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2015年上海高等学校招生数学试卷（理工农医类）一. 填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分）1．设全集U=R ，若集合{}A=12,3,4，，{}23B x x =≤≤，则U AC B = ；2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ； 3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩ ，则12c c -= ； 4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a = ；5．抛物线22(p 0)y px =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ； 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角大小为 ； 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ；8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 ；（结果用数值表示） 9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为1C 和2C ，若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ； 10．设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ；11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 ；（结果用数值表示）12．赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）；若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元； 13．已知函数()sin f x x =，若存在12,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231++=122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+--≥∈，则m 的最小值为 ；14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD 与ACD 的面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF = ； 二. 选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）15．设12z z C∈、，则“12z z、中至少有一个数是虚数”是“12z z-是虚数”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16．已知点A的坐标为()43,1，将OA绕坐标原点O逆时针旋转3π至OB，则点B的纵坐标为（）A.33B.53C.112D.13217．记方程①：2110x a x++=；方程②：2210x a x++=；③：2310x a x++=；其中123a a a、、是正实数，当123a a a、、成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是（）A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根18．设(),n n nP x y是直线()*21nx y n Nn-=∈+与圆222x y+=在第一象限的交点，则极限1lim1nxnyx→∞-=-（）A. 1-B.12- C. 1 D. 2三.解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
C 1B 1A 1QPCBA（第19题图）虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学 参考答案和评分标准 2016年1月一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1．2log 1(0)x x -> 2．[]0,2 3. 2 4．285． 13 6. 80 7. 2213y x -= 8． 8 9. 12 10． 8π 11．509112. 14n -13．63 14．()1,12,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. B 16. A 17. B 18. D 三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分. 解：（1）1111122=23=210+31020600)ABC ABC A B C ABB A S S S cm ∆-+⨯⨯=+正三棱柱侧矩形 ……(3分)111231=1020)ABC ABC A B C V S AA cm -∆⋅⨯=正三棱柱……(6分)（2）连结11,,BA BC 则1//,BC PQ 又11//,A C AC故11BC A ∠等于异面直线PQ AC 与所成角. ……(8分)易得111110BC BA AC ===而，故222111111111cos 2BC A C BA BC A BC A C +-∠==⋅⋅于是异面直线PQ AC 与所成角的大小为arc ……(12分) 20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 解：（1）由AB AC S ⋅=得 1cos sin 2c b A c b A ⋅⋅=⋅⋅⋅tan 2,0,.2A A π⎛⎫⇒=∈ ⎪⎝⎭于是 ……(4分)进而求得4sin ,cos tan 2.3A A A ===- ……(7分)（2）66, 6.CA CB BA c-===由得即……(9分)6sinsin sin sin()b c c BbB C A B=⇒===+由正弦定理，有 (12))11sin612.22S bc A=⋅=⋅=于是……(14分)21．(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）因为()11()()1,1f x f x xx==≠-故[]()2111()()10,1,111f x f f x x xxx===-≠≠--[][]32431()()(0,1),11(1)1()()(0,1),(3)1f x f f x x x xxf x f f x x xx===≠≠--==≠≠-分故对任意的3,()()(2,3,4),n i in N f x f x i+∈==有于是20153671221()()()1(0,1);f x f x f x x xx⨯+===-≠≠201510,1()()1.x x g x f xx>≠==-故当时，1(1)0,0()1.g x g xx=>=-又故当时，由()g x为偶函数，1100,()()11.x x g x g xx x<->=-=-=+-当时，11,0,1()1110.xxg xxxx⎧+<⎪⎪==-⎨⎪->⎪⎩，因此.……(6分)(2) 由于()y g x=的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞又,,a b mb ma a b<<可知与同号，0m<且;进而[](),g x a b在递减,且0.a b<<……(8分)函数()y g x=的图像，如图所示.由题意，有1()1,1()1,g a maag b mbb⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩……(10分)故,a b 是方程11m x x+=的两个不相等的负实数根，即方程210m x x --=在(),0-∞上有 两个不相等的实根，于是140101010.4m a b m ab m m ⎧⎪∆=+>⎪⎪+=<⎨⎪⎪=->⎪⎩⇔-<< ……(12分) 综合上述，得：实数m 的取值范围为1,0.4⎛⎫-⎪⎝⎭……(14分) 注：若采用数形结合，得出直线y m x =与曲线11(0)y x x=+<有两个不同交点，并进行求解也可.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分. 解：（1）当1n =时，由1121,S a +=得11;a =- 由2120,S a a =+=得21;a = 当3n =时，由33323233,S a a +=+=得33;a =当4n =时，由444242104,S a a +=+=得4 5.a =猜想：23().n a n n N *=-∈ ……(3分) 下面用数学归纳法证明：① 当2n =时， 21,a =结论显然成立；② 假设当2n k =≥时，2 3.k a k =-由条件知2,n n S na n =-故[]1111222(1)(1)()(1)1,k k k k k k k a S S k a k ka k k a ka ++++=-=+-+--=+--于是11(1)1(23)1(1)(21),2(1) 3.k k k k a ka k k k k a k ++-=+=-+=--=+-从而故数列{}n a 的通项公式为：23().n a n n N *=-∈ ……(6分)另解（1）：当1n =时，由1121,S a +=得11;a =- 由2120,S a a =+=得21;a =当3n =时，由33323233,S a a +=+=得3 3.a =当4n =时，由444242104,S a a +=+=得4 5.a = ……(2分) 当3n ≥时，由条件知2,n n S na n =-故()[]111222(1)(1)(1)1,n n n n n n n a S S na n n a n na n a ---=-=-----=---于是1111(2)(1)1,1221n n n n a a n a n a n n n n -----=⇒-=----- ……(4分) 112322()()()1122321111111111111()()()()()212233432211n n n n n a a a a a a aa n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-----=+-+-+-++-+-=------从而故23(3).n a n n =-≥ 于是数列{}n a 的通项公式为：23().n a n n N *=-∈……(6分)证：（2）当1n =时， 11231,b a =+=当2n ≥时，由条件得[][]()()123112311111(21)35(23)(21)35(23)23232(23)2(25)2(8(1)2)n n n n n n n n n n n n b b b b n b n b b b b n b a a n n n -------=++++-+--++++-=⋅+-+=---=-分从而12.n n b -= 故数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列. ……(10分)解：（3）由题意，得1112212221111111(223)(221)(221)(227)(225)2(223)(225)(12)34224n n n n n n n n n n n n nnn c a a a a ---++------+=++++=⋅-+⋅-+⋅+++⋅-+⋅-⎡⎤⋅⋅-+⋅-⎣⎦==⋅-分22311223(444)(222)434(41)2(21)442344 (14)121n n n n n n n n T c c c +=+++=+++++++-⋅-=⋅-=-⋅+--故分从而 11lim lim 143 1.424n nn n nn T →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ……(16分)注：在解答第（3）小题时，可直接求出n T .23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分.解：（1）由题意，得22222,,,b c b b c a =⎧⎪=⎨⎪+=⎩ ……(2分)2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩解得 故椭圆C 的方程为22 1.4x y += ……(4分) （2）设00(,),M x y 则由条件，知000000,0,(,),(,0).x y N x y H x >>--且 从而000(0,),(,).HM y HN x y ==--于是由20000001(0,)(,),0,22HM HN y x y y y y ⋅=⋅--=-=->=及得 再由点M 在椭圆C上，得220001,4x y x +==求得所以),(),0);M N H ……(6分) 进而求得直线NH 的方程:40.x y -=由2240,1,4x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩J 求得 ……(8分)进而NJ NJ =线段的中点坐标为 因此以线段NJ为直径的圆的方程为：22153((.50x y +=……(10分) （3）当直线1l 的斜率不存在时，直线2l 与椭圆C 相切于点A ，不合题意；当直线1l的斜率为0时，可以求得PQR S ∆= ……(12分)当直线1l 的斜率存在且不为0时，设其方程为1(0),y k x k =-≠则点O 到直线1l的距离为d =从而由几何意义，得PQ ==由于21,l l ⊥故直线2l 的方程为11,y x k=--可求得它与椭圆C 的交点R 的坐标为22284,;44k k k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭于是AR =12PQRS PQ AR ∆⋅==故 ……(15分)u =令则232321313PQR u u u uS ∆=≤++=当且仅当u k =>=即时，上式取等号.>故当k =时，()max PQR S ∆=此时直线1l 的方程为：1.y x =-（也可写成220.y ++=） ……(18分)。
虹口区2015年数学学科（理科）高考练习卷时间120分钟，满分150分 2015.4.21一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、计算：20151+1i i=+_________.（i 是虚数单位）2、已知函数()()()132,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()()3f f -=_________.3、函数()()1ln 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数()1f x -=_______.4、已知正实数,x y 满足31x y +=，则13xx y+的最小值为___________. 5、已知复数3sin cos z i θθ=+（i 是虚数单位），且z =θ为钝角时，tan θ=_______. 6、在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有_________种.7、设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且()*13N n n a S n +=∈，则n S =_________.8、在极坐标系中，过点4π⎫⎪⎭且与圆2cos ρθ=相切的直线的方程为_______________.9、若二项式6x ⎛- ⎝展开式中含2x 项的系数为52，则()2lim 1n n a a a →∞++++=__________.10、若行列式()51sin 0cos 24x x ππ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1行第2列的元素1的代数余子式为1-，则实数x 的取值集合为___________.11、如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆ 为正三角形，则双曲线的实轴长为__________.12、随机变量ξ的分布列为其中,,a b c 成等差数列，若13E ξ=，则D ξ=_________. 13、已知向量,a b ，满足2a b a b ==⋅=，且()()0a c b c -⋅-=，则2b c -的最小值为_______. 14、若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k =__________.二、选择题（本题共4题，满分20分）15.设全集R U =，已知2302x A xx ⎧+⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}12B x x =-<，则()U A B =（ ）A. 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B. (]1,2-C. (]2,3D. [)2,316.设R a ∈，则“1a =-”是“()()2f x ax x =-在()0,+∞上单调递增”的（ ） A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件D.必要不充分条件17.如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥，BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分 18.已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点， O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为（ ） A.3 B.4C.6D.9三、解答题（本大题共5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共2小题，第1小题5分，第2小题7分. 已知函数()log a f x b x =+（0a >且1a ≠）的图像经过点()8,2和()1,1-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）令()()()21g x f x f x =+-，求()g x 的最小值及取最小值时x 的值.20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.βαPB ADC在如图所示的几何体中，四边形CDPQ 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，且90BAD ADC ∠=∠=，平面CDPQ ⊥平面ABCD ，112AB AD CD ===，PD =（1）若M 为PA 的中点，求证：AC //平面DMQ ； （2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小.21.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，经过村庄A 有两条夹角60为的公路,AB AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N （异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米）.记AMN θ∠=.（1）将,AN AM 用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即,AN AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP 最大）？ABCQPD MA MBPNC22.（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第2小题6分. 已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.23.（本题满分18分）本题共3小题，第1小题6分，第2小题6分，第2小题6分. 已知数列{}n a 满足：121a a ==，且()*22N n n n a a n +-=∈，设3n n b a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，是否存在连续的三项构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）试证明：在数列{}n b 中，一定存在正整数(),1k l k l <<，使得1,,k l b b b 构成等比数列；并求出,k l 之间的关系.虹口区2015年数学学科（理科）高考练习卷答案（仅供参考）一．填空题 1. i -； 2. 12； 3. 11()(0)1x f x x e -=>-； 4. 7； 5. 1-； 6. 10； 7. 4n； 8. 1y =； 9. 23； 10. {|2,}x x k k Z ππ=+∈11.1； 12.59；13. 1；14. 6；二．选择题15. B ； 16. C ； 17. D ； 18. A ； 三．解答题19.（1）2()1log f x x =-+；（2）1x =，()1g x =； 20.（1）联结PC ，证明略；（2）3π； 21.（1）AN θ=；)AM θ=︒-；（2）2AM AN ==，AP =22.（1）2212x y +=；（2）14；（3）(0,1)；23.（1）1(21)31(21)3nn n n a n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，为奇数，为偶数；（2）23b =，39b =，415b =成等差数列；（3）略。
上海市虹口区2015届高三数学上学期期末教学质量监控测试试题一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、椭圆2214x y +=的焦距为 .2、在91x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为 .3、若复数z 满足22zii i=-+（i 为虚数单位），则复数z = . 4、若正实数a b ，满足ab =32，则2a b +的最小值为 .5、行列式()3sin tan 4cos tan()2x x x x ππ-+的最小值为 .6、在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若75,60,3A B b =︒=︒，则c = .7、若()22sin 00x x f x x x π≤≤⎧=⎨<⎩，，，，则方程()1f x =的所有解之和等于 .8、若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122limnn a a a n →∞+++= .9、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q = .10、已知12,l l 是分别经过()()2102A B ,，,两点的两条平行直线，当12,l l 之间的距离最大时，直线1l 的方程是 .11、若抛物线24y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 .12、10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为 .（结果用最简分数表示）13、右图是正四面体的平面展开图，M N G 、、分别为DE BE FE 、、的中点，则在这个正四面体中，MN 与CG 所成角的大小为 .E14、右图为函数()()=sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ+>><<的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个交点，D C 、分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且28MD MN π⋅=，则函数()f x 的解析式为 .二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分. 15、设全集(){}{},ln 1,11U R A x y x B x x ===-=-<，则()U C A B = （ ）.A.()2,1-B.(]2,1-C.[)1,2D.()1,216、设,a b 均为非零向量，下列四个条件中，使a b ab=成立的必要条件是 （ ）.A.a b =-B.//a bC.2a b =D.//a b 且a b =17、关于曲线42:1C x y +=，给出下列四个命题： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y x =对称 ③曲线C 围成的面积大于π ④曲线C 围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为 （ ）A.①②③B.①②④C.①④D.①③18、若直线1y kx =+与曲线11y x x x x=+--有四个不同交点，则实数k 的取值范围是 （ ）.A.11,0,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B.11,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C.11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要步骤.19、（本题满分12分）已知3cos ,424x x πππ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin ,sin ,cos 24x x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值20、（本题满分14分）本题共2个小题，每小题7分一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r .（1）试确定R 与r（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.21、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分 已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()f x x x =+ （1）求函数()y g x =的解析式；（2）若()()()3h x g x m f x =-⋅+在[]1,1-上是增函数，求实数m 的取值范围.22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中11a =. （1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n b 满足()121n b nn N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立.23、（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题5分，第2小题7分，第3小题6分.已知12F F 、为为双曲线22221x y C a b-=：的两个焦点，焦距12=6F F ，过左焦点1F 垂直于x 轴的直线，与双曲线C 相交于,A B 两点，且2ABF ∆为等边三角形. （1）求双曲线C 的方程；（2）设T 为直线1x =上任意一点，过右焦点2F 作2TF 的垂线交双曲线C 与,P Q 两点，求证：直线OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（3）是否存在过右焦点2F 的直线l ，它与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,R S 两点，且使得1F RS ∆的面积为l 的方程；若不存在，请说明理由.2015年虹口区高三一模数学试卷理科（参考答案）一．填空题1. 2. 1； 3. 5i -； 4. 16； 5. 5-； 7. 1π-； 8. 1.5； 9. 2-； 10. 230x y --=； 11. 3； 12.715；13. 14. 2sin(2)4y x π=+；二．选择题15. C ； 16. B ； 17. D ； 18. A ； 三．解答题19. 解：(,)442x πππ-∈，在第一象限，∴sin()410x π-==； 4sin sin()sin()cos cos()sin 4444445x x x x ππππππ=-+=-+-=； 27cos 212sin 25x x =-=-；20. （1）解：223416r R ππ=⨯，r R =；::3:1V V h h ==大小大小； （2）解：22232321143():()::3338h r V V V r h r h R r h R R R πππ+=+==⋅=小大小球大小小； 21. （1）解：2()g x x x =-+；（2）解：2()(1)(1)3h x m x m x =--+-+， 当10m -->，即1m <-时，对称轴112(1)mx m -=≤-+，∴31m -≤<-；当10m --=，即1m =-时，()23h x x =+，符合题意，∴1m =-； 当10m --<，即1m >-时，对称轴112(1)m x m -=≥+，∴113m -<≤-；综上，133m -≤≤-； 22. （1）解：141n n n S a a +=+ ①；1141n n n S a a --=+ ②；①－②得114n n a a +--=，得证；（2）解：由11a =，得23a =，结合第（1）问结论，即可得{}n a 是等差数列； （3）解：根据题意，22log 21n n b n =-，22462log 13521n nT n =⨯⨯⨯⨯-…； 要证2122log log (21)n n T a n +>=+，即证246213521nn ⨯⨯⨯⨯>-… 当1n =时，2> 假设当n k =时，246213521kk ⨯⨯⨯⨯>-…成立； 当1n k =+时，24622222135212121k k k k k k ++⨯⨯⨯⨯⨯>-++…=；>2(22)(21)(23)k k k +>++，展开后显然成立， 所以对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立；23. （1）3c =，∵等边三角形，∴2AF =，1AF =a =22136x y -=； （2）解：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，中点为00(,)T x y '，然后点差法，即得2121212122()1312()PQ PF T Tx x y y k y y x x k y y +--===-==+-， ∴001TOT OT y y k k x '===，即点T '与点T 重合，所以T 为PQ 中点，得证； （3）解：假设存在这样的直线，设直线:3l x my =+，(,)R R R x y ，(,)S S S x y联立3y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得R y =3y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得S y =116()2F RSR S Sy y =⨯⨯-=()R S y y -=+=l。
上海市虹口区复兴高中2015届高三上学期摸底数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1. （4分）不等式’|的解集是.K+4 '2. （4分）在厶ABC中，角A, B, C满足si nA : si nB : si nC=1 : 2： . _，则最大的角等于.3. （4分）若复数z满足z=i （2 - z）（i是虚数单位），则|z|=.4. （4 分）已知全集U=R 集合A=｛x|x+a >0, x€ R｝, B=｛x||x - 1| < 3, x € R｝.若（？U A） n B=[-2, 4]，则实数a的取值范围是.5. （4分）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为6. （4分）设直线I仁ax+2y=0的方向向量是，[，直线l 2：x+ （a+1）y+4=0的法向量是：.,若与.平行，则a=.7. （4分）若圆锥的侧面积为3n,底面积为n,则该圆锥的体积为.X 1& （4分）若不等式：>0对任意x € R恒成立，则实数a的取值范围是.-1计曰2 2 29. （4分）若抛物线y =2px （p > 0）的焦点与双曲线x - y =2的右焦点重合，贝U p的值为."log, （x+1 ）!xE [6,十8）10. （4分）设函数f （x）= * J 的反函数为f 1（x），若_6I圧（-卩6〕|L3K-1 | —：1,贝U f （a+4）=.11.（4分）设a € R, （x- a）&的二项展开式中含x5项的系数为乙则15 （針/ + ・■・+ =.12. （4分）等差数列｛a n｝的通项公式为a n=2n - 8，下列四个命题.a 1 ：数列｛a n｝是递增数列；a 2：数列｛na n｝是递增数列；a 3：数列是递增数列；na 4：数列｛a n2｝是递增数列.其中真命题的是.13. ( 4分)设定义域为R 的函数f (工)斗丘二1 1 ’ ,若关于x 的方程f 2 (x ) +bf (x )| [1, 1=1+c=0有3个不同的整数解Xi ，X2, X3，则X I 2+X 22+X 32等于.14. ( 4分)将数轴Ox 、Oy 的原点放在一起，且使/ xOy=45，则得到一个平面斜坐标系.设二、选择题(每小题 5分，满分20分)215. (5分)若a € R,则"关于x 的方程x +ax+1=0无实根”是"z= ( 2a - 1) + (a - 1) i (其 中i 表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的()A.充分非必要条件 B .必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件16. ( 5分)已知m 和n 是两条不同的直线，a 和B 是两个不重合的平面，那么下面给出的 条件中一定能推出 mX3的是()A. a 丄B,且 m? a B . m 〃 n ,且 n 丄B C. a 丄B,且 m 〃a D . ml n ,且 n 〃B2 2 ~* *_ • ■17. ( 5分)已知直线 x+y=a 与圆x +y =4交于A B 两点，且| I i ，|=|- , ,|，其中O为原点，则实数a 的值为()A. 2 B . - 2 C. 2 或-2 D.I,或-I,18. ( 5分)对于函数f (x ),若存在区间 A=[m, n]，使得{y|y=f (x ), x € A}=A ，则称函数f(x )为“可等域函数”，区间 A 为函数f (x )的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：I 兀 ① f ( x ) =sin ( x );② f ( x ) =2x - 1; ③ f ( x ) =|1 - 2X | ; ④ f ( x ) =log 2 (2x - 2).其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为()A.①②③ B .②③ C.①③ D.②③④三、解答题P 为坐标平面内的一点，其斜坐标定义如下：若——•・分别为与x 轴、y轴同向的单位向量)，则点P 的坐标为x , y )若 Fi (- 1 , 0), F2 (1, 0),且动点 M(x , y )则点M 的轨迹方程为.19. ( 12分)如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形，PU底面ABCD E是PC的中点, 已知AB=2, AD=2 ： \ PA=2 求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.20. (14分)在厶ABC中，角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,向量；_ ：'『，,::,(1) 求角B；(2) 若b=2，求△ ABC的面积的最大值.21. ( 14分)抛物线C: y2=2px (p>0)的焦点恰是椭圆=1的一个焦点，过点4 3的直线与抛物线C交于点A, B.(1)求抛物线C的方程;(2) O是坐标原点，求△ AOB的面积的最小值;(3) O是坐标原点，证明:证明：数列｛b n｝是等比数列; 求数列｛nb n｝的前n项和T n；2+ < +1的前n项和，求不超过P2014的最大的整气+c n数.23. (18 分)设a 是实数，函数f (x) =4x+|2x- a| (x € R).(1)求证：函数f (x)不是奇函数；(2)当a<0时，求满足f (x) > a2的x的取值范围；(3)求函数y=f (x)的值域(用a表示).F（・0）22. (16分)在数列{a n}中,, 2a n=a n2 -1- n- 1 （n》2, n€ N*）,设b n=a n+n.（出）,P n为数列参考答案与试题解析 一、填空题（每小题 4分，满分56分）1.（ 4分）不等式’|的解集是（-汽-4）U [3 , +R ）x+4考点：其他不等式的解法. 专题：不等式的解法及应用. 分析：由不等式可得!心-小‘创）氏，由此求得x 的范围.R+4 穽 0解答：解：由不等式'■，可得、■■ ’ ■',求得x V- 4，或x >3,X +Q JU U+4^0I故答案为：（-a,- 4）U [3 , +m ）.点评： 本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题.2. （4分）在厶ABC 中，角A , B, C 满足si nA : si nB : si nC=1 : 2:衙，则最大的角等于孕」考点：余弦定理的应用；正弦定理. 专题： 计算题；解三角形. 分析：运用正弦定理，可得三边之比，判断最大的角，再由余弦定理，即可解得.解答： 解：运用正弦定理，得， sinA : sinB : sinC=1 : 2 :沐匚 即为 a : b : c=1 : 2： ||, 可令a=t , b=2t , c V 「t ，显然c 最大，由于0 V C Vn,即有C=—3点评： 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查判断和运算能力，属于基础题.3. （4分）若复数z 满足z=i （2 - z ） （i 是虚数单位），则|z|=二考点： 复数求模；复数代数形式的乘除运算. 专题： 计算题.分析：由题意可得（1+i ） z=2i ，可得z=，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位1+ii 的幕运算性质求得 z 的值，即可求得|z| .解答： 解：T 复数z 满足z=i （2 - z ） （i 是虚数单位），二z=2i - iz ,即（1+i ） z=2i , 2L 2i （1-i ）……z= ------ = =1+i ,1+i （LH ） （1-D，故|z|=:对 故答案为打理. 点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位属于基础题.4. (4 分)已知全集U=R 集合A={x|x+a >0, x € R}, B={x||x - 1| < 3, x € R}.若(？u A ) n B=[-由余弦定理，得,1i 的幕运算性质，求复数的模,2, 4]，则实数a的取值范围是a v- 4.考点：交、并、补集的混合运算.专题：集合.分析：表示出A中的解集确定出A,求出B中不等式的解集确定出B,根据A补集与B的交集确定出a的范围即可.解答：解：由A中的不等式解得：x>- a,即A=[ - a, +a）,•••全集U=R ••• ?U A= (-a,- a),由B中的不等式变形得：-3W x- K3,即-2W x w4, •- B=[ - 2, 4],•••( ?u A)n B=[ - 2, 4],••- a>4, 即卩a v- 4.故答案为：a v- 4点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.（4分）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为考点：等可能事件的概率.专题：计算题.分析：由题意列出选出二个人的所有情况，再根据等可能性求出事件“甲被选中”的概率.解答：解：由题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况：甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁，因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为2故答案为：2.2点评：本题考查了等可能事件的概率的求法，即列出所有的实验结果，再根据每个事件结果出现的可能性相等求出对应事件的概率.6. （4分）设直线I仁ax+2y=0的方向向量是dr，直线l 2：x+ （a+1）y+4=0的法向量是口^ ,1 2若-"与门，平行，则考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算.专题：平面向量及应用.分析：先求出直线的法向量，再利用向量共线的充要条件即可得出a的值.解答： 解：由直线1仁ax+2y=0可得方向向量= （- 2, a ）;由直线丨2： x+ （a+1） y+4=0可得方向向量为（a+1，- 1）,其法向量门？= （1, a+1）;T J 与、平行，「•- 2 (a+1) - a=0,解得 a=-故答案为 点评：正确理解直线的法向量和向量的共线是解题的关键.7. （4分）若圆锥的侧面积为 3n,底面积为n,则该圆锥的体积为 f 「考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）. 专题： 空间位置关系与距离. 分析：由圆锥的侧面积求出圆锥的母线长度，由底面面积球底面圆半径，进一步求出圆锥的高，求体积. 解答：解：根据题意，圆锥的底面积为n,则其底面半径是1，底面周长为2n,又-X 2n l=3 n,•••圆锥的母线为3，则圆锥的高• ： ：「-二,故答案为：■'二3点评：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力.| x&（ 4分）若不等式对任意x € R 恒成立，则实数 a 的取值范围是（-2, 2）.> 0对任意x € R 恒成立，因此△ =a - 4v 0，解得可得a 的范围.••X +ax+1 > 0对任意x € R 恒成立,2=a — 4v 0••- 2 v a v 2,故答案为：（-2, 2） 点评：本题主要考查二次不等式的解法，解一元二次不等式要借助于一元二次函数解决.一 1 x-Fa考点： 专题： 函数恒成立问题. 函数的性质及应用. 分析:不等式2 2-1X(- 1)> 0，即 x +ax+1 > 0,故 x +ax+1解答：解：：•不等式|等价于 x (x+a )- 1X> 0,即 x 2+ax+1 > 0,9. (4分)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点与双曲线 x 2-y 2=2的右焦点重合，贝U p 的值为4.考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质. 专题：计算题. 分析：将双曲线化成标准方程，求得a 2=b 2=2的值，从而得到双曲线的右焦点为 F (2, 0),该点也是抛物线的焦点，可得=2，所以p 的值为4.22 2解答： 解：•••双曲线x 2- y 2=2的标准形式为：乙二12 2.•.a 2=b 2=2,可得c=.・|「=2，双曲线的右焦点为 F (2, 0) T 抛物线y 2=2px ( p > 0)的焦点与双曲线 x 2 - y 2=2的右焦点重合， •••丄=2,可得p=42故答案为：4 点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题._log, (x+1 ) , xf [6,十8)10. (4分)设函数f (x )二J的反函数为f 1 (x )，若3旷耳疋(一7 6)考点：反函数.专题：函数的性质及应用. 分析：由于f 7(丄)二且，可得f (a ) j.对a 分类讨论，即可得出.9 9解答：解：T f 7讣)=a ,当 x >6 时，f (x ) =- log 3 (x+1) <- log 37V 0，不符合条件，舍去； 当 x v 6 时，f (x ) =3x -6,令=3-2,. a - 6=- 2，解得 a=4,满足条件.g• f ( 8) = - log 39=- 2. 故答案为：-2. 点评：本题考查了分类讨论、反函数的性质、分段函数的性质，属于基础题.x 5项的系数为7,则• f ( a )一二 方.则 f (a+4) =- 2.11. ( 4分)设a € R , (x - a ) 8的二项展开式中含故答案为：-土. 3点评：本题主要考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质,等比数列的前n 项和公式，属于基础题.12. （ 4分）等差数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n - 8，下列四个命题. a i :数列｛a n ｝是递增数列；a 2：数列｛na n ｝是递增数列； a 3：数列是递增数列；na 4：数列｛a n ）是递增数列.其中真命题的是 a i ,a 4.考点：等差数列的性质.专题：等差数列与等比数列.分析： 利用函数的单调性直接进行判断，从而得出结论. 解答： 解：•••等差数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n -8, 数列｛a n ｝是递增数列，故 a 1是真命题；2T na n =2n - 8n ,•••数列｛na n ｝是先减后增数列，故 a 2是假命题； 匸=2弟•数列｛ ―-｝是递增数列，故 a 3是真命题；n2 2• a n =4n — 32n+64,••数列｛a n ｝不是递增数列，故 a 4是假命题. 故答案为：a i ,a 4. 点评：本题考查数列的函数特性的应用，是基础题，解题时要注意函数的单调性的灵活运用，属于基础题.13. ( 4分)设定义域为R 的函数f (工)二 丘二1 1‘ ,若关于x 的方程f 2 (x ) +bf (x )考点： 二项式系数的性质. 专题： 二项式定理.由条件求得a=-丄，可得a+a'+a 3*-2+a 的值，从而求得 li值. 解答:解：由于（x - a ） 8的二项展开式中含 x 5项的系数为3 ? (- a ) 3=7,•. a=-=3 (1 -屮)拎［「（令I=1 -a占1 -1乳（-丄）2分析: 2 - 二 a+a +a3 n]=-_一 ["T ■怕L尸1. . 2 2 2+c=0有3个不同的整数解x i, X2, x s,则x i +X2 +X3等于5.考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断. 专题：计算题；数形结合；分类讨论./ X f l \ I> 好1分析：根据已知中函数F (Q二彳一1 | 的解析式，我们可以画出函数F (工)二|x 一1「"厂1的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程f2(x) +bf (x)1 J尸1\. . ___________________________________________________________________________ _ 2 2 2+c=0有3个不同的整数解x i, X2, x s时，x i, X2, x s的值，进而求出X1 +X2+X3的值.|[| 1P占1解答：解：函数f (门二< 玄一1丨的图象如图所示：[1,孟二1由图易得函数的值域为(0, +8)令t=f (X )则方程f2(x) +bf (x) +c=02可化为t +bt+c=O ,若此方程无正根，则方程f2(x) +bf (x) +c=0无根若此方程有一个非1的正根，则方程f2(x) +bf (x) +c=0有两根；若此方程有一个等1的正根，则方程f2(x) +bf (x) +c=0有三根；2 2 2此时t=f (x) =1, X1=0, X2=1, X3=2, X1 +X2 +X3 =5若此方程有两个非1的正根，则方程f2(x) +bf (x ) +c=0有四根；若此方程有一个非1，一个等1的正根，则方程f2(x ) +bf (x) +c=0有五根；综上X12+X22+X32=5点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式及其图象的作法，根的存在性及根的个数判1 ]厂,尹断，其中画出函数f(X)- is-1 r 的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程[1* x二1f2(x) +bf (x)+c=0有3个不同的整数解x i, X2, x s时，所满足的条件是解答醒本题的关键.14. ( 4分)将数轴Ox、Oy的原点放在一起，且使/ xOy=45，则得到一个平面斜坐标系.设P为坐标平面内的一点，其斜坐标定义如下：若_ , . 分别为与x轴、y轴同向的单位向量)，则点P的坐标为(x, y).若F i (- 1 , 0) , F2 (1, 0),且动点M(x, y)I臥I L满足f二i，则点M的轨迹方程为y=-“叵x.|o2| —_考点：轨迹方程.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：欲求点M在斜坐标系中的轨迹方程，只须求出其坐标x, y之间的关系即可，根据M 两I(x, y)满足L =1，建立等式关系，解之即可求出点M的轨迹方程.iMFjl解答：解：TF 1 (- 1 , 0), F2 (1 , 0),•••由定义知，帀=(—1—X)哥-药，丽;=(1 -X)哥-爲,I MP, I由动点M(x, y)满足 _____ i ~1 ,|化|得：I|=|W^|,所以(—1 - x) +y +2 (1+x) y..・.=(1 - x) +y - 2 (1 - x)y.. | ,所以(-1 - x) 2+y2+2 (1+x) y x二=(1 - x) 2+y2- 2 (1 - x) y X ',2 2整理得v <x+y=0,即y= - : :x.点M的轨迹方程为y= .点评：本题是新信息题，读懂信息，斜坐标系是一个两坐标轴夹角为45°的坐标系，本小题主要考查向量的模、平面向量的基本定理及其意义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.属于中档题.二、选择题(每小题5分，满分20分)15. ( 5分)若a€ R,则"关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是"z= ( 2a - 1) + (a - 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件考点：复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断.分析：一方面由a€ R,且"关于x的方程x2+ax+1=0无实根"，得到厶=a 2- 4 v 0,解得a 的取值范围，即可判断出“ z= ( 2a- 1) + ( a- 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“ a€ R, z= (2a- 1) + (a - 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”，可得1>0，解出a的取值范围，即可判断出△<0是否成立即可.a-l< -0解答：解：①••• a€ R,且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，•••△ =a - 4v 0,解得-2v a v2.•••- 3v2a - 1 v3,- 3v a- 1 v 1,因此z= ( 2a- 1) + (a - 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点不一定位于第四象限；②若“a€ R, z= (2a- 1) + (a- 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”正确，f2a-l>0^[a-KO •••△< 0,•关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确.综上①②可知：若a€ R,则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“ z= ( 2a - 1) + (a - 1) i(其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件.故选B.点评：熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键.16. ( 5分)已知m和n是两条不同的直线，a 和B是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出mX3的是()A. a丄B,且m? aB. m〃n,且n丄BC. a丄B,且m〃aD. ml n,且n〃B考点：直线与平面垂直的判定.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：根据A, B, C, D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果.解答：解：alB，且m? a ? n? B,或m//B,或m与B相交，故A不成立；m// n,且n lB ? m±B，故B成立；alB,且m//a ? m? B,或m//B,或m与B相交，故C不成立；由ml n,且n //B,知m±B不成立，故D不正确.故选B.点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答.17. ( 5分)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A B两点，且|八丨，|=| j ，其中0为原点，则实数a的值为()A. 2B. - 2C. 2 或-2D. 「或—「④••• f ( x ) =log 2 (2x - 2)单调递增，且函数的定义域为(1, +8), 加-2-严若存在“可等域区间”，则满足1□吕 2_” 二E log 2（2n - 2）-n，即[2n-2= 2n考点： 直线和圆的方程的应用；向量的模；向量在几何中的应用.专题：计算题.分析：条件"丨J -」=| I, - [I ”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积I 丨，|2=|—- 「I 2,广；？|飞=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A 、B 两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法.2 2解答： 解：由丨F 1 「一 . •」得1丨m | 一 . |」，？ I ,=o ,丄■,三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为鳥即一J = ', a=±2,故选C.V2点评：若非零向量 U ，满足iZ.-m* 「二i ，则□丄工.模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积.向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问 题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁.18. ( 5分)对于函数f (x ),若存在区间 A=[m, n]，使得{y|y=f (x ), x € A}=A ，则称函数f(x )为“可等域函数”，区间 A 为函数f (x )的一个“可等域区间”.给出下列 4个函数:I TT① f ( x ) =sin ( x );2② f ( x ) =2x - 1; ③ f ( x ) =|1 - 2x | ; ④ f ( x ) =log 2 (2x - 2).其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为()考点： 正弦函数的定义域和值域. 专题： 新定义；函数的性质及应用.分析： 根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论. 解答：I JT解：①函数f (x ) =sin (x )的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0 , 1]为函数的一个“可等域区间”，同时当 A=[ - 1 , 0]时也是函数的一个“可等域区间”，.••不 满足唯一性. ② 当A=[ - 1 , 1]时，f (x )€ [ - 1, 1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的 集合只有A=[ - 1, 1] 一个.③ A=[0, 1]为函数f (x ) =|2x - 1|的“可等域区间”，当 x € [0 , 1]时，f (x ) =2x - 1,函数单调递增，f (0) =1 - 1=0, f (1) =2 - 1=1 满足条件, •••m n 取值唯一.故满足条件.A.①②③B .②③C.①③D.②③④••• m n是方程2x - 2x+2=0 的两个根，设f (x) =2x-2x+2, f '( x) =2x ln2 - 2，当x> 1时, f '( x)> 0，此时函数f (x)单调递增，• f( x)=2x- 2x+2=0不可能存在两个解，故f (x) =log 2 (2x - 2)不存在"可等域区间”.故选：B.点评：本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.三、解答题19. ( 12分)如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形，PU底面ABCD E是PC的中点, 已知AB=2, AD=2 :，PA=2 求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角. 专题：证明题；综合题；空间位置关系与距离；空间角.分析：(1)可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△ PAD中，利用勾股定理得到PD=2l ；，最后得到三角形PCD的面积S；(2)［解法一］建立如图空间直角坐标系，可得B、C E各点的坐标，从而「= (1，二1),此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为［解法二］取PB的中点F,连接AF、EF, △ PBC中，禾U用中位线定理，得到EF// BC从而/ AEF 或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△ AEF是以F为直角顶兀TT点的等腰直角三角形，所以/ AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为•.4 4解答：解：(1)v PAL底面ABCD CD?底面ABCD•CD L PA•••矩形ABCD中, CDLAD PA AD是平面PDC内的相交直线.•CDL平面PDA••• PD?平面PDA • CD L PD三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形.•/ Rt△ PAD 中,AD=2 :■: , PA=2,• PD=.L；；'=2■.0),利用空间向量数量积的公式，得到「.与I…夹角0满足：cos•••三角形PCD 的面积 S=_ X PDX DC=2. （2）［解法一］如图所示，建立空间直角坐标系，可得 B （2, 0, 0）, C （2, 卫,0）, E （1,血，1）.• AE = （1，近，1）, BC =（0,应,0）,设垃与P 夹角为B,则cos 0= 订…’：= ■: :=::|AE| |BC| 2X2^22長—，由此可得异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小为4［解法二］取PB 的中点F ,连接AF 、EF 、AC,•••△ PBC 中，E 、F 分别是PC PB 的中点，• EF// BC / AEF 或其补角就是异面直线 BC 与AE 所成的角.••• Rt △ PAC 中，PC=]…，眾'=4.• AE J PC=22点评： 本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题.7T 7•••在△ AEF 中, EF 二BC 八:,AF 」PB=:• AF 2+EF 2=A^,^ AEF 是以F 为直角顶点的等腰直角三角形, • / AEF=，可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为47T720. ( 14分)在厶ABC中，角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,向重 | 一一二址.匚二二，-- :"■，.，且''-.(1)求角B;(2)若b=2，求△ ABC的面积的最大值.考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理.专题：解三角形.分析：(1 )利用数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性即可得出.(2)利用余弦定理和基本不等式即可得出ac< 4,再利用三角形的面积计算公式即可得出.解答：解：(1)，5 5二1 ,「•器］边- 2®/片1 ,•••拆匚g2B二2,五口(2B- —)二1, &又0V B<n,.・.—卫<證一6 6 6(2)v b=2, b2=a2+c2-2ac?cosB,•_ 二.-i - - ：；-：■：：!■ 一，即4=a2+c2—ac,•4=a2+c2- ac>2ac- ac=ac，即ac< 4,当且仅当a=c=2 时等号成立.—丄-「…：一，当a=b=c=2 时，「厂(:-:.点评：熟练掌握数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性、余弦定理和基本不等式、三角形的面积计算公式是解题的关键.21. ( 14分)抛物线C: y2=2px (p>0)的焦点恰是椭圆' =1的一个焦点，过点F (上，0)4 3 2 的直线与抛物线C交于点A, B.(1)求抛物线C的方程；(2)O是坐标原点，求△ AOB的面积的最小值；(3)O是坐标原点，证明：〔为定值.考点：椭圆的简单性质.专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(1 )根据已知条件知抛物线C的焦点(专，0)是椭圆的右焦点(1, 0),这样便可求得p=2,也就得到了抛物线方程为y2=4x；| - -T -—.-、； -：■:，而△ AOB 的面积可表示成> 2;而不存在斜率时容易求得S=2,所以△ AOB 的面积的最小值为 2;（3）由（2）即可求出|「- •；,所以说「=■为定值.解答： 解：（1）由已知条件知（三.I ）= （1, 0）;2.p=2;•••抛物线C 的方程为y 2=4x ;2 2（2） F （1, 0）, .F 是抛物线C 的焦点，如图，设直（牛，和），B 〔冷一，y 2）;根据题意知k z 0,.••扯J*],带入抛物线方程 y 2=4x 并整理得:2;•••即 S >2;②当过F 的直线不存在斜率，即垂直于x 轴时，直线方程为 x=1 ;（2）过F 的直线根据题意可分成两种情况：存在斜率 k ，（ k z 0）,和不存在斜率•存在斜率k 时，方程为y=kx - k ，联立抛物线方程可得/4二。
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x ≤≤=，则U AB =ð .2．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y ，，=⎧⎨=⎩则12c c -= . 4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = .5．抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 7．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 . 10．设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 . 11．在1020151(1)x x++的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 12．赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元.13．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m *N （）（）（）（）（）（≥）-+--∈，则m 的最小值为 .14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则 DE DF = . 二、选择题：本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z C ∈，则“12z z ,中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数.当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是( )A .方程①有实根，且②有实根B .方程①有实根，且②无实根C .方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n *N -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限 1lim 1n n ny x →∞-=-( ) A .1- B .12- C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.证明：11A C F E ，，，四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t ()(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1=t t 时，乙到达C 地. （Ⅰ）求1t 与1f t ()的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t ()的表达式，并判断f t ()在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n *N ∈. （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n *N ≥∈.求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （Ⅲ）设10a ＜λ=，()n n b n *N λ=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2)Mm∈-.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4πf T =. （Ⅰ）验证()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （Ⅱ）设a b <.证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （Ⅲ）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）1sin602a a ︒，1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭【考点】棱锥的结构特征123270x+=011019102015201511(1)C x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，项的系数．数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）【解析】对任意的i x ，j x ，max min |()()|()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让(1,2,,)i x i m =取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，*12231|()()||()()||()()|12(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，按照下图所示取值可以满足条件，所以m的最小值为8．【提示】对任意的i x ，j x ，|()()|2i j f x f x -=，让i x 取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，12231|()()||()()||()()|12m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=，【解析】解：如图，ABD △与ACD △的面积分别为2和4||||22AB DE =，||||4AC DF =，可得4||||DE AB =，8||||DF AC =，32||||||||DE DF AB AC =．1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立||||sin 2AB AC A ||||12AB AC =85||||15DE DF =8||||||||cos ,DE DF DE DF DE DF ==故答案为：1615-．85||||15DE DF =数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）为坐标原点，、DC 、DD 分别为xyz 轴，建立空间直角坐标系，易求得(0,2,D C =，11(2,2,0)A C =-，(0,1,A E =设平面11AC EF 的法向量为(,y,)n x z =11100n A C n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以,,)(2,2,0)0,)(0,1,1)x y z y z -=-=2-⎧所以(1,1,1)n =，111|||(1,1,1)(0,2,1)||cos ,|||||35n D C n D C n D C -===1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小arcsincos AC AP A =上的Q 点，设甲在cos QB PB B22(78)(5t --cos AC AP A ，代值计算可得；由已知数据和余弦定理可得3数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）2(a a +-+2112()b b a +++-112)b a +-2(a a +-+1(22n a b +)n x <<；则1()f x T +，2()f x T +，…，()n f x T +为方程c o s ()f x c =在[,2]T T 上的解；又()(4π8π)f x T +∈,；而1()4πf x +，2()4πf x +，…，()4π(4π,8π)n f x +∈为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解； ∴()()4π()()i i i f x T f x f x f T +=+=+；∴综上对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+．【提示】（Ⅰ）根据余弦周期函数的定义，判断(6π)cosg x +是否等于cos ()g x 即可； （Ⅱ）根据()f x 的值域为R ，便可得到存在0x ，使得0()f x c =，而根据()f x 在R 上单调递增即可说明0,[]x a b ∈，从而完成证明；（Ⅲ）只需证明0u T +为方程cos ()1f x =在区间[2]T T ,上的解得出0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+，可讨论0x =，x T =，(0)x T ∈,三种情况：0x =时是显然成立的；x T =时，可得出cos (2)1f T =，从而得到1(2)2πf T k =，1k ∈Z ，根据()f x 单调递增便能得到12k >，然后根据()f x 的单调性及方程cos ()1f x =在[],2T T 和它在[0]T ,上解的个数的情况说明13k =，和15k ≥是不存在的，而14k =时结论成立，这便说明x T =时结论成立；而对于(0)x T ∈,时，通过考查c o s ()f x c =的解得到()()()f x T f x f T +=+，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【考点】函数与方程的综合运用。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。
1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则U A B = ð_________。
2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。
3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。
4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。
5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。
7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。
28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。
9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。
若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。
10．设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。
11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。
12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。
2015年上海高考数学理科含答案word版2015年上海高等学校招生数学试卷（理工农医类）一. 填空题（本大题共有14题，每题4分，满 分56分）1 •设全集U=R ，若集合A= 1,2,3,4 , BAIC UB _________________________ ； 2 •若复数z 满足3z z 1 i ，其中XJ ，则 q C2y 54.若正三棱柱的所有棱长均为1673，则 a 5 •抛物线 最小值为1,贝y p ____________________ ；6.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 , 则其母线与轴的夹角大小为 ________ 7 .方程 log 29x15 log 2 3x 1 2 2的解为 _______________ ,8•在报名的3名男教师和6名女教师中，选取 5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不 同的选取方式的种数为；（结果用数x 3，则i为虚数单位，则------------ ?3 •若线性方程组的增广矩阵为 0 3：，解为，且其体积为---------- ?y 22px （p 0）上的动点Q 到焦点的距离的值表示）9.已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为C i和C 2，若C i的 渐近线方程为y 、3x ，则C 2的渐近线方程 为—10・设f 1x为 __________ ;（结果用数值表示）12•赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客 先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一 张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）； 随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡 片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单 位：元）；若随机变量1和2分别表示赌客在一局 赌博中的赌金和奖金，则E !E2 __________________________________________________________________________元；13 •已知函数f x sinx ，若存在x“X 2,L X m满足0 x 1 X 2 L x m 6—?为f X 2xy f x f11・在f x1 f x2 f X2f x3 +L + f x m的最小值为___14•在锐角三角形ABC中, f x m =12 m 2,m N ,贝卩mtanA 1, D为边BC上的点，VABD与VACD的面积分别为2和4,过D作DE ABuuur uuir于 E , DF AC 于F，贝J DEgDF __________________ ；二.选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）15•设N、Z2 C,则“ N、Z2中至少有一个数是虚数” 是“ N Z2是虚数”的（）A.充分非必要条件B. 必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.已知点A的坐标为4 3,1，将OA绕坐标原点O逆时针旋转-至OB，则点B的纵坐标为（)A.辽B. 5忑C. uD.22213217.记方程①：x2a-|X 10 ；方程②：x2护 1 0；③：x2 a3X 1 0 ; 其中玄伫?、、a3是正实数，当4、a“ a3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是（）A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根i8・设P nX n，y n是直线2x y nN *与圆x 2y 22在第三. 解答题（本大题共有5题，满分74分）解 答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤。
虹口区2015学年第一学期10月份考试高三数学 试卷(A)考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.已知{}2,A x x x N =≥∈，则N A =ð ．2.已知{}162<=x x A ，{}2>=x x B ，则=⋂B A ． 3. 若α：2x ≤4≤是β：3+≤≤m x m 的充分条件，则实数m 的取值范围是_________．4.若复数))(3(log )43(22R m m i m m z ∈-⋅+--=是纯虚数，则m 的值为 ．5.用一个到球心距离为1的平面去截球，若所得截面的面积为π，则球的体积为 ．6.在65(2x+的二项展开式中，常数项为 ．7.数据5，7，7，8，10，11的标准差是 ．8.100辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[)7050，的汽车大约有 辆．9.连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(,)a m n = ，向量(1,2)b =- ，则a b ⊥ 的概率是 ．10.校团委组织“中国梦，我的梦”演讲比赛，有4名选手进入决赛；若每位选手都可从4个备选题目中任选一个进行演讲，则恰有一个题目没有被选中的情况有 种．11.已知直线10(,0)ax by c b c ++-=>经过圆05222=--+y y x 的圆心，则c b 14+的最小值是 ．12.若不等式012≥++ax x 对一切⎥⎦⎤ ⎝⎛∈210，x 成立，则a 的最小值为 ．13.设集合{}n S n ，，，，⋯=321，若n S X ⊆，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集．若n = 4，则n S 的所有偶子集的容量之和为 ．14.设集合X 是实数集R 的子集，如果实数0x 满足：对任意0>a ,都存在X x ∈，使得a x x <-<00，则称0x 为集合X 的聚点．用Z 表示整数集，则在下列集合中：①⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∈+01n Z n n n ，；②{}0≠∈x R x x ，；③⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈01n Z n n ，；④整数集Z 以0为聚点的集合是_________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.15.已知a ＞b ，ab ≠0，则下列不等式中：① a 2＞b 2；② 11a b<；③ a 3＞b 3；④ a 2+b 2＞2ab ， 恒成立的不等式的个数是 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16.设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( )A ．若m ∥l ，m ∥α，则l ∥αB ．若,m l m α⊥⊥，则l ∥αC ．若α∥β，l α⊥，m ∥β，则l m ⊥D ．若m α⊆，m ∥β，l β⊆，l ∥α，则α∥β 17.若非空数集A 满足：①0A ∉，②若对任意x A ∈，都有1A x∈，则称数集A 为“互倒集”.给出三个数集： {}2110,A x x a x x R =++=∈, {}22410,A x x x x R =-+<∈[)[]322,0,151,1,2x x A y y x x x ⎧⎫⎧+∈⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎬⎪⎪⎪+∈⎪⎪⎪⎩⎩⎭． 其中“互倒集”的个数是 ( )A ．3B ． 2C ．1D ． 018.如图,长方形的边AB = 2, BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分. 已知{}2340A x x x =+-<，11{|24}2x B x -=<<，{}0222<-+=m mx x x C ， （1）求A B ； （2）若()A B C ⊆ ，求实数m 的取值范围.20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC 所成的角为3π， M 是BC 的中点，求：（1）三棱锥ABC P -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．21．(本题满分15分) 本题共3个小题，每小题5分.某中学高中学生900名，学校要从中选出9名同学作为国庆庆祝活动的志愿者.已知高一有400名学生，高二有300名学生，高三有200名学生，为了保证每名同学都有参与的资格，学校采用分层抽样的方法抽取.(1)求高一、高二、高三分别抽取学生的人数；(2)若再从这9名同学中随机抽取2人作为活动负责人，求抽到的这2名同学都是高一学生的概率；（3）在（2）的条件下，求抽到的这2名同学不是同一年级的概率.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 对于函数)(x f ，我们把使得x x f =)(成立的x 称为函数)(x f 的“不动点”；把使得x x f f =))((成立的x 称为函数)(x f 的“稳定点”，函数)(x f 的“不动点”和“稳定点” 构成的集合分别记为A 和B ，即{}x x f x A ==)(，{}x x f f x B ==))((．（1）若12)(-=x x f ，求集合B ；（2）求证：A ⊆B ；（3）若a x x f -=2)(，且A =B ≠∅，求实数a 的取值范围．23. (本题满分17分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题6分，第3小题6分. 已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．（1）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ；（2）若集合}2,,8,4,2{n A =，求证：2)1()(-=n n A l ； （3）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由?。
