数学-对数的概念
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对数的概念数学对数
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.
2.会进行对数式与指数式的互化.
3.会求简单的对数值．导语
大家阅读课本128页的“阅读与思考”(大约3分钟)，可以发现，对数的出现是基于当时天
文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的．经过不断发展，人们发现，对数
与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源出于指数”，而对数的发明却先于指数，
对数是用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！
一、对数的概念
问题1 我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若x＝128，则x＝－7等等这(12)
些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，
你能求出方程的解吗？
提示 用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解．知识梳理
对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作
x＝log
aN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
注意点：
(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和
名称发生了变换；(2)log
aN的读法：以a为底N的对数．
例1 若对数式log
(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2,3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
答案 B
解析 要使对数式log
(t－2)3有意义，
需Error!
解得t>2，且t≠3.所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．
反思感悟 关于指数式的范围
利用式子log
ab⇒Error!求字母的范围．
跟踪训练1 在M＝log
(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( )
A．(－∞，3] B．(3,4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(3,4)
答案 B
解析 由对数的概念可得Error!
解得34.
二、对数与指数的互相转化
问题2 现在你能解指数方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了吗？
提示 x＝log
23；x＝log
1.112；x＝log
105.知识梳理
两类特殊对数
(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log
10N记为lg N；
(2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把log
eN记为ln N.
例2 将下列指数式与对数式互化：
(1)log
216＝4； (2)＝－3；
1
3log27
(3)ln 100＝4.606； (4)43＝64；
(5)3－2＝； (6)10－3＝0.001.19
解 (1)24＝16.
(2)－3＝27.(13)
(3)e4.606＝100.
(4)log
464＝3.
(5)log
3＝－2.19
(6)lg 0.001＝－3.
反思感悟 指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
跟踪训练2 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A．100＝1与lg 1＝0
B．＝与log
27
＝－1
327131313
C．log
39＝与
＝31
21
29
D．log
55＝1与51＝5
答案 C
解析 因为
＝3化为对数式应为log
93
＝，故C不正确．1
291
2
三、对数的计算
问题3 你能把20＝1,21＝2，log
2x＝log
2x化成对数式或指数式吗？
提示 log
21＝0；log
22＝1；＝x.2log2x
知识梳理
对数的性质
(1)log
a1＝0(a>0，且a≠1)．
(2)log
aa＝1(a>0，且a≠1)．
(3)零和负数没有对数．
(4)对数恒等式：＝N；log
aax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．logaNa
例3 (1)求下列各式的值．
①log
981＝________.
②log
0.41＝________.
③ln e2＝________.
答案 ①2 ②0 ③2
解析 ①设log
981＝x，所以9x＝81＝92，
故x＝2，即log
981＝2.
②设log
0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，
故x＝0，即log
0.41＝0.
③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
(2)求下列各式中x的值．
①log
27
x＝－；②log
x16＝－4.2
3
解 ①
由
log
27x＝－，得x＝2
3223
33273
＝3－2＝.1
9②由log
x16＝－4，得x－4＝16，即x4＝＝4，116(
±12)
又x>0，且x≠1，∴x＝.12
反思感悟 对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
跟踪训练3 求下列各式的值：
(1)log
28；(2)log
9；(3)ln e；(4)lg 1.19
解 (1)设log
28＝x，则2x＝8＝23.
∴x＝3.∴log
28＝3.
(2)设log
9＝x，则9x＝＝9－1，1919
∴x＝－1.∴log
9＝－1.19
(3)ln e＝1.
(4)lg 1＝0.
四、利用对数性质求值
例4 求下列各式中x的值：
(1)log
2(log
5x)＝0；(2)log
3(lg x)＝1；(3)x＝.71log57
解 (1)∵log
2(log
5x)＝0，∴log
5x＝20＝1，
∴x＝51＝5.
(2)∵log
3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)x＝＝7÷＝7÷5＝.71log577log5775
延伸探究 把本例(1)中的“log
2(log
5x)＝0”改为“log
2(log
5x)＝1”，求x的值．
解 因为log
2(log
5x)＝1，
所以log
5x＝2，
则x＝52＝25.
反思感悟 利用对数的性质求值的方法(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论log
a1＝0和log
aa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求
解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解．
跟踪训练4 求下列各式中x的值．
(1)log
8[log
7(log
2x)]＝0；
(2)log
2[log
3(log
2x)]＝1.
解 (1)由log
8[log
7(log
2x)]＝0，
得log
7(log
2x)＝1，即log
2x＝7，∴x＝27.
(2)由log
2[log
3(log
2x)]＝1，
得log
3(log
2x)＝2，
∴log
2x＝9，∴x＝29.
1．知识清单：
(1)对数的概念．
(2)自然对数、常用对数．
(3)指数式与对数式的互化．
(4)对数的性质．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．
1．对数log
(a＋3)(5－a)中实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5)
B．(－3,5)
C．(－3，－2)∪(－2,5)
D．(－3，＋∞)
答案 C
解析 要使对数log
(a＋3)(5－a)有意义，
则Error!解得a∈(－3，－2)∪(－2,5)．
2．2－3＝化为对数式为( )18
A．＝－3 B．＝2
1
8log2
1
8log3
C．log
2＝－3 D．log
2(－3)＝1818答案 C
解析 根据对数的定义知选C.
3．已知＝c，则有( )
2log
ab
A．a2b＝c B．a2c＝b
C．bc＝2a D．c2a＝b
答案 B
解析 由题意得(a2)c＝b，即a2c＝b.
4．计算：3log
22＋2log
31－3log
77＋3ln 1＝________.
答案 0
解析 原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0.课时对点练
1．下列选项中，可以求对数的是( )
A．0 B．－5 C．π D．－x2
答案 C
解析 根据对数的定义，得0和负数没有对数，
∴选项A，B不可以求对数，
又－x2≤0，∴选项D没有对数，
∵π>0，∴选项C可以求对数．
2．使对数log
a(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．a>且a≠1 B．0
C．a>0且a≠1 D．a<12
答案 B
解析 由题意知Error!解得0
3．已知log
x16＝2，则x等于( )
A．4 B．±4 C．256 D．2
答案 A
解析 由log
x16＝2，得x2＝16＝(±4)2，
