量子力学基本原理

量⼦⼒学基本原理

量⼦⼒学是到现在为⽌⼈们能够给出的最好的理论，然⽽不应当认为它将永远的存在下去。假如我们要重新引⼊决定论的观点，那就应当以某种⽅式付出代价，这种⽅式是什么，现在还⽆法推测。——狄拉克

狄拉克23岁成为量⼦⼒学创始⼈之⼀

本⽂主要从量⼦论起源、能量⼦假设、光电效应、康普顿散射、玻尔量⼦论、德布罗意物质波、概率波函数、量⼦叠加态原理、不确定性原理、薛定谔⽅程等⼗⼤概念理解量⼦⼒学基本原理，见证⼆⼗世纪真正的神话。

量⼦⼒学其实描述的是物质的⾏为，特别是发⽣在原⼦尺度范围内的事件。在极⼩尺度下事物的⾏为与我们有着直接经验的任何事物都不相同。它们既不像波动，⼜不像粒⼦，也不像云雾，或悬挂在弹簧上的重物，总之不像我们曾经见过的任何东西。

费曼

1、量⼦论起源

量⼦论的起源来⾃⼀个⼤家熟悉的现象，这⼀现象并不属于原⼦物理学的核⼼部分。任何⼀块物质在被加热时都会发光，并在⾼温度下达到红热和⽩热，发光的亮度与材料的表⾯关系不⼤，⽽对于⿊体，只与温度有关。因此，⿊体在髙温下发出的辐射作为物理学研究的适当对象，被认为应该可以根据已知的辐射和热学定律找到⼀个简单的解释。但是物理学家瑞利和⾦斯在⼗九世纪末的努⼒却以失败告终，揭⽰了⿊体辐射问题的严重性。

瑞利和⾦斯

⼀切⼈类的直接经验和直觉都只适⽤于宏观物体。——费曼

2、能量⼦假设

难以置信的是这个公式已经触动了我们描述⾃然的基础，我感到，我可能已经完成了⼀个第⼀流的发现，或许只有⽜顿的发现才能和它相⽐。——普朗克

普朗克⼤胆舍弃了“能量均分定理”，代之以“量⼦假设”——能量只能以分⽴的能量⼦的形式发射或吸收，这在概念上是⼀次⾰命性的突破，以致它不再适合于物理学的传统框架。

频率为v的电磁波和原⼦、分⼦等物质发⽣能量转换时候，能量不能连续变化，只能⼀份⼀份的跳变，且每份“能量⼦”为：

ε=hv=ℏω，其中约化普朗克常数ℏ=h/(2π)

普朗克

普朗克公式

普朗克根据能量的量⼦化，得出⾓频率为ω的电磁振动模式在温度T下的平均能量不再取“能量均分定理”给出的KT，⽽是：E(ω)=ℏω/(e^(ℏω/kT)-1)

利⽤热⼒学和物理统计理论，导出了著名的（描述电磁波能量和⾓频率关系）的普朗克公式：

ρ (ω)=(ℏω³/π²c³)/(e^(ℏω/kT)-1)

3、光电效应

年轻的爱因斯坦是物理学家中⼀个有⾰命性的天才，他不怕进⼀步背离旧的观念。——海森堡光和其他物质发⽣相互作⽤时，基元过程通常表现为光⼦—电⼦作⽤，作⽤电⼦的能量与光的强度⽆关，⽽只与光频率有关。因此，爱因斯坦假设，光本⾝是由穿过空间的能量⼦组成的，⼀个光量⼦的能量应当等于光的频率乘以普朗克常数：E=hv

爱因斯坦

光电效应中电⼦的动能由逸出功W（由⾦属性质决定）和⼊射光的频率v所决定，⽽与光的强度⽆关：1/2mv²=hv-W

普朗克和爱因斯坦

除了光电效应外，爱因斯坦关于“量⼦假设”的另⼀个应⽤是固体的⽐热。从传统理论推导出来的固体⽐热值与⾼温时的观测记录相符，但在低温时却不相符。于是，爱因斯坦将量⼦假设运⽤到固体中原⼦的弹性振动上，从⽽解释了这种现象。

4、康普顿散射

最初关于散射光⼲涉的实验中，散射主要以下列⽅式解释：⼊射光波使得处于光束中的⼀个电⼦以光波的频率振动，然后振荡的电⼦发出⼀个同样频率的球⾯波，从⽽产⽣了散射光。

康普顿1923年康普顿在关于X射线的散射实验中发现，散射出来的X射线的频率与⼊射X射线的频率不同。于是，康普顿假设散射过程是光量⼦和电⼦的碰撞，光量⼦在碰撞过程中改变了能量，因为频率乘上普朗克常数是光量⼦的能量（hv），所以频率才发⽣了改变。

通过对散射过程应⽤能量守恒定律：hv+mc²=hv´+E

可以推导出波长变化量：

λ´-λ=h(1-cosθ)/mc²

最后得到康普顿波长：

λ=h/mc²

5、玻尔量⼦论

如果原⼦只能通过分⽴的能量⼦来改变它的能量，这必定意味着原⼦只能处在分⽴的定态之中，⽽最低的定态就是原⼦的正常态。——玻尔

早先的卢瑟福原⼦模型并不能解释原⼦具有的最突出的特性，即原⼦的巨⼤稳定性，按照⽜顿的⼒学定律，从来没有⼀个⾏星系统在它和另⼀个这样的系统碰撞以后能够恢复它原来的形态。但是对于⼀个碳原⼦，在化学结合过程中的任何⼀次碰撞和相互作⽤之后，都可以始终保持为⼀个碳原⼦。

玻尔

因此，玻尔提出了三⼤初等量⼦理论：

（1）定态

原⼦核外电⼦的能量只能取分⽴值：E1、E2、E3等

（2）定态跃迁

原⼦可以从能量较⾼的定态向较低的定态的跃迁，从⽽决定了频率：v=(E2-E1)/h

（3）⾓动量量⼦化

原⼦核外电⼦⾓动量必须满⾜：J=mℏ

通过量⼦假设在原⼦模型上的应⽤，不仅解释了原⼦的稳定性，⽽且，对原⼦加热受激发后所发射的光谱线也作出了很好的理论解释。

6、德布罗意物质波

提出正确的问题往往等于解决了问题的⼤半。——海森堡

德布罗意根据⼀个光波对应于⼀个运动光量⼦，假设了⼀个运动电⼦对应于某种物质波云。物质波波长为：

λ=h/P

能获得诺贝尔奖被众多科学家当做毕⽣荣耀，多少⼈为之苦⼼孤诣。但在诺奖历史上，偏偏有位通过⼀纸论⽂就得奖的“奇才”——德布罗意。

7、概率波函数

概率波函数代表了两种东西的混合物，⼀部分是事实，⽽另⼀部分是我们对事实的知识。 ——海森堡

概率波函数的概念是⽜顿以来理论物理学中全新的东西。在数学或统计⼒学中，概率意味着我们对实际状况认识程度的陈述。 然⽽，玻尔、肯纳德、玻恩认为，概率波意味着对某些事情的倾向，它是亚⾥⼠多德关于“潜能”的哲学槪念的定量表述，是⼀种抽象的数学量，⼀种在⽆限维希尔伯特空间中的波。概率波引⼊了某种介于实际事件和事件观念之间的东西，是⼀种介于可能性和实在性之间的新奇的物理实在。

玻恩

通过电⼦的双缝⼲涉实验发现，探测屏检测到电⼦的概率P(x)，并不是简单的两缝单独开启时的概率P1(x)、P2(x)之和，⽽是存在互相影响的⼲涉项：P(x)=P1(x)+P2(x)+⼲涉项

⽽对于经典波函数存在⼲涉项是很⾃然的，总波幅ψ(x)是两缝的波幅之和：

ψ(x)=ψ1(x)+ψ2(x)

于是可以假设概率波函数为：

ψ(x,t)=Ae^i(kx-ωt)

在任意位置，概率波函数绝对值的平⽅是粒⼦在该位置的概率，动量则与波函数的波数k有关。

8、量⼦叠加态原理

量⼦态叠加原理是“态的叠加性”和“波函数完全描述⼀个微观系统的状态”两个概念的概括，表明了整个量⼦系统的状态空间必须是线性空间。

ψ=c1ψ1+c2ψ2

玻尔、海森堡、泡利

因为概率波是德布罗意物质波，所以量⼦态叠加原理与经典波的线性叠加有本质不同。例如，同样的波函数叠加仍然描述同⼀个系统、测量会导致波包坍缩、每次测量得到的⼒学量数值都是本征值等等。

9、不确定性原理

海森堡于1927年给出了不确定性原理的论述。根据他当时的表述，测量这动作不可避免的搅扰了被测量粒⼦的运动状态，因此产⽣不确定性。后来肯纳德指出，位置的不确定性与动量的不确定性是粒⼦的秉性，它们共同遵守某极限关系式，与测量动作⽆关。

海森堡

位置的不确定性ΔX与动量的不确定性ΔP遵守不等式：ΔXΔP≥ℏ/2

关于动量的概率波函数Φ(p)与位置的波函数ψ(x)构成了傅⾥叶变换对，标准差σ可以定量地描述位置与动量的不确定性。因为傅⾥叶变换对的频域函数与空域函数不能同时收缩或扩张，所以必然有误差宽度。数学上已经证明了傅⾥叶变换的空域宽度Δx和频域宽度Δy的乘积有⼀个下限：ΔxΔy≥1/(4π)

因此可以得到动量和位置的关系式：ΔXΔP≥h/(4π)=ℏ/2

可见不确定性原理根源于粒⼦的波粒⼆象性，是⼀种内禀属性，蕴含着相当深刻的意义。

10、薛定谔⽅程

薛定谔⽅程是量⼦⼒学最基本的⽅程，其地位与⽜顿⽅程在经典⼒学中的地位相当。它是量⼦⼒学的⼀个基本假定，⽆法从理论上证明，它的正确性也只能从实验检验。

所谓理想实验就是所有的初始条件和最终条件都完全确定的实验。——费曼

薛定谔

当概率波函数ψ(x,t)确定以后，微观粒⼦的各种可能的测量概率都完全确定，下⼀个核⼼问题就是解决量⼦态怎样随时间变化及各种情况下如何求得概率波函数。薛定谔对量⼦实验进⾏理论分析主要分三个步骤：

（1）将初始实验状况转述成⼀个概率波函数。

（2）在时间过程中追踪概率波函数的改变。

（观测本⾝不连续地改变了波函数，需要从所有可能的事件中选出了实际发⽣的事件）

（3）系统的测量结果可以通过概率波函数推算出来。

在1626年，薛定谔终于得出该⽅程，揭开了量⼦世界的基本规律：

量⼦论并不包含真正的主观特征，它并不引进物理学家的精神作为量⼦事件的⼀部分。量⼦论的出发点只是将世界区分为“研究对象”和世界的其余部分。——海森堡

海森堡

综上所述，量⼦⼒学引⼈以⽆限遐想，同样也引来众多⾮议，尤其是近年来，“貌似”不确定性原理的⼀种常见的解释被实验证伪，但是正如当年“不确定性原理”创⽴之时，海森堡⾃⼰所说，科学是从信仰开始的，或者应该说是从幻想开始的。这在很⼤程度上使得我们坚信，能够确定地描述这个世界，⽽丝毫不⽤牵涉到我们⾃⼰。

每个时代都有其神话，并称之为⾄⾼的真理。

玻尔和爱因斯坦量⼦⼒学与相对论是20世纪物理学最重要的发展，构筑了近代物理学的理论基础。尽管量⼦论的实质尚未明确，与相对论彼此冲突，然⽽，量⼦⼒学已然辉煌，风采依旧。