新课标人教A版名师对话数学理一轮复习作业10.2排列组合(含答案详析)

§排列与组合．排列()排列的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素，按照排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．()排列数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．()排列数公式：＝.这里，∈*，并且．()全排列：个不同元素全部取出的一个，叫做个元素的一个全排列．＝×(－)×(－)×…×××＝，因此，排列数公式写成阶乘的形式为＝，这里规定！＝.．组合()组合的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．()组合数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．()组合数公式：＝)＝＝．这里∈*，∈，并且≤.()组合数的两个性质：①＝；②＝＋.自查自纠．()一定的顺序()所有不同排列()(－)(－)…(－＋) ≤()排列！．()合成一组()所有不同组合()()①②()把椅子摆成一排，人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )．．．．解：剩余的个座位共有个空供人选择就座，故任何两人不相邻的坐法种数为＝.故选.()某单位要邀请位教师中的位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有( )．种．种．种．种解：不同的邀请方法有：＋＝＋＝种．故选.()用数字，，，，，组成没有重复数字的五位数，其中比大的偶数共有( )．个．个．个．个解：该五位数从左向右首位是时，末尾取或，有＝个；该五位数从左向右首位是时，末尾取，或，有＝个．由分类计数原理知共有＋＝个符合要求的五位数．故选.()某电视台连续播放个广告，其中有个不同的商业广告和个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有种．(用数字作答)解：先确定一个公益广告最后播放，再排另一个公益广告，最后排三个商业广告，不同的播放方式有··＝种．故填.()在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为(结果用数值表示)．解：由题意，总数去掉选名女教师的情况即可，故所求为－＝－＝.故填.类型一排列数与组合数公式()解方程＝；()解方程＝＋＋.解：()利用＝，＝，得到＝.利用(－)！＝(－)(－)(－)！，将上式化简后得到(－)(－)＝×.再化简得到－＋＝.解方程得＝，＝.由于和有意义，所以满足≤和－≤.于是将＝舍去，原方程的解是＝.()由组合数的性质可得＋＋＝＋＋＝＋，又＝，且＝＋，即＋＝＋.∴＝，∴＝＋，＝.经检验知＝符合题意且使得各式有意义，故原方程的解为＝.【点拨】()应用排列、组合数公式解此类方程时，应注意验证所得结果能使各式有意义．()应用组合数性质＝＋时，应注意其结构特征：右边下标相同，上标相差；左边(相对于右边)下标加，上标取大．使用该公式，像拉手风琴，既可从左拉到右，越拉越长，又可以从右推到左，越推越短．()解方程：＝＋；。

第二节排列与组合[考纲传真](教师用书独具)1.理解排列与组合的概念.2.理解排列数公式、组合数公式.3.能利用公式解决一些简单的实际问题．(对应学生用书第170页)[基础知识填充]1．排列、组合的定义2.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．().()(4)k C k n＝n C k－1n－1[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言()A．1 560条B．780条C．1 600条D．800条A[由题意，得毕业留言共A240＝1 560条．]3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种D[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13·C24·A22＝36(种)，或列式为C13·C24·C12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D．]4．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56 C．49 D．28C[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有C17C22种方法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种选法．法二(间接法)：从9人中选3人有C39种方法，其中甲、乙均不入选有C37种方法，∴满足条件的选排方法有C39－C37＝84－35＝49种．]5．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种．60[5人的全排列，B站在A的右边与A站在B的右边各占一半，∴满足条件的不同排法共12A55＝60种．](对应学生用书第171页)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．[解](1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．[规律方法]求解排列应用问题的六种常用方法[跟踪训练](1)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A．34种B．48种C．96种D．144种(2)(2017·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．(1)C(2)36[(1)程序A的顺序有A12＝2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有A22A44＝48种结果，由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法．(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有A22A33种方法．再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法．]某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选．[解](1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有C15·C48＝350种．(2)两队长当选，共有C22·C311＝165种．(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．(或采用排除法：C513－C511＝825(种))．(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种．[规律方法]组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.[跟踪训练](1)(2018·银川质检)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生选考方法种数共有() 【导学号：97190346】A．6 B．12C．18 D．24(2)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种(1)C(2)D[(1)法一：所有选考方法可分两类：第一类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选一科有C13种不同的选法，第二步，考生从政治、历史、地理三科中任选二科有C23种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C13C23种不同的选法；第二类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选二科有C23种不同的选法，第二步，从政治、历史、地理三科中任选一科有C13种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C23C13种不同的选法．根据分类加法计数原理，考生共有C13C23＋C23C13＝18种不同的选考方法，故选C．法二：依题意，考生共有C36－2C33＝18种不同的选考方法，故选C．(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴不同的取法共有C45＋C44＋C25C24＝66种．](1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A．300 B．216C．180 D．162(2)(2017·江南名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( )A ．240种B ．180种C ．150种D ．540种(1)C (2)C [(1)分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C 23C 22A 44＝72个没有重复数字的四位数；第2类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C 12C 23(A 44－A 33)＝108个没有重复数字的四位数．根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个)．(2)5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式．当5名学生分成2,2,1时，共有12C 25C 23A 33＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有C 35A 33＝60种方法．由分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．][规律方法] 1.排列组合综合题思路，先选后排，先组合后排列.当有多个限制条件时，应以其中一个限制条件为标准分类，限制条件多时，多考虑用间接法，但需确定一个总数.2.(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法.(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.[跟踪训练] (1)(2018·东北三省四市模拟(一))哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习．要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为( )【导学号：97190347】A ．40B ．60C ．120D ．240(2)(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)(1)B(2)660[从五个不同部门选取两个部门有C25种选法，将4名大学生分别安排在这两个部门有C24C22种方法，所以不同的安排方案有C25C24C22＝60种，故选B．(2)法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．]。

高考数学一轮复习学案：10.2 排列与组合（含答案）10.2排列与组合排列与组合最新考纲考情考向分析1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.以理解和应用排列.组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析.解决问题的能力，题型以选择.填空为主，难度为中档.1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出mmn个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数1排列数的定义从n个不同元素中取出mmn 个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示2组合数的定义从n个不同元素中取出mmn个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数，用Cmn表示3排列数.组合数的公式及性质公式1Amnnn1n2nm1nnm2CmnAmnAmmnn1n2nm1mnmnm性质301；Annn4CmnCnmn；Cmn1CmnCm1n__题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1所有元素完全相同的两个排列为相同排列2一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序3两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同4n1nnn.5若组合式CxnCmn，则xm成立6kCknnCk1n1.题组二教材改编2P27A组T76把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为A144B120C72D24答案D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A3443224.3P19例4用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为A8B24C48D120答案C解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A3448种排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A192种B216种C240种D288种答案B解析第一类甲在左端，有A5554321120种排法；第二类乙在最左端，甲不在最右端，有4A444432196种排法所以共有12096216种排法5为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国.马来西亚.缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为A180B240C540D630答案C解析依题意，选派方案分为三类一个国家派4名，另两个国家各派1名，有C46C12C11A22A3390种；一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C36C23C11A33360种；每个国家各派2名，有C26C24C22A33A3390种，故不同的选派方案种数为9036090540.6寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位一排共五个座位，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种用数字作答答案45解析设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9545种.题型一题型一排列问题排列问题1某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言用数字作答答案1560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A24040391560条留言2用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为A18B108C216D432答案D解析根据题意，分三步进行第一步，先将1,3,5分成两组，共C23A22种排法；第二步，将2,4,6排成一排，共A33种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A24种排法综上，共有C23A22A33A2432612432种排法，故选D.3将7个人其中包括甲.乙.丙.丁4人排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙.丁两人必须相邻，则不同的排法共有A1108种B1008种C960种D504种答案B解析将丙.丁两人进行捆绑，看成一人将6人全排列有A22A66种排法；将甲排在排头，有A22A55种排法；乙排在排尾，有A22A55种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有A22A44种排法则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙.丁两人必须相邻的不同排法共有A22A66A22A55A22A55A22A441008种思维升华排列应用问题的分类与解法1对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法.元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法2对相邻问题采用捆绑法.不相邻问题采用插空法.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二题型二组合问题组合问题典例某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种1其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种2其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种3恰有2种假货在内，不同的取法有多少种4至少有2种假货在内，不同的取法有多少种5至多有2种假货在内，不同的取法有多少种解1从余下的34种商品中，选取2种有C234561种取法，某一种假货必须在内的不同取法有561种2从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335C234C3345984种取法某一种假货不能在内的不同取法有5984种3从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C2152100种取法恰有2种假货在内的不同的取法有2100种4选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215C31521004552555种至少有2种假货在内的不同的取法有2555种5方法一间接法选取3种的总数为C335，因此共有选取方式C335C31565454556090种至多有2种假货在内的不同的取法有6090种方法二直接法共有选取方式C320C220C115C120C2156090种至多有2种假货在内的不同的取法有6090种思维升华组合问题常有以下两类题型变化1“含有”或“不含有”某些元素的组合题型“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取2“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型解这类题必须分重视“至少”与“至多”这两个【关键词】的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理跟踪训练1在某校xx年举办的第32届秋季运动会上，甲.乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲.乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为A30B36C60D72答案A解析因为甲.乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有C24C24种其中甲.乙所选的项目完全相同的选法有C24种，所以甲.乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有C24C24C2430种故选A.2xx武汉二模若从1,2,3，，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A60种B63种C65种D66种答案D解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45C44C25C2466种题型三题型三排列与组合问题的综合应用排列与组合问题的综合应用命题点1相邻.相间及特殊元素位置问题典例1xx青岛模拟在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________答案60解析2位男生不能连续出场的排法共有N1A33A2472种，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2A22A2312种，所以出场顺序的排法种数为NN1N260.2xx上饶一模大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲.乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名乘同一辆车的4个孩子不考虑位置，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有A18种B24种C36种D48种答案B解析根据题意，分两种情况讨论A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C23C12C1212种乘坐方式；A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C13C12C1212种乘坐方式，故共有121224种乘坐方式，故选B.命题点2分组与分配问题典例1国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法答案90解析先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A3315种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A336种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33A3390种分派方法2xx 广州调研有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲.乙.丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种答案36解析先把4名学生分为2,1,1共3组，有C24C12C11A226种分法，再将3组对应3个学校，有A336种情况，则共有6636种不同的保送方案思维升华1解排列.组合问题要遵循的两个原则按元素位置的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列.组合问题常以元素位置为主体，即先满足特殊元素位置，再考虑其他元素位置2分组.分配问题的求解策略对不同元素的分配问题a对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Annn为均分的组数，避免重复计数b对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数c对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”跟踪训练1xx全国安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A12种B18种C24种D36种答案D 解析由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13C24A2236种，或列式为C13C24C123432236种故选D.2xx浙江从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法用数字作答答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长.副队长位置，有A24种方法由分步乘法计数原理知，共有C12C36A24480种选法有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长.副队长位置，有A24种方法由分步乘法计数原理知，共有C26A24180种选法所以依据分类加法计数原理知，共有480180660种不同的选法方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26A26C24840180660种3把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有______种答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法于是符合题意的摆法共有A22A44A22A3336种。

课时作业58排列与组合［基础达标］—、选择题1. ［2021吠一联考"顶尖计划"高中毕业班第二次考试］将3个黑球、3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（）A . 14 种B . 15 种C . 16 种D . 18 种2. ［2021•某某某某模拟］为了加强"精准扶贫"，实现伟大复兴的"中国梦",某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加4 B、C三个贫困县的调硏工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（）A . 24B . 36C . 48D . 643. ［2021•某某某某模拟］2019年10月1日是中华人民某某国成立70周年国庆日，将2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）A . 96B . 84C . 120D . 3604. ［2021•某某某某模拟］金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节, "……洪七公道：肉只五种”但猪羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,—共有几般变化，我可算不出了".现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样, 则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（）A . 20B . 24C . 25D . 265• ［2021•某某模拟］某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、历史、夕卜语这五门课安排在星期三上午,数学必须比历史先上，则不同的排法有（）A . 60 种B. 3 0 种C . 120 种D . 24 种6. ［2021•某某省六校高三第一次阶段性测试］由0,123,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,且是奇数，其中恰有两个数字是偶数，则这样的五位数的个数为（）A . 7200B . 6480C . 4320D . 50407 . [2021•某某市尖子生第一次联考]某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（）A . 16B . 18C . 24D . 32^.A.B.C.D.E, F六人围坐在一X圆桌周围开会•力是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子,B, U二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的坐法有（）A . 60 种B . 48 种C . 30 种D . 24 种9. [2020•某某某某模拟]把15人分成前、中、后三排，每排5人，则不同的排法种数共有（）A挎A.—B . A?5A?O A§A|AgC . A1§D . AhA^o10. [2021•某某某某质检]现要给一长、盍、高分别为3,2,1的长方体工艺品各面涂色，有红、橙、黄、蓝、绿五种颜色的涂料可供选择，要求相邻的面不能涂相同的颜色，且橙色跟黄色二选一，红色要涂两个面,则不同的涂色方案有（）A.48 种B . 72 种C . 96 种D . 108 种二填空题11. [2021-M某统考]某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有_______ 种（用数字作答）•12• [2021•某某某某教学质臺监测]从0,1,2,3,4中选取三个不同的数字组成一个三位数, 其中偶数有 _____ 个•13.[2021•某某某某一中质臺检测]"中国梦"的英文翻译为"ChinaDream"，具中China又可以简写为，从"Dream"中取6个不同的字母排成一排，含有"ea"字母组合（顺序不变）的不同排列共有 __________ 种•14. [2021-某某市第一次模拟考试]我国第航空母舰"某某舰"在某次舰载机起降飞行训练中，有5架"歼-15"舰载机准备看舰，已知乙机不能最先着舰，丙机必须在甲机之前着舰（不一走相邻）,那么不同的着舰方法种数为_______ .［能力挑战］15.［2021•某某某某模拟］某某西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务, 要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有（）A . 90 种B . 180 种C . 270 种D . 360 种16• ［2021-某某第一次教学检测］"学习强国"是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想和党的十九大数神为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质学习平台•该平台设有"阅读文章"、"视听学习"等多个栏目•假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频,—位学习者准备学习这2篇文章^其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有 __________________________ 种.17・［2021•某某联考］某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的,且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为 ____________ •课时作业581・解析：首先将黑球和白球排列好、再插入红球.情况1 :黑球和白球按照黑白相间排列（"黑白黑白黑白"或"白黑白黑白黑"），此时将红球随机插入6个球组成的7个空中即可,因此共有2x7 = 14种；情况2 :黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（"黑白白黑白黑""黑白黑白白黑”"白黑黑白黑白""白黑白黑黑白"），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种. 综上所述,符合要求的排法有14 + 4 = 18种.答案：D2.解析：①先将5人分成3组,要求甲、乙在同一组，若甲、乙两人一组,将其他三人分成2组即可,有C3种分组方法，若甲、乙两人与另外一人在同一组，有种分组方法，则有C* + G二6种分组方法；②将分好的三组全排列，对应4 B、Q三个贫困县，有用二6种情况•则有6x6二36种不同的派遣方案.故选B.答案：B3.解析：根据题意,将2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,"10"是一个整体，有二120种情况，其中数字"0"在首位的情况有阳二24种，数字T 和"0"相邻且"1"在"0"之前的排法有A4 = 24种，则可以产生120 -24-24 + 12 = 84个不同的6位数，故选B.答案：B4.解析：现有五种不同的肉，若两种不同的肉混合后，有C?二10种不同的滋味；若三种不同的肉混合后，有G二10种不同的滋味；若四种不同的肉混合后，有Cg二5种不同的滋味；若五种不同的肉混合后，有1种不同的滋味,则共有10 + 10 + 5 + 1 = 26种不同的滋味，故选D.答案：D5.解析：把语文、数学、物理、历史、夕卜语这五门课程任意排列，有A§二120种情况，其中数学排在历史之前和数学排在历史之后的情况数目是相同的，则数学比历史先上的排法120有— = 60种•故选A.答案：A6.解析：当两个偶姻字中不含0时，共有GC?qA4二4320（个）;当两个偶数数字中有一个为0时，共有= 2160（个）.因此共有4320十2160二6480（个）,故选B.答案：B7•解析：第一步:先将3辆不同型号的车排在一起，有A）种方法；第二步:把剩余的4 个车位看成一个元素,插入3辆车所形成的4个空位中,有C4种方法,由分步计数原理可知, 共有AW = 24种方法，故选C.答案：C8.解析：/ U二人必须坐相邻的两把椅子,有4种坐法,B. C可以交换，有A?二2 种坐法,其余三人坐剩余的三把椅子有A9二6种坐法，故共有4x2x6 = 48种坐法•故选B.答案：B9.解析：把位置从1到15标上号，问题就转化为15人站在15个位置上,共有A总种情况.答案：C10•解析:若蓝绿选一个,由橙黄二选一，共三种颜色涂6个面,每一种颜色只能涂相对的面,故有QQA）二24（种）;若蓝绿选两个，由橙黄二选一，故共有4种颜色,红色只能涂相对的面，还有4个面，故不同的涂色方案有aQQA）二72（种）,根据分类加法计数原理, 共有24 + 72 = 96（种）.故选C.答案：c11.解析：解法一第一步,选2名同学报名某个社团,有GG = 12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有G-C1二3种报法•由分步乘法计数原理得共有12x3 = 36种报法.解法二第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C3种方法;第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名,共A3种方法.由分步乘法计数原理得共有G如二36种报法.答案：3612•解析：0在末位时,组成的三位偶数有A彳二12（个）;0不在末位时，2或4在末位, 组成的三位偶数有0x3x3 = 18（个）..•从0,123,4中选取三个不同的数字组成一个三位数, 其中偶数有12 + 18 = 30（个）.答案：3013.解析:根据题意,分2步逬行分析：先从其他5个字母中任取4个，有G二5种选法,再次"ea"看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A冷120种情况，则不同的排列共有5x120二600（种）.答案:60014.解析:根据题意,分两种情况讨论:①丙机最先着舰,此时只需j縣!］下的4架舰载机全排列，有阳二24（种）情况，即此时有24种不同的着舰方法;②丙机不是最先着舰,此时需要在除甲、乙、丙之外的2架舰载机中任选1架，作为最先着舰的舰载机，将剩下的4架1舰载机全排列,丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，因此有产3阳二24（种）情况, 即此时有24种不同的着舰方法•根据分类加法计数原理,则共有24十24二48（种）不同的着舰方法.答案：4815 .解析:根据题意,分3步逬行分析：①在6位志愿者中任选1个,安排到甲展区, 有eg二6种情况;②在剩下的5个志愿者中任选1个,安排到乙展区，有a二5种情况；③ GC3将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有—xAi = 6种情况，A3答案：B16.解析:先在4个视频中选择2个视频,有G种方法,再按一走顺序排列有A?种方法,最后把2篇文章插入2个视频形成的3个空位中有阳种方法,则这2篇文章学习N页序不相邻的学法有C4A3A3二72（种）.答案：7217.解析:设停车位有门个，这3辆共享汽车都不相邻：相当于先将⑺-3）个停车位排放好,再将这3辆共享汽车,插入到所成的（门-2）个间隔中，故有A帚2种•恰有2辆共享汽车相邻，可先把具中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将（门-3）个停车位排好所成的（门-2）个间隔中,故有A3A乩2种•因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等,所以A?八2二A3A3一2 ,解得n=10.答案：10。

§10.2排列与组合考试要求1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题．知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列组合作为一组2.排列数与组合数(1)排列数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，用符号A m n 表示．(2)组合数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，用符号C m n 表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！ n －m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．(2)C mn ＝A m n A mm ＝n ！m ！ n －m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地，C 0n ＝1性质(1)0！＝1；A n n ＝n ！.(2)C m n ＝C n －m n ；C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n常用结论1．排列数、组合数常用公式(1)A m n ＝(n －m ＋1)A m －1n .(2)A m n ＝n A m －1n －1.(3)(n ＋1)！－n ！＝n ·n ！.(4)k C k n ＝n C k －1n －1.(5)C m n ＋C m n －1＋…＋C m m ＋1＋C m m ＝C m ＋1n ＋1.2．解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价转化．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(3)若组合式C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立．(×)(4)A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m )．(×)教材改编题1．A 24＋C 37等于()A ．35B ．47C ．45D ．57答案B解析A 24＋C 37＝4×3＋7×6×53×2×1＝47.2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是()A ．18B ．24C ．30D ．36答案C 解析选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C 24C 13＝18(种)，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C 14C 23＝12(种)，故3名学生中男、女生都有的选法有C 24C 13＋C 14C 23＝30(种)．3．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种．答案36解析第一步，先从4名学生中任取两人组成一组，与剩下2人分成三组，有C 24＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三地，则有A 33＝6(种)不同的方法．故共有6×6＝36(种)不同的安排方案.题型一排列问题例1(1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为()A．576B．288C．144D．48答案B解析根据题意，雪上技巧项目必须由女队员展示，有2种情况，剩下3人表演其他3个项目，有A33＝6(种)情况，而4个项目之间的排法有A44＝24(种)顺序，则有2×6×24＝288(种)展示方案．(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4310的四位偶数．答案110解析①当千位上排1或3时，符合题意的共有A12A13A24个．②当千位上排2时，符合题意的共有A12A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A13个符合题意，形如41××的偶数有A12A13个符合题意，形如43××的偶数只有4310和4302这两个数符合题意．故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)符合题意．思维升华对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．跟踪训练1(1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有()A．18种B．36种C．72种D．108种答案B解析先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放A，B，共有A23种放法；再排剩余的3道程序，共有A33种放法．则共有A23·A33＝36(种)放法．(2)8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法．答案5760解析先排甲、乙，有A24种排法，再排丙，有A14种排法，其余5人有A55种排法，故不同的排法共有A24A14A55＝5760(种)．题型二组合问题例2(1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有()A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法B．如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法C．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法答案CD解析如果4人全部为男生，选法有C46＝15(种)，故A错误；如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有C26＝15(种)，女生的选法有C24＝6(种)，则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90(种)，B错误；如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有C28＝28(种)，故C正确；在10人中任选4人，有C410＝210(种)，甲、乙都不在其中的选法有C48＝70(种)，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210－70＝140(种)，故D正确．(2)在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有() A．80种B．180种C．260种D．420种答案C解析根据题意，分2种情况讨论，①选出的3人中有1名国外记者、2名国内记者，则有C25C14A22＝80(种)选法，②选出的3人中有2名国外记者、1名国内记者，则有C15C24A33＝180(种)选法，由分类加法计数原理可知，共有80＋180＝260(种)选法．思维升华组合问题常有以下两类题型(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练2(1)从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选派种数为()A．12B．24C．34D．60答案C解析由题可知，选派4人去的总的选派种数为C47＝35，选派4人全部是男生的选派种数为1，所以至少有一名女生参加的不同的选派种数为35－1＝34.(2)如图，从上往下读(不能跳读，即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念)，构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为________．答案252解析构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法需10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从上往左下角方向读，余下5步是从上往右下角方向读，故共有不同读法C510＝252(种)．题型三排列与组合的综合问题命题点1相邻、相间问题例3(多选)有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是()A．全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种排法C．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种排法答案BCD解析对于A，将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有A44种排法，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有A44种排法，故共有A44·A44＝576(种)排法，故A错误；对于B，先排女生，将4名女生全排列，有A44种排法，再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种排法，故共有A44·A35＝1440(种)排法，故B正确；对于C ，任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有C 37×2×1＝70(种)，故C 正确；对于D ，若甲站在排尾，则有A 66种排法，若甲不站在排尾，则有A 15A 15A 55种排法，故共有A 66＋A 15A 15A 55＝3720(种)排法，故D 正确．命题点2定序问题例4有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有________种.答案840解析7名学生的排列共有A 77种，其中女生的排列共有A 33种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有A 77A 33＝A 47＝840(种)不同的排法．命题点3分组、分配问题例5(1)(2023·岳阳模拟)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为()A ．60B ．90C ．120D ．150答案D解析满足条件的分法可分为两类，第一类，一人三张，另两人各一张，符合条件的分法有C 35A 33种，即60种，第二类，其中一人一张，另两人各两张，符合条件的分法有C 25C 23A 22A 33种，即90种，由分类加法计数原理可得，满足条件的不同分法种数为150.(2)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人．若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()A ．20种B ．36种C ．72种D ．84种答案C解析将6名航天员每个舱安排2人开展实验的所有安排方法数为C 26C 24C 22，其中甲、乙两人被安排在同一个舱内做实验的安排方法数为C 22·C 24C 22A 22·A 33，所以满足条件的不同的安排方案数为C 26C 24C 22－C 22·C 24C 22A 22·A 33＝90－18＝72.思维升华求解排列、组合应用问题的常用方法捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列跟踪训练3(1)(多选)已知A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有()A ．若A ，B 不相邻，共有72种排法B ．若A 不站在最左边，B 不站在最右边，有72种排法C ．若A 在B 右边有60种排法D ．若A ，B 两人站在一起有48种排法答案ACD解析对于A ，若A ，B 不相邻，共有A 33A 24＝72(种)排法，故A 正确；对于B ，若A 不站在最左边，B 不站在最右边，利用间接法有A 55－2A 44＋A 33＝78(种)排法，故B 错误；对于C ，若A 在B 右边有A 55A 22＝60(种)排法，故C 正确；对于D ，若A ，B 两人站在一起有A 22A 44＝48(种)排法，故D 正确．(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，同类节目不相邻的排法种数是()A ．72B ．120C ．144D ．168答案B解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品，小品，相声”、“小品，相声，小品”和“相声，小品，小品”．对于第一种情况，形式为“□小品歌舞小品□相声□”，有A 22C 13A 23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品□相声□小品□”，有A 22A 34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．(3)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)答案1680解析先选出3人，有C39种选法，再从剩下的6人中选出3人，有C36种选法，最后剩下的3人为一组，有C33种选法．由分步乘法计数原理以及每A33中只能算一种不同的分组方法，可知不同的安排方案共有C39C36C33A33·A33＝1680(种)．课时精练1．若A3m＝6C4m，则m等于()A．9B．8C．7D．6答案C解析因为A3m＝6C4m，所以m(m－1)(m－2)＝6×m m－1 m－2 m－34×3×2×1，即1＝m－34，解得m＝7.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为()A．10B．20C．30D．40答案B解析将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C35C22A22＝20(种)．3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A．1440种B．960种C．720种D．480种答案B解析先将5名志愿者排好，有A55种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中，先将2位老人排好，有A22种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法．所以共有不同的排法4A22A55＝960(种)．4．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有()A．98个B．105个C．112个D．210个答案D解析当个位数字与百位数字为0,8时，有A28A22个；当个位数字与百位数字为1,9时，有A17A17A22个，所以个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的共有A28A22＋A17A17A22＝210(个)．5．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A．15B．20C．30D．42答案C解析四个篮球分成三组有C24种分法，三组篮球进行全排列有A33种分法，标号为1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A33种分法，所以有C24A33－A33＝36－6＝30(种)分法．6．(2023·济宁模拟)2022年7月19日，亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，为了办好这届体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛前志愿者招募，此举得到在杭大学生的积极参与．某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为()A．144B．150C．168D．192答案D解析由题可得，参与志愿者服务的项目人数为2,1,1,1，若没有限制则共有C25·A44＝240(种)安排方法；当两个女同学在一起时有A44＝24(种)安排方法；当男同学小王、女同学大雅在一起时有A44＝24(种)方法，所以按题设要求不同的安排方法种数为240－24－24＝192.7.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为()A．208B．204C．200D．196答案C解析任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C34；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C33；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C33，所以可以构成三角形的组数为C312－3C34－8C33＝200.8．(多选)现有4个编号为1,2,3,4的不同的球和4个编号为1,2,3,4的不同的盒子，把球全部放入盒子内．则下列说法正确的是()A．恰有1个盒子不放球，共有72种放法B．每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种C．有2个盒子内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种D．恰有2个盒子不放球，共有84种放法答案BCD解析对于A，恰有1个盒子不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，则C14C24A33＝144≠72，故A不正确；对于B，编号为1的球有C13种放法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，共有1＋C12＝3(种)，即3×3＝9(种)，故B正确；对于C，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有C24C24＝36(种)，故C正确；对于D，恰有2个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3,1或2,2两种情况，放入盒子，共有C24(C14C12＋C24)＝6×14＝84(种)，故D正确．9．(2022·大同模拟)在5G，AI，MR等技术的支持下，新闻媒体推出诸多创新融媒产品，将5G技术引入新闻生产，有效扩展了新闻的应用场景，云采访、云访谈、云直播等云端对话成为报道的新常态．现有4名新闻媒体记者采用云采访、云访谈、云直播三种方式进行报道，每种方式至少有一名记者采用，则不同的安排方法种数为________．答案36解析依题意将4名新闻媒体记者分成三组，共有C24种方法﹐再将其进行全排列共有A33种方法﹐由分步乘法计数原理得，共有C24A33＝36(种)安排方法．10．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是________．答案216解析根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有C24C12C11·A33种分法，A22然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有A23种分法，所以共有C24C12C11A22·A33·A23＝216(种)不同的分配方案．11．(2023·苏州模拟)阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女孩和2名男孩共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男孩打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法共有()A．144种B．216种C．288种D．432种答案C解析第一步：先将3名母亲全排列，共有A33种排法；第二步：将3名女孩“捆绑”在一起，共有A33种排法；第三步：将“捆绑”在一起的3名女孩作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有A12种排法；第四步：首先将2名男孩之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男孩插入由女孩与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有C12C12种排法．所以不同的排法共有A33A33A12C12C12＝288(种)．12．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．答案96解析先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C34＝4(种)分法，再对应到4个人，有A44＝24(种)分法，则共有4×24＝96(种)分法．13．(2022·济南模拟)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有()A．36种B．44种C．48种D．54种答案B解析由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有A22A23种方法．(2)当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排在第一个位置，剩余三项任务排在后三个位置，有A12A33种方法；②D，F两项任务中一项排在第一个位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有A12A22种方法．(3)当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F 中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有C12C12A22A22种方法，根据分类加法计数原理知，不同的执行方案共有A22A23＋A12A33＋A12A22＋C12C12A22A22＝44(种)．14．某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________．答案10解析设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A3n2种．恰有2辆共享汽车相邻，可先－把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n －2)个间隔中，故有A23A2n－2种．因为这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，所以A3n2＝A23A2n－2，解得n＝10.－。