信号与系统课程设计
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课程设计说明书 NO.1
1.课程设计的目的
信号与系统课程设计是学习《信号与系统》课程必要的教学环节。由于该课程是专业基础课，需要通过实践了巩固基础知识，为使学生取得最现代化的设计技能和研究方法，课程设计训练也就成为了一个重要教学环节。通过一个模拟信号的一系列数据处理，达到进一步完善对信号与系统课程学习的效果。
2.课程设计的基本要求
应用MATLAB实现连续信号的采样与重构仿真。
通过对模拟信号的一系列相关处理，掌握信号和线性系统的基本原理并通仿真实验完成线性系统的实现方法。每个人完成一个信号处理的线性系统的程序设计、调试，包括模拟信号（含信号频谱分析）产生、滤波、抽样、数字信号处理，应提供包括下述内容的课程设计总结报告：
（1）、用户手册：说明如何设计的信号处理的线性系统；
（2）、设计原理及实现步骤，或程序设计及调试过程总结（需指出解决所遇到问题的途径）。
3.课程设计的原理说明
3.1 MATLAB介绍
MATLAB（Matrix Laboratory）是美国MathWork公司自20至80年代中期推出的一系列教学软件，强大的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其迅速在数学软件中脱颖而出。Matrix Laboratory意为“矩阵实验室”，最初的MATLAB只是一个数学计算工具。但现在的MATLAB已经远不仅仅是一个“矩阵实验室”，它已经成为一个集概念设计、算法开发、建模仿真，实时实现于一体的集成环境，它拥有许多衍生子集工具。MATLAB还提供了非常丰富的函数，拥有强大的符号功能，可自动的选择算法，对其他软件和语言有很好的对接性，，它可以提供非常灵活的数组运算还具有通信箱原理，可进行小波理论分析，也同样可以应用于信号的线形系统分析的采样与重构内容。
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3.2重构仿真
所谓仿真（Simulation），就是模型实验，即通过对系统模型进行实验来研究一个存在的或设计中的系统。按照模型的建立方法，仿真方法可以分为3类：实物仿真、数学仿真和半实物仿真。Simulation是MATLAB中的一个建立系统方框图和系统方针环境,是一个对动态系统进行建模仿真并对仿真结果进行分析的软件包.使用它可以方便的对系统进行可视化建模.使得仿真系统建模与工程中的方框图统一起来,我这次要做的课程设计是基于连续系统下对连续时间信号采样和重构,所以了解Simulation对我的课程设计有很大帮助。
3.3采样定理
取样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（或称样本值）表示，这些样本值包含了连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说取样定理在连续时间信号与离散时间信号中架起了一座桥梁。其具体内容如下：取样定理：设为带限信号，带宽为0F，则当取样频率02FFs时，可从取样序列)()(sanTxnx中重构，否则将导致)(nx的混叠现象。带限信号的最低取样频率称为Nyquist（奈奎斯特）速率。图1给出信号采样原理图。
图1 信号采样原理图
由图1可见，)()()(ttftfTss，其中，冲激采样信号)(tTs的表达式为：
nsTnTtts)()( （1）
其傅立叶变换为nssn)(，其中ssT2。设)(jF，)(jFs分别为)(tf，
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)(tfs的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得：
nssnsssnjFTnjFjF)]([1)(*)(21)( （2）
若设)(tf是带限信号，带宽为m如图2，由式（2）可见，)(tf经过采样后的频谱)(jFs就是将)(jF在频率轴上搬移至,,,,,02nsss处（幅度为原频谱的sT1倍）。因此，当ms2时如图4，频谱不发生混叠；而当ms2时如图5，频谱发生混叠。应该指出的是，实际信号中，绝大多数都不是严格意义上的带限信号，这时根据实际精度要求来确定信号的带宽m。
图2 原信号的频谱 图3 取样信号的频谱
图4 当ms2时，重构信号不混淆 图5 当ms2时，重构信号混淆
在数字信号处理的应用中，只要涉及时域或者频域采样，都必须服从以下两个采样理论的要点。
（1）时域采样定理的要点：
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（a）对模拟信号)(txa以间隔T进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(ˆjX是原模拟信号频谱()aXj以采样角频率s（Ts/2）为周期进行周期延拓。公式为：
)](ˆ[)(ˆtxFTjXaa )(1nsajnjXT
（b）采样频率s必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。
理想采样信号)(ˆtxa和模拟信号)(txa之间的关系为：
naanTttxtx)()()(ˆ
对上式进行傅立叶变换，得到：
dtenTttxjXtjnaa])()([)(ˆ
dtenTttxtjna)()( ＝
在上式的积分号内只有当nTt时，才有非零值，因此：
nnTjaaenTxjX)()(ˆ
上式中，在数值上)(nTxa＝)(nx，再将T代入，得到：
nnjaenxjX)()(ˆ
上式的右边就是序列的傅立叶变换)(jeX，即
TjaeXjX)()(ˆ
上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只
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要将自变量ω用T代替即可。
（2）频域采样定理的要点：
（a）对信号x(n)的频谱函数X(ejω)在[0，2π]上等间隔采样N点，得到
2()() , 0,1,2,,1jNkNXkXekN
则N点IDFT[()NXk]得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：
()IDFT[()][()]()NNNNixnXkxniNRn
(b)由上式可知，频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，才能使时域不产生混叠，则N点IDFT[()NXk]得到的序列()Nxn就是原序列x(n),即()Nxn=x(n)。如果N>M，()Nxn比原序列尾部多N-M个零点；如果N
对比上面叙述的时域采样原理和频域采样原理，得到一个有用的结论，这两个采样理论具有对偶性：“时域采样频谱周期延拓，频域采样时域信号周期延拓”。
4.课程设计的内容
应用MATLAB软件实现对连续带限信号)(tSa的采样及有采样恢复)(tSa的防真重构，利用Simulation建立模型。首先利用MATLAB的构建所需要函数，用抽样函数tttSinc)sin()(来表示)(tSa，有)/()(tSinctSa。
根据采样定理对)(tSa分别进行临界采样、过采样和欠采样欠采样，并观察输出图形。再将临界采样信号，过采样信号及欠采样信号以及进行防真重构，得出重构图形。并将重够信号与原信号进行比较，观察误差，并做出具体分析。具体程序以及步骤如下：
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4.1 Sa(t)的临界采样及重构
当抽样频率等于一个连续的同信号最大频率的2倍，即ms2时，称为临界抽样. 修改门信号宽度、抽样周期等参数，重新运行程序，可以观察得到的抽样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。
（1）实现程序代码
wm=1;
wc=wm;
Ts=pi/wm;
ws=2*pi/Ts;
n=-100:100;
nTs=n*Ts
f=sinc(nTs/pi);
Dt=0.005;t=-20:Dt:20;
fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
t1=-20:0.5:20;
f1=sinc(t1/pi);
subplot(211);
stem(t1,f1);
xlabel('kTs');
ylabel('f(kTs)');
title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号');
subplot(212);
plot(t,fa)
xlabel('t');
ylabel('fa(t)');
title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)');
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grid;
（2）运行结果及分析：
图6 tSa的临界采样及重构图
结果分析：通过改变t和t1使采样信号图和采样信号重构图的横坐标由-15~15变为-20~20，从而得到上述结果。
4.2 Sa(t)的过采样及重构
当抽样频率大于一个连续的同信号最大频率的2倍，即ms2时，称为过抽样。
（1）实现程序代码
wm=1;
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wc=1.1*wm;
Ts=0.7*pi/wm;
ws=2*pi/Ts;
n=-100:100;
nTs=n*Ts
f=2*sinc(nTs/pi);
Dt=0.005;t=-15:Dt:15;
fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
error=abs(fa-sinc(t/pi));
t1=-15:0.5:15;
f1=2*sinc(t1/pi);
subplot(311);
stem(t1,f1);
xlabel('kTs');
ylabel('f(kTs)');
title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号');
subplot(312);
plot(t,fa)
xlabel('t');
