2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练及解析

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2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练

例2如图，设一直线过点(—1,1),它被两平行直线 11: x+2y—1=0, 12： x+ 2y —3=0所截的线段的中点在

直线13： x— y—1=0上，求其方程. 【题型归纳】 题型一直线方程、两直线的位置关系

例1已知两直线11 ： mx 8y n 0和12：2x my 1 0 .试确定m、n的值，使:

⑴11与12相交于点P m, 1 ;

(2) li "2 ；

(3)11,12,且11在y轴上的截距为一1.

【答案】(1) m 1, n 7.

(3) (2) m 4 , n 2 时或 m

m 0, n 8 4, n 2时，11 // 12.

m 8 n 0

(1)由题息得 ，解得m 1, n 7.

2m n 1 0

(2)当m 0时，显然11不平彳T于12；

n /曰 m m 8 2 0

1 8 ( 1) nm 0

4, n 2时，11 // 12.

(3)当且仅当2m 8m 0,即m 0时，11，12.又

即m 0, n 8时，1J12，且11在y轴上的截距为一1.

【易错点】忽略对m 0的情况的讨论

【思维点拨】 遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或 k 0时，并且对于直线平行和垂直

时与人人2和巳82间的关系要熟练记忆。

x+2y-3=O

【答案】2x 7y 5 0.

【解析】与11、12平行且距离相等的直线方程为

设所求直线方程为x 2y 2 x x 2y 2 0.

y 1 0 ,即 1 0 .又直线过

A 1,1 ，.一 1 1 2 1 2 0.解 1 1.，所求直线方程为2x 7y 5 0. 3 x+2y-1=0 2

【易错点】求错与11、l2平行且距离相等的直线方程

【思维点拨】本题的关键在于求到11、12平行且距离相等的直线方程, 交点，从而求解本题.

题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用）

例1已知实数x、y满足方程x2 y2 4x 1 0.

（1）求Y的最大值和最小值； x

（2）求y x的最大值和最小值.

【答案】（1）Y的最大值为 书,最小值为 J3 . x

（2） y x的最大值为 2 66 ,最小值为 2 J6.

【解析】（1）原方程化为x 2 2 y2 3,表示以点2,0为圆心，以J3为半径的圆.设义k,即y kx ,

x

当直线y kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时 2k 0 J3,解得k J3 .故上的最大值

k2 1 x

为，3,最小值为 ..3 .

（2）设y x b,即y x b,当y x b与圆相切时，纵截距 b取得最大值和最小值，此时

2 0. b 石，即b 2 76 .故y x的最大值为 2 76,最小值为 2 76.

-2

【易错点】理解错给定要求结果的含义

【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。

例2已知点P 10,0 , Q为圆x2 y2 16上一动点，当点 Q在圆上运动时，PQ的中点M的轨迹方程

是.

2 o

【答案】x 5 y 4.

10 x

2 ' x0

2 即0

0 y° v。

2

又因为点Q在圆x2 y2 16上,

一一 . 2 2

所以 2x 10 2y 16,

故所求的轨迹方程为 再利用这条直线求出和第三条支线的

【解析】设点M x,y为所求轨迹上任意一点, Q x0,y。

2x-10,

2 y. 因为M为PQ的中点，所以 3

【易错点】中点的错误应用

【思维点拨】求出中点横纵坐标的方程及求出所求的直线 题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系

例1在平面直角坐标系xOy中，已知圆C： x2+(y-3)2=2,点A是x轴上的一个动点，AP , AQ分别切圆C于P, Q

两点，则线段PQ长的取值范围是.

2 Jl4 _ —

【答案】PQC —— 272 .

3

【解析】 设/PCA与，所以PQ=2j2sin 0 .

、2 .2

又cos 0 , AC € [3, +8),所以 cos ee 0,—— ,

AC 3

2 o o 7 .

所以 cos2 ℃ 0,一，sin2 9=1-cos20€ 一 ,1 , 9 9

所以sin族—1 ，所以PQC "^zJD . 3 3

【易错点】直接去求线段的长度

【思维点拨】 转化思想，把要求的线段长度转化为角度的关系，从而解决问题 ^

例 2 已知圆 C: x2 y2 2x 4y 3 0.

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

(2)从圆C外一点P (x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M ,0为坐标原点，且有PM PO,求使得PM取 得最小值时点P的坐标.

【答案】(1) x y 1 0 ,或x y-3 0.

⑵33

10 5

【解析】(1)将圆C配方得x 1 2 (y 2)2 2.

当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为 y kx ,

由 k+2l =J2,解得 k 2 76,得 y (2 76) x.

k2 1

当直线在两坐标轴上的截距不为零时， 4

, -1+2-a t—

设直线万程为x y a 0,由一尸」值得a 1 , a 3. 2

「•直线方程为x y 1 0,或x y-3 0.

2 2 2 2

(2)由 PO PM ,得 xi yi (xi 1) (yi 2) 2,

即点P在直线l:2x 4y 3 0上.

当PM取最小值时，即 OP取得最小值，直线 OP l ,

・•・直线OP的方程为2x y 0.

得点P的坐标为-3,3 . 10 5

【易错点】没有分类讨论

【思维点拨】 考查用点斜式、斜截式求直线的方法，利用分类讨论思想来解决问题 题型四定点定值轨迹问题

例 1 已知 tCR,圆 C: x2+y2-2tx-2t2y+4t-4= 0.

(1)若圆C的圆心在直线x-y+2=0上，求圆C的方程.

(2)圆C是否过定点 领口果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理由

【答案】(1)圆 C 的方程为 x2+y2+2x-2y-8=0 或 x2+y2-4x-8y+4=0.

(2)过定点，定点坐标为 2,0

【解析】(1)由原方程配方得(x-t)2 + (y-t2)2=t4+t2-4t+4,其圆心为C(t, t2).

依题意知t-t2+2=0,所以t=-1或2.

即圆 C 的方程为 x2+y2+2x-2y-8= 0或x2+y2-4x-8y+4=0.

(2)整理圆 C的方程为(x2+y 2-4)+ (-2x+ 4)t+ (-2y) t2= 0, 2 2

x y -4 0,

令-2x 4 0,

-2y 0

所以圆C过定点(2,

【易错点】漏解

【思维点拨】 判定圆是否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，可以在方程形式上转化为关于某个参量

的方程，结合恒等式的关系，再构造关于 x, y的方程组求该点的坐标.若方程组有解，则说明圆过定点，否

则圆不过定点. x 2,

y 0,

0). 5

例2如图，已知圆C： x2+(y-3)2=4, 一动直线l过点A(-1, 0)与圆C相交于P, Q两点，M是PQ的中点，l与直线

m： x+3y+6=0相交于点N.

(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.

(2)当PQ=2 73时，求直线l的方程.

..uuur uuu .... .....................................................

⑶探索AM AN是否与直线l的倾斜角有关 *无关，请求出其值；若有关，请说明理由

【答案】(1)见解析

(2) x=-1 或4x-3y+4=0.

1 一 . 一 ..， .......... ... .

【斛析】(1)因为l与m垂直，且km=--,所以kl=3.又kAC=3,所以当l与m垂直时，l的方程为y= 3(x+1), l必过 3

圆心C.

(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1,符合题意

②当直线l与x轴不垂直时，

设直线l的方程为y=k(x+ 1),即kx-y+k= 0.

因为 PQ=2 J3 ,所以 CM= 74-3 = 1,

则由CM= /吁=1,得k=4, k2 1 3

所以直线l: 4x-3y+4=0,

从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4= 0.

(3)因为CM，MN,所以

uuuu uuu uuu uuuu uuu uuu uuu uuuu uuu uuu uuu AM AN =( AC + CM ) AN = AC AN + CM AN = AC

AN .

①当l与x轴垂直时，易得N 1,-

3 ⑶AMr盟与直线l的倾斜角无关，且 uuuu uuu u AM AN =-5.