学而思初一数学春季班第13讲 全等中的基本模型.目标满分班 教师版

目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元一次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式〔组〕 (79)1 平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证实目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法,熟悉平行线四大模型的构造秋季回忆平行线的判定与性质1、平行线的判定根据平行线的定义,如果平面内的两条直线不相交,就可以判断这两条直线平行,但是,由于直线无限延伸,检验它们是否相交有困难,所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行,这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行.判定方法1:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简称：同位角相等,两直线平行.判定方法2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简称：内错角相等,两直线平行,判定方法3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简称：同旁内角互补,两直线平行,假设/ 1 = 72,那么AB// CD 〔同位角相等,两直线平行〕；假设/ 1 = 7 3,那么AB// CD 〔内错角相等,两直线平行〕；假设/ 1+ /4= 180°,那么AB//CD 〔同旁内角互补,两直线平行〕.另有平行公理推论也能证实两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.2、平行线的性质利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,可以判定两条直线平行.反过来,如果两条直线平行,当它们被第三条直线所截,得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系,这就是平行线的性质.性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简称：两直线平行,同位角相等性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等简称：两直线平行,内错角相等性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简称：两直线平行,同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔〞模型点P在EF右侧,在AB、CD内部结论 1 :假设AB // CD,贝U/ P+Z AEP + ZPFC =3 60° ;结论2:假设/ P+/AEP+/PFC= 360°,贝U AB//CD.模型二“猪ET模型〔M模型〕点P在EF左侧,在AB、CD内部“猪蹄〞模型结论 1 :假设AB // CD,贝U/ P=/AEP + /CFP ;结论 1 :假设AB // CD ,贝U/ P=Z AEP-ZCFP 或/ P=/ CFP-/AEP; 结论2:假设/ P=/AEP- / CFP 或/ P=/CFP- / AEP,贝U AB // CD.模型四“骨折〞模型点P在EF左侧,在AB、CD外部“骨折〞模型结论 1 :假设AB // CD ,贝U/ P=Z CFP- / AEP 或/ P=Z AEP-/ CFP ; 结论2:假设/ P= ZCFP- / AEP 或/ P= ZAEP- / CFP,贝U AB // CD.稳固练习平行线四大模型证实(1) AE // CF ,求证/ P +/AEP +/ PFC = 360(2) / P=Z AEP+ZCFP,求证AE//CF.(3) AE//CF,求证/ P=/AEP-/CFP.(4) ZP= ZCFP -/AEP,求证AE //CF .模块一平行线四大模型应用例1(1)如图,a//b, M、N分别在a、b上,P为两平行线间一点,那么/ l + /2+/3= .(2)如图,AB//CD,且/ A=25° , / 0=45°,那么/ E 的度数是(3)如图, AB// DE, /ABC=80° , / 0DE =140°,那么/ B0D= .A* ---------------------- rB (4)如图,射线AC//BD, / A= 70° , / B= 40°,那么/ P=(1)如下图,AB//CD, /E=37° , / 0= 20 °,那么/ EAB 的度数为(2) (七一中学2021-2021七下3月月考)如图,AB // CD, / B=30° , / O=/ C.那么/ 0=例2如图, AB//DE, BF、DF分别平分/ ABC、/ CDE,求/ C、/ F的关系.练如图, AB//DE, /FBC = 1/ABF, /FDC = 1/FDE. n n⑴假设n=2,直接写出/ C、/ F的关系 ;(2)假设n=3,试探冗/ C、/F的关系；(3)直接写出/ C、/ F的关系 (用含n的等式表示)如图, AB//CD, BE 平分/ABC, DE 平分 / ADC .求证：/ E= 2 (/A+/C).如图,己知AB//DE, BF、DF分别平分/ ABC、/ CDE ,求/ C、/ F的关系.例4如图,/ 3==/1+/2,求证：/ A+/B+/C+/D=180〔武昌七校2021-2021七下期中〕如图, ABXBC, AE 平分/ BAD 交BC 于E, AEXDE , / 1+ / 2= 90° ,M、N分别是BA、CD的延长线上的点,/ EAM和/ EDN的平分线相交于点F那么/ F的度数为〔〕A. 120° B.135° C. 145°D,150°模块二平行线四大模型构造例5如图,直线AB//CD, / EFA= 30° , / FGH = 90 /GHM = . ,/ HMN =30° , / CNP= 50°,那么如图,直线AB//CD, / EFG =100° , / FGH =140°,那么/ AEF+ ZCHG =例6/ B =25° , / BCD=45° , / CDE =30 ° , Z E=l0°,求证：AB // EF .练AB // EF,求/ 1- / 2+/3+/4 的度数.⑴如图⑴, MA i//NA n,探索/ A i、/A2、…、/ A n, / B i、/ B2…/B n-1之间的关系.(2)如图(2),己知MA i// NA4,探索/ A i、/ A2、/ A3、/ A4, / B i、/ B2之间的关系.(3)如图(3),MA i// NA n,探索/ A i、/ A2、…、/ A n之间的关系.如下图,两直线AB//CD平行,求/ i+/2+/3+/4+/5+/6.挑战压轴题(粮道街2021—2021七下期中)如图1,直线AB//CD, P是截线MN上的一点,MN与CD、AB分别交于E、F.(1)假设/EFB=55° , / EDP= 30°,求/ MPD 的度数；(2)当点P在线段EF上运动时,/ CPD与/ ABP的平分线交于Q,问：一Q-是否为定值？假设是定值, 请DPB求出定值；假设不是,说明其范围；(3)当点P在线段EF的延长线上运动时,/ CDP与/ ABP的平分线交于Q,问——的值足否认值,请DPB在图2中将图形补充完整并说明理由.图1 图2第一讲平行线四大模型〔课后作业〕1.如图,AB // CD // EF , EH^CD 于 H ,贝U/ BAC+/ACE +/CEH 等于〔〕.3 .如图 3,己知 AE// BD, / 1=130° , / 2=30 ° ,贝U/ C=4 .如图,直线 AB//CD, /C =115° , / A= 25 ° ,那么/ E=5 .如阁所示,AB// CD, / l=l l0° , / 2=120° ,那么/ 后6 .如下图, AB// DF, /D =116° , / DCB=93° ,那么/ B=A.180°B.270°C.360°2.(武昌七校 2021-2021七下期中) D. 450假设 AB // CD , / CDF =-/ CDE, 3 / ABF = - Z ABE,3贝叱 E: / F=( ).A. 2: 1B. 3: 1C. 4: 3AE7.如图,将三角尺的直角顶点放在直线 a 上,a// b. Z 1=50° , Z 2 =60°,那么/ 3的度数为8.如图,AB//CD, EP± FP,/1=30° , / 2=20°.那么/F的度数为9 .如图,假设AB//CD, ZBEF=70°,求/ B+/F+/C 的度数.10 .,直线AB// CD.(1)如图l, / A、/C、/ AEC之间有什么关系？请说明理由;(2)如图2, / AEF、/ EFC、/ FCD之间有什么关系？请说明理由;(3)如图3, / A、/ E、/ F、/ G、/ H、/ O、/ C 之间的关是—FA第11页共11。

方程7级二元一次方程组的实际应用方程8级分式方程方程9级一元二次方程认识初步寒假班第一讲秋季班第十讲世纪画作漫画释义满分晋级阶梯4二元一次方程组的实际应用编写思路：本讲主要还是训练学生寻找题目中等量关系的能力。

当题目中涉及多个未知量及多个等量关系的时候，可以设多元，通过列方程组、解方程组解答。

每个例题，涉及一个实际问题，让学生充分掌握和运用各类实际问题中量与量的关系列方程。

解实际问题的一般步骤：⑴ 审题，分析题目中的已知和未知； ⑵ 找等量关系（画图法或列表法等）； ⑶ 设未知数列方程组； ⑷ 求解方程组；⑸ 检验（包括代入原方程组检验和是否符合题意的检验）； ⑹ 写出答案．【引例】 A 、B 两地相距36千米，两人步行，甲从A 到B ，乙从B 到A .两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙剩下的路程的2倍，求两人的速度. 【分析】设甲每小时行x 千米，乙每小时行y千米，那么，其有关的等量关系可用下面的线段图表示例题精讲思路导航知识互联网题型一：二元一次方程组的应用（如图所示）【解析】 设甲的速度是x 千米/时，乙的速度是y 千米/时，根据题意得44363662(366)x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 解方程组得45x y =⎧⎨=⎩. 答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时.1．工程问题【例1】 ⑴某蔬菜公司收购某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨。

现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排x 天精加工，y 天粗加工. 为解决这个问题，所列方程组正确的是（ ）A ．14016615x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．14061615x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．15166140x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．15616140x y x y +=⎧⎨+=⎩⑵2012年8月中旬，某市受到14号台风的影响后，部分街道路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m 的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．若甲、乙两队合作需12天完成此工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．问甲、乙两队单独完成此工程各需多少天？【解析】 ⑴D⑵设甲、乙两队每天排水量分别为，x y m ，则 121212008181200x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得6040x y =⎧⎨=⎩甲：12006020÷=（天）； 乙：12004030÷=（天） 另解：设甲、乙两队单独完成此工程各需，x y 天，则 111128181x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2030x y =⎧⎨=⎩ (2)(1)4x4yAB甲乙 C AC+CB=ABBC=2AD乙甲 B ADC6x 36-6x 甲剩下的乙剩下的36-6y 6y典题精练答：甲队单独完成此工程需要20天，乙队需要30天．【点评】第一种方法虽然不是直接法但是好理解也容易求解，第二种方法直接设元但实际是分式方程，学生不太好求.教师可两种方法都介绍.2．图形问题【例2】 ⒈小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题： ⑴ 写出用含x 、y 的代数式表示的地面总面积；⑵ 已知客厅面积比卫生间面积多221m ，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺21m 地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【解析】 ⑴ 6218S x y =++；⑵ 62216218152x y x y y -=⎧⎨++=⨯⎩ 解得432xy =⎧⎪⎨=⎪⎩．总费用为：38064218804536002⎛⎫⨯⨯+⨯+=⨯= ⎪⎝⎭元答：铺地砖的总费用为3600元．2.如图所示，矩形ABCD 的周长为14cm ，E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 长为半径画弧交AD 于点F ．以C 为圆心，CB 长为半径画弧交CD 于点G ．设cm AB x =，cm BC y =，当DF DG =时，求x ，y 的值．【解析】 根据题意可列方程组221412x y y x x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩．3．利润问题【例3】 甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50％的利润定价，乙服装按40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 【解析】 设甲、乙服装的成本分别为x 元，y 元，根据题意可得()5001.5 1.40.9500157x y x y +=⎧⎪⎨+⨯-=⎪⎩解得300200x y =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两件服装的成本分别是300元和200元．【点评】售价=成本+利润=成本⨯（1+利润率），利润率=利润/成本．4．容积问题【例4】 第一个容器内有水49升，第二个容器有水56升．若将第二个容器内的水倒满第一个容器，第二个容器剩下的水正好是这个容器的容量的一半．若将第一个容器内的水倒满第二个容器，第一个容器剩下的水正好是这个容器的容量的三分之一．求两个容器的容量． 【解析】 设第一个容器的容量为x 升，第二个容器的容量为y 升．则卧室2236xy 卫生间厨房客厅()()156492149563x y y x⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩， 解得6384x y =⎧⎨=⎩． 答：第一个容器的容量为63升，第二个容器的容量为84升．5．方案问题【例5】 已知：用2辆A 型车和1辆B 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题：⑴1辆A 型车和1辆车B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ ⑵请你帮该物流公司设计租车方案；⑶若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费 (2012年龙岩中考题) 【解析】⑴ 设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，依题意列方程组得：210211x y x y +=⎧⎨+=⎩，解方程组，得：34x y =⎧⎨=⎩∴91a b =⎧⎨=⎩或54a b =⎧⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩答：有3种租车方案：方案一：A 型车9辆，B 型车1辆； 方案二：A 型车5辆，B 型车4辆； 方案三：A 型车1辆，B 型车7辆．⑶ ∵A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次， ∴方案一需租金：910011201020⨯+⨯=（元） 方案二需租金：51004120980⨯+⨯=（元） 方案三需租金：11007120940⨯+⨯=（元） ∵1020980940>>∴最省钱的租车方案是方案三：A 型车1辆，B 型车7辆，最少租车费为940元．以下对图形问题进行拓展：【拓展1】在长为10m ，宽为8m 的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个完全一样的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．【解析】 设小矩形的长为xm ，宽为ycm ，由题意得：21028x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得42x y =⎧⎨=⎩答：小矩形的长为4m ，宽为2m ．【拓展2】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图左方式放置，再交换两木块的位置，按图右方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A ．37 cmB ．74 cmC ．75 cmD ．76 cm【分析】本题的相等关系有：桌高+长方体的长-长方体的宽=80 cm. 桌高+长方体的宽-长方体的长=70 cm.【解析】 设桌子高度为a ，木块的长为x ，宽为y ，由题意可知8070x a y y a x +-=⎧⎨+-=⎩，∴2150a =，即75a =. 故选C.【拓展3】扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm ，求这种药品包装盒的体积． 【解析】 设这种药品包装盒的宽为x cm ，高为y cm ，则长为（4x +）cm根据题意得22144213x y x y +=⎧⎨++=⎩解得52x y =⎧⎨=⎩，故长为9cm ，宽为5cm ，高为2cm ， 所以体积V=9×5×2=90（cm 3）． 答：这种药品包装盒的体积为90cm 3．70 cm80 cm不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷个，不能唯一确定．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当已知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．【引例】 方程314x y +=的整数解有 组，正整数解都有哪些？ 【解析】 方程的整数解有无数组.x 、y 为正整数得14300x y y =->⎧⎨>⎩解不等式组得1403y <<． 故y 只能等于1234，，，. 118524123x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩，，，．【例6】 ⑴方程210x y +=的解有 组；正整数解有 组，分别为 .⑵已知关于x 的方程36x ax -=的解为负整数，求223a a +-的值．【解析】 ⑴ 无数组，4组．x 、y 为正整数得，0051020x x y x >⎧⇒<<⎨=->⎩，故x 只能等于1234，，，，12348642，，，x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩． ⑵ 21、32、45或96． 当3a ≠时，解方程得63x a=-，因为x 为负整数，所以3123，，a -=---或6-，得对应典题精练例题精讲思路导航题型二：不定方程求解a 的值为4569，，，，代入223a a +-得21324596，，，．【例7】 已知m 为正整数，关于x ，y 的二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，求2m 的值．（丰台十二中检测题）【解析】 法一：两式相加得()310m x +=,103x m =+m 可为：2或7当2m =时，2x =，3y =． 当7m =时，1x =， 1.5y =（舍）． 所以 24m =．法二：解方程组得()101533，，x y m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，若，x y 为正整数，则3m +应该是10和15的公约数，推得2m =，所以24m =．【变式】已知方程组26x y mx y -=⎧⎨+=⎩有非负整数解，求正整数m 的值．【解析】 两式相加得()18m x +=，81x m =+. 故正整数m 可为1,3,7代入可得6201my m -=+≥，故3m ≤所以1,3m =.【总结】对于一元一次方程和二元一次方程（组）中出现的整数根问题：（1）解决一元一次方程的方法首先是要表示出未知数，如果是整数根，只需要分子是分母的约数，有时需要考虑符号问题；例33x m =-，若解是整数，则31,3m -=±±，解得m ；若解是正整数，则31,3m -=，从而解得m .（2）解决二元一次方程的整数解问题，基本方法是先根据题意得到关于其中一个未知数的不等式组，从而解得它的取值范围，再依次代入检验另一个未知数是否符合整数根； （3）解决二元一次方程组的整数根问题，常用方法是：①通过消元，将问题转化为解不定方程；②视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；③利用整体思想方法求解.【例8】 一宾馆有两人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅游团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？真题赏析【解析】 设租二人间x 间，三人间y 间，四人间z 间，则234207x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，得26y z +=，∵,,x y z 均为正整数，∴有2x =，4y =，1z =；3,2,2x y z ===， 故有两种租房方案.题型一 二元一次方程组的应用 巩固练习【练习1】 为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费． （2011娄底中考） 【解析】 ⑴设“基本电价”为x 元/千瓦时，“提高电价”为y 元/千瓦时，根据题意，得80(10080)6880(12080)88x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得0.61x y =⎧⎨=⎩答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时． ⑵()800.613080198⨯+-⨯=（元）．答：预计小张家6月份上缴的电费为98元．【练习2】 小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；复习巩固爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．【解析】 设上月萝卜的单价是x 元/斤，排骨的单价y 元/斤，根据题意得：()()32363150%2120%45x y x y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩．解得：215x y =⎧⎨=⎩ 这天萝卜的单价是（1+50%）x=（1+50%）×2=3， 这天排骨的单价是（1+20%）y=（1+20%）×15=18 答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤.【练习3】 如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28cm ，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm ．设演员的身高为x cm ，高跷的长度为y cm ，求,x y 的值．【解析】 依题意得方程组：222428x y x y =⎧⎨+=+⎩，解得：16884x y =⎧⎨=⎩∴x 的值为168，y 的值为84.题型二 不定方程求解 巩固练习【练习4】 a 取哪些正整数值，方程组25342x y ax y a +=-⎧⎨-=⎩的解都是正整数？【解析】 解方程组得232x a y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，由解是正整数得32a -=，即1a =．【练习5】 已知关于x 、y 的方程组21230x my x y +=⎧⎨-=⎩①②的解为正整数，则m 的整数值是多少？【解析】 由方程②得3x y =③将方程③代入方程①中得612y my +=，∴126y m=+∵方程组的解为正整数，∴y 是正整数，即()6m +必须是12的正约数，又12的正约数有：1234612，，，，，，∴6162636466612，，，，，m m m m m m +=+=+=+=+=+=，可求出m 的值为543206，，，，，----．第十四种品格：信念同样的圣诞夜1944年的圣诞夜，两个迷了路的美国大兵拖着一个受了伤的兄弟在风雪中敲响了德国西南边境亚尔丁森林中的一栋小木屋的门，他的主人，一个善良的德国女人，轻轻地拉开了门上的插销。

学而思初中数学课程规划来源：本站原创文章作者：中考网小编2011-05-01 15:40:58[标签：2011初一暑假班数学] [当前8392家长在线讨论]初中数学的学习不同于小学：小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。

而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。

因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。

初中班型设置介绍:初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识；竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识；基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。

到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。

2011年学而思初中教学体系体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系班型定位数学超常发展，冲击竞赛一等奖中考满分，兼顾竞赛同步提高，冲击中考满分学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容课程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班大1.2-1.5倍每节课的容量与难度比尖子班大1.5-1.8倍每节课的容量是校内课程的3-5倍，难度比校内课程高1.5-2倍适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲击初中数学联赛，希望在数学方面有独特发展，例如未来参加IMO或CMO比赛，高中数学联赛冲击一等奖。

课内知识学习轻松，在保证中考路径的同时兼顾拔高与竞赛。

未来目标为冲击中考满分，同时参加一些数学竞赛，激发兴趣，锻炼思维。

从课内知识上夯实基础、同步提高，同时拓宽视野，系统化学习，目标冲击中考满分学而思的初中数学有一套非常成熟的教学体系，既能满足我们的终极目标----中考，同时还能兼顾一些希望走竞赛路线的孩子。

函数1级平面直角坐标系认识初步 函数2级平面直角坐标系中的变换函数3级 函数初步暑期班 第二讲春季班 第一讲减肥记漫画释义满分晋级阶梯2平面直角坐标系中的变换编写思路：本讲求面积时主要让学生掌握将点坐标转化为线段长度的过程.一：让学生亲自动手在坐标系中画出某个点关于横轴、纵轴以及原点的对应点，并且让他们自己总结两个对称点的横、纵坐标关系。

二：（1）对于点的平移：让学生亲自动手将某个点进行上、下、左、右平移，并且自己总结点的坐标变化规律。

对于任意的平移，可以将其理解先上下平移、后左右平移的组合。

（2）对于图形的平移：让学生充分认识本质就是图形上的每个点都进行同一过程的平移，即对应点之间的平移过程完全一样。

从而将图形的平移转化成为点的平移。

并让学生体会平移前后的两个图形完全一样。

三、简单的数形结合：求三角形面积问题。

让学生充分掌握割补法求三角形面积，并理解为何要用割补法。

让学生熟练掌握并体会坐标与线段长的计算关系。

四、找规律问题：老师可带着学生探索常见找规律问题的思路和方法.点()P a b ，关于x 轴的对称点是()P a b '-，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点()P a b ，关于y 轴的对称点是()P a b '-，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点()P a b ，关于坐标原点的对称点是()P a b '--，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点()P a b ，和点()Q c d ，的中点是22a c b d M ++⎛⎫⎪⎝⎭，．（选讲）思路导航知识互联网题型一：坐标系中的对称【引例】 在平面直角坐标系中，()45P -，关于x 轴的对称点的坐标是 ，关于y 轴的对称点的坐标是 ，关于原点的对称点是 ．【解析】 关于x 轴的对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数，坐标是()45--，； 关于y 轴的对称点纵坐标不变，横坐标互为相反数，坐标是()45，； 关于原点的对称点横、纵坐标都互为相反数，坐标是()45-，．【例1】 ⑴ 点()35P -，关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()35--， B ．()53，C ．()35-，D ．()35，⑵ 点()21P -，关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()21--，B ． ()21，C ．()21-，D ．()21-，⑶ 在平面直角坐标系中，点()23P -，关于原点对称点P '的坐标是 ．⑷ 点()23，P 关于直线3x =的对称点为 ，关于直线5y =的对称点为 ． ⑸ 已知点()121P a a +-，关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．【解析】 ⑴ D ；⑵ B ；⑶ ()2,3-；⑷ ()43，，()27，；⑸ 112a -<<．【例2】 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：⑴ 由图观察易知()20A ，关于直线l 的对称点A '的坐标为()02，，请在图中分别标明()53B ，，()25C -，关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出它们的坐标：B ' ，C ' ；归纳与发现：⑵ 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点()P a b ，关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）；⑶ 点()A a b ，在直线l 的下方，则a ，b 的大小关系为 ；若在直线l 的上方，则 ．典题精练例题精讲【解析】 ⑴ ()35B '，，()52C '-，； ⑵ ()b a ，； ⑶ a b >，b a >．⑴ 点平移：①将点()x y ，向右（或向左）平移a 个单位可得对应点()x a y +，或()x a y -，． ②将点()x y ，向上（或向下）平移b 个单位可得对应点()x y b +，或()x y b -，．⑵ 图形平移：①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位．②如果把图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位．注意：平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化．【引例】 点()35M --，向上平移7个单位得到点1M 的坐标为 ；再向左平移3个单位得到点2M 的坐标为 ．【解析】 点向上平移7个单位，则横坐标不变，纵坐标增加7，即1M 坐标为()32-，，再向左平移3个单位，则纵坐标不变，横坐标减少3，即2M 坐标为()62-，．【例3】 ⑴ 平面直角坐标系中，将(2,1)P -向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到'P ，CB A'A-1-2-3-3-2-1O yx123456654321l 典题精练例题精讲思路导航题型二：坐标系中的平移⑵ 平面直角坐标系中，线段11A B ′′是由线段AB 经过平移得到的，点()14A --，的对应点为 ()111A -，′，那么此过程是先向 平移 个单位再向 平移 个单位得到的，则点B ()11，的对应点1B 坐标为 ． ⑶将点()21，P m n -+沿x 轴负方向平移3个单位，得到()112，P m -，则点P 坐标是 ． （一五六中学期中）⑷ 平面直角坐标系中，线段A B ′′是由线段AB 经过平移得到的，点()21，A -的对应点为 ()34，A ′，点B 的对应点为()40，B ′，则点B 的坐标为（ ）A ．()93，B ．()13，--C ．()33，-D ．()31，--（一五六中学期中）【解析】 ⑴ ()22-，； ⑵ 右2，上3，()3,4；⑶ ()12，．由题意知23112m m n --=-⎧⎨+=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩．故点()12P ，．⑷ B ；可知线段AB 向右平移5个单位，向上平移3个单位得到A B ''，故点B 坐标是()13，--．【例4】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左、右眼睛的坐标分别是(42)-，，(22)-，，右边图案中左眼的坐标是(34)，，则右边图案中右眼的坐标是_______．（北京十二中期中） ⑵ 如下右图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE 绕A 点逆时针旋转90︒再向右平移2个单位的图形（其中C 、D 为所在小正方形边的中点）．⑶ 如图，把图1中的A e 经过平移得到O e （如图2），如果图1中A e 上一点P 的坐标为()m n ，，那么平移后在图2中的对应点P '的坐标为 ．（三帆中学期中）【解析】 ⑴ 左眼坐标由(42)-，变为(34)，，由此可知由左图得到右图是向上平移2个单位，向右平移7个单位，从而得到右眼平移后的坐标为(54)，． ⑵ 图略；A B CDE -3图1-图2⑶ ()21m n +-，；A e 向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到O e ．在平面直角坐标系或网格中求面积，一般将难以求解的图形分割成易求解的图形的面积，可以用大图形的总面积减去周围小三角形的面积．一般方法有割补法和等积变换法．找规律的题目一定要先找123n =、、几个图形规律，再推广到n 的情况．从简单情形入手，从中发现规律，猜想、推测、归纳出结论，这是创造性思维的特点．【引例】 如图，直角坐标系中，ABC △的顶点都在网格点上，其中点A 坐标为()21-，，则ABC △的面积为 平方单位． 【解析】 长方形FDEB 的面积是12平方单位，ADC △的面积是1.5平方单位，AEB △的面积是4个平方单位，BFC △的面积是1.5平方单位，所以ABC △的面积为124 1.5 1.55---=平方单位．【例5】 ⑴ 直角坐标系中，已知()10A -，、()30B ，两点，点C 在y 轴上，ABC △的面积是4，则点C 的坐标是 ．⑵ 如右图，已知直角坐标系中()14A -，、()02B ，，平移线段AB ， 使点B 移到点()30C ，，此时点A 记作点D ，则四边形ABCD 的 面积是 ．（161中学期中）【解析】 ⑴ ()02，或()02，-；⑵ 4；点A 平移后的坐标为()22D ，，所以BD x ∥轴，2BD =，故122242ABCD S =⨯⨯⨯=．【例6】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为(00)A ，，(90)B ，，(75)C ，，(27)D ，．求四边形ABCD 的面积．典题精练例题精讲思路导航题型三：坐标系中的面积与规律问题OF EDCBA y x1O yxDC BA54321Ay D (2,7)C (7,5)y⑵如上右图，ABC △，将ABC △向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到111A B C △．①画出平移后的111A B C △；②写出111A B C △三个顶点的坐标；（在图中标出）③已知点P 在x 轴上，以1A 、1B 、P 为顶点的三角形面积为4，求P 点的坐标．【解析】 ⑴ 本题的关键是根据平面直角坐标系的长度单位、原点和坐标轴方向的意义解决简单的面积问题．可以把图形分割成3个直角三角形和1个正方形，问题就迎刃而解了．如右图，分别过点D 、C 作x 轴的垂线，过C 作y 轴的垂线，则可把图形分割成特殊的4部分，因此(275225)25542ABCD S =⨯+⨯+⨯÷+⨯=四边形．⑵ ①略；②()()()111042041A B C ，，，，，;③ ()00，或()40，．【探究对象】平面直角坐标系中求面积的方法【探究目的】熟练利用几种方法快速准确求面积，为以后学习函数综合题打好基础 建议教师：先让学生自由发散，最后教师再总结方法 方法一、割补法（割：分割后再加；补：补全再减.）【探究1】如图所示，()()()1,4,4,3,5,0A B C ,求图形OABC 的面积.解析： 割：如上左图，分别过点A 、B 做x 轴的垂线段AD 、BE OAD BCE OABC ABED S S S S =++△△四边形梯形 ()111=14+4+33+13=14222⨯⨯⨯⨯⨯⨯补：如上右图，先补全为长方形再减去其余图形OAD BCE ABE OABC ODEC S S S S S =---△△△四边形四边形 111=54141414=14222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯【探究2】如下图所示，()()354,3A B -，，，求图形OAB 的面积.解析：补：如上右图所示，补全图形为ABD △OAB ABD AOD BOD S S S S =--△△△△111117838372222=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=割：利用一次函数可求出直线AB 解析式为：811=77y x -，故117OC =()1111134272OAB OAC OBC S S S =+=⨯⨯+=△△△ 【此法教师备选】方法二、容斥法：面积差【探究3】如图所示，求12S S -的值.解析：1211=6424822ABD ACD S S S S --=⨯⨯-⨯⨯=△△【教师备选】B B方法三、转化法：平行线，一边转到轴上【探究4】如图所示，求三角形AOB 的面积.解析：过点A 做OB 的平行线，交y 轴于点C ，连接BC由一次函数知识可求出直线1=2OB y x ：，设直线1=+2AC y x b ：求得1=+22y x ，得()0,2C由等积变换可知1=24=42AOB BOC S S =⨯⨯△△【探究5】如图所示，求三角形ABC 的面积.解析：过点A 作BC 的平行线交y 轴于点D ，连接DC 利用一次函数求得:=2+2BC y x ，设直线:=2+AD y x b 求得=2+7y x ，()0,7D由等积变换可知15=15=22ABC DBC S S =⨯⨯△△【点评】方法一和二为坐标系中求面积的常用方法，方法三转化法用到了一次函数的知识，作为教师备选，建议教师可给学生传递这种求面积的思想，即把其中的一条边转化为坐标轴，从而快速的求出面积.【变式】已知，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且3OB OA ==．⑴直接写出点A 、B 的坐标； ⑵若点()22C -，，求BOC △的面积；⑶点P 是与y 轴平行的直线上一点，且点P 的横坐标为1，若ABP △的面积是6，求点P 的坐标．【解析】 ⑴()()3,00,3A B ，;⑵13232BOC S =⨯⨯=△;⑶ 分两种情况：①当点P 在第一象限时，设()1,,>0P a a ，如图1所示AOB ABP BDP AODP S S S S =++△△△四边形即()()1911+3=+6+3222a a ⨯-，解得=6a ()1,6P②当点P 在第四象限时，设()1,,<0P a a ，如图2所示 ABP AOB BDP AODP S S S S =+-△△△四边形 即()()911+1+313+=6222a a ⨯-⨯⨯解得=2,a 故=2a -. 即()1,2P -图1 图2【例7】 ⑴ 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，图中的正方形的四个顶点都在格点上，观察图中每一个正方形四 条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形四条边 上的整点个数共有 个．（清华附中期中）⑵ 如图，在平面直角坐标系中，第1次将OAB △变换成11OA B △，第二次将OAB △变换成22OA B △，第3次将OAB △变换成33OA B △．已知()13A ，，()123A ，，()243A ，，()383A ，，()20B ，，()140B ，，()280B ，，()3160B ， 观察每次变化前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将33OA B △变换成44OA B △，则点4A 的坐标是 ，点4B 的坐标是 ，点n A 的坐标是 ，点n B 的坐标是 ．【解析】 ⑴ 40；⑵ ()163，，()320，，()23，n ，()120，n +【例8】 一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，在第1min 内它从原点运动到(10)，，而后接着按如图所示方式在与x 轴、y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在2013min 后，求这个粒子所处的位置坐标．【解析】 弄清粒子的运动规律，并求出靠近1989min 后粒子所在的特殊点的坐标，最后确定所求点的坐标．对于这种运算数较大的题目，我们首先来寻找规律，先观察横坐标与纵坐标相同的点： (00)，，粒子运动了0min ．(11)，，粒子运动了122(min)⨯=，向左运动． (22)，，粒子运动了236(min)⨯=，向下运动． (33)，，粒子运动了3412(min)⨯=，向左运动． (44)，，粒子运动了4520(min)⨯=，向下运动．……于是点(4444)，处粒子运动了44451980(min)⨯=．这时粒子向下运动，从而在运动了2013min 后，粒子所在的位置是(444433)-，，即(4411)，．【变式】将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标()x y ，，且x ，y 均为整数．如数5对应的坐标为()11-，，则数 对应的坐标是()23-，，数2012对应的坐标是 ． （2012年101中期中）【拓展】 数1950对应的坐标是 .【解析】 36，()922-，. ()22,9- 真题赏析12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637 xy如右图所示，可观察到奇数平方数的规律如下数字 坐标21=1 ()0,023=9 ()11-， 25=25 ()22-，……那么由245=2025可得数2025对应的坐标为()2222-，， 故数2012对应的坐标为()221322--，，即()922-，. 拓展：由于2012比较接近45的平方，而1950接近44的平方，故观察偶数平方数的规律数字 坐标22=4 ()0,124=16 ()12-， 26=36 ()23-，……由244=1936可得数1936对应的坐标为()21,22-，此时再往左一个数字1937对应坐标为()22,22-，此后向下数字变大，故1950对应的坐标为()22,2213--，即()22,9-.【教师备选】【备选1】类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为()321+-=．若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{}a b ，叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{}a b ，与“平移量”{}c d ，的加法运算法则为{}{}{}a b c d a c b d +=++，，，． 解决问题：⑴ 计算：{}{}3112+，，； ⑵ 动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{}31，平移到A ，再按照“平移量”{}12， 平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{}12，平移到C ，再按照“平移量”{}31，平移，最后的位置还是点B 吗？在图1中画出四边形OABC ．⑶ 如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头()23P ，，再从码头P 航行到码头()55Q ，，最后回到出发点O ，请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．（2012北京101中期中）【解析】 ⑴}{4,3；⑵是，如图所示；⑶}{}{}{}{2,3+3,2+5,5=0,0--.【备选2】观察下列有规律的点的坐标：()111A ，，()224A -，，()334A ，，()442A -，，()557A ，，6463A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()7710A ，，()881A -，依此规律，11A 的坐标为 ，12A 的坐标为 ．（2012年101中期中）【解析】 ()1111,16A ，12212,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.横坐标的规律很明显，而纵坐标414,427,,10, 1 (3)----，，，中的奇数数列1,4,7,10是公差为3的等差数列，11A 的纵坐标为16，偶数数列可转化为4444,,,1234----，故12A 的纵坐标为42=63--. 【备选3】一个动点P 在平面直角坐标系中作折线运动，第一次从原点运动到（1，1），然后按图中箭头所示方向运动，每次移动三角形的一边长.即（1，1）→（2，0）→（3，2）→（4，0）→（5，1）→……，按这样的运动规律，经过第17次运动后，动点P 的坐标是 ，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是 .【解析】 ()()17,12011,2，.【备选4】如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A 、B两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A 、B 、C 为顶 点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012清华附中期中） 【解析】 B .【备选5】在平面直角坐标系中，已知()22A -，，在y 轴上确定点P ，使AOP △为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个（2012陈分期中考试）【解析】 C题型一 坐标系中的对称 巩固练习【练习1】 ⑴ 在平面直角坐标系中，点()25A ，与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是（ ） A ．(52)--， B ．()25--，C ．()25，-D ．()25，-⑵ 已知点()P x y ，，()Q m n ，，如果00x m y n +=+=，，那么点P Q ，（ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于过点()()0011，，，的直线对称 ⑶ 已知：()2|1|20x y -++=，则()x y ，关于原点对称的点为 ．(12，0)(10，0)(8，0)(6，0)(4，0)(2，0)(11，2)(9，1)(7，2)(5，1)(3，2)(1，1)O 复习巩固（北京十二中）⑷ 已知点()33P a b +，与点()52Q a b -+，关于x 轴对称，则a = ，b = ．【解析】 ⑴ Ｃ；⑵ A ；⑶ ()12-，；⑷ 12a b ==-，；由3523a b a b +=-⎧⎨+=-⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩． 题型二 坐标系中的平移 巩固练习【练习2】 ⑴线段CD 是由线段AB 平移得到的，点()15A -，的对应点是()42C ，，则点()41B -，的对应点D 的坐标为 ．⑵在平面直角坐标系中有一个已知点A ，现在x 轴向下平移3个单位，y 轴向左平移2个单 位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A 的坐标为()12-，，在旧的坐标系下，点A 的坐标为 ．【解析】 ⑴()9,4-；⑵()31--，．【练习3】 如图，在平面直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位．⑴ 线段DC 是线段AB 经过怎样的平移得到的？ ⑵ 若C 点的坐标是()41，，A 点的坐标是()12--，，你能写出B 、D 两点的坐标吗？⑶ 求平行四边形ABCD 的面积．（首师大二附中期中）【解析】 ⑴ 先向右平移1个单位再向上平移3个单位．⑵ ()32B -，，()01D ，． ⑶ 4312ABCD S =⨯=Y ．题型三 坐标系中的面积和规律问题 巩固练习【练习4】 ⑴ 已知()02，A -，()50，B ，()43，C ，求△ABC 的面积． （四中期中） ⑵ 已知：()40A ，，()10B x -，，()13C ，，ABC △的面积6=， 求代数式22225432x x x x x -++--的值．（人大附中期中）【解析】 ⑴ 172．⑵ 由题可得4AB =，得1441x x --=±⇒=或7x =-，原式化简222254322x x x x x x -++--=--，代入得3-或5【练习5】 如图，长为1，宽为2的长方形ABCD 以右下角的顶点为中心顺时针旋转90︒，此时A 点的坐标为 ；依次旋转2009次，则顶DCBA点A 的坐标为 ．【解析】 ()32，，()30152，．第十四种品格：信念你的意念能跳多高布勃卡是举世闻名的奥运会撑杆跳冠军，享有“撑杆跳沙皇”的美誉。

三角形5级全等中的基本模型三角形6级特殊三角形之等腰三角形三角形7级倍长中线与截长补短暑期班第六讲暑期班第五讲爸爸怎么样啦？漫画释义满分晋级阶梯13全等中的基本模型把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型例题精讲思路导航知识互联网题型一：平移型全等【引例】 如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =． 求证：CF DE = 【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥∴90ACE BDF ∠=∠=︒ 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BDAE BF=⎧⎨=⎩ ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE =【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =求证：AFC DEB △≌△如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．【解析】 ∵DE AF ∥，∴A D ∠=∠．∵AB CD =，∴AB BC CD BC +=+，即AC DB =． 在AFC △和DEB △中，AC DBA D AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFC △≌DEB △(SAS )． 另两结论均成立，证明同上．图1F EDC BA图2FE D(C )B A图3FEDCB A典题精练常见轴对称模型【例2】 如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．【解析】 60︒；由外角得()422360∠=∠+∠=°.【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．【解析】证法一：∵AB AC =， ∴ABC ACB ∠=∠．∵D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴DB EC =，AD AE =． 在DBC △与ECB △中，BC CB =，DBC ECB ∠=∠，DB EC =，∴DBC ECB △≌△． ∴BDC CEB ∠=∠∵ADM BDC ∠=∠，AEN CEB ∠=∠， ∴ADM AEN ∠=∠． 在AMD △与ANE △中，90M N ∠=∠=︒，AD AE =，ADM AEN ∠=∠，∴AMD ANE △≌△，典题精练思路导航题型二：对称型全等E D N M CBA4321EDCB A∴AM AN =．证法二：∵AB AC =，D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴AD AE =．在DAC △与EAB △中，AB AC =，AE AD =，DAC EAB ∠=∠，∴DAC EAB △≌△， ∴ACD ABE ∠=∠．又∵AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． ∴90M N ∠=∠=︒， 在AMC △与ANB △中，AC AB =，ACM ABN ∠=∠，M N ∠=∠，∴AMC ANB △≌△， ∴AM AN =． 证法三：∵AB AC =，D 、E 是AB 、AC 的中点，∴12ADC ABC S S =△△，12AEB ABC S S =△△，AD AE =，∴ADC AEB S S =△△， 在ADC △与AEB △中，AD AE =，AC AB =，DAC EAB ∠=∠，∴ADC AEB △≌△， ∴CD BE =． ∴1122CD AM BE AN ⋅=⋅， ∴AM AN =．常见旋转模型：思路导航题型三：旋转型全等E D N M CBAE D N M CBA【引例】 如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB△绕点C 逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数． 【解析】 ∵::3:5:10A B ACB ∠∠∠=∴1018010018ACB ∠=︒⨯=︒∵由ACB △绕点C 旋转得到A'B'C △ ∴100A'CB'∠=︒∵180ACB A'CB'BCA'∠+∠-∠=︒ ∴100218020BCA'∠=︒⨯-︒=︒【例4】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：⑴AE CG =；⑵AE CG ⊥. 【解析】 ∵ADC EDG ∠=∠ ∴CDG ADE ∠=∠在CDG △和ADE △中 CD ADCDG ADE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDG ADE △≌△∴AE CG =，CGD AED ∠=∠ ∵90DME AED ∠+∠=︒ ∴+90OMG CGD ∠∠=︒ 即90GOM ∠=° ∴AE CG ⊥【点评】 可拓展证明2222AG CE AC GE +=+.【例5】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．典题精练例题精讲A'B'CBAM D NEFO GFEDCBAM请你证明：⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.【解析】 此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．60MCN ∠=,AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =；AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥；ACN MCB △≌△，ADC MCE △≌△，NDC BEC △≌△；DEC △为等边三角形．⑴∵ACM △、CBN △是等边三角形， ∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB △≌△，∴AN BM =. (找出图中所有的全等三角形，及相等的线段)⑵ 60MFA NAB MBA BMC MBA MCA ∠=∠+∠=∠+∠=∠=. (找出图中所有的60角) ⑶由ACN MCB △≌△易推得NDC BEC △≌△，所以CD CE =，又60MCN ∠=，进而可得DEC △为等边三角形． ⑷由⑶易得DE AB ∥．AFC BFC ∠=∠以后学习证明.辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.添辅助线的作用：凸显和集散1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.思路导航题型四：辅助线添加初步【例6】 如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．（海淀区期末考试）【解析】 ⑴ ①方法一：连接BD ，在Rt ABC △中， ∵AB BC =，AD DC =．∴DB DC AD ==，90BDC =︒∠． ∴45ABD C ==︒∠∠．∵90MDB BDN CDN BDN +=+=︒∠∠∠∠， ∴MDB NDC =∠∠． ∴BMD CND △≌△． ∴DM DN =． 方法二：∵45A DBN ==︒∠∠．90ADM MDB BDN MDB +=+=︒∠∠∠∠．典题精练NM EFDCBA∴ADM BDN =∠∠． ∴ADM BDN △≌△．∴DM DN =．②四边形DMBN 的面积不发生变化； 由①知：BMD CND △≌△， ∴BMD CND S S =△△．∴1124DBN DMB DBN DNC DBC ABC DMBN S S S S S S S =+=+===△△△△△△四边形．⑵ DM DN =仍然成立，证明：连接DB ．在Rt ABC △中，∵AB BC =，AD DC =， ∴DB DC =，90BDC =︒∠． ∴45DCB DBC ==︒∠∠． ∴135DBM DCN ==︒∠∠．∵90CDN CDM BDM CDM +=+=︒∠∠∠∠， ∴CDN BDM =∠∠． ∴CDN BDM △≌△．∴DM DN =．⑶ DM DN =．【点评】本题的辅助线是根据实际描述所产生的连线，这属于辅助线里最基本的添加方式.【例7】 在四边形ABCD 中，AB CD =，AB CD ∥，求证：AD BC =．【解析】 连接BD∵AB CD ∥，∴ABD CDB ∠=∠ 在ABD △和CDB △中D CBADCBANM E FDCBAN MEF D CBAAB CD ABD CDB BD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD CDB △≌△ ∴AD CB =．【例8】 如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥． 【解析】 分别连接BF 、CE 、BE ，利用SAS 证得ABF △≌DEC △， ∴BF CE =，利用SSS 证得BFE △≌ECB △， ∴BEF EBC ∠=∠， ∴BC EF ∥．【点评】充分考虑已给条件，添加辅助线凸显条件.训练1. 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O .求证：AO 平分DAE ∠. 【解析】 利用SAS 证得ABE ACD △≌△，∴E D ∠=∠，根据已知可得BD CE =， 利用AAS 证得BOD COE △≌△， ∴OD OE =，利用SAS 证得AOD AOE △≌△， ∴OAD OAE ∠=∠， ∴AO 平分DAE ∠训练2. 如图，BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =． 求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．思维拓展训练（选讲）QPEDA【解析】 ∵BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，∴ABD ACE ∠=∠， ∵BP AC =，CQ AB =， ∴ABP QCA △≌△，∴AP AQ =，APB QAC ∠=∠． ∵BP AC ⊥，∴90ADP ∠=︒， ∴90APB DAP ∠+∠=︒， ∴90CAQ DAP ∠+∠=︒， 即90PAQ ∠=︒， ∴AP AQ ⊥．训练3. 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．【解析】延长AB 、AE ，交直线CD 于F 、G ．∵ABC AED ∠=∠． ∴FBC GED ∠=∠． ∵BCM EDM ∠=∠． ∴BCF EDG ∠=∠． ∴在BCF △与EDG △中 FBC GED BC EDBCF EDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(ASA)BCF EDG △≌△ ∴F G ∠=∠．FC GD =． ∴AG AF = ∵CM MD = ∴FM MG =∴在AMF △与AMG △中 AM AM FM MG AF AG =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()SSS AMF AMG △≌△ ∴180902AMF AMG ︒∠=∠==︒， ∴AM CD ⊥训练4. 如图，AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED =，点F 是CD 的中点．求证：AF CD ⊥．M EDC BAGFMEDCBA【解析】连接AC 、AD ．∵AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED = ∴ABC AED △≌△， ∴AC AD =又∵F 为CD 的中点， ∴FC FD =∴ACF ADF △≌△ ∴AFC AFD ∠=∠ 即AF BE ⊥．题型一 平移型全等 巩固练习【练习1】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，过E F 、分别作DE AC ⊥， BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？F ED C BAABC F DE复习巩固请说明理由．【解析】 ⑴ ∵AE CF =，∴AE EF CF EF +=+，即AF CE =，∵DE AC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFB CED ∠=∠=︒ ∴Rt Rt ABF CDE △≌△， ∴BF DE =， 又BGF DGE ∠=∠， ∴BGF DGE △≌△， ∴EG FG =，即BD 平分EF⑵ 仍然成立．证明方法同上，不再赘述．【点评】 此题难度不大，老师们可以给学生说明图形平移变换的形式和它的简单性质，以及综合题的命题形式和思路．题型二 对称型全等 巩固练习【练习2】 已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =.求证：AB CD =．（北京市中考题） 【解析】 证明：∵OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，∴,AOP COP BOP DOP ∠=∠∠=∠ ∴AOB COD ∠=∠在AOB △和COD △中， ,,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOB COD △≌△ ∴AB CD =题型三 旋转型全等 巩固练习【练习3】 如图所示，已知过ABC △的顶点A 作AF AB ⊥且使AF AB =，过A 作AH AC ⊥，且使AH AC =．求证：BH FC ⊥． 【解析】 ∵AF AB ⊥，AH AC ⊥，∴90FAB HAC ∠=∠=∴FAB BAC HAC BAC ∠+∠=∠+∠，即FAC BAH ∠=∠ 又AF AB =，AH AC =(2)(1)ABCE F GGFEC BAOPDCB A432FAH∴ABH △≌AFC △ ∴41∠=∠又23∠=∠，3490∠+∠= ∴1290∠+∠=， ∴BH FC ⊥【练习4】 如图，已知ABD △和AEC △都是等边三角形，AF CD ⊥于F ，AH BE ⊥于H ，请问：AF 和AH 有何关系？请说明理由． 【解析】 ∵ABD △和AEC △都是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒， ∴DAC BAE ∠=∠， ∴ADC ABE △≌△， ∴ADF ABH ∠=∠， ∵AF CD ⊥，AH BE ⊥， ∴90AFD AHB ∠=∠=︒， ∴ADF ABH △≌△， ∴AF AH =．题型四 辅助线添加初步 巩固练习【练习5】 如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转． ⑴ 如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； ⑵ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解析】 ⑴BM FN =．∵GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴45ABD F ∠=∠=︒，OB OF =． 又∵BOM FON ∠=∠，∴OBM OFN △≌△．即BM FN =．③②①OOCB DAFGENMEGFADBCCA(G)O HF EDA⑵BM FN =仍然成立．理由是：∵GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴45DBA GFE ∠=∠=︒，OB OF =． ∴135MBO NFO ∠=∠=︒． 又∵BOM FON ∠=∠， ∴OBM OFN △≌△． ∴BM FN =．③②①OOCBDAFGE MN N MEGF ADBCC B(E)A(G)第十四种品格：信念天堂的位置在得克萨斯州的一所小学里，一群天真无邪的孩子经常向玛琳娜老师询问天堂在哪里。

三角形3级三角形三大专题三角形4级全等三角形的认识三角形5级全等中的基本模型春季班第十三讲春季班第十一讲多边形的故事满分晋级阶梯11三角形三大专题漫画释义1、边长都是整数的三角形，称为整数边三角形．2、若三角形三边的长为a ，b ，c 且a b c ≤≤，则⑴ 三角形的最小的边a 满足：03a b ca ++<≤，当且仅当abc ==时，等号成立；⑵ 三角形的最大的边c 满足：32a b c a b cc ++++<≤，当且仅当a b c ==时，等号成立．（上述公式建议教师结合三角形三边关系和不等式给学生进行推导）方程（特别是不定方程）和不等式是解决整数边三角形或内角是整数的三角形的常用工具．运用这一工具时，枚举法（树状图）则是常用的方法，但要注意对求得的结果进行检验．例题精讲思路导航知识互联网题型一：整数边三角形【引例】 已知等腰三角形的周长是8，边长是整数，则腰长是多少？【解析】 假设最大边为a ，则易知843a <≤，所以3a =. 即三边满足3，3，2.所以腰长为3.【例1】 ⑴若三角形的周长为60，求最大边的范围.⑵设m 、n 、p 均为自然数，且m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长的三角形共有多少个？【解析】 ⑴设三角形的三边为a 、b 、c ，其中最大的边c 满足：32a b c a b cc ++++<≤，当且仅当a b c ==时，等号成立．依题意有606032<c ≤，即2030a <≤；⑵∵三角形三边关系定理，知p m n <+，即15p p m n p +<++=，∴152p <∵m n p ≤≤，315p m n p ++=≥，∴153p ≥，∴ 151532p <≤∵p 为自然数，∴p 可取5、6、7当7p =时，7n =，1m =；6n =，2m =；5n =，3m =；4n =，4m =； 当6p =时，6n =，3m =；5n =，4m =； 当5p =时，5n =，5m =.综上所述,以m 、n 、p 为三边长的三角形共有7个.【例2】 ⑴三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <<，若7b =，则有 个满足题意的三角形.⑵三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．⑶三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c ≤≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．【解析】 ⑴上面都是已知三角形的周长，从三角形的最大的边出发用枚举法．而本题提供了另 一种思路：b 知道了，a 的范围就确定了，对a 采用枚举法就可以把问题算出来，现在对a 从1到6枚举满足不等式77c a <<+的整数c 的个数为1234515++++=． ⑵21．⑶28．典题精练题型二：多边形及其内、外角和多边形及其内、外角和 （一）多边形及其内角和1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ① 多边形的顶点、边、内角、外角、对角线内角：A ∠、ABC ∠、C ∠、CDE ∠、E ∠…… 外角：α∠对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如BD .n 边形对角线条数：(3)2n n -条② 凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图）图（a ）为凸多边形图（b ）为凹多边形（a ） （b ）③ 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（如图正六边形） AB=BC=CD=DE=EF=AF A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠2．多边形内角和：n 边形内角和等于(2)180n -⋅°① 多边形内角和公式推理方法一： 边过n 边形一个顶点，连对角线，可以得(3)n -条对角线，并且将n 形分成角(2)n -个三角形，这(2)n -个三角形的内角和恰好是多边形的内和．将n 边形分成()2n -个三角形② 多边形内角和公式推理方法二：在n 边形边上取一点与各顶点相连，得(1)n -个三角形，n 边形内角和等于这(1)n -个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即 (1)180180(2)180n n -⋅-=-⋅°°° 将n 边形分成()1n -个三角形思路导航αEDFE DCB AA B C D③ 多边形内角和公式推理方法三：在n 边形内部取一点O 与n 边形各顶点相连，得n 个三角形：ABO △、BCO △、CDO △……，这n 个三角形所有内角之和为123456180BOA BOC COD n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+=⋅° 故()1231803602180n n ∠+∠+∠+=⋅-=-⋅°°°取多边形内一点，连结各顶点，将n 边形分成n 个三角形．注：多边形内角和公式可以通过割或补的思想推导得出，教师可以给学生介绍“补”的思想.（二）多边形外角和1．多边形外角和等于360°如图：1801α∠=-∠°，1802β∠=-∠°，1803r ∠=-∠°，…… 所以r αβ∠+∠+∠+1801180=-∠+∠-°°21803∠+-∠°+…… 等式右边共有n 个180°相加，123∠+∠+∠+代表n 边形的内角和， 整理得180(2)180n n ⋅--⋅°°，即r αβ∠+∠+∠+360=° 多边形外角和恒等于360︒．2．多边形边数与内外角和关系①多边形内角和与边数相关：边数增加，内角和增加，边数减少，内角和减少；每增加一条边，内角和增加180°，反过来也成立．②多边形外角和恒等于360°，与边数多少无关．③多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角。

学而思初中数学课程规划初中数学的学习不同于小学小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。

而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。

因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。

初中班型设置介绍初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识；竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识；基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。

到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。

下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明：2015年学而思初中教学体系体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系班型定位数学超常发展冲击竞赛一等奖中考满分兼顾竞赛同步提高冲击中考满分学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容课程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班大1.2-1.5倍每节课的容量与难度比尖子班大1.5-1.8倍每节课的容量是校内课程的3-5倍难度比校内课程高1.5-2倍适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲击初中数学联赛，希望在数学方面有独特发展，例如未来参加IMO或CMO比赛，高中数学联赛冲击一等奖。

课内知识学习轻松，在保证中考路径的同时兼顾拔高与竞赛。

未来目标为冲击中考满分，同时参加一些数学竞赛，激发兴趣，锻炼思维。

从课内知识上夯实基础、同步提高，同时拓宽视野，系统化学习，目标冲击中考满分入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择联赛体系---开始学习10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择竞赛体系---开始学习10次课学完初一----入学测试题----领先中考培优体系---开始学习班次安排联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班学而思的初中数学有一套非常成熟的教学体系，既能满足我们的终极目标——中考，同时还能兼顾一些希望走竞赛路线的孩子。

第一讲全等三角形的性质及判定【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【补充】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．【例2】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【补充】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．FEDCBA【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．OF E DCBAFEDCBADCB A F E O DC B A OD C BA【补充】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．F E CBA【例4】 如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=︒=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE +=EDCBA【例10】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBA【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．GA BC DEFF DC BA【例12】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．【补充】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．A BCD EF【例13】 （1）如图，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？GFEDCB A【例14】 如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，D 是AC 上一点，且CD CB AB ==，DE AC ⊥交AB于E 点．求证：AD DE EB ==．CB DEAM EDC B A【例15】 ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上一点，使得AM BC =，N 为BC 上一点，使得CN BM =，连AN 、CM 交于P 点．试求APM ∠的度数，并写出你的推理证明的过程．图3P DM N B C A【例16】 如图，I 是ABC △的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=︒，求ABC ∠和AIB ∠的大小．AB CI【例17】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．PDQCBEA【例18】 ⑴ 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：BF FD ⊥．⑵ 如右下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM EF ⊥于M ．求证：FM EM =．F EDCBA MFED CB A18.补充：如图，已知60ABD ACD ∠=∠=︒，且1902ADB BDC ∠=︒-∠．求证：ABC ∆是等腰三角形．【例19】 如图，ABC ∆为边长是1的等边三角形，BDC ∆为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，AC 于N ，连接MN ，形成一个AMN ∆．求AMN ∆的周长．【习题1】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．FEDC B A【习题2】 已知：△DEF ≌△MNP ，且EF ＝NP ，∠F ＝∠P ，∠D ＝48°，∠E ＝52°，MN ＝12cm ，求：∠P 的度数及DE 的长. 家庭作业B AAMNB CD【习题3】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩形周长为16，且CE EF =，求AE 的长．EDCBF A【习题4】在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是B ∠的角平分线时，有AD BC AB +=．【备选1】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【备选2】 如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．【备选3】 如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF . （1）求证：BG ＝CF .（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由.月测备选ABCDEOC D B AFE DCBAG第二讲 全等三角形与中点问题版块一 倍长中线【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【补充】已知：ABC ∆中，AD 是中线．求证：1()2AD AB AC <+．【例2】 已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【例3】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．BB C F ED C B A【例4】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【例5】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例6】 如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．【例7】 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【例8】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．BCF ED CB ABFGE DC B AA【例9】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【例10】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．【例11】 如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．(勾股定理的内容，选做) GEDCBAF EDCBAN MD C B A【例10】 在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．【习题1】 如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =． 求证：EDB FDC ∠=∠．【习题2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【习题3】 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．家庭作业图 6G E F D B C A F ED CB AD FE C B AA【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F【备选2】如图，ABC∆中，AB AC=，90BAC∠=︒，D是BC中点，ED FD⊥，ED与AB交于E，FD 与AC交于F．求证：BE AF=，AE CF=．第三讲全等三角形与角平分线问题【例1】在ABC∆中，D为BC边上的点，已知BAD CAD∠=∠，BD CD=，求证：AB AC=．D CBA【例2】已知ABC∆中，AB AC=，BE、CD分别是ABC∠及ACB∠平分线．求证：CD BE=．EDCBA【例3】如图，在ABC∆中，60B∠=︒，AD、CE分别平分BAC∠、BCA∠，且AD与CE的交点为F．求证：FE FD=．AB CDEFFBEDCA【例4】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【补充】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【例5】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA【例6】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321【例7】 如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =． ADOCBA B CD E OPDBOCA【例8】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【例10】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？EDCBA【补充】长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF =__________．FEDCBA【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-． CD B PA【例11】 如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【例12】 如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【巩固】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【例13】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBA【例14】 如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥CB于E ．求证：AD AE =．HG D AB C E【例15】 如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A【习题3】AD 是ABC ∆的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =．家庭作业DECFBA【习题4】如图所示，AD平行于BC，DAE=EAB∠∠，ABE=EBC∠∠，AD=4，BC=2，那么AB=________．【习题5】ABC∆中，D为BC中点，DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E，EF AB⊥于F EG AC⊥于G．求证：BF CG=．EGFDCBA【备选1】在ABC∆中，AD平分BAC∠，AB BD AC+=．求:B C∠∠的值．CDBA月测备选【备选2】如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA【备选3】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B∠的平分线时，有AD BC AB +=．EBCDA第四讲 全等三角形与旋转问题【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．（1）求证：AN BM =．（2）求证：CD=CEA C(3) 求证：CF 平分∠MCN（4） 求证：DE ∥AB【例2】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG ．G FEDCBAACBA CB【例3】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【例4】 如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDC BA【例5】 如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF+为定值．OB ECF A【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DKG CF A【例6】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．FED CBA【补充】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDCBA【例7】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BAC HFE D B A【补充】(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ; FED CBA(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明． FEDCB A【习题1】 如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD+相等的理由．家庭作业EDCBA【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【习题3】 在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD 中点，试判断EC与EB 的位置关系，并写出推理过程．【习题4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．HG NM CBA【备选1】 在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=o ，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．月测备选A B C D E【备选2】 如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．FEDCBA【备选3】 等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．DFE CBA第五讲 轴对称和等腰三角形【例1】 在ABC ∆中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠．APMCQB【补充】在ABC ∆中，AB AC =，BC BD =，AD ED EB ==．求A ∠．【例2】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．【例3】 如图，点O 是等边AO AD =内一点，110AOB ∠=o ，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转19060αα-=-∴°°得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？【例4】 如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=o ，在AC 上取一点E ，使得ADE AED ∠=∠，求EDC ∠的度数．E D C B A E D C B AO DC B AA【例5】 如图，ABC ∆为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E ，使AE BD =，连接,CE DE ，求证：CDE ∆为等腰三角形．【例6】 如图，在ABC ∆中，B ∠，C ∠为锐角，,,M ND 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，满足AM AN =，BD DC =，且BDM CDN ∠=∠．求证：AB AC =．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】 已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．【例8】 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBAE D C BAA BCDMNPl【例9】 如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点)，求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小．【补充】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．【例10】 已知如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大．PBANMCBAMBOAlBA【例11】如图，正方形ABCD中，8AB=，M是DC上的一点，且2DM=，N是AC上的一动点，求DN MN+的最小值与最大值．【补充】例题中的条件不变，求DN MN-的最小值与最大值．【补充】如图，已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且2DM=，N是AC上的一个动点，则DN MN+的最小值是MDCBA【习题1】(2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为．【习题2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边的长为( )A．17cm B．5cm C．17cm或5cm D．无法确定【习题3】已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，求x的取值范围．【习题4】(2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【习题5】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼家庭作业NMDCBA【备选1】 ABC ∆的一个内角的大小是040，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )A ．140︒B ．80︒或100︒C ． 100︒或140︒D ． 80︒或140︒【备选2】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长． 【备选3】 (四川省竞赛题)如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小．PECBA【备选4】 在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 在BD 上，求PE 和PC 的长度之和的最小值．E PDCB AE‘E PDCB A月测备选第六讲 全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【例3】 AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( )A . aB . kC .2k h+ D . h MDCBA【例4】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .DOECB A NE BMADDA【例5】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．FABCDEOOEDCBA【例6】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例7】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDENMDCBA精品文档精品文档板块二、全等与角度【例10】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例11】【例12】 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.C E DB A D CB A D EC B A。

学而思2020年春季班初一数学是为初一学生开设的一门系统性数学课程，旨在培养学生从宏观上认识数学，建立起数学思维结构，并且通过实践对数学基本概念、公式和解题技巧有较深入的理解。

该课程的教学内容主要分为三大部分：一是基础数学概念，包括基本的运算概念、几何图形等；二是数学计算技能，包括计算机的基本理论和技能，以及应用实际解决问题的方法；三是数学思维能力，包括数学模型的分析、推理和解决复杂问题的能力。

课程教学采用“活动式”教学，在课堂上教师采用多种活动加以调动，使学生在真实情境中参与实践学习，丰富学生的学习体验。

结合视频、网络等教学媒介，帮助学生更加轻松地掌握知识点，提高学习效果。

学而思2020年春季班初一数学课程旨在培养学生系统性地学习数学，提高学生的数学技能，培养学生的数学思维能力，为学生未来学习打下坚实的基础。

函数1级平面直角坐标系认识初步函数2级平面直角坐标系中的变换函数3级函数初步暑期班第二讲春季班第二讲卡帅奇梦记漫画释义满分晋级阶梯1平面直角坐标系认识初步编写思路：一：让学生认识平面直角坐标系，让学生自己动手找点、描点，体会坐标与点的一一对应关系。

二：让学生认识并且理解坐标系中特殊直线的表示方法。

三：让学生充分体会点的坐标（数字）与距离（线段长度）之间的关系。

平面直角坐标系是数形结合最重要的工具，它将坐标与几何图形紧密的结合在一起。

在这讲中，老师一定要向学生传达这个意识，由数到形、由形到数的转化。

定 义示例剖析有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作(),a b ．利用有序数对，可以准确地表示出平面内一个点的位置．()1,2与()2,1是两个不同的有序数对.思路导航知识互联网题型一：平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度．我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向．点的坐标：如右图，由点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足A 在x 轴上的坐标是a ，垂足B 在y 轴上的坐标是b ，则点P 的坐标为()a b ，． 点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．象限和轴：横轴（x 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0y =； 纵轴（y 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0x =；第一象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y >⎧⎨>⎩；第二象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y <⎧⎨>⎩；第三象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y <⎧⎨<⎩；第四象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y >⎧⎨<⎩；点()31005⎛⎫⎪⎝⎭，，，都在x 轴上； 点()10102⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，都在y 轴上．易错点1：当a b ≠时，()a b ，和()b a ，是两个不同的有序实数对． 易错点2：原点在坐标轴上，两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．【引例】已知()32A -，、()32B --，、()32C -，为长方形的三个顶点，⑴ 建立平面直角坐标系，在坐标系内描出A 、B 、C 三点； ⑵ 根据这三个点的坐标描出第四个顶点D ，并写出它的坐标； ⑶ 描点后并进一步判断点A 、B 、C 、D 分别在哪一象限？⑷ 观察A 、B 两点，它们的坐标有何特点？B 与C 呢？A 与C 呢？【解析】 ⑴ 如右图所示；⑵ ()32D ，；-1-2-3-4-4-3-2-143214321Oyxb aBP AOy x第四象限第三象限第二象限第一象限-1-2-3-4-4-3-2-143214321Oy x例题精讲Ay1234⑶ A ：第二象限；B ：第三象限；C ：第四象限；D ：第一象限 ⑷ A 、B 坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数， 位置特点：关于x 轴对称．B 、C 坐标特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数， 位置特点：关于y 轴对称．A 、C 坐标特点：横、纵坐标均互为相反数，位置特点：关于原点对称．【例1】 ⑴ 如图，如果“士”所在位置的坐标为()12--，，“相”所在位置的坐标为()22-，，那么“炮”所在位置的坐标为 ．⑵ 由坐标平面内的三点()()()113113A B C -，，，，，构成的ABC △是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形⑶ 若规定向北方向为y 轴正方向，向东方向为x 轴正方向，小明家的坐标为()12，，小丽家 的坐标为()21--，，则小明家在小丽家的（ ）A ．东南方向B ．东北方向C ．西南方向D ．西北方向⑷ 已知点M ()34a a +-，在y 轴上，则点M 的坐标为 ． ⑸ 方格纸上A B 、两点，若以B 点为原点，建立平面直角坐标系，则A 点坐标为()34，， 若以A 点为原点建立平面直角坐标系，则B 点坐标为（ ）A ．()34--，B ．()34-，C ．()34-，D ．()34，【解析】 ⑴()31-，； ⑵B ； ⑶ B ； ⑷ ()07，；⑸ A ．【例2】 ⑴ 如果点()12P m m -，在第四象限，那么m 的取值范围是（ ） A ．102m <<B ．102m -<<C ．0m <D ．12m > （人大附中期中）⑵ 已知点()391M a a --，在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0（一五六中学期中）⑶ 已知点()23A a b -，在第一象限，点()43B a b --，在第四象限，若a b ，都为整数， 则2a b += ．（人大附中期中） ⑷ 已知点()381P a a --，，若点P 在y 轴上，则点P 的坐标为 ；若点P 在典题精练第二象限，并且a 为整数，则P 点坐标为 ．（四中期中）⑸ 如果点()A a b ，在第二象限，则点()221B a b -++，在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限⑹ 设()3,a ab 在第三象限，则：①(),a b 在第 象限；② ,a a b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在第 象限；③ ()3,b a b -在第 象限.【解析】 ⑴D ； ⑵ B ； ⑶ 7或8； ⑷ 503⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()21-，； ⑸A ； ⑹由题意知0,0a b <>，答案依次为：一；三；一.【例3】 ⑴ 对任意实数x ，点()22P x x x -，一定不在．．（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限⑵ 点()11P x x -+，，当x 变化时，点P 不可能在第（ ）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四（四中期中） ⑶ 证明：①点()22m n ，不在第三、四象限；②点()2122m m ++，不在第四象限．【解析】 ⑴ C ；⑵ D ；⑶ ①∵20n ≥，∴点()22m n ，不在第三、四象限； ② 若210220m m +>⎧⎨+<⎩，不等式组无解，∴点()2122m m ++，不在第四象限.【点评】 “不存在类问题”需要对点坐标进行正负分析． 【变式】平面直角坐标系内，点(),1A n n -一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 C【点评】 本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，把符号问题转化为解不等式组的问题．定 义示例剖析平行于坐标轴的直线：与横轴平行的直线：点表示法()x m ，，x 为任意实数，0m ≠的常数（即直线y m =）； 与纵轴平行的直线：点表示法()n y ，，y 为任意实数，0n ≠的常数（即直线x n =）.直线4y =平行于x 轴； 直线3x =平行于y 轴．角平分线：一、三象限角平分线：点表示法()x y ，， x ，y 为任意实数，且x y =； 二、四象限角平分线：点表示法()x y ，，x ，y 为任意实数，且x y =-.注：1平行于x 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；2平行于y 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．【引例】已知()P a b ，是平面直角坐标系内一点. 请在下面横线上填上点P 的具体位置： ⑴ 若0ab >，则P 点在 ；⑵ 若0ab <，则P 点在 ； ⑶ 若0ab =，则P 点在 ； ⑷ 若220a b +=，则P 点在 ； ⑸ 若a b =，则P 点在 ； ⑹ 若0a b +=，则P 点在 ．【解析】 ⑴ 第一或三象限；⑵ 第二或四象限；⑶ 坐标轴上；y =4x =3xy O12341234-1-2-3-4-4-3-2-1二、四象限角平分线一、三象限角平分线xy O12341234-1-2-3-4-4-3-2-1例题精讲思路导航题型二：坐标平面内的特殊直线⑷ 原点；⑸ 一、三象限角平分线上；⑹ 二、四象限角平分线上.【例4】 ⑴ 已知点()23P x x +，在第二象限坐标轴夹角平分线上，则点()223Q x x -++，的坐标为 ．⑵已知点()23P x x +，在坐标轴夹角平分线上，则点()223Q x x -++，的坐标为 ．⑶ 已知点()3553A a a ++，在第二、四象限的角平分线上，求2009a a +的值． 【解析】 ⑴()31Q ，； ⑵()31，或()19-，； ⑶2-.【例5】 ⑴ 点A 的坐标为()23，，点B 的坐标为()43，，则线段AB 所在的直线与x 轴的位置关系是 ．（八十中学期中试题）⑵ 在下列四点中，与点()34-，的连线平行于y 轴的是（ ）A ．()23-，B ．()23-，C ．()32，D ．()32-，（人大附中期中试题） ⑶ 过点()35，且与x 轴平行的直线是 ，与y 轴平行的直线是 ． ⑷ 已知：点(26,3)P m m +-，试分别根据下列条件，直接写出P 点的坐标.①点P 在y 轴上： ②点P 在x 轴上：③点P 的纵坐标比横坐标大3：④点P 在过(2,3)A -点且与x 轴平行的直线上：(2011年北京四中期中考试题)【解析】 ⑴平行；AB 所在的直线与x 轴平行，则这两点纵坐标相同，横坐标不同．⑵D ．两点所在的直线与y 轴平行，则这两点横坐标相同，纵坐标不同． ⑶53y x ==，．⑷①(0,6)-；②(12,0)；③(18,15)--；④(6,3)-.思路导航典题精练题型三：距离d 1=b -md 2=a -nA =(a ,b )y =m x =nOyx 1. 点到轴的距离点(,)P m n 到到x 轴的距离是n ，到y 轴的距离是m .2. 点到水平直线、竖直直线的距离点()a b ，到直线y m =（m 为常数）的距离为b m -， 注：当0m =时，就是点到横轴（x 轴）的距离为b ； 点()a b ，到直线x n =（n 为常数）的距离为a n -， 注：当0n =时，就是点到纵轴（y 轴）的距离为a ．3. 同一水平直线、竖直直线上的点到点的距离在直线y m =上，点(,)(,)A a m B b m ,，则AB a b =-； 在直线x n =上， 点(,),(,)C n c D n d ，则CD c d =-.【引例】⑴点()34A -，到横轴的距离为 ，到纵轴的距离为 ．⑵点P 在第二象限内，且点P 到x 轴的距离是4，到y 轴距离是3，那么点P 的坐标是 ．【解析】 ⑴4，3；⑵()34-，.【例6】 ⑴ 点A 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为3，该点坐标为 ．⑵ 在平面直角坐标系中，点(),P a b 到直线2x =的距离为3，则a 的值为（ ）A ．5B ．1-C ．5或1-D ．5-或1 （人大附中期中） ⑶ 若x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为（ ）．A ．()30，B ．()30，或()30-，C ．()03，D ．()03，或()03-， （西外期中）⑷ 点()31A ，到直线1x =-的距离为 ，到直线1y =-的距离为 ． ⑸ 点()211M a a +-，到直线1y =的距离为1，求M 的坐标． ⑹ 已知点(2,3),(,)P Q m n①若PQ x ∥轴，则m n ；PQ = ②若PQ y ∥轴，则m n ；PQ =【解析】 ⑴（3，1）、（3，1-）、（3-，1）、（3-，1-）；⑵ C ； ⑶ B ； ⑷ 4，2；⑸ (1)11a --=，∴1a =±，∴点M 的坐标为（3，0）或（1-，2）． ⑹①2,3m n ≠= 2PQ m =-；②2,3m n =≠ 3PQ n =-典题精练例题精讲针对第（5）题对点到特殊直线、坐标轴和特殊点的距离问题进行变式.【变式1】点()211M a a +-，到直线2x =的距离为1，求M 的坐标． 【解析】 2121a +-=，即211a -=，解得0,1a =∴点M 的坐标为（3，0）或（1，1）【变式2】点()211M a a +-，到坐标轴的距离为3，求M 的坐标． 【解析】 分类讨论：点到x 轴：13a -=，解得42a =-或，点到y 轴：2+1=3a ，解得=12a -或综上，点M 的坐标为（9，-3）或（-3,3）或（3,0）.【变式3】点()211M a a +-，到点()1,1a a --的距离为3，求M 的坐标． 【解析】 观察可得这两个点的纵坐标相同，可得21(1)3a a +--= 解得1a =或5-故点M 的坐标为()3,0或()9,6-.注：本题也可变为点()211M a a +-，到点()21,2a a ++的距离为3，求M 的坐标． 由题意得()213a a +--=，解得1a =或2a =-. 故点M 的坐标为()3,0或()3,3-.【点评】例6（5）和变式1是为了让学生区分点到平行于x 轴、y 轴的公式计算方法，而变式2是一道典型的需要分类讨论的问题，学生需要考虑全面.【例7】 已知：实数a b ，满足()22110a a b ++++=，且以关于x y ，的方程组21ax by m ax by m +=⎧⎨-=+⎩的解为坐标的点()P x y ，在第二象限，求实数m 的取值范围．（2013首师大附中中学期中）【解析】 解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，代入方程组解得()()2213213x m y m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，由题意得()()221032103m m ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩，解得112m -<<真题赏析题型一 平面直角坐标系的基本概念 巩固练习【练习1】 ⑴ 点（22a +，1a -）在第一象限，则a的取值范围是 ．⑵ 在直角坐标系中，点()265P x x --，在第四象限，则x 的取值范围是 ．⑶ 点()2211a a --+，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ⑴ 11a -<<；⑵ 35x <<；⑶ B ．【练习2】 ⑴ 已知()2230x y -++=，则()P x y ，的坐标为 ，在第 象限内．⑵ 若x ，y 满足350x y x y +=⎧⎨-+=⎩，则()A x y ，在第 象限．⑶ 如果点()11M x y --，在第二象限，那么点()11N x y --，在第 象限． ⑷ 已知点()A m n ，在第二象限，则点()B m n -，在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 ⑴ ()2,3P -，在第四象限；⑵ 二；⑶ 三；⑷ D ．题型二 坐标平面内的特殊直线 巩固练习【练习3】 ⑴ 若点113A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第二象限的角平分线上，则m = ．⑵ 点12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第三象限的角平分线上，则a = ；⑶ 若点M 在第一、三象限的角平分线上，且点M 到x 轴的距离为2，则点M 的坐标是( )A ．()22，B ．()22--，C ．()22，或()22--，D ．()22-，或()22-，【解析】 ⑴ 3； ⑵ 12-；⑶ C ．【练习4】 ⑴ 点A 的坐标为()31-，，点B 的坐标为()33，，则线段AB 所在的直线与x 轴的位置关系是 ．⑵ 已知：()40A ，，点C 在x 轴上，且5AC =．则点C 的坐标为 ． ⑶ 已知：点A 坐标为()23-，，过A 作AB x ∥轴，则B 点纵坐标为（ ）A ．2B ．3-C ．1-D ．无法确定⑷ 线段AB 的长度为3且平行于x 轴，已知点A 坐标为()25-，，则点B 的坐标为 .【解析】 ⑴ 垂直；⑵ ()()1090-，，，； ⑶ B ；复习巩固⑷ ()()1555---，，，题型三 点到线的距离 巩固练习【练习5】 ⑴ 点()54P -，到x 轴距离为 ，到y 轴距离为 ．⑵ 点P 在第二象限内，且点P 到x 轴的距离是4，到y 轴距离是3，那么点P 的坐标是（ ）A ．()43-，B ．()43-，C ．()34-，D ．()34-，（北京27中期中）⑶ 若点()P a b ，到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则这样的点P 有（ ） A ．1个 B ．4个 C ．3个 D ．2个⑷ 已知点()236P a a -+，，且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是 ． ⑸ 点()2,3-到直线2y =的距离为 ，到直线7x =-的距离为 .【解析】⑴ 4，5；⑵ C ；⑶ B ；⑷ ()33，或()66-，；⑸ 1，5．第十四种品格：信念信念是脊梁，支撑着不倒的灵魂；信念是明灯，照耀着期盼的心灵；信念是路标，指引着前进的方向。

第一讲、整式第二讲同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方第三讲同底数幂的除法与整式的乘除第四讲整式的除法第五讲平方差公式第六讲完全平方公式第七讲、整式的除法第八讲测试第九讲中考经典第十讲平行线与相交线余角与补角第一讲、整式知识要点：1、 单项式的意义： 数与字母的乘积的代数式叫做单项式。

（单独的一个数或字母也是单项式） 2b 与 2b的 区别2、 单项式中的数字因数叫做叫做这个单项式的系数3、 单项式中所有字母的指数和叫做叫做这个单项式的次数。

4、 几个单项式的和叫做多项式5、 组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项6、 多项式里此数目最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

7、 整式的意义： 单项式和多项式统称为整式。

（分母中含有字母的代数式不是整式）8、 整式的加减：求几个整式的和或差的运算，运算结果仍是整式9、 整式加减的一般步骤：（1） 去括号； （2）合并同类项 10、整体代入法：11、整式的运算对数的运算的指导性作用： 例1、 填空题：（1）单项式213x -的系数是 ，次数是 ；（2） 单项式222a b c-的系数是 ，次数是 ；（3） 单项式 22x y z π的系数是 ，次数是 ；例2、 填空：（1） 多项式23x +是 次 项式，最高次项是 ，常数项是 。

（2） 多项式43923101232x y x x y -++是 次 项式，最高次项的系数是 ，常数项是 。

例3 、 已知多项式4212331534a x y xy x y +--+（1） 求 多项式中各项的系数与次数。

（2） 若多项式是8次三项式，求a 的值例4、（1）25ax -与24x a -的差是 （2） 与2421x x ++的差是24x（3）已知A=21x x -+, B= 2x -，23A B -=例5、 若2,3xy x y =-+=，求代数式[](310)5(223xy y x xy y x ++-+-的值。

例6、 证明：对于任意一个三位数字，交换它的百位数和个位数又得到一个一个数，两个数相减，所得结果能被99整除 。

不等式2级 含参不等式不等式3级不等式的应用方程6级不等式4级方程与不等式综合应用春季班 第八讲春季班 第五讲一半吗？漫画释义满分晋级阶梯7不等式的应用编写思路：本讲主要训练学生寻找题目中不等关系的能力。

当题目中涉及多个不等关系的时候，通过列不等式组、解不等式组解答。

对于题目中表示不等关系的字眼，让学生充分理解和体会，正确列出不等式。

对于通过图形给出的不等关系，联系结论和图形，找到不等关系。

列一元一次不等式（组）解决实际问题的一般步骤： 审：分析题意，弄清题目中的相等关系和不等关系； 设：用字母（如x ）表示题目中的未知数； 列：根据数量关系列出不等式（组）； 解：解不等式（组），求出未知数的取值范围；答：检验所求出的解或解集是否符合题意，写出答案．【引例】 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用，已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完．问：例题精讲思路导航知识互联网题型一：一元一次不等式的应用在已确定调用5辆A 型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆？【解析】 设至少还需要B 型车x 辆，依题意得：20515300x ⨯+≥解得1133x ≥，∴14x =，答：至少还需要调用B 型车14辆.【例1】 ⑴ 亮亮准备用节省的零花钱买一台复读机，他已存有45元，计划从现在起以后每月节省30元，直到他至少有300元．设x 个月后他至少有300元，则符合题意的不等式是（ ） A ．3045300x +≥ B ．3045300x -≥ C ．3045300x +≤ D ．3045300x -≤（北京二中分校期中）⑵ 某商品进价是1000元，售价为1500元．为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于5%，则商店最多降 元出售商品.⑶ 某工地实施爆破，操作人员点燃导火线后，必须在炸药爆炸前跑到400m 外安全区域，若导火线燃烧的速度为1.1cm /秒，人跑步的速度为5m /秒，则导火线的长（单位：厘米）应满足的不等式是： ．⑷ 我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用．张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股 元时才能卖出？（精确到0.01元） ⑸ 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条2a b+的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ） A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．无关a 、b 大小【解析】 ⑴ A.⑵ 设最多降x 元出售商品根据题意得150010005%1000x --≥，解得450x ≤⑶ 依题意得，操作人员跑的路程大于400米，即54001.1x⋅>．⑷ 设至少涨到每股x 元时才能卖出．根据题意得：1000(50001000)0.5%50001000-+⨯+x x ≥，解这个不等式得1205199x ≥，即 6.06x ≥．⑸A.【拓展】苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克 元.x 典题精练【解析】 设售价至少为每千克x 元，苹果的总量为m kg ，根据题意得()15% 3.8mx m -≥解得4x ≥，故售价至少为每千克4元.【点评】此题方法为辅助设元法，虽然有关两个未知量，但是可以消去辅助元并求得要求的未知数的范围.根据题意列出几个不等式，分别求解，求出解集，根据具体情况分类讨论．【引例】 为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A 、B 两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：型号占地面积 （单位：m 2/个） 使用农户数 （单位：户/个） 造价（单位：万元/个）A15 18 2 B20 30 3已知可供建造沼气池的占地面积不超过2365m ，该村农户共有492户． ⑴ 满足条件的方案共有几种?写出解答过程． ⑵ 通过计算判断，哪种建造方案最省钱．【解析】 ⑴ 设建造A 型沼气池x 个，则建造B 型沼气池()20x -个依题意得：()()152020365183020492x x x x ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≤≥解得：79x ≤≤.∵x 为整数,∴7x =，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种． ⑵ 由⑴知共有三种方案，其费用分别为：方案一：建造A 型沼气池7个，建造B 型沼气池13个， 总费用为7213353⨯+⨯=（万元）方案二：建造A 型沼气池8个，建造B 型沼气池12个， 总费用为：8212352⨯+⨯=（万元）方案三：建造A 型沼气池9个，建造B 型沼气池11个，例题精讲思路导航题型二：一元一次不等式组的应用总费用为：9211351⨯+⨯=（万元） ∴方案三最省钱．【例2】 ⑴ 已知一个矩形的相邻两边长分别为3厘米和x 厘米，若它的周长小于14厘米，面积大于6平方厘米，则x 的取值范围是 ．⑵ 如图是测量一颗玻璃球体积的过程：①将300ml 的水倒进一个容量为500ml 的杯子中；② 将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③ 再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（ ） A ．320cm 以上，330cm 以下 B ．330cm 以上，340cm 以下C ．340cm 以上，350cm 以下 D. 350cm 以上，360cm 以下⑶ 一个小于40的两位数，个位数字比十位数字的2倍小1，如果将个位数字与十位数字对换，对换后所得到的两位数大于50，求原来的两位数.【解析】 ⑴ 依题意得2(3)<143>6+⎧⎨⎩x x ，解得2<<4x ．⑵ 根据图示和物理知识可设每颗玻璃球的体积为x ，得不等式组4300<5005300>500+⎧⎨+⎩x x ，解得：40＜x ＜50，故应选C.⑶ 设十位数字为x ，则个位数字为21x -.根据题意得 10+21<4010(21)+>50x x x x -⎧⎨-⎩，解得652<<3712x因为x 是整数，所以=3x .故原来的两位数是35.【例3】 “六一”期间，各商场举行“六一欢乐购”的促销活动.在甲商场一次性购物超过100元，超过部分8折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过部分9折优惠.两个商场恰好都有小明所需要的商品.⑴如果小明要买的东西是160元，去哪个商场会便宜一些？⑵请你帮小明计算一下购物为多少元时在乙商场比在甲商场便宜？【解析】 ⑴甲;⑵设小明购物为x 元，①当050x <≤时，甲乙两商场一样；典题精练②当50x <≤100时，由已知可知乙商场便宜；③当100x >时，由题意可知甲商场总价为 1000.8(100)0.820x x +-=+， 乙商场总价为500.9(50)0.95x x +-=+；由题意可知，乙比甲便宜可得：0.950.820x x +<+ 解得100150x <<综上所述，②③符合条件可得50150x <<.【例4】 某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A 、B 两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：⑴ 冰箱厂有哪几种生产方案？⑵ 该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？【解析】 ⑴ 设生产A 型冰箱x 台，则B 型冰箱为()100x -台，由题意得：47500(28002200)(30002600)(100)48000-+--⨯x x ≤≤，解得：37.540x ≤≤.x 是正整数，∴x 取38，39或40．⑵ 设投入成本为y 元，由题意有：22002600(100)400260000y x x x =+-=-+（方法一）将x =38、x =39、x =40分别代入上式，求出当40x =时，y 有最小值． 即生产A 型冰箱40台，B 型冰箱60台，该厂投入成本最少. （方法二）22002600(100)400260000y x x x =+-=-+ ∵4000-<,∴y 随x 的增大而减小. ∴当40x =时，y 有最小值．即生产A 型冰箱40台，B 型冰箱60台，该厂投入成本最少. 此时，政府需补贴给农民(280040300060)13%37960()+=⨯⨯⨯元 注意：学生未学一次函数，教师可根据班级学生掌握情况自行选择解法.根据题意设未知数，按照等量关系列出方程（组），并求解，从而为列不等式做准备．【例5】 商场正在销售帐篷和棉被两种防寒商品，已知购买1顶帐篷和2床棉被共需300元，购买2顶帐篷和3床棉被共需510元.⑴ 求1顶帐篷和1床棉被的价格各是多少元？⑵ 某学校准备购买这两种防寒商品共80件，送给青海玉树灾区，要求每种商品都要购买，且帐篷的数量多于棉被的数量，但因为学校资金不足，购买总金额不能超过8500元，请问学校共有几种购买方案？（要求写出具体的购买方案）（北师大附中期中）【解析】 ⑴ 设一顶帐篷x 元，一床棉被y 元，由题意得：230023510+=⎧⎨+=⎩x y x y ，解得：12090=⎧⎨=⎩x y .∴一顶帐篷120元，一床棉被90元.⑵ 设准备购买帐篷a 顶，那么购买棉被()80a -床， 根据题意可知：()12090808500+-a a ≤，解得1433a ≤，∵帐篷的数量多于棉被的数量且a 为正整数，∴a =43、42、41.所以购买方案有三种：方案一：购买帐篷43顶，棉被37床，购买总金额8490元； 方案二：购买帐篷42顶，棉被38床，购买总金额8460元；方案三：购买帐篷41顶，棉被39床，购买总金额8430元.【例6】 学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元． ⑴求大、小车每辆的租车费各是多少元？⑵若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案． 【解析】 ⑴ 设大车每辆的租车费是x 元、小车每辆的租车费是y 元．可得方程组2100021100x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得400300x y =⎧⎨=⎩答：大车每辆的租车费是400元、小车每辆的租车费是300元．典题精练思路导航题型三：方程（组）与一元一次不等式（组）的应用⑵ 由每辆汽车上至少要有1名老师，汽车总数不能大于6辆； 由要保证240名师生有车坐，汽车总数不能小于234648=459+辆， 综合起来可知汽车总数为6辆． 设租用m 辆大车，6m -辆小车则租车费用400300(6)Q m m =+-1001800m =+， 依题意有：45+30(6)24010018002300m m m -⎧⎨+⎩≥≤，解得45m ≤≤， 所以有两种租车方案， 方案一：4辆大车，2辆小车； 方案二：5辆大车，1辆小车． 观察式子发现m 越大，Q 越大， ∴当4m =时，Q 最少为2200元．故最省钱的租车方案是：4辆大车，2辆小车．【例7】 某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元.⑴ 若购买这批小鸡苗共用了4500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只； ⑵ 若购买这批小鸡苗的钱不超过4700元，问应选购甲种小鸡苗至少多少只；⑶ 相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡的总费用最小，问应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只，总费用最小是多少元. （清华附中期末考试）【解析】 ⑴设甲、乙两种小鸡苗各购买了x 只、(2000)x -只，根据题意得 23(2000)4500x x +-=解得 1500x =故甲种小鸡苗购买了1500只，乙种购买了500只.⑵设应选购甲种小鸡苗至少x 只，根据题意得23(2000)4700x x +-≤ 解得1300x ≥真题赏析故应选购甲种小鸡苗至少1300只； ⑶设应选购甲种小鸡苗x 只，根据题意得94%99%(2000)96%2000x x +-≥解得1200x ≤又总费用23(2000)6000W x x x =+-=- 则当1200x =时总费用最小为4800元.故应选购甲种小鸡苗1200只，乙种小鸡苗800只；总费用最小是4800元.以下对分配问题进行变式和拓展，供教师选择讲解.【拓展1】若干名学生分宿舍，每间4人余20人，每间8人，其中一间不空也不满，则宿舍有 间，学生有 人.【解析】 设宿舍有x 间，则学生有420x +人，根据题意可得不等式04208(1)8x x <+--<解得5＜x ＜7 因为x 为整数，所以x=6. 故宿舍有6间，学生有44人.【变式】若干名学生分宿舍，每间4人余20人，每间8人，则有一个房间还有空位.学校可能有几间房可安排多少学生住宿? 【解析】 设有x 间房间，根据题意得()0420818x x +--<≤ 解得57x <≤.∴67x =，.当6x =时，共有44人； 当7x =时，共有48人.【点评】宿舍分配问题重点分析第二个条件，根据语意列出准确的不等式. 不空也不满，意思是最后一个房间学生人数不能为0也不能为8，即可得到不等关系两边均取不到等号；而变式中还有空位，意思是最后一个房间学生人数可以为0，但不能为8.【拓展2】把一盒苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分6个，则最后一个学生能得到苹果但不超过2个，则学生人数是 . 【解析】 设有学生x 个，则苹果数有43x +个，则0436(1)2x x <+--≤解得3.5 4.5x <≤， ∵x 是整数， ∴4x =． ∴学生人数是4．【变式】把m 个练习本分给n 个学生，如果每人分3本，那么余80本；如果每人分5本，那么最后一个同学有练习本但不足5本，n 的值为 .（清华附中期末考试）【解析】 根据题意得380m n =+ 03805(1)5n n <+--< 解得4042.5n << ∴41,42n =当41n =时，练习本为203个；当42n =时，练习本为206个.【变式】幼儿园几个小孩分一箱苹果，每人分3个，则余7个；每人分5个，最后一个分到的苹果不足5个，问：有多少个小孩？多少个苹果？ 【解析】 设有x 个小孩，则()037515≤x x +--< 解得3.56≤x <. ∴ 45，x =或6.当4x =时，苹果个数为19个. 当5x =时，苹果个数为22个. 当6x =时，苹果个数为25个.【点评】注意区别这三道题中由于题目条件的变化引起的不等符号的变化. 如“不超过2个”，即大于等于0且小于等于2；“有但不足5个”，即大于0且小于5，两边都不可取等号；而条件变成“不足5个”，那么意思就是大于等于0且小于5. 建议教师给学生多练习这样的条件，一定要注意何时能取等号.【拓展3】我校八年级安排部分同学外出社会实践活动，并将他们编成8个组，如果分配给每组的人数比预定人数多1名，那么外出学生总数超过100人；如果每组分配的人数比预定人数少1名，那么外出学生人数不到90人，则预定每组分配的人数为 . 【解析】 设预定每组分配x 人，根据题意得：8(1)1008(1)90x x +>⎧⎨-<⎩∵x 为整数， ∴12x =．【拓展4】韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A 、B 两个出租车队，A 队比B 队少3辆车，若全部安排乘A 队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未满；若全部安排B 队的车，每辆车4人，车不够，每辆坐5人，有 的车未满，则A 队有出租车（ ）A 、11辆B 、10辆C 、9辆D 、8辆【解析】B; 设A队有出租车x辆，B队有(3)x+辆依题意可得5566564(3)565(3)56xxxx<⎧⎪>⎪⎨+<⎪⎪+>⎩；化简得111519311185xxxx⎧<⎪⎪⎪>⎪⎨⎪<⎪⎪>⎪⎩解得19113x<<，∵x为整数，∴10x=，故选B.另解：由题意可得不等式组为5656655656354xx⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩.【点评】此题其实不难，和前面的题目不同的是人数是已知的，只是根据语言环境确定不等关系.关键抓住不等关系的语句，列出不等式并且答案要使实际问题有意义.题型一一元一次不等式的应用巩固练习【练习1】某学校准备添置一些“中国结”挂在教室．若到商店去批量购买，每个“中国结”需要10元；若组织一些同学自己制作，每个“中国结”的成本是4元，无论制作多少，另外还需共付场地租金200元．亲爱的同学，请你帮该学校出个主意，用哪种方式添置“中国结”的费用较节省？【解析】设需要中国结x个，则直接购买需10x元，自制需(4200)x+元．分两种情况：⑴若104200x x+≤，得1333x≤，即少于等于33个时，到商店购买更便宜；⑵若104200x x>+，得1333x>，即多于33个时，自已制作更便宜．答：当添置“中国结”少于等于33个时，到商店购买更便宜；当添置“中国结”多于33个时，自已制作更便宜．题型二一元一次不等式组的应用巩固练习【练习2】乘坐益阳市某种出租汽车，当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元（即起步价4元）；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元．按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整（如记费器上的数字显示范围大于或等于复习巩固9.5而小于10.5时，应付车费10元），小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘 车路程的范围．【解析】 设小红这次乘车路程为x 千米，由题意知费用应为4 1.5(2)x +-元，即1.51x +（2x ≥）元．因为8介于7.5至8.5范围内，所以7.5 1.518.5x +<≤，解得1353x <≤．答：小红这次乘车路程的范围是1353x <≤千米．【练习3】 响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过．．． 132000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000 元/台．⑴ 至少购进乙种电冰箱多少台？⑵ 若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？【解析】 ⑴ 设购买乙种电冰箱x 台，则购买甲种电冰箱2x 台，丙种电冰箱(803)x -台.由题意得：120021600(803)2000132000x x x ⨯++-⨯≤ 解得：14x ≥.∴至少购进乙种电冰箱14台．⑵ 根据题意，得2803x x -≤，解得：16x ≤．由⑴知14x ≥． ∴1416x ≤≤． 又∵x 为正整数， ∴141516x =，，． 所以，有三种购买方案：方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台； 方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台；方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台．题型三 方程（组）与不等式（组）的应用 巩固练习【练习4】 某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册 作为纪念品．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本 相册．⑴ 求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？⑵ 有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？【解析】 ⑴ 设文化衫和相册的价格分别为x 元和y 元，则925200x y x y -=⎧⎨+=⎩解得3526x y =⎧⎨=⎩．答：一件文化衫和一本相册的价格分别为35元和26元． ⑵ 设购买文化衫t 件，则购买相册(50)t -本，则15003526(50)1530t t +-≤≤，解得20023099t ≤≤． ∵t 为正整数，∴t =23，24，25，即有三种方案．第一种方案：购文化衫23件，相册27本，此时余下资金293元； 第二种方案：购文化衫24件，相册26本，此时余下资金284元； 第三种方案：购文化衫25件，相册25本，此时余下资金275元；所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足．【练习5】 为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）（1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？ （2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案.【解析】 ⑴ 设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x 元、y 元，得=+8010+4=2000y x x y ⎧⎨⎩ 解得120200x y =⎧⎨=⎩∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元 （2）设购买办公桌椅m 套，则购买课桌凳20m 套，由题意有16000800001202020024000m m -⨯-⨯≤≤ 解得，7821241313m ≤≤∵m 为整数，∴22m =、23、24，有三种购买方案：第十四种品格：信念我想有一座农场因为父亲是位马术师，一个男孩必须跟着父亲走南闯北东奔西跑。

学而思七上领先中考培优课程 MATHEMATICS2绝对值几何意义突破知识目标目标一目标二目标三熟练绝对值式子的几何意义——距离，理解最值的含义掌握几何意义求多个绝对值之和的最小值的方法掌握一般的绝对值式子求最值、定值的方法—一零点分段法思维引入——最值的含义知识导航最大值与最小值统称为最值，一个代数式一般能取到无数个值，我们把其中最大的值叫做最大值，最小的值叫做最小值，例如：当x等于任意数时，代数式x?2能取到无数个值．但其中最小的值是0．因此可以说, 仅当x＝2时．x?2取得最小值为0；此时x?2可以无穷大．因此它没有最大值．当1≤x≤3时，2x－3能取到无数个值，但当x＝1时2x －3取得最小值为－1；当x＝3时， 2x－3取得最大值为3．这里也可以描述为．当l≤x≤3时,－1 ≤2x －3≤3．练习——最值的含义的理解1. 2x??的最小值是，当x＝时它取得最小值；一?3?x?的最大值是，当x ＝时它取得最大值；2 当x＝时，(1－3x)2 ＋2取得最小值为；当x＝时，3一x?1取得最大值为； 2.先化简x?3?x?4，再求它的最值，并说明相应的x的取围．3．先化简x?1?x?5，再求它的最值，并说明相应的x的取值范围.总结归纳虽然“最值”这个概念是代数层面上的，通过代数计算来找最值是最本质的方法，但通过上面的练习不难发现，如果纯通过代数计算来找最值，有时过程会比较繁琐，计算量也较大，耗时又易错.初中知识两大主线——几何与代数各成体系又相辅相成，例如数轴就是用形来表示数，后面学习坐标系与函数后会有更多数与形的结合．现阶段，绝对值的代数运算意义和它在数轴上表示距离的几何意义，就架起了数与形的桥梁．灵活运用绝对值的代数意义与几何意义，融会贯通，就能使二者相得益彰，不仅能为解题带来很大帮助，这种思维间的转换对以后的学习也大有裨益．本讲要学习的主要就是仅含绝对值的式子求最值的方法——绝对值的几何意义．模块一绝对值的几何视角——距离知识导航通过前面的学习．我们对绝对值的代数意义已经很熟悉．a?b???a?b(a?b) ，这让我们看到?b?a(a＜b)一个含绝对值式子的第一反应就是，我们可以把它拆开．例如，当x?1这个式子出现在我们眼前，它就被我们强迫症般的在脑海中变成了x?1???x?1(x?1)．诚然，这种利用代数意义进行的转换在做绝对值?1?x(x＜1)化简时是必要且实用的．但在做最值类题型时反而绕了，转换为距离更简．实际上，前面我们已经多次接触了绝对值的几何意义，上一讲更是大量用到了绝对值来表示数轴上点的距离，因此当我们看到要“表示数轴上的距离”时．会不自觉的想到“可以用绝对值来表示”．反过来，我们也应该认识到，当一个绝对使式子出观时，它也代表着距离．例如，a表示数轴上数a对应的点到原点的距离，m?n的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离.所以，当x?1这个式子出现在我们眼前，它还应该被我们强迫症般的在脑海中变成“这表示数轴上x对应的点与1对应的点之间的距离”．练习几何视角1. ?1?2的几何意义是数轴上表示－1的点与表示2的点之间的距离，则?1?2＝； 2．x??的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离：x??＝1的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是： 3. a?b 的几何意义是表示的点与表示的点之间的距离，且a?b?b?a； a?b的几何意义是表示的点与表示的点之间的距离，a?b??a?b；4．x?2的几何意义是数轴上表示点与表示点之间的距离；若x?2＝2，则x ＝； 5．当x＝－1时，x?5?x?2＝，当x＝?时，x?5?x?2＝ . 例1．(1)数轴上四个点的位置关系如右图，且它们表示的数分别为p,q，r，s．若p?r?10,p?s?12,q?s?9则q?r＝．(2)有理数a、b、c、d各自对应着数轴上X、Y、Z、R四个点，且它们满足以下三个条件：①b?d比a?b，a?c、a?d、b?c、c?d都大；②d?a?a?c?d?c；③c 是a、b、c、d中第二大的数．则点X、Y、Z、R从左到右依次是 .练满足a?b?a?b成立的条件是( )．A． ab≥0 B．ab ＞1 C. ab ≤0 D. ab≤1模块二绝对值之和求最小值知识导航求x?1?x?2的最小值；把这两个距x?1即数轴上x与1对应的点之间的距离，x?2即数轴上x与2对应的点之间的距离，离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值.设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x.当l≤x≤2时，即P点在线段AB上，此时x?1?x?2?PA?PB?AB?1；当x＞2时，即P点在B点右侧，此时x?1?x?2＝ PA＋PB＝AB＋2PB＞AB；当x ＜1时，即P点在A点左侧，此时x?1?x?2＝PA＋PB＝AB＋2PA＞AB；综上可知，当l＜x＜2时（P点在线段AB上），x?1?x?2取得最小值为1．此结论可以推广：若已知以a＜b，则当a≤x≤b时，x?a?x?b取得最小值为b－a. 题型一两个绝对值相加求最小值例2（1）当x满足时,x?5?x?200取得最小值为；当x满足时,x?3?x?4取得最小值为；当x满足时，x?6?x?4取得最小值为．（2）当－1≤x≤6时，x?2?x的最小值为 ,最大值为 . （3）当x?1?x?3取得最小值时，试化简x?5?x?5＝．总结归纳绝对值的最值问题多以选填题的形式考察，上述绝对值几何意义的方法能迅速求解，但此法不能作为大题的解题步骤，所以一旦要求写大题步骤，只能使用零点分段法化简，分别求出每一段的取值范围，最后得到最值．练（1）当x满足时，x?8?x??取得最小值为；当x满足时．x?11?x?取得最小值为． 32（2）已知x为整数，且满足x?x?4?4,则x的所有可能值之和为 . （3）求x?4?x?5的最小值，并写出相应的x的范围．挑战压轴题（2014武昌七校七上期中压轴题）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB?a?b，根据以上知识解题：(1) 若数轴上两点A、B表示的数为x、－1.①A、B之间的距离可用含x的式子表为；②若该两点之间的距离为2,那么x值为 .(2) x?1?x?2的最小值为，此时x的取值范围是；已知?x?1?x?2??y?3?y?2??15，求x－2y的最大值和最小值.拓◆已知x?2?1?x?9?y?5?1?y，求x＋y的最值．题型二多个绝对值相加求最小值以四个绝对值之和为例，求x?1?x?2?x?3?x?4的最小值；设A、B、C、D、P五点对应的数分别为1、2、3、4、x，在数轴上画出各点，排好序之后由远及近依次两两一组求和。

1初二秋季·第13讲·提高班·教师版全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。

判断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL （直角三角形），如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件，引出相应的辅助线然后再证明。

一、常见辅助线的作法有以下几种：1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对称”；2. 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；思路导航13名校期末试题点拨——几何部分题型一：全等三角形与轴对称2初二秋季·第13讲·提高班·教师版4. 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；5. 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

二、常见模型1.最值问题：“将军饮马”模型；2. 全等三角形经典模型：三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模型等。

三、尺规作图部分地区会考察尺规作图，难点在于构造轴对称图形解决几何问题。

【例1】 ⑴如下左图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A =60°，∠1=95°，则∠2的度数为（ ）（2013海淀期末）A ．24°B ．25°C ．30°D ．35°⑵长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如上右图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n =3时，a 的值为 ．典题精练21C'B'FE CBA 第二次操作第一次操作3初二秋季·第13讲·提高班·教师版【解析】⑴∵∠A =60°，∴∠AEF +∠AFE =180°-60°=120°， ∴∠FEB +∠EFC =360°-120°=240°，∵由折叠可得：∠B ′EF +∠EFC ′=∠FEB +∠EFC =240°， ∴∠1+∠2=240°-120°=120°， ∵∠1=95°，∴∠2=120°-95°=25°， 故选：B ．⑵由题意，可知当10＜a ＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a ，宽为20-a ，所以第二次操作时剪下正方形的边长为20-a ，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a ，2a -20． 此时，分两种情况： ①如果20-a ＞2a -20，即a ＜403，那么第三次操作时正方形的边长为2a -20． 则2a -20=（20-a ）-（2a -20），解得a =12； ②如果20-a ＜2a -20，即a ＞403，那么第三次操作时正方形的边长为20-a ． 则20-a =（2a -20）-（20-a ），解得a =15． ∴当n =3时，a 的值为12或15． 故答案为：12或15．【例2】 ⑴如图所示，在长方形ABCD 称轴l 上找点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有（ ）．A ．1个B ．3个C ．5个D ．6个lD C BA4初二秋季·第13讲·提高班·教师版【解析】C⑵已知，横线和竖线相交的点叫做格点，P 、A 、B 为格点上的点，A 、B 的位置如图所示，若此三点能够构成等腰三角形，P 点有 种不同的位置？ 【解析】12种，如下图所示：【例3】 ⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小；⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小；⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．图4图3图2图1P DCAOP C BAP E D CB AP E D CBA【解析】 ⑴作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP +PE 的最小值为223BC BE -=；⑵连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB +PE 的最小值是225AD AE +=；BA5初二秋季·第13讲·提高班·教师版⑶作A 关于OB 的对称点A ′，连接A ′C ，交OB 于P ，P A +PC 的最小值即为A ′C 的长，∵∠AOC =60°，∴∠A ′OC =120°，作OD ⊥A ′C 于D ，则∠A ′OD =60°，∵OA ′=OA =2，A ′D =3，∴A ′C =23⑶如图4，首先过点B 作BB ′⊥AC 于O ，且OB =OB ′，连接DB ′并延长交AC 于P ，由AC 是BB ′的垂直平分线，可得∠APB =∠APD ．B'DA'图4图3图2图1P DCB AO P C B AP E DCB AP E D CBA【例4】 如图1，在ABC △中，2ACB B ∠=∠，BAC ∠的平分线AO交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l AO ⊥于H ，分别交直线AB AC BC 、、于点N E M 、、. ⑴当直线l 经过点C 时（如图2），证明：BN CD =； ⑵当M 是BC 的中点时，写出CE 和CD 之间的等量关 系，并加以证明；⑶请直接写出BN CE CD 、、之间的等量关系.（海淀期末考试）【解析】 ⑴证明：连接ND .∵AO 平分BAC ∠， ∴12∠=∠.∵直线l AO ⊥于H ，6初二秋季·第13讲·提高班·教师版∴4590∠=∠=︒. ∴67∠=∠. ∴AN AC =. ∴NH CH =.∴AH 是线段NC 的中垂线. ∴DN DC =. ∴89∠=∠. ∴AND ACB ∠=∠.∵3AND B ∠=∠+∠，2ACB B ∠=∠， ∴3B ∠=∠. ∴BN DN =. ∴BN DC =.⑵如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为2CD CE =. 证明：过点C 作'CN AO ⊥交AB 于'N . 由（1）可得'BN CD =，'AN AC =，AN AE =. ∴43,'NN CE ∠=∠=.过点C 作CG AB ∥交直线l 于G . ∴42∠=∠，1B ∠=∠. ∴23∠=∠. ∴CG CE =. ∵M 是BC 中点，7初二秋季·第13讲·提高班·教师版∴BM CM =.在BNM △和CGM △中， 1,,,B BM CM NMB GMC ∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BNM CGM △≌△. ∴BN CG =.∴BN CE =.∴''2CD BN NN BN CE ==+=. ⑶BN CE CD 、、之间的等量关系： 当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+； 当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-； 当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-.一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余；2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab =c h ；4. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即222c b a =+；5. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半（或含30°的直角三角形三边之比为1：3：2）；思路导航题型二：直角三角形与勾股定理8初二秋季·第13讲·提高班·教师版6. 含45°角的直角三角形三边之比为1：1：2． 二、直角三角形的判定1. 有一个角为90°的三角形是直角三角形；2. 两个锐角互余的三角形是直角三角形；3. 勾股定理的逆定理：在以a 、b 、c 为边的三角形中，若222c b a =+，则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形；4. 一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．【例5】 在给定的图形内作一条折线AB 1C 1D 1E ，使AB 1⊥AB ，B 1C 1⊥BC ，C 1D 1⊥CD ，D 1E ⊥DE ，且A ，B ，C ，D ，E ，B 1，C 1，D 1都是格点．EDCBA【解析】典题精练9初二秋季·第13讲·提高班·教师版D 1C 1B 1EDCBA【例6 如图，AC =AB ，DC =DB ，∠CAB =60°，∠CDB =120°，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE =BF ．图1C AEG BFD图2DABCE 思考验证：⑴求证：DE =DF ；⑵在图1中，若G 在AB 上且∠EDG =60°，试猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系并证明； 探究应用：⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，∠ABC =90°，∠CAB =∠CAD =30°，E 在AB 上，DE ⊥AB ，且∠DCE =60°，若AE =3，求BE 的长．【解析】⑴∵∠A +∠C +∠CDB +∠ABD =360°，∠A =60°，∠CDB =120°，∴∠C +∠ABD =180°， ∵∠ABD +∠DBF =180°， ∴∠C =∠DBF ， 在△DEC 和△DFB 中，10 初二秋季·第13讲·提高班·教师版CE BFC DBFCD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEC≌△DFB，∴DE=DF．⑵CE+BG=EG，证明：连接DA，在△ACD和△ABD中AC ABAD ADCD DB=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACD≌△ABD，∴∠CDA=∠BDA=60°，∵∠EDG=∠EDA+∠ADG=∠ADG+∠GDB=60°，∴∠CDE=∠ADG，∠EDA=∠GDB，∵∠BDF=∠CDE，∴∠GDB+∠BDF=60°，即∠GDF=60°在△DGF和△DGE中DE DFEDG GDFDG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DGF≌△DEG，∴FG=EG，∵CE=BF，图1CAEG B FDM图2DABCE11初二秋季·第13讲·提高班·教师版∴CE +BG =EG ．⑶过C 作CM ⊥AD 交AD 的延长线于M ， 在△AMC 和△ABC 中 AMC ABC DAC BAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMC ≌△ABC ， ∴AM =AB ．CM =CB ， 由⑴⑵可知：DM +BE =DE ，∵AE =3，∠AED =90°，∠DAB =60°， ∴AD =6，由勾股定理得：DE =33 ∴DM =AB -6=BE +3-6=BE -3， ∴BE -3+BE =33， 即BE =()13332+【例7 已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 边的延长线上，且∠DEC =45°，点M 、N 分别是DE 、AE 的中点，连接MN 交直线BE 于点F ．当点D 在CB 边的延长线上时，如图1所示易证：MF +FN =12BE ．⑴当点D 在CB 边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．⑵当点D 在BC 边的延长线上时，如图3所示，请写出你的结论，并说明理由．12 初二秋季·第13讲·提高班·教师版M 图3图2图1NEDEMBFC AF N D CBAEF NMDBC A【解析】⑴答：不成立，猜想：FN -MF =12BE ， 理由如下：证明：如图2，连接AD ，∵M 、N 分别是DE 、AE 的中点， ∴MN =12AD ， 又∵在△ACD 与△BCE 中， AC BC ACB BCE DC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）， ∴AD =BE ， ∵MN =FN -MF ， ∴FN -MF =12BE ；⑵图3结论：MF -FN =12BE ， 证明：如图3，连接AD ，ABCDN FE图2M AC F BMEDN图313初二秋季·第13讲·提高班·教师版∵M 、N 分别是DE 、AE 的中点， ∴MN =12AD ， ∵在△ACD 与△BCE 中， AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）， ∴AD =BE ， ∴MN =12BE ， ∵MN =FM -FN ， ∴MF -FN =12BE ．14 初二秋季·第13讲·提高班·教师版NMDC BA训练1. ⑴如图所示，EFGH 是一个台球桌面，有黑白两球分别置于A B 、两点的位置上，试问怎样撞击黑球A ，经桌面HE EF 、连续反弹后，准确击中白球B ？（写出作法并画图）HGF EAB⑵如图，在锐角△ABC 中，4245AB BAC =∠=，°，BAC ∠的平分线交BC于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是___________．【解析】 ⑴ 如图所示：分别作点A B ，关于HE EF ，的对称点''A B ，，连结''A B 与HE EF ，交于M N ，两点.折线AM MN NB --就是白球的运动路径.（可由对称证明角度相等，类似于物理中的镜面反射问题）⑵ 过B 作BE AC ⊥，与AD 交点即为M ，过M 作MN AB ⊥，垂足即为N ，BM MN BE +=，又∵垂线段最短，∴BE 为最短距离，长为4.训练2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°. 将△ABC 绕点C 逆时针旋转α角，得到△A 1B 1C ，连结BB 1，设B 1C 交AB 于D ，A 1B 1分别交AB 、AC 于E 、F .⑴ 当090︒<α<︒时，如图1，请在不添加任何线段的情况下，找出一对全等三角形，并加以证明（△ABC ≌△A 1B 1C 除外）；⑵ 在⑴的条件下，当△BB 1D 是等腰三角形时，求α；⑶ 当90180︒<α<︒时，如图2，求证：△A 1CF ≌△BCD . （三帆期中）图2图1ABCA 1B 1E F DDFEB 1A 1CBA【解析】 ⑴ 答案不唯一，例如：1ACF BCD △≌△，1B CF ACD △≌△ 思维拓展训练(选讲)BAEF G H NMB'A'15初二秋季·第13讲·提高班·教师版⑵ 由题意得111902CB B CBB ∠=∠=︒-α∴11452DBB ∠=︒-α，又145BDB ∠=︒+α在1BDB △中，只能有11BDB BB D ∠=∠，即190452︒-α=︒+α解得30α=︒⑶ 111CB CA BCD ACF B A =∠=∠∠=∠，，, ∴△A 1CF ≌△BCD .训练3. 已知如图，AB=AC ，PB=PC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E .PEDC B AAB C DEP⑴ 求证：PD=PE ；⑵ 若BP AB =，o 45=∠DBP ,2=AP ,求四边形ADPE 的面积. 【解析】 ⑴ 证明：连接AP ,在ABP △和ACP △中，∵AB ＝AC ，PB ＝PC ，AP =AP ， ∴ABP △≌ACP △（SSS ）∴CAP BAP ∠=∠,AP 是A ∠的平分线； 又∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ∴PD ＝PE （角平分线上点到角的两边距离相等）⑵ 解：∵PD ⊥AB ，o 45=∠DBP , ∴BDP △是等腰直角三角形.设x DP =，则x BP ⋅=2，在直角ADP △中，由勾股定理()[]42122=++x x ，整理得：()42242=+x ，2222+=x .∴四边形ADPE 的面积=2⨯ADP △的面积 =()()22222121=+⋅+=+x x16 初二秋季·第13讲·提高班·教师版训练4. ⑴如图，等腰直角三角形ABC 分别沿着某条直线对称得到图形b 、c 、d ．若上述对称关系保持不变．平移ABC ∆，使得四个图形能够拼成一个重叠且无缝隙的正方形，此时点C 的坐标和正方形的边长为（ ）（海淀期末）A ．11222⎛⎫- ⎪⎝⎭，， B ．(11)2-，，C ．(11)2-，，D ．11222⎛⎫- ⎪⎝⎭，，⑵如图，△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交AC 于D . 试猜想AD 与DC 间的数量关系，并证明. 【解析】 ⑴ D⑵ 连结BD ，证90DBC ∠=︒，可得12AD DC =DE CAB图 311-1-1OABC d c ba y x17初二秋季·第13讲·提高班·教师版【练习1】 ⑴如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M ，N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN 上，落点记为A '，折痕交AD 于点E ．若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点， 则A N '=_________；若M 、N 分别是AD 、BC 边上距DC 最近的n 等 分点（2n ≥，且n 为整数），则A N '=_________（用含有n 的式子表示）（北京中考）⑵如图，D 为ABC △内一点，CD 平分ACB ∠， BD CD ⊥，A ABD ∠=∠， 若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5【解析】 ⑴32，21n n-（2n ≥，且n 为整数）⑵ A （提示：延长BD ）【练习2】 如图，ABC △是等腰三角形，AB AC =，AD 是角平分线，以AC 为边向外作等边三角形ACE ，BE 分别与AD 、AC 交于点F 、点G ，连接CF ．⑴ 求证：FBD FCD ∠=∠；⑵ 若1FD =，求线段BF 的长． (实验期末)【解析】 ⑴ ∵AB AC =，AD 是角平分线∴AD BC ⊥，D 是BC 中点∴BF CF =∴FBC FCB ∠=∠⑵ ∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠∵FBC FCB ∠=∠，∴ABE ACF ∠=∠ 由题意AB AE AC CE === ∴ABE AEB ACF ∠=∠=∠ ∴60EFC CAE ∠=∠=° ∴60BFD CFD ∠=∠=° ∴22BF FD ==复习巩固DCB AG F EDCBA18 初二秋季·第13讲·提高班·教师版第十五种品格：创新创新的力量20世纪40年代，美国有许多制糖公司向南美洲出口方糖，因方糖在海运中会有受潮现象，这给公司带来巨大损失。

第1讲与有理数有关的概念考点•方法•破译1•了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量2 •会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想3 •理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义•会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数•经典考题赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前—7米⑵收人—50元⑶体重增加—3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量•而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反•二是它们具有数量•而且必须是同类两，如向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前—7米表示向后7米⑵收入—50元表示支出50元⑶体重增加—3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01.如果+ 10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（）A •—18%B •—8% C. + 2% D •+ 8%02 •（金华）如果+ 3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为（）A •—5 吨B •+ 5 吨C. —3 吨D •+ 3 吨03 •（山西）北京与纽约的时差一13 （负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）•如现在是北京时间15 : 00,纽约时冋是【例2】在一22, n 0.0 333这四个数中有理数的个数（A •1个B •2个C. 3个D. 4个'正整数正有理数正分数«0数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为尸3.1415926…是无限不循环小数，它不能写I 负分成分数的形式，所以n不是有理数，—22是分数0.0 333是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C•【变式题组】01 •在7,0 • 1 5，—1, —301.31.25, —1,100.1 , —3 001 中,负分数为2 802 •（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数…”’负整数负有理数2负份数L、；按整数、分数分类，有理数整数0［负整数,整数为，正整数正数集合分数集合【例3】（宁夏）有一列数为—1, 2，-3 1•—5, 6,…，找规律到第2017个数是【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律•击归纳去猜想，然后进行验证•解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是 奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第 1;⑵各数的分母依次为 2017个数的分子也是 1 , 2, 3, 4, 5, 6,…⑶处于1.分母是2017，并且是一个负数，故答案为- 12007. 【变式题组】01 .（湖北宜宾）数学解密：第一个数是 3 = 2 + 1，第二个数是 5= 3 + 2，第 + 4,第四十数是17= 9+ 8…观察并精想第六个数是02 .（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种馨折形”填数法，如图则？填 _.03 .（茂名）有一组数1, 2, 5, 10, 17, 26…请观察规律，则第 8个数为 ________ . 【例4】（2017年河北张家口）若I + mm 的相反数是—3，则m 的相反数是 _____ .【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数 三个数是9= 5•几何意义:在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题 m=— 4,m = — 8【变式题组】01 .（四川宜宾）一5的相反数是（）1 1A . 5B . 5C . — 5D . —02 .已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则 a + b + cd = __________ 03 .如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形 A 、B 、C 内分的数，使得它们折成正方体 •若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方 内的三个数依次为（ ）A .— 1 ,2, 0 B .0, — 2, 1 C .— 2, 0, 1 D . 2, 1, 0【例5】（湖北）a 、b 为有理数，且a >0, b v 0, |b|> a ,贝U a,b 、— a,— b 的大小顺序是（）A . b v — a v a v — bB . -a v b v a v — bC .-b v a v — a v b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a （ a 0） «0（a =0）“-a （ a £0）为|a|=・' '•本题注意数形结合思想，画一条数轴D .-a v a v — b v ba 的点到原点的距离，即|a|用式子表示-■ ■'' 标出a 、b,依相反数的意义标出—b,— a 故选A .【变式题组】01.推理①若a = b ，则|a|= |b|;②若|a|= |b|,则a = b ;③若a ^b 则|a| ^;|b ④若|a| z,|t 则a ^b 其中正确的个 数为（ ）别填人适当 形 A 、 B 、 C【解法指导】 本题主要考查绝对值概念的运用， 因为任何有理数a 的绝对值都是非负数， 即|a| NQ 所以|a — 4| >p |b - 8|》而两个非负数之和为0,则两数均为0.解：因为 |a — 4| >,0 |b — 8| >,0 又 |a —4|+ |b -8| = 0,二 |a —4|= 0, |b -8|= 0 即 a -4 = 0, b - 8= 0, a = 4,b =【变式题组】01 .已知 |a|= 1, |b|= 2, |c|= 3，且 a >b >c ,求 a + b + C . 02 .（毕节）若 |m — 3|+ |n + 2|= 0，贝U m + 2n 的值为（） A.— 4 B .— 1C .0 D .403 .已知 |a|= 8, |b|= 2，且 |a — b|= b — a , 求 a 和 b 的值【例7】（第18届迎春杯）已知（m + n ）2+ |m|= m ,且|2m — n — 2|= 0.求mn 的值.【解法指导】本例关键是通过分析 （m + n ）2 + |m|的符号，挖掘出 m 的符号特征,从而把问题转化为（m + n ）2 = 0,|2m — n — 2|= 0，找到解题途径. 解：••• （m + n ）2 |m| >O••• （m + n ）2 + |m| 而（m + n ）2 + |m|= m /• m>0,「.（m + n ）2 + m = m ,即（m + n ）2= 0 • m + n = O ① 又•/ |2m — n — 2|= 0 •- 2m — n — 2 = 0 ②2 2 4由①②得 m = 3, n = — 2，「・ mn = — 4 【变式题组】01 .已知（a + b ）2 + |b + 5|= b + 5 且|2a — b -= 0,求 a — B .02 .（第 16 届迎春杯）已知 y =|x — a|+ |x + 19|+ |x — a — 96|,如果 19v a v 96. a < x < 求6,y 的最大值. 演练巩固反馈提高11111101.观察下列有规律的数；-,,,,…根据其规律可知第 9个数是（ ）A .11B . 72C . 190 D .15611002. （芜湖） —6的绝对值是（ ）A .6 B . — 61C .D .6一 16 03. 右22 在—7 , n ,@..3四个数中，有理数的个数为 （）A .1个 B . 2个 C .3个D . 4个A .4个 B .3个 C .2个02 . a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则D .1个回+回+1£1= a b c03. a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则il r 詁訥值可能是【例6】 （江西课改）已知 |a- 4|+ |b -8|= 0，贝U 警的值.8.故a+b _ ab 12_ 3 32= 804.若一个数的相反数为a+ b,则这个数是（）A . a—b B. b —a C. -a+ b D. ——b05 .数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6,这两个数是（）13 .已知 |a|= 4，|b|= 5，|c|= 6，且 a >b >c ，求 a + b — C .14 . |a 具有非负性，也有最小值为 0,试讨论：当x 为有理数时，|x —1| + |x — 3|有没有最小值，如果有，求出 最小值；如果没有，说明理由 •15 .点A 、B 在数轴上分别表示实数 a 、b , A 、B 两点之间的距离表示为|AB| .当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图1, |AB| = |OB|=|b|=|a — b|当A 、B 两点都不在原点时有以下三种情况 ：① 如图 2，点 A 、B 都在原点的右边 |AB| = |OB|— |OA| = |b|— |a|= b — a = |a- b|;② 如图 3，点 A 、B 都在原点的左边，|AB| = |OB|— |OA|= |b|— |a|=— b — (— a)= |a — b|; 欢迎来主页下载---精品文档 A .0和 6 B .0 和一6 06 .若一a 不是负数，贝U a( A . 是正数 B .C .3 和一3 D .0 和3 07 .下列结论中，正确的是 ①若 a = b,则 |a|= |b| ③若 |a|=|b|，则 a = — bA . ①②B . ③④)不是负数(C . 是负数D .)②若 a =— b,则 |a|=|b| ④若 |a|= |b|,则 a = bC . ①④D .08 .有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示 的是()A . |b|>a >— a >bB . |b| >b >a >— aC . a > |b|> b >— aD .a > |b|>— a > b②③,则 a 、b , 09 .一个数在数轴上所对应的点向右移动 5个单位后, 10. 已知 |x + 2|+ |y + 2| = 0,贝U xy =a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求 不是正数—a , |b|的大小关系正确得到它的相反数的对应点，则这个数是Jb|+ Jabcl © b abc c12. 若三个不相等的有理数可以表示为1、 a 、a + b 也可以表示成0、b 、£的形式，试求a、b 的值.,3精品文档③ 如图 4，点 A 、B 在原点的两边，|AB| = |OB|— |OA| = |b|— |a|=— b — (— a )= |a — b|; 综上，数轴上 A 、B 两点之间的距离|AB| = |a — b|.OU)B QAB _ B A O BOA户flab ' ba 0b J aS回答下列冋题：⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示一2和一5的两点之间的距离是，数轴上表示1和一3的两点之间的距离是 4;⑵数轴上表示x 和一1的两点分别是点 A 和B ，则A 、B 之间的距离是 |x+1|如果|AB| = 2，那么x =1或3;⑶当代数式|x + 1|+ |x — 2|取最小值时，相应的 x 的取值范围是培优升级奥赛检测01.（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为 20179的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）A . 2017B .2017 C .2017 D .201702 .（第18届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数 a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：① abc v 0;②|a — b|+ |b — c|= |a — c|; @（ a — b ） （b — c ）（c — a ）> 0;④ |a|v 1 — be .其中正确的结论有 （） A .4个 B .3个 C .2个D .1个a b c abc03 .如果a 、b 、c 是非零有理数，且 a + b + c = 0 .那么厂汁匚|+i -,+ 的所有可能的值为（）|a| |b| |c| |abc|A.—1 B .1或—1 C .2 或—2 D .0 或—204 .已知|m|= — m ,化简|m — l| — |m — 2|所得结果（） A.— 1 B .1 C . 2m — 3 D .3— 2m05 .如果 0v p V 15,那么代数式 |x — p|+ |x — 15|+ |x — p — 15在 p < x < 15 的最小值（） A .30 B .0 C .15 D . 一个与p 有关的代数式06 . |x + 1|+ |x — 2|+ |x — 3| 的最小值为 07 .若 a >0, b v 0,使 |x — a|+ |x — b|= a — b 成立的 x 取值范围,3精品文档 08 .（武汉市选拔赛试题）非零整数 m 、n 满足|m|+|n|— 5 = 0所有这样的整数组（m , n ）共有 组09 .若非零有理数m 、n 、p 满足罟+字+罗=1•则|2需；厂.10 . （19届希望杯试题）试求|x — 1|+ |x — 2|+ |x — 3|+…+ |x — 2017|的最小值.11.已知(|x + l|+ |x — 2|) (|y — 2|+ |y + 1|) (|z — 3|+ |z + 1|)= 36,求 x + 2y + 3 的最大值和最小值12 .电子跳蚤落在数轴上的某点 k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2, 第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落 在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13 .某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑 15台、7台、11台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑， 问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数. 第02讲 有理数的加减法 考点•方法•破译1 •理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义2 •准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算3 •理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题4 •会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和 经典•考题•赏析【例1】(河北唐山)某天股票 A 开盘价18元，上午11:30跌了 1.5元，下午收盘时又涨了 0.3元，则股票A 这天的收盘价为( ) A • 0.3 元B • 16.2 元C . 16.8 元D • 18 元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则， 是同号相加，取相同符号并用绝对值相加， 是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值 .解：18+(— 1.5) + ( 0.3)= 16.8，故选C •【变式题组】01 •今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为— 6C,西安市最低气温 2 C,这一天延安市的最低气温比西安低( )A • 8CB • — 8C C • 6CD . 2C02 •(河南)飞机的高度为 2400米，上升250米，又下降了 327米，这是飞机的高度为 __________________03 •(浙江)珠穆朗玛峰海拔8848m ，吐鲁番海拔高度为—155 m ,则它们的平均海拔高度为 ________________【例2】计算(—83) + (+ 26) + (— 17) + (— 26) + (+ 15) 【解法指导】应用加法运算简化运算，- 83与-17相加可得整百的数，+ 26与-26互为相反数，相加为 0,有理数加法常见技巧有： ⑴互为相反数结合一起； ⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起 .解：(—83) + (+ 26) + (— 17) + (— 26) + (+ 15)= [ (— 83) + (— 17) ] + [ (+ 26) + (— 26)] + 15=(— 100)+15=— 85 【变式题组】13101 • (— 2.5) + (— 32) + (— 1 4 ) + (— 1 4)02. (- 13.6)+ 0.26+(—2.7) + (—1.06)03 . 0.125+ 34+1(-38) + 113+ (—0.25)1+------ +【例3】计算1 2 2 3 3 4 1 III +---------------2008 2009【解法指导】依n（n 1） n n• 1进行裂项，然后邻项相消进行化简求和解：原式= （1_丄）（1一1）（1一1）川（1 —）2 23 34 2008 2009丄1_1 12 23 34 2008 200920082009 = 2009【变式题组】(—2)+ 3 +(—4)+ …+ 99+(—100)102 •如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为2的长方形，面积为2的长方形等分成两个面积为4的正方形，再把面积为4的1等分成两个面积为8的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规1 1 1丄丄丄丄」2 4 8 16 32 64 128 256 =接着把正方形律计算欢迎来主页下载---精品文档【例4］如果a v 0, b > 0, a + b v 0,那么下列关系中正确的是( )A . a > b > — b > — aB . a > — a > b > — bC . b > a > — b > — aD . — a > b > — b > a【解法指导］紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的 关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论 解：••• a v 0, b >0,••• a + b 是异号两数之和 又a + b v 0,「. a 、b 中负数的绝对值较大，• | a |> | b |将a 、b 、一 a 、一 b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是一a >b >- b > a【变式题组］___________ .「01.若 m >0, n v 0,且 | m |> | n a b 0 -b -a |,则 m + n ______________________________ 0.(填〉、v 号) 02 .若 m v 0, n > 0,且 | m | > | n 贝U m + n _________ 0.(填>、v 号)03 .已知 a v 0, b > 0, c v 0,且 | c |> | b |> | a |,试比较 a 、b 、c 、a + b 、a + c 的大小2 38【例 5］ 4 5 -(- 33 11)-(- 1.6)- (- 21 11 )【解法指导］有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数； ⑵利用有理数的加法法则进行运算•2 3 ^22 _8解：4 5 -(- 3311 )-(-1.6)- (- 21 11 )= 45 + 3311 + 1.6+ 21 11 38=4.4+ 1.6 +( 3311+ 21 11 )= 6 + 55 = 61【变式题组］(-2) -( 1) -(-5) -(丄)-(J)013 2 6 3 23102 . 44-(+ 3.85) -(— 3 4) + (— 3.15)21903 . 178 - 87.21-(- 4321)+ 153 21 - 12.79【例6】试看下面一列数： 25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第 10个数是多少？第n 个数是多少？ ⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？ ⑶求这列数中所有正数的和 •【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第 n个数的规律，再用其它的数来验证•解：⑴第10个数为7,第n 个数为25- 2(n — 1)⑵••• n = 13 时，25 — 2(13 — 1) = 1, n = 14 时，25 — 2(14 — 1) = — 1 故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数•⑶这列数中的正数为 25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和=(25+ 1) + ( 23 + 3)+…+( 15+ 11)+ 13= 26 X 6+ 13= 169 【变式题组】01 .(杭州)观察下列等式11 28 _3 ZZ 4 64 1 — 2 = 2 , 2 — 5 = 5 , 3— 10 = 10 , 4 — 17 = 17…依你发现的规律，解答下列问题⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02 .观察下列等式的规律9 — 1 = 8,16— 4 = 12,25— 9= 16,36— 16 = 20⑴用关于n (n > 1的自然数)的等式表示这个规律; ⑵当这个等式的右边等于 2017时求n.1 12 123 ^ 2 3 41【例7】(第十届希望杯竞赛试题) 求2 + ( 3 + 3 ) + ( 4 + 4 + 4 ) + ( 5 + 5 + 5 + 5 ) +…+ ( 50 2 48 49 + 50 +•••+ 50 + 50 )【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成 1,由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了 •112 12 3丄48 49解：设 S =2+( 3 + 3 ) + ( 4 + 4 + 4) + …+( 50+ 50 +…+ 50 + 50)1 2 13 2 149 48 2 1则有 S = 2 +( 3 +3 )+ ( 4+ 4 + 4) + •- -+ (50 + 50 +•••+ 50 + 50)将原式和倒序再相加得1 1 12 2 11 2 3 3 2 11 248 49 2S = 2 + 2 +( 3 + 3 + 3 + 3) + ( 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4)+ …+(50 + 50 +… + 50 + 50 +49 48 _2丄50 + 50 + •••+ 50 + 50)49 (49 1)即 2S = 1 + 2 + 3+ 4+-+ 49 =2= 12251225 ••• S = 2【变式题组】01 .计算 2 -22 - 23- 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29 + 2101 111 13 —…—2004) ( 2 + 3 +4 +•••+ 2003)演练巩固•反馈提高01 . m 是有理数，则m + |m| （ ）A .可能是负数B .不可能是负数C .比是正数D .可能是正数，也可能是负数02 .如果 |a|= 3, |b|= 2，那么 |a + 口为（）A . 5B . 1C . 1 或 5D . ± 1 或土 503 .在1 , - 1 , - 2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）A . 1B . 0C .- 1D . - 3 04 .两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ）A .两数一定都是正数B .两数都不为0C .至少有一个为负数D .至少有一个为正数 05 .下列等式一定成立的是（ ）A . |x| — x = 0B . — x -x = 0C . |x|+ |- x| = 0D . |x|-凶=0 06 .一天早晨的气温是-6 C,中午又上升了 10C ，午间又下降了8C,则午夜气温是（）A . - 4CB . 4C C . - 3CD . - 5C 07 .若 a v 0,则 |a — (-a)等于()A . — aB . 0C . 2aD . - 2a08 .设x 是不等于 0的有理数，则2x 值为（)1 11 1 1 1 1 1 11- 2 ―3 — •― 2003) (2 + 3 + 4 +… …+ 2003 + 2004) -(1- 2 -02.（第8届希望杯试题）计算（欢迎来主页下载---精品文档 A . 0 或 1B . 0 或 2C . 0 或—1D . 0 或—209 .(济南)2+ (— 2)的值为 _____________ 10 .用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若 a v 0, b > 0,则 b — a = __________ , a — b = _________ ⑵若 a > b >0,贝U |a — b| = ________ ⑶若 a v b v 0,贝U a — b = ________ 11•计算下列各题： ⑴ 23+(— 27)+ 9+ 5⑵—5.4+ 0.2— 0.6+ 0.35— 0.2523⑷33.1 — 10.7—(— 22.9)— —10|12 .计算 1 — 3 + 5— 7 + 9 — 11 +…+ 97 — 9913 •某检修小组乘汽车沿公路检修线路， 规定前进为正，后退为负，某天从A 地出发到收工时所走的路线 （单位：千米）为： + 10, — 3，+ 4, — 2, — 8,+ 13, — 7，+ 12,+ 7，+ 5 ⑴问收工时距离 A 地多远？ ⑵若每千米耗油 0.2千克，问从A 地出发到收工时共耗油多少千克?111114 .将2017减去它的2，再减去余下的3，再减去余下的4，再减去余下的5…… 以此类推，直到最后减去1余下的1997，最后的得数是多少？1 1⑶一0.5— 34 + 2.75 — 7215 •独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般11 2 111 3 11只使用分子为1的分数，例如3 + 15来表示5，用4 + 7 + 28表示7等等.现有90个埃及分数：2 , 3 ,1 1 丄丄4 , 5，…90 , 91，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于一1吗？培优升级•奥赛检测11丄A • 4B •4C • 2D•21~~2 02 .自然数a 、b 、c 、d 满足a1+ b 2 1 -2 + c + 1 d 2 = 1,则 1 飞a + 1 1 1b 4 +c 5 +d 6 等于( )13715A • 8B • 16C • 32D•6403 •(第 17届希望杯邀请赛试题） a 、b 、 c 、d 是互不相等的正整数，且 abcd = 441,贝U a + b + c + d 值是(A • 30B • 32C • 34D •361995199519961996 1997199701 •（第16届希望杯邀请赛试题）)04 •（第 7 届希望杯试题）若 a = 19961996, b =19971997, c =19981998，则 a 、b 、c 大小关系是（1 -2 3-4 川 -14 15-2 4_6 8-川 28-30等于( A • a v b v c B • b v c v aC . c v b v aD • a v c v b1998 2000)(11999 2001)的值得整数部分为(B. 2C . 306 . (-2)2017 + 3X (— 2)2017 的值为( )07 .(希望杯邀请赛试题)若 |m|= m + 1,则(4m + 1)2017 = _______________5908 . 2 +( 3 + 3)+( 4 + 4 + 4)+ …+( 60 + 60 + •••+ 60)= _____________________________191919 767609 . 76767^1919 =_____________ 10 . 1+ 2 — 22 — 23 — 24 — 25— 26 — 27 — 28 — 29 + 210= _ 11 .求32017 X 72017 X 132017所得数的末位数字为 ___________ 12 .已知(a + b)2 + |b + 5|= b + 5，且 |2a — b — 1|= 0, 求 aB .1 1 1 1 113 .计算(1998 —1)( 1997 — 1) (1996 — 1)…(1001 — 1) (1000 — 1)14 .请你从下表归纳出 13+ 23 + 33 + 43+…+ n3的公式并计算出第03讲有理数的乘除、乘方 考点•方法•破译1.理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘 法运算•2. 掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算3.了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算•4. 掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算5. 理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算 经典•考题•赏析 【例1】计算1 1 1 (-1)1 1 (-2)1 (T ⑷2500 0⑴2 4⑵2 4⑶2437 13⑸ V (一7)(19)(一7)(1丄)(1丄)(1丄川］(111 32 43 5 ⑴A . — 22017B . 22017C . — 22017D . 22017欢迎来主页下载---精品文档【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层 次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积、丄一^1）解：⑴24 2 42500 0 =0(_3)(_7)(11) V 7 2356 975 69 7【变式题组】⑷(-3) (-1) 2 (-6) 0 (-2)-12 (21-1111-1 丄)⑸4 2 6 12(2 3 4 5)(丄 一1—」—13.2 3 4 5(-5) 312 31(-6) 3104. 33 3【例2】已知两个有理数a 、b ,如果ab v 0,且 a + b v 0，那么（）01 •⑴("5) ( _6)（冷）⑵2⑶(-8) (3.76) (-0.125)B . a v 0, b > 0 D . a 、b 异号且负数的绝对值较大 a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号, A . a > 0, b v 0C . a 、b 异号 【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故可得出判断•解：由ab v 0知a 、b 异号，又由a + b v 0,可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选 【变式题组】 01.若a + b + c = 0，且b v c v 0,则下列各式中，错误的是（ A . a + b > 0B . b + c v 0C . ab + ac > 0 02 .已知 a + b > 0, a — b v 0, ab v 0,贝U a ■号, )D . a + bc > 0 0, |a| |b|.1 1（-2）（- 1 "8(-9丝)50 02. 25A . a > 0, b > 0B . a v 0, b v 0 04 .（广州）下列命题正确的是（ ）A .若 ab >0，贝U a >0, b >0 C .若 ab = 0，贝V a = 0 或 b = 0 【例3】计算C . a >0, b v 0D . a v 0, b >0B .若 ab v 0,贝U a v 0, b v 0D .若 ab = 0，贝V a = 0 且 b = 0【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1,先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算 •若能整除，应用法则 2,可直接确定符号，再把绝对值相除 . 解：⑴（-72厂（-18）=72汩8=4仁（一21） =1“（-7） =1 （一3） 3 3 7【变式题组】113（）（1—0.2 ） （一3）03. 2 ' 4，' 5」a bab【例4】（茂名）若实数a 、b 满足同 忖 ，则 圈= _______________________ . 【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果a b = 2（a 0,b 0） 解：当 ab >0，同 |b 「1-2@£0,乂0）；03.（山东烟台）如杲a + b v 0,则下列结论成立的是（ ⑴（-72厂（-18） ⑷ °（7）13（帀厂（25）=（201 •⑴（一32厂（呵2丄“（一1丄）⑵361 ⑶ 0*3）29-3 -02 .⑴3（-3）电）1（-1卩3（一5）a b 小ab当 ab v 0, a l b ,••• ab v 0,从而 l ab =- 1. 【变式题组】01 .若k 是有理数，则（|k|+ k ） -k 的结果是（） A .正数B . 0C .负数D .非负数旦+202 •若A . b 都是非零有理数，那么 囘 冋ab的值是多少？2/ c\2 3 .【例5】已知x =( -2) , y 八12008⑴求xy 的值;2008⑵求y的值.n【解法指导】a 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果 a 为正数，正数的任何次幕都是正数，如果 a是负数，负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数223」解：x =（ -2） , y 1【变式题组】【例6】（安徽）2017年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担, 数法表示为（）△I03 .如果xy，试比较xy与xy的大小.⑴当 x =2, y 「-1 时,2008xy 2008-2( -1) -2⑵当 =-2,y = -1时,2008xy=(-2) (-1)2008 - -223x =2,y = -1时,2008y2008 二8(-1)x 3(-2)3 =-2,y = -1时,2008y/ 彳、2008 _ 一801 .（北京）若m-n 5-2)2 =0，则 m n 的值是02 .已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求n n（—x ） - y 的值，这里n 是正整数.135万用科学记A . 0.135X 106B . 1.35X 106 C. 0.135X 107 D . 1.35 X 107欢迎来主页下载---精品文档【解法指导】将一个数表示为科学记数法的 axlOn 的形式，其中a 的整数位数是1位•故答案选B .【变式题组】01 .（武汉）武汉市今年约有 103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）A . 1.03X 105B . 0.103X 105C . 10.3X 104D . 103X 10302 .（沈阳）沈阳市计划从2017年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（）A . 25.3X 105 亩B . 2.53X 106 亩C . 253 X 104 亩D . 2.53X 107 亩【例7】（上海竞赛）2 2k 2 -100k5000 的通项公式=(k -50) 50小2,2 22k 99-- 2+ ----------------- "，+ ------- 2+ ------------------ …+ ---- 2 222+原式=(1-50) 50 (2 -50)50(k-50)50 (99 -50) 50[————2 ----------------- ——][ ---------------- ——2 --------------- ——] (1 -50)2 502 (99 -50)2 502 (2 -50)2 502 (98 -50)2 502 492 丄512丄502[(49 -50)2 502(51 一50)2 50’(50 -50)2 5022：：；-2亠 亠2+1= 49个=99【变式题组】333 3 “ 、++ + =()2+4+6+ +20062+4+6++1004 2+4+6++1006 2+4+6+ …+1008 3311 A . 1003B . 1004C . 334D .100002 . (第 10届希望杯试题)已知2 5 8 11 20 41 110 1640111111 1 1—————— r - ‘” — ‘‘ — -‘ "r ”‘ r - ” ‘求 2 5 8 11 20 41 110 1640 的值.演练巩固•反馈提高01 .三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 1个或3个02 .两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（）A .互为相反数C .都是负数 B .其中绝对值大的数是正数，另一个是负数D .其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03 .已知abc >0, a >0, ac v 0，则下列结论正确的是（ ）12~21 -100 500022 ~22 -200 5000k 2~2k -100k 5000992299 -9900 5000【解法指导】找出 12T22精品文档欢迎来主页下载---精品文档A . b v 0, c > 0B . b > 0, c v 0C . b v 0, c v 0D . b >0, c > 0 04 .若 |ab |= ab,则()A . ab > 0B . ab > 0C . a v 0, b v 0D . ab v 0,a + bm — cd + ----05 .若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式 m的值为（）A . — 3 1B . 1C . ± 3D . — 3 或 106 .若 a > a 则a 的取值范围（)A . a > 1B . 0v a v 1C . a > — 1D . — 1 v a v 0 或 a > 1△丄=2 _X13 .如果x y ，试比较 y 与xy 的大小.培优升级•奥赛检测x -y _y 「z _Z 『XJJ01.已知有理数X 、y 、z 两两不相等，贝yy—z z-x x-y 中负数的个数是（）为相反数的个数是（ )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个a .b08 . 若ab 工0贝U ab的取值不可能为（ ）A . 0B . 1C . 2D . — 209.(-2)11 (-2)10 的值为（）A . —2B . (— 2)21C . 0D . — 21010 . （安徽）2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示 289万正确的是（ A . 2.89X 107B . 2.89X 106C . 2.89X 105D . 2.89X 10407 .已知a 、b 为有理数，给出下列条件：① ，其中能判断a 、b 互11.已知4个不相等的整数 a 、b 、c 、d ,它们的积 abcd = 9，贝U a + b + c + d = _______________2n 12n2n 」12 . （一1）（一1） （一1） （n 为自然数）= _____________ . aa +b = 0:②a - b = 0:③ab v 0;④b-114 .若a 、b 、c 为有理数且abc，求labd 的值.15 .若 a 、 b 、c 均为整数，且a -b + "a "求亠a -c + c-b +|b-a的值.欢迎来主页下载---精品文档A . 1个B . 2个C . 3个D. 0个或2个02 .计算2-仁1,2-仁3,2 -仁7,2 - 1二15,2 - 1 31归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测20102 1的个位数字是（）A . 1B . 3C . 7D . 5.2 3 . 4 503 .已知ab cd e v °,下列判断正确的是（）A. abcde v 0 B . ab2cd4e v0 C. ab2cde v 0 D. abcd4e v 0. xx y, X - y, xy,—04 .若有理数x、y使得y这四个数中的三个数相等，则|y|—凶的值是（）1 1 _3A . 2B . 0C .2D.205 .若A =（2 1）（22 1）（24 1）（28⑴⑵6 D（232 1）0 1，则A—2017 的末位数字是（）A . 0B . 1C . 7D . 92001 20022003 . 200306 .如果（a b） r-hG-b） ",则 a b的值是（）A . 2B . 1C . 0D . —155 44 33 2207 .已知 a =22 ,b = 33 ,c = 55 ,d = 66，则a、b、c、d 大小关系是（）A . a> b> c> dB . a> b>d>cC . b>a> c>dD . a>d > b> ca• b_ • c_.扛_08 .已知a、b、c都不等于0,且同b丨c丨啦丨的最大值为m,最小值为n,则（口 +门严= _________________________09 .（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是1-5,3 ,4.25,5.75第一组：3-2丄丄第二组： 3 152.25,三,-4第三组：1210 . 一本书的页码从1记到n,把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2017，这个被加错了两次的页码是多少？112123^2:341211.（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,4,欢迎来主页下载---精品文档24 5 1 13 , 2 , 1 , 6，…严)，在严)中左起第m 个数记为F(m)，当F(m) = 2001时，求m 的值和这m 个数的积.12 •图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列1 19个数:4,2,1,2,4,8,16,32,64填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求 x 的值.13 •(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且1111 1 1A =(1=)(1 =)(1 -；)(1 ;)(1 -一)(1 -)；2 23 3mm1111 1 1*(1一2)(1存1 兮匕)'(r )(1P第04讲整式 考点•方法•破译1 •掌握单项式及单项式的系数、次数的概念2 •掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念3 •掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式4 •了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值 经典•考题•赏析 【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数 (1) X + 1⑶耐2【解法指导】 理解单项式的概念：由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字 的次数为0,是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数 解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算； ⑵不是，因为代数式是与 x 的商； ⑶是，它的系数为 n ，次数为2;3⑷是，它的系数为 2，次数为3.【变式题组】 精品文档证明：⑴m 12m 2nA-B 126，求 m 、n 的值.欢迎来主页下载---精品文档01 •判断下列代数式是否是单项式1 1 + z x(1)«(2)-- (3)^—(4)- C5)xy (硏一2 2 7T X02 .说出下列单项式的系数与次数2 7(1) -~x2y (2)mn(3)5a2(4) - -ab2cI徂Fl【例2】如果与都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n的值.【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x 与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.1 2n + 4 = 6,2 + |m - 7i| = = —m解：由题意得m = - 2f n= 2【变式题组】01 . 一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3•且当x = 2,y = - 1时，这个单项式的值为32,求这个单项式.02 .(毕节)写出含有字母x、y的五次单项式【例3】已知多项式「⑴这个多项式是几次几项式？⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？【解法指导】n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数•解：⑴这个多项式是七次四项式；(2) 最高次项是，二次项系数为—1,常数项是1.【变式题组】01 .指出下列多项式的项和次数⑴x 九亠m(2) '1 1 - -' ■ I02 .指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴(2);'■ - 1 ' 1■【例4】多项式山：’-1 「+•是关于x的三次三项式，并且一次项系数为—7•求m+n —k的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数•解：因为E' —〉是关于x的三次三项式，依三次知m= 3,而一次项系数为一7,即一(3n+1 ) =—7,故n=2•已有三次项为，一次项为—7x，常数项为5,又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k =0,故m+n —k= 3+2 —0= 5.精品文档欢迎来主页下载---精品文档 【变式题组】01 •多项式- i 是四次三项式，贝y m 的值为（ ）A • 2B • - 2C • ±2D • ±102 .已知关于x 、y 的多项式■ .■不含二次项，求 5a — 8b 的值.-—x 2y m 1 2 + xy 2 - -x 3 + 603 •已知多项式 是六次四项式，单项式求n 的值.【解法指导】 由二'- > 二-召，现阶段还不能求出 X 的具体值，所以联想到整体代入法 解：由-:==吗得由 n【变式题组】01 •（贵州）如果代数式—2a+3b+8的值为18,那么代数式9b — 6a+2的值等于（ ）A • 28B • — 28C • 32D • — 322 202 •（同山）若a +a= 则加+加+ 20呱的值为 _________________________ .2 42 . X ~ + 603 •（潍坊）代数式 血-处+自的值为9,则 3 的值为 ____________________________ . 【例6】 证明代数式i :一小.："|；:； ; 1:的值与m 的取值无关.【解法指导】 欲证代数式的值与 m 的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可证明：原式= ：，* :匸-仏’* -'；-：.】-：：•>； 一 M * 屮-I r ：;- -:;-[.屮一- •••无论m 的值为何，原式值都为 4. •••原式的值与m 的取值无关. 【变式题组】01 •已知「• ： ：「二；：汛m- ■二 …宗''-，且z ：-心的值与x 无关，求a 的值.02 •若代数式 ■m ” W 厂+ ：八 门的值与字母x 的取值无关，求 a 、b 的值. 【例7】 （北京市选拔赛）同时都含有 a 、b 、c,且系数为1的七次单项式共有（ ）个A • 4B • 12C • 15D • 25【解法指导】 首先写出符合题意的单项式,x 、y 、z 都是正整数，再依 x+y+z = 7来确定x 、y 、z 的值.解：为所求的单项式，则 x 、y 、z 都是正整数，且 x+y+z = 7.当x = 1时，y = 1,2,3,4,5,z = 5,4,3,2,1.当x =2 时，y = 1,2,3,4,z = 4,3,2,1.当 x =3 时，y = 1,2,3,z = 3,2,1.当 x =4 时，y = 1,2,z = 2,1.当 x =5 时，y = z = 1.所 以所求的单项式的个数为 5+4+3+2+1 = 15,故选C •【变式题组】a m ~3b 2c- L 2b n -3c 4 + W - 401 •已知m 、n 是自然数， 1' 是八次三项式，求 m 、n 值.02 •整数n= ____________ 时，多项式5於就-/ " + 2是三次三项式.演练巩固•反馈提高 01 •下列说法正确的是（ ）A ・是单项式B •的次数为5 C •单项式-系数为0 D • I 是四次二项式欢迎来主页下载---精品文档的次数与这个多项式的次数相同【例5】3已知代数式-' ■ ■■ !":的值是8,求 的值.x 2(3 -2x + 2^) = — x (2 + 2) = 2 1 -JC -I- 1 =— 202 . a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）A. 100b+aB. 10a+bC. a+bD. 100a+b03 .若多项式- 的值为1，则多项式' ，的值是（）A . 2B . 17C . - 7D . 704 .随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m元后，又降低20% , 那么该电脑的现售价为（）. 1A05 .若多项式1' '■是关于x的一次多项式，则k的值是（）A . 0B . 1C . 0或1 D.不能确定06 .若d - W是关于x、y的五次单项式，则它的系数是_______________________ .07 .电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有__________ 个座位.08 .若3/费+ 7a x + l b\则代数式xy+m n 值为 __________ .09 . 一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________________10 .（河北）有一串单项式■' - ■'- "（1）请你写出第100个单项式；⑵请你写出第n个单项式.11 .（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x= 2, y =- 1时，这个单项式值为32,求这个单项式.12 .（天津）已知x= 3时多项式'■的值为一1，则当x = - 3时这个多项式的值为多少?2x z y --x3y4+ （2a - 3）x3y S2b 4 213 .若关于x、y的多项式与多项式^ 的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a- b的值.14 .某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一A :计时制：0.05元/分B :包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.。

三角形4级全等三角形的认识三角形5级全等中的基本模型三角形6级特殊三角形之等腰三角形暑期班第五讲春季班第十三讲买玻璃漫画释义满分晋级阶梯12全等三角形的认识一、概念全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点． 对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角． 对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边．如图，若ABC △与A B C '''△全等，记作“ABC A B C '''△≌△”，其中顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应．注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：⑴ 把其中一个图形通过旋转、翻转或平移，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上.⑵ 有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）；最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角.思路导航知识互联网题型一：全等三角形的概念和性质C BA B'A'二、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边相等2. 全等三角形的对应角相等3. 全等三角形的周长相等，面积相等【引例】 如图，已知ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=︒，25B ∠=︒，120EAB ∠=︒，求DFB ∠的度数.【解析】 ∵ABC ADE △≌△∴25D B ∠=∠=︒，DAE BAC ∠=∠又∵10120CAD EAB ∠=︒∠=︒，∴11()(12010)5522DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒∴10552590DFB BAF B FAC CAB B ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒【例1】 ⑴ 如果ABC DEF △≌△，则AB 的对应边是_______，AC 的对应边是_______ ，C ∠的对应角是_______ ，DEF ∠的对应角是__________．两个三角形的周长ABC C △_______DEF C △，两个三角形的面积ABC S △_______DEF S △（填“>”、“=”、“<”）．⑵ 如图所示，若ABC AEF △≌△，AB AE =，B E ∠=∠，则对应结论①AC AF =；②FAB EAB ∠=∠；③EF BC =； ④EAB FAC ∠=∠中 正确结论共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（东城区期末检测）⑶ 已知下图中的两个三角形全等，则α∠的度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°（实验中学期中）【解析】 ⑴DE ，DF ，F ∠，ABC ∠，=，=；⑵C ；⑶D.c ba 72°58°50°ca α典题精练例题精讲FEC B AF G EDCA全等三角形的判定方法：1. 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS ．2. 如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS ．3. 如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA ．4. 如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS ．5. 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL ．两个三角形中对应相等的边或角是否全等全等：√ 不全等：×公理或推论（简写）三条边√ SSS 两边一角 两边夹角√ SAS 两边与其中一边对角 × 两角一边两角和夹边 √ ASA 两角与其中一角对边 √ AAS 三角×特殊：直角三角形中，常用“HL ”．1. 全等三角形的判定（一）——SSS作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC B'C'BC ===，，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．【点评】 学生版方框内需要填充.C BAC'B'A'思路导航题型二：全等三角形的判定【引例】 已知：如图，AB DE AC DF BE CF ===，，．求证：AC DF ∥．分析：要证AC DF ∥，需证ACB DFE ∠=∠，只要证__________≌___________．证明：∵BE CF =（ ）∴BE EC CF EC +=+（ ） 即BC =_____． 在ABC △和DEF △中，()()()__________________AB BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴__________≌___________（ ）∴ACB DFE ∠=∠（ ）∴AC DF ∥（ ）【解析】 分析：只要证ABC DEF △≌△．证明：∵BE CF =（已知）∴BE EC CF EC +=+（等量加等量和相等） 即BC EF =．在ABC △和DEF △中， AB DEBC EFAC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴ABC DEF △≌△（SSS ）．∴ACB DFE ∠=∠（全等三角形的对应角相等）．∴AC DF ∥（同位角相等，两直线平行）【点评】 此题非常基础，就是要给学生呈现一个标准的书写格式，每一步都要有利有据，老师们一定要给学生强调到位，突出证明过程的重要性.【例2】 如图，已知AB DC AC DB ==，．求证：12∠=∠．（东城区一模考试）【解析】 证明：在ABC △和DCB △中，AB DCAC DB BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABC DCB △≌△． ∴A D ∠=∠．典题精练例题精讲FEDCBAA DBCO12又∵AOB DOC ∠=∠， ∴12∠=∠．【点评】 该模型为共边模型，是以后讲轴对称变换的基础，在这里老师们需给学生强调“公共边”的意义.2. 全等三角形的判定（二）——SAS作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC A'A ==∠=∠，，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．【点评】 学生版方框内需要填充.【例3】 已知:如图，A 、F 、C 、D 四点在同一直线上，AF CD =，AB ∥DE ，且AB DE =．求证：⑴ABC DEF △≌△；⑵CBF FEC =∠∠．【解析】 ⑴ ∵AF CD =，∴AC DF =．又∵AB DE ∥， ∴EDA BAD =∠∠．在ABC △和DEF △中， AB DEEDA BAD AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴(SAS)ABC DEF △≌△．⑵ 在ABF △和DEC △中， AB DE EDA BAD AF DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，C BAEDA'B'C'典题精练思路导航ADF CBE∴ABF △≌DEC △(SAS )． ∴ABF DEC ∠=∠又∵由⑴知ABC DEF ∠=∠， ∴ABC ABF DEF DEC -=-∠∠∠∠， ∴CBF FEC =∠∠．3. 全等三角形的判定（三）——ASA &AAS作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使B'C'BC B'B C'C =∠=∠∠=∠，，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．思考：若将C'C ∠=∠改成A'A ∠=∠呢？画出的A'B'C'△和ABC △全等吗？ 【点评】 学生版方框内需要填充.【例4】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．【解析】 ∵AE BF ∥，∴AEO BFO ∠=∠在AEO △和BFO △中 AOE BOF AEO BFO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)AEO BFO △≌△， ∴OE OF =∵CE DF =，∴OC OD = 在AOC △和BOD △中C BAED C'B'A'典题精练思路导航OF E DBAOA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)AOC BOD △≌△， ∴C D ∠=∠， ∴AC BD ∥4. 全等三角形的判定（四）——HL作图：已知Rt ABC △，画一个Rt A B C '''△，使B'C'BC A'B'AB ==，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．【点评】 学生版方框内需要填充.【例5】 已知：如图，DE AC BF AC AD BC DE BF ⊥⊥==，，，．求证：AB DC ∥．【解析】 ∵DE AC BF AC ⊥⊥，，∴90AED CFB ∠=∠=︒， 在Rt ADE △和Rt CBF △中， AD BCDE BF =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ADE CBF △≌△， ∴DAE BCF ∠=∠， 在ACD △和CAB △中，C BAB'A'N C'M典题精练思路导航FEDCBAAD BC DAC BCA AC CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ACD CAB △≌△， ∴ACD CAB ∠=∠， ∴AB CD ∥.【例6】 ⑴ 小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块 ，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去（师大实验月测试题）⑵ 如图在ABD △和ACD △中，90C B ∠=∠=，要使ABD ACD △≌△，需增加的条件是． （写出其中一个答案即可）【解析】 ⑴ C ；⑵ AC AB =或CD BD =或CAD BAD ∠=∠或ADC ADB ∠=∠.【例7】 已知ABC △中，AB BC AC =≠，作与ABC △只有一条公共边，且与ABC △全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．【解析】 7【教师备选】为什么SSA 不能判定全等③②①DCBA 典题精练题型三：全等三角形判定的应用作图：已知线段a b ，和角α，求作ABC △，使得BC a AC b A α==∠=，，，这样的三角形有几个？训练1. 已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB DC ∥，AB DC =．⑴ 求证：AC 与BD 互相平分；⑵ 若过O 点作直线l ，分别交AB DC 、于E F 、两点， 求证：OE OF =．【解析】 ⑴ ∵AB DC ∥，∴A C ∠=∠，在AOB △和COD △中， A CAOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AOB COD △≌△， ∴AO CO BO DO ==，， 即AC 与BD 互相平分． ⑵由⑴可知AO CO =， 在AOE △和COF △中， AOE COF A C AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AOE COF △≌△， ∴OE OF =另：证明BOE DOF △≌△也可．训练2. 如右图所示，AB CD ∥，AC DB ∥，AB CD =，AD 与BC 交于O ，AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，那么图中全等的三角形有哪几对？ 并简单说明理由．【解析】 7对：AOB △≌DOC △；AOC △≌DOB △；AEO △≌DFO △；a bαAFEO D C BlOF EDCBA思维拓展训练（选讲）AEC △≌DFB △；ABC △≌DCB △；ABD △≌DCA △； AEB △≌CFD △．理由略．训练3. 请分别按给出的条件画ABC △（不写画法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？⑴ 1202cm 4cm B AB AC ∠=︒==，，；⑵ 902cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑶ 302cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑷ 302cm 2cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑸ 302cm 1cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑹ 302cm 1.5cm B AB AC ∠=︒==，，； 【解析】 只有⑹所作的三角形不唯一．训练4. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？⑴ 请你画图举例说明两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不全等； ⑵ 阅读与证明：对于两个三角形均为锐角三角形，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形 它们全等. 可证明如下：已知：ABC △、111A B C △均为锐角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠．求证：111ABC A B C △≌△．（先把文字语言转化成符号语言）证明：分别过点B ，1B 作BD AC ⊥于D ，1111B D AC ⊥于1D ，则11190BDC B D C ∠=∠=︒， （如果需要添加辅助线，先说明辅助线做法）∵在BCD △和111B C D △中，11111190BDC B D C C C BC B C∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴111()BCD B C D AAS △≌△∴11BD B D =∵在ADB △和111A D B △中，111111190BD B D AB A B ADB A D B =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴ 111()ADB A D B HL △≌△，∴ 1A A ∠=∠， ∵在ABC △和111A B C △中，1111A A C C BC B C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ 111()ABC A B C AAS △≌△．对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等你们来试试吧！ ⑶归纳与叙述：由⑴、⑵可得到一个正确结论，请你写出这个结论．【解析】⑴；⑵略；⑶若ABC △、111A B C △均为锐角三角形或均为直角三角形或均为DCBAD 1C 1B 1A1钝角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠，则111ABC A B C △≌△．题型一 全等三角形的概念和性质 巩固练习【练习1】 ①判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ． ② 两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等． A ．两边和其中一边的对角对应相等 B ．三个角对应相等C ．两角和一组对应边相等D ．两边及第三边上的高对应相等 ③ 下列命题错误的是（ ）A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．全等三角形对应角的角平分线相等D ．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等 【解析】 ①⑴定义，⑵SAS ，⑶ASA ，⑷AAS ，⑸SSS ，⑹HL ；相等．②C ；③D ．【练习2】 如图，在ABC △中，D E 、分别是边AC BC 、上的点，若ADB EDB EDC △≌△≌△，则C ∠的度数为______________．【解析】 30︒.题型二 全等三角形的判定 巩固练习【练习3】 已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =． 【解析】 在BCE △和CBF △BEC CFBCBE BCF BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩复习巩固EDCAFEA∴BCE CBF △≌△， BF CE =．另一方法：面积法．1122ABC S AB CE AC BF =⋅=⋅△，∵AB AC =，∴BF CE =．等腰三角形两腰上的高相等．【练习4】 如图所示，已知AC BC ⊥，AD BD ⊥，AD BC =，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，试证明CE DF =．【分析】 法一，根据题目中给出的条件，可以利用“HL ”证明ABC BAD △≌△，得到CAB DBA ∠=∠，然后再利用“AAS ”证明CAE DBF △≌△，即可得出CE DF =．法二，此题在证明了ABC BAD △≌△后，根据全等三角形的面积相等，即ABC BAD S S =△△，而这两个三角形又是同底的，可以得出高CE 等于高DF ．【解析】 法一：∵AC BC ⊥，AD BD ⊥，∴90ACB BDA ∠=∠=°． 在Rt ABC △和Rt BAD △中， ()AB BA BC AD =⎧⎨=⎩边，，公共 ∴Rt Rt (HL)ABC BAD △≌△， ∴AC BD =，CAB DBA ∠=∠（全等三角形的对应边、对应角相等）． ∵CE AB ⊥于点E ，DF AB ⊥于点F ， ∴90CEA DFB ∠=∠=°． 在CAE △和DBF △中， 90CEA DFB CAE DBF AC BD ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩°，，， ∴(AAS)CAE DBF △≌△，∴CE DF =（全等三角形的对应边相等）． 法二：∵AC BC ⊥，AD BD ⊥，∴90ACB BDA ∠=∠=°． 在Rt ABC △和Rt BAD △中， AB BA BC AD =⎧⎨=⎩，， ∴Rt Rt (HL)ABC BAD △≌△， ∴ABC BAD S S =△△．又∵AB AB =，CE AB ⊥，DF AB ⊥，FE DCBA∴CE DF =．【点评】 本题方法一通过两次直角三角形全等得到结论，其中第一次全等运用了“HL ”，第二次全等运用了“AAS ”，要注意区别．通过方法二我们可以知道有时灵活运用三角形面积相等也可证明两条线段相等．题型三 全等三角形判定的应用 巩固练习【练习5】 如图所示，ABC △中，D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 与CE 交于点O ，给出下列四个条件：①EBO DCO ∠=∠；②BEO CDO ∠=∠；③BE CD =；④OB OC = 上述四个条件中，在不添加辅助线的情况下，哪两个条件可判定ABC △是等腰三角形(用序号写出所有情形) . 【解析】 ①③、①④、②③、②④.A BCDEO第十四种品格：信念当一块石头有了愿望一位名叫希瓦勒的乡村邮递员，每天徒步奔走在各个村庄之间。

概念：①邻补角、②对顶角；③同位角；④内错角；⑤同旁内角；⑥平行；⑦垂直；⑧点线、平行线的距离；⑨平移；⑩命题． 考点：①平行与同位角、内错角、同旁内角（性质与判定）②平行于同一直线的两直线平行；同一平面内垂直于同一直线的两直线平行． ③两点间线段最短及垂线段最短．一、点的坐标：⑴ 在坐标系中已知点标出它的坐标：过点分别作x 轴与y 轴的垂线，在x 轴上的垂足所表 示的数即是点的横坐标，在y 轴上的垂足所表示的数即是纵坐标，坐标需写成()x y ，， 横坐标在前，纵坐标在后.⑵ 已知点的坐标在坐标系中描出点。

分别在x 轴与y 轴上找到表示横坐标与纵坐标的点， 过这两点分别作x 轴y 轴的垂线，两线的交点即是所求的点. 二、不同位置下点的坐标特征：（如图2）思路导航思路导航14知识点睛 及综合测试题型一：相交线与平行线题型二：平面直角坐标系a 、象限点：第一象限点()++，，第二象限点()-+，，第三象限点()--，，第四象限点()+-，. b 、坐标轴上的点：x 轴上点()0x ，,y 轴上点()0y ， 注：坐标轴上的点不属于任何象限.三、点到坐标轴的距离：点到x 轴的距离=纵坐标的绝对值，点到y 轴的距离=横坐标的绝对值。

即()A x y ，,到x 轴的距离=y ,到y 轴的距离=x . 四、对称两点的坐标特征：1、关于x 轴对称两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数.2、关于y 轴对称两点：横坐标互为相反数，纵坐标相同.3、关于原点对称两点：横、纵坐标均互为相反数 五、同一水平线（平行于x 轴的直线）、铅直线（平行于y 轴的直线）上点的坐标特征：1、同一水平线（平行于x 轴的直线）上的点：纵坐标相同.2、同一铅直线（平行于y 轴的直线）上的点：横坐标相同.即若()(),,,A a b B a c ,则点,A B 在同一水平线（平行于x 轴的直线）上，若()(),,,M a b N c b ，则点,M N 在同一铅 直线（平行于y 轴的直线）上. 六、用坐标表示平移：1、点的平移规则：平移a 个单位长度：向左平移→横坐标减a ,向右平移→横坐标a +,向上平移→纵坐标a +,向下平移→纵坐标a -,反之亦然.2、图形的整体平移：找到所有关键点（如多边形的顶点，线段的端点等）进行平 移.二元一次方程（组）知识点：1、 二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.2、 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个或两个以上的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.3、 二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解.4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.思路导航题型三：不等式（组）与二元一次方程（组）5、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数由多变少.（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程.（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这个方法叫做代入消元法，简称代入法.（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成=+的形式，即“变”.y ax b2、将=+代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”.y ax b3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”.4、把求得的x值代入=+中求出y的值，即“回代”.y ax b5、把x y，的值用｛联立起来即“联”.6、加减消元法解二元一次方程组（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”.2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”.3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”.4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”.5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”.7、二元一次方程组应用题：列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.含参不等式（组）一、一元一次不等式的定义：一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

第13讲等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．（2）等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．（3）等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．【典例】例1 （2020春•碑林区校级期中）如果等腰三角形两边长是4cm和8cm，那么它的周长是（）A．16 cm B．20cm C．21 cm D．16或20cm【解答】解：当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm；当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，此时4+4＝8，不满足三角形的三边关系，不符合题意；故选：B．【方法小结】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．例2（2020春•泰山区期末）如图所示，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC 的延长线于E，交AC于F，连接BF，∠A＝50°，AB+BC＝16cm，则△BCF的周长和∠E分别等于（）A．16cm，25°B．8cm，30°C．16cm，40°D．8cm，25°【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∠BDE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠ABC＝25°，∵AB+BC＝16cm，∴△BCF的周长为：BC+CF+BF＝BC+CF+AF＝BC+AC＝BC+AB＝16cm．故选：A．【方法小结】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【随堂练习】1．（2020•西华县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线m∥n，顶点C在直线n上，直线m交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝150°，则∠2的度数是（）A．45°B．40°C．35°D．30°【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，∴∠ACB＝75°，在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝150°，∴∠AED＝150°﹣30°＝120°，∵m∥n，∴∠AED＝∠2+∠ACB，∴∠2＝120°﹣75°＝45°，故选：A．2．（2020春•朝阳区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则这个三角形的底角为（）A．67°31′B．22°30′C．67°30′D．22°30′或67°30′【解答】解：有两种情况；（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB＝90°，已知∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣45°＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C=12×（180°﹣45°）＝67.5°；（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE＝90°，已知∠HFE＝45°，∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠G=12×（180°﹣135°）＝22.5°，故选：D．3．（2020春•昌图县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD与∠ABC的平分线BG相交于点E，过点E向AB边作垂线EF，DE与EF相等吗？说明你的理由．【解答】解：DE＝EF；理由如下：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴DE＝EF．2、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典例】例1（2020春•东城区校级期末）已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵∠B＝∠3﹣∠1，∠C＝∠4﹣∠2，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【方法总结】此题考查了等腰三角形的判定与三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．例2（2020春•郑州期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．2个B．4个C．5个D．7个【解答】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，共2个点；②第2个点是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，共2个点；③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC 的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点．∴答案应该是5个点故选：C．【方法总结】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．【随堂练习】1．（2019秋•颍州区期末）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC 于G）【解答】证明：过点D 作DG ∥AC 交BC 于点G ，如图所示．∵DG ∥AC ，∴∠GDF ＝∠E ，∠DGB ＝∠ACB ．在△GDF 和△CEF 中，{∠GDF =∠EDF =EF ∠DFG =∠EFC，∴△GDF ≌△CEF （ASA ），∴GD ＝CE ．∵BD ＝CE ，∴BD ＝GD ，∴∠B ＝∠DGB ＝∠ACB ，∴△ABC 是等腰三角形．2．（2020春•南岸区校级月考）如图，在△ABC 中，∠BAD ＝∠C ，BE 平分∠ABC ．（1）求证：AE ＝AF ；（2）若AC ＝BC ，∠C ＝32°，求∠AEF 的度数．【解答】（1）证明：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∵∠BAD ＝∠C ，∴∠ABE +∠BAD ＝∠CBE +∠C ，∵∠AFE ＝∠ABE +∠BAD ，∠AEB ＝∠CBE +∠C ，∴∠AFE ＝∠AEB ，∴AE ＝AF ；（2）解：∵∠C＝32°，∴∠CBA+∠CAB＝180°﹣∠C＝148°，∵AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB=12×148°=74°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=12∠ABC＝37°，∴∠AEF＝∠C+∠CBE＝32°+37°＝69°．3、等腰三角形的性质与判定（1）等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．（2）在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．（3）等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．【典例】例1（2020•青山区校级模拟）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝6，DC＝8，DE＝20，求FG．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，∴BE＝EG，CD＝DF，∵BE＝6，DC＝8，DE＝20，∴FG＝DE﹣EG﹣DF＝DE﹣BE﹣CD＝20﹣6﹣8＝6．【方法总结】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．例2 （2020春•舞钢市期末）如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∵AF∥BC，∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠ACB＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°，∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，∵CG平分∠ACE，∴∠ACG=12∠ACE＝70°，∵AF∥BC，∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．【随堂练习】1．（2020春•浦东新区期末）已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．（1）找出图中所有的等腰三角形，并且选择其中一个加以说明；（2）如果AB＝3，AC＝2，求△ADE的周长是多少？【解答】解：（1）∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF和△CEF是等腰三角形；（2）∵DB＝DF，EF＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC＝3+2＝5，△ADE的周长是5．2．（2020春•益阳期末）如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF ∥BC．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．【解答】解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，所以∠EBO＝∠OBC=12∠ABC，∠FCO＝∠OC=12∠ACB，又∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝125°；（2）∵∠BOC＝130°，∴∠1+∠2＝50°，∵∠1：∠2＝3：2，∴∠1=35×50°=30°，∠2=25×50°=20°，∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠1＝30°，∠OCB＝∠2＝20°，∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，∴∠ABC＝60°，∠ACB＝40°．综合运用1．（2020春•二七区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC 上一点，且DE⊥AD，若∠BAD＝55°，∠B＝50°，则∠DEC的度数为（）A．125°B．120°C．115°D．110°【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵∠BAD＝55°，∴∠DAE＝25°，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．故选：C．2．（2020春•历下区期末）如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（）A．50°B．60°C．70°D．80°【解答】解：∵OC＝CD，∴∠CDO＝∠O＝10°∴∠DCE＝∠O+∠CDO＝20°，∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠CED＝20°，∴∠EDF＝∠O+∠CED＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，同理∠GEF＝∠EGF＝40°，∠GFH＝∠GHF＝50°，∠BGH＝60°，故选：B．3．（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA ＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°【解答】解：设∠C＝x，根据等腰三角形的性质得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的性质得∠EDB＝25°+12x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得∠A＝12.5°+14x，依题意有12.5°+14x+x+130°＝180°，解得x＝30°．故选：D．4．（2020秋•江岸区校级月考）等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是70°，则它的顶角的度数是70°或110°．【解答】解：①如图，当∠BAC是钝角时，由题意：AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝70°，∴∠BAC＝∠EAD＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°．②当∠A是锐角时，由题意：AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝70°，∴∠DHE＝110°，∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，故答案为110°或70°．5．（2020春•楚雄州期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为57°，则这个等腰三角形的顶角的度数为33°或147°．【解答】解：①当为锐角三角形时，如图1，∵∠ABD＝57°，BD⊥AC，∴∠A＝90°﹣57°＝33°，∴三角形的顶角为33°；②当为钝角三角形时，如图2，∵∠ABD＝57°，BD⊥AC，∴∠BAD＝90°﹣57°＝33°，∵∠BAD+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝147°∴三角形的顶角为147°．综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为33°或147°．故答案为：33°或147°．6．（2020春•延庆区期中）如果等腰三角形的两条边长分别为23cm和10cm，那么第三边的长为23cm．【解答】解：设第三边的长为x，满足：23cm﹣10cm＜x＜23cm+10cm．即13cm＜x＜33cm．因而第三边一定是23cm．故答案为：23．7．（2020秋•武侯区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC 上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为108°或72°．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝36°，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝36°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA=12×（180°﹣36°）＝72°，∵∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∴∠BAD＝108°﹣72°＝36°；∴∠BDA＝180°﹣36°﹣36°＝108°；③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝36°，∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，∴∠BDA＝180°﹣72°﹣36°＝72°；∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是108°或72°．故答案为：108°或72°．8．（2020春•沙坪坝区校级期末）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是34°或53.5°或100°或134°．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝73°，∴∠EDB＝23°，∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，①当点P在AB上，∵DE＝DP1，∴∠DP1E＝∠AED＝73°，∴∠EDP1＝180°﹣73°﹣73°＝34°，②当点P 在AC 上，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ，过D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ，∴DG ＝DH ，在Rt △DEG 与Rt △DP 2H 中，{DE =DP 2DG =DH， ∴Rt △DEG ≌Rt △DP 2H （HL ），∴∠AP 2D ＝∠AED ＝73°，∵∠BAC ＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠EDP 2＝134°，③当点P 在AC 上，同理证得Rt △DEG ≌Rt △DPH （HL ），∴∠EDG ＝∠P 3DH ，∴∠EDP 3＝∠GDH ＝100°，④当点P 在AB 上，EP ＝ED 时，∠EDP =12（180°﹣73°）＝53.5°．故答案为：34°或53.5°或100°或134°．9．（2020春•渭滨区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点B 作BD ⊥AC 于点D ．猜想∠DBC 与∠A 的数量关系，并说明理由．【解答】解：∠DBC =12∠A ．理由如下：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∴∠C=12（180°﹣∠A），∵BD⊥AC，∴∠DBC＝90°﹣∠C＝90°−12（180°﹣∠A）＝90°﹣90°+12∠A=12∠A．10．（2020春•陈仓区期末）已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED 的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角），∵DE⊥BC于E，∴∠FEB＝∠FEC＝90°，∴∠B+∠EDB＝∠C+∠EFC＝90°，∴∠EFC＝∠EDB（等角的余角相等），∵∠EDB＝∠ADF（对顶角相等），∴∠EFC＝∠ADF，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形．。