热力学基础

94 / 10 第七章 热力学基础

基 本 要 求

一、理解功和热量的概念以及准静态过程。

二、掌握热力学第一定律；能熟练地分析、计算理想气体各等值过程和绝热过程中的功、热量、内能改变量及卡诺循环等简单循环过程的效率。

三、理解摩尔热容量的定义，并会用它来计算等压、等容过程中的热量。

四、了解热力学第二定律及其统计意义。

内 容 提 要

一、准静态过程

平衡态 不受外界影响时，系统的宏观性质不随时间改变的状态。

准静态过程 由无数个平衡态组成的过程，即系统的每个中间态都是平衡态。 准静态过程是一个理想化的过程，是实际过程的近似。实际过程仅当进行得无限缓慢时才可看作是准静态过程 。

二、热力学第一定律

WEEQ12

对于一元过程：dWdEdQ

符号规定：Q > 0系统吸热；W > 0系统对外界做正功； E >0系统内能增加。

热力学第一定律适用于任何系统（固、液、气）的任何过程（非准静态过程亦成立）。

三、功、内能、热量的数学表达式和意义

功 通过做功可以改变系统的状态。功是过程量，是分子的有规则运动能量和分子的无规则运动能量的转化和传递。

21VVPdVW

内能 内能是状态的函数。对于一定质量的某种气体，内能一般是T、V或P的函数；对于刚性分子的理想气体，内能只是T的函数，即

TCRTiEVνν2

)(12TTCEVν

热量 传热也可改变系统的状态，其条件是系统和外界的温度不同。

Q=νC (T2 –T1) 其中C为摩尔热容量。

四、气体的摩尔热容量

摩尔热容量 一摩尔物质温度升高一度所吸收的热量，即

dTdQCν1

理想气体等容摩尔热容量 RiCV2 95 / 10 理想气体等压摩尔热容量 RCRRiCVP2

泊松比 12iiCCVP

对刚性理想气体单原子分子，i = 3， = 1.67；

对刚性理想气体双原子分子，i = 5， = 1.40；

对刚性理想气体多原子分子，i = 6， = 1.33。

五、等容过程

特点：V = 常数

过程方程: P/T=常数

能量转换关系: 吸热全部转换为系统内能的增加。

W = 0； QV =νCV (T2 - T1)； E = QV

六、等压过程

特点：P =常数

过程方程：V/T=常数

能量转换关系：吸热一部分用于对外做功，其余用于增加系统内能。

)(1221VVPPdVWVV

)(12TTCQPPν

)(12TTCEVν

七、等温过程

特点：T =常数

过程方程：P·V =常数

能量转换关系：系统吸热全部用来对外做功。

E = 0， Q = W

)ln(12VVRTWν)ln(1211VVVP)ln(2111PPVP

八、绝热过程

特点： Q = 0

过程方程：PV =常数；TV  - 1 =常数；T -P - 1=常数

能量转换关系：绝热过程靠减少系统的内能来对外做功。

Q = 0； W = -∆E

E =νCV (T2 - T1)； 12211VPVPW

九、循环过程

一系统（或工作物质）经历一系列变化后又回到初始状态的整个过程叫循环过程，简称循环。

特点：①在P—V图上过程曲线闭合；②E=0 ；③循环曲线所包围的面积等于循环中做功的大小。 96 / 10 循环效率：在一正循环中，系统从高温热源吸热Q1 ，向低温热源放热Q2，系统对外做功A = Q1 -Q2，循环效率为

1211QQQA

十、卡诺循环

在一循环中，若系统只和高温热源(温度T1)与低温热源(温度T2)交换热量，这样的循环称卡诺循环。卡诺循环过程是由两个等温过程和两个绝热过程构成的。

卡诺循环的效率:121211TTQQ

十一、热力学第二定律

克劳修斯叙述 热量不能自动地从低温物体传向高温物体。

开尔文叙述 不可能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸收热量，使之完全转变为有用的功，而其他物质不发生任何变化。

以上两种说法是完全等效的。

解题方法与例题分析

一、热力学第一定律在各等值过程中的应用

解题步骤：1.明确研究对象是哪些理想气体系统，气体的自由度、质量或摩尔数是多少；2.搞清系统经历哪些过程，这些过程的特征是什么？画出P—V图；3.根据各过程的方程和状态方程确定各状态的参量，由各过程的特点和热力学第一定律计算理想气体在各过程中的功和热量。

例1 0.02kg的氦气（视为理想气体），温度由17ºC升为27ºC，若在升温过程中，（1）体积保持不变；（2）压强保持不变；（3）不与外界交换热量。试分别求出气体内能的改变、吸收的热量、外界对气体做的功。

解 氦气为单原子分子气体，3i

（1）等容过程：常量V，0W

由 WEQ

得 )(12TTCMmEQVJ623

（2）等压过程：常量P，E与（1）相同

)(12TTCMmQPJ1004.13

J417EQW

（3）绝热过程：0Q，E与（1）相同

J623EW)(外界对系统做功

例2 温度为25°C、压强为1atm的1mol刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍。 97 / 10 （1）计算这个过程中气体对外的功；

（2）假设气体经绝热过程体积膨胀至原来的3倍，那么气体对外做的功又是多少?

解 （1）等温过程气体对外做功为

003VVPdVW003VVdVVRT3lnRT

1.09862988.31J102.723

（2）绝热过程气体对外做功

003VVPdVW00300VVγdVVVP

001113VPγRTγ1311J102023.

例3 一定质量的理想气体，由状态a经b到达c，如图7—1所示，abc为一直线。求此过程中：

（1）气体对外做的功；

（2）气体内能的增加；

（3）气体吸收的热量。

解 （1）气体对外做的功为直线ac下部分的面积，即

))((21acacVVPPW

J2.405

（2）由图可以看出， ccaaVPVP

所以 caTT 0E

（3）由热力学第一定律 J2.405WEQ

例4 一定量的刚性双原子分子气体，开始时处于压强为P0 =1.0×105 Pa，体积为V0=

4×10-3 m3，温度为T0 =300 K的初态，后经等压膨胀过程温度上升到T1=450K，再经绝热过程温度将回到T2=300K，求整个过程中对外做的功。

解 在等压过程中 1001TTVV

得 )(0101VVPWJ200

又由

000RTVPMm RCV25

得绝热过程做功 )(25)(21000212TTTVPTTCMmWVJ500

整个过程做功 J70021WWW

二、循环过程、卡诺循环

例5 双原子理想气体为工作物质的热机循环，如图7—2所示。图中ab为等容过程，bc为绝热过程，ca为等压过程。P１、P２、V１、V２为已知，求此循环的效率。 cVb1PP2Pa1V2V图7—2 )atm(P321321oabc)(lV图7—1 98 / 10 解 ab为等容过程，过程中吸收的热量为

1211)(25)(25)(VPPTTRMmTTCMmQababV

ca为等压过程，过程中放出的热量为

)(27)(27)(1222VVPTTRMmTTCMmQacacp

所以循环过程的效率为 )(5)(71121112212PPVVVPQQ

例6 如图7—3所示，有一定量的理想气体，从初状态a（P1，V1）开始，经过一个等容过程达到压强为 P1/4的b态，再经过一个等压过程达到状态c，最后经等温过程而完成一个循环，求该循环过程中系统对外做的功W和净吸热量Q。

解 设状态c的体积为V2，则由a、c两状态的温度相同，有

42111VPVP 124VV

又循环过程 0E

WQ

而在ab等容过程中做功 01W

在bc 等压过程中做功

12124VVPW1143VP

在 ca 等温过程中做功

111134lnPPVPW1139.1VP

在整个循环过程系统对外做的功和吸收的热量为

321WWWWQ

111139.1430VPVP1164.0VP

负号说明外界对系统做功、系统对外放热。

例7 1mol单原子分子理想气体的循环过程如T-V图7—4所示，其中c点的温度为Tc=600K 。试求：

（1）ab、bc、ca各个过程系统吸收的热量；

（2）经一循环系统所做作的净功；

（3）循环的效率。

解 由从图可知，ab是等压过程，即

bbaaTVTV

又 K600caTT

所以 aabbTVVTK300

（1）单原子分子的自由度i=3。在ab等压过程中

cbPabTTCQ o)(KT)m10(33Vabc12图7—4 PO1P1VVabc图7—3 41P99 / 10 cbTTR25放热J5.6232

在bc等容过程中

bcVbcTTCQ

bcTTR23吸热J5.3739

在ca等温过程中

caccaVVRTQln吸热3456J

（2）由热力学第一定律 J963abcabcQQQW

（3）由定义 %4.131QW

例8 汽缸内贮有36g水蒸汽（视为理想气体），经abcda循环过程，如图7—5所示。其中ab、cd为等容过程，bc为等温过程，da为等压过程。试求：

（1）da等压过程中水蒸汽做功Wda；

（2）ab等容过程中水蒸汽内能的改变量Eab；

（3）循环过程水蒸汽做的净功W；

（4）循环效率。

解 水蒸汽为三原子分子气体，6i。

kg10183M 水的摩尔质量

（1）由定义 )(daadaVVPWJ105.0653

（2）由定义

)(2 ababTTRiMmE

)(/2)(abaPPViJ103.0394

（3）由理想气体状态方程

Rm/MVPTabb)(914K

)/(ln)(bcbbcVVRTm/MWJ101.054

水蒸汽作的净功 dabcWWW J105.473

（4）只有ab、bc两过程吸热，所以

bcabQQQ1

由热力学第一定律，ab等容过程中ababEQ，bc等温过程中bcbcWQ，得

bcabWEQ1J104.094

由定义 13% 1W/Qη 62o2550atm)(P)(lVabcd图7—5