2020届浙江省嘉兴市高考数学二模试卷(理)(有答案)(已审阅)

2020高考仿真模拟卷(六)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足z (1＋i)＝|－1＋3i|，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i答案 C解析 由z (1＋i)＝|－1＋3i|＝(－1)2＋(3)2＝2，得z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，∴z －＝1＋i.故选C.2．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集的个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7答案 B解析 依题意，在同一平面直角坐标系中分别作出x 2＝4y 与y ＝x 的图象，观察可知，它们有2个交点，即A ∩B 有2个元素，故A ∩B 的真子集的个数为3，故选B.3．已知命题p ：“∀a >b ，|a |>|b |”，命题q ：“∃x 0<0,2x 0 >0”，则下列为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．p ∨qD ．p ∨(綈q ) 答案 C解析 对于命题p ，当a ＝0，b ＝－1时，0>－1， 但是|a |＝0，|b |＝1，|a |<|b |，所以命题p 是假命题． 对于命题q ，∃x 0<0,2x 0 >0，如x 0＝－1,2－1＝12>0. 所以命题q 是真命题，所以p ∨q 为真命题．4．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A－b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 A解析 由题意，得a 2－b 2＝4c 2，则－14＝cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2－4c 22bc ＝－14，∴3c 2b ＝14，∴b c ＝32×4＝6，故选A.5．执行如图所示的程序框图，则输出的T ＝( )A ．8B ．6C ．7D ．9答案 B解析 由题意，得T ＝1×log 24×log 46×…×log 6264＝lg 4lg 2×lg 6lg 4×…×lg 64lg 62＝lg 64lg 2＝6，故选B.6．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝2sin x cos x 的图象( )A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位 答案 C解析 将函数y ＝2sin x cos x ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位可得到y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，故选C.7．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且经过点(2,2)，则双曲线的实轴长为( )A ．12B ．1C ．2 2D ． 2答案 C解析 由题意双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，即ca ＝3⇒c 2＝3a 2.又由c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝2a 2，所以双曲线的方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，又因为双曲线过点(2,2)，代入双曲线的方程，得4a 2－42a 2＝1，解得a ＝2，所以双曲线的实轴长为2a ＝2 2.8．若x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋7≥0，2x ＋y ≥3，3x －y ＋1≤0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．5B ．11.6C ．17D ．25答案 C解析 作出不等式组所表示的可行域如下图所示，则x 2＋y 2的最大值在点B (1,4)处取得，故x 2＋y 2的最大值为17.9．设函数f (x )＝|lg x |，若存在实数0<a <b ，满足f (a )＝f (b )，则M ＝log 2a 2＋b 28，N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，Q ＝ln 1e 2的关系为( )A ．M >N >QB ．M >Q >NC ．N >Q >MD ．N >M >Q答案 B解析 ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |， ∴lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝1a ＋b ＋2＝1a ＋1a ＋2<12＋2＝14， ∴N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2<－2， 又a 2＋b 28>ab 4＝14，∴a 2＋b 28>14>⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2， ∴M ＝log 2a 2＋b 28>－2， 又Q ＝ln 1e 2＝－2，∴M >Q >N .10．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1的中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是( )A ．10B ．4＋ 3C ．2＋ 3D ．4＋ 3答案 D解析 ①从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝AM 2＋AN 2＝12＋(2＋1)2＝10.②从底面到N 点，沿棱柱的AC ，BC 剪开、展开，如图2. 则MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos120°＝12＋(3)2＋2×1×3×12＝4＋3，∵4＋3<10，∴MN min ＝4＋ 3.11．(2019·江西景德镇第二次质检)已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，点P 在抛物线上，点A (0，－1)，则|PF ||P A |的最小值是( )A ．22B ．32C ．1D ．12答案 A解析 由题意可得，抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1，过点P 作PM 垂直于准线，垂足为M ，由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |，则|PF ||P A |＝|PM ||P A |＝sin ∠P AM ，因为∠P AM 为锐角，故当∠P AM 最小时，|PF ||P A |最小，即当P A 和抛物线相切时，|PF ||P A |最小，设切点P (2a ，a )，由y ＝14x 2，得y ′＝12x ，则切线P A 的斜率为12×2a ＝a ＝a ＋12a ，解得a ＝1，即P (2,1)，此时|PM |＝2，|P A |＝22，所以sin ∠P AM ＝|PM ||P A |＝22，故选A.12．(2019·天津部分区一模联考)已知函数y ＝f (x )的定义域为(－π，π)，且函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈(0，π)时，f (x )＝πln x －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x (其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝f (log π3)，b ＝f (log 139)，c ＝f (π13 )，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．c >b >aD ．b >c >a答案 D解析 ∵f (x )＝πln x －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ，∴f ′(x )＝πx －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2＝2，即f ′(x )＝πx －2cos x ，当π2≤x <π时，2cos x ≤0，f ′(x )>0；当0<x <π2时，πx >2,2cos x <2，∴f ′(x )>0，即f (x )在(0，π)上单调递增，∵y ＝f (x ＋2)的图象关于x ＝－2对称，∴y ＝f (x ＋2)向右平移2个单位得到y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )为偶函数，b ＝f (log 139)＝f (－2)＝f (2)，0＝log π1<log π3<log ππ＝1,1＝π0<π13<π12 <2，即0<log π3<π13 <2<π，∴f (2)>f (π13 )>f (log π3)，即b >c >a .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，－1)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案10解析 由题意，得a ·b ＝|a ||b |cos45°＝2×1×22＝1，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝2＋4×1＋4×1＝10，所以|a ＋2b |＝10.14．已知函数f (x )＝ax －log 2(2x ＋1)(a ∈R )为偶函数，则a ＝________. 答案 12解析 由f (x )＝f (－x )，得ax －log 2(2x ＋1)＝－ax －log 2(2－x ＋1)，2ax ＝log 2(2x＋1)－log 2(2－x＋1)＝log 22x ＋12－x ＋1＝x ，由于x 的任意性，所以a ＝12.15．如图，为测量竖直旗杆CD 的高度，在旗杆底部C 所在水平地面上选取相距421 m 的两点A ，B 且AB 所在直线为东西方向，在A 处测得旗杆底部C 在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D 的仰角为60°；在B 处测得旗杆底部C 在东偏北10°方向上，旗杆顶部D 的仰角为45°，则旗杆CD 的高度为________ m.答案 12解析 设CD ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝45°，∴BC ＝x ，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，∴AC ＝CD tan60°＝x 3，在△ABC 中，∠CAB ＝20°，∠CBA ＝10°，AB ＝421， ∴∠ACB ＝180°－20°－10°＝150°，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°， 即(421)2＝13x 2＋x 2＋2·x 3·x ·32＝73x 2，解得x ＝12.即旗杆CD 的高度为12 m.16．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中， M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若|PC →|＝2，则(P A →·PB →)·(PC →·PM→) 的最小值是________．答案 32－24 2解析 根据题意，建立平面直角坐标系， 如图所示，则C (0,0)，B (2,0)，A (0,2)，M (1,1)，由|PC→|＝2，知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，设点P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π)； 则P A →＝(－2cos θ，2－2sin θ)， PB→＝(2－2cos θ，－2sin θ)，PC →＝(－2cos θ，－2sin θ)， PM→＝(1－2cos θ，1－2sin θ)， ∴(P A →·PB →)·(PC →·PM →)＝[(－2cos θ)(2－2cos θ)＋(－2sin θ)(2－2sin θ)]·[(－2cos θ)(1－2cos θ)＋(－2sin θ)(1－2sin θ)]＝(4－4cos θ－4sin θ)(4－2cos θ－2sin θ) ＝8(3－3cos θ－3sin θ＋2sin θcos θ)， 设t ＝sin θ＋cos θ，∴t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[－2，2]，∴t 2＝1＋2sin θcos θ， ∴2sin θcos θ＝t 2－1，∴y ＝8(3－3t ＋t 2－1)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－2，当t ＝2时，y 取得最小值为32－24 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1＝164，1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，n ∈N *.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q >0， 因为1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，所以1a 1q n －1－1a 1q n ＝2a 1q n ＋1，因为q >0，解得q ＝2，所以a n ＝164×2n －1＝2n －7，n ∈N *.4分(2)b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2＝(－1)n ·(log 22n －7)2＝(－1)n ·(n －7)2， 设c n ＝n －7，则b n ＝(－1)n ·(c n )2，6分T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝－(c 1)2＋(c 2)2＋[－(c 3)2]＋(c 4)2＋…＋[－(c 2n －1)2]＋(c 2n )2＝(－c 1＋c 2)(c 1＋c 2)＋(－c 3＋c 4)·(c 3＋c 4)＋…＋(－c 2n －1＋c 2n )(c 2n －1＋c 2n )＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝2n [－6＋(2n －7)]2＝n (2n －13)＝2n 2－13n .12分18．(2019·四川百校模拟冲刺)(本小题满分12分)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D 是棱AB 的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)若AA 1⊥平面ABC ，AB ＝2，BB 1＝4，AC ＝BC ，E 是棱BB 1的中点，当二面角E －A 1C －D 的大小为π4时，求线段DC 的长度．解 (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，连接DF ，而D 是AB 的中点，则BC 1∥DF ，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .4分(2)因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥CD ，又AC ＝BC ，E 是棱BB 1的中点， 所以DC ⊥AB ，所以DC ⊥平面ABB 1A 1，5分以D 为坐标原点，过D 作AB 的垂线为x 轴，DB 为y 轴，DC 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设DC 的长度为t ，则C (0,0，t )，E (2,1,0)，A 1(4，－1,0)，D (0,0,0)，所以EA 1→＝(2，－2,0)，A 1C →＝(－4,1，t )，DA 1→＝(4，－1，0)，DC →＝(0,0，t )， 分别设平面EA 1C 与平面DA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎨⎧2x 1－2y 1＝0，－4x 1＋y 1＋tz 1＝0，令x 1＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，3t ，同理可得n ＝(1,4,0)，9分 由cos 〈m ，n 〉＝1＋417×2＋9t 2＝22，解得t ＝3174， 所以线段DC 的长度为3174.12分19．(2019·湖南长沙统一检测)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于点B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝43.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与l 1，l 2交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .解 (1)连接AF 2，由题意，得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |， 所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又因为BO ⊥F 1F 2，所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝b 2a ＝83， 又e ＝c a ＝13，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝9，b 2＝8， 故所求椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.4分 (2)证明：由题意可知，l 1的方程为x ＝－3， l 2的方程为x ＝3.直线l 与直线l 1，l 2联立可得M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )，又F 1(－1,0)， 所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N →＝(4,3k ＋m )，所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 28＝1，y ＝kx ＋m ，得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0.7分 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0，化简，得m 2＝9k 2＋8. 所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2＝0， 则F 1M →⊥F 1N →，故∠MF 1N 为定值π2.10分 同理F 2M →＝(－4，－3k ＋m )，F 2N →＝(2,3k ＋m )， 因为F 2M →·F 2N →＝0，所以F 2M →⊥F 2N →，∠MF 2N ＝π2. 故∠MF 1N ＝∠MF 2N .12分20．(本小题满分12分)某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1 kg 的包裹收费10元；重量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每超出1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近(1)计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率； (2)①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？解 (1)样本中包裹件数在101～400之间的天数为48，频率f ＝4860＝45，故可估计概率为45.显然未来3天中，包裹件数在101～400之间的天数X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，45， 故所求概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫452×15＝48125.4分(2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：10×43＋15×30＋20×15＋25×8＋30×4100＝15(元)，故该公司对每件包裹收取的快递费的平均值可估计为15元.6分②根据题意及①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加15×13＝5(元)，将题目中的天数转化为频率，得；8分 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：10分 因975<1000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.12分 21．(2019·江西南昌一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋a )(e 为自然对数的底数，a 为常数，且a ≤1)．(1)判断函数f (x )在区间(1，e)内是否存在极值点，并说明理由； (2)若当a ＝ln 2时，f (x )<k (k ∈Z )恒成立，求整数k 的最小值． 解 (1)f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x ＋a －1，令g (x )＝ln x －x ＋1x ＋a －1，x ∈(1，e)， 则f ′(x )＝e x g (x )，2分 g ′(x )＝－x 2－x ＋1x 2<0恒成立， 所以g (x )在(1，e)上单调递减， 所以g (x )＜g (1)＝a －1≤0， 所以f ′(x )＝0在(1，e)内无解．所以函数f (x )在区间(1，e)内无极值点.5分(2)当a ＝ln 2时，f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋ln 2)，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x ＋ln 2－1， 令h (x )＝ln x －x ＋1x ＋ln 2－1， 由(1)知，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12>0，h (1)＝ln 2－1＜0，所以存在x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得h (x 1)＝0，且当x ∈(0，x 1)时，h (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )＜0，即f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (x 1)＝e x 1(－x 1＋ln x 1＋ln 2).8分由h (x 1)＝0，得ln x 1－x 1＋1x 1＋ln 2－1＝0，即ln x 1－x 1＋ln 2＝1－1x 1，所以f (x 1)＝e x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1，x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令r (x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则r ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x ＋1>0恒成立，所以r (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，所以r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<r (x )<r (1)＝0，所以f (x )max ＜0，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－ln 2＋ln 2＝－e 2>－1，所以－1＜f (x )max ＜0，所以若f (x )＜k (k ∈Z )恒成立，则k 的最小值为0.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y 得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x 0，y 0)，求3x 0＋12y 0的取值范围．解 (1)由直线l 的参数方程消去参数可得它的普通方程为3x ＋y －23－1＝0，由ρ＝2两端平方可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.4分(2)曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y得到曲线C ′的方程为x ′2＋y ′24＝4，即x ′24＋y ′216＝1，则点M 的参数方程为⎩⎨⎧x 0＝2cos θ，y 0＝4sin θ(θ为参数)，代入3x 0＋12y 0，得3×2cos θ＋12×4sin θ＝2sin θ＋23cos θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，由三角函数的基本性质，知4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－4,4].10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>x －1；(2)若关于x 的不等式f (x )>4有解，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，即解不等式|x －1|－|3x ＋2|>x －1.当x >1时，不等式可化为－2x －3>x －1，即x <－23，与x >1矛盾，无解． 当－23≤x ≤1时，不等式可化为－4x －1>x －1， 即x <0，所以解得－23≤x <0.当x <－23时，不等式可化为2x ＋3>x －1，即x >－4，所以解得－4<x <－23.综上所述，所求不等式的解集为(－4,0).5分(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ＋2，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －a －2，x >a ，7分因为函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞上单调递减，所以当x ＝－23时，f (x )max ＝23＋a ，8分 不等式f (x )>4有解等价于f (x )max ＝23＋a >4， 解得a >103.故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞.10分。

浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1]C．[0，1）D．[0，2）2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2]C．D．[﹣4，5]4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2]C．（0，1]D．（1，2）6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣38．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是；几何体的体积是．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是；函数f（x）的最大值是．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15=；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则S2016=．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是；x2+y2的最小值是．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．20．已知正项数列{a n}满足：S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项的和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1]C．[0，1）D．[0，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集为R，∴∁R B=（﹣∞，1]，则A∩∁R B=[0，1]．故选：B．2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，由“a2+b2＜c2”，利用余弦定理可得：C为钝角，因此“△ABC为钝角三角形”，反之不成立．【解答】解：在△ABC中，“a2+b2＜c2”⇔cosC=＜0⇒C为钝角⇒“△ABC为钝角三角形”，反之不一定成立，可能是A或B为钝角．∴△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2]C．D．[﹣4，5]【考点】基本不等式．【分析】对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，可得+=（sin2θ+cos2θ）=5++，利用基本不等式的性质可得其最小值M．由不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得M≥|2x﹣1|，解出即可得出．【解答】解：∵对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，∴+=（sin2θ+cos2θ）=5++≥5+2×2=9，当且仅当时取等号．∵不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴9≥|2x﹣1|，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5，则实数x的取值范围是[﹣4，5]．故选：D．4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明即可．B．研究四面体的底面积和高的变化进行判断即可．C．所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C的长度，求出球半径进行计算即可．D．根据正方体内切球和三角形外接圆的关系进行判断即可．【解答】解：A．∵AB1∥DC1，AC∥A1C1，且AC∩AB1=A，∴平面ACB1∥平面A1C1D，长方体的体对角线BD1=，设B到平面ACB1的距离为h，则=×1=h，即h=，则平面ACB1与平面A1C1D的距离d=﹣2h==，故A正确，B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，C．与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C=，则2R=，R=，则球的体积V==×π×（）3=π，故C正确，D．设与正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球为O′，则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球为O′的一个小圆，∵点M在与正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，∴线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球相切的球的半径，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴线段MN长度的最小值是﹣．故D错误，故选：D．5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2]C．（0，1]D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数f（x）的图象，问题转化为f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象读出即可．【解答】解：画出函数f（x）在[0，2π]的图象，如图示：，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，0＜m＜1，故选：A．6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理，化简可得|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，再由三角形的等积法，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①由直径所对的圆周角为直角，可得PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2，即有|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，由三角形的面积公式可得， |PF1|•|PF2|=|PH|•|F1F2|，即有2c2﹣2a2=2ac，由e=可得，e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故选：C．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣3【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知式子可得sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，保持整体展开变形可得tan（α+β）=2tanα，再由3tan+=1和二倍角的正切公式可得tanα的值，代入计算可得．【解答】解：∵sinβ=3sin（2α+β），∴sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，∴sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα+3cos（α+β）sinα，∴2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，∴tan（α+β）===2tanα，又∵3tan+=1，∴3tan=1﹣，∴tanα==，∴tan（α+β）=2tanα=，故选：A．8．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图所示，O在AC上，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠OAE=30°，由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，由此可得顶点C1到平面α的距离的最大值．【解答】解：如图所示，AC的中点为O，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠AOE=30°由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，C1O=，OE=OA=2﹣x，∴C1E=+2﹣x，令y=+2﹣x，则y′=﹣=0，可得x=，∴x=，顶点C1到平面α的距离的最大值是2（+）．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是8π；几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，由三视图求出几何元素的长度，利用柱体、球体的体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，球和底面圆的半径是1，圆柱的母线长是2，∴几何体的表面积S=4π×12+2π×1×2=8π，几何体的体积是V==，故答案为：．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是π；函数f（x）的最大值是．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式化f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），由已知求出θ得到a值，则函数的周期及最值可求．【解答】解：∵f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），又x=是函数的一条对称轴，∴，即．则f（x）=．T=；由a=tanθ=tan（）=tan=，得．∴函数f（x）的最大值是．故答案为：．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15=3；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则S2016=﹣2100．【考点】数列的求和．【分析】利用递推式计算前5项即可发现{a n}为周期为4的数列，同理{b n}也是周期为4的数列，将每4项看做一个整体得出答案．【解答】解：∵a1=2，a n+1=，∴a2==﹣3，a3==﹣，a4==，a5==2．∴a4n+1=2，a4n+2=﹣3，a4n+3=﹣，a4n=．∴a4n+1•a4n+2•a4n+3•a4n=2×=1．∴a1a2a3…a15=a13a14a15=a1a2a3=2×（﹣3）×（﹣）=3．∵b n=（﹣1）n a n，∴b4n+1=﹣2，b4n+2=﹣3，b4n+3=，b4n=．∴b4n+1+b4n+2+b4n+3+b4n=﹣2﹣3++=﹣．∴S2016=﹣×=﹣2100．故答案为：3，﹣2100．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是24；x2+y2的最小值是8．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．第二问，转化为点到原点的距离的平方，求出B的坐标代入求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，由可得，A（8，8）z最大等于2×8+8=24．x2+y2的最小值是可行域的B到原点距离的平方，由可得B（2，2）．可得22+22=8．故答案为：24；8．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．由于向量与﹣夹角为，可得：∠AOB=θ∈.∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，化简整理可得：=2+﹣=+2，即可得出．【解答】解：不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．∵向量与﹣夹角为，∴∠AOB=θ∈．∴∈，∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，∴=，=sinθ=，∴=2+﹣=+2=+2=+2∈．∴的取值范围是．故答案为：．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是f（x）=4•（）（x∈N*）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可得f（x）＞0恒成立，可对等式两边取2为底的对数，整理为log2f（x+1）﹣2=（log2f （x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}为首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式，整理即可得到f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）＞0恒成立，由f（x+1）=2，可得：log2f（x+1）=1+log2，即为log2f（x+1）=1+log2f（x），可得log2f（x+1）﹣2=（log2f（x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}是首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，可得log2f（x）﹣2=（log210﹣2）•（）x﹣1，即为log2f（x）=2+log2•（）x﹣1，即有f（x）=22•2=4•（）．故答案为：f（x）=4•（）（x∈N*）．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，写出直线AB的方程为（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0，由直线AB与圆相切可得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0，同理：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y A，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，因为S=|y C﹣y B|x0，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值．【解答】解：设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，所以直线AB的方程，化简得（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0直线AB与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，两边平方化简得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0同理可得：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y C，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，所以y C+y B=，y C y B=，所以S=|y C﹣y B|x0==（x0﹣2）++4≥8，所以当且仅当x0=4时，S取到最小值8，所以△ABC的面积的最小值为8．故答案为：8．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DCB，利用余弦定理可求BD，进而求得AC，AB，利用三角形面积公式即可得解．（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，由已知及基本不等式可求BD的最小值，进而可求AC的最小值．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）∵∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB，可得A，B，C，D四点共圆，∴∠DCB=120°，∴BD2=BC2+CD2﹣2CD•CB•cos120°=1+4+2=7，即BD=，∴，∴，∴．…（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，则：x+y=3，BD2=x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy，∴，当时取到．…17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE为二面角A﹣BF﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的余弦值．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，由AB⊥CF，得GB⊥CF，由此能求出cosθ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面AEF⊥平面CEFB，且EF⊥EC，∴AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE为二面角A﹣BF﹣C的平面角设，，，∴，∴二面角A﹣BF﹣C的余弦值为．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，如果AB⊥CF，则根据三垂线定理有GB⊥CF，∵△BCF为正三角形，∴，则，∵，∴，∴cosθ的值为．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．【考点】二次函数的性质；绝对值三角不等式．【分析】（1）由|f（x）|≤得|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，代入解析式即可得出a，b，c的关系，使用放缩法求出|f（2）|的最值；（2）由（1）得出|g（±1）|，故g（x）单调时结论成立，当g（x）不单调时，g（x）=a，利用不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，∴|c|≤，|a+b+c|≤，|a﹣b+c|≤；∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a﹣b+c）﹣3c|≤|3（a+b+c）|+|（a﹣b+c）|+|﹣3c|≤=．∴|f（2）|的最大值为．（2）∵﹣≤a+b+c≤，﹣≤a﹣b+c≤，﹣≤c≤，∴﹣1≤a+b≤1，﹣1≤a﹣b≤1，∴﹣1≤a≤1，若c|x|+bx=0，则|g（x）|=|a|，∴|g（x）|≤1，若c|x|+bx≠0，则g（x）为单调函数，|g（﹣1）|=|a﹣b+c|≤，|g（1）|=|a+b+c|≤，∴|g（x）|．综上，|g（x）|≤1．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，∴，解得c 2=1，a 2=4，b 2=3 ∴椭圆方程为（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则△＞0，，若存在定点N （m ，0）满足条件，则有=（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+y 1y 2 =如果要上式为定值，则必须有验证当直线l 斜率不存在时，也符合． 故存在点满足20．已知正项数列{a n }满足：S n 2=a 13+a 23+…+a n 3（n ∈N *），其中S n 为数列{a n }的前n 项的和． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）通过S n 2=a 13+a 23+…+a n 3（n ∈N *）与S n ﹣12=a 13+a 23+…+a n ﹣13（n ≥2，n ∈N *）作差、计算可知S n +S n ﹣1=，并与S n ﹣1﹣S n ﹣2=作差、整理即得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知，一方面利用不等式的性质、累加可知（）+（）+（）+…+（）＞，另一方面通过放缩、利用裂项相消法计算可知++…+＜2，进而整理即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵S n 2=a 13+a 23+…+a n 3（n ∈N *）， ∴S n ﹣12=a 13+a 23+…+a n ﹣13（n ≥2，n ∈N *），两式相减得：﹣=，∴a n（S n+S n﹣1）=，∵数列{a n}中每一项均为正数，∴S n+S n﹣1=，又∵S n﹣1﹣S n﹣2=，两式相减得：a n﹣a n﹣1=1，又∵a1=1，∴a n=n；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，∴，即，令k=1，2，3，…，n，累加后再加得：（）+（）+（）+...+（）＞2+2+ (2)=（2n+1）=，又∵+++…+＜3等价于++…+＜2，而=＜=（﹣）=（﹣）＜（﹣）=2（﹣），令k=2，3，4，…，2n+1，累加得：++…+＜2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（1﹣）＜2，∴．。

2021届高三数学教学测试〔二〕〔二模,扫描版〕理新人教A版2021年高三教学测试〔二〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日理科数学参考答案1．A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．D ；7．A ；8．D ；9．B ；10．C ．第9题提示：考虑①：因为AD BC //，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，那么①不成立； 考虑②：设点D 的在平面BCF 上的射 影为点P ，当CF BP ⊥时就有FC BD ⊥，而4:3:2::=AB BC AD 可使条件满足，所以②正确；考虑③：当点P 落在BF 上时，⊂DP 平面BDF ，从而平面⊥BDF 平面BCF ，所以③正确．考虑④：因为点D 的射影不可能在FC 上，所以④不成立. 第10题提示：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域是由)1,0(),1,1(),1,1(--C B A 围成的三角形区域〔包含边界〕．因为直线1=+by ax 与⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域无公一共点, 所以b a ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->-+010101b b a b a 或者⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+-<-+010101b b a b a ．),(b a 在如下图的三角形区域〔除边界且除原点〕．所以b a 32+的取值范围是)3,7(-．BAC DEFP11．10； 12．512； 13．138+〔或者6562〕；14．38；15．]38,916[； 16．012=-±y x ； 17．14．第17题提示：集合A 中的方程表示圆心在直线x y =上的六个圆,由对称性只需考虑第一象限. 记3,2,1=a 对应的圆分别为⊙1C , ⊙2C ,⊙3C ,易知⊙1C 与⊙3C 外切⊙2C 与⊙1C , ⊙3C 相交, 且经过⊙1C 的圆心.3,2,1=b 对应的三条直线321,,l l l ，1l 与⊙1C 外切，2l 与⊙2C 外切且与⊙1C 相交，3l 与⊙1C 与⊙3C 的外公切线且与⊙2C 相交，由图知在第一象限一共有7个交点，故一共有14个交点.三、解答题〔本大题一一共5小题，一共72分〕 18．〔此题满分是14分〕在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A Ca b sin 2sin =． 〔Ⅰ〕假设π125=C ，求角B 的大小； 〔Ⅱ〕假设2=b ，23ππ<≤C ，求△ABC 面积的最小值．18．〔Ⅰ〕〔本小题7分〕由正弦定理，得A C AB a b sin 2sin sin sin ==． ∴2165sin 2sin sin ===πC B ． ∴6π=B 〔65π=B 舍〕．〔Ⅱ〕〔本小题7分〕由〔Ⅰ〕中C B 2sin sin =可得C B 2=或者π=+C B 2．又 C B 2=时，23ππ<≤C ，π32≥B ，即π≥+C B ，矛盾．所以π=+C B 2，ππ=+--C C A 2，即C A =．所以3tan 21≥==∆C hb S ABC ，即当3π=C 时，ABC S ∆的最小值是3．19．〔此题满分是15分〕如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //,22====BC AD AB PA ，θ=∠BAD ，E 是棱PD 的中点．〔Ⅰ〕假设︒=60θ，求证：⊥AE 平面PCD ； 〔Ⅱ〕求θ的值，使二面角A CD P --的平面角最小． 19．〔Ⅰ〕〔本小题7分〕当︒=60θ时，∵BC AD //,22===BC AD AB ． ∴AD CD ⊥．又⊥PA 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ∴⊥CD 平面PAD ． 又⊂AE 平面PAD ， ∴AE CD ⊥．又AD PA =，E 是棱PD 的中点， ∴AE PD ⊥． ∴⊥AE 平面PCD ．〔第19题〕〔Ⅱ〕〔本小题8分〕如图，建立空间直角坐标系xyz A -，那么)2,0,0(P ，)0,cos 2,sin 2(θθB ， )0,1cos 2,sin 2(+θθC ，)0,2,0(D ．∴)2,2,0(-=DP 、)0,1cos 2,sin 2(-=θθDC ． 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，那么⎩⎨⎧=-+=+-⎪⎩⎪⎨⎧⇒⊥⊥0)1cos 2()sin 2(022y x z y DC n DP n θθ取1=y ，得)1,1,sin 21cos 2(θθ-=n ．又易知平面ABCD 的法向量为)1,0,0(=m ． 设二面角A CD P --的平面角为α，那么2)sin 21cos 2(1cos 2+-==θθαn m要使α最小，那么αcos 最大，即0sin 21cos 2=-θθ，∴21cos =θ，得3πθ=20．〔此题满分是14分〕有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．〔Ⅰ〕从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“获得红色的三个球〞，事件T 为“获得颜色互不一样的三个球〞，求)(S P 和)(T P ；〔Ⅱ〕先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ．20．〔Ⅰ〕〔本小题6分〕271313131)(=⨯⨯=S P ，92)(131313111213==C C C C C C T P ． 〔Ⅱ〕〔本小题8分〕ξ的可能值为2,1,0．①考虑0=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个红球放入B 盒，相应概率为31，此时B 盒中有2红2非红；假设从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为21，那么C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为21；假设从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为21，那么C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为43．故2454321212131)0(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．②考虑2=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个非红球放入B 盒，相应概率为32，此时B 盒中有1红3非红；假设从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为41，那么C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为21；假设从B 盒中取一非红球放入C盒，相应概率为43，那么C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为41．故2454143214132)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ． ③1272452451)1(=--==ξP ．所以ξ的分布列为ξ0 1 2 P245 127245ξ的数学期望1245212712450=⨯+⨯+⨯=ξE ．21．〔此题满分是15分〕如图，设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线b x y +=2．〔Ⅰ〕假设抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；〔Ⅱ〕假设2=a ，过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Q ，求||||QB PQ 的取值范围．21．〔Ⅰ〕〔本小题6分〕 由四边形ABCD 是菱形，得),(2b a a D +，且⎩⎨⎧=+=+b b a bb a 22222，解得33=a ，31=b ， 所以椭圆方程为19322=+y x ．〔Ⅱ〕〔本小题9分〕不妨设),(2b t t P +〔0≠t 〕，因为t x y t x t x 2|2|'====，所以PQ 的方程为b t t x t y ++-=2)(2，即b t tx y +-=22．又因为直线PQ 过点B ，所以b b t -=+-2，即22t b =． 所以PQ 的方程为222ttx y -=．联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=144224222t y x t tx y ，消去y ，得032)64(22=-+tx x t ．〔第21题〕所以点Q 的横坐标为64322+=t tx Q ，所以132||||22+=--=t x x x x QB PQ B Q Q P ．又)4,0(22∈=b t ，所以||||QB PQ 的取值范围为)89,1(．22．〔此题满分是14分〕R ∈a ，函数2)(x x m =，)2ln()(+=x a x n ．〔Ⅰ〕令⎩⎨⎧>≤=0,)(0,)()(x x n x x m x f ，假设函数)(x f 的图象上存在两点A 、B 满足OB OA ⊥〔O为坐标原点〕，且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值集合；〔Ⅱ〕假设函数)()()(x n x m x g +=存在两个极值点1x 、2x ，求)()(21x g x g +的取值范围． 22．〔Ⅰ〕〔本小题6分〕由题意，不妨设))2ln(,(+t a t A ，),(2t t B -，且0>t ， ∴0=⋅OB OA ，即0)2ln(22=++-t at t ，∴)2ln(1+=t a ．∵),2(ln )2ln(+∞∈+t ， ∴a 的取值集合是}2ln 10|{<<x x ．〔Ⅱ〕〔本小题8分〕)2ln()(2++=x a x x g ，242)('2+++=x ax x x g ．要使)(x g 存在两个极值点，那么0)('=x g 即0422=++a x x 在),2(+∞-上存在两不等的实根．令a x x x p ++=42)(2， ∵)(x p 的图象的对称轴为1-，∴0816>-=∆a 且0)2(>-p ．∴20<<a ．由上知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+222121a x x x x ．∴)2ln()2ln()()(22212121+++++=+x a x x a x x g x g]4)(2ln[2)(212121221++++-+=x x x x a x x x x ]4)2(22ln[22)2(2+-⋅++⋅--=aa a42ln+-=a aa ．令42ln)(+-=x xx x q ，)2,0(∈x ， ∴02ln )('<=xx q ，)(x q 在)2,0(上单调递减， ∴442ln2<+-<a aa ．故)()(21x g x g +的取值范围是)4,2(．。

浙江省嘉兴市2020-2021高三下教学检测（二模）试题及答案（学习版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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浙江省嘉兴市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁U B）=（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m3．“”是“tanθ=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．函数（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．5．已知{a n}是等差数列，公差为2，{b n}是等比数列，公比为2．若{b n}的前n项和为，则a1+b1等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，小于90°的二面角α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论错误的是（）A．∠A′OB′为钝角B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π7．如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的右顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，点p是双曲线右支上一点，PF1交左支于点Q，交渐近线y=x于点R，M是PQ的中点，若RF2⊥PF1，且AM⊥PF1，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．8．已知0＜x＜y，2＜x2，则下列不正确的是（）A．sinx2＜sin（﹣y）B．sinx2＞sin（2﹣y）C．sin（2﹣x2）＜siny D．sinx2＜cos（y﹣1）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知φ∈[0，π），函数f（x）=cos2x+cos（x+φ）是偶函数，则φ=，f（x）的最小值为．10．已知函数，则=，方程f（x）=2的解为．11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．12．已知x，y∈R且满足不等式组，当k=1时，不等式组所表示的平面区域的面积为，若目标函数z=3x+y的最大值为7，则k的值为．13．已知a＞0，f（x）=acosπx+（1﹣x）sinπx，x∈[0，2]，则f（x）所有的零点之和为．14．设，已知x，y∈R，m+n=6，则F=max{|x2﹣4y+m|，|y2﹣2x+n|}的最小值为．15．如图，设正△BCD的外接圆O的半径为R（＜R＜），点A在BD下方的圆弧上，则（﹣﹣）•的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，设边a，b，c所对的角为A，B，C，且A，B，C都不是直角，（bc﹣8）cosA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，点P是CD上的一点，PC=λPD．（Ⅰ）若A1C⊥平面PBC1，求λ的值；（Ⅱ）设λ1=1，λ2=3所对应的点P为P1，P2，二面角P1﹣BC1﹣P2的大小为θ，求cosθ的值．18．已知m∈R，函数f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m．（1）若0＜m≤，求|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）；（2）对任意的m∈（0，1]，若f（x）在[0，m]上的最大值为h（m），求h（m）的最大值．19．已知椭圆C1：=1，直线l1：y=kx+m（m＞0）与圆C2：（x﹣1）2+y2=1相切且与椭圆C1交于A，B两点．（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标为，求m的值；（Ⅱ）过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C，D两点，设|AB|=λ|CD|，求λ的最小值．20．已知点列P n（x n，）与A n（a n，0）满足x n+1＞x n，⊥，且||=||，其中n∈N*，x1=1．（I）求x n+1与x n的关系式；（Ⅱ）求证：n2＜++…+≤4n2．浙江省嘉兴市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁U B）=（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，可以求出集合C U B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，∴C U B={1，3，4}∵A={3，1，2}∴A∩（C U B）={1，3}故选D．2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【考点】直线与平面平行的判定．【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B3．“”是“tanθ=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由tanθ=1，解得θ=（k∈Z），即可判断出结论．【解答】解：由tanθ=1，解得θ=（k∈Z），∴“”是“tanθ=1”的充分不必要条件．故选：A．4．函数（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断．【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，且x≠0，故A符合，当x＞0时，且a＞0时，f（x）=x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f（x）=﹣x+在（﹣∞，0）上为减函数，故B符合，当x＜0时，且a＜0时，f（x）=﹣x+≥2=2，当x＞0时，且a＜0时，f（x）=x+在（0，+∞）上为增函数，故D符合，故选：C．5．已知{a n}是等差数列，公差为2，{b n}是等比数列，公比为2．若{b n}的前n项和为，则a1+b1等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知写出等差数列和等比数列的通项公式，得到，再写出等比数列的前n项和，列等式求得a1+b1的值．【解答】解：由题意可得a n=a1+2（n﹣1），，∴=，{b n}的前n项和，由，得，∴a1+b1=2．故选：B．6．如图，小于90°的二面角α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论错误的是（）A．∠A′OB′为钝角B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】由题意画出图形，由已知二面角α﹣l﹣β小于90°，∠AOB为钝角，结合余弦定理可得∠A′OB′是钝角，由此可得答案．【解答】解：如图，在α内射线OA上取点A，过A作交线l的平行线AB交射线OB于点B，过A作AA′⊥β，垂足为A′，过B作BB′垂直于β，垂足为B′，连接A′B′，则有AB∥A′B′，且AB=A′B′，设OA=a，OB=b，AB=c，则OA′＜a，OB′＜b，∵∠AOB为钝角，∴a2+b2＜c2，则（OA′）2+（OB′）2＜a2+b2＜c2=（A′B′）2，在△A′OB′中，由余弦定理可得∠A′OB′＞∠AOB为钝角．∴∠AOB+∠AOA′＞π．∴错误的选项是C，故选：C．7．如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的右顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，点p是双曲线右支上一点，PF1交左支于点Q，交渐近线y=x于点R，M是PQ的中点，若RF2⊥PF1，且AM⊥PF1，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设PF1的方程为y=k（x+c），k＞0，联立渐近线方程求得R的坐标，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得k=，代入化简整理，再由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设PF1的方程为y=k（x+c），k＞0，联立渐近线方程y=x，可得R（，），由直线y=k（x+c）代入双曲线﹣=1，可得（b2﹣a2k2）x2﹣2ca2k2x﹣a2c2k2﹣a2b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=，即有中点M（，），由A（a，0），F2（c，0），RF2⊥PF1，可得==﹣，即有bk2+2ak﹣b=0，解得k=（负的舍去），由AM⊥PF1，可得k AM==﹣，即为（c3+a3）k2=a（c2﹣a2），即有（c3+a3）（c﹣a）2=ab2（c2﹣a2）=a（c2﹣a2）2，化为c=2a，即e==2．故选：C．8．已知0＜x＜y，2＜x2，则下列不正确的是（）A．sinx2＜sin（﹣y）B．sinx2＞sin（2﹣y）C．sin（2﹣x2）＜siny D．sinx2＜cos（y﹣1）【考点】正弦函数的图象；基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质和正弦函数的单调性得出答案．【解答】解：∵0＜x＜y，2＜x2+y＜，∴1＜y，∴x2＜﹣y＜，∴sinx2＜sin（）．故A正确．∵2＜x2，∴x2＜，y＜，∴＞＞x2＞2﹣y，∴sinx2＞sin（2﹣y），故B正确．∵2＜x2，∴x2＜＜=＜．∴sinx2＜sin（）=cos（y﹣1）．故D正确．故选：C．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知φ∈[0，π），函数f（x）=cos2x+cos（x+φ）是偶函数，则φ=0，f（x）的最小值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由函数为偶函数求得φ值，得到f（x）=cos2x+cosx，展开二倍角余弦，然后利用配方法求得最值．【解答】解：∵函数f（x）=cos2x+cos（x+φ）是偶函数，∴f（﹣x）﹣f（x）=cos（﹣2x）+cos（﹣x+φ）﹣cos2x﹣cos（x+φ）=0恒成立，即cos（﹣x+φ）﹣cos（x+φ）=﹣2sinφ•sin（﹣x）=2sinφ•sinx=0恒成立，∵φ∈[0，π），∴φ=0；f（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=．∴f（x）的最小值为．故答案为：0，．10．已知函数，则=0，方程f（x）=2的解为﹣2或4．【考点】函数的值．【分析】由，利用分段函数的性质能求出的值；由方程f（x）=2，得到当x＞0时，log2x=2；当x≤0时，x2+x=2．由此能求出结果．【解答】解：∵，∴f（）==﹣1，∴=f（﹣1）=（﹣1）2+（﹣1）=0，∵方程f（x）=2，∴当x＞0时，log2x=2，解得x=4；当x≤0时，x2+x=2，解得x=﹣1或x=1（舍）．∴x=﹣2或x=4．故答案为：0；﹣2或4．11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由一个半球去掉后得到的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个半球去掉后得到的几何体．∴该几何体的体积==cm3，表面积=++=cm2．故答案分别为：；．12．已知x，y∈R且满足不等式组，当k=1时，不等式组所表示的平面区域的面积为，若目标函数z=3x+y的最大值为7，则k的值为2．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到k的值．然后即可得到结论．【解答】解：若k=1，则不等式组对应的平面区域如图：则A（1，﹣1），B（1，3），由得，即C（，），不等式组所表示的平面区域的面积为S=×4×（﹣1）=2×=，由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点C时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大，为3x+y=7由，解得，即A（2，1），此时A在kx﹣y﹣k﹣1=0上，则2k﹣1﹣k﹣1=0，得k=2．故答案为：；2；13．已知a＞0，f（x）=acosπx+（1﹣x）sinπx，x∈[0，2]，则f（x）所有的零点之和为2．【考点】函数零点的判定定理．【分析】x=1，，时，f（x）≠0，因此都不是函数f（x）的零点．由f（x）=acosπx+（1﹣x）sinπx=0，化为：tanπx=，（x≠1）．分别作出函数y=tanπx，y=，（x≠1）的图象，则此两函数的图象都关于（1，0）成中心对称，即可得出．【解答】解：x=1时，f（1）=acosπ=﹣a＜0，因此1不是函数f（x）的零点．同理x=，，也不是函数f（x）的零点．由f（x）=acosπx+（1﹣x）sinπx=0，化为：tanπx=，（x≠1，，）．作出函数y=tanπx，y=，（x≠1）的图象，则此两函数的图象都关于（1，0）成中心对称，由函数的单调性与对称性可得：x∈[0，2]，两函数y=tanπx，y=，（x≠1）的图象有且仅有两个交点，并且关于（1，0）成中心对称，不妨设交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=2．故答案为：2．14．设，已知x，y∈R，m+n=6，则F=max{|x2﹣4y+m|，|y2﹣2x+n|}的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得F≥|x2﹣4y+m|，F≥|y2﹣2x+n|，相加，由绝对值不等式的性质和配方方法，可得最小值．【解答】解：F=max{|x2﹣4y+m|，|y2﹣2x+n|}，可得F≥|x2﹣4y+m|，F≥|y2﹣2x+n|，即有2F≥|x2﹣4y+m|+|y2﹣2x+n|≥|x2﹣4y+m+y2﹣2x+n|=|x2﹣2x+y2﹣4y+6|=|（x﹣1）2+（y﹣2）2+1|≥1，即有2F≥1，即F≥，可得x=1，y=2时，F取得最小值．故答案为：．15．如图，设正△BCD的外接圆O的半径为R（＜R＜），点A在BD下方的圆弧上，则（﹣﹣）•的最小值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据三角形为正三角形，再设∠CAO=θ，得到AC=2Rcosθ，根据向量的数量的运算得到（﹣﹣）•得到2R2cos2θ﹣2Rcosθ，再构造函数y=2t2﹣2t=2（t﹣）2﹣，即可求出最值．【解答】解：∵△BCD为正三角形，∴∠CAD=∠CAB=∠DAB=∠CBD=60°，设∠CAO=θ，∴AC=2Rcosθ，∴（﹣﹣）•=•﹣•﹣=2R2cos2θ﹣×2Rcosθ﹣×2Rcosθ=2R2cos2θ﹣2Rcosθ，设Rcosθ=t，∵＜R＜，0°≤θ＜60°，即＜cosθ≤1，∴＜t＜则y=2t2﹣2t=2（t﹣）2﹣∴当t=，y有最小值，即为﹣，故答案为：﹣．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，设边a，b，c所对的角为A，B，C，且A，B，C都不是直角，（bc﹣8）cosA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理化简已知等式可得，又△ABC不是直角三角形，解得bc=4，又b+c=5，联立即可解得b，c的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，解得，可求，利用三角形面积公式即可得解三角形面积的最大值．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵，∴，∴，∵△ABC不是直角三角形，∴bc=4，又∵b+c=5，∴解得或…（Ⅱ）∵，由余弦定理可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，∴，∴，所以．∴△ABC面积的最大值是，当时取到…17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，点P是CD上的一点，PC=λPD．（Ⅰ）若A1C⊥平面PBC1，求λ的值；（Ⅱ）设λ1=1，λ2=3所对应的点P为P1，P2，二面角P1﹣BC1﹣P2的大小为θ，求cosθ的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）法一：若A1C⊥PB，则A1C⊥平面PBC1，只要AC⊥PB即可，由此能求出结果．法二：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出结果．（Ⅱ）过C作CH⊥BC1交BC1于H，连接P1H，P2H，则∠P1HP2就是所求二面角的一个平面角θ，由此能求出cosθ．【解答】解：（Ⅰ）解法一∵A1C⊥BC1若A1C⊥PB，则A1C⊥平面PBC1，只要AC⊥PB即可，在矩形ABCD中，，解得，；解法二：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，B（1，2，0），C1（0，2，1），A1（1，0，1），C（0，2，0），设，若A1C⊥平面PBC1，=（﹣1，2，﹣1），=（﹣1，0，1），=（﹣1，﹣2，0），则，解得．（Ⅱ）过C作CH⊥BC1交BC1于H，连接P1H，P2H，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，∴BH=C1H，P1B=P1C1，P2B=P2C1，∴P2H⊥BC1，P1H⊥BC1，则∠P1HP2就是所求二面角的一个平面角θ∵P1C=1，，∴，tanα=tan（∠P2HC﹣∠P1HC）=，所求余弦值cosθ=．18．已知m∈R，函数f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m．（1）若0＜m≤，求|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）；（2）对任意的m∈（0，1]，若f（x）在[0，m]上的最大值为h（m），求h（m）的最大值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）先判断函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，求出函数f（x）的最大值和最小，比较|f（x）|的大小即可求出函数|f（x）|最大值g（m）；（2）求出m与对称轴之间的关系，结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：（1）f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m=﹣（x﹣）2+2+m+（）2=﹣（x﹣）2+，则对称轴为x=，若0＜m≤，则0＜2m≤1，1≤＜，则函数f（x）在[﹣1，1]上为增函数，则当x=1时，函数f（x）为最大值f（1）=﹣1+3﹣2m+2+m=4﹣m，当x=﹣1时，函数f（x）为最小值f（﹣1）=﹣1﹣3+2m+2+m=3m﹣2，∵0＜m≤，∴0＜3m≤，﹣2＜3m﹣2≤﹣，则|f（﹣1）|=|3m﹣2|∈[，2），f（1）=4﹣m∈[，4），则|f（1）|＞|f（﹣1）|，即|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）=f（1）=4﹣m；（2）f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m=﹣（x﹣）2+，则函数对称轴为x=，若0＜m≤1，则0＜2m≤2，≤＜，若m≤，即0＜m≤时，函数f（x）在[0，m]上单调递增，则最大值为h（m）=f（m）=﹣m2+（3﹣2m）m+2+m=﹣3m2+4m+2．若m＞，即＜m≤1时，函数f（x）在[0，m]上不单调，此时当x=时，函数f（x）取得最大值h（m）==m2﹣2m+即h（m）=，当0＜m≤时，h（m）=﹣3m2+4m+2的对称轴为m==．即当m=时，函数h（m）取得最大值h（）=﹣3×（）2+4×+2=．当＜m≤1时，h（m）=m2﹣2m+的对称轴为m=1，此时函数h（m）为减函数，则函数h（m）＜h（）=（）2﹣2×+=．∵＞．∴h（m）的最大值是．19．已知椭圆C1：=1，直线l1：y=kx+m（m＞0）与圆C2：（x﹣1）2+y2=1相切且与椭圆C1交于A，B两点．（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标为，求m的值；（Ⅱ）过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C，D两点，设|AB|=λ|CD|，求λ的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l1：y=kx+m代入椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式，直线和圆相切的条件：d=r，解方程可得m的值；（Ⅱ）运用弦长公式可得|AB|，把l2：y=kx代入椭圆方程求得CD的长，可得λ=，化简整理，由二次函数的最值求法，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）l1：y=kx+m代入，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣4）=0，△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣4）＞0恒成立，化为4+16k2＞m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以①，又，得②，联立①②得m4﹣m2﹣2=0，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，把l2：y=kx代入，得，所以，可得==，当，λ取最小值．20．已知点列P n（x n，）与A n（a n，0）满足x n+1＞x n，⊥，且||=||，其中n∈N*，x1=1．（I）求x n+1与x n的关系式；（Ⅱ）求证：n2＜++…+≤4n2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（I）由题意可得P n（x n，），P n+1（x n+1，），A n（a n，0），再由向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的模的公式，化简整理，即可得到所求关系式；（Ⅱ）当n=2时，计算成立；由x n+1﹣x n=，可得x n+12=2+x n x n+1，讨论2n＜x n x n+1＜4n﹣2，运用累加及等差数列的求和公式，即可得证．【解答】解：（I）由题意可得P n（x n，），P n+1（x n+1，），A n（a n，0），由⊥，可得（x n+1﹣x n）（x n+1﹣a n）+（﹣）•=0，化简可得x n+1﹣a n=，由||=||，可得（x n+1﹣x n）2+（﹣）2=（x n+1﹣a n）2+（）2，即（x n+1﹣x n）2（1+）=（1+），由x n+1＞x n，可得x n+1﹣x n=；（Ⅱ）当n=2时，x2﹣x1=，由x1=1，可得x2=2，满足1＜22≤4；由x n+1﹣x n=，可得x n+12=2+x n x n+1，=2+x1x2≥4，=2+x2x3＞6，…，=2+x n x n+1＞2n+2，相加可得， ++…+＞n（6+2n）=n2+3n＞n2．又=2+x1x2≤4，=2+x2x3＜8，…，=2+x n x n+1＜4n，相加可得， ++…+＜n（4+4n）=2n2+2n＜4n2．则有n2＜++…+≤4n2．。

浙江省嘉兴市高三数学理科二模测试卷 人教版本测试共三大题，有试题卷和答题卷．试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷一．选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}2,1,0{=A ，},2{A a a x x B ∈==，则=B A（A ）}2,1,0{ （B ）}2,0{ （C ）}0{ （D ）}2,1{ 2．复数z 满足i z i +=-2)1(，（i 为虚数单位），则z 在复平面上对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3．过点)2,1(P 且方向向量为)1,2(-=a 的直线方程是 （A ）042=-+y x （B ）02=-y x（C ）052=-+y x（D ）032=+-y x4．在二项式nxx )2(-的展开式中，若第六项为常数项，则n 的值是 （A ）15（B ）16 （C ）17 （D ）185．已知不等式213<--x ax 的解集为}31{<<x x ，则实数a 的值是 （A ）0（B ）1 （C ）3 （D ）56．双曲线12422=-y x 的右焦点到它的渐近线的距离是（A ）2 （B ）2 （C ）22 （D ）47．已知△ABC 的三边c b a ,,成等差数列，则B ∠的取值范围是 （A ）]3,6[ππ （B ）]3,0(π （C ）]3,4[ππ （D ）]2,3[ππ 8．设b a ,表示两直线，βα,表示两平面，则下列命题正确的是（A ）a ∥b b ,∥α，则a ∥α （B ）βαα⊥⊥,a ，则a ∥β （C ）α⊥⊥b b a ,，则a ∥α （D ）a ∥b b ,α⊥，则α⊥a 9．已知函数)21(x f +是偶函数，则)(x f y =图象的一条对称轴是 （A ）1=x（B ）21=x （C ）2=x （D ）21-=x10．数组),,(321a a a ，其中321,,a a a }10|*{≤∈∈x N x ，且321a a a ≤≤，如（1,1,1），（1, 1, 2），（1,1, 3），……(1,1,10)，（1,2,2）……，这样的数组共有 （A ）1000个 （B ）550个 （C ）220个 （D ）175个第Ⅱ卷二．填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．函数)2(log 22x x y -=单调递增区间是 ▲ ．12．点P 是圆C ：04222=+-+y x y x 上的任一点，则点P 到直线01643=+-y x 的距离的最小值为 ▲ ．13．在球的内接长方体''''D C B A ABCD -中，已知4,3'===BC AA AB ，则球的表面积是 ▲ ．14．有3道“四选一”选择题，每题4分．某考生对其中2道题能各排除2个选项，随后他随机猜答，则该考生做这3道题的得分的数学期望是 ▲ ．15．已知b a x b a x f -++=2)2()(，)0(≥a ，且当]1,0[∈x 时恒有1)(≤x f ，则)1(-f 的最大值为 ▲ ．16．已知312lim 21=-++→x bx ax x ，则=-b a ▲ ．17．已知x x f 2sin )(=，定义n 次导数：)]'([)()1(x f x f =，)]'([)()()1(x f x f n n =+，(*N n ∈)． 则)4()4()4()2008()2()1(πππf f f +++ = ▲ ． 三．解答题（本大题共5小题，前4题每题14分，第22题16分，共72分） 18．已知向量)1,1(),sin ,(cos ==b a αα，b a f ⋅=)(α， （1）若31)(=αf ，求α2sin 的值； （2）当]2,0[πα∈时，求函数)(αf y =的值域．19．已知函数12)(2--=mx x x f ，定义域为]1,1[-（1）当2=m 时，求)(x f 的最大值； （2）当)(x f 的最大值为4时，求m 的值．20．已知ABCD 是正方形，直线AE ⊥平面ABCD ，且1==AE AB ，（1）求异面直线AC 、DE 所成的角； （2）求二面角D CE A --的大小； （3）设P 为棱DE 的中点，在△ABE 的内部或边上是否存在一点H ，使PH ⊥平面ACE ？若存在求出点H 的位置，若不存在说明理由．21．如图，设F 是椭圆)0(,12222>>=+b a by ax 的左焦点，直线l 为对应的准线，直线l 与x 轴交于P 点，MN 为椭圆的长轴，已知MF PM 2=8=．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P 作直线与椭圆交于A 、B 两点，求三角形△ABF 面积的最大值．DC22．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且对于任意的*N n ∈，恒有n a S n n -=2，设)1(log 2+=n n a b ，（1）求证数列}1{+n a 是等比数列；（2）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式n a 和n b ；（3）设12+⋅=n n b n a a c n ，判定数列}{n c 的单调性，并证明3421<+++n c c c ．[参考答案]注意：本细则主要为“答案不对时如何给分”服务，而不要过分强调“因不完整而扣分”。

浙江省嘉兴市高三数学理科质量测试卷二 人教版本测试共三大题，有试题卷和答题卷．试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题）采用机读卡答题的考生请将答案涂写在机读卡上，不采用机读卡的考生请将答案填在答题卷上．第Ⅱ卷（非选择题）答案都填写在答题卷上．第Ⅰ卷一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．)1200sin(︒-的值为（ ▲ ）（A ）21（B ）23 （C ）21- （D ）23- 2．已知集合}1,0{=S ，}03|{2<-=x x x T ，则=T S （ ▲ ）（A ）∅ （B ）}0{ （C ）}1{ （D ）}1,0{3．设1:-<x p ，2:-<x q ，则p 是q 的（ ▲ ）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件4．已知椭圆的一个焦点到相应准线的距离等于椭圆长半轴的长，则这个椭圆的离心率为（ ▲ ） （A ）212- （B ）213- （C ）21 （D ）215- 5．不等式3||152>-+x x 的解集为（ ▲ ） （A ）)2,1()1,1()1,2( --- （B ）)1,1(- （C ）)23,1()1,1()1,23( ---（D ）)21,21(-6．设E 为平面上以)1,4(A 、)6,1(--B 、)2,3(-C 为顶点的三角形区域（包括边界），E y x ∈),(，则y x z 34-=的最大值和最小值分别为（ ▲ ） （A ）14 ，18-（B ）14-，18- （C ）18 ，14（D ）18 ，14-7．若n m ,表示直线，α表示平面，则下列命题中真命题有（ ▲ ） ①αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥n m n m //；②n m n m //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα；③n m n m ⊥⇒⎭⎬⎫⊥αα//；④αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥n n m m //（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个8．设函数)(x f y =在点0x 处可导，则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000等于（ ▲ ）（A ）)('0x f（B ）)('20x f （C ）)('210x f （D ）)('0x f -9．设}{n a 是等差数列，首项01>a ，010061005>+a a ，010061005<⋅a a ，则使其前n 项的和0>n S 成立的最大自然数n 是（ ▲ ）（A ）2004 （B ）2006 （C ）2008 （D ）201010．如图，A ，B ，C ，D ，E 为海上的五个小岛，要建四座桥将这五个小岛连结起来，则不同的建桥方案共有（ ▲ ）（A ）125种 （B ）135种（C ）200种 （D ）210种 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）11．已知复数i z 431+=，i z --=12，则=⋅21z z ▲ ． 12．抛物线24x y =的准线方程为 ▲ ．13．若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-=)1(1)1(2)(3x x a x a x x x f 在点x =1处连续，则实数a = ▲ ．14．“⎰”为数学分析中的积分符号，),(3b a R b a dx x ba<∈⎰且表示图中阴影部分的面积，)(41443a b dx x ba -=⎰．已知由曲线C ：3x y =与直线l ：m x y +-=2以及x 轴围成的封闭图形为Ω，如果曲线C 与直线l 交点的纵坐标为8，则封闭图形Ω的面积为▲ ．三．解答题（本大题共6小题，每题14分，共84分）15．已知向量)1,cos 2(x a =，)2sin 3,(cos x x b =，其中R x ∈．设b a x f ⋅=)(，求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的集合．16．甲、乙、丙三人，每人射击一次击中目标的概率分别为21、p 、p （10<<p ），设三人各射击一次，恰有ξ名选手击中目标． （1）求ξ的分布列；（2）若2=ξE ，求p 的值．ACB D E Oxy a bxy =17．如图，已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB //CD ，︒=∠90DAB ，⊥PA 底面ABCD ，2=AB ，1===PA CD AD ，M 为PB 的中点， （1）求证CM //面PAD ；（2）求二面角M AC P --的大小．18．如图，)0,3(1-F ，)0,3(2F 是双曲线C 的两焦点，直线34=x 是双曲线C 的右准线，A 1、A 2是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于A 2的一动点，直线A 1P ，A 2P 分别交双曲线C 的右准线于M ，N 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）求证: N F M F 21⋅为定值．19．已知函数3)(2+-=ax x x f 在(0, 1)上为减函数，函数x a x x g ln )(2-=在区间(1, 2)上为增函数． （1）求a 的值；（2）试判断方程)(2)(x g x f =在),0(∞+上解的个数，并说明理由．20．已知集合{1}，{3, 5}，{7, 9,11}，{13, 15, 17, 19},……，其中第n 个集合有n 个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中最大的数与后一个集合中最小的数是连续奇数，（1）求第n 个集合中最小的数a n 的表达式； （2）求第n 个集合中各数之和S n 的表达式； （3）求证：∑=-++>nk k n n S 12221)2(log log31（4≥n ）．O xy2A NMP1A 1F 2F A D B M P[参考答案]一．选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）DCBDB ACBDA二．填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）11．17i -；12．116y =-； 13．2； 14．20．三．解答题（本大题共6小题，每题14分，共84分）15．解：(2cos ,1)a x =，(cos 32)b x x = ∴xx b a 2sin 3cos 22+=⋅…---------------------------------------------------------------4分 12cos 2sin 3++=x x …----------------------------------------------------------------------6分2sin(2)16x π=++，即1)62sin(2)(++=πx x f ┄--------------------------10分；∴当22()62x k k Z πππ+=+∈，即()6x k k Z ππ=+∈时，max 3y =，∴max 3y =，此时x 的集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．┄--------------------14分16．（1）设恰有n 名选手击中目标的概率记为(),0,1,2,3n P p n n ξ===201(1)2P p =-，2211111(1)2(1)2222P p p p p =-+⋅-=-+ 2221112(1)222P p p p p p =⋅-+=-+，2312P p =．┄-----------------------8分∴ξ的分布列 ξ 0 1 2 3 P21(1)2p - 21122p -+ 212p p -+212p （2）122E p ξ=+，┄12分由题意：1322,24p p +=∴=．--------┄14分17．方法一（1）建立空间直角坐标系A －DBP ．则)0,1,1(C ，)21,1,0(M ， )21,0,1(-=CM --------------------2分取PA 中点N ，则)21,0,1(-=DN --------------------------------------4分∴DN CM =，即DN CM //…∴CM //面PAD ；-------------6分PM AD C Bx yzN（2）设),,(z y x n =平面MAC 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥AM n ACn ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒0210z y y x ，取2=z ，则)2,1,1(-=n ----------9分 取平面PAC 的一个法向量)0,1,1(-=m …------------------11分∵|,cos |><m n 31|2611|=⨯--= ∴二面角M AC P --的大小为33arccos…14分 方法二（1）取PA 中点N ，连MN 、DN ， ∵M 是PB 的中点， ∴CD AB MN ////，CD AB MN ==21∴CDNM 是平行四边形…4分∴DN CM //，∴CM //面PAD ；…6分（2）∵平面PAC ⊥平面ABC ，∴二面角M AC P --的大小-︒=90二面角M AC B --的大小…-------------8分 作AB ME ⊥于E ，则⊥ME 平面ABCD ，且E 是AB 的中点，连CE ，则ADCE 是正方形，连DE 交AC 于F ，则AC EF ⊥连MF ，则AC MF ⊥，∴MFE ∠是二面角M AC B --的平面角…-----------12分 ∴FME ∠的大小就是二面角M AC P --的大小在Rt △MEF 中，21=ME ，21=EF ，∴2tan ==∠ME EFFME∴二面角M AC P --的大小2arctan …----------------------------------14分18．（1）由已知, 243,,3a c c ==∴2222, 5.abc a ==-=---------------------------------4分所求双曲线C 的方程为22145x y -=．--------------------------------------6分（2）解法（一）设P 的坐标为00(,)x y , M , N 的纵坐标分别为12,y y ，∵12(2,0), (2,0)A A -, ∴100(2,),A P x y =+200(2,),A P x y =---------------------8分1A M 110(,),3y = 2A N 22(,).3y =-∵1A P 与1A M 共线, ∴01010(23x )y y +=，010103(2)y y x =+．同理02023(2)y y x =--．----------------------------------------------------10分∵),313(11y M F =，NF 225(,)3y =-，PMA DC BNEF----------------------------------------------------------12分∴1F M ·2F N ＝201220206565999(4)y y y x -+=---＝20205(4)206541099(4)x x -⨯--=--．-------14分 解法（二）设P ),(00y x ，则020454y x =- 直线A 1P 的方程：)2(200++=x x y y ，直线A 2P 的方程：)2(200--=x x y y ，----8分 则M 点的坐标))2(310,34(00+x y ，N 点的坐标))2(32,34(00--x y ，------------------------10分 ))2(310,313(001+=x y M F ，=N F 2))2(32,35(00---x y ，-----------------------------------12分⋅M F 1=N F 2965-)4(9202020--x y =965-925-=10-．------------------------------------14分19．解（1）：∵函数2()3f x x ax =-+在(0, 1)上为减函数， ∴12a≥，得2a ≥．-----------------------------------------------------2分 又()2,ag x x x'=-依题意()0((1,2)g x x '≥∈恒成立，得22x a ≥当x ∈(1, 2)恒成立．有2a ≤， ∴a =2．----------------------6分（2）由f (x )=2g (x )得：24ln 230x x x -+-= 令2()4ln 23h x x x x =-+-，则242(2)(1)()2222x x x x h x x x x x+-+-'=-+=⨯=⨯，---------------------8分 ∴在(0,)+∞上，当x ∈(0, 1)时()0h x '<，h (x )在(0, 1)上为减函数，当x ∈(1, +∞)时()0h x '>，在(1, +∞)上为增函数，------------------------10分 ∴min ()(1)0h x h ==，即)(2)(x g x f ≥，当且仅当1=x 时f (x )=2g (x ) -----------12分 ∴方程f (x )=2g (x )在(0,)+∞上仅有一个解．-------------------------------14分 20．（1）设第n 个集合中最小数a n , 则第1n -个集合中最小数1n a -, 又第1n -个集合中共有1n -个数, 且依次增加2 ,∴12(1)n n a n a -+-= ,即 12(1)(2)n n a a n n --=-≥ , -------------------------┄4分∴122(2),n n a a n ---=-232(3)n n a a n ---=-21,,2a a ⋅⋅⋅-= , 相加得21(1)(11)22n n n a a n n -+--=⨯=- ,即得21n a n n a =-+ .又11a =，∴21n a n n =-+. ┄-------------------------------------------7分 （2）由（1）得21n a n n =-+ , 从而得23(1)(1)22n n n S n n n n -=-++⨯=. ┄10分 （3）4n ≥时，!2n n >，且201222(11)2nnnnnn n C C C ++=+>++=，22!2n n n ++∴>，222log !log (2)1n n n ∴>++-， ∵3k S k =，∴∑==nk k n S 122!log log3122211log log (2)13nk k S n n =∴>++-∑（4n ≥）┄-------------------------------14分 （本小题也可用数学归纳法来证）。

提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．22．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1,2,...,800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[]1,200的人做试卷A ，编号落在[]201,560的人做试卷B ，其余的人做试卷C ，则做试卷C 的人数为( ) A ．10B ．12C ．18D ．283．已知函数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，则a的取值范围为（ ） A ．1,121e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭B ．21,12e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．211,22e -⎛⎤ ⎥-⎝⎦D ．11,212e ⎛⎤⎥-⎝⎦ 4．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-5．已知函数f(x)＝a x ，其中a>0，且a ≠1，如果以P(x 1，f(x 1))，Q(x 2，f(x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f(x 1)·f(x 2)等于( ) A ．1B ．aC ．2D ．a 26．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于4637787810101515+C C C CC C 的是（ ）A ．(2)P X =B ．(67)≤≤P XC ．(4)P X =D ．(34)≤≤P X7．若命题p ：x R ∀∈，ln 10x x -+<，则p ⌝是（ ） A ．x R ∀∈，ln 10x x -+≥ B ．0x R ∃∈，00ln 10x x -+≥ C ．x R ∀∈，ln 10x x -+=D ．0x R ∃∈，00ln 10x x -+<8． “所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理（ ） A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论错误D ．正确9．用数学归纳法证明11112321n n +++⋅⋅⋅+<-（*n N ∈，2n ≥）时，第一步应验证（ ） A ．1122+< B ．111223++< C ．111323++< D ．11113234+++< 10．用反证法证明：“实数,,x y z 中至少有一个不大于0”时，反设正确的是（ ） A ．,,x y z 中有一个大于0 B ．,,x y z 都不大于0 C ．,,x y z 都大于0 D ．,,x y z 中有一个不大于011．()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+12．以()1,0F 为焦点的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x =B ．22y x =C ．24x y =-D ．22x y =二、填空题：本题共4小题13．若指数函数()y f x =的图象过点(2,4)-，则(3)f =__________.14．正弦曲线sin y x =上一点P ，正弦曲线以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是______.15．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()3f x f x +=-，且()12019f -=，则()2020f =______. 16．关于圆周率π，祖冲之的贡献有二：①3.1415926 3.1415927π<<；②用227作为约率，355113作为密率，其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题.约率可通过用连分数近似表示的方法得到，如：111223.14159265333170.0625135770.14159265=+≈+≈+=+，舍去0.0625135，得到逼近π的一个有理数为122377+=化为连分数形式：1111m n k r++++（m ，n ，k 为正整数，r为0到1之间的无理数），舍去r的一个有理数为__________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

浙江省嘉兴市数学高考理数二模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U={-1,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则为（）A . {1,2,4}B . {2,3,4}C . {-1,2,4}D . {-1,2,3,4}2. （2分）(2017·南开模拟) 设复数z1 ， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+2i，i为虚数单位，则z1z2=（）A . 1﹣2iB . 5iC . ﹣5D . 53. （2分）已知=（1，1，1），=（x，﹣1，﹣1），若⊥，则实数x=（）A . -1B . 1C . 2D . 04. （2分）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一下·仙桃期末) 已知函数，则f（3a+2）＞f（2a）＞0的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含正半轴上的整点），其运动规律为或。

若该动点从原点出发，经过6步运动到点，则有（）种不同的运动轨迹。

A . 15B . 14C . 9D . 107. （2分） (2016高二上·温州期末) 将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a的最大值为（）A .B .C .D .8. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A . 2B .C . -D . -39. （2分） (2016高一下·枣阳期中) 设ω＞0，函数y=sin（ωx+ ）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A .B .C . 3D .10. （2分） (2018高二下·普宁月考) 已知为等比数列，数列满足，且，则数列的前项和为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二上·成都期中) 点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是（）①，②，③，④，⑤A . 2B . 3C . 4D . 5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·公安期中) 甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率为________．14. （1分）(2013·安徽理) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ= 时，S为等腰梯形③当CQ= 时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．15. （1分）(2017·太原模拟) 已知（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为________．（用数字作答）16. （1分）(2016·孝义模拟) 已知数列{an}，a1=1，且an﹣1﹣an﹣1an﹣an=0（n≥2，n∈N*），记bn=a2n ﹣1a2n+1 ，数列{bn}的前n项和为Tn ，则满足不等式Tn＜成立的最大正整数n为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）(2018·吉林模拟) 在中，角所对边分别是，满足（1）求角；（2）若，求面积的最大值.18. （10分） (2018高三上·凌源期末) 共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为，求的分布列与数学期望.19. （5分） (2017高二下·南昌期末) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，侧面AA1B1B 为正方形，且AA1⊥平面ABC，D为线段AB上的一点．（Ⅰ）若BC1∥平面A1CD，确定D的位置，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A1D﹣C﹣BC1的余弦值．20. （10分） (2017高二上·哈尔滨月考) 已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，长轴长为，离心率为 .（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆交于点，若，求的面积．21. （15分）(2016·柳州模拟) 已知函数f（x）= ﹣mx（m∈R）．（1）当m=0时，求函数f（x）的零点个数；（2）当m≥0时，求证：函数f（x）有且只有一个极值点；（3）当b＞a＞0时，总有＞1成立，求实数m的取值范围．22. （10分） (2017高二下·临淄期末) 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．23. （5分）(2017·新课标Ⅱ卷理) [选修4-5：不等式选讲]已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。

浙江省2020年高考数学二模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·唐山期末) 是虚数单位，复数满足，则（）A . 或B . 或C .D .2. （2分）已知定义域为R的函数在区间上单调递减，并且函数为偶函数，则下列不等式关系成立的是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·山西模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·河南模拟) 已知两条直线和平面，若，则是的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件5. （2分）(2018·民乐模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .6. （2分）函数的图像如图所示，为了得到的图像，则只需将的图像（）A . 向右平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向左平移个长度单位7. （2分）已知直线与曲线有交点，则（）A .B .C .D .8. （2分）(2019·内蒙古模拟) 如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（）A . ，B . ，C . ，D . ，9. （2分）(2020·安徽模拟) 在三棱锥中，已知，，，，且平面平面，三棱锥的体积为，若点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A .B .C .D .10. （2分）(2016·天津模拟) 设实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为（）A .B . 4C . 3D . 011. （2分）(2017·日照模拟) 抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则 =（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·衡阳月考) 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·浙江) 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6 ， S6=________．14. （1分）(2016·天津理) 的展开式中x2的系数为________.(用数字作答)15. （1分） (2016高三上·六合期中) 如图，在2×4的方格纸中，若和是起点和终点均在格点的向量，则向量2 + 与﹣的夹角余弦值是________．16. （1分） (2016高三上·泰州期中) 在△ABC中，（﹣3 ）⊥ ，则角A的最大值为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）(2018·枣庄模拟) 已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且成等差数列，。