高能重离子碰撞

当两个高能核发生碰撞时，相互作用区域会发射许多粒子。由于全同粒子的交换对称性，发射出的全同粒子具有玻色-爱因斯坦关联，又称HBT关联。利用全同粒子携带的信息可以测量碰撞区域时空信息和相干性。

正反粒子的背对背关联(Back-to-Back Correlations)，简称 BB 关联，与一对动量相反的粒子有关，它的出现是由于高密度发射源内的粒子质量位移。

本文用量子力学的波函数法推导了两粒子关联函数，并利用量子场论的知识研究了含质量位移效应的背对背关联和玻色-爱因斯坦关联函数。由于实际的粒子发射源并非静态，而应该是随时间膨胀，考虑有限发射时间的影响，本文引入源的衰变随时间变化的分布，对含质量位移的HBT关联函数进行了修正。这正是本文的创新点。

1. 高能重离子碰撞物理学

1.1 高能重离子碰撞物理学简介

在高能重离子碰撞以又称为高能核-核碰撞，通过高能重离子碰撞来产生极端高温度、高密度的核物质，研究产物的性质以寻找、探测可能存在的新物质相。

美国布鲁克海文实国家验室的相对论重离子对撞机RHIC和欧洲核子中心的大型强子对撞机LHC都在做当前能量最高的相对论重离子碰撞实验。

1.2 相对论重离子碰撞的演化过程

两核以较高能量碰撞时中心区域能量密度很高，靶核和入射核被高度激发后都会发生碎裂而产生了大量新粒子。对高能核-核碰撞过程从时间上划分为四个阶段：初始阶段、压缩阶段、膨胀阶段、实验观察阶段。

1.3 夸克-胶子等离子体(QGP)

自然界存在QGP的地方可能有两个，一是大爆炸后10μs左右的温度极高的初期宇宙；另一个则是重子数密度极高的中子星内部。

夸克被囚禁在强子内故不存在单个自由夸克。QCD理论预测极高温度或极高密度下可能打破夸克禁闭形成“夸克—胶子等离子体”。当前物理学存在两个谜题：夸克禁闭和破却的对称性，都有望在QGP中得到解答。

1.4 强度干涉学

强度干涉学最早是利用光子的强度干涉来测量星体的角径。HBT关联与同时测量两个时空点上光子强度有关，关联程度依赖于发射源的角径。物理学家们又发现可以将强度干涉学的原理应用于高能物理实验，研究发现全同玻色子的ππ对存在很强的角关联，和发射源的几何尺寸有关，还与发射源的寿命有关。

2. 两粒子关联函数的理论计算

当两个高能核发生碰撞时，在相互作用的火球区域会发射许多粒子。由于全同粒子的交换对称性，发射出的全同粒子具有玻色-爱因斯坦关联，又称HBT关联。利用关联函数来对粒子谱进行拟合可以获得源的时空信息和相干因子。

2.1 单粒子动量谱分布

设粒子在源中某一点产生到达探测点时的动量为𝑘=(𝒌̅/𝑡)。扩展源内有很多点可以发出这样的粒子，探测器测量到四动量为𝒌𝜇的介子却无法区分它是从源的哪一点发出的。近似满足介子经典轨迹：

𝒙̅′−𝒙̅≈(𝒌̅/𝒌0)(𝑡′/𝑡) (2-1)

用费曼路径积分，从𝒙点发出到达𝒙′的概率幅由相因子𝑒𝑖𝑆(𝑝𝑎𝑡ℎ)对所有的路径求和来给出：

𝐴(𝒙,𝑡)→(𝒙′,𝑡′)≡𝜑(𝒌:𝒙→𝒙′)=∑𝑒𝑖𝑆(𝑝𝑎𝑡ℎ)𝑎𝑙𝑙 𝑝𝑎𝑡ℎ (2-2)

非经典直线轨迹相对的路径相抵消,只需计算经典路径的积分。在源点𝒙产生一个动量为k的粒子的产生概率幅为𝐴(𝒌,𝒙)𝑒𝑖𝜙，介子沿经典轨迹传播到x′处，其总概率幅应为

Ψ(𝒌:𝒙→𝒙′)=𝐴(𝒌,𝒙)𝑒𝑖𝜙φ(𝒌:𝒙→𝒙′) (2-6)

探测点探测到一个粒子的概率幅是对源内所有的点从产生一个粒子传播到冻出点最后到达探测点的概率幅求和：

Ψ(𝒌,𝒙′)=∑𝐴(𝒌,𝒙)𝑒𝑖𝜙𝑒𝑖𝒌(𝒙−𝒙′)𝒙 (2-7)

单粒子动量分布是粒子总概率幅绝对值得平方：

𝑃(𝒌)=|Ψ(𝒌,𝒙′)|2=|∑𝐴(𝒌,𝒙)𝑒𝑖𝜙𝑒𝑖𝒌(𝒙−𝒙′)𝒙|2 (2-9)

混沌源位相随机，(2-9)式展开为是与𝜙(𝒙)无关项和含𝜙(𝒙)项，含𝜙(𝒙)项由于随机位相的快速振荡相互抵消，故有

𝑃(𝒌)=∑𝐴2(𝒌,𝒙)𝒙

=∫𝑑𝒙𝜌(𝒙)𝐴2(𝒌,𝒙) (2-10) 2.2 两粒子动量谱分布

类似单粒子谱分布，先是源产生两个粒子的产生概率幅，然后这两个粒子分别以一定动量到达探测器的传播概率幅。要先给出两个粒子从源内特定的两个点产生然后传播到探测点的概率幅，再对源内所有的可能的产生点求和计算总概率幅。

两粒子动量分布的定义:

𝑃(𝒌1,𝒌2)=12!|Ψ(𝒌1,𝒌2,,𝒙1′,𝒙2′)|2 (2-16)

利用不同扩展源点产生位相的随机性和扩展源密度函数，积分替换求和，得：

𝑃(𝒌1,𝒌2)=∫𝑑𝒙1𝜌(𝒙1)𝐴2(𝒌1,𝒙1)∫𝑑𝒙2𝜌(𝒙2)𝐴2(𝒌2,𝒙𝟐)

+∫𝑑𝒙1𝜌(𝒙1)𝐴(𝒌1,𝒙1)𝐴(𝒌2,𝒙1)𝑒𝑖(𝒌1−𝒌2)∙𝒙1

×∫𝑑𝒙2𝜌(𝒙2)𝐴(𝒌2,𝒙𝟐)𝐴(𝒌1,𝒙2)𝑒𝑖(𝒌2−𝒌1)∙𝒙2 (2-17)

将(2-11)式的单粒子动量分布代入上式来简化得到如下形式：

𝑃(𝒌1,𝒌2)=𝑃(𝒌1)𝑃(𝒌2)+|∫𝑑𝒙𝑒𝑖(𝒌1−𝒌2)∙𝒙𝜌(𝒙)𝐴(𝒌1,𝒙)𝐴(𝒌2,𝒙)|2 (2-18)

2.3两粒子关联函数

定义两粒子关联函数为同时测量到动量为𝒌1和𝒌2的两个π介子的概率和分别观察到𝒌1和𝒌2的概率的比：

𝐶2(𝒌1,𝒌2)=𝑃2(𝒌1,𝒌2)𝑃1(𝒌1)𝑃1(𝒌2) (2-19)

（1）对于混沌源

𝐶2(𝒌1,𝒌2)=𝑃2(𝒌1,𝒌2)𝑃1(𝒌1)𝑃1(𝒌2)=1+|𝜌̃𝑒𝑓𝑓(𝒙;𝒌1,𝒌2)|2 (2-24)

（2）对于完全相干源

𝐶2(𝒌1,𝒌2)=𝑃2(𝒌1,𝒌2)𝑃1(𝒌1)𝑃1(𝒌2)=1 (2-28)

（3）对于部分相关源

𝐶2(𝒌1,𝒌2)=1+𝜆′|𝜌̅(𝒌1,𝒌2)|2 (2-31)

其中𝜆′表示非相干因子， 𝜆1𝜆2=𝜆2(1−𝜆)。

3.质量位移的两粒子关联函数

背对背关联(Back-to-Back Correlations)与一对动量相反的粒子有关简称BB关联。它由于高密度发射源内的粒子质量与真空状态下相比出现位移而产生的。而质量位移与压缩变换有关，BB关联也称压缩态关联。HBT 关联函数给出源的即强度干涉学半径；而背对背关联函数则给出源的热力学性质。 3.1 背对背关联函数（BB关联函数）

3.1.1 BB关联函数的计算

设自由粒子真空质量为𝑚0，自由粒子的标量场为𝜑(𝒙)，其拉格朗日量应为：

𝐿0=12𝜕𝜇𝜑(𝒙)𝜕𝜇𝜑(𝒙)−12𝑚02𝜑2(𝒙) (3-1)

自由粒子产生和湮灭算符𝑎𝒌+、𝑎𝒌。将哈密顿量对角化：

𝐻0=∫𝜔𝒌𝑎𝒌+𝑎𝒌𝑑3𝒌 (3-2)

自由粒子四动量为𝒌𝜇=(𝜔𝒌,𝒌)，质壳关系𝜔𝒌2=𝒌2+𝑚02。

设准粒子质量𝑚∗(|𝒌|)=𝑚0−𝛿𝑀2(|𝒌|)，𝛿𝑀(|𝒌|)就是自由粒子与准粒子的质量位移。准粒子动量所满足的能量关系为：𝒌∗𝜇=( Ω𝒌,𝒌)， Ω𝒌2=𝒌2+𝑚∗2，准粒子质量Ω𝒌 ，与自由粒子的能量满足：

Ω𝒌2=𝒌2+𝑚∗2=𝜔𝒌2−𝛿𝑀2(|𝒌|) (3-4)

准粒子的拉氏量为

𝐿𝑀=12𝜕𝜇𝜑(𝒙)𝜕𝜇𝜑(𝒙)−12𝑚∗2𝜑2(𝒙) (3-5)

用正规乘积运算来表示准粒子的产生和湮灭算符，得：

𝐻𝑀=𝐻0+𝐻1=∫𝜔𝒌𝑎𝒌+𝑎𝒌𝑑3𝒌+𝑚∗2+𝑚024×∫1𝜔𝒌(𝑎𝒌𝑎−𝒌+2𝑎−𝒌+𝑎−𝒌+𝑎𝒌+𝑎−𝒌+)𝑑3𝒌 (3-6)

系统碎裂场量子获得真空质量后， 𝐻0将成为主要的作用量。

准粒子的产生算符𝑏𝒌∗和湮灭算符𝑏𝒌，与自由粒子的产生算符a𝒌∗和湮灭算符𝑎𝒌的关系由Bogoliubov变换给出[40]：

𝑎𝒌=𝑐𝒌𝑏𝒌+𝑠−𝒌∗𝑏−𝒌+ (3-7)

𝑎𝒌∗=c𝒌∗b𝒌++𝑠−𝒌 𝑏−𝒌 (3-8)

其中𝑐𝒌=cosh (𝑓𝒌)，𝑠𝒌=sinh (𝑓𝒌), 𝑓𝒌 是压缩系数：

𝑓𝒌=12log (𝜔𝒌 Ω𝒌) (3-9)

洛伦兹不变的单粒子动量分布和两粒子动量分布如下：

𝑃1(𝒌1)=𝜔𝒌1𝑑3𝑁𝑑𝒌1=𝜔𝒌1⟨𝑎𝒌1+𝑎𝒌1 ⟩ (3-10)

𝑃2(𝒌1,𝒌2)=𝜔𝒌1𝜔𝒌2⟨𝑎𝒌1+𝑎𝒌2+𝑎𝒌2 𝑎𝒌1 ⟩ (3-11)

将Wick定理应用于局域热平衡系综：

⟨𝑎𝒌1+𝑎𝒌2+𝑎𝒌2 𝑎𝒌1 ⟩=⟨𝑎𝒌1+𝑎𝒌1 ⟩⟨𝑎𝒌2+𝑎𝒌2 ⟩+⟨𝑎𝒌1+𝑎𝒌2 ⟩⟨𝑎𝒌2+𝑎𝒌1 ⟩+⟨𝑎𝒌1+𝑎𝒌2+⟩⟨𝑎𝒌2 𝑎𝒌1 ⟩ (3-12)

定义混沌振幅和压缩振幅，

混沌振幅： 𝐺𝑐(𝒌1,𝒌2)=√𝜔𝒌1𝜔𝒌2⟨𝑎𝒌1+𝑎𝒌2 ⟩ (3-13) 压缩振幅： 𝐺𝑠(𝒌1,𝒌2)=√𝜔𝒌1𝜔𝒌2⟨𝑎𝒌2 𝑎𝒌1 ⟩ (3-14)

两粒子关联函数表示为

𝐶2(𝒌1,𝒌2)=1+|𝐺𝑐(𝒌1,𝒌2)|2𝐺𝑐(𝒌1,𝒌1)𝐺𝑐(𝒌2,𝒌2)+|𝐺𝑠(𝒌1,𝒌2)|2𝐺𝑐(𝒌1,𝒌1)𝐺𝑐(𝒌2,𝒌2) (3-15)

HBT关联函数为：