(含答案)天津大学线代2017-2018第一学期期末试题

第 1 页 共 4 页 背面有试题华东交通大学2017—2018学年第一学期考试卷课程名称： 线性代数A 考试时间： 120 分钟 考试方式：闭卷 （A ）卷一、填空题(每题 3 分，共 15 分)1、设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13242、设方阵A 满足A 3-2A+E=0，则21(A 2E)-- = -A .3、已知向量),,(211-=α与向量),,(x 22-=β正交，则=x -2. 4、如果n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系含有)(n s s <个解向量， 那么矩阵的秩为()=A R s n - 5、设 123,,λλλ为方阵270056004A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值，则123λλλ＝ 40 二、选择题(每题3 分，共15 分)6、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ--=05021311A 为奇异矩阵，则=λ( C ).(A) 1 (B) 2 (C) -3 (D) -4 7、B A ,是n 阶方阵，则下列结论成立的是( C ).(A)000==⇔=B A AB 或 (B)00=⇔=A A (C)000==⇔=B A AB 或 (D).1=⇔=A E A 8、若向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则( D ).(A)必定s r < (B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关(C)向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意1+r 个向量必定线性相关9、设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ） (A)111)(---+=+B A B A (B)111)(---=A B AB(C)111---=)()(T T B A AB (D)11--=kA kA )(（其中k 为非零常数）第 2 页 共 4 页 背面有试题2装O订O线O10、设1234,,,αααα都是3维向量，则必有( B )(A) 1234,,,αααα线性无关 (B) 1234,,,αααα线性相关 (C) 1α可由234,,ααα线性表示 (D) 1α不可由234,,ααα线性表示三、解答题(每题8分，共40分)11、求行列式21021001201002。

,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；题 号 一 二 三四五总分得 分 评卷人单项选择题（每小题2分，共40分）。

．设矩阵22, B 23, C 32A ⨯⨯⨯为矩阵为矩阵为矩阵，则下列矩阵运算无意义的是【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB设n 阶方阵A 满足A 2＋E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有 【 】A. 矩阵A 不是实矩阵B. A=-EC. A=ED. det(A)=1设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【 】A. 2－B. ()n2－ C. n2－ D. 1设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中 【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a －6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】A.03221= b b a aB.02121≠ b b a a C. 332211b a b a b a == D. 02131= b b a a9.方程组12312312321 21 3 321x x x x x x x x x a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=+⎩有解的充分必要的条件是 【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1-η3，η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni in aa a aC. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈D. }1|),,,{(121∑==ni in aa a a14.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 201B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-0 1-15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。

2017-2018学年天津市部分区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，则∁U A=（）A. 2，B.C. 2，3，4，D.2.已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则•=（）A. B. C. 1 D. 23.下列运算的结果正确的是（）A. B. C. D.4.函数f（x）=-x+1的零点所在的区间是（）A. B. C. D.5.将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式是（）A. B. C. D.6.已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），若f（-2）＜f（-3），则a的取值范围是（）A. B. C. D.7.若非零向量，满足|+|=|-|，则（）A. B. C. D.8.若α为第二象限的角，且tanα=-，则cosα=（）A. B. C. D.9.已知集合P={x|y=}，Q={x|y=lg（x-1）}，则P∩Q=（）A. B.C. D. ，或10.已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，若a=f（ln2.1），b=f（1.11.1），c=f（-3），则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.sin（-）=______．12.已知幂函数f（x）经过点（2，8），则f（3）=______．13.设集合A={x|2＜x＜3}，B={x|x＞a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是______．14.已知sin（α-）=，则sin（-α）=______．15.在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=6，∠BAD=60°，点P在CD上，且=3，则•=______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.已知向量=（1，2），=（2，λ），=（-3，2）．（1）若 ∥，求实数λ的值；（2）若k+与-2垂直，求实数k的值．17.已知函数f（x）=．（1）求f（2）及f（f（-1））的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．18.已知在△ABC中，sin A=，cos B=-．（1）求sin2A的值；（2）求cos C的值．19.已知函数f（x）=是奇函数，且f（1）=1．（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．20.已知函数f（x）=2sin x cos（x+）+．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[-，]上的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，则∁U A={4，5}．故选：B．由集合的补集的定义，即由U中不属于A的元素构成的集合，即可得到所求．本题考查集合的运算，主要是补集的求法，运用定义法解题是关键．2.【答案】C【解析】解：向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则•===1．故选：C．利用已知条件，通过向量的数量积公式求解即可．本题考查平面向量的数量积的计算，考查计算能力．3.【答案】B【解析】解：∵log43=，∴选项A错误；∵（-a2）3=-（a2）3=-a6，∴选项B正确；由a0=1（a≠0），可得（-1）0=1，故C错误；∵lg2+lg3=lg（2×3）=lg6，∴D错误．∴计算结果正确的是（-a2）3=-a6，故选：B．利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质逐一核对四个选项得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算性质，是基础题．4.【答案】C【解析】解：函数f（x）=-x+1是连续函数，f（2）=-2+1＞0，f（3）=＜0，故有f（2）•f（3）＜0，由零点的存在性定理可知：函数f（x）=-x+1的零点所在的区间是（2，3）故选：C．据函数零点的判定定理，判断f（2），f（3）的符号，即可求得结论．本题考查函数的零点的判定定理，解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，属基础题．5.【答案】A【解析】解：把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x+）的图象；故选：A．按照题目所给条件，先求把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，函数解析式，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），求出解析式即可．本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力，是基础题．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．6.【答案】D【解析】解：函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），若f（-2）＜f（-3），则f（x）是单调减函数，∴a的取值范围是0＜a＜1．故选：D．根据指数函数的单调性即可得出a的取值范围．本题考查了指数函数的单调性问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：如图，设=，=，则|+|=||，|-|=||，则||=||，所以四边形ABCD为矩形，所以AB BC，所以．故选：A．利用向量的几何意义解答．本题考查了向量的模．解题时，借用了矩形的判定与性质，属于基础题．8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．【解答】解：∵α是第二象限角，且tanα==-，∴sinα=-cosα，∵cosα＜0，sinα＞0，sin2α+cos2α=1，∴（-cosα）2+cos2α=1，可得：cosα=-，故选D．9.【答案】C【解析】解：集合P={x|y=}={x|3-x≥0}={x|x≤3}，Q={x|y=lg（x-1）}={x|x-1＞0}={x|x＞1}，则P∩Q={x|1＜x≤3}，故选：C．由偶次根式被开方式非负，化简集合P，对数的真数大于0，化简集合Q，再由交集的定义，即可得到所求集合．本题考查集合的交集的求法，考查函数的定义域的求法，运用定义法解题是关键，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴a=f（ln2.1），b=f（1.11.1），c=f（-3）=f（3），∵0＜ln2.1＜1，1＜1.11.1＜3，则0＜ln2.1＜1.11.1＜3，∴f（ln2.1）＜f（1.11.1）＜f（3），即f（ln2.1）>f（1.11.1）>f（-3），则c＜b＜a，故选：B．根据函数奇偶性和单调性的性质，进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．11.【答案】-【解析】解：sin（-）=sin（-）=-sin=-，故答案为：-．由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．12.【答案】27【解析】解：设f（x）=x n，由题意可得2n=8，解得n=3，则f（x）=x3，f（3）=33=27，故答案为：27．设f（x）=x n，代入（2，8），求得n，再计算f（3），即可得到所求值．本题考查幂函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】a≤2【解析】解：集合A={x|2＜x＜3}，B={x|x＞a}，若A∪B=B，则A⊆B，∴a≤2，∴实数a的取值范围是a≤2．故答案为：a≤2．根据A∪B=B得出A⊆B，从而写出实数a的取值范围．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵sin（α-）=，∴sin（-α）=sin（π+-α）=-sin（）=sin（α-）=，故答案为：．由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础的计算题．15.【答案】12【解析】解：以A为原点建立坐标系，则A（0，0），B（8，0），D（3，3），∵=3，∴DP=2，即P（5，3），∴=（5，3），=（-3，3），∴=-15+27=12．故答案为：12．建立坐标系，求出各向量坐标，再计算数量积．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可使计算较简单，属于中档题．16.【答案】解：（1）∵向量=（1，2），=（2，λ），=（-3，2）．∥，∴，解得实数λ=4．（2）k+=（k-3，2k+2），=（7，-2），∵k+与-2垂直，∴（k）•（）=7k-21-4k-4=0，解得实数k=．【解析】（1）利用向量平行的性质能出实数λ的值；（2）先利用平面向量坐标运算法则求出k+，-2，由此利用向量垂直的性质能求出实数k的值．本题考查实数值的求法，考查向量平行、平面向量坐标运算法则、向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】解：（1）f（2）=-2×2+8=-4+8=4，f（f（-1））=f（-1+5）=f（4）=-2×4+8=0．（2）若x≤1，由f（x）≥4得x+5≥4，即x≥-1，此时-1≤x≤1，若x＞1，由f（x）≥4得-2x+8≥4，即x≤2，此时1＜x≤2，综上-1≤x≤2．【解析】（1）根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．（2）根据分段函数的表达式，讨论x的取值范围进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用代入法是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）在△ABC中，由cos B=-，可知B为钝角，且sin B=，又sin A=，得cos A=．∴sin2A=2sin A cosA=2×；（2）cos C=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cos AcocB+sin A sin B=-+=．【解析】（1）由已知可得B为钝角，分别求出sinB，cosA的值，由二倍角公式求得sin2A；（2）利用三角形内角和定理可得cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B），展开两角和的余弦得答案．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和与差的余弦，是基础题．19.【答案】解：（1）∵f（1）=1，∴f（1）==1，即a-1=1+b，则a=2+b，则f（-x）=-f（x），即=-，即-x+b=-x-b，则b=-b，b=0，得a=2．（2）∵b=0，a=2，∴f（x）==2x1--2x2+=2（x1-x2）+=（x1-x2）（2+）∵x1，x2为（0，+∞）上任意两个自变量，且x1＜x2∴x1-x2＜0，2+＞0，∴（x1-x2）（2+）＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．【解析】（1）根据函数奇偶性的性质和定义建立方程进行求解即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．20.【答案】解：f（x）=2sin x cos（x+）+=2sin x（cos x cos）+=2sin x（）=sin2x-===．（1）f（x）的最小正周期T=；（2）由，得0，∴sin（）∈[0，1]，则∈[-，1-]，∴f（x）∈[-，1-]，则f（x）在区间[-，]上的最大值为．【解析】展开两角和的余弦，再由辅助角公式化积．（1）直接利用周期公式求周期；（2）由x的范围求得相位的取值范围，则f（x）在区间[-，]上的最大值可求．本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查两角和的余弦，是中档题．。

一.判断（10分）1.设是K上的线性空间,算子则是的子空间.（）2.线性无关.（）3.对L e g e n d r e 多项式,有.（）4.,则可对角化.（）5.设是H e r mi t e插值余项，则节点为的二重零点.（）6.C o t e s 系数只与求积节点的个数有关而与被积函数和积分区间无关.（）7.设是上的任意方阵范数，则.（）8.,则.（）9.若为G a u s s型求积公式,则.（）10.若正规矩阵,其特征值均为实数,则为酉矩阵.（）二、填空（10分）1.已知，则.2.,则.3.设是S e i d e l迭代矩阵，则的所有特征值中绝对值最小的为.4.若为插值型求积公式,，是n次L a g r a n g e插值基函数，令则.5.设酉矩阵,且则的不变因子.三.(8分)设，求的有理标准形.题号12345678910平时成绩成绩得分四.(8分)求解初值问题五.(8分)已知线性方程组为(1)写出S e i d e l迭代格式，(2)判断迭代格式收敛性.六.（8分）由下列插值条件1.631.731.952.282.5314.09416.84418.47520.96323.135用三次N e w t o n插值多项式计算的近似值(结果保留至小数点后第3位)七.（10分）用算法求积分的近似值，并将计算结果列于下表（计算结果保留至小数点后第5位）01234八.(10分)用L e g e n d r e 多项式求函数在上的三次最佳平方逼近，并求(结果保留到小数点后第5位，取)九.(8分)写出用标准R u n g e-K u t t a方法解下列初值问题的计算公式.十.(10分)证明1.内积空间中的任何正交系都是线性无关的.2.,则。

__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _⋯⋯⋯⋯⋯⋯诚信应考 , 考试作弊将带来严重后果！⋯线性代数期末考试试卷及答案⋯⋯⋯号⋯注意事： 1.考前将密封内填写清楚；位⋯ 2.所有答案直接答在卷上( 或答上 ) ；座⋯3．考形式：开（）卷；⋯4.本卷共五大，分100 分，考 120分。

题号一二三四五总分⋯⋯得分⋯评卷人⋯⋯⋯⋯一、（每小 2 分，共 40 分）。

⋯业⋯专⋯1．矩A为2 2矩阵, B为23矩阵 ,C为32矩阵，下列矩运算无意的是⋯⋯【】⋯⋯)⋯封A B.ABCC. BCAD.CAB⋯. BAC2答⋯＋ E =0 ，其中 E是 n 位矩，必有【】2. n 方 A 足 A院不⋯A.矩 A 不是矩B. A=-EC. A=ED. det(A)=1⋯学内⋯⋯封⋯3. A n 方，且行列式det(A)= 1 ,det(-2A)=【】密⋯(⋯A. －2－2 n－2n⋯ B. C. D. 1⋯⋯4. A 3 方，且行列式det(A)=0，在 A的行向量中【】⋯⋯ A. 必存在一个行向量零向量⋯⋯ B. 必存在两个行向量，其分量成比例⋯C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的性合号⋯密D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的性合学⋯⋯5．向量a1, a2,a3性无关，下列向量中性无关的是【】⋯⋯A．a1a2 , a2a3 , a3a1 B.a1, a2 ,2a13a2⋯C. a2,2a3,2a2a3a1－ a3, a2 , a1⋯ D.⋯⋯名⋯6. 向量 (I):a1 ,, a m (m3)性无关的充分必要条件是【】姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1 个向量线性表出B.(I)中存在一个向量, 它不能由其余m-1 个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D. 存在不全为零的常数k1,, k m ,使 k1 a1k m a m 07．设a为m n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax 0存在非零解的充分必要条件是【】A．A的行向量组线性相关B. A 的列向量组线性相关C. A的行向量组线性无关D. A 的列向量组线性无关a1 x1a2 x2a3 x30 8. 设a i、b i均为非零常数（i =1， 2， 3），且齐次线性方程组b2 x2b3 x30b1 x1的基础解系含 2 个解向量，则必有【】a1a20 B.a1a20a1a2a3 D.a1 a3A.b3b1b2C.b2b3b1 b2b2b19. 方程组2 x1x2x31有解的充分必要的条件是【】x12x2x313 x13x22x3a1A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110.设η1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B.与η 1，η2，η3 等秩的向量组C. η1－η2，η2－η3，η3－η1D.η1，η1-η3，η1-η2-η311.已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【】A.方程组有无穷多解B.方程组可能无解，也可能有无穷多解C.方程组有唯一解或无穷多解D.方程组无解12.n阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有n 个【】A. 互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C. 线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间n的子空间的是【】RA. {( a1, a2,, a n ) | a1a20}B.12n n i,) |a0}{( a ,a, aC. {( a1, a2,, a n ) | a i z, i 1,2,,n}D.i n1{( a1 ,a2 ,, a n ) |a i1}i 114. 若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B12 ,E 为 2 阶单位矩阵 , 则方阵 E – A 必相似于矩阵- 3【 】1 0 -10 0 - 1A.4B. - 4C.4D.11 - 2- 2 - 41 015. 若矩阵 A02a 正定 , 则实数 a 的取值范围是 【】0 a8A ． a < 8B. a ＞ 4C ． a ＜ -4D． -4 ＜ a ＜ 4二、填空题 （每小题 2 分，共 20 分）。

A. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα都不是零向量;B. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任意两个向量都不成比例;D. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任一部分组线性无关.6. 若二次型222123123(,,)(1)(1)(2)f x x x k x k x k x =++-+-正定，则k 的取值范围为 ( A ). A. 2k > ; B. 1k >; C. 12k << ;D. 1k >-.二、填空题 （共22分,第1-6小题每小题3分，第7小题4分）1. 行列式是一个 数值 ，矩阵是一个 数表 。

（请填“数表或数值”）2. 100201100010140001201103010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=210104350⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3. 行列式111111x x x= (x +2)(x -1)2 或x 3-3x +2 ．4. n 元齐次线性方程组A x =0只有零解的充要条件是 R(A)=n ．5. 设向量1-2-1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，β=22λ-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭正交，则λ= -6 ．6. 任意n +1个n 维向量 线性相关 .填（“线性相关”或“线性无关”）7. 已知三阶方阵A 的三个特征值分别为1,1,2,-则_-2_,A =1*132__.2A A -+=三、计算题 （共60分）1. （10分） 设122212221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，1) 判断A 是否可逆；（4分）2) 如果A 可逆，请用初等行变换求出-1A .（6分）解：1） 由于||=-270A ≠，所以A 可逆。

(4分)2）用初等行变换求得11/92/92/92/91/9-2/92/9-2/91/9A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

（6分）2. （10分）计算行列式2004310050100232D =.解：将D 的第三行的-3倍加到第四行，得：2004200431003100501050100232-15202D ==（2分）对200431005010-15202按第三列展开，得：204310-1522D = （3分）将204310-1522第二行的-2倍加到第三行，得： 204310-2102D = （2分） 按第二列展开得2488-212D ==。

2017-2018学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．（3分）已知集合A={x|y=}，B={x|＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|x≥1}2．（3分）设复数z满足iz=|2+i|+2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．i D．i3．（3分）设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（）A．x≥3 B．y≥4 C．x+2y≥8 D．2x﹣y+1≥04．（3分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．B．C．D．5．（3分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．∃x0∈（﹣∞，0），2成立C．“若tanα≠1，则”是真命题D．{a n}为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件6．（3分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x=﹣，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率k AF=﹣，则△AFM 的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．127．（3分）已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．D．e28．（3分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x ﹣2）=f（﹣x）；③当x∈[﹣1，1]时，f（x）=；则函数y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]上的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题9．（3分）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：℃）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是．10．（3分）执行如图的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是．11．（3分）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于．12．（3分）直线y=kx+3与圆（x﹣4）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，|MN|，则k的取值范围是．13．（3分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则=．14．（3分）已知x，y均为正实数，且x+y=16，则的最大值为．三、解答题15．已知函数f（x）=2sin2x+2sinx•sin（x+）（1）求f（x）的最小正周期；（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的取值范围．16．在△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1（1）求角A的大小；（2）若a=3，sinC=2sinB，求b，c的值．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值；（3）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角．18．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2（a n﹣1），数列{b n}满足：对任意n ∈N*有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；（2）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：当n≥6时，n|T n﹣2|＜1．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b．过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积；（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．20．设函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2）①求实数a的范围；②证明：．2017-2018学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）已知集合A={x|y=}，B={x|＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|x≥1}【解答】解：∵集合A={x|y=}={x|x≤1}，B={x|＞0}={x|﹣1＜x＜1或x＞1}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜1}．故选：A．2．（3分）设复数z满足iz=|2+i|+2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．i D．i【解答】解：由iz=|2+i|+2i，得z==2﹣，∴|z|=．故选：A．3．（3分）设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（）A．x≥3 B．y≥4 C．x+2y≥8 D．2x﹣y+1≥0【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则C（2，3），B（2，5），则x≥3，y≥4不成立，作出直线x+2y﹣8=0，和2x﹣y+1=0，由图象可知2x﹣y+1≥0不成立，恒成立的是x+2y﹣8≥0，故选：C．4．（3分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由几何体的三视图得到：该几何体是底面半径为r=1，高为3的圆柱和底面半径为r=1，高为2的圆锥的组合体的一半，如图，∴该几何体的体积：V=+==．故选：D．5．（3分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．∃x0∈（﹣∞，0），2成立C．“若tanα≠1，则”是真命题D．{a n}为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件【解答】解：“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，所以A不正确；∀x0∈（﹣∞，0），成立，所以B不正确；“若tanα≠1，则”是真命题，正确；{a n}为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的充分必要条件．所以D不正确；故选：C．6．（3分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x=﹣，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率k AF=﹣，则△AFM 的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣，抛物线C：y2=6x 点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率k AF=﹣，准线与x轴的交点为N，则AN=3=3，A（﹣，3），则M（，3），=×6×3=9．∴S△AMN故选：C．7．（3分）已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．D．e2【解答】解：y=f（x）是奇函数，即f（﹣x）=﹣f（x）．当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a），当x∈（﹣2，0）时，﹣x∈（0，2），可得f（﹣x）=ln（﹣x）+ax，∴f（x）=﹣ln（﹣x）﹣ax．则f′（x）=﹣﹣a，令f′（x）=0，得x=，∵a，∴∈（﹣2，0）当x∈（﹣2，）时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣2，）单调递减，当x∈（，0）时，f′（x）＞0，则f（x）在（，0）单调递增，∴x=时，f（x）取得最小值为﹣ln+1=1，即a=1，故选：B．8．（3分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x﹣2）=f（﹣x）；③当x∈[﹣1，1]时，f（x）=；则函数y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]上的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由①f（x）+f（2﹣x）=0可得f（x）的图象关于点（1，0）对称，由②f（x﹣2）=f（﹣x）可得f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，作出f（x）在[﹣1，1]的图象，再由对称性，作出f（x）在[﹣3，3]的图象，作出函数y=（）|x|在[﹣3，3]的图象，由图象观察可得它们故有5个交点，即有函数y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]上的零点个数为5．故选：A．二、填空题9．（3分）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：℃）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是乙．【解答】解：由茎叶图知，计算=×（9+13+17+17+18+22）=16，=×（12+14+17+20+24+27）=19，∴＜，乙城市的平均气温高．故答案为：乙．10．（3分）执行如图的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是24．【解答】解：由程序框图知；第一次循环k=1，p=1•1=1；第二次循环k=2，p=1•2=2；第三次循环k=3，p=2•3=6；第四次循环k=4，p=4•6=24．不满足条件k＜4，跳出循环体，输出p=24．故答案为：24．11．（3分）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于17．【解答】解：双曲线的a=4，b=2，c=6，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=8，|PF1|=9，可得|PF2|=1或17，若|PF2|=1，则P在右支上，应有|PF2|≥c﹣a=2，不成立；若|PF2|=17，则P在左支上，应有|PF2|≥c+a=10，成立．故答案为：17．12．（3分）直线y=kx+3与圆（x﹣4）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，|MN|，则k的取值范围是[﹣，] ．【解答】解：圆（x﹣4）2+（y﹣3）2=4的圆心C（4，3）到直线y=kx+3的距离d==，∵|MN|，∴2≥，解得﹣≤k≤．∴k的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]．13．（3分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则=4．【解答】解：由题意可建立如图所示的坐标系可得A（2，0）B（0，2），P（，）或P（，），故可得=（，）或（，），=（2，0），=（0，2），所以+=（2，0）+（0，2）=（2，2），故==（，）•（2，2）=4或=（，）•（2，2）=4，故答案为：414．（3分）已知x，y均为正实数，且x+y=16，则的最大值为1．【解答】解：=，由x+y=16，可得+=（x+y）（+）=（1+9++）≥（10+2）=1，当且仅当y=3x=12，等号成立，则的最大值为1．故答案为：1．三、解答题15．已知函数f（x）=2sin2x+2sinx•sin（x+）（1）求f（x）的最小正周期；（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2sin2x+2sinx•sin（x+）=2•+sin2x=2sin（2x﹣）+1，故f（x）的最小正周期为=π．（2）把函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，可得函数g（x）=2sin（2x+﹣）+2+1=2sin（2x+）+3的图象，在区间[0，]上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为2•（﹣）+3=3﹣；当2x+=时，f（x）取得最大值为2+3=5．16．在△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1（1）求角A的大小；（2）若a=3，sinC=2sinB，求b，c的值．【解答】解：（1）由cos2A=3cos（B+C）+1得，2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得cosA=或cosA=﹣2（舍去），因为A为三角形的内角，所以A=；（2）由（1）知cosA=，又sinC=2sinB，∴c=2b；由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，∴9=b2+4b2﹣2b•2b•，解得b=；∴c=2．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值；（3）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角．【解答】（Ⅰ）证明：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x 轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，1），B（0，0，0），A（2，0，0），D（0，1，0），C1（0，2，1），则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），由，取x1=1，得=（1，2，﹣2），∵•=﹣2+0+2=0，∴⊥，则A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣1，0），由C1C⊥平面ABC，可知平面ABC的法向量为=（0，0，1），由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量为=（1，2，﹣2），由cos＜＞==．故二面角C﹣AD﹣C1的余弦值为；（Ⅲ）解：E为A1B1的中点，则E（1，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，1），cos＜＞==，由0≤＜＞≤π，可得＜＞=，则AE与DC1所成的角为．18．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2（a n﹣1），数列{b n}满足：对任意n ∈N*有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；（2）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：当n≥6时，n|T n﹣2|＜1．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2（a n﹣1）①，=2（a n﹣1﹣1）②，则：S n﹣1所以：①﹣②得：a n=2a n﹣1，即：，当n=1时，解得：a1=2．故数列{a n}的通项公式为：（首项符合）．故通项公式为：．数列{b n}满足：对任意n∈N*有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2③．则：a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2•2n+2④．③﹣④得：故：b n=n．证明：（2）根据（1）的通项公式，则：=，⑤．=⑥．⑤﹣⑥得：=﹣．解得：．故：|T n﹣2|==，所以：n|T n﹣2|=，当n≥6时，．故：n|T n﹣2|＜1成立．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b．过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积；（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．【解答】（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，所以，且c2=2b2，所以a2=3b2，解得b2=，a2=4．所以椭圆方程为：+=1．…（3分）（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．因为P为（﹣1，﹣1），解得M（，）．…（5分）当k≠0时，用﹣代替k，得N（，）．…（7分）将k=﹣1代入，得M（﹣2，0），N（1，1）．因为P（﹣1，﹣1），所以PM=，PN=2，所以△PMN的面积为××2=2．…（9分）（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，因为线段MN的中点在x轴上，所以y1+y2=0，从而可得（x1+x2）（x1﹣x2）=0．…（12分）若x1+x2=0，则N（﹣x1，﹣y1）．因为PM⊥PN，所以•=0，得x12+y12=2．又因为x12+3y12=4，所以解得x1=±1，所以M（﹣1，1），N（1，﹣1）或M（1，﹣1），N（﹣1，1）．所以直线MN的方程为y=﹣x．…（14分）若x1﹣x2=0，则N（x1，﹣y1），因为PM⊥PN，所以•=0，得y12=（x1+1）2+1．又因为x12+3y12=4，所以解得x1=﹣或﹣1，经检验：x=﹣满足条件，x=﹣1不满足条件．综上，直线MN的方程为x+y=0或x=﹣．…（16分）20．设函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2）①求实数a的范围；②证明：．【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=x2﹣2x+2lnx（x＞0），f′（x）=2x﹣2+=，可得f（1）=﹣1，f′（1）=2∴在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（﹣1）=2（x﹣1），即2x﹣y﹣3=0．（2），（x＞0），①∵函数f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2）．∴2x2﹣2x+a=0有两个不等正实根，∴，∴∴实数a的范围：（0，）．②∵a=2x1x2=2x2（1﹣x2），1﹣x1=x2，∴===，（）．令h（t）=t+2（1﹣t）ln（1﹣t）﹣，（），h，∴h（t）在（）递增，∴．∴．。

湖北工业大学线性代数 试题答案A 卷 2017年11月一 选择题：（3×5=15分）1、B2、 C3、B4、C5、D 二 填空题：（3×5=15）分6、27、118、 E 59、 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321201/2-0011/2-11),,(x x x x x x 10、-32 三 计算题（共60分）11（10分）、先将第2,3,4列依次加到第一列得4-44-33-3032-52-3211-3=D ......3分6-33-05-214-41-0211-134-44-13-3012-52-1211-13== ..........6分5/2-0003-2004-41-0211-12769-009-6004-41-0211-13===135 ..........10分 12（10分）、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010002,102010001B D A C ..........4分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10001000,10201000121D B C A ..........6分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴81427511301000100010201000121CD AB ....10分1. 13（10分）、αααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3272123411511011123012(,,,)31810000139700 ..........4分12,αα∴可作为向量组的一个极大无关组。

..........6分αααα=1234(,,,) 2.r ..........8分3732241222,2.αααααα=-=+ ..........10分 14（10分）、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010001012411210)(E A ..........2分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→12-30010102-00210411 ..........5分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→1/2-13/2-12-411-2100010001 ..........8分 所以，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1/2-13/2-12-411-21A ..........10分15（10分）、 A 的特征多项式为2400031(2)(4).13E A --=--=----λλλλλλ故 A 的特征值为 .........2分 对应基础解系分别为..........4分 ..........6分..........8分 将123,,ααα单位化得)())123,1,,1,0,,,,1.T T T===0-1001ηηη故，为所求正交矩阵.......10分16（10分）、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000021/210051321~7232-1-2-1-04251321~A ..........4分化为行最简形得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000021/21001-1/2-021~~A ..........6分所以，原方程组的通解是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020112/102/10012214321k k x x x x ..........10分 四 证明题：17、（10分）令 0222110=++++*ηηηξn-r k k k k .........2分所以 0222110=++++*ηηηξA k A k A k A k n-r00=b k , 得00=k .........2分故 022211=+++ηηηn-r k k k .........2分由r n -ηηη，，， 21是其导出组（对应齐次线性方程组0=Ax ）的一个基础解系 知 021====n-r k k k ， .........2分 此即0210=====n-r k k k k ，故线性无关 .........2分()21,0,T =0α()3,,1.T=01α()10,1,1T =-α234==λλ12=λ12310(,,)00P ⎛⎫⎪ ⎪== ⎝0ηηη。

2017-2018学年天津市高二上学期末考试理科数学试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若a,b是异面直线，a//α，则b与α的位置关系是（）A. b//α或b⊂αB. b与α相交或b//αC. b与α相交或b⊂αD. b与α相交或b⊂α或b//α【答案】D【解析】∵a,b是异面直线，a//α，∴b与α的位置关系是b与α相交或b⊂α或b//α故选：D2. 在x轴、y轴上的截距分别是2、−3的直线方程为（）A. x2+y3=1 B. x2−y3=1 C. y3−x2=1 D. x2+y3=−1【答案】B即x2−y3=1故选：B3. 已知直线的倾斜角为300，则直线的斜率为（）A. √33B. √22C. 1D. √3【答案】A【解析】∵直线的倾斜角为300，∴直线的斜率为tan30°=√33故选：A4. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π【答案】B【解析】试题分析：∵圆柱的轴截面为正方形，故圆柱的底面直径等于高即h=2r，又圆柱的侧面积为4π,∴2πrℎ=4π,∴r=1,h=2,∴圆柱的体积等于πr2ℎ=2π，故选B考点：本题考查了圆柱的性质点评：熟练掌握圆柱的定义及性质是解决此类问题的关键5. 过点A(1,−1)与B(−1,1)且圆心在直线x+y−2=0上的圆的方程为（）A. (x−3)2+(y+1)2=4B. (x+3)2+(y−1)2=4C. (x+1)2+(y+1)2=4D. (x−1)2+(y+1)2=4【答案】D【解析】∵圆心在直线x+y﹣2=0上，∴可设圆的圆心M（a，2﹣a），根据圆过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），可得（1﹣a）2+（﹣1﹣2+a）2=（﹣1﹣a）2+（1﹣2+a）2，解得a=1，故圆的圆心为（1，1），半径等于MA=2，故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故选：D6. 若一个长方体的长、宽、高分别为√3、√2、1，则它的外接球的表面积为（）A. 3πB. 5πC. 6πD. 24π2【答案】C【解析】长方体的体对角线长即外接球的直径，∴2r=√3+2+1=√6∴S球=4πr2=6π故选：C点睛：设几何体底面外接圆半径为x,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为a,b,c则其体对角线长为√a2+b2+c2;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为a,b,c，则其外接球半径公式为: 4R2=a2+b2+c2.7. 已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α,A∈l，直线AB//l，直线AC⊥l，直线m//α,m//β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A. AB⊥βB. AC⊥mC. AB//βD. AB//m【答案】A【解析】如图所示，对于A，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直；故不成立．对于B，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B成立；对于C，AB∥l⇒AB∥β，D成立；对于D，AB∥l∥m；A成立；故选A ．点睛：判断线面关系的方法：①利用平行垂直的定理与性质进行直接联想与推导；（2）借助特殊几何体进行判断，比如正方体，正四面体，教室等等.8. 过点P(−2,4)作圆C ：x 2+y 2−4x −2y −20=0的切线，直线m ：ax −3y =0与直线平行，则直线与m 之间的距离为（ ）A. 85B. 125C. 4D. 2【答案】C【解析】求得圆的圆心为C （2，1）设点Q （x 、y ）为切线l 上一个动点，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+2，y ﹣4），CP⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣4，3） ∵PQ ⊥CP ，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •CP⃗⃗⃗⃗⃗ =﹣4（x+2）+3（y ﹣4）=0 化简得4x ﹣3y+20=0∵直线m ：ax ﹣3y=0与直线l 平行，∴a=4，可得m 方程为4x ﹣3y=0，两条平行线的距离为d=√16+9=4． 故选：C第Ⅱ卷（共60分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9. 若点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)三点共线，则a 的值等于______.【答案】4【解析】解：因为若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线则⇒AB →=λAC→⇔(a −2，−2)//(−2,2)⇔2(a −2)−4=0⇔a =410. 圆(x−3)2+(y−3)2=9上到直线3x+4y−11=0的距离等于1的点有_______个.【答案】3【解析】试题分析：(x−3)2+(y−3)2=9是一个以为圆心，为半径的圆．圆心到3x+4y−11=0的距离为，所以作与直线3x+4y−11=0距离为的直线，会发现这样的直线有两条（一条在直线的上方，一条在直线的下方），上面的那条直线与圆有两个交点，下面的与圆有一个交点，所以圆上共有三个点与直线距离为．考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式．11. 一个圆锥的母线为20cm，母线与轴的夹角为300，则圆锥的高为_______cm.【答案】10√3【解析】由题设条件可知，在直角三角形中，=10√3．圆锥的高：h=20cos30°=20×2故答案为：10√3．12. 若直线与平面α相交于点O，A,B∈l，C,D∈α，且AC//BD，则O,C,D三点的位置关系是_______.【答案】在同一条直线上【解析】O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．证明如下：如图所示，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，∵A∈β，B∈β，A∈l，B∈l，∴l⊂β，∵l∩α=O，∴O∈α，O∈β，∴O=α∩β．∵C，D∈α，∴α∩β=CD，∴O∈直线CD．∴O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．故答案为在同一条直线上．13. 三棱锥P−ABC中，D,E分别为PB,PC的中点，记三棱锥D−ABE的体积为V1，P−ABC的体积为V2，则V1:V2=_________.【答案】1:4考点：三棱锥体积14. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，给出以下四个结论：①D1C//平面A1ABB1；②A1D1与平面BCD1相交；③AD⊥平面D1DB；④平面BCD1⊥平面A1ABB1，其中正确结论的序号是_______.【答案】①④【解析】对于①，由于平面A1ABB1∥平面CDC1D1，而D1C⊂平面CDC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面A1ABB1正确；对于②，由于A1D1∥BC，所以A1D1⊂平面BCD1，错误；对于③，AD与BD显然不垂直，错误；对于④，容易证明BC⊥平面A1ABB1，而BC⊂平面BCD1，故平面BCD1⊥平面A1ABB1．正确．故答案为：①④．点睛：在正方体中判断线面关系要充分利用好正方体的特殊性质，比如BD⊥平面BD D1B1，四面体C1BD A1为正四面体，A1C⊥平面BD A1等.三、解答题（本大题共5题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知方程x2+y2−2x−4y+m=0.（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y−4=0相交于M,N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值.【答案】(1)m<5；(2)85.【解析】解：（1）方程x2+y2−2x−4y+m=0变形为(x−1)2+(y−2)2=5−m∵此方程表示圆∴5−m>0∴m<5（2）由{x2+y2−2x−4y+m=0x+2y−4=0消去x得5y2−16y+m+8=0设M(x1,y1)，N(x2,y2)∴{y1+y2=165 y1y2=m+85∵OM⊥ON∴又∵x1=4−2y1，x2=4−2y2∴(4−2y1)(4−2y2)+y1y2=0∴16−8(y1+y2)+5y1y2=0∴16−8×165+5×m+85=0∴m=8516. 已知直线经过直线3x+4y−2=0与直线2x+y+2=0的交点P .（1）若直线垂直于x−2y−1=0，求直线的方程；（2）若直线与经过两点A(8,−6)，B(2,2)的直线平行，求直线的方程.【答案】(1)2x+y+2=0；(2)4x+3y+2=0.【解析】试题分析:（1）易得点P的坐标为(−2,2)，利用垂直关系得到斜率即可求出直线的方程；（2）利用平行关系得到斜率即可求出直线的方程.试题解析：由{3x+4y−2=0 2x+y+2=0，解得{x=−2y=2∴点P的坐标为(−2,2).（1）∵直线x−2y−1=0的斜率为12，∴与该直线垂直的直线的斜率为−2，∴直线的方程为y−2=−2(x+2)，即2x+y+2=0.（2）直线AB的斜率为k AB=−6−28−2=−43，∵直线与直线AB平行，∴k AB=k l=−43，∴直线的方程为y−2=−43(x+2)，即4x+3y+2=0.17. 如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C1=B1C1，AC1⊥A1B，M,N分别是A1B1,AB的中点，求证：（1）C1M⊥平面A1ABB1；（2）A1B⊥AM；（3）平面AMC1//平面NB1C.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】试题分析: 1）根据线面垂直的判定定理即可证明C1M⊥平面AA1B1B；（2）根据线面垂直的性质先证明A1B⊥平面AC1M，即可证明A1B⊥AM；（3）根据面面平行的判定定理即可证明平面AC1M∥平面B1NC．试题解析：（1）证法一：由直三棱柱ABC−A1B1C1得AA1⊥平面A1B1C1，∵C1M⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1M，又∵A1C1=B1C1，M为A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，又∵AA1∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面A1ABB1.证法二：由直三棱柱ABC−A1B1C1得平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，且平面A1ABB1∩平面A1B1C1=A1B1，∵A1C1=B1C1，M为A1B1的中点，111又∵C1M⊂平面A1B1C1，∴C1M⊥平面A1ABB1.（2）由（1）知，C1M⊥平面A1ABB1∵A1B⊂平面A1ABB1，∴C1M⊥A1B，∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AMC1，∵AM⊂平面AMC1，∴A1B⊥AM.（3）证法一：由直三棱柱ABC−A1B1C1知，四边形A1ABB1是矩形，∵M,N分别是A1B1,AB的中点，∴AN//B1M，且AN=B1M，∴四边形AMB1N是平行四边形，∴AM//B1N，∵AM⊄平面NB1C，B1N⊂平面NB1C，∴AM//平面NB1C，连接MN，则四边形BB1MN是矩形，∴BB1//MN，且BB1=MN，又∵BB1//CC1，BB1=CC1，∴MN//CC1，且MN=CC1，∴四边形MNCC1是矩形，1∵C1M⊄平面NB1C，CN⊂平面NB1C，∴C1M//平面NB1C又∵AM∩C1M=M,CN∩B1N=N，∴平面AMC1//平面NB1C.证法二：由（2）知，A1B⊥平面AMC1，∵AM⊂平面AMC1，∴A1B⊥AM，∵AM//NB1，∴A1B⊥NB1，∵CN⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴CN⊥A1B，∵NB1∩CN=N，∴A1B⊥平面NB1C，∴平面AMC1//平面NB1C.点睛: 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18. 已知O为坐标原点，设动点M(s,t).（1）当s=0,t=4√3时，若过点M的直线与圆C：x2+y2−8x=0相切，求直线的方程；（2）当s=2,t>0时，求以OM为直径且被直线3x−4y−5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）当s=2,t>0时，设A(1,0)，过点A作OM的垂线，与以OM为直径的圆交于点N，垂足为H，试问：线段ON的长是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由.【答案】(1)x=0或x+√3y−12=0；(2)(x−1)2+(t−2)2=5；(3)ON的长为定值为√2.【解析】试题分析: （1）圆C：x2+y2﹣8x=0化为（x﹣4）2+y2=16，得到圆心C（4，0），半径r=4，分类讨论即可求直线l的方程；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）由于ΔOHN∽ΔONM，∴ON2=OH⋅OM，直线NH的方程为2x−ty+2=0，，OM=√4+t2把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，求出H=√4+t2从而得到线段ON的长为定值．试题解析：(1)解：依题意M(0,4√3)，将圆C：x2+y2−8x=0化为标准方程为：(x−4)2+y2=16，则圆心C(4,0)，半径为r=4，∵直线过点M ，∴当斜率不存在时，直线的方程为x =0，符合题意；当斜率存在时，设过点M 的直线的方程为y =kx +4√3，即kx −y +4√3=0. ∵直线与圆C 相切，∴圆心C 到直线的距离为4，即d =√3|√1+k 2=4，解得k =−√33， ∴y =−√33x +4√3，即x +√3y −12=0，综上可得，所求直线的方程为x =0或x +√3y −12=0.（2）依题意得，M(2,t)（t >0），∴以OM 为直径的圆圆心为(1,t2)，半径为r =√1+t 24，∴圆的方程为(x −1)2+(y −t 2)2=t 24+1，∵以OM 为直径的圆被直线3x −4y −5=0截得的弦长为2，∴圆心到直线3x −4y −5=0的距离为d =√r 2−1=√(t 24+1)−1=t2，∴√32+(−4)2=t2(t >0)，解得t =4.∴圆心为(1,2)，半径为r =√5，∴所求圆的方程为(x −1)2+(t −2)2=5.（3）ON 的长为定值.理由如下：依题意得M(2,t)（t >0）由于ΔOHN ∽ΔONM ，则OHON =ONOM ，即ON 2=OH ⋅OM ，∵直线NH的方程为y=−2(x−1)，即2x−ty+2=0t，∴由点到直线的距离公式得OH=√4+t2又由两点间的距离公式得OM=√4+t2，∴ON2=⋅√4+t2=2，√4+t2∴ON=√2，∴ON的长为定值为√2.19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E,F分别是AB,PD的中点，PA=AD.（1）求证：AF//平面PEC；（2）求二面角P−CD−B的大小；（3）若AD=2,CD=2√2，求直线PE与平面PCD所成角的正弦值..【答案】(1)证明见解析；(2)45°；(3)√33【解析】试题分析:（1）取PC的中点G，要证AF//平面PEC，即证AF//EG，构造平行四边形即可；（2）根据题意易知∠PDA为二面角P−CD−B的平面角，求出即可；（3）易证EG⊥平面PCD，∠EPG为直线PE与平面PCD所成的角，即可求出直线PE与平面PCD所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：取PC的中点G，连接EG,FG，∵F是PD的中点，∴FG//DC，且FG=1DC，2∵四边形ABCD是矩形，∴AB//DC，且AB=DC，∴FG//AB，且FG=1AB，2又∵E是AB的中点，∴AE=1AB，2∴FG//AE，且FG=AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF//EG，∵AF⊄平面PEC，GE⊂平面PEC∴AF//平面PEC.（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD ∴PA⊥CD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∵PA∩AD=A，PA、AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又∵PD⊂平面PAD，CD⊥PD∴∠PDA为二面角P−CD−B的平面角，∵PA=AD，∴ΔPAD为等腰直角三角形∴∠PDA=450，即二面角P−CD−B的大小为450. （3）由（2）知，ΔPAD为等腰直角三角形∵F是斜边PD的中点，∴AF⊥PD，由（1）知，AF//EG，∴EG⊥PD，又由（2）知，CD⊥平面PAD，AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，∴CD⊥EG，又∵PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD，∴EG⊥平面PCD，∴PG是直线PE在平面PCD上的射影，∴∠EPG为直线PE与平面PCD所成的角，在RtΔPAE中，PA=2，AE=12CD=12AB=12×2√2=√2，∴PE=√AE2+PA2=√(√2)2+22=√6，在等腰直角ΔPAD中，PD=√22+22=2√2∵F是PD的中点，∴AF=12PD=√2，∴EG=√2∴sin∠EPG=EGPE =√2√6=√33，即直线PE与平面PCD所成角的正弦值为√33.点睛:求直线与平面所成角问题主要有两个方法:①定义法,在斜线上取一点,过此点引平面的垂线,连接垂足与斜足得到射影,斜线与射影所夹较小角即线面角;②等积法:直接求得斜线上一点到平面的距离，其与斜线段长的比值即线面角的正弦值，关键求点到平面距离，往往利用等积法来求.。

大一线性代数期末试题及答案,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案:1、 考前请将密封线内填写清楚;、 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上); 考试形式:开(闭)卷;单项选择题(每小题2分,共40分)。

设矩阵22, B 23, C 32A ⨯⨯⨯为矩阵为矩阵为矩阵,则下列矩阵运算无意义的就是【 】A 、 BACB 、 ABC C 、 BCAD 、 CAB、设n 阶方阵A 满足A 2＋E =0,其中E 就是n 阶单位矩阵,则必有 【 】A 、 矩阵A 不就是实矩阵B 、 A=-EC 、 A=ED 、 det(A)=1、设A 为n 阶方阵,且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【 】A 、 2－B 、 ()n2－ C 、 n2－ D 、 1、设A 为3阶方阵,且行列式det(A)=0,则在A 的行向量组中 【 】A 、必存在一个行向量为零向量B 、必存在两个行向量,其对应分量成比例C 、 存在一个行向量,它就是其它两个行向量的线性组合D 、 任意一个行向量都就是其它两个行向量的线性组合设向量组321,,a a a 线性无关,则下列向量组中线性无关的就是 【 】A.133221,,a a a a a a --- B 、 212132,,a a a a - C 、 32322,2,a a a a + D 、 1321,,a a a a －、向量组(I): )3(,,1≥m a a m Λ线性无关的充分必要条件就是 【 】A 、(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B 、(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C 、(I)中任意两个向量线性无关D 、存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k ΛΛ使7.设a 为n m ⨯矩阵,则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件就是【 】A .A 的行向量组线性相关B 、 A 的列向量组线性相关C 、 A 的行向量组线性无关D 、 A 的列向量组线性无关 8、设i a 、i b 均为非零常数(i =1,2,3),且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量,则必有 【 】 A 、03221= b b a a B 、02121≠ b b a a C 、 332211b a b ab a == D 、 02131= b b a a9、方程组12312312321 21 3 321x x x x x x x x x a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=+⎩有解的充分必要的条件就是【 】A 、 a=-3B 、 a=-2C 、 a=3D 、 a=110、 设η1,η2,η3就是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系,则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的就是 【 】A 、 可由η1,η2,η3线性表示的向量组B 、 与η1,η2,η3等秩的向量组C 、η1－η2,η2－η3,η3－η1D 、 η1,η1-η3,η1-η2-η3 11、 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0,则【 】A 、 方程组有无穷多解B 、 方程组可能无解,也可能有无穷多解C 、 方程组有唯一解或无穷多解D 、 方程组无解12、n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件就是A 有n 个 【 】A 、互不相同的特征值B 、互不相同的特征向量C 、线性无关的特征向量D 、两两正交的特征向量13、 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的就是 【 】A 、 }0|),,,{(2121=a a a a a n ΛB 、 }0|),,,{(121∑==ni in aa a a ΛC 、 },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n ΛΛ=∈D 、 }1|),,,{(121∑==n i inaa a a Λ14、若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 201B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】A 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1 B 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1- C 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0 D 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-0 1- 15、若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围就是 【 】 A.a < 8 B 、 a ＞4 C.a ＜-4 D.-4 ＜a ＜4 二、填空题(每小题2分,共20分)。

2017-2018-1线性代数参考答案及评分标准一（每小题3分，共15分）1、12 2 、6 3 、72 4、2 5、-5二（每小题3分，共15分）1 B 2C 3 C 4D 5 D三（8分）3111666613111311=1131113111131113D =……………………………………（3） =11111311611311113…………………………………………………………………（2） 11110200=600200002=48 (3)四（10分）由AB A B =+，得()A E B A -=…………………………………………（1分）||0,A E A E -≠-可逆 ………………………………………………（1分）()120220,203213011010A E A ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭……………………………………（1分） 120220011010001213⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭…………………………………（3分） 100226010203001223-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭………………………………（3分）所以 226203213B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭…………………………………………………（1分） 五（15分）()()11114111λλλλλ=-+…………………………………………………… （5分）4λ≠且1λ≠-时，有唯一解…………………………………………………（2分）1λ=-时()11141114,1111023811240005A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3),(2)(=<=b A R A R ，方程组无解………………………………………（3分）4λ=时，()114411441030,1411601140114112400000000A b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭3),(1)(<==b A R A R 方程组有无穷多解，令3x c =得方程组通解为123331410x x x c x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………（5分）六（10分）()12341321132111010222,,,1210011125310111a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭1012011100000000--⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………（6分）向量组秩为2，………………………………………………………………………………（1分） 一个最大无关组为：12,a a ………………………………………………………………… （1分）312a a a =-+……………………………………………………………………………………（1分） 4122a a a =-+…………………………………………………………………………（1分）七（10分）证明：设存在数1x ，2x ，3x ，使1123223313(2-3)(3+)(4)0x x x ααααααα++++=…………………………………（2分） 1211221233()(23)(34)0x x x x x x x ααα++++-++=………………………………（2分）由1α，2α，3α线性无关知13121230230340x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪-++=⎩， 因101230230314=≠-，故齐次线性方程组只有零解，……………………（4分）从而1x ，2x ，3x 全为零12323ααα+-，233+αα，134αα+是线性无关。