2015一轮复习数学第四章第四节课后限时自测

1．设a 是实数，且a 1＋i ＋1－i 2是实数，则a ＝( ) A.12B ．－1C ．1D ．2解析：选B.由a 1＋i ＋1－i 2＝a 1－i ＋1－i 2＝a ＋1－i a ＋12是实数得，a ＋1＝0，a ＝－1，选B.2．(2011·高考湖北卷改编)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2012＝( ) A ．－i B ．－1C ．iD ．1解析：选D.1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2012＝i 2012＝i 4×503＝1. 3．(2011·高考浙江卷)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( )A ．3－iB ．3＋iC ．1＋3iD ．3解析：选A.(1＋z )·z ＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.4．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)，故|AB →|＝－1－12＋3－12＝2 2.答案：2 2一、选择题1．(2012·太原质检)如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z ＝(1＋a i)·i 为“等部复数”，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A.由已知可得z ＝(1＋a i)·i＝－a ＋i ，所以－a ＝1，即a ＝－1.2．(2010·高考江西卷)已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数x ，y 分别为( )A ．x ＝－1，y ＝1B ．x ＝－1，y ＝2C ．x ＝1，y ＝1D ．x ＝1，y ＝2解析：选D.由已知得(x －i 2)＋(1－x )i ＝y ，根据复数相等的充要条件得x ＝1，y ＝2.3．复数z ＝2＋m i 1＋i(m ∈R)是纯虚数，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1C ．1D ．2解析：选A.由于z ＝2＋m i 1＋i ＝2＋m i 1－i 1＋i 1－i ＝2＋m ＋m －2i 2是纯虚数，因此2＋m ＝0，m ＝－2，选A.4．(2010·高考浙江卷)对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y | 解析：选D.|z |＝x 2＋y 2≤x 2＋2|xy |＋y 2＝|x |＋|y |2＝|x |＋|y |，D 正确．5．设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i)n (n ∈Z)，则集合{f (n )}中元素的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．无数个解析：选C.f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i)n ＝i n ＋(－i)n ，f (0)＝2，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…∴集合中共有3个元素．二、填空题6．如果复数(m 2＋i)(1＋m i)(其中i 是虚数单位)是实数，则实数m ＝________.解析：(m 2＋i)(1＋m i)＝(m 2－m )＋(1＋m 3)i.于是有1＋m 3＝0⇒m ＝－1.答案：－17．已知复数z 满足(3－4i)z ＝5i ，则|z |＝________.解析：因为(3－4i)z ＝5i ，所以z ＝5i 3－4i ＝5i 3＋4i 3－4i 3＋4i＝5i 3＋4i 25＝－45＋35i ， 故|z |＝ －452＋352＝1.答案：18．(2012·兰州调研)对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1、y 1，x 2、y 2为实数)，定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2.设非零复数w 1、w 2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2，点O 为坐标原点．如果w 1⊙w 2＝0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为________．解析：设OP 1→＝x 1＋y 1i ，OP 2→＝x 2＋y 2i(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)，∵w 1⊙w 2＝0，由定义知x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴OP 1⊥OP 2，∴∠P 1OP 2＝π2. 答案：π2三、解答题9．计算：(1)－1＋i 2＋i i3； (2)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i2. 解：(1)－1＋i 2＋i i 3＝－3＋i －i＝－1－3i. (2)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2＝1－i 2i ＋1＋i －2i＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. 10．已知复数z 的共轭复数是z ，且满足z ·z ＋2i z ＝9＋2i.求z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∵z ·z ＋2i z ＝9＋2i ，∴(a ＋b i)(a －b i)＋2i(a ＋b i)＝9＋2i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝9＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝9， ①2a ＝2. ② 由②，得a ＝1，代入①，得b 2－2b －8＝0.解得b ＝－2或b ＝4.∴z ＝1－2i 或z ＝1＋4i. 11．已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>08a －2>0， 解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．。

———————————————(2014·北京通州5月)已知圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，在以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标中，该圆的方程为( )A ．ρ＝2cos θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝－2cos θD ．ρ＝－2sin θ[答案] A[解析] 在极坐标系中，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入方程x 2＋y 2－2x ＝0得ρ2＝2ρcos θ，即ρ＝2cos θ，选A.———————————————在极坐标系中，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，曲线C 的方程为ρ＝2cos θ，则OA (O 为极点)所在直线被曲线C 所截弦的长度为________．[答案] 2 [解析] 由题意知直线OA 的直角坐标方程为x －y ＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，易知曲线C 为圆，且圆心C 到直线OA 的距离为12，故直线OA 被曲线C 所截弦的长度为21－12＝ 2.———————————————(2014·襄阳模拟)极坐标系中，圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最大值是________．[答案] 42＋2[解析] 圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0， 即(x ＋1)2＋y 2＝4.直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的直角坐标方程为x ＋y －7＝0.圆心(－1,0)到直线的距离为|－1－7|2＝42， 所以圆上的动点到直线的距离的最大值为42＋2.———————————————(2014·江苏泰州二模)在直角坐标平面内，直线l 过点P (1,1)，且倾斜角α＝π4.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．[解析] (1)∵ρ＝4sin θ，ρ2＝4ρsin θ，则x 2＋y 2－4y ＝0.即圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.(2)由题意得，直线l 的直角坐标方程为：y ＝x .将该方程代入圆C 的方程x 2＋y 2－4y ＝0中，得：A (0,0)，B (2,2)．∴|P A |＝|PB |＝2，∴|P A |·|PB |＝2.———————————————如图，在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，O 1(1,0)， C 2：ρ＝4cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，O 2(2,0)，射线θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，0<α<π4与C 1，C 2分别交于异于极点的两点A ，B.(1)若α＝π6，求直线BO 2的极坐标方程．(2)试用α表示图中阴影部分的面积S .[解析] (1)在直线BO 2上任取点P (ρ，θ)，由α＝π6，得∠BO 2x ＝π3，在△POO 2中，由正弦定理，得：ρsin 2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ， 所以直线BO 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝ 3. (2)连接O 1A ，易得O 1A ∥O 2B ，得：∠BO 2O ＝∠AO 1O ＝π－2α，∠AO 1O 2＝2α，∴S ＝12×2×2sin(π－2α)－12×1×1×sin(π－2α)－12×1×2α＝32sin 2α－α.———————————————在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 是参数，0≤α<π)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝21＋cos 2θ. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)当α＝π4时，曲线C 1和C 2相交于M ，N 两点，求以线段MN 为直径的圆的直角坐标方程．[解析] (1)对于曲线C 1消去参数t 得当α≠π2时，C 1：y －1＝tan α(x －2)；当α＝π2时，C 1：x ＝2.对于曲线C 2：ρ2＋ρ2cos 2 θ＝2，x 2＋y 2＋x 2＝2，则C 2：x 2＋y 22＝1. (2)当α＝π4时，曲线C 1的方程为x －y －1＝0，联立C 1，C 2的方程，消去y得2x 2＋(x －1)2－2＝0，即3x 2－2x －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，|MN |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋43 ＝2·169＝423，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23， 从而所求圆的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＝89.———————————————已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝t －3，y ＝3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围．[解析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －3，y ＝3t(t 为参数)，将直线l 的参数方程化为普通方程为3x －y ＋33＝0.曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，将极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1.(2)曲线C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心C (2,0)，半径为1，所以圆心C (2,0)到直线l 的距离d ＝|23－0＋33|2＝532， 因为P 是曲线C 上的动点，所以点P 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤532－1，532＋1.。

一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1. 已知c ＜0，则下列不等式中成立的是 ( )A ．c ＞2cB ．c ＞⎝⎛⎭⎫12cC ．2c ＜⎝⎛⎭⎫12cD ．2c ＞⎝⎛⎭⎫12c 解析：因为c ＜0，所以2c ＜c . 答案：C2.若n ∈N*,= ( )A.2B. 2n -C. 12n -D. 22n -2112 2.nn--===++-=答案：A3. 若x ＋x －1＝3，则x 3＋x －3的值是 ( ) A ．15 B ．21 C ．18 D ．27解析：x 3＋x －3＝(x ＋x －1)(x 2＋x －2－1)＝(x ＋x －1)[(x ＋x －1)2－3]＝3×(32－3)＝18. 答案：C 4.函数1(2y = ( )A.(-∞,-1]B.［2,+∞)C.[ 12,2]D.[-1, 12] 解析： 2x -+x+2≥x ≤2.当-1≤x ≤12时，y=f(x)单调递减，当12≤x ≤2时， y=f(x)单调递增.答案：C5. 设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则 ( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2解析：y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5＝21.5，因为y ＝2x在R 上是增函数，所以y 1>y 3>y 2.故选D. 答案：D6. 函数f (x )＝x |x |·a x(a >1)的图象的大致形状是 ( )解析：本题考查函数图象问题．f (x )＝x |x |·a x ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x >0；－a x ， x <0.又因为a >1，所以选B.答案：B二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 7.当a>0且a ≠1时，函数2()3x f x a -=-必过定点 .解析：当x-2=0时，2()3x f x a -=-恒等于-2.答案：（2，-2）8.已知-1<a<0,则三个数1333,,aa a 由小到大的顺序是 .解析：因为-1<a<0,所以13310,30,aa a -<<<>所以1333a a a <<.答案：1333aa a <<9. 若f (x )＝a －x 与g (x )＝a x －a (a >0且a ≠1)的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝____.解析：函数f (x )＝a －x 上任意一点(x 0，y 0)关于直线x ＝1对称的点为(2－x 0，y 0)，即有00200(2)(),x a xg x a f x a ----===故a ＝2.答案：210.函数xy a = (a>0，且a ≠1)在［1,2］上的最大值比最小值大2a,则a 的值是 . 解析：由题知221,01,.22a a a a a a a a ><<⎧⎧⎪⎪⎨⎨-=-=⎪⎪⎩⎩或解得31.22a =或 答案：3122a =或 三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11. 函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在区间[0,1]上的最大值为14，求a 的值． 分析：令t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1，则该题转化为二次函数在闭区间上最值问题． 解：令t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1.当0<a <1时，由0≤x ≤1得a ≤t ≤1.由y ＝t 2＋2t －1在[a,1]上为增函数，得y max ＝2，不合题意． 当a >1时，由0≤x ≤1得1≤t ≤a . 由y ＝t 2＋2t －1在[1，a ]上为增函数， 得y max ＝a 2＋2a －1.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －1＝14，a >1得a ＝3.综上得a ＝3. 12. 已知幂函数f (x )的图象过点(3，33)，函数g (x )是偶函数且当x ∈[0，＋∞)时，g (x )＝x .求f (x )，g (x )的解析式．解：(1)设f (x )＝x α，因为其图象过(3，33)点，故33＝(3)α，即(3)3＝(3)α，所以α＝3，故f (x )＝x 3. 令x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)，所以g (－x )＝－x ＝(－x )12.因为g (x )是偶函数，故g (－x )＝g (x )，所以g (x )＝(－x )12，x ∈(－∞，0)，所以g (x )＝⎩⎨⎧x ， x ∈[0，＋∞)；－x ， x ∈(－∞，0).故g (x )＝|x |(x ∈R )．B 组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1.（·山东）设f(x)为定义在R 上的奇函数.当x ≥0时，f(x)=2x+2x+b （b 为常数），则f(-1)等于 ( )A.3B.1C.-1D.-3 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0.所以b=-1. 所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3. 答案：D2.若函数y=a x+b-1(a>0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有 ( ) A.0<a<1，且b>0 B.a>1，且b>0 C.0<a<1，且b<0 D.a>1,且b<0 解析：如图所示，图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上（纵截距小于零），即a0+b-1<0,且0<a<1,所以0<a<1，且b<0.故选C.答案：C二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3.（·江苏）设函数f(x)=x(e x+ae -x)(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为 . 解析：因为函数f(x)=x(e x+ae -x),x ∈R 是偶函数，所以设g(x)=e x+ae -x,x ∈R.由题意知，g(x)应为奇函数（奇函数×奇函数＝偶函数）， 又因为x ∈R,所以g(0)=0,则1+a=0,所以a=-1. 答案：-14. 如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图象交于A 、B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C .若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是 .解析：设C (a,4a )，所以A (a,2a )，B (2a,4a)，又O ，A ，B 三点共线，所以2a a ＝4a 2a，故4a ＝2×2a ，所以2a ＝0(舍去)或2a ＝2，即a ＝1，所以点A 的坐标是(1,2)．答案：(1,2)三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5. 要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y ＞0恒成立，求a 的取值范围． 解：由题意得1＋2x ＋4x a ＞0在x ∈(－∞，1]上恒成立．即a ＞－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．又因为－1＋2x 4x ＝－⎝⎛⎭⎫122x －⎝⎛⎭⎫12x ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ＋122＋14，x ∈(－∞，1]， 所以⎝⎛⎭⎫12x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞.令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则f (t )＝－⎝⎛⎭⎫t ＋122＋14，t ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞， 则f (t )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为减函数， f (t )≤f ⎝⎛⎭⎫12＝－⎝⎛⎭⎫12＋122＋14＝－34，即f (t )∈⎝⎛⎦⎤－∞，－34. 因为a ＞f (t )，所以a ∈⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 6. 已知a ∈R ，求函数f (x )＝4x＋4－x －2a (2x ＋2－x )的最小值．解：令t ＝2x ＋2－x ≥2.则y ＝f (x )＝(2x ＋2－x )2－2a (2x ＋2－x )－2＝t 2－2at －2＝(t －a )2－a 2－2. 当a ≥2时，y min ＝－a 2－2；当a ＜2时，y min ＝2－4a .综上，y min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4a ， a ＜2；－a 2－2， a ≥2.。

第4模块 第4节[知能演练]一、选择题1．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i (a ∈R )对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝2或a ＝0D ．a ＝0解析：由题意知a 2－2a ＝0，∴a ＝2或a ＝0. 答案：C2．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z 等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i解析：设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，z ＝x －yi . 由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋yi ＋x －yi ＝4(x ＋yi )(x －yi )＝8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 2＋y 2＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2， ∴zz ＝x －yi x ＋yi ＝x 2－y 2－2xyi x 2＋y 2＝±i . 答案：D3．如果实数b 与纯虚数z 满足关系式(2－i )z ＝4－bi (其中i 为虚数单位)，那么b 等于( )A ．8B ．－8C ．2D ．－2解析：设z ＝ai (a ≠0)，由(2－i )z ＝4－bi ，得(2－i )×ai ＝4－bi ， 即a ＋2ai ＝4－bi ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝42a ＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－8. 答案：B4．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：向量AB →对应的复数是2＋i ，则BA →对应的复数为－2－i ，∵CA →＝CB →＋BA →. ∴CA →对应的复数为(－1－3i )＋(－2－i )＝－3－4i . 答案：D 二、填空题5．已知z ＝(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )，则|z |＝________.解析：|z |＝|(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )|＝|2＋2i |2|4＋5i ||5－4i ||1－i |＝22×4141×2＝2 2.答案：2 26．若复数z ＝(a 2－3)－(a ＋3)i ，(a ∈R )为纯虚数，则a ＋i 20073－3i＝________.解析：∵z ＝(a 2－3)－(a ＋3)i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－3＝0a ＋3≠0，解得a ＝3， ∴a ＋i 20073－3i ＝3－i 3－3i ＝3－i 3(3－i )＝33. 答案：33三、解答题7．若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i )＝z 2(1＋3i )，|z 1|＝2，求z 1.解：设z 1＝a ＋bi ，则z 2＝－a ＋bi ，∵z 1(3－i )＝z 2(1＋3i )，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋bi )(3－i )＝(－a ＋bi )(1＋3i )a 2＋b 2＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，则z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i .8．已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai )2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i )(2＋i )＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i .由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i . ∵(z ＋ai )2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，已知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>08(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．[高考·模拟·预测]1．(2009·安徽高考)i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则乘积ab 的值是( )A ．－15B ．－3C ．3D ．15解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－1＋3i ，所以a ＝－1，b ＝3，故选B.答案：B2．(2009·宁夏、海南高考)复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i )(2＋3i )－(2－3i )(3－2i )(2＋3i )(2－3i )＝26i 13＝2i ，答案为D.答案：D3．(2009·全国Ⅰ)已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：依题意得z ＝(1＋i )(2＋i )＝1＋3i ，故z ＝1－3i .选B. 答案：B4．(2009·广东高考)设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：∵α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，∴α(i )表示满足i n ＝1的最小正整数n ，∵i 2＝－1，∴i 4＝1，∴α(i )＝4.答案：C5．(2009·珠海质检)已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝a ＋(a ＋3)i ，且z 1z 2>0，则实数a 的值为( )A ．0B ．－5C ．0或－5D ．0或5解析：由已知条件可得z 1z 2＝(a ＋2i )·[a ＋(a ＋3)i ]＝a 2－2(a ＋3)＋(a 2＋5a )i ，又z 1z 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2(a ＋3)>0a 2＋5a ＝0，解得a ＝－5，故选B.答案：B6．(2009·宁波十校联考)若z ＝sin θ－35＋i (cos θ－45)是纯虚数，则tan θ的值为( )A ．±34B ．±43C ．－34D.34解析：由纯虚数定义知，sin θ＝35，cos θ≠45，∴cos θ＝－45，∴tan θ＝－34.答案：C7．(2009·江苏高考)若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．解析：因为(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i )i ＝－20－2i ，所以可知复数(z 1－z 2)i 的实部为－20.答案：－208．(2009·福建高考)若21－i ＝a ＋bi (i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________.解析：∵21－i ＝a ＋bi ，∴1＋i ＝a ＋bi ，∴a ＝b ＝1，∴a ＋b ＝2.答案：29．(2009·南京第一次调研)若复数m ＋2i1－i (m ∈R ，i 是虚数单位)为纯虚数，则m ＝________.解析：因为m ＋2i 1－i ＝(m ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝m －2＋(m ＋2)i2为纯虚数，所以m ＝2.答案：210．(高考预测题)复数1－3i2＋i －(1＋i )2在复平面内的对应点位于第________象限．解析：1－3i 2＋i－(1＋i )2＝(1－3i )(2－i )5－2i ＝－1－7i 5－2i ＝－1－17i5，所以其对应点位于第三象限．答案：三高≧考|试|题*库。

课时作业(七)一、选择题1．(2013·重庆九校联考)下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x12 ，④y ＝x －1 C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x12 ，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：由①图可知此函数为奇函数，且单调递增，结合选项对应的函数应为y ＝x 3，由②图可知，此函数为偶函数且过原点，结合选项对应的函数为y ＝x 2，由③图知，函数的定义域为[0，＋∞)，单调递增，由④图知，为奇函数，定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，所以选B.答案：B2．(2013·增城市调研测试)已知函数f (x )＝x －2，则( )A ．f (x )为偶函数且在(0，＋∞)上单调增B ．f (x )为奇函数且在(0，＋∞)上单调增C ．f (x )为偶函数且在(0，＋∞)上单调减D ．f (x )为奇函数且在(0，＋∞)上单调减解析：∵f (－x )＝(－x )－2＝x －2＝f (x )且定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f (x )为偶函数，又f ′(x )＝－2x －3，当x ∈(0，＋∞)时f ′(x )<0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故选C.答案：C3．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (－3)<c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<c D ．c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3) 解析：由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2)＝f (0)＝c . 答案：D4．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0, f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1.所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.答案：D5．(2013·温州模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－235 解析：令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意，知f (x )的图象与x 轴在[1,5]上有交点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (5)≥0.解得－235≤a ≤1. 答案：C6．函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是( )A ．a >23 B.12<a <32 C ．a >12 D ．a <12解析：f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1是由函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)x ＋1变化得到，第一步保留y 轴右侧的图象，再作关于y 轴对称的图象．因为定义域被分成四个单调区间，所以f (x )＝－x 2＋(2a －1)x ＋1的对称轴在y 轴的右侧，使y 轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间．所以2a －12>0，即a >12.故选C.答案：C二、填空题 7.当0<x <1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是______．解析：分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象，如图所示．可知h (x )>g (x )>f (x )．答案：h (x )>g (x )>f (x )8．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值的集合是________．解析：当m ＝1时， f (x )＝4x －1，其图象和x 轴只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0. 当m ≠1时，依题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0，即m 2＋3m ＝0，解得m ＝－3或m ＝0.∴m 的取值的集合为{－3,0,1}．答案：{－3,0,1}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________．解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，则t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23. 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34. 答案：34三、解答题10．如果幂函数f (x )＝ (p ∈Z )是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ，∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．(2013·宁德市质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，且f (－1)＝－1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )＋(2－k )x 在区间[－2,2]上单调递减，求实数k 的取值范围．解：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1为偶函数，∴对称轴x ＝－b 2a ＝0，得b ＝0.由f (－1)＝a ＋1＝－1，得a ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋1.(2)g (x )＝－2x 2＋(2－k )x ＋1∵抛物线g (x )的开口向下，对称轴x ＝2－k 4，∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－k 4，＋∞上单调递减． 依题意可得2－k 4≤－2，解得k ≥10.∴实数k 的取值范围为[10，＋∞)．12．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1. 因此， f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．[热点预测]13．(2013·河北高三质量监测)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足下列条件：①当x ∈R 时， f (x )的最小值为0，且f (x －1)＝f (－x －1)恒成立； ②当x ∈(0,5)时，x ≤f (x )≤2|x －1|＋1恒成立．(1)求f (1)的值；(2)求f (x )的解析式；(3)求最大的实数m (m >1)，使得存在实数t ，当x ∈[1，m ]时， f (x ＋t )≤x 恒成立．解：(1)在②中令x ＝1，有1≤f (1)≤1.故f (1)＝1.(2)由①知二次函数的图象关于直线x ＝－1对称，且开口向上，故设此二次函数为f (x )＝a (x ＋1)2(a >0)．因为f (1)＝1，所以a ＝14，所以f (x )＝14(x ＋1)2.(3)f (x )＝14(x ＋1)2的图象开口向上，而y ＝f (x ＋t )的图象是由y ＝f (x )的图象向左或向右平移|t |个单位得到的，要在区间[1，m ]上使得y ＝f (x ＋t )的图象在y ＝x 的图象下方，且m 最大，则1和m 应当是方程14(x ＋t ＋1)2＝x 的两个根．令x ＝1代入方程，得t ＝0或－4.当t ＝0时，方程的解为x 1＝x 2＝1(这与m >1矛盾，舍去)； 当t ＝－4时，方程的解为x 1＝1，x 2＝9，所以m ＝9.又当t ＝－4时，对任意x ∈[1,9]，y ＝f (x －4)－x ＝14(x －3)2－x ＝14(x 2－10x ＋9)＝14(x －5)2－4≤0， 即f (x －4)≤x 恒成立．所以最大的实数m 为9.。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(文)若a 、b 、c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定 [答案] A[解析] 由题意知，b 2＝ac >0，∴Δ＝b 2－4ac ＝－3ac <0，∴f (x )的图象与x 轴无交点． (理)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n 、a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64 [答案] D[解析] 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64，故选D.2．(文)小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＝a n －1＋n (n ∈N *)，其中正确的为( )A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④[答案] D[解析] 观察图形可知a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∴选D.(理)某同学在电脑中打出如下若干个圈：●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2014个圈中的●的个数是( )A ．60B ．61C ．62D ．63 [答案] C[解析] 第一次出现●在第1个位置；第二次出现●在第(1＋2)个位置；第三次出现●在第(1＋2＋3)个位置；…；第n 次出现●在第(1＋2＋3＋…＋n )个位置．∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当n ＝62时，n (n ＋1)2＝62×(62＋1)2＝1953,2014－1953＝61<63，∴在前2014个圈中的●的个数是62.3．(2012·沈阳市二模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个实数根，则S 5的值为( )A.52 B ．5 C ．－52 D ．－5 [答案] A[解析] ∵a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两实根， ∴a 2＋a 4＝1，∴S 5＝5×(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝52.4．(文)已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公式q ≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( ) A ．a 6＝b 6 B ．a 6>b 6 C ．a 6<b 6 D ．以上都有可能[答案] B[解析] a 6＝a 1＋a 112，b 6＝b 1b 11＝a 1a 11，由q ≠1得，a 1≠a 11. 故a 6＝a 1＋a 112>a 1a 11＝b 6.(理)(2012·吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和是100，那么a 6·a 15的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [答案] A[解析] 由条件知，a 6＋a 15＝a 1＋a 20＝110S 20＝110×100＝10，a 6>0，a 15>0，∴a 6·a 15≤(a 6＋a 152)2＝25，等号在a 6＝a 15＝5时成立，即当a n ＝5(n ∈N *)时，a 6·a 15取最大值25.5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 29＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2015，a 2015)，则OP →·OQ →＝( )A ．2015B ．－2015C ．0D ．1[答案] A[解析] 由S 29＝S 4000得到S n 关于n ＝29＋40002＝2014.5对称，故S n 的最大(或最小)值为S 2014＝S 2015，故a 2015＝0，OP →·OQ →＝2015＋a n ·a 2015＝2015＋a n ×0＝2015，故选A.6．(2013·江南十校联考)已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A.2012－1B.2013－1C.2014－1D.2014＋1[答案] C[解析] 由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12 .∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2014－2013)＝2014－1.二、填空题7．(文)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α、β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则αβ＝________.[答案] 4[解析] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋d ＝q ，2(2＋3d )＝q 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，d ＝0，(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4，d ＝2.所以a n ＝2n ，b n ＝4n －1.若a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则满足2n ＝log α4n －1＋β，即2n ＝(n －1)log α4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4. (理)在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ，则公比q 为________．[答案] 3[解析] ∵a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|41＝(4＋42)－(1＋12)＝18，∴q 3＝a 4a 1＝27， ∴q ＝3.8．小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．[答案] 78ar[解析] 依题意得，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋3ar ＋2ar ＋ar ＝12(12＋1)2ar ＝78ar 元． 9．(文)已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为________．[答案]22[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n 2＝m 2n 可得m ＝2，n ＝4， ∴e ＝n －m n＝22. (理)已知双曲线a n －1y 2－a n x 2＝a n －1a n (n ≥2，n ∈N *)的焦点在y 轴上，一条渐近线方程是y ＝2x ，其中数列{a n }是以4为首项的正项数列，则数列{a n }的通项公式是________．[答案] a n ＝2n ＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上， 又渐近线方程为y ＝2x ， ∴a na n －1＝2， 又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1. 三、解答题10．(文)(2013·浙江萧山五校联考)已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数f ′(x )＝2x ＋2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ·a n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n . [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ， ∴S n ＝n 2＋2n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1， 又a 1＝S 1＝3，适合上式，∴a n ＝2n ＋1. (2)b n ＝(2n ＋1)·2n ，∴T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n ＋1)·2n ， ∴2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n ＋1)·2n ＋1，相减得－T n ＝3·21＋2·(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2·4·(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2，∴T n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.(理)已知函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n项和T n .[解析] (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝6x －2，∴a ＝3，b ＝－2， ∵f (x )过原点，∴c ＝0，∴f (x )＝3x 2－2x .依题意得S n ＝3n 2－2n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式． ∴a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)∵a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n ，∴a n －1＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n －1(n ≥2)．相减得b n2n ＝6，∴b n ＝6·2n (n ≥2)．b 1＝2a 1＝2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，6·2n (n ≥2).∴T n ＝2＋6(22＋23＋…＋2n )＝3·2n ＋2－22.能力拓展提升一、选择题11．椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1、P 2、…、P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11000的等差数列，则n 的最大值为( )A ．2001B ．2000C ．1999D ．1998[答案] B[分析] 公差确定后，首项和末项之差越大，等差数列的项数就越多(即n 越大)，故P 1与P n 取长轴两端点时n 取最大值，可依据公差大于11000列不等式解．[解析] ∵|P n F |max ＝a ＋c ＝3，|P n F |min ＝a －c ＝1， d ＝a n －a 1n －1＝3－1n －1＞11000，n ∈N ，∴n max ＝2000，故选B.12．(文)数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，数列{b n }是等比数列，若a 1＝b 1，a 3＝b 3，a 7＝b 5，则b 11等于( )A ．a 63B ．a 36C ．a 31D ．a 13 [答案] A[解析] 设数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝a 1q 2，a 1＋6d ＝a 1q 4.得d ＝a 14(q 4－q 2)． ∴a 1＋a 12(q 4－q 2)＝a 1q 2，∵q ≠1，∴q 2＝2，d ＝a 12，于是b 11＝a 1q 10＝32a 1.设32a 1＝a 1＋(n －1)·a 12，则n ＝63，∴b 11＝a 63.(理)(2013·河北教学质量监测)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n－λ)(1a n＋1)(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( )A ．λ>2B ．λ>3C ．λ<2D ．λ<3[答案] C[解析] 由已知可得1a n ＋1＝2a n ＋1，1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)，1a 1＋1＝2≠0，则1a n ＋1＝2n ，b n ＋1＝2n (n －λ)，b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝－λ也适合上式，故b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ∈N *)．由b n ＋1>b n ，得2n (n －λ)>2n －1(n －1－λ)，即λ<n ＋1恒成立，而n ＋1的最小值为2，故实数λ的取值范围为λ<2.13．(文)如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )A.12B.23C.34D.45 [答案] C[解析] 循环过程为i ＝1<4→i ＝2，m ＝1，S ＝11×2； i ＝2<4→i ＝3，m ＝2，S ＝11×2＋12×3；i ＝3<4→i ＝4，m ＝3，S ＝11×2＋12×3＋13×4；i ＝4<4不成立，输出S 的值． 故S ＝11×2＋12×3＋13×4＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14 ＝1－14＝34.(理)已知数列{a n }的各项均为正数，如图给出程序框图，当k ＝5时，输出的S ＝511，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n －1C ．a n ＝2n ＋1D ．a n ＝2n －3[答案] B[解析] 由a i ＋1＝a i ＋2知数列{a n }是公差为2的等差数列，由M ＝1a i ai ＋1及S ＝S ＋M 知，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a i a i ＋1， 由条件i ≤k 不满足时输出S 及输入k ＝5，输出S ＝511知，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…1a 5a 6＝12[(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…(1a 5－1a 6)]＝12(1a 1－1a 6)＝12(1a 1－1a 1＋10)＝5a 1(a 1＋10)＝511， ∵a 1>0，∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 二、填空题14．(2013·广东佛山一模)我们可以利用数列{a n }的递推公式，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．[答案] 28 640[解析] a 24＋a 25＝a 12＋25＝a 6＋25＝a 3＋25＝3＋25＝28. 5＝a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640.15．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，把数列{a n }的各项排列成如图所示的三角形数阵：2 22 23 24 25 26 27 28 29 210……记M (s ，t )表示该数阵中第s 行的第t 个数，则M (11,2)对应的数是________(用2n 的形式表示，n ∈N )．[答案] 257[解析] 由数阵的排列规律知，第m 行的最后一个数是数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋m ＝m (m ＋1)2项，且该行有m 项，由此可知第11行的第2个数是数列{a n }的第10×112＋2＝57项，对应的数是257.三、解答题16．(文)已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝⎛⎭⎫1，S 11，P 2⎝⎛⎭⎫2，S 22，…，P n ⎝⎛⎭⎫n ，S nn (n ∈N *)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝a 6－a 3a 3－a 2＝3dd ＝3，即公比q ＝3.(2)证明：∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝1＋n －12d . ∴点P n ⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在直线y ＝1＋x －12d 上． ∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N *)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y －1＝d2(x －1)．即dx －2y ＋2－d ＝0.(理)在等差数列{a n }中， 设S n 为它的前n 项和，若S 15>0，S 16<0，且点A (3，a 3)与B (5，a 5)都在斜率为－2的直线l 上，(1)求a 1的取值范围；(2)指出S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中哪个值最大，并说明理由．[解析] (1)由已知可得a 5－a 35－3＝－2，则公差d ＝－2，∴⎩⎨⎧S 15＝15a 1＋15×142×d ＝15(a 1－14)>0，S16＝16a 1＋16×152×d ＝16(a 1－15)<0.∴14<a 1<15. (2)最大的值是S 8a 8，∵S 15＝15a 8>0，S 16＝8(a 8＋a 9)<0， ∴a 8>0，a 9<0，即S 8最大．又当1≤i ≤8时，S i a i >0；当9≤i ≤15时，S ia i <0，∵数列{a n }递减，∴S 1a 1≤S 2a 2≤…≤S 8a 8，S 8a 8≥S 9a 9≥…≥S 15a 15⇒S 8a 8最大． 考纲要求能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．补充说明1．等比数列综合问题的解题思路在解答等差、等比数列综合问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，往往能取得与“巧用性质”相同的解题效果，既要掌握“通法”，又要注重“特法”．2．通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，将数列拆为基本数列，或转化为基本数列求和．求和过程中同时要对项数作出准确判断．3．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．4．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．备选习题1．设正项等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，且T 10＝32，则1a 5＋1a 6的最小值为( )A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D. 3 [答案] B[解析] 由条件知，T 10＝a 1a 2…a 10＝(a 5a 6)5＝32，∵a n >0，∴a 5a 6＝2，∴1a 5＋1a 6＝12·a 5a 6·(1a 5＋1a 6)＝12(a 5＋a 6)≥12×2a 5a 6＝2，等号在a 5＝a 6＝2时成立． 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 6＋a 7>0是S 9≥S 3的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵S 9≥S 3⇔a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9≥0⇔3(a 6＋a 7)≥0⇔a 6＋a 7≥0，∴a 6＋a 7>0⇒a 6＋a 7≥0，但a 6＋a 7≥0⇒/ a 6＋a 7>0，故选A.3．已知数列{a n }、{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n 1－a 2n ，则b 2014＝( )A.20132014B.20142013C.20142015D.20152014 [答案] C[解析] ∵a n ＋b n ＝1，a 1＝12，∴b 1＝12，∵b n ＋1＝b n 1－a 2n ，∴b 2＝b 11－a 21＝23， ∴a 2＝13，b 3＝b 21－a 22＝34，a 3＝14，b 4＝b 31－a 23＝45，a 4＝15，…，观察可见a n＝1n ＋1，b n ＝n n ＋1，∴b 2014＝20142015，故选C.4．(2013·武汉调研)在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为a i ，j ，且满足a 1，j ＝2j －1，a i,1＝i ，a i ＋1，j ＋1＝a i ，j ＋a i ＋1，j (i ，j ∈N *)；又记第3行的3,5,8,13,22,39，…，为数列{b n }，则(1)(2)数列{b n }的通项公式为________． [答案] (1)129 (2)b n ＝2n －1＋n ＋1，n ∈N *5．已知f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n 为正偶数)且{a n }为等差数列，f (1)＝n 2，f (－1)＝n ，试比较f ⎝⎛⎭⎫12与3的大小，并证明你的结论．[解析] 由f (1)＝n 2，f (－1)＝n 得，a 1＝1，d ＝2. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12＋3⎝⎛⎭⎫122＋5⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －1)· ⎝⎛⎭⎫12n ，两边同乘以12得，12f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＋3⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)⎝⎛⎭⎫12n ＋(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1， 两式相减得，12f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋2⎝⎛⎭⎫122＋2⎝⎛⎭⎫123＋…＋2⎝⎛⎭⎫12n －(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－(2n －1)12n ＋1. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝3－2n ＋32n<3.。

[课堂练通考点]1．(2014·南昌调研)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．解析：圆ρ＝2cos θ可转化为x 2－2x ＋y 2＝0，直线θ＝π4可转化为y ＝x (x >0)，两个方程联立得交点坐标是(1,1)，可得其极坐标是(2，π4)．答案：(2，π4)2．(2013·惠州模拟)在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．解析：由题意知A ，B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3.答案：33．(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________.解析：由ρ＝4cos θ可得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，圆心C (2,0)．点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP |＝2 3.答案：2 34．在极坐标系中，圆：ρ＝2上的点到直线：ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离的最小值为________．解析：由题意可得，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2，直线的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，圆心到直线的距离d ＝|0＋3×0－6|2＝3，所以圆上的点到直线的距离的最小值为d －r ＝3－2＝1.答案：15．(2013·银川调研)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝1＋t(t 为参数)与圆C ：ρ＝42cos(θ－π4)．(1)试判断直线l 和圆C 的位置关系； (2)求圆上的点到直线l 的距离的最大值．解：(1)直线l 的参数方程消去参数t ，得x ＋y －1＝0.由圆C 的极坐标方程，得ρ2＝42ρcos(θ－π4)，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，所以圆C的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，即(x －2)2＋(y －2)2＝8，故该圆的圆心为C (2,2)，半径r ＝2 2.从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2＋2－1|12＋12＝322，显然322<22，所以直线l 和圆C 相交．(2)由(1)知圆心C 到直线l 的距离为d ＝322，所以圆上的点到直线l 的距离的最大值为322＋22＝722. [课下提升考能]1．(2013·西城模拟)将点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标为________． 解析：ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33，点M 在第三象限，θ＝7π6.∴M (2，7π6)．答案：⎝⎛⎭⎫2，7π6 2．(2013·东城模拟)在极坐标系中，曲线ρ＝4cos θ围成的图形面积为________． 解析：依题意得，曲线ρ＝4cos θ的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，它表示的是以点(2,0)为圆心、2为半径的圆，因此其面积是π×22＝4π.答案：4π3．(2014·皖南八校联考)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________． 解析：该圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，故圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2. 答案：⎝⎛⎭⎫1，－π2 4．(2013·安庆模拟)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点2，π3的直角坐标为(1，3)．圆ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1,0)与点(1，3)之间的距离为 3.答案： 35．(2014·保定模拟)点M ，N 分别是曲线ρsin θ＝2和ρ＝2cos θ上的动点，则|MN |的最小值是________．解析：ρsin θ＝2化为普通方程为y ＝2， ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 即(x －1)2＋y 2＝1，圆(x －1)2＋y 2＝1上的点到直线上点的距离的最小值为圆心(1,0)到直线y ＝2的距离减去半径，即为2－1＝1.答案：16．(2013·福建模拟)在极坐标系中，曲线ρ＝4cos(θ－π3)上任意两点间的距离的最大值为________．解析：曲线的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝22，易知此曲线为圆，而圆上任意两点间的距离的最大值为直径4.答案：47．(2013·大连模拟)在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，则PQ 的最大值是________． 解析：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36. 圆心坐标为(0,6)，半径为6. 又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， 圆心坐标为(33，3)，半径为6. ∴|PQ |max ＝6＋6＋ (33)2＋(6－3)2＝18.答案：188．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，圆C 的坐标方程为ρ＝2cos α＋4sin α，则直线l 被圆C 所截得的弦长为________．解析：由题意知，直线l 的普通方程为3x －y －3＝0，由极坐标系与直角坐标系的关系知，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，设AB 的中点为M ，在Rt △AMC 中，|AC |＝5，|CM |＝|3－2－3|3＋1＝1，∴|AM |＝5－1＝2，∴|AB |＝2|AM |＝4，故截得的弦长为4.答案：49．(2013·汉中模拟)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a 的值为________．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2. 故a 的值为－8或2. 答案：－8或210．在极坐标系中，圆ρ＝43cos θ的圆心到直线θ＝π3(ρ∈R )的距离是________．解析：由题意可得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－43x ＝0，圆心为(23，0)，直线的直角坐标方程是y ＝3x ，所以圆心到直线的距离为62＝3.答案：311．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．解析：由题意可得点⎝⎛⎭⎫22，π4的直角坐标为(2,2)，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，点在圆上，所以切线只有一条，切线的直角坐标方程是x ＝2，极坐标方程为ρcos θ＝2.答案：ρcos θ＝212．在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线l 极坐标方程为________．解析：由题意可得直线l 的斜率是－33，所以直线l 的直角坐标方程是y ＝－33(x －1)，即x ＋3y ＝1，极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ＝1.答案：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1或2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，ρcos θ＋3ρsin θ＝1 13．(2014·汕头模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ过极点，一条直线l 与圆相交于O ，A 两点，且∠AOx ＝45°，则OA ＝________.解析：圆C 的直角坐标方程为：x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线OA ：y ＝x 的距离为22，则弦长OA ＝ 2. 答案： 214．(2013·江西八校联考)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析：曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点， 则|3×1＋4×－2＋m |5>1，故m >10或m <0.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)15．(2013·福州质检)经过极点且圆心的极坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π4的圆C 的极坐标方程为________．解析：设圆C 上的任意一点的极坐标P (ρ，θ)，过OC 的直径的另一端点为B ，连接PO ，PB ，则在直角三角形OPB 中，∠OPB ＝π2，∠POB ＝θ－π4(写∠POB ＝θ－π4也可)．从而有ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 答案：ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4 16．在极坐标系中定点A ⎝⎛⎭⎫1，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上运动，当线段AB 最短时，则点B 的极坐标为________．解析：∵ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴cos θ＝－sin θ，tan θ＝－1.∴直线的极坐标方程化为θ＝3π4(直线如图)．过A 作直线垂直于l ，垂足为B ，此时AB 最短． 易得|OB |＝22. ∴B 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4.答案：⎝⎛⎭⎫22，3π417．(2013·扬州模拟)已知圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0.若点P (x ，y )在该圆上，则x ＋y 的最大值和最小值分别为________，________.解析：圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，所以x ＋y ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. 那么x ＋y 的最大值为6，最小值为2. 答案：6 2。