第5章教案

数学史话在一切理论成就中，未必再有什么象１７世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了．如果在某个地方我们看到了人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里．―――恩格斯积分的起源中国古代数学家对面积、体积问题进行过大量研究，其中一些工作可以被看作积分思想的萌芽．公元263年，魏晋间杰出数学家刘徽为《九章算术》作注，在关于面积、体积的多处注文中体现了初步的积分思想．14世纪20年代至40年代，牛津大学默顿学院（Merton College ）的一批逻辑学家和自然哲学家在研究所谓“形态幅度”时，得到一个重要结果：如果一个物体在给定的一段时间内进行匀加速运动，那么它经过的总距离s 等于它在这段时间内以初速度v 0和末速度v t 的平均速度（既在这一段时间的中点的瞬时速度）进行匀速运动所经过的距离．14世纪中叶，法国学者奥而斯姆（N.Oresme,约1323-1382）应用他的均匀变化率概念和图解表示法给出了上述例题的几何证明．他的证明虽然在近代意义下不太严格，但基本思想与后来的定积分相当接近．17世纪上半叶，欧洲一些数学家继承并发展了历史上的“不可分量”方法以处理面积、体积问题，成为积分方法的直接先导．意大利数学家卡瓦列里的《用新的方法推进连续体的不可分量几何学》（1635）标志着求积方法的一个重要进展．在这部著作中，卡瓦列里提出了一个较为一般的求积方法．大约在1637年，法国数学家费马（P.de Fermat,1601-1665）完成了一篇手稿《求最大值和最小值的方法》．在积分概念与方法的早期发展中，这一工作占有极其重要的地位．费马不仅成功地克服了卡瓦列里不可分量方法的致命弱点，而且几乎采用了近代定积分的全部过程．1666年10月，牛顿完成了他在微积分学方面的开创性论文《流数短论》，在这篇短文中，牛顿不仅讨论了如何借助反微分来解决积分问题，即微积分基本定理，而且明确指出反微分“总能做出可以解决的一切问题”．与牛顿的积分概念不同，莱布尼兹的积分的曲线下面积的分割求和或者说是微分的无穷和，也就是今天所说的定积分．明确地将积分dx y ba⎰等同于高为y 、宽为dx 的一些无穷小矩形之和．1686年莱布尼兹发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，这篇论文论述了积分与微分或切线问题的互逆关系，正是在这篇论文中，积分号“⎰”第一次出现于印刷出版物上．后来获得普遍的接受并沿用至今．定积分是组成积分学的另一基本部分，它与不定积分在概念上有根本的区别又有密切的联系．定积分在工程和科学技术领域内有着广泛的应用．本章将从实际例题出发引出定积分概念，然后讨论定积分的性质、计算方法及定积分在几何、物理等方面的应用．5.1 定积分的概念与性质5.1.1 两个实例 1.曲边梯形的面积在直角坐标系下，由闭区间],[b a 上的连续曲 线)(x f y =（)0)(≥x f ，直线0,===y b x a x 和 （即x 轴）所围成的平面图形AabB 叫作曲边梯形 （如图5-1）．在x 轴上区间],[b a 内的线段叫作曲 边梯形的底．下面讨论曲边梯形面积的计算问题．在初等数学中，我们知道矩形面积＝底⨯高，将曲边梯形和矩形作比较，区别在于：矩形的四边是直的，而曲边梯形有一边是曲的．这样就导致曲边梯形的高)(x f 是随x 的变化而变化的，计算其面积就有难度．但由于曲线)(x f y =是连续的，所以，当点x 在区间],[b a 上变化很小时，则相应的高)(x f 也就变化不大．基于这种想法，可以用一组垂直于x 轴的直线将曲边梯形AabB 分割成若干个小 曲边梯形，然后对每一个小曲边梯形都作一个相应的 小矩形，用小矩形的面积来代替小曲边梯形的面积． 这样用这些矩形的面积和就可以近似地代替曲边梯形AabB 的面积．显然，分割得越细，近似程度就越好，当这种分割无限加细，即把区间 ],[b a 无限细分，使 每个小区间长度趋于零，则所有小矩形的面积之和的 极限就是曲边梯形AabB 的面积．根据以上分析，我们可按如下步骤计算曲边梯形 图5—2的面积，如图5-2所示（1）分割：任取分点b x x x x x x x a n n i i =<<<<<<<<=--11210 把区间],[b a 分成n 个小区间],[,],[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ．小区间段的长度1--=∆i i i x x x ),,2,1(n i =．图５－１图５－２过每个分点)1,,2,1(-=n i x i 作x 轴的垂线，把曲边梯形AabB 分成n 个小曲边梯形，每个小曲边梯形的面积记为i S ∆),,2,1(n i =．（2）近似代替：在每个小区间),2,1](,[1n i x x i i =-内任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，以)(i f ξ为高， i x ∆为底作小矩形，用此小矩形的面积来近似代替小曲边梯形的面积i s ∆，即),2,1()(n i x f S i i i =∆≈∆ξ．（3）求和：把这n 个小矩形的面积加起来，就得到曲边梯形的面积S 的近似值，即n n x f x f x f s ∆++∆+∆≈)()()(2211ξξξ记为 ∑=∆≈ni i i x f S 1)(ξ（4）取极限：若用}max{i x x ∆=∆表示所有小区间长度的最大者，当0→∆x 时，和式∑=∆≈ni i i x f S 1)(ξ的极限就是曲边梯形的面积，即i ni i x x f S ∆=∑=→∆)(lim 1ξ可见曲边梯形的面积是一个和式的极限． 2.变速直线运动的路程设一物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间t 的连续函数，求在时间间隔],[21T T 上物体所经过的路程s ．我们知道，对于匀速直线运动，有公式：路程＝速度⨯时间．现在速度不是常量，因此，不能直接使用这个公式计算路程．然而物体运动的速度变化是连续的，在很短的时间内，速度变化很小，可近似于匀速．因此，完全可以用类似于求曲边梯形面积的方法来计算路程s ．（1）分割：任取分点b t t t t t t t a n n i i =<<<<<<<<=--11210 把区间],[21T T 分成n 个小时间段],[,],[,],[],,[112110n n i i t t t t t t t t -- ．第i 个小区间段的长度1--=∆i i i t t t ),,2,1(n i =．物体在该时间段内经过的路程记为i S ∆),,2,1(n i =．（2）近似代替：在每个小时间段],[1i i t t -上任取一时刻)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，并以 i ξ时刻的速度代替时间段],[1i i t t -上的各时刻的速度)(t v ，得到在时间i t ∆内经过的路程i S ∆的近似值，即),2,1()(n i t v S i i i =∆≈∆ξ（3）求和：把这n 个小时间段经过的路程相加，就得到变速直线运动路程s 的近似值，即n n t v t v t v S ∆++∆+∆≈)()()(2211ξξξ记为 ∑=∆≈ni iitv S 1)(ξ.（4）取极限：若用}max{i t t ∆=∆表示所有小区间长度的最大者，当0→∆t 时，和式∑=∆≈ni iitv S 1)(ξ的极限就是曲边梯形的面积，即ini it t v S ∆=∑=→∆)(lim1ξ可见变速直线运动的路程也一个和式的极限．5.1.2 定积分定义定义 设函数)(x f 为区间],[b a 上有的有界函数．任意取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210将区间],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -，其长度记为1--=∆i i i x x x ，),2,1(n i =．在每个小区间),2,1](,[1n i x x i i =-上，任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，得相应的函数值)(i f ξ，作乘积),2,1(,)(n i x f i i =∆ξ，把所有这些乘积加起来，得和式i ni i n x f S ∆=∑=)(1ξ,记}max{i x x ∆=∆，当0→∆x 时，如果上述和式n s 的极限存在，则称函数)(x f 在区间 ],[b a 上可积，并将此极限值称为函数)(x f 在],[b a 上的定积分．记作⎰ba dx x f )(，即∑⎰=→∆∆=ni i i bax x f dx x f 10)(lim )(ξ．其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 叫做积分变量，],[b a 为积分区间，a 为积分下限，b 为积分上限．符号⎰ba dx x f )(读作函数)(x f 从a 到b 的定积分．根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分： （1）曲边梯形的面积S 是曲边函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，即⎰=badx x f S )(；（2）变速直线运动的路程S 是速度函数)(t v 在时间间隔],[21T T 上的定积分，即⎰=12)(T T dt t v S .关于定积分的定义，作以下几点说明：（1）定积分值是一个常数，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的符号无关，即⎰⎰=babadt t f dx x f )()(．（2）可以证明，闭区间上连续函数或只有有限个第一类间断点的函数是可积的．（3）该定义是在积分下限a 小于积分上限b 的情况下给出的， 如果b a >时，规定：=⎰badx x f )(⎰-abdx x f )(⎰=aadx x f 0)(5.1.3 定积分的几何意义 1.当0)(≥x f 时，定积分⎰badx x f )(在几何上表示曲线)(x f y =与直b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形的面积（图5-1）．2.当0)(<x f 时，定积分⎰badx x f )(在几何上表示曲线)(x f y =与直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形的面积的负值（图5-3）．3.若函数)(x f 在],[b a 上有正有负时，定积分⎰badx x f )( 在几何上表示曲线)(x f y =与直线b x a x ==,及x 轴所围成的各种图形面积的代数和，在x 轴上方的图形面积取正值，在x 轴下方的图形面积取负值（图5-4）．图５－３图５－４5.1.4定积分的基本性质性质1 常数因子可以提到积分号外面来，即⎰=bakdx x kf )(⎰badx x f )(性质2 两个函数的代数和的定积分等于定积分的代数和，即=±⎰badx x g x f )]()([⎰badx x f )(⎰±badx x g )(性质3 如果被积函数k x f =)(（K 为任意常数），则⎰-=baa b k kdx )(特别地，当k =1时a b dx ba-=⎰性质4 （积分对区间的可加性）如果积分区间],[b a 被c 分成两个小区间],[c a 及],[b c ，则=⎰badx x f )(⎰cadx x f )(⎰+bcdx x f )(性质5 若在],[b a 上有)(x f ≤)(x g ，则⎰badx x f )(≤⎰badx x g )(这个性质说明，若比较两定积分的大小，只要比较被积函数的大小即可．性质6 （估值定理）若M 和m 分别是函数)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值，则)(a b m -≤⎰badx x f )(≤)(a b M -性质7 （定积分中值定理）如果)(x f 在区间],[b a 内连续，则在],[b a 内至少存在一点a (ξ≤ξ≤)b ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ它的几何解释是；一条连续曲线)(x f y = 在],[b a 上曲边梯形面积等于以区间],[b a 长度为底，],[b a 中一点ξ的函数值为高的矩形面积，如图5-5所示．利用几何意义说明性质．图5-5【例1】利用定积分的性质，比较⎰213)(ln dx x 与dx x ⎰212)(ln 积分值的大小.解 在区间]2,1[上，x ln 满足不等示，0≤x ln ≤12ln < 因此，3)(ln x ≤2)(ln x ，由定积分的性质5，得⎰213)(ln dx x ≤dx x ⎰212)(ln【例2】估计下列定积分的值： （1）dx x )3(94+⎰（2）dx e x ⎰--112解（1）因为4≤x ≤9，所以2≤x ≤3，从而有 5≤3+x ≤6 由性质6知5(9-4)≤dx x )3(94+⎰≤6(9-4)即25≤dx x )3(94+⎰≤30（2） 首先，求2)(x e x f -=在区间]1,1[-上的最大值和最小值，为此，求22)(x xe x f --='，令0)(='x f ，得驻点0=x ．比较驻点0=x ，区间端点1±=x 的函数值,1)1(,1)0(ef f =±=得最小值,1em =最大值,1=M 由性质6知22112≤≤⎰--dx e ex 小结：定积分的概念和性质5.2牛顿－莱布尼兹公式在上节我们给出了定积分的定义，那么怎样计算定积分呢？因为定积分定义为和式的极限，如果用定义来计算，往往是非常复杂的，有时甚至无法计算．因此，我们必须寻求计算定积分的简单而有效的方法．这就是牛顿－莱布尼兹公式或称微积分的基本公式．5.2.1变上限定积分定义 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，x 为],[b a 上的任意一点，则积分⎰xadt t f )(存在，将⎰xadt t f )(称为变上限定积分，它是上限变量x 的函数．记作)(x φ，即 )(,)()(b x a dt t f x xa≤≤=⎰ϕ．变上限定积分有下面的重要性质．定理1 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则变上限定积分 )(,)()(b x a dt t f x xa≤≤=⎰ϕ在区间],[b a 上可导，并且它的导数等于被积函数，即)(])([)(x f dt t f x xa='='⎰ϕ定理1告诉我们，变上限定积分⎰=xadt t f x )()(ϕ是函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数，这就肯定了连续函数的原函数总是存在的，所以，上述定理也称为原函数存在定理．【例1】求下列函数的导数：（1） dt t x x⎰=Φ02sin )( （2）dt t x x⎰-+=Φ12)1ln()(（3）dt t x x ⎰+=Φ221)( （4）dt tx x x⎰+=Φ32211)(解 （1）根据定理1，得 202sin ]sin [)(x dt t x x='=Φ'⎰（2）根据定理1，得)1ln(])1ln([])1ln([)(21212x dt t dt t x xx+-='+-='+=Φ'⎰⎰--（3）积分上限是2x ，它是x 的函数，所以，变上限定积分是x 的复合函数，由复合函数求导法则，得42220212)()(1]1[)(2x x x x dt t x x +='⋅+='+=Φ'⎰（4）由于积分的上下限都是变量，先把它拆成两个积分之和，然后再求导．)11()(322'+=Φ'⎰dt tx x x6242222113112)11()11()1111(3232x x x xdt t dt tdt tdt t x ax ax aa x+++-='++'+-='+++=⎰⎰⎰⎰5.2.2 牛顿－莱布尼兹公式定理2 如果函数)(x f 在区间],[b a 上的连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的任一原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰证明： 已知)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，而 ⎰=xadt t f x p )()(也是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，故有 c x F x p +=)()( 即 ⎰=xadt t f x p )()(=c x F +)(将a x =代入，得⎰=aadt t f a p )()(=c a F +)(于是有0)(=+c a F即c a F =-)( 所以)()()(a F x F x p -=将b x =代入，得⎰=badt t f b p )()(=c b F +)(将t 改为x ，得⎰badx x f )(=)()(a F b F -上式称为牛顿－莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式．该公式充分表达了定积分与不定积分之间的内在联系，它把定积分的计算问题转化为求原函数问题，从而为定积分计算提供了一个简单而有效的方法．为方便起见，我们把)()(a F b F -记为bax F )(或[]ba x F )(，这样，上述公式就可写成如下形式：)()()()(a F b F x F dx x f b a ba-==⎰【例2】⎰10 xdx 求解21021211021=-==⎰x xdx 【例3】⎰-+11211dx x 求 解 )1arctan(1arctan arctan 1111112--==+--⎰x dx x ＝2)4(4πππ=--【例4】 ⎰102dx xe x 求解10102102222121x x x e dx e dx xe ==⎰⎰ ＝).1(21)(210-=-e e e【例5】 设⎩⎨⎧>≤+=,1,3,1,12)(2x x x x x f 求⎰20.)(dx x f解 利用定积分对区间的可加性，得dx x dx x dx x f ⎰⎰⎰++=1021223)12()(9||)(213102=++=x x x小结：莱布尼兹公式．5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 在计算定积分时，如果利用不定积分的基本公式或第一类换元积分法就可以求得被积函数的原函数，则可直接利用牛顿－莱布尼兹公式求得定积分的解．但是，如果用第二类换元积分法或分部积分法求出定积分中被积函数的原函数之后，再利用牛顿－莱布尼兹公式求定积分，这种方法往往是很麻烦的，本节我们来介绍计算定积分的换元积分法与分部积分法． 5.3.1 定积分的换元积分法 先看下面的例题．【例1】 求dx x a a⎰-022 )0(>a ． 解 首先求dx x a ⎰-22，用不定积分换元积分法． 令t a x sin =，则tdt a dx cos =，于是c tt a dt t a tdt a dx x a +=+==-⎰⎰⎰2sin 2)2cos 1(2cos 2222222c x a x a x a +-+=2222arcsin 2 其次应用牛顿－莱布尼兹公式得dx x a a ⎰-022＝202224]2arcsin 2[a x a x a x a a π=-+ 如果在换元的同时，根据所设的代换t a x sin =，相应地改变定积分的上下限：当a x x ==,0时，相应地2,0π==t t ，则不必将t 换回x ，就能求得定积分．即⎰⎰==-2022022cos sin πtdt a t a x dx x a a令 4)2sin 21(222cos 12202202a t t a dt t a πππ=+=+=⎰定理1 如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，设)(t x ϕ=在区间[]βα,上单调且)(t ϕ'在该区间上连续，并满足 （1）b a ==)(,)(βϕαϕ；显然后一种算法要简单，因 考虑：定积分的换元法与不（2）当t 从α变到β时，总有b t a ≤≤)(ϕ，则⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(上式称为定积分的换元公式． 【例2】求dx x x ⎰++4122解 令12+=x t ，则122+=x t ，从而tdt dx t x =-=),1(212当0=x 时，4,1==x t 当时，3=t32233121)3(212)1(2111223131323124=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++⎰⎰⎰t t dt t tdt t t dx x x【例3】求dx e x ⎰+8ln 3ln 1解 令t e x =+1，则)1ln(2-=t x ，则dt t tdx 122-=当3ln =x 时，8ln ,2==x t 当时，3=t⎰⎰⎰-+=-+32232228ln 3ln )111(2121dt t dt t t dx e x＝＝23ln 2]11ln2[32+=+-+t t t 【例４】 证明)(cos sin 220N n xdx xdx n n∈=⎰⎰ππ解 令dt dx t x -=-=则,2π当0=x 时，2;2ππ==x t 时，0=txdx tdt dt t xdx n nnn⎰⎰⎰⎰==--=2020202cos cos ))(2(sin sin πππππ要注意“换元同时换限”以及α不一定小于β．【例５】 设函数)(x f 在区间],[a a -上连续，求证： （1）当)(x f 为偶函数时，有⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(（2）当)(x f 为奇函数时，有⎰-=aadx x f 0)(证明 由定积分对区间的可加性，得⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(对积分⎰-0)(adx x f 作变换,t x -= 当a x -=时，0,==x a t 时，0=t ，则有⎰⎰⎰⎰-=-=--=-0)()()()(aaaadx x f dt t f dt t f dx x f于是⎰⎰⎰+-=-aaaa dx x f dx x f dx x f 0)()()(（1） 当)(x f 为偶函数时，有)()(x f x f =-，则⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(（2）当)(x f 为奇函数时，有)()(x f x f -=-，则⎰-=aadx x f 0)(【例６】 求dx x x xx ⎰-++1142231sin 解 易知42231sin x x xx ++为奇函数，因此 01sin 114223=++⎰-dx x x xx 5.3.2 定积分的分部积分法定理2 设函数)(),(x v x u 在区间],[b a 上有连续导数)(),(x v x u ''，则有⎰⎰'-⋅='babaab dx x u x v x v x u dx x v x u )()()()()()(即⎰⎰-⋅=babaabx du x v x v x u x dv x u )()()()()()(此例可当作公式来应用．【例７】 求dx xe x ⎰1解 设,,dx e dv x u x ==则,,x e v dx du ==dx e xexde dx xe x x xx⎰⎰⎰-==1111＝1110=+-=-e e ee x【例８】 求dx x e⎰1ln解⎰⎰-=e eex xd x x dx x 111ln ln ln1)1(11=--=⋅-=⎰e e dx xx e e【例９】 求dx x x e⎰1ln解⎰⎰⎰-==ee eex d x x x x xd dx x x 1121221ln 21ln 21)21(ln ln＝ee xe dx x x e 112222412112121⎰-=⋅-＝41412122+-e e ＝)1(412+e【例１０】 求dx e x ⎰1解 先用换元法，再用分部积分法．【例１１】 求dx x e x ⎰20sin π解⎰⎰⎰+-=-=20202020cos cos cos sin ππππx xxxxde xe x d e dx x e＝⎰⋅+20cos 1πdx e x x⎰⎰⎰=⋅=110122tt x tde tdt e dx e 则时，当时，当令,11,00..2,,2=======t x t x tdt dx t x t x 101102222tt te e dt e te -=-=⎰2222=+-=e e＝⎰⎰-+=+20202sin sin 1sin 1πππx x x xde xe x d e＝⎰⋅-+202sin 1ππdx e x e x所以22201sin ππe dx x e x+=⎰即)1(21sin 220ππe dx x e x+=⎰ 小结：定积分的换元法与分部积分法．＊5.4 广义积分前面所讲的定积分，积分区间都是有限闭区间，并且被积函数在该积分区间上都是有界函数，这样的定积分称为常义积分．但是在实际问题中，有时还得考虑无限区间上的定积分或无界函数的定积分，因此有必要将定积分概念推广到上述情况，这两类被推广的定积分统称为广义积分．5.4.1 无限区间上的广义积分定义1 如果函数)(x f 在区间),[+∞a 上连续，取,a b >如果极限⎰+∞→bab dx x f )(lim ，存在，则称此极限为函数)(x f 在无限区间),[+∞a 上的广义积分，记为⎰+∞adx x f )(，即⎰⎰+∞+∞→=baab dx x f dx x f )(lim )(这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散．同理，可以定义广义积分⎰⎰∞--∞→=baba dx x f dx x f )(lim )(（ab >）与⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=ccdx x f dx x f dx x f )()()(=⎰-∞→caa dx x f )(lim+⎰+∞→bcb dx x f )(lim可见，求广义积分的基本思路是：先计算常义积分，再取极限． 【例1】 判断广义积分⎰+∞11dx x的敛散性．解+∞=-===+∞→+∞→-+∞→∞+⎰⎰)1(lim 22lim lim 111211b xdx x dx xb b b b b因此，广义积分⎰+∞11dx x发散．【例2】 求dx xe x ⎰∞-0解x aaa x a x de x dx xe dx xe ⎰⎰⎰-∞→-∞→∞-==0lim lim＝dx e xea x a x a ⎰--∞→00(lim＝)(lim 0a x aa eae ---∞→＝)(lim 0aaa e e ae +---∞→＝－1 【例3】 求⎰∞+∞-+dx x 211解 ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+++=+02022111111x dx x dx x 【例4】 证明广义积分⎰+∞11dx xp ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散．证明 当1=p 时，+∞==+∞→+∞⎰bb x dx x11)(ln lim 1当1≠p 时，⎪⎩⎪⎨⎧<∞+>-=-==-+∞→+∞→∞+⎰⎰1,1,11)1(lim 1lim 11111p p p p x dx x dx xbpb bp b p 综上所述，广义积分⎰+∞11dx xp 当1>p 时收敛，当p ≤1时发散． 5.4.2 无界函数的广义积分定义2 如果函数)(x f 在区间],(b a 上连续，且⎰⎰+++=+∞→-∞→b b a a dxx dx x 020211lim 11lim bb a a x x 00arctan lim arctan lim +∞→-∞→+=.2)2(arctan lim arctan lim πππ=+--=+-=+∞→-∞→ba b a∞=+→)(lim x f ax ．取0>ε，如果极限⎰+→+ba dx x f εε)(lim 0存在，则称此极限为函数)(x f 在无限区间],(b a 上的广义积分，记为⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(＝⎰+→+ba dx x f εε)(lim 0这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散．同理，如果函数)(x f 在区间),[b a 上连续，且∞=-→)(lim x f bx ．取0>ε，则称⎰-→+εεb adx x f )(lim 0为)(x f 在区间),[b a 上的广义积分，记为⎰⎰-→+=εεb abadx x f dx x f )(lim )(0如果上述极限存在，则称广义积分⎰badx x f )(收敛；若该极限不存在，则称广义积分⎰badx x f )(发散．若函数)(x f 在区间],[b a 上除去点)(b c a c <<以外连续，且∞=→)(lim x f cx ，则当⎰c a dx x f )(和⎰bcdx x f )(都收敛时，称广义积分⎰badx x f )(收敛，且=⎰badx x f )(⎰cadx x f )(+⎰bcdx x f )(，否则称广义积分⎰ba dx x f )(发散．【例5】 求⎰11dx x解 因为+∞=+→x x 1lim 0，所以它是无界函数的广义积分，则110012lim 1lim 1εεεε⎰⎰+→→++==x dx xdx x ＝2)1(lim 20=-+→εε【例6】 讨论积分⎰-1121dx x 的敛散性．解 因为,1lim2+∞=→x x 所以它是无界函数的广义积分，则所以广义积分⎰-1121dx x 发散．小结：广义积分的定义和运算．⎰⎰⎰+=--102012112111dxx dx x dx x +∞=--=-==+++→→+→⎰⎰)11(lim 1lim1lim 1010102012εεεεεεx dx x dx x 而5.5 定积分的应用本节将讨论定积分在几何与物理方面的一些应用．在讨论前，我们先介绍一下利用定积分解决实际问题的微元法．5.5.1 定积分的微元法在5.1中利用定积分表达曲边梯形面积时，我们采用了分割、近似代替、求和、取极限这样四步，建立了所求面积的定积分．其中，关键的一步是：在任意小区间],[1i i x x - 上求出窄曲边梯形面积i S ∆的近似值：),2,1()(n i x f S i i i =∆≈∆ξ，然后求和取极限，就得到所求面积S ，并表示为定积分=∆=∑=→∆ni i i x x f S 1)(lim ξ⎰badx x f )(由于S 的值与对应区间],[b a 的分法及i ξ的取法无关，因此将任意小区间],[1i i x x -简单地记为],[dx x x +，区间长度i x ∆则为dx ，若取i x ξ=，则以点x 出的函数值f(x)为高、dx 为底的矩形面积f(x)dx 为dx 段所对应的窄曲边梯形的面积S ∆的近似值，即 dx x f S )(≈∆我们将上式右端dx x f )(称为面积S 的微元（或面积元素）,记作dS ．于是⎰⎰∑===b abadS dx x f dx x f S )()(lim可见面积S 就是面积微元dS 在区间],[b a 上的积分．这种找出微元，并求它在相应区间 上的积分的方法称为微元法．一般地，需要建立某量F 的积分表达式的步骤是： （1）确定积分变量x 及积分区间];,[b a(2)在],[b a 内任取一微小区间],[dx x x +， 找出部分量F ∆的近似值，即量F 的微元dF ；(3)求dF 在区间],[b a 上的积分，即得所求量F 的精确值． 下面我们用微元法讨论定积分在实际问题中的一些应用．5.5.2 定积分在几何中的应用 1.平面图形的面积（1）求由曲线)(x f y =与直线b x a x ==,及x 轴所围成的平面图形的面积A ．图5-6由上一节知道：如果)(x f ≥0，则A 的微元是dx x f dA )(=如果)(x f 在],[b a 上不是非负的，那么它的面积A 的微元应是以)(x f 为高、dx 为底的矩形面积，即dx x f dA )(=于是，不论)(x f 是否为非负的，总有⎰=badx x f A )(【例1】 求由曲线1=xy 与直线3,1==x x 及x 轴围成的平面图形的面积A ．解 如图5-7． 3ln ln 13131===⎰x dx xA（2）求由两条曲线)(1x f y =、)(2x f y =与两条直线b x a x ==,所围成的平面图形的面积A ．如图5-8，如果)(1x f ≥)(2x f ，则面积A 的微元dA 是dx x f x f dA )]()([21-=如果)()(21x f x f <，则面积A 的微元dA 是 dx x f x f dA )()(21-= 因此不论什么情况，总有⎰-=badx x f x f A )()(21【例2】 求由抛物线12+=x y 与直线3=+y x 围成的图形的面积S ．解 如图5-9所示，解方程组⎩⎨⎧=++=312y x x y 得到抛物线12+=x y 与直线3=+y x 的两个交点的横坐标分别为12=-=x x 与．积分变量x 的变化区间是[-2，1]面积微元图5-7图5-8dx x x dS )]1()3[(2+--=＝dx x x )2(2-- 于是，所求面积为29)31212()2(1232122=--=--=--⎰x x x dxx x S一个平面图形的面积，虽然都可以用定积分表达， 但还存在着怎样选择恰当的积分变量，使问题能较简便地解决． 【例3】 求抛物线x y22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积．解 如图5-10所示，解方程组⎩⎨⎧-==422x y xy ，可得到交点坐标为)2,2(),4,8(-B A ．如果选择y 作积分变量，],4,2[-∈y 任取一个子区间],[dy y y +，则在],[dy y y +上的面积微元是dy y y dS ]2)4[(2-+= 于是⎰--+=422]21)4[(dy y y S)61421(32y y y -+=18= 如果以x 为积分变量，则积分区间需分成[0， 2]、[2， 8]两部分，且每个区间对应的面积元素也不相同，所以计算比较复杂，因此，应恰当选择积分变量．2.旋转体的体积旋转体就是一个平面图形绕该平面上一条直线旋转一周而成的立体．这条直线叫旋转轴．如圆柱、圆锥、球、椭圆等都是旋转体． （1）求由连续曲线)(x f y =,直线b x a x ==,及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而得的旋转体的体积．如图5-11所示， 用过点]),[(b a x x ∈且垂直于x 轴的平面截该旋转体，所得的截面是半径为)(x f 的圆，其面积)()(2x f x S π=，图5-9图5-10图5-11于是旋转体的体积为dx x f dx x f V baba)()(22⎰⎰==ππ（2）求由连续曲线),(y x ϕ=直线d y c y ==,及y 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转一周而得的旋转体的体积．如图5-12所示，用与上面同样的方法，可得 dy y dy y V dcdc)()(22⎰⎰==ϕππϕ【例4】 求由3x y =，8=y 及0=x 所围成的图形绕y 轴旋转一周而得的旋转体的体积．解 如图5-13所示，积分变量y 的变化区间为[0， 8]，此处3y x =．则所求体积为⎰=823)(dy y V π＝πππ596538035832==⎰y dy y 【例5】 计算椭圆12222=+b y a x 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．解 如图5-14所示，椭圆12222=+b y a x 绕x 轴旋转,积分变量x的变化区间为],[a a -，此处)(22222x a ab y -=．所求体积为dx x a a b V aa )(2222-=⎰-π＝dx x a ab a)(220222-⎰π＝a x x a ab 03222)31(2-π＝234ab π 当R b a ==时，得球体积334R V π=请读者自己计算椭圆12222=+by a x 绕y 轴旋转时所得的旋转体的体积．图5-12图5-13图5-145.5.3 定积分在物理中的应用 1.变力所作的功由物理学知道，在常力F 的作用下，物体沿力的方向移动了距离S ，则力F 对物体所作的功为S F W ⋅=．但在实际问题中，物体所受的力经常是变化的，现在我们来讨论如何求变力作功的问题．设物体在变力)(x f F =的作用下， 沿ox 轴由a 移动到b （如图5-15），而 且变力方向保持与ox 轴一致．我们仍采用微元法来计算力F 在这段路程中所作的功．在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，当物体从x 移动到dx x +时，变力)(x f F =所作的功近似于把变力看作常力所作的功，从而功元素为dx x f dW )(= 因此所求的功为⎰=badx x f W )(【例6】 把一个带q +电量的点电荷放在r 轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距原点O 为r 的地方，那么电场对它的作用力大小为2r qkF =（k 为常数） 如图5-16，当这个单位正电荷在电场中从a r =处沿r 轴移到b r =处（)b a <时，计算电场力对它所作的功．解 积分区间为],[b a ，积分变量为r ，在区间],[b a 上任取一小区间],[dr r r +，与它相对应的电场力F 所作的功的近似值，即功元素为dr rqk dW 2=在],[b a 上积分，则所求电场力所作的功为)11(122b a kq dr r kq dr rq k W b a b a -===⎰⎰图5-15图5-16【例7】 修建一座大桥的桥墩时，先要下围囹，并且抽去其中的水，以便施工．已知围囹的直径为m 20，水深m 27，围囹高出水平面m 3，求抽尽水所作的功．解 为方便计算，建立如图5-17所示的坐标系，以x 为积分变量，积分区间为]30,3[．在区间]30,3[上任取一小区间],[dx x x +，与它对应的一薄层水的重量为dx g 210πρ，其中水的密度kg 3101⨯=ρ/3m ，重力加速度m g 8.9=/2s ．因为把这一薄层水从围囹中抽出所作功近似等于克服这一薄层水的重量所作的功，所以功元素为xdx dW π5108.9⨯= 在]30,3[上积分，得所作的功为 303253035)21(108.9108.9x xdx W ππ⨯=⨯=⎰)(1037.19J ⨯≈2.液体的压力由物理学知道，距液体表面h 深处的水平放置的平板所受的压力，等于以这平板面积为底，以h 为高的液体柱的重量．设s 为平板面积，ρ为液体密度，g 为重力加速度，F 为平板上所受的总压力，则)(N gsh F ρ=．但在实际问题中，往往需要计算与液体表面垂直放置平板一侧所受的压力．由于平板与液面垂直放置，所以平板一侧不同深度的压强各不相同，因而不能用上面的公式计算，但我们可以用微元法来解决上述问题．如图5-18所示建立直角坐标系，设平板边缘曲线方程为)(),(b x a x f y ≤≤=，在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，与它对应的小横条面积近似于dx x f )(，小条上各点处距液面的深度近似于x ，即把垂直放置的小横条近似地看作水平放置在水深x 处．因此小横条一侧所受的压力的近似值，即压力元素为dx x gxf dF )(ρ=在],[b a 上积分即得压力为⎰⎰==b abadx x xf g dx x gxf F )()(ρρ图5-17图5-18【例8】 一水库的水闸为直角梯形，上底为6m ，下底为2m ，高为10m ．求当水面与上底相齐时水闸所受的压力．解 建立如图5-19所示的直角坐标系．直线AB 方程为652+-=x y在]10,0[内任取小区间],[dx x x +，压力元素为dx x x gxydx dF )652(108.93+-⨯==ρ在]10,0[上积分，得所求水的压力为dx x x F )652(108.91003+-⨯=⎰＝100233)3152(108.9x x +-⨯ )(1037.165N ⨯≈【例9】 设一水平放置的水管，其断面是直径为6m 的圆．求当水半满时，水管一端的竖立闸门上所受的压力．解 建立如图5-20所示的直角坐标系．圆的方程为922=+y x ，压力元素为 ydx gx dF 2⋅=ρ＝dx x x 2392108.9-⨯⨯．在]3,0[上积分，得所求水的压力为 dx x x F 2339106.19-⨯=⎰＝19.6)9(9)21(1023023x d x ---⨯⎰＝302323])9[(32108.9x -⨯⨯- )27(32108.93-⨯⨯⨯-= )(1076.15N ⨯≈小结：微元法。