高中数学教学论文 过圆锥曲线焦点弦端点切线的一个性质

过圆锥曲线焦点弦端点切线的一个性质经过圆的直径两端点的切线是平行直线，这是一个众所周知的结论，那么经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线是否也有很优美的结论呢？本人经过探索发现经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线确实有很好的性质，下面就对标准位置的圆锥曲线过焦点弦两端点切线性质作一研究。

我们先来研究抛物线的性质．性质一：过抛物线焦点F 的弦AB 两端点的切线12,l l 的交点P 的轨迹是相应的准线,且APB ∠是定值2π． 证明：设抛物线的方程为22y px =（0p >），过焦点(,0)2pF 的焦点弦为AB ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则过,A B 两点的切线12,l l 的方程分别为11()yy p x x =+ ① 22()yy p x x =+ ② 由①2y ⨯－②1y ⨯得 21122()()x y y p y x y-=-. 因为22212121212,,,22y y x x y y p y y p p==∙=-≠. 所以2p x =-. 又因为2121212,,p pk k y y p y y ==∙=-.所以121k k ∙=-，即2APB π∠=.当然证明2APB π∠=，也可以用抛物线的光学性质来证显得更为简洁.过A 作AM ∥x 轴，过B 作BN ∥X 轴． 由抛物线的光学性质知：,CAM PAB DBN PBA ∠=∠∠=∠．0180MAB NBA ∠+∠=． 000180********PAB PBA ∴-∠+-∠=．即090PAB PBA ∠+∠=．即2APB π∠=．利用平几知识及抛物线定义容易得到PF AB ⊥.（证明略）抛物线有上述性质，那么椭圆、双曲线是否也有类似的性质呢？经过探索后发现确实存在类似的性质．性质二：过椭圆焦点F 的弦AB （不与长轴重合）两端点,A B 的切线12,l l 的交点P 的轨迹是焦点F 相应的准线，且APB ∠的取值范围为22(0,arctan]1ee-．(e 为椭圆的离心率) 性质三：若过双曲线焦点F 的直线与双曲线交于,A B 两点,过,A B 两点的双曲线的切线12,l l 的交点P 的轨迹是焦点F 相应的准线（除去该准线与渐近线的交点）,且当,A B在同一支上时APB ∠的取值范围为222[arctan,arctan )1e ae bππ---；当,A B 在两支上时APB ∠的范围是2(0,arctan)ab.(e 为双曲线的离心率) 先证明性质二：设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c ，焦点弦AB （不与长轴重合）两端点的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则过,A B 两点的切线12,l l 的方程分别为：222211b x x a y y a b += ① 222222b x x a y y a b += ②由①②得222211221()()b x y x y x a b y y -=- （*） 由 11(,)FA x c y =- ，22(,)BF c x y =--． ∵,,A F B 三点共线 ．所以 211221()y x y x c y y -=- 代入（*）得2a x c=，即P 点的轨迹是焦点F 相应的准线．下面证明APB ∠的取值范围为22(0,arctan]1ee -： 不失一般性设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方,即12y y >． 则APB ∠即为12l l 到的角.∵12121l x b k a y =- ，22222l x b k a y =-．12l l ∴到的角APB ∠的正切值为211222212221412412tan 11l l l l x x b b k k a y a y APB x x b k k a y y -+-∠==++=2222122121444412121212()()a b x y x y a b c y y a y y b x x a y y b x x --=++． 设AB 所在直线为x my c =+代入椭圆方程即得222222()b my c a y a b ++= 化简整理得 222224()20y b m a b cmy b ++-=．2122222b cm y y b m a∴+=-+ ， 412222b y y b m a =-+． 444412121212()()a y y b x x a y y b my c my c ∴+=+++＝4424421212()()a b m y y b mc y y b c ++++444242422222221[()(2)()]b a b m b cm b cm b c a b m a b m=-++∙-+++ 44826222426222221[2]a b b m b c m a b c b c m a b m =---+++262262622222221(1)[]a b m a b a b m a b m+=--=-+． 又2112()y y y y-=--=2221b m a==-+ 42224222144b a m a b b m a =-+=+ 22262222tan (1)a bc ab ac APB a b m b ⋅∴∠==+011<≤+ ∴ 2222tan (0,]ac acAPB b b ∠=．因为tan y α=在(0,)2π是增函数．故APB ∠ 的取值范围是22(0,arctan ]ac b 即22(0,arctan]1ee -． 下面证明性质三：设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(,0)F c ，过焦点(,0)F c 的直线与双曲线交于两点的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，过,A B 两点的切线分别为12,l l ，其方程分别为：222211b x x a y y a b -= ① 222222b x x a y y a b -= ②由①②得222211221()()b x y x y x a b y y -=- （*） 由11(,)FA x c y =- ， 22(,)BF c x y =--． ∵,,A F B 三点共线 ，所以 211221()y x y x c y y -=- 代入（*）得2a x c=（ab y c ≠±）．即P 点的轨迹是焦点F相应的准线（除去准线与渐近线的交点）．下面证明APB ∠的取值范围：(1)当1122(,),(,)A x y B x y 在同一支上时，不失一般性设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方，即12y y >,则APB ∠即为2l 到1l 的角.如图所示．∵12121l x b k a y = ， 22222l x b k a y =．2l 到1l 的角APB ∠的正切值为121222122212412412tan 11l l l l x x b b k k a y a y APB x x b k k a y y --∠==++=2222122121444412121212()()a b x y x y a b c y y a y y b x x a y y b x x --=++．0am b≤<，将x my c =+代入双曲线方程化简整理得 222224()20y b m a b cmy b -++=．2122222b cm y y b m a ∴+=-- ， 412222b y y b m a=-． 444412121212()()a y y b x x a y y b my c my c ∴+=+++＝4424421212()()a b m y y b mc y y b c ++++444242422222221[()2()]b a b m b cm b cm b c b m a b m a=+-∙+--44826226222422221[2]a b b m b c m b c m a b c b m a=+-+-- 262262262622222222221(1)(1)[]a b m a b m a b a b m b m aa ab m ++=--=-=--． 又2112()y y y y-=--=2221a b m==--4222422214b a m a b m =-=- 22262222tan (1)a bc ab ac APBa b m b ⋅∴∠=-=-+． 0a m b ≤< ，∴ 22222tan [,)ac ac aAPB b b b ∠=---．因为tan y α=在(,)2ππ是增函数，故APB∠ 的取值范围是222[arctan,arctan )ac ab bππ--即222[arctan,arctan )1e ae bππ---． (2)当1122(,),(,)A x y B x y 不在在同一支上时，不失一般性设点A 在右支、点B 在左支，根据对称性先考虑0AB k >的情况，则APB ∠即为2l 到1l 的角，如图所示： ∵12121l x b k a y = ，22222l x b k a y =．2l 到1l 的角APB ∠的正切值为121222122212412412tan 11l l l l x x b b k k a y a y APB x x b k k a y y --∠==++=2222122121444412121212()()a b x y x y a b c y y a y y b x x a y y b x x --=++.am b>. 将x my c =+代入双曲线方程化简整理得 222224()20y b m a b cmy b -++=2122222b cm y y b m a ∴+=-- , 412222b y y b m a=-. 444412121212()()a y y b x x a y y b my c my c ∴+=+++＝4424421212()()a b m y y b mc y y b c ++++262222(1)a b m a b m +=-又2112()y y y y -=--=2221b m a==--4222422214b a m b m a =-=-22tan ac APB b ∴∠==⋅ a mb > ,∴ 222tan (0,)ac aAPB b b ∠=.因为tan y α=在(0,)2π是增函数， 故APB ∠ 的取值范围是2(0,arctan)ab． 根据对称性知当a m b<-时上述结论也成立．所以当1122(,),(,)A x y B x y 在两支上时APB ∠ 的取值范围是2(0,arctan)a b． 通过上述证明我们还可以得到下面一个推论：过圆锥曲线C 的准线l 上一点作C 的两条切线,则两切点与准线l 相应焦点共线． 证明略．。

圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨数学系20021111班朱家庆指导教师向长福摘要：圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查内容。

而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的有关问题，学生在求解此类题目时，常常感到无从下手。

为解除这种困惑，在全面研究了高中数学教材及要求的基础上，通过分析、推导的方法，文章对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了研究和探讨，得出圆锥曲线焦点三角形的五条基本性质，以便使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，从而进一步提高运用这些性质去解决相关题目的数学能力和应用能力。

关键词：圆锥曲线；焦点三角形；性质；焦点On the Properties of Conic Focal Point Triangle and Focal Point String Abstract: The cone curve, as an important part of content of analytical geometry in present high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in senior high school, and so it becomes a key examination point in the college entrance examination. The most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which passes through the conic focal point. Faced with this kind of questions, some students do not always know what to begin with. To relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduction, probes into the nature of ellipse focal point triangle, the nature of hyperbolic curve focal point triangle and the nature of conic focal point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. These properties can help students further understand the conic knowledge systematically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical problems.Key words: cone curve; focal point triangle; properties; focal point1引言圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点．而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的相关问题.在求解这类问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大的繁锁，产生厌学数学的情绪．为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题方法或数学思想是很必要的．在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨圆锥曲线焦点三角形及焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用.圆锥曲线焦点三角形及焦点弦具有不少性质，许多教师或专家已做过研究.文献[2]主要是对椭圆焦点三角形的性质进行研究，而文献[7]主要是对双曲线焦点三角形的性质进行研究.文献[2]、[7]都是孤立地进行探讨，缺乏系统性，显得单一.文献[1]、[10]主要围绕焦点三角形的内切圆将椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质结合起来探讨，弥补了文献[2]、[7]的不足之处.文献[9]主要是探讨圆锥曲线焦点弦的几何特征.作为一个有机整体的圆锥曲线焦点三角形，探求其所具有的共同特征的性质应该是一件非常有意义的事情.在对文献进行分析、研究的基础上，文章主要是结合高中数学课程的要求，对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质作一定的探讨，将其系统地归纳集中或进行了一定的扩展，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力．2圆锥曲线焦点三角形的定义及性质圆锥曲线上一点与其两焦点所构成的三角形叫做圆锥曲线的焦点三角形[1].2.1 椭圆焦点三角形的性质以椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点1F ，2F 及椭圆上任意一点P （除长轴上两个端点外）为顶点的21PF F ∆，叫做椭圆的焦点三角形[2].设21PF F ∠=θ，21F PF ∠=α，12F PF ∠=β，椭圆的离心率为e 性质1:θcos 12221+=⋅b PF PF .证明：在21PF F ∆中，由余弦定理，有221212221cos 2F F PF PF PF PF =⋅⋅-+θ a PF PF 221=+ 221222142a PF PF PF PF=⋅++∴2212124cos 224c PF PF PF PF a =⋅⋅-⋅-∴θ 整理，得 .cos 12221θ+=⋅b PF PF 例1 如图：1F 、2F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF ∆是面积为1的正三角形，求2b 的值．分析：此题按常规思路是从12=∆POF S 入手，即=S 260sin 21PO OF =⋅︒求得.3342=c 所以点P 的坐标分别为2c ，c 23.由于点P ⎪⎩=+222ac b解此方程组就可得到2b 的值．但这涉及到解二元二次方程组，计算量很大，非常麻烦.若用性质1求解可使运算得以简化．解：连接,1PF 则︒=∠9021PF F ， 有21221PF F POF S S ∆∆=︒⋅⋅⋅=∴90sin 2121121PF PF .290sin 90cos 1241122=∴⋅+⋅=∴︒︒b b 性质2:.2tan221θ⋅=∆b S PF F证明：由性质1得θsin 212121⋅⋅⋅=∆PF PF S PF F .2tan cos 1sin sin cos 1221222θθθθθ⋅=+⋅=⋅+⋅=b b b 例2 已知1F 、2F 是椭圆1256422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上任一点，且321π=∠PF F ，求21PF F ∆的面积． 分析：如果设P 点的坐标为),(y x ，由P 点在已知椭圆上且321π=∠PF F ，利用这两个条件，列出关于x ,y 的两个方程，解出x ,y ．再求21PF F ∆的面积，这种方法，运算量大且过程繁杂，须另寻捷径．知道321π=∠PF F ，可以直接利用性质2求解，使运算量简化.解： 2tan221θ⋅=∆b S PF F .33256tan2521=⋅=∴∆πPF F S 例3:已知点),(00y x P )0(0>y 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任一点，且θ=∠21PF F .求证：2tan 20θ⋅=c b y . 证明： 0212221211y c h F F S PF F ⋅⋅=⋅⋅=∆ 2tan 221θ⋅=∆b S PF F =⋅⋅∴0221y c 2tan 2θ⋅b00>y .2tan 20θ⋅=∴c b y 例4:点P 是椭圆14522=+y x 上一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标．分析：要求点P 的坐标，不妨设P 点坐标为),(00y x ，由P 点在已知椭圆上和21PF F ∆的面积等于1，可列两个方程，解方程可得点P 的坐标．此题也可在例3的基础上进行求解[3]．解：设P 点坐标为),(00y x ,则有c c S c b y PF F 12tan 2120==⋅=∆θ 122=-=b a c .1100±=∴=∴y y 把10±=y 代入14522=+y x 得.2150±=x .1215121512151215），），（，），（，），（，坐标为（点----∴P 性质3 :)12arccos(22-≤<ab O θ.证明：由正弦定理，有θαβsin sin sin 2121F F PF PF ==)](180sin[sin sin sin sin sin 2121βαβαθβα+-+=+=+∴F F PF PF 2cos 2sin 22cos2sin2)sin(sin sin βαβαβαβαβαβα+⋅+⋅-+⋅=++=2sin12cos 12cos 2cosθβαβαβα=+≤+-=θcos 12-= a PF PF 221=+ )(44222221b a c F F-==θθcos 12cos 122222222-≤-∴-≤-∴b a a b a a即 2222cos a a b -≥θ. 因为πθ<<0，所以 2222arccos a a b -≤θ.当点P 在长轴上的端点时，0=θ，这时，21PF F ∆不存在，因此，)12arccos(022-≤<ab θ[4].性质4:离心率 .2cos2cosβαβα-+=e 证明：由正弦定理，有)sin(sin sin sin 212121βαθαβ+===F F F F PF PF 2cos 2sin 22cos 2sin2sin sin )sin(2121βαβαβαβαβαβα-⋅++⋅+=++=+∴PF PF F F .2cos2cosβαβα-+==∴e ac 例5（2004年福建高考题）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求这个椭圆的离心率[5].分析：由2ABF ∆是正三角形可知122AF AF =，根据椭圆的第一定义可求得a AF 2322⋅=. 再由22130cos AF F F =︒可求得离心率e.若用性质4解：根据已知条件有.30,902121︒︒=∠=∠A F F F AF （如图）.3330cos 60cos 23090cos23090cos2cos 2cos ==-+=-+=∴︒︒︒︒︒︒βαβαe 性质5:ee+-=⋅112tan2tanβα. 证明：由正弦定理，有θαβsin sin sin 2121F F PF PF == βαβαβαθsin sin )sin(sin sin sin 2121++=+=+∴PF PF F F =++==∴βαβαsin sin )sin(a c e 2cos2sin 22cos2sin2βαβαβαβα-+++ 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin2sin 2cos 2cos 2cos 2cosβαβαβαβαβαβα⋅+⋅⋅-⋅=-+=2tan2tan 12tan2tan1βαβα⋅+⋅-=e e +-=⋅∴112tan 2tan βα.例6:如图，P 是椭圆12222=+by a x 上一点，1F 、2F 是焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF 求椭圆的离心率[6]．分析：知道,2,1221αα=∠=∠F PF F PF 我们可以直接利用性质5解题．解：由性质5有e e ee+-=⋅=⋅∴+-=⋅11cos 2cos 2sin cos sin 2cos 2sin1122tan2tan22αααααααααee+-=+-∴11cos cos cos 122ααα 化简，得.1cos 2-=αe2.2 双曲线焦点三角形的性质以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点1F 、2F 及双曲线上任意一点P （除实轴上两个端点外）为顶点的21PF F ∆，叫做双曲线的焦点三角形[7].例1:设1F 和2F 为双曲线191622=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足︒=∠9021PF F ，求21PF F ∆的面积. 解： 1890cos 192cos 12221=-⨯=-=⋅︒θb PF PF 990sin 2121=⋅⋅⋅=∴︒PF PF S . 性质2:2cot221θ⋅=∆b S PF F .证明：由性质1得θsin 212121⋅⋅⋅=∆PF PF S PF F θθsin cos 12212⋅-⋅=b θθcos 1sin 2-⋅=b θθθsin cos 12tan-=θθθcos 1sin 2cot -=∴ 2cot 221θ⋅=∴∆b S PF F .例2:已知点1F （0,2-）、2F （0,2），动点P 满足212=-PF PF .当点P 的纵坐标是21时， 若令θ=∠21PF F ，求2cotθ的值．解：由双曲线的第一定义可知点P 的轨迹方程为).0(122<=-x y x 则2,122==c b .所以222122121=⋅⋅=∆c S PF F.222cot222cot2=∴=⋅∴θθb例3:设点)0)(,(000<y y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任一点，且,21θ=∠PF F求证：.2cot 20θ⋅-=c b y 分析：此题根据已知条件列方程求解，计算量大且过程繁琐，应另外寻求解法，由于0y 和21PF F ∆的高相等，不妨从21PF F ∆的面积入手进行求解.证明：0212121y F F S PF F ⋅⋅=∆ 2cot 221θ⋅=∆b S PF F 2cot 22120θ⋅=⋅⋅∴b y c 00<y .2cot 20θ⋅-=∴c b y性质3:离心率 2sin2sinαβαβ-+=e （βα≠）.证明：由正弦定理，有)sin(sin sin sin 212121βαθαβ+===F F F F PF PF αβsin sin ≠ .)sin(sin sin 2121βααβ+=--∴F F PF PF即=-⋅+2sin 2cosαβαβa2cos 2sinαβαβ+⋅+c又 02cos,≠+<+<βαπβαo 2sin2sinαβαβ-+==∴ac e .例4:（2002年上海高考题） 如图，已知1F 、2F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且︒=∠3021F PF .求双曲线的渐近线方程．分析：由于双曲线的渐近线方程为x aby ±=，若能求出a ,b 的值，渐近线方程就可确定.在此题中，我们不易求出a ,b 的值，我们将x ab y ±=作一下变形，2222222222)1(x e x a a c x a b y ⋅-=⋅-=⋅=，若能求出e 的值，则渐近线方程就求出．知道︒=∠3021F PF ，︒=∠9012F PF ，利用性质4解：330sin 60sin 2sin 2sin==-+=︒︒αβαβe.2222x y x y ±=∴=∴ 性质4 :（1）当P 点在双曲线右支上时 .112cot 2tan +-=⋅e e βα（2）当P 点在双曲线左支上时 .112cot 2tan +-=⋅e e αβ证明：（1）当P 点在双曲线右支上时.221a PF PF =- 由正弦定理，有βsin 1PF =)sin(sin sin 22)sin(sin sin sin sin sin 2121βααββααβθαβ+-=∴+-=-=-∴c a F F PF PF =-+==∴αββαsin sin )sin(a c e 2sin2cos 22cos2sin2αβαββαβα-+++ 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin2cos2cos2sin2sin 2sinαβαββαβααββα⋅-⋅⋅+⋅=-+=2cot2tan 12cot2tan1βαβα⋅-⋅+= .112cot 2tan +-=⋅∴e e βα.13+=∴e 3圆锥曲线焦点弦的性质性质1:过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于点P 、Q ，1A 、2A 为椭圆长轴上的顶点，P A 1和Q A 2交于点N ，P A 2和Q A 1交于点M ，则NF MF ⊥.证明：如图，设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则可设点F 的坐标为),0,(c -点P 、Q 的坐标分别为)sin ,cos (ααb a ，)sin ,cos (θθb a ，则P A 1的方程为 ).()cos 1(sin a x a b y +⋅+=αα①Q A 2的方程为).()1(cos sin a x a b y -⋅-=θθ ② 由①②得2cos2cossin sin )sin()]sin(sin [sin θαθαθαθαθαθα-+⋅=---+--=a a x ③由于点P 、F 、Q 共线，则有ca b c a b +=+θθααcos sin cos sin 化简，得)sin (sin )sin(αθθα-=-c a2sin2sin2cos22cos2sin 2≠--⋅+⋅=-⋅-⋅∴αθαθαθθαθα c a c a -=-+∴2cos2cosθαθα④ 将④式代入③式，得c a x 2-=所以，点N 的坐标为).)1(cos )(sin ,(2-+--θθc c a b c a 同理，点M 的坐标为))1(cos )(sin ,(2+---θθc c a b c a [9].∴.1)()1(cos sin )(4422222222-=-=-⋅--=⋅bb c ca cbc a K K NFMF θθ 即 .NF MF ⊥ 性质2:过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于P 、Q 两点，1A 、2A 为双曲线实轴上的顶点，P A 1和Q A 2相交于点N ，Q A 1和P A 2相交于点M ，则NF MF ⊥. 证明与性质1的证明类似，从略．性质3:过抛物线的焦点F 线交AQ 于点M ，过Q 证明：设抛物线方程为)0(22>=p py x ，则点P 的坐标可分别设为)2,2(211pt pt ，2,2(2pt 因为P 、F 、Q 三点共线，所以121222pt p pt =-化简，得 1421-=t t . 又PA 的方程为 t y 1=由①②得.2221p t pt y -== 即 点N 的坐标为)2,2(2pt -. 同理点M 的坐标为)2,2(1pt -[10]. .12221-=-⋅-=⋅∴pt p pt p K K NF MF 即 .NF MF ⊥4总结文章主要是在对文献进行分析、研究的基础上，结合高中数学课程的要求，将具有共同特征的椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质进行系统地归纳集中，得出五条基本性质，并采用初等方法进行了证明，对圆锥曲线焦点弦的性质进行有机统一，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力. 参考文献[1]唐永金.圆锥曲线焦点三角形的性质探微[J].数学通报,2000,(9):24～25. [2]熊光汉.椭圆焦点三角形的若干性质[J].数学通报,2004,(5):24～25.[3]人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）[M]，北京：人民教育出版社，2004.[4]李迪淼.关于椭圆的十个最值问题[J].数学通报,2002,(4):24～25.[5]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略（数学）[M].海南：南方出版社，2005.[6]薛金星.中学教材全解高二数学（上）[M].陕西：陕西人民教育出版社,2003.[7]徐希扬.双曲线焦点三角形的几个性质[J].数学通报,2002,(7):27.[8]潘际栋.黄冈新考典十年高考分类解析及命题趋势[M].吉林：延边大学出版社，2005.[9]李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质[J]. 数学通报,2001，（5）：23.[10]毛美生范慧珍.圆锥曲线的一组相关性质[J].数学通报,2002,(12):27～28.指导教师评语：圆锥曲线是高中解析几何的重要内容，现行高中教材仅介绍了圆锥曲线的一些基本性质，对解决较复杂的圆锥曲线问题就显得无能为力了，而在其他一些的文献中，虽对有关内容也有探讨，但只是停留在解题的层面上，不系统更未形成独立的体系。

高中圆锥曲线性质总结全面经典
一、椭圆的性质
* 椭圆是固定点到平面上所有点的距离之和等于常数的轨迹。

* 椭圆具有两个焦点和长轴、短轴。

焦距定理：椭圆上任意一
点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。

* 椭圆的离心率小于1，且离心率越小，椭圆越圆。

二、双曲线的性质
* 双曲线是固定点到平面上所有点的距离之差等于常数的轨迹。

* 双曲线具有两个焦点和两个虚焦点。

焦距定理：双曲线上任
意一点到两个焦点的距离之差等于常数的绝对值。

* 双曲线的离心率大于1，且离心率越大，双曲线越扁。

三、抛物线的性质
* 抛物线是固定点到平面上所有点的距离等于常数的轨迹。

* 抛物线具有一个焦点和一个直线称为准线。

焦点到准线的距
离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。

* 抛物线的离心率等于1，且离心率为1的抛物线为特殊情况。

四、圆形的性质
* 圆是平面上所有距离中心点相等的点的集合。

* 圆的半径是由圆心到圆上任意一点的距离。

* 圆上的弧度是由半径对应的圆心角所确定，弧度等于圆心角
的度数除以360度再乘以2π。

以上是高中圆锥曲线的性质总结。

希望对你有帮助！。

关于圆锥曲线的二级结论一、概述圆锥曲线是平面解析几何中的重要概念，由于其广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域，因此对其性质和特征的研究具有重要意义。

本文将介绍圆锥曲线的二级结论，包括焦点定理、切线方程和法线方程等内容。

二、焦点定理1.定义焦点定理是描述圆锥曲线与其两个焦点之间距离关系的定理。

对于一个圆锥曲线，它与其两个焦点之间的距离之和等于常数2a，即：PF1 + PF2 = 2a其中PF1和PF2分别表示曲线上任意一点到两个焦点的距离。

2.证明为了证明焦点定理，我们可以使用以下方法：（1）假设一个圆锥曲线C是由一个固定点F1和一个固定直线L（称为直母线）生成的。

将另一个焦点F2定义为C上任意一点P到直母线L垂直平分线与L交点。

（2）根据定义得到PF1 + PF2 = 2a。

（3）利用勾股定理可以得到：PF1^2 = d^2 + (a - x)^2PF2^2 = d^2 + (a + x)^2其中d表示点P到直母线L的距离，x表示点P到直母线L垂直平分线的距离。

（4）将PF1和PF2代入焦点定理公式中，得到：d^2 + (a - x)^2 + d^2 + (a + x)^2 = 4a^2化简可得：x^2 = a^2 - d^2这个结论表明，圆锥曲线上任意一点到其两个焦点的距离之和等于常数，与其到直母线的距离平方成比例。

三、切线方程和法线方程1.定义对于一个圆锥曲线C上任意一点P，我们可以定义它的切线为通过该点且与C相切的直线。

同样地，我们可以定义它的法线为通过该点且垂直于切线的直线。

对于一个二次曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），其在某个点处的切线和法线可以用以下方式求出：（1）切线方程：设该曲线的方程为F(x,y) = 0，在点P(x0,y0)处求出F(x,y)在x=x0处的偏导数F’(x0,y0)，则该曲线在点P处的切线方程为：y - y0 = F’(x0,y0)(x - x0)（2）法线方程：设该曲线的方程为F(x,y) = 0，在点P(x0,y0)处求出F(x,y)在x=x0处的偏导数F’(x0,y0)，则该曲线在点P处的法线方程为：y - y0 = -1/F’(x0,y0)(x - x0)2.举例以椭圆为例，设其方程为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1则在点P(x0,y0)处，有：F(x,y) = (x^2/a^2) + (y^2/b^2) - 1F’(x,y) = 2x/a^2 + 2y/b^2因此，该椭圆在点P(x0,y0)处的切线方程为：y - y0 = (-x/a^2)/(y/b^2)(x - x0)化简可得：(y - y0)/(b^2/a^2)(x - x0) = -(x - x0)/a^2同样地，它的法线方程可以由切线方程变形得到：(y - y0)/(b^2/a^2)(x - x0) = a^2/(y - y0)四、总结本文介绍了圆锥曲线的二级结论，包括焦点定理、切线方程和法线方程等内容。

圆锥曲线的切线性质及统一作法在“圆锥曲线的统一定义”一节的教学中，笔者尝试以“统一定义”为理论基础在几何画板上构建三种圆锥曲线的统一作法，以便通过控制离心率的变化来演示三种圆锥曲线的连续变化和相互联系。

然而遇到了不小的困难，在探索新作法过程中，发现了圆锥曲线一个统一的、奇妙的性质。

先看圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点和到一条定直线（定点在直线外）的距离之比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

几何画板生成轨迹的一个重要原则是：寻找一个主动点来提供运动方式，从这个主动点出发，依照确定的步骤作出一个或多个从动点（即构成轨迹的动点），从而生成轨迹。

以“统一定义”为基础的作法中最大的困难在于：从动点需要满足的条件多而分散，不易选取适当的主动点来构建从动点，而且以圆为中介的线段变换使生成的轨迹带有明显的缺陷，即曲线有尖角、断裂等不光滑现象。

于是笔者分别以各自独立的方式生成三种圆锥曲线并置研究，探索出一个共同的性质，从而发现了圆锥曲线的一个新的统一生成方式。

圆锥曲线的统一性质圆锥曲线如图1，记焦点F，顶点A，准线l，过点A作对称轴FA的垂线m，设点P为曲线上任意一点，PFA∠的平分线交l于点Q，交m于点C，延长AC到点E，使AC=CE，则P、E、Q三点共线。

如果圆锥曲线是椭圆（或双曲线），记长轴（或实轴）另一侧顶点为A’，则有A’、P、E、Q四点共线；且直线PC为圆锥曲线的切线由此性质，衍生出圆锥曲线的一个统一作法（如图2），步骤如下1）在平面上取一个点F和一条直线l（点在线外），过点F作直线l的垂线段FD，垂足为D；2）在FD上任取一点记为A，过A作直线m垂直于FD；3）以点F为圆心作任意大小的圆，在圆周上任取一点B，作出直线BF；4）作BFA∠的平分线交l于点Q，交m于点C，延长AC到点E，使AC=CE；图1 图25）作直线QE 交直线BF 于点P ；6）以B 为主动点、P 为从动点生成点P 的轨迹，此轨迹即为圆锥曲线，其中F 为焦点，A 为顶点，l 为准线，AD AF 为离心率。

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圆锥曲线焦点弦的六个性质
作者：莫记福
来源：《中学教学参考·理科版》2013年第05期
高中所学的圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的焦点弦有许多共同的性质，本文研究其中的六个性质及其简洁证明，供读者参考.首先要指出的是，本文研究的双曲线的焦点弦是指
过焦点且端点在同一支上的弦.
性质一：圆锥曲线过焦点的所有弦中，通径最短.
对于椭圆，证明如下：如图1，设椭圆方程为x2a2 +y2b2 =1（a>b>0）
，右焦点为F（c，0），右准线l的方程为x=a2c ，l与x轴交于点E，过焦点F作一直线与椭圆交于A、B两点，记AB的中点为C，分别过点A、B、C作直线l的垂线AM、BN、CD，垂足分别为M、N、D，则由椭圆的第二定义得：。

圆锥曲线切线的一条性质圆锥曲线就是由平面上一条固定的直线（称为母线）和固定点（称为焦点）所确定的一类曲线。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

在圆锥曲线上，每个点都有一个切线。

本文将讨论圆锥曲线切线的一条重要性质。

在平面直角坐标系中，设圆锥曲线的方程为F（x，y）= 0。

假设在点（x0，y0）处存在一条切线L。

定义切线L的斜率为K。

现在我们来探讨一下圆锥曲线切线的性质。

性质1：切线斜率K的取值范围对于一个圆锥曲线，它在每一个点上都必然存在一条切线。

当我们观察切线时，我们会发现它的斜率是有限的。

考虑某一切点（x0，y0），假设这个点在椭圆上，我们用红色的线段表示作为切线的三角形，其中斜率为K，如下图所示。

在上图中，我们可以看到切线L的方程为y = Kx + b。

斜率K 可以表示为K = tanθ。

因此，图中的角度θ可以表示为tanθ = K。

我们可以看出，当θ沿逆时针方向旋转时，斜率K也会变化。

由于计算机对于圆周的表达方式是具有周期性的，所以圆锥曲线切线在θ增加2π时也应该和之前的情况是相似的。

这样，我们就得到了切线斜率K的取值范围。

椭圆：在椭圆上，斜率K的取值范围是-K0 < K < K0，其中K0是椭圆的一个与x轴平行的主轴斜率。

抛物线：在抛物线上，斜率K的取值范围是负无穷到正无穷。

双曲线：在双曲线的左侧或右侧，斜率K的取值范围是-K0 <K < K0，其中K0是双曲线的一个与x轴平行的渐近线斜率。

在双曲线的内部，斜率K的取值范围是-K0 > K 或 K > K0。

性质2：切线和法线的夹角相等在圆锥曲线上的任何一点，切线和法线都垂直相交。

因此，切线和法线有一个重要的性质：它们夹角相等。

我们假设在某一点p（x0，y0）处存在一条切线L，斜率为K。

我们来求一下切线的方程式。

切线可以表示为y - y0 = K（x -x0）。

因为圆锥曲线F（x，y）= 0在点p上有一个切线L，所以它在这个点的导数存在，即有：F’（x0，y0）= 0。

过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上证明1.引言1.1 概述概述部分的内容:引言部分旨在介绍本篇长文的主题和核心内容，即通过证明过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上。

本文将从引言、正文和结论三个部分展开论述。

在几何学中，焦点是指与其它物体或地方相集中的点。

焦点弦是通过焦点且与圆相交的线段，而准线是与焦点齐平且与焦点连线垂直的直线。

本文将研究当过焦点弦的端点的切线互相垂直，且两条切线的交点在准线上时的几何性质和证明过程。

本文的结构分为三个部分，分别是引言部分、正文部分和结论部分。

引言部分将对研究主题进行概述，明确本文的目的和结构。

正文部分将详细介绍过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上的证明过程，涉及相关的定义、定理和证明思路。

结论部分将对证明结果进行总结，并给出进一步研究的建议和意义。

通过本文的研究，可以深入理解焦点弦和切线的几何性质，为后续的几何学研究提供基础，并有助于解决相关的数学问题。

1.2文章结构文章结构：本文分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分包括概述、文章结构和目的三个小节。

在概述部分，将简要介绍过焦点弦的概念和相关定义，并强调问题的重要性。

文章结构部分将详细列出本文的每个部分，并说明各个部分之间的逻辑关系。

目的部分将明确阐述本文的目标和意义，即证明过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上。

正文部分将以两个要点展开。

在第一个要点中，将详细介绍过焦点弦的定义及相关性质，引入相关的数学定理和推论。

通过推导和证明，逐步建立起过焦点弦的端点的切线互相垂直的数学模型。

在第二个要点中，将进一步探讨切线交点是否在准线上，引入准线的概念和性质，分析切线和准线的关系，并进行相应的推理和证明。

结论部分将对整个文章进行总结，并得出结论。

总结部分将回顾本文的主要内容和证明过程，以及相关的数学推理和定理。

结论部分将明确指出过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上的证明成立，并对其意义进行简要讨论。

双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数圆锥曲线中的重要性质经典精讲上性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆 双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段（长为2b ）2 21已知动点P 在椭圆—L 4 3 1上，F i , F 2为椭圆之左右焦点，点 G F 1PF 2内心，试求点G 的轨迹方程 x 2 2 •已知动点P 在双曲线一 4 3 仝 1上，F 1, F 2为双曲线之左右焦点,圆G 是厶F 1PF 2的内切圆，探究圆G 是否过定点，并证明之• 性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。

椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 IAF 1 | |BF 1 |ep|AF | |BF | epAB 在同支时I AR | | BF 1 | ep—AB 在异支时ep性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数此求四边形ABCD 面积的最小值•性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值X 2 y 25.已知椭圆-冷1,点F 1为椭圆之左焦点，过点F 1的直线11分别交椭圆于A , B 两点,II设直线AB 与 y 轴于点M , MA AFtMB BF 1,试求性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点 A 作两焦点的焦点弦AB AC 其共线向量比之和为定值. 即AF 1 F 1 B AF 2 F 2C12 1F A?FB 恒成立•并由此求I ABI 的最小值•椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数2 e 2双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep|AB||CD ||2 e 2|2ep2 e 2|AB||CD|2ep24.已知椭圆—4 2红 1 , F 1为椭圆之左焦点，过点 F 1的直线11,12分别交椭圆于 A, B 两3点和C, D 两点，且 I 112 ,是否存在实常数，使的值.实常数 ，恒成立•并由⑴求椭圆C 的方程;⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点 F i , F 2的弦分别为ES, ET ,设圆锥曲线中的重要性质经典精讲中2性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N( t,0 )的一条弦端点与对应点Y ，0的连线所成角被对称轴平分。

圆锥曲线的定义与基本性质圆锥曲线是仿射空间中的一类特殊曲线，由一个固定点（焦点）到一个固定直线（准线）上所有点的距离与一个常数之比为定值的点构成。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

在本文中，我们将探讨圆锥曲线的一些基本定义及性质。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点 p（称为焦点）和一个不包含 p 点的直线 l（称为准线）所确定的曲线。

圆锥体沿着准线 l 延伸，取一个点 r，使得 pr:rd 是定值，其中 d 为点 r 到直线 l 的距离。

设 F1,F2 是焦点，l 为准线，e 为离心率，则 e=PF1/PS，其中 S 是公共焦点。

- 当 e<1 时，得到椭圆；- 当 e=1 时，得到抛物线；- 当 e>1 时，得到双曲线。

例如，下图中，以点 F 为焦点，线段 CD 为准线，且焦距PF/CD=1/2，得到的曲线就是抛物线。

二、圆锥曲线的参数方程对于椭圆而言，可以使用参数方程来描述：x=a cos⁡ty=b sin⁡t其中 a 和 b 分别代表椭圆在 x 轴和 y 轴方向上的半径，t 为变量。

类似的，可以得到双曲线和抛物线的参数方程。

三、圆锥曲线的焦点和直径对于圆锥曲线，焦点和直径是十分重要的性质之一。

对于椭圆而言，每一条直径的中点都会落在坐标系的第一象限中，且椭圆的两个焦点都位于坐标轴上。

对于双曲线而言，每一条直径的中点都会落在 x 轴中线上，且双曲线的两个焦点都位于 x 轴上。

对于抛物线而言，它没有焦点，但总存在一个顶点，即曲线的最高点或最低点，每一条与顶点连线垂直于开口的那一侧的直线都称为该抛物线的一条直径。

四、圆锥曲线的离心率和倾角离心率 e 是一个很重要的度量曲线形状的参数，表示焦点与准线之间距离的比值。

其定义为 e=PF/PS，其中 PF 为焦点到曲线表面上一点的距离，PS 为焦点到准线的距离。

而圆锥曲线的倾角则是准线与 x 轴的夹角。

对于椭圆和双曲线而言，倾角的值随着离心率的增大而减小，对于抛物线而言，则为 45 度。

过抛物线焦点弦端点作其切线的一些结论授课时间课题过抛物线焦点弦端点的切线的探究授课教师授课班级1、掌握抛物线的图像和性质，巩固圆锥曲线中常见的垂直的证明方法，增强学生解决综合性问题的信心. 教2、通过学生的研究讨论，发挥学生自主学习的能动性，提高学生分析问题、解决问题的能力. 培学目养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力. 标 3、通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度.与抛物线焦点弦有关的垂直关系和证明及应用. 重点难点与抛物线焦点弦有关的垂直关系的证明和应用.教师活动学生活动设计意图一、课前回顾与反思前面我们研究了过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，过这两点的切线的交点的轨迹问题. 首先请一名同学回忆一下研究的过程和结果. 研究过程为：2已知：如图1，设抛物线为xpyp,,2(0)，焦点为，过F点学生回忆的直线与抛物线相交于、两点，过、的切线相交于FABAB点，求点的轨迹. PP回忆研究的过程，从中体会研究教的方法，为下面进一步学探究做铺垫. 过程解：设直线p学生回答 ykx,，的方程为， AB2p, ykx,，,联立直线方程和抛物线方程有 AB2,2,xpy,2, 22整理有 xpkxp,,,202由抛物线方程xpyp,,2(0)，22xx12可设点(,)x(,)x、的坐标分别为、. AB122p2p2由韦达定理可知 xxp,,xxpk，,2， 12121教师活动学生活动设计意图2xx2由xpy,2，得，y',. y,p2p 过点、的切线的斜率分别为 ABxx 12'|,'|,yy，， xx,xx,12 pp 于是过点的切线方程为： AAP回忆研究的过2xx11学生回答程，从中体会研yxx,,,()， 12pp 究的方法，为下2 面进一步探究xx11整理得 ? yx,, 做铺垫. pp2同理可得：过点的切线的方程为 BBP2xx22. ? yx,, pp2 xx，xx1212 联立?、?，解得x,，. y,2p2教xx， ,12x,,学 ,, 动画演示结论，2 即 ,p 加深学生对结,过y,,. ,,2 论的认识和理解. 程 p所以两条切线交点的轨迹方程为y,,， 2 2这恰是抛物线xpy,2的准线. 通过这名同学的回答，我们体会证明过程中的几个闪光教师点评，指出点.首先，在设、两点的坐标时灵活运用了抛物线方程，AB 证明过程中的减少了未知数的个数，为简化运算作了铺垫；其次，在寻求关键点和突破口. xx与的关系时，巧妙地借助“韦达定理”，很快找到了问p12题的突破口. 二、合作学习，探究新知结合解题过程，仔细观察图形，你能得到那些垂直关系？并试着加以证明.（可适当添加辅助线）学生主动探究，教师巡视，遇到合作交流学生的问题加通过学生探究，可能得到如下几个结论：以指导. 结论1——. APBP,2教师活动学生活动设计意图【证明】由上面可知过点、的切线的斜率 AB xx 12分别为， ',yy',xx,xx,12 ppxx 21k,k,即PBPA，学生分组合作， pp共同探究新的2结论整个教学过程xxp,12易知kk,,,,,1 22PAPB 中，教师只是启pp发、引导，证明故. APBP, 推理过程由学生来完成，充分结论2——连结PF可证. PFAB, 体现学生的主体地位和教师的主导作用.教学过程【证明】如图2，易知xx，12PFp,,(,)， 222xx,21ABxx,,(,) 212p22()()xxxxxx，,,121221PFAB,，,0 22故. PFAB,由结论2我们还可以推导出更多结论2比如：?PFFAFB,,是直角斜边上的高，从而． PF,PAB2?||||||APAFAB,2?||||||BPBFBA,222?||||||APBPAB，,3教师活动学生活动设计意图结论3——设xx与轴交于点，与轴交于点，可证CDPAPB、和. CFAP,FCFD,DFBP,学生分组合作，共同探究新的结论【证明】如图3由题意可知22xxxx1122lyx,,lyx,,::； PAPBpppp22 教 x1x(,0)与轴交于点C，点C坐标为， PA 学2通过学生分组x2x(,0)与轴交于点，点坐标为， DDPB过学习，发挥学生 2自主学习的能22程xp xxxp,，1211动性，提高分析由PA,(,)CF,,(,)，22p22问题和解决问题的能力，逐步22xxxxp,,p培养学生的钻2111可知 CFPA,，,0 2222p研精神.故CFAP,，证明思路相同（略）. DFBP, 由上面可知在四边形FCPD中，三个角，FCP、，CPD、，DFCFCFD,都是90?，可知也为90?，即. ，PDF （到此，主要的垂直结论均已找出并证明，下面根据课上实际的情况选择是继续挖掘其他结论还是做练习题.）思考:以为直径的圆（即的外接圆）与抛物线的准ABABP线有什么位置关系？并证明你的结论.结论4——以为直径的圆与抛物线的准线相切于点. PAB(过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线)4教师活动学生活动设计意图学生完成证明学生在合作交流的探究氛【证明】如图4，取中点为， Q围中思考、质AB 疑、倾听、表述，则点为以为直径的圆的圆心， QAB 体验到成功的连接PQy//轴，要证和准线垂直，只需证. PQPQ 喜悦，学会学xxyy，，习、学会合作． 1212由点PQy//轴(,)坐标为可知， Q 22所以以为直径的圆与抛物线的准线相切于点. P AB 结论5——由和可知，以为直径的圆CFAP,DFBP,FA 教（即xACF的外接圆）与轴相切于点C；以为直径的圆FB （即x的外接圆）与轴相切于点. BDFD学（证明思路同上）三、应用结论，解决问题过刚才同学们的回答很踊跃，总结出来的结论也很有水平，这说明我们的同学不仅具备了很强的运算求解能力，还具备了程很强的观察能力、归纳能力、探索发现能力，下面我们做一个练习.（08东城第一学期期末理19题）已知抛物线2x,2py(p,0)，过焦点的动直线交抛物线于两点，lA,BF 抛物线在两点处的切线相交于点. A,BQ（?）求OA,OB的值；（?）求点Q的纵坐标； 2 （?）证明：. QF,AF,BFp （?）解：设直线y,kx，l的方程为. 2应用前面结论深化前面结论p的证明思路，完,的证明思路，增y,kx，,,22 由成练习题. x,2pkx,p,0 可得. 强解决圆锥曲2,2 ,线综合题的信x,2py,,心，为高考打好2 则xx,,px，x,2pk,. 1212基础. 2ppp yykxkx,,，,，,()(). 121222432?OAOBxxyyp,,，,,. 121245教师活动学生活动设计意图在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提应用前面结论高学生抽象概2（?）由xx2的证明思路，完括、分析归纳及,x,2py，可得，. yy',2pp成练习题. 语言表述等基2 本的数学思维xx11在点处的切线方程为即. ,,yxA 能力． p2p2xx22在点处的切线方程为. ,,yx Bp2p 2教 ,xx 11xx，,12y,x,,,x,,,p2p,2,学解方程组可得 ,, 2p,xx,y,,.22y,x,, ,过,2 ,p2p,p程即点的纵坐标为. Q,2 (?)证明：如图5，连接.由（?）可知易知 PF2xx,p 12kk,,,,,1，即. APBP,22PAPBpp2 可证，所以. QF,AF,BFPFAB, 四、课堂小结，提炼升华由于时间关系今天我们就探究到这里，课下请同学们想一想这个题的一些结论能否推广，或者改变一个条件是否还能得到类似的结论吗？1、本节课重点研究了抛物线中常见的垂直关系，并在此基础上研究了一些平行关系和重要的圆；2、要注意提高计算和推理论证能力，树立转化意识、方程思想，学会用代数的方法研究几何图形及其性质，树立事物间普遍联系，在一定条件下可以相互转化的观点.3、体会认真观察，大胆猜想，严谨证明，推广应用的数学发现和研究过程.在观察中思考，在猜想中提升，在证明中严谨，在应用中创新.6圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分知识的特点是：综合性强，问题涉及函数、方程、不等式、三角、平面几何等很多方面的知识，蕴含着数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法，对学生的数学学习能力及思维能力的考察要求较高。