第10讲图像

第10讲运动学图像、追及相遇问题和竖直上抛运动1.掌握x－t图像和v－t图像中坐标、斜率、截距、交点的含义和分析图像。

2.掌握追及相遇问题的分析思路和方法。

3.会运用竖直上抛运动的基本规律处理物理问题。

一、运动学图像1.x－t图像与v－t图像的比较比较项目x－t图像v－t图像运动描述点交点表示两物体相遇的位置和时刻表示两物体在该时刻速度相同拐点表示该时刻速度方向发生改变表示该时刻加速度方向发生改变线若为平行于时间轴的直线，表示物体静止：若为倾斜直线，表示物体做匀速直线运动；若为曲线，表示物体做变速运动若为平行于时间轴的直线，表示物体做匀速直线运动；若为倾斜直线，表示物体做匀变速直线运动；若为曲线，表示物体加速度发生变化斜率斜率大小表示速度大小，斜率正负表示速度方向斜率大小表示加速度大小，斜率正负表示加速度方向截距纵截距表示t＝0时刻物体的位置表示t＝0时刻物体的速度横截距表示物体位移为零的时刻表示物体速度为零的时刻图线与时间轴所围面积无实际意义表示对应时间内的位移。

图线在时间轴上方表示位移为正，图线在时间轴下方表示位移为负。

若图线与时间轴有交叉，总位移为上、下面积的代数和(1)首先看清纵横轴代表的物理量，弄清图像反映什么量间的函数关系。

(2)点：表示物体所处状态，注意甄别交点、拐点代表的物理意义。

(3)线：描述纵轴物理量随横轴物理量变化而变化的规律，可以判断物体运动的性质。

(4)斜率和截距：利用相关公式分析斜率和截距所描述的物理量。

(5)面积：利用相关公式分析面积的含义。

二、追及相遇问题 1.追及相遇问题两物体在同一直线上一前一后运动，速度不同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者碰撞的情况，这类问题称为追及相遇问题。

2.分析追及相遇问题的思路和方法(1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系。

1.竖直上抛运动的定义将物体以某一初速度v 0竖直向上抛出，物体只在重力作用下所做的运动就是竖直上抛运动。

第10讲 二次函数（一）专题一：二次函数的图像与性质（一）知识点梳理1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质 a ＞02. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中 h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定. 5、图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同． ⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．（二）：经典考题精讲例1、二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0.（填“＞”或“＜”＝．）例2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）例3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）例4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？例5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）例6、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．例7、已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、例8、 如图所示，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线ι上．当CQ 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后，正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为Scm 2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S 的值； （2）当t=5秒时，求S 的值；三：拓展与应用1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2．将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．3. 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+- 的图象，那么a 的值是 ．4.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ） A.－2 B.2 C.－1 D.15. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .6.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．7.已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x 的取值范围是（ ）A ．-1≤x≤3B ．-3≤x≤1C ．x≥-3D ．x≤-1或x≥38. 二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②c ＞0； ③ b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 第3题图第6题图9. 已知二次函数243y ax x=-+的图象经过点（－1，8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；（3）根据图象回答：当函数值y<0时，x的取值范围是什么？专题二：二次函数与一元二次方程（一）：【知识梳理】1．二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．（3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c 有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根（二）：【经典考题剖析】1.已知二次函数y=x2－6x+8，求：（1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：①方程x2－6x＋8=0的解是什么？②x取什么值时，函数值大于0？③x取什么值时，函数值小于0？2.已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．3.如图所示，直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90o， 过C 作CD ⊥x 轴，垂足为D （1）求点A 、B 的坐标和AD 的长（2）求过B 、A 、D 三点的抛物线的解析式4.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，回答下列问题：（1） 设运动后开始第t （单位：s ）时，五边形APQCD 的面积为S（单位：cm 2），写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围 （2）t 为何值时S 最小？求出S 的最小值5. 如图，直线334y x k=+(0)k >与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 的中点，抛物线283y x bx c =-++经过点A 、P 、O （原点）。

函数图像与变换教学目标：掌握常见函数图像及其性质（高考要求B ），熟悉常见的函数图像（平移、对称、翻折）变换（高考要求B ）.教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折”等手段进行函数图像变换。

教学过程：一.知识要点：1.常见函数图像及其性质： （1）平移变换：①y =f (x ) →y ＝f (x ±a )(a >0)图象 横向 平移a 个单位，（左+右—）. ②y =f (x ) →y ＝f (x )±b (b >0)图象 纵向 平移b 个单位，(上+下—)③若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ④若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. （2）对称变换：①y =f (x ) →y =f (－x )图象关于 y 轴 对称; 若f (－x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称.②y =f (x ) →y =－f (x )图象关于x 轴 对称.③y =f (x ) →y =－f (－x )图象关于原点 对称; 若f (－x )=－f (x ),则函数自身的图象关于原点对称.④y =f (x ) →y =f －1(x )图象关于直线y =x 对称.⑤y =f (x ) →y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称； ⑦y =f (x ) →y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b －f (2a －x )图象关于点(a ,b ) 对称.若f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称.若函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=（3）翻折变换主要有①y =f (x ) →y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称.②y =f (x ) →y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习：1.若把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1，0)变换成点Q (2，－1)， 则函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A )A.y ＝f (x －1)－1B.y ＝f (x ＋1)－1C.y ＝f (x －1)＋1D.y ＝f (x ＋1)＋1 2.已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x ) D.y =－f (x )图2—3解： y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称.3.设函数y =2x 的图象为C ，某函数的图象C ′与C 关于直线x =2对称，那么这个函数是y =24－x解 ∵y =f (x )的图象与y =f (4－x )的图象关于直线x =2对称，设f (x )=2x ,则f (4－x )=24－x4.设函数y =f (x )的定义域是R ，且f (x －1)=f (1－x ),那么f (x )的图象有对称轴 直线x =0 解： 设x －1=t ,则f (t )=f (－t )，函数为偶函数，关于y 轴对称.5.函数y =12--x x 的图象关于点(1，－1)_对称.解： y =12--x x =－1＋11-x ,y =12--x x 的图象是由y =x1的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1). 三.例题精讲：例1.(1)函数y=||x xax(0＜a ＜1)的图象的大致形状是 （ D ）(2).（2009·郑州模拟）定义运算,)()(⎩⎨⎧>≤=⊗b a bb a a b a 则函数f(x)=x21⊗的图象是 ( A )(3).已知函数y=f(x)的图象如图①所示，y=g(x)的图象如图②所示，则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是图中的（ C ）例2. 作出下列函数的图象.（1）.f (x )＝x 2－2|x |＋1 （2）f (x )＝x 2－2|x |＋1（3）f (x )＝|x 2－1|（4）f (x )＝ x 2＋2x ＋1 （5）y=112--x x ; （6）y=)21(|x|. （7）（2）y=|log 21（1-x ）|； (8)y=21(lgx+|lgx|);例3.（1）定义在R 上的函数y =f (x )、y =f (－x )、y =－f (x )、y =－f (－x )的图象重合，它们的值域为__{0}. 【解析】 函数y =f (x )与y =f (－x )的图象重合，说明函数y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =f (x )与y =－f (x )图象重合，说明y =f (x )的图象关于x 轴对称；y =f (x )与y =－f (－x )的图象重合，说明y =f (x )的图象关于原点对称.即若y =f (x )上任一点(x ,y ),则也有点(－x ,y )、(x ,－y )、(－x ,－y );根据函数的定义，对于任一x ∈R,只能有惟一的y 与之对应，从而y =－y ,即y =0，故函数的值域为{0}.（2）已知函数f (x )定义域为R ，则下列命题中①y =f (x )为偶函数，则y =f (x ＋2)的图象关于y 轴对称. ②y =f (x ＋2)为偶函数，则y =f (x )关于直线x =2对称.③若f (x －2)=f (2－x ),则y =f (x )关于直线x =2对称.④y =f (x —2)和y =f (2－x )的图象关于x =2对称.其中正确命题序号有_②④_(填上所有正确命题序号).【解析】 ①y =f (x )是偶函数，而f (x ＋2)是将f (x )的图象向左平移2个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x =－2,所以f (x ＋2)图象关于直线x =－2对称.②y =f (x ＋2)为偶函数，则f (x ＋2)=f (2－x ),所以y =f (x )图象关于直线x =2对称. ③令x －2=t ,则2－x =－t ,得f (t )=f (－t ),y =f (x )的图象关于y 轴对称.④f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，将f (x )与f (－x )的图象分别向右平移2个单位， 分别得到f (x －2)与f (2－x )的图象，对称轴右移2个单位为直线x =2. 例4.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)=－f (x ),又当－1≤x ≤1时，f(x)=x 3. (1)证明直线x =1是函数f (x )的图象的一条对称轴；(2)当x ∈［1,5］时，求f (x )的解析式. 【解】 (1)设(x 0,y 0)是f (x )的图象上任意一点，它关于x =1对称的点为(x 1,y 1),则y 0=y 1,x 0=2－x 1,∴y 1=f (2－x 1)=－f (－x 1)=f (x 1)∴(x 1,y 1)也在y =f (x )的图象上，命题成立.(2)∵f (x )的图象关于x =1对称，故当1≤x ≤3时，f (x )=(2－x )3又当3<x ≤5时，－1<x －4≤1,此时f (x )=(x －4)3∴f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-)53(,)4()31(,)2(33x x x x 例5.设函数f(x)=x 2-2|x|-1 (-3≤x ≤3).（1）证明：f(x)是偶函数； （2）画出函数的图象； （3）指出函数f(x)的单调区间； （4）求函数的值域.（1）证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x 2-2|x|-1=f(x), 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.（2）解 当x ≥0时，f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2,当x ＜0时，f(x)=x 2+2x-1=(x+1)2-2, 即f(x)=,)03(2)1()30(2)1(22⎩⎨⎧<≤--+≤≤--x x x x根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示. （3）解 函数f(x)的单调区间为［-3，-1），［-1，0），［0，1），［1，3］. f （x ）在区间［-3，-1）和［0，1）上为减函数，在［-1，0），［1，3］上为增函数. （4）解 当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;当x ＜0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2, 最大值为f(-3)=2; 故函数f(x)的值域为［-2，2］.例6.作函数y ＝x ＋ 1x 的图象. 扩展：y ＝a x ＋ bx（a ＞0，b ＞0）的图像.例7.（1）已知函数y=f(x)的定义域为R ，且当x ∈R 时f(m+x)=f(m-x)恒成立. 求证：y=f(x)的图象关于直线x=m 对称；（2）若函数y=log 2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a 的值. （1）证明 设P （x 0,y 0）是y=f(x)图象上任意一点，则y 0=f(x 0).又设P 点关于x=m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为（2m-x 0,y 0）.由已知f(m+x)=f(m-x), 得f(2m-x 0)=f ［m+(m-x 0)］=f ［m-(m-x 0)］ =f(x 0)=y 0.即),-(200y xm P '在y=f(x)图象上，∴y=f （x ）的图象关于直线x=m 对称.（2）解 ∵对定义域内的任意x,有f(2-x)=f(2+x)恒成立.∴|a （2-x ）-1|=|a （2+x ）-1|恒成立， 即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立. 又a ≠0,∴2a-1=0,得a=21.自我检测1.（2008·全国Ⅱ理，3）函数f(x)=x1-x 的图象关于 坐标原点对称2.作出下列函数的图象. （1）y=2-2x；（2）y=112+-x x . （3）y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ≤112（5－x ） 1＜x ≤34－x x ＞33.已知f(x)=[][],1,0,10,1,12⎩⎨⎧∈+-∈+x x x x 则f(x-1)的图象是4.若函数f(x)=3+log 2x 的图象与g(x)的图象关于 y=x 对称，则函数g(x)= 2x-35. 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是 （ A ）6.设a ＞1,实数x,y 满足|x|-log a y1=0,则y 关于x 的函数的图象形状大致是 ( B )7.使log 2(-x)＜x+1成立的x 的取值范围是 . 答案 （-1，0）8.设f(x)是定义在R 上奇函数，在（0，21）上单调递减，且f(x)=f(-x-1).给出下列四个结论：①函数f(x)的图象关于直线x=21对称；②f(x)在(21,1)上单调递增；③对任意的x ∈Z ，都有f(x)=0；④函数y=f )2(x -π的图象是中心对称图形，且对称中心为()0,2π.其中正确命题的序号是 . 答案 ①②③④9.当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜log a x 恒成立,则a 的取值范围为 . 答案 (1,2］ 10.要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_y __轴对称的图像，再向__右__平移3个单位而得到11.函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有__2__个12.如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_12x =-__。

第10讲 函数的图像考试说明 1.掌握基本初等函数的图像特征,能熟练运用基本初等函数的图像解决问题. 2.掌握图像的作法:描点法和图像变换. 3.会运用函数的图像理解和研究函数性质.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅲ] 函数y=1+x+的部分图像大致为 ( )A BC D[解析] D函数y=1+x+的图像可以看成是由y=x+的图像向上平移一个单位长度得到的,并且y'=1+x+'=1+,当x→∞时,y'→1,所以可确定答案为A或D,又当x=1时,y=1+1+sin 1>2,由图像可以排除A,故选D.2.[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则(x i+y i)=()A.0B.mC.2mD.4m[解析] B由f(-x)=2-f(x)得f(x)的图像关于点(0,1)对称,∵y==1+的图像也关于点(0,1)对称,∴两函数图像的交点必关于点(0,1)对称,且对于每一组对称点(x i,y i)和(x'i,y'i)均满足x i+x'i=0,y i+y'i=2,∴(x i+y i)=x i+y i=0+2·=m.3.[2015·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()A.B.C. D.[解析] D令g(x)=e x(2x-1),则g'(x)=e x(2x+1),由g'(x)>0得x>-,由g'(x)<0得x<-,故函数g(x)在上单调递减,在上单调递增.又函数g(x)在x<时,g(x)<0,在x>时,g(x)>0,所以其大致图像如图所示.直线y=ax-a过点(1,0).若a≤0,则f(x)<0的整数解有无穷多个,因此只能a>0.结合函数图像可知,存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,即存在唯一的整数x0,使得点(x0,ax0-a)在点(x0,g(x0))的上方,则x0只能是0,故实数a应满足即解得≤a<1.故实数a的取值范围是,1.4.[2015·全国卷Ⅱ]如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD 与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为()[解析] B当点P在BC上时,=tan x,=,+=tan x+,即f(x)=tan x+,x∈,由正切函数的性质可知,函数f(x)在上单调递增,所以其最大值为1+,且函数y=f(x)的图像不可能是线段,排除选项A,C.当点P在CD上运动时,我们取P为CD的中点,此时x=,f=2,由于2<1+,即f<f,排除选项D.综上可知,只有选项B中图像符合题意.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题[2017·山东卷]已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图像与y=+m的图像有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是 ()A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,]∪[2,+∞)D.(0,]∪[3,+∞)[解析] B应用排除法.当m=时,画出y=(x-1)2与y=+的图像,由图可知,两函数的图像在[0,1]上无交点,排除C,D;当m=3时,画出y=(3x-1)2与y=+3的图像,由图可知,两函数的图像在[0,1]上恰有一个交点.故选B.【课前双基巩固】知识聚焦2.f(x-a)f(x)+b -f(x)f(-x)-f(-x)log a x(a>0且a≠1)f(ax)af(x)y=y=f()对点演练1.y=0[解析] y=lo x=-log a x,故两个函数图像关于x轴,即直线y=0对称.2.x=0[解析] y==a-x,故两个函数的图像关于y轴,即直线x=0对称.3.y=x [解析] 两个函数互为反函数,故两个函数图像关于直线y=x对称.4.③[解析] 将y=两边平方,得y2=|1-x2|(y≥0),即x2+y2=1(y≥0)或x2-y2=1(y≥0),所以③正确.5.y=(2x+3)2[解析] 得到的是y=[2(x+1)+1]2=(2x+3)2的图像.6.y=ln[解析] 根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln.7.-log2(x-1)[解析] 与f(x)的图像关于直线y=x对称的图像所对应的函数为g(x)=-log2x,再将其图像右移1个单位得到h(x)=-log2(x-1)的图像.8.[解析] y=其图像如图所示:【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)利用图像的平移和翻折作图;(2)利用图像的平移作图;(3)利用偶函数的关系作图,先作出x≥0时的图像,再关于y轴对称作出另一部分的图像.解:(1)首先作出y=lg x的图像,然后将其向右平移1个单位,得到y=lg(x-1)的图像,再把所得图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图像,如图①所示(实线部分).(2)将y=2x的图像向左平移1个单位,得到y=2x+1的图像,再将所得图像向下平移1个单位得到y=2x+1-1的图像,如图②所示.(3)y=x2-|x|-2=其图像如图③所示.变式题解:(1)先画出函数y=x2-4x+3的图像,再将其x轴下方的图像翻折到x轴上方,如图①所示.(2)y==2-的图像可由y=-的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图②所示.(3)y=10|lg x|=其图像如图③所示.例2[思路点拨] 选用函数图像经过的几个特殊点验证排除.B[解析] 由f(0)=-1,得函数图像过点(0,-1),可排除D,由f(-2)=4-4=0,f(-4)=16-16=0,得函数图像过点(-2,0),(-4,0),可排除A,C,故选B.例3[思路点拨] 根据函数的奇偶性及单调性可作出判断.D[解析] 令f(x)=,则f(-x)===f(x),∴f(x)是偶函数,图像关于y轴对称,排除B,C.当x>1时,y==,显然y>0且函数单调递减,故D正确.例4[思路点拨] 对函数f(x)=2x的图像作相应的对称变换可得到图中所示的图像,再写出相应的解析式.C[解析] 题图中是函数y=-2-|x|的图像,即函数y=-f(-|x|)的图像,故选C.强化演练1.D[解析] 当x=1时,y=0,即函数图像过点(1,0),由选项中图像可知,只有D符合.2.A[解析] 由函数定义域知2x-2≠0,即x≠1,排除B,C;当x<0时,y=<0,排除D.故选A.3.C[解析] 由=>0,得x>0,又<1,故y<0,只能是选项C中的图像.4.A[解析] 先作出函数f(x)=log a x(0<a<1)的图像,当x>0时,y=f(|x|+1)=f(x+1),其图像由函数f(x)的图像向左平移1个单位得到,又函数y=f(|x|+1)为偶函数,所以再将函数y=f(x+1)(x>0)的图像关于y轴对称翻折到y轴左边,得到x<0时的图像,故选A.例5[思路点拨] 根据图像可判断其对应函数的定义域、奇偶性、单调性等情况,从而确定符合性质的相应函数的解析式.D[解析] 由函数的图像可知,函数的定义域为R,所以B不符合;又图像关于原点对称,可知函数是奇函数,排除C;函数在定义域内有增有减,不是单调函数,而选项A为增函数,不符合.所以选D.例6[思路点拨] (1)作出分段函数f(x)的图像,结合图像从单调性、最值角度考虑;(2)先化简函数的解析式,在同一坐标系中画出函数y=的图像与函数y=kx-2的图像,结合图像可得实数k的取值范围.(1)[-8,-1](2)(0,1)∪(1,4)[解析] (1)作出函数f(x)的图像,当x≤-1时,函数f(x)=log2单调递减,且最小值为f(-1)=-1,则令log2=2,解得x=-8;当x>-1时,函数f(x)=-x2+x+在(-1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,则最大值为f(2)=2,又f(4)=<2,f(-1)=-1,故所求实数m的取值范围为[-8,-1].(2)y===函数y=kx-2的图像恒过点(0,-2).在同一坐标系中画出函数y=的图像与函数y=kx-2的图像,结合图像可得,实数k的取值范围是(0,1)∪(1,4).例7[思路点拨] 对这样一个非常规不等式应采用数形结合处理,不妨构建函数f(x)=3sin x,g(x)=lo x,将原不等式转化成两函数图像的位置关系,再进行研究.A[解析] 不等式3sin x-lo x<0,即3sin x<lo x.设f(x)=3sin x,g(x)=lo x,在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图像,由图像可知,当x为整数3或7时,有f(x)<g(x),所以不等式3sin x-lo x<0的整数解的个数为2.例8[思路点拨] 根据所给的条件可确定函数f(x)的图像,并作出函数y=log7|x-2|的图像,由两函数图像的交点个数确定方程解的个数.B[解析] 由函数f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0,由f(x+2)=-f(x),可得f(1-x)=f(1+x),f(x+4)=f(x),∴函数f(x)的图像关于直线x=1对称,且f(x)是周期为4的周期函数.在同一坐标系中画出y=f(x)和y=log7|x-2|的图像(图略),由图像不难看出,其交点个数为7,即方程解的个数为7.故选B.强化演练1.C[解析] f(x)=画出函数f(x)的图像,观察图像可知,函数f(x)的图像关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.2.5[解析] 方程2[f(x)]2-3f(x)+1=0的解为f(x)=或1.作出函数y=f(x)的图像,由图像知零点的个数为5.3.∪[解析] 在0,上,y=cos x>0,在,4上,y=cos x<0.由f(x)的图像知,在1,上,<0.因为f(x)为偶函数,y=cos x也是偶函数,所以y=为偶函数,所以<0的解集为-,-1∪1,.4.[解析] y=作出其图像,如图所示.此曲线与y轴交于点(0,a),最小值为a-,要使直线y=1与其有四个交点,只需a-<1<a,所以1<a<.【备选理由】例1考查分段函数,由各区间上的单调性及函数值确定函数图像;例2为依据函数图像判定相应函数图像,由所给函数图像反映的性质,探究所求函数的性质,有一定的技巧性;例3以新定义为背景,考查函数图像的应用,要注意图像对称性的应用.1[配合例3使用] [2018·南阳第一中学月考]函数f(x)=log2|2x-1|的图像大致是()[解析] C函数可化为f(x)=所以当x>0时,函数为增函数,当x<0时,函数为减函数,可排除A,B,结合图像可知,当x<0时,f(x)<0,排除D,故选C.2[配合例5使用] [2017·长沙长郡中学一模]已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数g(x)=f[f(x)]的图像可能是()[解析] C∵f[f(-x)]=f[f(x)],∴排除A,B;又g(1)=f(0)=-1,∴排除D,故选C.3[配合例8使用] 规定“⊗”表示一种运算,即a⊗b=a2+2ab-b2.设函数f(x)=x⊗2,且关于x的方程f(x)=lg|x+2|(x≠-2)恰有四个互不相等的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值是()A.-4B.4C.8D.-8[解析] D函数f(x)=x2+4x-4,由于函数y=f(x),y=lg|x+2|的图像(如图)均关于直线x=-2对称,故四个实数根之和为-8.。