捷联惯导算法与组合导航原理讲义(20170220)

1、方向余弦表cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos C ψϕψθϕψϕψθϕθϕψθψθθψϕψθϕψϕψθϕθϕ-+-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦（1.0.1）X E Y C N Z ζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1.0.2） 在列写惯导方程需要采用方向余弦表，因为错误！未找到引用源。

α较小，经常采用两个假设，即：cos 1sin 1αα≈≈ （1.0.3）式中 α-两坐标系间每次相对转动的角度。

由于在工程实践中可以使其保持很小，所以进一步可以忽略如下形式二阶小量，即：sin sin 0αβ≈ （1.0.4）式中β-两坐标系间每次相对转动的角度。

可以将C 近似写为：111C ψϕψθϕθ-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（1.0.5） 2、用四元素表示坐标变换对于四元素123q p i p j p k λ=+++，可以表示为如下形式cossincos sincos sincos 2222q i j k θθθθαβγ=+++ （2.0.1）式（2.0.1）的四元数称为特殊四元数，它的范数1q =。

1'R q Rq -= （2.0.2）式中''''R xi yj zk R x i y j z k=++=++ （2.0.3）将q 和1q -的表达式及式（2.0.3）带入（2.0.2），然后用矩阵表示为：()()()()()()()()()22221231231322222123213231222213223131222''22'22p p p p p p p p p x x y p p pp p p p p p yz z p p p p p p p p p λλλλλλλλλ⎡⎤+--+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥+-+--⎣⎦（2.0.4）由四元素到方向余弦表的建立123cos cos22sin cos22sin sin22cos sin22p p p θψϕλθψϕθψϕθψϕ-=-=-=+= （2.0.5） 将式（2.0.5）带入式（2.0.4），有cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin sin sin cos cos C ϕψϕθψϕψϕθψϕθϕψϕθψϕψϕθψϕθθψθψθ-+⎡⎤⎢⎥=---+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（2.0.6）3、四元数转动公式的进一步说明采用方向余弦矩阵描述飞行器姿态运动时，需要积分姿态矩阵微分方程式，即C C =Ω （3.0.1）式中 C -动坐标系相对参考坐标系的方向余弦阵Ω-动坐标系相对参考坐标系角速度ω的反对称矩阵表达式 其中C 为公式（1.0.5）提供000z y zx y xωωωωωω⎡⎤-⎢⎥Ω=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（3.0.2）采用（3.0.1）计算需要列写9个一阶微分方程式，计算量大。

捷联惯导算法与组合导航原理讲义一、捷联惯导算法捷联惯导（Inertial Navigation System，INS）是一种通过测量惯性传感器的运动参数实现导航定位的技术。

惯性导航系统中包括了加速度计和陀螺仪等传感器，通过测量物体的加速度和角速度，可以推算出物体的位置、速度和姿态等信息。

1.1加速度计加速度计是一种测量物体加速度的传感器。

常见的加速度计有基于压电效应的传感器和基于微机电系统（Microelectromechanical System，MEMS）的传感器。

加速度计的原理是通过测量物体受到的惯性力，推算出物体的加速度。

由于加速度是速度对时间的导数，因此通过对加速度的积分操作，可以计算出物体的速度和位移。

1.2陀螺仪陀螺仪是一种测量物体角速度的传感器。

常见的陀螺仪有机械陀螺仪和MEMS陀螺仪等。

陀螺仪的原理是基于角动量守恒定律，通过测量转动惯量的变化，推算出物体的角速度。

与加速度计类似，通过对角速度的积分操作，可以计算物体的姿态。

1.3捷联惯导算法离散时间模型中，位置、速度和姿态等状态变量通过积分加速度和角速度来更新。

由于加速度计和陀螺仪测量结果存在噪声，因此在积分操作时需要加入误差补偿算法来消除误差。

常见的误差补偿算法有零偏校正和比例积分修正等。

连续时间模型中，位置、速度和姿态等状态变量通过微分方程来描述，并通过求解微分方程来更新状态。

由于计算量较大，通常需要使用数值积分方法来求解微分方程。

常见的数值积分方法有欧拉法、中点法和四阶龙格-库塔法等。

二、组合导航原理组合导航是一种融合多种导航技术的导航方式。

常见的组合导航方式有捷联惯导与GPS组合导航。

组合导航通过融合多种导航系统的测量结果，可以提高导航定位的精度和可靠性。

2.1捷联惯导与GPS组合导航捷联惯导与GPS组合导航是一种常见的组合导航方式。

在这种方式下，捷联惯导提供了高频率的惯导数据，可以提供较高的定位精度，但是由于其测量结果累积误差较大，会逐渐偏离真实轨迹。

捷联惯导系统从20世纪60年代初开始发展起来，在1969年，捷联惯导系统作为"阿波罗"-13号登月飞船的应急备份装置，在其服务舱发生爆炸时将飞船成功地引导到返回地球的轨道上时起到了决定性作用，成为捷联式惯导系统发展中的一个里程碑。

捷联式惯性导航(strap-downinertialnavigation)，捷联（strap-down）的英语原义是“捆绑”的意思。

因此捷联式惯性导航也就是将惯性测量元件（陀螺仪和加速度计）直接装在导弹需要诸如姿态、速度、航向等导航信息的主体上，用计算机把测量信号变换为导航参数的一种导航技术。

一、捷联惯导系统工作原理及特点惯导系统基本工作原理是以牛顿力学定律为基础，通过测量载体在惯性参考系的加速度，将它对时间进行积分，之后将其变换到导航坐标系，得到在导航坐标系中的速度、偏航角和位置信息等。

捷联惯导系统（SINS）是一种无框架系统，由三个速率陀螺、三个线加速度计和微型计算机组成。

由于惯性元器件有固定漂移率，会造成导航误差，因此导弹通常采用指令、GPS或其组合等方式对惯导进行定时修正，以获取持续准确的位置参数。

如采用指令+捷联式惯导捷联惯导系统能精确提供载体的姿态、地速、经纬度等导航参数，是利用惯性敏感器、基准方向及最初的位置信息来确定运载体的方位、位置和速度的自主式航位推算导航系统。

在工作时不依赖外界信息，也不向外界辐射能量，不易受到干扰破坏。

它完全是依靠载体自身设备独立自主地进行导航，它与外界不发生任何光、声、磁、电的联系，从而实现了与外界条件隔绝的假想的“封闭”空间内实现精确导航。

所以它具有隐蔽性好，工作不受气象条件和人为的外界干扰等一系列的优点。

除此以外捷联惯导系统的最大特点是没有实体平台，即将陀螺仪和加速度计直接安装在机动载体上，在计算机中实时的计算姿态矩阵，通过姿态矩阵把导航加速度计测量的载体沿机体坐标系轴向的加速度信息变换到导航坐标系，然后进行导航计算。

捷联惯导算法与组合导航原理讲义严恭敏，翁浚编著西北工业大学2016-9前言近年来，惯性技术不论在军事上、工业上，还是在民用上，特别是消费电子产品领域，都获得了广泛的应用，大到潜艇、舰船、高铁、客机、导弹和人造卫星，小到医疗器械、电动独轮车、小型四旋翼无人机、空中鼠标和手机，都有惯性技术存在甚至大显身手的身影。

相应地，惯性技术的研究和开发也获得前所未有的蓬勃发展，越来越多的高校学生、爱好者和工程技术人员加入到惯性技术的研发队伍中来。

惯性技术涉及面广，涵盖元器件技术、测试设备和测试方法、系统集成技术和应用开发技术等方面，囿于篇幅和作者知识面限制，本书主要讨论捷联惯导系统算法方面的有关问题，包括姿态算法基本理论、捷联惯导更新算法与误差分析、组合导航卡尔曼滤波原理、捷联惯导系统的初始对准技术、组合导航系统建模以及算法仿真等内容。

希望读者参阅之后能够对捷联惯导算法有个系统而深入的理解，并能快速而有效地将基本算法应用于解决实际问题。

本书在编写和定稿过程中得到以下同行的热心支持，指出了不少错误之处或提出了许多宝贵的修改建议，深表谢意：西北工业大学自动化学院：梅春波、赵彦明、刘洋、沈彦超、肖迅、牟夏、郑江涛、刘士明、金竹、冯理成、赵雪华；航天科工第九总体设计部：王亚军；辽宁工程技术大学：丁伟；北京腾盛科技有限公司：刘兴华；东南大学：童金武；中国农业大学：包建华；南京航空航天大学：赵宣懿；武汉大学：董翠军；网友：Zoro；山东科技大学：王云鹏。

书中缺点和错误在所难免，望读者不吝批评指正。

作者2016年9月目录第1章概述 (6)1.1捷联惯导算法简介 (6)1.2 Kalman滤波与组合导航原理简介 (7)第2章捷联惯导姿态解算基础 (10)2.1反对称阵及其矩阵指数函数 (10)2.1.1 反对称阵 (10)2.1.2 反对称阵的矩阵指数函数 (12)2.2方向余弦阵与等效旋转矢量 (13)2.2.1 方向余弦阵 (13)2.2.2 等效旋转矢量 (14)2.3方向余弦阵微分方程及其求解 (17)2.3.1 方向余弦阵微分方程 (17)2.3.2 方向余弦阵微分方程的求解 (17)2.4姿态更新的四元数表示 (20)2.4.1 四元数的基本概念 (20)2.4.2 四元数微分方程 (23)2.4.3 四元数微分方程的求解 (25)2.5等效旋转矢量微分方程及其泰勒级数解 (26)2.5.1 等效旋转矢量微分方程 (26)2.5.2 等效旋转矢量微分方程的泰勒级数解 (29)2.6圆锥运动条件下的等效旋转矢量算法 (31)2.6.1 圆锥运动的描述 (31)2.6.2 圆锥误差补偿算法 (33)第3章地球形状与重力场基础 (40)3.1地球的形状描述 (40)3.2地球的正常重力场 (46)3.3地球重力场的球谐函数模型 (50)3.3.1 球谐函数的基本概念 (50)3.3.2 地球引力位函数 (58)3.3.3 重力位及重力计算 (63)第4章捷联惯导更新算法及误差分析 (69)4.1捷联惯导数值更新算法 (69)4.1.1 姿态更新算法 (69)4.1.2 速度更新算法 (70)4.1.3 位置更新算法 (76)4.2捷联惯导误差方程 (76)4.2.1惯性传感器测量误差 (76)4.2.2姿态误差方程 (78)4.2.3速度误差方程 (79)4.2.4位置误差方程 (79)4.2.5误差方程的整理 (80)4.3静基座误差特性分析 (82)4.3.1 静基座误差方程 (82)4.3.2 高度通道 (83)4.3.3 水平通道 (83)4.3.4 水平通道的简化 (88)4.3.5 水平通道误差方程的仿真 (90)第5章卡尔曼滤波基本理论 (92)5.1递推最小二乘法 (92)5.2 Kalman滤波方程的推导 (94)5.3连续时间随机系统的离散化与连续时间Kalman滤波 (101)5.4噪声相关条件下的Kalman滤波 (107)5.5序贯滤波 (111)5.6信息滤波与信息融合 (114)5.7平方根滤波 (116)5.8遗忘滤波 (124)5.9 Sage-Husa自适应滤波 (125)5.10最优平滑算法 (127)5.11非线性系统的EKF滤波、二阶滤波与迭代滤波 (130)5.12间接滤波与滤波校正 (136)5.13联邦滤波（待完善） (136)5.14滤波的稳定性与可观测度分析 (141)第6章初始对准及组合导航技术 (147)6.1捷联惯导粗对准 (147)6.1.1矢量定姿原理 (147)6.1.2解析粗对准方法 (149)6.1.3间接粗对准方法 (152)6.2捷联惯导精对准 (153)6.3惯性/卫星组合导航 (157)6.3.1空间杆臂误差 (157)6.3.2时间不同步误差 (158)6.3.3状态空间模型 (159)6.4车载惯性/里程仪组合导航 (159)6.4.1航位推算算法 (159)6.4.2航位推算误差分析 (161)6.4.3惯性/里程仪组合 (164)6.5低成本姿态航向参考系统（AHRS） (167)6.5.1简化的惯导算法及误差方程 (168)6.5.2地磁场测量及误差方程 (169)6.5.3低成本组合导航系统模型 (170)6.5.4低成本惯导的姿态初始化 (171)6.5.5捷联式地平仪的工作原理 (173)第7章捷联惯导与组合导航仿真 (176)7.1飞行轨迹和惯性器件信息仿真 (176)7.1.1飞行轨迹设计 (176)7.1.2 捷联惯导反演算法 (177)7.1.3 仿真 (178)7.2捷联惯导仿真 (180)7.2.1 Matlab子函数 (180)7.2.2捷联惯导仿真主程序 (185)7.3惯导/卫星组合导航仿真 (186)7.3.1Matlab子函数 (186)7.3.2组合导航仿真主程序 (187)附录 (190)A一些重要的三维矢量运算关系 (190)B 运载体姿态的欧拉角描述 (192)C 姿态更新的毕卡算法、龙格—库塔算法及精确数值解法 (199)D 从非直角坐标系到直角坐标系的矩阵变换 (207)E 线性系统基本理论 (211)F 加权最小二乘估计 (216)G 矩阵求逆引理 (217)H 几种矩阵分解方法（QR、Cholesky与UD） (219)I 二阶滤波中的引理证明 (223)J 方差阵上界的证明 (225)K 三阶非奇异方阵的奇异值分解 (226)L Matlab仿真程序 (231)M 练习题 (237)参考文献 (241)第1章概述第1章概述 (6)1.1捷联惯导算法简介 (6)1.2 Kalman滤波与组合导航原理简介 (7)1.1捷联惯导算法简介在捷联惯导系统（SINS）中惯性测量器件（陀螺和加速度计）直接与运载体固联，通过导航计算机采集惯性器件的输出信息并进行数值积分求解运载体的姿态、速度和位置等导航参数，这三组参数的求解过程即所谓的姿态更新算法、速度更新算法和位置更新算法。