+d ad-be zw- h ad 一gi (兀)， g(x) -c ad -be a ad -be g](x)，/(x)v(x)) = 1, 上式说明(/(兀),g(兀)) = 1.9.如果(x2 +x + l)|/j(x3) + x/^(x3),那么(x-l)|/；(x), 0 — 1)|/；(兀)・T；®所以，^3=£23 = 1.证明X2+X + l的两个根为£\= 士护和£2=因为U2+x+l)|(/；(^3) + x/；(^3)),所以(兀一£|)(x - £2)|/；(X')+/(F)，故有y 窗)+ £/(郃)=0,［爪哥)+ £2£(哥)=0,即解得/(l) = /；(l) = o,从而(兀—1)|久(兀)，(x-1)|/；(%).10.若f(x)\f(x H),则/(x)的根只能是零或单位根.证明因为f(x)\f(x n),故存在多项式g(x),使/(x n) = /(x)^(x).设。

线性代数习题参考答案(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。

(2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。

(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。

若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。

(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。

2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。

(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。

3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。

对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n2n 。

4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么 5．n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。

2014-2015-2线性代数A 卷答案及评分标准—————————————————————————————一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设D C B A ,,,是同阶方阵，E ABCD =，则（，则（ B ）（A ）E ABDC = （B ）E CDAB = （C ）E ACBD = （D ）E BACD = 2. 设向量组I ：321,,a a a 可由向量组II ：21,b b 线性表示，则（线性表示，则（ C ） （A ）向量组II 必线性相关必线性相关 （B ）向量组II 必线性无关必线性无关（C ）向量组I 必线性相关必线性相关 （D ）向量组I 必线性无关必线性无关3. 设A 是 n (3³n ) 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则（的伴随矩阵，则（ C ）（A ）A A A n 1**||)(-= （B ） A A A n 1**||)(+= （C ）A A A n 2**||)(-= (D) A A A n 2**||)(+=4. 设A 是n 阶方阵，且1)(-=n A R ，21,a a 是非齐次方程b Ax =的两个不同的解，的两个不同的解， 则b Ax =的通解是（的通解是（ A ）（A ）121)(a a a +-k （B ）21a a +k （C ）121)(a a a ++k （D ） 221)(a a a --k5. 设A 是n 阶矩阵，P 是n 阶正交矩阵，且AP P B T=，则下列结论错误的是（，则下列结论错误的是（ D ） （A ）A 与B 相似相似 （B ）A 与B 等价等价 （C ）A 与B 有相同的特征值有相同的特征值 （D ）A 与B 有相同的特征向量有相同的特征向量二、填空题（每小题3分，共15分）6．设三阶方阵A 的三个特征值是1,1,2，则=--|6)2(|1*A A 4 . 7. 设矩阵A 满足E A =3，则1)(-+E A =_____22EA A +-____. 8. 设三阶矩阵),,(321a a a =A ，且1||=A ，则|),,(|13321a a a a a -+=____1___. 9. 已知矩阵A=÷÷÷øöçççèæ--1 1 31 42 2 1a 的列向量组线性相关，则a =_____1-___. 10. 10. 设设21,l l 是实对称阵A 的两个不同的特征值，T 2T 1),2,1(,)1,1,1(a ==x x 为 对应的特征向量，则对应的特征向量，则a =___3-______.三、判断题,对的打√，错的打×（每小题2分，共10分）11. 11. 若矩阵若矩阵AB 是可逆矩阵, 则矩阵B A ,均是可逆矩阵（均是可逆矩阵（ × ）. 12. 12. 若n 阶行列式中元素为0的个数大于n n -2，则此行列式必为0（ √ ）. 13. 13. 若同阶矩阵若同阶矩阵B A ,均是正交矩阵，则矩阵AB 必为正交矩阵（必为正交矩阵（ √ ）. 14. 若向量组321,,a a a 线性相关，则向量组133322211 , ,a a b a a b a a b +=+=+= 无关（无关（ × ）. 15. 若A 是23´矩阵，且非齐次方程组b Ax =对应齐次方程组0=Ax 仅有零解，仅有零解， 则b Ax =有唯一解（有唯一解（ × ）四、计算题（每小题10分，共50分）16．求行列式a ba a ab a a a aa b a ab a D =的值的值. .解；原行列式把第二行，第三行，第四行均加到第一行得a b a a a b a a a a a b a a b a D ==ba a a ab a a a ab a b a b a b a b a ++++3333-------------------5分 b a a a a b a a a aa b b a 1111)3(+==3))(3( 0000 000 001111)3(a b b a ab a ba bb a -+=---+---10分17. 17. 利用初等变换求矩阵利用初等变换求矩阵÷÷÷øöçççèæ--=5 2 30 1 21 0 1A 的逆矩阵的逆矩阵. .解：÷÷÷øöçççèæ--=1 0 0 5 2 30 1 0 0 1 20 0 1 1 0 1),(E A ÷÷÷øöçççèæ-----1 0 0 5 2 30 1 2 2 1 00 0 1 1 0 12~12r r ---4分÷÷÷øöçççèæ---+1 0 3 2 2 00 1 2 2 1 00 0 1 1 0 13~13r r ÷÷÷øöçççèæ----1 2 7 2 0 00 1 2 2 1 00 0 1 1 0 12~23r r÷÷÷øöçççèæ--+1 2 7 2 0 01 1 5 0 1 00 0 1 1 0 1~32÷÷÷øöçççèæ-----¸1/2 1 7/2 1 0 01 1 5 0 1 01/2 1 5/2 0 0 12~313 所以的逆矩阵是÷÷÷øöçççèæ----1/2 1 7/2 1 1 5 1/2 1 5/2 .---------------------------------10分18．设线性方程组ïîïíì=++=++=++040203221321321与方程12321-=++有公共解，有公共解，求的值及所有公共解解：两个方程组有公共解即合起来的大方程组ïïîïïíì-=++=++=++=++1204023213221321321有解, 即),()(=.---------------------------------------------------------------------------3分 ÷÷÷÷÷øöçççççèæ-112104102101112 ÷÷÷÷÷øöçççççèæ-----110)2)(1(0001100111~÷÷÷÷÷øöçççççèæ-----)2)(1(001 10001100111~当1=或2=时有公共解.----------------------------------------------------------------6分（1）当1=时，,2),()(==对应的方程组的通解为Î÷÷÷øöçççèæ-=,1 0 1（2）当2=时，,3),()(==对应的方程组的唯一解为÷÷øöççèæ-=1 1 0.---10分 19. 求向量组T 3T 2T 1)7,6,9(,)1,0,3(,)3,2,1(-==-=a a a ，T 4)2,2,4(-=a 的秩，的秩， 并求出一个极大无关组. 解：对÷÷÷øöçççèæ---==2 7 1 32 6 0 24 9 3 1),,,(4321a a a a 施加初等行变换，化成行阶梯型得----3分 ÷÷÷øöçççèæ---==2 7 1 32 6 0 24 9 3 1),,,(4321a a a a ÷÷÷øöçççèæ÷÷÷øöçççèæ---0 0 0 0 1 2 1 04 9 3 1~10 20 10 0 6 12 6 04 9 3 1~ 所以向量组的秩为2.------------------------------------------------------------------------------7分又因为任意两个向量都是线性无关的，所以我们可以选取21,a a 为一个极大无关组.--------------------------------------------------------------------------10分20. 20. 设三阶实对称阵设三阶实对称阵的秩为的秩为22，621==l l 是的二重特征值的二重特征值..若,)0,1,1(T 1=a T 2)1,1,2( =a 都是的属于的属于66的特征向量的特征向量. .(1) (1) 求求的另一个特征值及所有对应特征向量的另一个特征值及所有对应特征向量 （（2）求矩阵.解：( 1 )因为三阶实对称阵的秩为2，所以332136||0l l l l ===，所以03=l .----2分 不妨设对应的特征向量为÷÷÷øöçççèæ=3213a ，则由于属于不同特征值的特征向量正交，所以 îíì=++=+02032121，其非零解是0,111¹÷÷÷øöçççèæ-=--------------------------------5分 （2）取,1113÷÷÷øöçççèæ-=a 令),,(321a a a ==÷÷÷øöçççèæ- 1 1 01 1 11 2 1,则÷÷÷øöçççèæ=÷÷÷øöçççèæ=-0 6 63211所以÷÷÷øöçççèæ---÷÷÷øöçççèæ÷÷÷øöçççèæ-=÷÷÷øöçççèæ=- 1/3 1/3 1/32/3 1/3 1/31 1 00 6 6 1 1 01 1 11 2 10 6 61=÷÷÷øöçççèæ--4 2 22 4 22 2 4.------10分五、证明题（每小题分，共分）21. 已知为阶矩阵，且=2，证明.)()(=-+证明：证明： 令-=，所以0=从而£-+)()(--------------------------3分又因为)()())((+£-+，从而)()()(-+£=. 因此.)()(=-+------------------------------------------------------------5分22. 已知矩阵+,,均是可逆矩阵，证明矩阵11--+必可逆. 证明：因为1111111111)(----------+=+=+=+--------------4分所以矩阵11--+必可逆.--------------------------------------------------------------5分。

线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C．3 D．47．设α是非齐次线性方程组Ax=b的解，β是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是（）A．α+β是Ax=0的解B．α+β是Ax=b的解C．β-α是Ax=b的解D．α-β是Ax=0的解8．设三阶方阵A的特征值分别为11,,324，则A-1的特征值为（）A．12,4,3B．111,,243C．11,,324D．2,4,39．设矩阵A=121-，则与矩阵A相似的矩阵是（）A．11123--B．01102C．211-D．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（）A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B．正定矩阵的行列式一定小于零C．正定矩阵的行列式一定大于零D．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

线性代数李永乐辅导笔记【例题1】B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡50030021a ，A 2－2AB ＝ E ，r(AB －2BA ＋3A ) ＝（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）与a 有关 【解】 ∵ A (A －2B ) ＝ E ∴ A 可逆，且A －1＝ A －2B⇒ A (A －2B ) ＝ (A －2B ) A (A A－1＝ A －1A )⇒ AB ＝ BA那么，AB －2BA ＋3A ＝ 3A －AB ＝ A (3E －B )又，A 可逆，知r(AB －2BA ＋3A ) ＝ r(A (3E －B )) ＝ r(3E －B )∀a 有|3E －B |＝0，又3E －B 有二阶子式不得零，从而r(3E －B ) ＝ 2.【例题2】A m ×n ，ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝ 0的基础解系，α是Ax ＝ b 的一个解. (I)证明α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关.(II)证明Ax ＝ b 的任意一个解都可以由α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性表出.【分析】ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝0的基础解系，那么ε1，ε2，…，εt 必定线性无关，从而证明α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关可以用定义法。

【证】(I)（用定义，重组，同乘）设 k 0α＋k 1 (α＋ε1)＋k 2(α＋ε2)＋…＋ k T (α＋εt )＝0 (1) 即 （k 0＋k 1＋k 2＋…＋k T ）α＋k 1ε1＋k 2ε2＋…＋k T εt ＝0(2)由A α＝b ， A εi ＝0（i ＝1，…，t ），用A 左乘（2），有(k 0＋k 1＋k 2＋…＋k t )A α＋k 1A ε1＋k 2A ε2＋…＋k t A εt ＝0即 (k 0 ＋k 1＋k 2 ＋…＋k t )b ＝0 又b ≠0，有k 0＋k 1＋k 2＋…＋k T ＝0(3)带入(2)有 k 1ε1＋k 2ε2＋…＋k t εt ＝0，而ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝0的基础解系，那么ε1，ε2，…，εt 必定线性无关， 从而k 1 ＝k 2 ＝…＝k t ＝0，带入(3)有k 0＝0.所以 k 0＝k 1＝k 2＝…＝k t ＝0⇒α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关. （或用秩）∵ε1，ε2，…，εt 线性无关，α是Ax ＝b 的解⇒α不能由ε1，ε2，…，εt 线性表出.⇒x 1ε1＋x 2ε2＋…＋x t εt ＝α无解⇒r(ε1，ε2，…，εt )≠r(ε1，ε2，…，εt ，α)∵r(ε1，ε2，…，εt ) ＝t ⇒r(ε1，ε2，…，εT ，α)＝t ＋1⇒r(α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt )＝t ＋1⇒α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关.(II)设β是Ax ＝b 的任意一个解，则β－α是Ax ＝0的解. 从而 β－α＝l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l t εt .⇒β＝α＋l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l t εt⇒β＝(1－l1－l 2 －…－l t )α＋l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l t εt即β可由α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 表出.【评注】本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法.设矩阵A －n 阶，B －n 阶，若AB ＝ BA ＝E ，则称矩阵A 可逆，且B 为A 的逆矩阵.由此有A A －1＝ A －1A .【例题3】A m ×n ，r(A )＝n ，α1，α2，…，αs 是n 维列向量.证明：α1，α2，…，αs 线性无关的充分必要条件是A α1，A α2，…，A αs 线性无关.【证】必要性（用定义）设k 1A α1＋k 2A α2＋…＋k s A αs ＝0，即A (k 1α1＋k 2α2＋… ＋k s αs )＝0. 由A m ×n ，r(A )＝n ⇒Ax ＝0只有零解.故k 1α1＋k 2α2＋…＋k s αs ＝0，又α1，α2，…，αs 线性无关⇒k 0＝k 1＝k 2＝…＝k s ＝0. 从而A α1，A α2，…，A αs 线性无关. 充分性（用秩）因为A α1，A α2，…，A αs ＝A (α1，α2，…，αs )，所以r(A α1，A α2，…，A αs )＝r(A (α1，α2，…，αs ))≤r(α1，α2，…，αs )由A α1，A α2，…，A αs 线性无关知r(A α1，A α2，…，A αs )＝s.而r(α1，α2，…，αs )≤s ，从而r(α1，α2，…，αs )＝s ⇒α1，α2，…，αs 线性无关.【例题4】设A ＝[α1，α2，α3，α4]，Ax ＝β的通解是[1，－2，1，－1] T＋k[1，3，2，0]T，B ＝[α3，α2，α1，β＋α4]，γ＝α1－3α2＋5α3，(I) α1能否由α2，α3线性表出？ (II) α4能否由α1，α2，α3线性表出？ (III) Bx ＝γ求的通解.【分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构.并且由于系数矩阵没有明确给出，所以要从解的结构抽象地求解方程组.用观察法得到基础解系，注意基础解系是线性无关的. 【证】(I) Ax ＝β解的结构知r(A )＝3.由A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0231＝0 ⇒α1＋3α2＋2α3＝0⇒α1能由α2，α3线性表出.(II) 设x 1α1＋x 2α2＋x 3α 3 ＝α4由(I)知r(α1，α2，α3)＜3，而r(α1，α2，α3，α4)＝4，知方程组无解，故α4不能由α1，α2，α3线性表出.(III)由A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1121＝β⇒α 1－2α 2 ＋α3－α4＝β，那么B ＝[α3，α2，α1，β＋α4]＝[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4]⇒ r(B )＝4.从而n －r(B )＝2.【评注】本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的概念：设有向量小组η1，η2，…，ηt 满足： (1) A ηi ＝ 0（i =1，…，t ），即ηi 是Ax ＝ 0的解. (2) Ax ＝ 0的任意一个解都可以由η1，η2，…，ηt 表出. (3) η1，η2，…，ηt 线性无关.那么称η1，η2，…，ηt 为Ax ＝ 0的基础解系.也就是说若η1，η2，…，ηt 是Ax ＝ 0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt 必满足上述3条。