基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。
2、已知 $a,b,c$ 均为正数，且 $a+b+c=1$，求 $abc$ 的最大值和最小值。
3、已知 $a,b,c$ 均为正数，且 $a+b+c=1$，求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ 的最小值。
4、已知 $a,b,c$ 均为正数，且 $a+b+c=1$，求$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ 的最小值。
5、已知 $a,b,c$ 均为正数，且 $a+b+c=1$，求$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}$ 的最小值。
1.求函数值域1) $y=3x^2+\frac{1}{2x^2}$对于$x>0$，$3x^2\geq0$，$\frac{1}{2x^2}>0$，因此$y>0$，即函数的值域为$(0,+\infty)$。
2) $y=x(4-x)$对于$x\geq0$，$y=x(4-x)=4x-x^2\leq4$，当$x=2$时，$y=4$，因此函数的值域为$[0,4]$。
3) $y=x+\frac{1}{x}$对于$x>0$，$y=x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2$，当$x=1$时，$y=2$，因此函数的值域为$[2,+\infty)$。
4) $y=x-\frac{1}{x}$对于$x>0$，$y=x-\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2$，当$x=1$时，$y=0$，因此函数的值域为$[2,+\infty)$。
2.利用不等式求函数值1) 已知$x>2$，求函数$y=2x-4+\frac{4}{2x-4}$的最小值。
y=2x-4+\frac{4}{2x-4}=2(x-2)+\frac{4}{2(x-2)}+2$由于$x>2$，因此$2(x-2)>0$，$\frac{4}{2(x-2)}>0$，因此$y>2$。
令$t=x-2$，则$y=2t+\frac{4}{2t}+2=2t+t+\frac{4}{2t}+2\geq 2\sqrt{2t\cdot t}+2=2\sqrt{2}+2$，当$t=\sqrt{2}$时，取等号，因此$y_{\min}=2\sqrt{2}+2$。
2) 已知$x<\frac{5}{4}$，求函数$y=4x-2+\frac{1}{4x-5}$的最大值。
y=4x-2+\frac{1}{4x-5}=4(x-\frac{5}{4})+\frac{1}{4(x-\frac{5}{4})}-2$令$t=x-\frac{5}{4}$，则$y=4t+\frac{1}{4t}-2$。
对于$t<0$，$y<0$，不考虑。
对于$t>0$，由于$\frac{1}{4t}>0$，因此$y>4t-2$。
y'=4-\frac{1}{4t^2}=0$，解得$t=\frac{1}{2}$，此时$y_{\max}=4t+\frac{1}{4t}-2=3$。
3.利用不等式求最值1) 已知$x>2$，求函数$y=2x-4+\frac{4}{2x-4}$的最小值。
同上题，$y=2t+t+\frac{4}{2t}+2\geq 2\sqrt{2t\cdott}+2=2\sqrt{2}+2$，当$t=\sqrt{2}$时，取等号，因此$y_{\min}=2\sqrt{2}+2$。
2) 若$\frac{1}{2}<x<2$，求函数$y=\frac{1}{x(2-x)}$的最大值。
y=\frac{1}{x(2-x)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x(2-x)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{x}{2}\cdot(2-\frac{x}{2})}$ 由于$\frac{x}{2}\frac{1}{1}=1$，因此$y<\frac{1}{2}$。
y'=-\frac{2}{x^2(2-x)^2}=0$，解得$x=1$，此时$y_{\max}=2$。
4.巧用“1”的代换求最值问题1) 已知$a,b>0$，$a+2b=1$，求$t=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值。
t=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+2b}{ab}+\frac{1}{b}=\fr ac{1}{b}+\frac{2}{ab}$令$x=\frac{1}{b}$，则$t=x+\frac{2}{x(a+2x)}$由于$a+2x\geq2\sqrt{2ax}>2\sqrt{x}>1$，因此$\frac{1}{a+2x}x+2$。
由于$a+2b=1$，因此$a1$，因此$x=\frac{1}{b}x+2\geq3$。
令$x=1$，则$t=3$，此时取等号，因此$t_{\min}=3$。
2) 已知$a,b>0$，$a+b=1$，求$t=a\sqrt{1+b^2}+b\sqrt{1+a^2}$的最大值。
t=a\sqrt{1+b^2}+b\sqrt{1+a^2}\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{(1+b ^2)+(1+a^2)}=\sqrt{2(a^2+b^2)(a^2+b^2+1)}$由于$a+b=1$，因此$a^2+b^2\geq\frac{1}{2}$，因此$t\leq\sqrt{2(a^2+b^2)(a^2+b^2+1)}\leq\sqrt{2\cdot\frac{1}{2}\c dot\frac{5}{2}}=\sqrt{5}$。
当$a=b=\frac{1}{2}$时，$t=\sqrt{5}$，因此$t_{\max}=\sqrt{5}$。
1.满足 $a_7=a_6+2a_5$，若存在两项 $a_{14},a_n$，使得$a_ma_n=4a_1$，求 $m+n$ 的最小值。
2.求函数 $y=\frac{x^2+7x+10}{x+1}$（$x\neq -1$）的值域。
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