不等式的性质(二)

基本不等式

【知识框架】

1、基本不等式原始形式

（1）若Rba,，则abba222

（2）若Rba,，则222baab

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*,Rba，则abba2

3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*,Rba，则abba2

（2）若*,Rba，则22baab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论

（1）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（2）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（3）若0ab，则2abba (当且仅当ba时取“=”）

（4）若Rba,，则2)2(222babaab

（5）若*,Rba，则2211122babaabba 特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

6、柯西不等式

（1）若,,,abcdR，则22222()()()abcdacbd

（2）若123123,,,,,aaabbbR，则有：

22222221231123112233()()()aaabbbababab

（3）设1212,,,,,,nnaaabb与b是两组实数，则有

22212(naaa)22212)nbbb(21122()nnababab

【题型归纳】

题型一：利用基本不等式证明不等式

题目1、设ba,均为正数，证明不等式:ab≥ba112

题目2、已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222

题目3、已知1abc，求证：22213abc

题目4、已知,,abcR，且1abc，求证：abccba8)1)(1)(1(

1 基本不等式

一、基础知识

基本不等式：在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式．

平均值不等式：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有2abab，且等号当且仅当ab时成立.

证明：对于正数a、b，要证明定理所述之平均值不等式，只要证明

2abab，

即

20abab.

由

22ababab.

上式显然成立，且只有当ab时，原不等式两边才相等.

常用不等式：对于任意的正数a、b，有22abab，且等号当且仅当ab时成立.

三角不等式：对于任意的实数a、b，有abab，且等号当且仅当0ab时成立.

证明：为证明abab，只需证明

22abab，

即222222aabbaabb，也即22abab，这是显然的，且等号当且仅当a、b同号，即0ab时成立.

二、拓展知识

基本不等式：如果a，b，cR，那么3333abcabc（当且仅当abc时取“”）

证明：33333223333abcabcabcabababc

223abcababccababc 2 22223abcaabbacbccab

222abcabcabbcac

22212abcabacbc

a，b，cR，222102abcabacbc

从而3333abcabc

推论：如果a，b，cR，那么33abcabc（当且仅当abc时取“”）

基本不等式：1212nnaaaaaan，*nN，iaR，1in.

证明可用数学归纳法，二项式定理证明，这里证明省略；

柯西不等式：222222211221212nnnnabababaaabbb

,1,2,,iiabRin，等号当且仅当120naaa或iibka时成立（k为常数，1,2,,in）

证明：构造二次函数

2221122nnfxaxbaxbaxb

2222222121122122nnnnaaaxabababxbbb

不等式的性质（第2课时）

黄冈中学 蔡 盛

教学任务分析

教

学

目

标

知识技能 理解不等式的性质，并能利用性质解简单的一元一次不等式，能

在数轴上表示出解集。

教学思考 通过类比解一元一次方程，来探索利用不等式的性质解简单的一元一次不等式，初步掌握类比的思想方法。

解决问题 通过经历探索解不等式的过程，体会在解决问题过程中与他人合作的重要性。

情感态度 通过师生共同探索求出不等式的解集的过程，体验数学活动充满探索性和创造性，培养学生团结协作的精神，提高学生的能力。

重点 不等式的性质及利用性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来。

难点 体会在解不等式时，什么情况要改变不等号的方向。

教学流程安排

活动流程图 活动内容和目的

活动1 问题感知

情景导入 通过实际问题导入新课，激发学生的学习兴趣和求知欲望。

活动2 探索利用不等式的性质解简单的一元一次不等式 通过用不等式的性质解一元一次不等式，使学生进一步理解不等式的性质，并学会用不等式的性质解不等式的方法。

活动3 理解像a≥b或

a≤b的不等式的含义 理解像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，并能利用这样的不等式来表示日常生活中具有这样特征的不等关系的量。

活动4 教科书P132例2 能表示出具有“≤”关系的问题，能解出用“≤”表示的不等式，并能根据实际意义在数轴上表示出解集。

活动5 巩固练习 通过学习巩固本节课的知识，并能用本节课的知识进行简单的应用。

活动6 小结布置作业 学生归纳本节课的主要内容，交流在探索过程中的心得体会，不断积累数学活动经验。

教学过程设计

问题与情境 师生行为 设计意图

【活动1】问题感知，情景 教师提问，学生讨论判断谁设计问题情景，导入新课，

导入 的说法正确，得出解不等式的需要，导入新课。 激发学生学习的积极性。

【活动2】

问题1：解方程7x－5=5x＋3，并复习解方程的目标及解方程过程中用到的等式的性质。

1 不等关系与不等式(理科)

一、考点梳理

1．两个实数大小关系的比较

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.

另外，若b＞0，则有ab＞1⇔a＞b；ab＝1⇔a＝b；ab＜1⇔a＜b.

2．不等式的性质

(1)对称性：如果a>b，那么b

(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.

(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.

(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac

(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.

(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.

(7)可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．

(8)可开方性：如果a>b>0，那么na>nb(n∈N，n≥2)．

3．不等式的一些常用性质

(1)倒数性质：

①a＞b，ab＞0⇒1a＜1b.

②a＜0＜b⇒1a＜1b.

③a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd.

④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a.

(2)有关分数的性质

若a＞b＞0，m＞0，则

①真分数的性质：

ba＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)；

②假分数的性质：

ab＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)．

二、例题解析

考向一 比较大小 2 【例1】►已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．

【训练1】 已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )．

A．MN C．M＝N D．不确定

考向二 不等式性质的简单应用

【例2】►(1)(2012·上海十三校联考)若1a<1b<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②ab3，则不正确的不等式的个数是( )．

A．0 B．1 C．2 D．3