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唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCDDACCB CB B 卷：ADBBD DACAB CB二．填空题：（13）2 （14） 1 2 （15）2 6 （16）(1，3)三．解答题：17．解：（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1，① 所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ②①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即a n a n －1＝3（n ≥2）， …3分 在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， …4分所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1．…6分 （2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ，…8分 ＝3－3n1－3－(n －1)·3n ＝(3－2n )·3n －32．…10分 所以，T n ＝(2n －3)·3n ＋34． …12分 18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率P ＝4×5＋6×510×10＝ 1 2．…5分 （2）X 可取0，1，2，3．…6分 P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝ 1 6；P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝ 1 2； P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝ 3 10； P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝ 1 30； …10分X 的分布列为∴随机变量X 的期望E (X )＝0× 1 6＋1× 1 2＋2× 3 10＋3× 1 30＝ 6 5． …12分19．解：（1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，∴BD ⊥CD ， 又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ，∴CD ⊥平面PBD ，∴CD ⊥PD ，又∵AD ⊥BD ，∴PD ⊥BD ．又因为BD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥平面BCD ． …5分（2）以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ， 则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，PA →＝(2，0，－2)，PB →＝(0，2，－2)，CB →＝(2，2，0)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由PB →·n ＝0，CB →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，－1，－1)． …9分cos PA →，n ＝PA →·n |PA →||n |＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63．…12分 20．解：（1）由已知可得，y 1＝x 21，y 2＝x 22，所以y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)，此时，直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2．…4分 （2）因为OB ⊥l ，所以k OB ＝－ 1k ，又因为k OB ＝y 2x 2＝x 22x 2＝x 2，所以，x 2＝－ 1k ，…6分 又由（1）可知，x 1＋x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k ，从而有，x 1＝k －x 2＝k ＋ 1k ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|k ＋ 2k |，|OB |＝x 22＋y 22＝x 22＋x 42＝1k 2＋1k 4＝1＋k 2k 2，…9分 因为|AB |＝3|OB |，所以1＋k 2|k ＋ 2 k |＝31＋k 2k 2，化简得，|k 3＋2k |＝3，解得，k ＝±1，所以，|AB |＝1＋k 2|k ＋ 2k |＝32．…12分 21．解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ 1x ，所以f (x )＝ 1 x － 1 x 2． …1分 设切点为(x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )与y ＝m 相切，得f(x 0)＝0， 解得x 0＝1，所以切点为（1，1）．…3分 所以m ＝1． …4分（2）依题意得f (1)≥ e a ，所以1≥ ea ，从而a ≥e ．…5分 因为f (x )＝x －ln ax 2ln a ，a ≥e ，所以当0＜x ＜ln a 时，f (x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln a 时，f (x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值log a (ln a )＋ 1ln a ．…7分 设g (x )＝eln x －x ，x ≥e ，则g (x )＝ e x －1＝e －xx ≤0，所以g (x )在[e ，＋∞)单调递减，从而g (x )≤g (e)＝0，所以eln x ≤x ．…10分 又a ≥e ，所以eln a ≤a ，从而 1 ln a ≥ ea ，当且仅当a ＝e 时等号成立．因为ln a ≥1，所以log a (ln a )≥0，即log a (ln a )＋ 1 ln a ≥ea ．综上，满足题设的a 的取值范围为[e ，＋∞)．…12分 22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得，ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0．所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6．…5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得，t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π 4)| 因为0≤α＜，所以 π 4≤α＋ π 4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]．…10分 23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|,所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．…5分 （2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝ 12时，g (x )取得最大值1，所以a 的取值范围是[1，＋∞）． …10分唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试文科数学参考答案一．选择题：A卷：ACDBD CBCDA ACB卷：ACDCD CBCDA AB二．填空题：（13）12（14）2 （15）1 （16）(3，2]三．解答题：17．解：（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），则a n＝a1＋(n－1)d．因为a2，a3，a5成等比数列，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，化简得，a1d＝0，又因为d≠0，所以a1＝0，…3分又因为a4＝a1＋3d＝3，所以d＝1．所以a n＝n－1．…6分（2）b n＝n·2n－1，…7分T n＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①则2T n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n．②①－②得，－T n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，…8分＝1－2n1－2－n·2n …10分＝(1－n)·2n－1．所以，T n＝(n－1)·2n＋1．…12分18．解：（1）-x甲＝110(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1；-x乙＝110(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7；…4分（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为25，二等品的概率为35，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润：w甲＝300×25×30＋300×35×20＝7200元；…7分应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为12，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润：w乙＝280×12×30＋280×12×20＝7000元．…10分因为w甲＞w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高．…12分19．解：（1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ，∴CD ⊥平面PBD ，又因为PD 平面PBD ，∴PD ⊥CD ． …5分（2）∵AD ⊥BD ，∴PD ⊥BD ．又∵PD ⊥CD ，BD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥平面BCD ．…8分 在直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，所以PD ＝AD ＝2，PB ＝PC ＝BC ＝2．S △ABC ＝2，S △PBC ＝3，设A 点到平面PBC 的距离为d ，由V P -ABC ＝V A -PBC 得，1 3S △ABC ×PD ＝ 13S △PBC ×d ，∴d ＝S △ABC ×PD S △PBC ＝ 263．即A 点到平面PBC 的距离为 263．…12分 20．解：（1）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y 得，x 2－2kx －2m ＝0，＝4k 2＋8m ，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ，…2分 因为AB 的中点在x ＝1上，所以x 1＋x 2＝2．即2k ＝2，所以k ＝1．…4分 （2）O 到直线l 的距离d ＝|m |2，|CD |＝212－m 22， …5分所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22·1＋2m ，…6分因为|AB |＝|CD |,所以22·1＋2m ＝212－m 22， 化简得m 2＋8m －20＝0， 所以m ＝－10或m ＝2． …10分 由⎩⎨⎧＞0，d ＜23得－ 12＜m ＜26．所以m ＝2，直线l 的方程为y ＝x ＋2．…12分 21．解：（1）f (x )＝2(ln x ＋1)．…1分 所以当x ∈(0， 1e )时，f (x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈( 1e ，＋∞)时，f (x )＞0，f (x )单调递增．所以x ＝ 1 e 时，f (x )取得最小值f ( 1 e )＝1－ 2e ．…5分 （2）x 2－x ＋ 1x ＋2ln x －f (x )＝x (x －1)－x －1x －2(x －1)ln x＝(x －1)(x － 1x －2ln x )，…7分 令g (x )＝x － 1 x －2ln x ，则g (x )＝1＋ 1 x 2－ 2 x ＝ (x －1)2x 2≥0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又因为g (1)＝0，所以当0＜x ＜1时，g (x )＜0；当x ＞1时，g (x )＞0，…10分 所以(x －1)(x － 1x －2ln x )≥0，即f (x )≤x 2－x ＋ 1x ＋2ln x ．…12分 22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π 4)－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0． 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6． …5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得，t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π 4)|因为0≤α＜，所以 π 4≤α＋ π4＜5π4， 从而有－2＜22sin (α＋ π 4)≤22． 所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]．…10分 23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|,所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． …5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 1 2，－2x ＋2， x ＞ 12， 由g (x )的单调性可知，x ＝ 12时，g (x )取得最大值1， 所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分。
唐山市2018-2019学年度高三年级第三次模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}23{|}7100|M x x N x x x ==-+≤＞，，则M∪N=（ ） A. [)2,3 B. (]3,5 C. (]5-∞，D. [2,)+∞【答案】D2.已知复数z 满足()20192i z i +=，则z 在复平面上对应的点位（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C3.中国古代数学名著《九章算术》卷“商功”篇章中有这样的问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？”（注：一丈等于十尺）.若此方锥的三视图如图所示（其中俯视图为正方形），则方锥的体积为（单位：立方尺）A. 7047B. 21141C. 7569D. 22707【答案】A4.已知sin 2αα+=，则tan α=（ ）A. B.C. 3-D.3【答案】D5.设函数()y f x =的定义域为I ，则“()f x 在I 上的最大值为M ”是“()x I f x M ∀∈≤，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A6.设双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>>的两条渐近线的夹角为α，且c o s α=13，则C 的离心率为（ ）A.B.2C.2D. 2【答案】B7.函数()3tan f x x x =-的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A8.一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个球，已知摸出球的颜色不全相同，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为（ ） A.1835B.35C.2235D.1115【答案】B9.将函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ） A. 7 B. 6C. 5D. 4【答案】C10.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与C在第一象限的交点为P ，则直线1PF 的斜率为（ ）A.13B.12C.D.【答案】B11.在ABC △中，AB AC =，3BD DC =，2AD =，ABC △的面积为ADB =∠（ ） A. 30 B. 45C. 60D. 30或60【答案】C12.已知e 是自然对数的底数，不等式()()()2111110x x x e e e e ---⎡⎤++-+>⎢⎥⎣⎦的解集为（ ） A. ()()1,03,-⋃+∞ B. ()()1,00,3- C. ()(),13,-∞-+∞ D. ()(),10,3-∞-【答案】A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.计算定积分0sin xxdx =⎰__________．【答案】214.已知向量(,3),(2,1)a m b m ==+，若2a b a ⋅=，则b 在a 方向上的投影为______． 【答案】15.在四面体ABCD 中，4,3,5AB BC CD AC ====且AB CD ⊥，当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为______ 【答案】34π16.已知点()P -，圆2216x y +=上两点,A B 满足2PB PA =，则AB =_____ 【答案】4三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n a S ，，成等差数列．（1）求n n a S ，； （2）证明：121112nS S S ++⋯+<． 【答案】(1) 1221n nn n a S -==-， (2)见证明【解析】 【分析】（1）由等差数列中项性质，结合数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式和求和公式；（2）求得2n ≥时，1111212n n n S -=<-，再由等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证． 【详解】（1）由1，n a ，n S 成等差数列，得12n n S a +=，① 特殊地，当n=1时，111112S a a +=+=，得1a =1． 当n≥2时，1112n n S a --+=，② ①-②得12n n a a -=，1nn a a -=2（n≥2），可知{n a }是首项为1，公比为2的等比数列． 则122121n nn n n a S a -==-=-，；（2）证明：当n=1时，不等式显然成立n≥2时，1111212n n n S -=<-， 则111211111111121221242212n n n n S S S ---++⋯+<++⋯+==-<-． 【点睛】本题考查数列的递推式和等差数列的中项性质和等比数列的定义、通项公式和求和公式，考查不等式的证明，注意运用放缩法，考查运算能力，属于中档题．18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4,,AC BC AB M N ===分别为1,AB CC 的中点（1）求证：CM ∥平面1B AN ；（2）若11A M B C ⊥，求平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角的余弦值【答案】(1)见证明； 【解析】 【分析】（1）取1AB 的中点E ，连接EM ，EN ，可得四边形EMCN 为平行四边形，得到CM ∥NE ．再由直线与平面平行的判定可得CM ∥平面1B AN ；（2）由已知证明1A M ⊥平面1B MC ，以M 为坐标原点，,,MB MC ME 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系M xyz -，求出平面1B AN 的一个法向量n ，由平面1B MC 的法向量1AM 与n 所成角的余弦值可得平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：取1AB 的中点E ，连接EM ，EN ，在△1ABB 中，E ，M 分别是1AB ，AB 的中点，则EM ∥1BB ，且112EM BB =， 又N 为1CC 的中点，1CC ∥1BB ， ∴NC ∥1BB ，112NC BB =， 从而有EM ∥NC 且EM=NC ，∴四边形EMCN 为平行四边形，则CM ∥NE ． 又∵CM ⊄平面1B AN ，NE ⊂平面1B AN ， ∴CM ∥平面1B AN ；（2）∵AC=BC ，M 为AB 的中点，∴CM ⊥AB ，直三棱柱111ABC A B C -中，由1AA ⊥平面ABC ，得1AA ⊥CM ， 又∵AB∩1AA =A ，∴CM ⊥平面1ABB 1A ，从而1A M CM ⊥ 又∵11A M B C ⊥，1B C CM C ⋂=，∴1A M ⊥平面1B MC ， 从而有11A M B M ⊥，∵4,AC BC AB AM MB ====，∴1AA AM ==．由（1）知EM ∥1BB ，∴EM ⊥平面ABC ．以M 为坐标原点，,,MB MC ME 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系M-xyz ，则()((11,,A A B --，C （0，2，0），N （0，2． ∴()()(1123,0,23,43,0,23,23,2,A M AB AN=-==． 设平面1B AN 的法向量为n =（,,x y z ），则14302320n AB n AN y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x = ，则n =（1，0，-2）， 平面1B MC 的法向量为(1A M =-，∴111310cos ||A M nA M n A M n ⋅<>==⋅，， ∴平面1B AN 与平面1B MC ． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元，设每月配送单数为X ，若]0[130X ∈，，每单提成3元，若()300600X ∈，，每单提成4元，若()600X ∈+∞，，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y,若]0[140Y ∈，，每单提成3元，若()400Y ∈+∞，，每单提成4元，小想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表： 表1：美团外卖配送员甲送餐量统计表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计（1）设美团外卖配送员月工资为()f X ，饿了么外卖配送员月工资为()g Y ，当3006[00]X Y =∈，时，比较()f X 与()g Y 的大小关系（2）将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率（ⅰ）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E （X ）和E （Y ） （ⅱ）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2） （ⅰ）见解析（ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（1）由 X Y =∈（300，600]，得()()g X g Y =，由此通过作差能比较当3006[00]X Y =∈，时，()f X 与()g Y 的大小关系．（2）（ⅰ）求出送餐量x 的分布列和送餐量y 的分布列，由此能求出外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望()E x 和()E Y ．（ⅱ）()(()()()30480300600]30420400E X E x E Y E y ==∈==∈+∞（），，，，美团外卖配送员，估计月薪平均为()180043720E X +=元，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为()210043780E Y +=元＞3720元，由此求出小王应选择做饿了么外卖配送员．【详解】（1）因为(300600]X Y ，=∈，所以()()g X g Y =， 当X ∈（300，400]时，()()()()18004210033000f X g X X X X -=+-+=-＞，当X ∈（400，600]时，()()()()18004210043000f X g X X X -=+-+=-＜， 故当X ∈（300，400]时，()()f X g Y > 当X ∈（400，600]时，()()f X g Y <． （2）（ⅰ）送餐量x 的分布列为送餐量y 的分布列为则112111()13141617182016155551515E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 212111()11131415161814156510630E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （ⅱ）()30()480(300,600],()30()420(400,)E X E x E Y E y ==∈==∈+∞， 美团外卖配送员，估计月薪平均()180043720E X +=元，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为()210043780E Y +=元＞3720元， 故小王应选择做饿了么外卖配送员．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知抛物线2:2(0)x py p Γ=>的焦点为()0,1F ，过F 且斜率为1k 的直线1l 与Γ交于,A B 两点，斜率为()220k k ≠的直线2l 与Γ相切于点P ，且2l 与1l 不垂直，Q 为AB 的中点. （1）若1k =||AB ；（2）若直线PQ 过()0,2，求12k k【答案】（1）16AB =（2）12【解析】 【分析】（1）由已知求得抛物线Γ的方程，由直线1l 的斜率为1k ，且过F （0，1），得1l 的方程为11y k x =+，代入抛物线方程，利用抛物线的弦长公式列式代入1k16AB =；（2）设P （0x ，24x ），利用导数求得2k =02x ，则P （22k ，22k ），由（1）知1214x x k +=，且Q 为AB 的中点，得Q （12k ，2121k +），再由直线PQ 过（0，2），得()()1221120k k k k +-=，结合1l 与2l 不垂直，即可证得12k k =12． 【详解】（1）∵抛物线Γ：22x py =（p ＞0）的焦点为F （0，1）， ∴抛物线Γ的方程为24x y =．由直线1l 的斜率为1k ，且过F （0，1），得1l 的方程为11y k x =+，代入24x y =，化简得21440x k x --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()21211211214242x x k y y k x x k +=+=++=+，，2121244AB y y k =+++=．∵1k16AB =；（2）设P （0x ，204x ），将Γ的方程24x y =化为y=24x ，求导得y′=2x ，∵斜率为2k 的直线2l 与Γ相切于点P ，∴2k =02x ，则P （22k ，22k ）， 由（1）知12x x + =41k ，且Q 为AB 的中点，易得Q （21k ，212k +1），∵直线PQ 过（0，2），∴22212122122k k k k --=， 整理得()()1221120k k k k +-=， ∵2l 与1l 不垂直，∴1210k k +≠， 则2k -21k =0，即12k k =12． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查推理运算能力，是中档题．21.已知函数21()ln 1,04f x x x x ax a =--+>，函数()()g x f x ='． （1）若ln 2a =，求()g x 的最大值； （2）证明：()f x 有且仅有一个零点． 【答案】（1）0；（2）见证明 【解析】 【分析】（1）()()112g x f x lnx x a ='=+--，()11222xg x x x-'=-=，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．（2）对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论． 【详解】（1）()()112g x f x lnx x a ='=+--，()11222xg x x x-'=-=， 当x ∈（0，2）时，()'0g x >，()g x 单调递增； 当x ∈（2，+∞）时，()'0g x <，()g x 单调递减；故当x =2时，()g x 的最大值为()2g =ln 2a -． 若ln 2a =，()g x 取得最大值()2g =0．（2）（ⅰ）若ln 2a =，由（1）知，当x ∈（0，+∞）时，()0f x '≤，且仅当x =2时，f′（x ）=0．此时f （x ）单调递减，且f （2）=0，故f （x ）只有一个零点0x =2．（ⅱ）若a ＞ln2，由（1）知，当x ∈（0，+∞）时，f′（x ）=g （x ）＜0，f （x ）单调递减．此时，f （2）=2（ln2-a ）＜0，注意到1x =14a ＜1， 易证1ln x x e≥-， 故f （1x ）=1x ln 1x -2114x +34＞113110442e e -+=->-， 故f （x ）仅存在一个零点0x ∈（1x ，2）．（ⅲ）若0＜a ＜ln2，则g （x ）的最大值g （2）=ln2-a ＞0，即'20f （）＞，注意到f′（1e ）=12e --a ＜0，'8830f ln a =--（）＜， 故存在2x ∈（1e，2），3x ∈（2，8），使得()()230f x f x '='=． 则当x ∈（0，2x ）时，()()0f x f x '＜，单调递减；当x ∈（2x ，3x ）时，()()0f x f x '＞，单调递增；当x ∈（3x ，+∞）时，()0f x '＜，f （x ）单调递减． 故f （x ）有极小值f （2x ），有极大值f （3x ）．由f′（2x ）=0得221ln 102x x a +--=，故f （2x ）=22112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞0，则f （3x ）＞0． 存在实数t ∈（4，16），使得1ln 4t t -=0，且当x ＞t 时，1ln 4x x -＜0， 记41=max ,x t a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则()444441ln 104f x x x x ax ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭， 故f （x ）仅存在一个零点0x ∈（3x ，4x ]．综上，f （x ）有且仅有一个零点．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴交于点A ，与直线4x =交于点B ，点P 为曲线C 上的动点，求PAB △的面积的最大值. 【答案】（1）曲线C 的普通方程为：24x +23y =1，直线l 的直角坐标方程为：10x y --=．（2【解析】【分析】（1）根据22cos sin 1ϕϕ+=消去φ可得曲线C 的普通方程；根据cos sin x y ρθρθ==，可得直线l 直角坐标方程；（2）根据曲线C 的参数方程设出P 点坐标，再根据点到直线距离求出△PAB 的高的最大值，可得△PAB 的面积的最大值．【详解】（1）曲线C 的普通方程为：24x +23y =1， 直线l 的直角坐标方程为：10x y --=．（2）由题意知：A （1，0），B （4，3），所以|AB|=设点P （2cosφ），则点P 到AB 的距离为所以△PAB的面积()1||12S AB d ϕα=⋅⋅=+-≤，即△PAB 的面积S ． 【点睛】本题考查了参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、点到直线的距离、三角函数的性质，属中档题．23.实数,,a b c 满足2223a b c ++=，实数,x y 满足2221x y +=.（1）求||a b c ++的最大值；（2）判断：()2ax b c y ++=能否成立？并说明理由.【答案】（1）3 （2）见解析【解析】【分析】（1）由柯西不等式得：()()2222222(111)1119a b c a b c ⨯+⨯+⨯≤++⋅++=，所以3a b c ++≤，（2）由柯西不等式得：()()2222222()a b c x y y ax by cy ++⋅++≥++，得()||ax b c y ++≤， ()2ax b c y ++=不能成立得解【详解】（1）因为2223a b c ++= ，由柯西不等式得：()()2222222(111)1119a b c a b c ⨯+⨯+⨯≤++⋅++=，当且仅当1a b c ===时等号成立.所以()29a b c ++≤，所以3a b c ++≤，故a b c ++的最大值为3．（2）由柯西不等式得：()()2222222()a b c x y y ax by cy ++⋅++≥++，又22222321a b c x y ++=+=，．所以()||ax b c y ++，故()2ax b c y ++=不能成立．【点睛】本题考查了柯西不等式，准确计算是关键，属中档题．。
唐山市2018-2019学年度高三年级第三次模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合23{|}7100|M x x N x x x ＞，，则M ∪N=（）A. 2,3B. 3,5C. 5，D.[2,)【答案】 D【解析】【分析】求出N 集合中不等式的解集确定出M 与N ，根据M 与N 的并集运算求出答案即可．【详解】已知27{|}100N x x x ，求解不等式27100x x ，得；25x ，即25|N x x ，所以M ∪N=32{|}|2|5x x x x x x ＞即|2M N x x 故选：D ．【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2.已知复数z 满足20192i z i ，则z 在复平面上对应的点位（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求得z 的坐标得答案．【详解】由20192i z i ，得201945043(2)12222(2)(2)55i i i i iz ii i i i i，∴z在复平面上对应的点的坐标为12,55，位于第三象限．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.中国古代数学名著《九章算术》卷“商功”篇章中有这样的问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？”（注：一丈等于十尺）.若此方锥的三视图如图所示（其中俯视图为正方形），则方锥的体积为（单位：立方尺）A. 7047B. 21141C. 7569D. 22707【答案】A【解析】【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的底面边长为27尺，高为29尺，再由棱锥体积公式求解．【详解】由三视图还原原几何体如图，。
河北唐山2019高三9月摸底考试-数学（理）扫描版唐山市2018—2018学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：ADCBD AABCC DB B 卷：CDABDADBCBAC 【二】填空题：〔13〕(－1，0)∪(0，2] 〔14〕17 〔15〕6〔16〕－272【三】解答题： 〔17〕解：〔Ⅰ〕a 1＝S 1＝27(81－1)＝2、…1分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝27(8n－1)－ 2 7(8n －1－1)＝23n －2、当n ＝1时上式也成立，因此a n ＝23n －2〔n ∈N *〕、 …6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，b n ＝log 223n －2＝3n －2， …7分因此 1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝11×4＋14×7＋…＋1(3n －2)(3n ＋1)＝1 3[(1－ 1 4)＋( 1 4－ 1 7)＋…＋(13n －2－13n ＋1)]＝1 3(1－13n ＋1)＝n3n ＋1、…12分〔18〕解：〔Ⅰ〕如图，以A 为原点，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系、 设AA 1＝a 〔a ＞0〕，依题意得B 1(32，－ 1 2，a )，A (0，0，0)，C (0，1，0)、B 1C →＝(－32， 32，－a )，A 1C 1→＝AC →＝(0，1，0)，由异面直线B 1C 与A 1C 1所成的角为60︒，知|cos 〈B 1C →，A 1C 1→〉|＝|B 1C →·A 1C 1→|___________|B 1C →||A 1C 1→|＝323＋a 2＝12，解得a ＝6、…4分因此三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ＝1 2AB ·AC sin 120︒·AA 1＝ 1 2×1×1×32×6＝324、 …6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，B 1C →＝(－32，32，－6)、设n ＝(x ，y ，z )为面ACB 1的法向量，那么n ·AC →＝0，n ·B 1C →＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－32x ＋ 32y －6z ＝0．取z ＝1，得x ＝－22，因此n ＝(－22，0，1)、…9分又m ＝(0，0，1)为面ACB 的一个法向量，因此cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝ 13、因此二面角B 1-AC -B 的余弦值为13、…12分〔19〕解：〔Ⅰ〕依题意，⎩⎨⎧0.5＋a ＋b ＝1，0.5＋2a ＋3b ＝1.7．解得a ＝0.3，b ＝0.2、 …4分〔Ⅱ〕Y 的所有可能取值为0，100，200，300，400，600、 P (Y ＝0)＝0.22＝0.04，P (Y ＝100)＝C 120.2×0.3＝0.12，P (Y ＝200)＝0.32＝0.09，P (Y ＝300)＝C 120.2×0.5＝0.2，P (Y ＝400)＝C 120.3×0.5＝0.3，P (Y ＝600)＝0.52＝0.25、 …8分 Y 的分布列为…10分E (Y )＝0×0.04＋100×0.12＋200×0.09＋300×0.2＋400×0.3＋600×0.25＝360〔元〕、…12分〔20〕解：〔Ⅰ〕依照题意，|y －3|＝3·x 2＋(y －1)2、化简，得曲线E 的方程为3x 2＋2y 2＝6、 …4分 〔Ⅱ〕直线l 方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得 (2k 2＋3)x 2＋4kx －4＝0、…6分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么 x 1＋x 2＝－4k2k 2＋3， ① x 1x 2＝－42k 2＋3、②AF →＝λFB →即(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，由此得x 1＝－λx 2、③由①②③，得1 2＋34k 2＝λ(λ－1)2＝1(λ－1λ)2、 (9)分因为2≤λ≤3，因此22≤λ－1λ≤233，从而 3 4≤1(λ－1λ)2≤2，解不等式3 4≤ 1 2＋34k 2≤2，得 1 2≤k 2≤3、故k 的取值范围是[－3，－22]∪[22，3]、…12分〔21〕解：〔Ⅰ〕当b ＝0时，f (x )＝x 3＋cx ＋d ，f '(x )＝3x 2＋C 、 f (0)＝d ，f '(0)＝C 、 …2分曲线y ＝f (x )与其在点(0，f (0))处的切线为y ＝cx ＋D 、由⎩⎨⎧y ＝x 3＋cx ＋d ，y ＝cx ＋d ，消去y ，得x 3＝0，x ＝0、 因此曲线y ＝f (x )与其在点(0，f (0))处的切线只有一个公共点即切点、 …5分〔Ⅱ〕由，切点为(1，1)、又f '(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，因此⎩⎨⎧f (1)＝1，f '(1)＝－12，即⎩⎨⎧1＋b ＋c ＋d ＝1，3＋2b ＋c ＝－12，得c ＝－2b －15，d ＝b ＋15、从而f (x )＝x 3＋bx 2－(2b ＋15)x ＋b ＋15、…8分由⎩⎨⎧y ＝x 3＋bx 2－(2b ＋15)x ＋b ＋15，12x ＋y －13＝0，消去y ，得x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋b ＋2＝0、 因直线12x ＋y －13＝0与曲线y ＝f (x )只有一个公共点(1，1)， 那么方程x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋b ＋2＝(x －1)[x 2＋(b ＋1)x －b －2] ＝(x －1)(x －1)(x ＋b ＋2) 故b ＝－3、 …10分因此f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋12，f '(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)、 当x…12分〔22〕解：〔Ⅰ〕由及由切割线定理，有AB 2＝AD ·AE ＝13AC · 2 3AC ，因此AC 2＝92AB 2、…3分 由勾股定理得，BC ＝AC 2－AB 2＝7、…5分〔Ⅱ〕设圆O 与BC 的交点为F ，圆O 的半径为r 、由割线定理，得CF ·CB ＝CE ·CD ＝13AC · 2 3AC ＝AB 2，…8分 即(7－2r )×7＝14，解得r ＝52、…10分〔23〕解：〔Ⅰ〕曲线C 1的极坐标方程化为ρ＝sin θ＋3cos θ， 两边同乘以ρ，得ρ2＝ρsin θ＋3ρcos θ，那么曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝y ＋3x ，即x 2＋y 2－3x －y ＝0、 …3分曲线C 2的极坐标方程化为1 2ρsin θ＋32ρcos θ＝4，那么曲线C 2的的直角坐标方程为1 2y ＋32x ＝4，即3x ＋y －8＝0、…6分〔Ⅱ〕将曲线C 1的直角坐标方程化为(x －32)2＋(y － 1 2)2＝1，它表示以(32， 12)为圆心，以1为半径的圆、该圆圆心到曲线C 2即直线3x ＋y －8＝0的距离d ＝|3×32＋ 12－8|2＝3，…8分 因此|AB |的最小值为2、…10分〔24〕解：〔Ⅰ〕f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ≥2．其图象如下：…3分当x＝12时，f(x)＝0、当x＜12时，f(x)＜0；当x＞12时，f(x)＞0、因此a＝0、…6分〔Ⅱ〕不等式f(x)＋4m＜m2，即f(x)＜m2－4m、因为f(x)的最小值为－3，因此问题等价于－3＜m2－4m、解得m＜1，或m＞3、故m的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)、…10分。
唐山市2018—2019学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DCADA BABCB DA B 卷：BCADA BADCB DC 二．填空题：13．2 14．3 2 15．34π 16．4三．解答题： 17．解：（1）由1，a n ，S n 成等差数列得1＋S n ＝2a n ，① 特殊地，当n ＝1时，1＋S 1＝2a 1，得a 1＝1． 当n ≥2时，1＋S n －1＝2a n －1，②①－②得a n ＝2a n －1，a na n －1＝2(n ≥2)，可知{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．则a n ＝2n －1，S n ＝2a n －1＝2n －1． …6分（2）n ≥2时，1S n ＝12n －1＜12n －1，则1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜1＋12＋122＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1＜2． …12分 18．解：（1）取AB 1的中点E ，连接EM ，EN ，在△ABB 1中，E ，M 分别是AB 1，AB 的中点，则EM ∥BB 1，且EM ＝ 12BB 1，又N 为CC 1的中点，CC 1∥BB 1，所以NC ∥BB 1，NC ＝ 12BB 1，从而有EM ∥NC 且EM ＝NC ，所以四边形EMCN 为平行四边形，所以CM ∥NE ． 又因为CM ⊄平面B 1AN ，NE ⊂平面B 1AN ， 所以CM ∥平面B 1AN ． …5分 （2）因为AC ＝BC ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，由AA 1⊥平面ABC ，得AA 1⊥CM ， 又因为AB ∩AA 1＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1，从而A 1M ⊥CM ， 又因为A 1M ⊥B 1C ，B 1C ∩CM ＝C ，所以A 1M ⊥平面B 1MC ， 从而有A 1M ⊥B 1M ，因为AC ＝BC ＝4，AB ＝43，AM ＝MB ，所以AA 1＝AM ＝23． 由（1）知EM ∥BB 1，所以EM ⊥平面ABC ．以M 为坐标原点，MB →，MC →，ME →为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系M -xyz ，则A (－23，0，0)，A 1(－23，0，23)，B 1(23，0，23)，C (0，2，0)，N (0，2，3)．所以A 1M →＝(23，0，－23)，AB 1→＝(43，0，23)，AN →＝(23，2，3)．设平面B 1AN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AB 1→·n ＝0，AN →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧43x ＋23z ＝0，23x ＋2y ＋3z ＝0，取x ＝1，则n ＝(1，0，－2)，平面B 1MC 的法向量为A 1M →＝(23，0，－23)， cos 〈A 1M →，n 〉＝31010，所以平面B 1AN 与平面B 1MC 所成锐二面角的余弦值为31010． …12分19．解：（1）因为X ＝Y ∈(300，600]，所以g (X )＝g (Y )，当X ∈(300，400]时，f (X )－g (X )＝(1800＋4X )－(2100＋3X )＝X －300＞0， 当X ∈(400，600]时，f (X )－g (X )＝(1800＋4X )－(2100＋4X )＝－300＜0， 故当X ∈(300，400]时，f (X )＞g (X )， 当X ∈(400，600]时，f (X )＜g (X )． …4分 （2）（ⅰ）送餐量x送餐量y 的分布列为则E (x )＝13×115＋14× 1 5＋16× 2 5＋17× 1 5＋18×115＋20×115＝16，E (y )＝11×215＋13× 1 6＋14× 2 5＋15×110＋16× 1 6＋18×130＝14． …10分（ⅱ）E (X )＝30E (x )＝480∈(300，600]，E (Y )＝30E (y )＝420∈(400，＋∞)， 美团外卖配送员，估计月薪平均为1800＋4E (X )＝3720元，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为2100＋4E (Y )＝3780元＞3720元， 故小王应选择做饿了么外卖配送员． …12分 20．解：（1）因为抛物线Г：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F (0，1)， 所以抛物线Г的方程为x 2＝4y ．由直线l 1的斜率为k 1，且过F (0，1)，得l 1的方程为y ＝k 1x ＋1， 代入x 2＝4y 化简得x 2－4k 1x －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋2＝4k 21＋2， |AB |＝y 1＋y 2＋2＝4k 21＋4． 因为k 1＝3，所以|AB |＝16． …5分（2）设P (x 0，x 204)，将Г的方程x 2＝4y 化为y ＝x 24，求导得y '＝x2，因为斜率为k 2的直线l 2与Г相切于点P ，所以k 2＝x 02，则P (2k 2，k 22)， 由（1）知x 1＋x 2＝4k 1，且Q 为AB 的中点，易得Q (2k 1，2k 21＋1)，因为直线PQ 过(0，2)，所以k 22－22k 2＝2k 21－12k 1， …10分整理得(k 1k 2＋1)(k 2－2k 1)＝0，因为l 2与l 1不垂直，所以k 1k 2＋1≠0，则k 2－2k 1＝0，即k 1k 2＝12． …12分21．解：（1）g (x )＝f '(x )＝ln x ＋1－12x －a ，g '(x )＝1x －12＝2－x2x，当x ∈(0，2)时，g '(x )＞0，g (x )单调递增； 当x ∈(2，＋∞)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减； 故当x ＝2时，g (x )的最大值为g (2)＝ln 2－a ． 若a ＝ln 2，g (x )取得最大值g (2)＝0． …4分 （2）（ⅰ）若a ＝ln 2，由（1）知，当x ∈(0，＋∞)时，f '(x )≤0，且仅当x ＝2时，f '(x )＝0． 此时f (x )单调递减，且f (2)＝0，故f (x )只有一个零点x 0＝2． …5分 （ⅱ）若a ＞ln 2，由（1）知，当x ∈(0，＋∞)时，f '(x )＝g (x )＜0，f (x )单调递减．此时，f (2)＝2(ln 2－a )＜0，注意到x 1＝14a ＜1，我们知道，(x ln x )'＝ln x ＋1，故x ln x ≥－1e，f (x 1)＝x 1ln x 1－14x 12＋34＞－1e －14＋34＝12－1e＞0，故f (x )仅存在一个零点x 0∈(x 1，2)． …8分 （ⅲ）若0＜a ＜ln 2，则g (x )的最大值g (2)＝ln 2－a ＞0，即f '(2)＞0，注意到f '(1e )＝－12e－a ＜0，f '(8)＝ln 8－3－a ＜0，故存在x 2∈(1e，2)，x 3∈(2，8)，使得f '(x 2)＝f '(x 3)＝0．则当x ∈(0，x 2)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，x 3)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(x 3，＋∞)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减． 故f (x )有极小值f (x 2)，有极大值f (x 3)．由f '(x 2)＝0得ln x 2＋1－12x 2－a ＝0，故f (x 2)＝(12x 2－1)2＞0，则f (x 3)＞0．存在实数t ∈(4，16)，使得ln t －14t ＝0，且当x ＞t 时，ln x －14x ＜0，记x 4＝max{t ，1a }，则f (x 4)＝x 4(ln x 4－14x 4)－ax 4＋1≤0，故f (x )仅存在一个零点x 0∈(x 3，x 4]． 综上，f (x )有且仅有一个零点．（另见附注） …12分22．解：（1）曲线C 的普通方程为：x 24＋y 23＝1，直线l 的直角坐标方程为：x －y －1＝0． …4分（2）由题意知：A (1，0)，B (4，3)，所以|AB |＝32． 设点P (2cos φ，3sin φ)，则点P 到AB 的距离为 d ＝|2cos φ－3sin φ－1|2＝|7cos(φ＋α)－1|2，所以△P AB 的面积S ＝12·|AB |·d ＝32|7cos(φ＋α)－1|≤3(7＋1)2， 即△P AB 的面积S 的最大值为3(7＋1)2．…10分23．解：（1）∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a 2＋b 2＋c 2)＝9.∴|a ＋b ＋c |≤3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1或a ＝b ＝c ＝－1时，取等号. 故|a ＋b ＋c |的最大值为3. …5分（2）不能成立.理由如下：由柯西不等式，得(ax ＋by ＋cy )2≤(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋y 2)＝3，当且仅当a x ＝b y ＝cy时取等号，故ax ＋(b ＋c )y ≤3，故ax ＋(b ＋c )y ＝2不能成立. …10分附注：21题（2）的一个解法解：因为f (x )＝x ln x －14x 2－ax ＋1 ， a ＞0，x ＞0有且仅有一个零点，所以a ＝ln x －14x ＋1x ，令h (x )＝ln x －14x ＋1x，h '(x )＝1x －14－1x 2＝－x 2＋4x －44x 2＝－(x －2)24x 2≤0，h (x )在(0，＋∞)单调递减，h (e 3)＝3－e 34＋1e3＜0，x →0，h (x )→＋∞， 因为a ＞0，所以y ＝a 与h (x )＝ln x －14x ＋1x有唯一的交点，所以f (x )有且仅有一个零点． （酌情扣1－2分）。
唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCD DACCB CB B 卷：ADBBD DACABCB二．填空题： （13）2（14）12（15）2 6 （16）(1，3)三．解答题： 17．解：（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1， ① 所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ② ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即a na n －1＝3（n ≥2）， …3分在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， …4分 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1． …6分（2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ， …8分＝3－3n 1－3－(n －1)·3n＝(3－2n )·3n －32． …10分 所以，T n ＝(2n －3)·3n ＋34． …12分 18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率 P ＝4×5＋6×510×10＝12． …5分（2）X 可取0，1，2，3． …6分P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝16； P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12；P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310； P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝130； …10分X 的分布列为∴随机变量X 的期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65． …12分 19．解：（1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点， ∴BD ⊥CD ，又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ， ∴CD ⊥平面PBD ， ∴CD ⊥PD ， 又∵AD ⊥BD ， ∴PD ⊥BD ．又因为BD ∩CD ＝D ， ∴PD ⊥平面BCD ． …5分（2）以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，PA →＝(2，0，－2)，PB →＝(0，2，－2)，CB →＝(2，2，0)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由PB →·n ＝0，CB →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，－1，－1)．…9分cos 〈PA →，n 〉＝PA →·n |PA →||n |＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63． …12分20．解：（1）由已知可得，y 1＝x 21，y 2＝x 22，所以y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)，此时，直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2．…4分（2）因为OB ⊥l ，所以k OB ＝－1k ，又因为k OB ＝y 2x 2＝x 22x 2＝x 2，所以，x 2＝－1k ，…6分又由（1）可知，x 1＋x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k ，从而有，x 1＝k －x 2＝k ＋1k ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|k ＋ 2k |，|OB |＝x 22＋y 22＝x 22＋x 42＝1k 2＋1k 4＝1＋k 2k 2，…9分因为|AB |＝3|OB |，所以1＋k 2|k ＋2k |＝31＋k 2k 2，化简得，|k 3＋2k |＝3， 解得，k ＝±1，所以，|AB |＝1＋k 2|k ＋ 2k |＝32．…12分21．解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋1x ，所以f '(x )＝1x －1x 2．…1分设切点为(x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )与y ＝m 相切，得f '(x 0)＝0， 解得x 0＝1，所以切点为（1，1）． …3分 所以m ＝1． …4分 （2）依题意得f (1)≥ea ，所以1≥ ea ，从而a ≥e ．…5分因为f '(x )＝x －ln ax 2ln a ，a ≥e ，所以当0＜x ＜ln a 时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln a 时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值log a (ln a )＋1ln a ．…7分设g (x )＝eln x －x ，x ≥e ， 则g '(x )＝ex －1＝e －x x ≤0，所以g (x )在[e ，＋∞)单调递减， 从而g (x )≤g (e)＝0，所以eln x ≤x ．…10分又a ≥e ，所以eln a ≤a ，从而1ln a ≥ea ，当且仅当a ＝e 时等号成立．因为ln a ≥1，所以log a (ln a )≥0， 即log a (ln a )＋1ln a ≥ea ．综上，满足题设的a 的取值范围为[e ，＋∞)． …12分22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0． 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6． …5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得， t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π4)|因为0≤α＜π，所以π4≤α＋π4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]． …10分23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|, 所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2， 故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． …5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝12时，g (x )取得最大值1， 所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分。
唐山市2018—2019学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DACAD CBBCB DB B 卷：DBCAD CBACB DA 二．填空题：13．914．2315．660 16．27三．解答题： 17．解：（1）由已知及正弦定理可得：2sin C ＝3sin A ＋2sin B cos A ， 所以2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝3sin A ＋2sin B cos A ， 即2sin A cos B ＝3sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝32． 又0＜B ＜π，故B ＝π6．…6分（2）在△ABC 中，由正弦定理可得a sin A ＝bsin B，所以a sin B ＝b sin A ＝3，由（1）知B ＝ π6，所以a ＝23，由余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝19， 所以b ＝19． …12分 18．解：（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接OA 1，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ， 从而OA 1⊥BD ，OC ⊥BD ，又因为OA 1∩OC ＝O ， 所以BD ⊥平面A 1OC ， 因为A 1C ⊂平面A 1OC ， 所以BD ⊥A 1C ，所以异面直线A 1C 与BD 所成角的大小为90°． …5分 （2）由（1）可知，∠A 1OC 即为二面角A 1-BD -C 的平面角，所以∠A 1OC ＝60°．以O 为坐标原点，OB →，OC →为x ，y 轴正方向，建立空间直角坐标系O -xyz ，则 B (4，0，0)，D (－4，0，0)，C (0，43，0)，A 1(0，23，6)，E (0，33，3)．所以BE →＝(－4，33，3)，DA 1→＝(4，23，6)，DC →＝(4，43，0)． 设平面A 1DC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DA 1→·n ＝0，DC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋23y ＋6z ＝0，4x ＋43y ＝0，取x ＝3，则n ＝(3，－3，－1)， cos 〈BE →，n 〉＝－2413·213＝－1213，所以直线BE 与平面A 1DC 所成角的正弦值为1213． …12分19．解： （1）-x ＝62.5×5×0.03＋67.5×5×0.05＋72.5×5×0.06＋77.5×5×0.04＋82.5×5×0.02＝71.75．所以M 服从正态分布N (71.75，35.4)．从而有P (59.85＜M ＜77.7)＝P (μ－2σ＜Z ＜μ＋σ)＝12[P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＋P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)]＝0.8186，故采摘的10000个苹果中，果径位于区间(59.85，77.7)的苹果个数约为10000×0.8186＝8186（个）． …5分 （2）由图2可知，果径在80以上的苹果中，特级果、一级果、二级果的概率分别为15，12，310， 设出售1kg 果径在故E (Y )＝12×15＋10×12＋9×310＝10.1，所以E (X )＝800E (Y )＝8080元． …12分20．解：（1）设M (0，m )，N (n ，0)，P (x ，y )， 由|MN |＝1得m 2＋n 2＝1．由MP →＝3MN →得(x ，y －m )＝3(n ，－m )， 从而x ＝3n ，y －m ＝－3m ，所以n ＝ x 3，m ＝－ y2，所以曲线E 的方程为x 29＋y 24＝1． …6分（2）MN ：y ＝kx ＋m ，所以n ＝－ mk．①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将MN 代入到E 的方程并整理，可得(4＋9k 2)x 2＋18kmx ＋9m 2－36＝0，所以x 1＋x 2＝－18km4＋9k 2．因为|PN |＝|MQ |，所以MN 和PQ 的中点重合，所以－9km 4＋9k 2＝ n2，②联立①②可得k 2＝ 4 9，故k ＝± 23．…12分21．解：（1）f '(x )＝4e x ＋2e －2x －a ，令g (x )＝4e x ＋2e －2x －a ，则g '(x )＝4e x －4e －2x ，显然g '(x )在(－∞，＋∞)单调递增，且g '(0)＝0， 所以当x ∈(－∞，0)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，g '(x )＞0，g (x )单调递增．所以g (x )的最小值为g (0)＝6－a ，即f '(x )的最小值为6－a ， 要使f (x )为单调增函数，则有f '(x )≥0，所以6－a ≥0，故a ≤6． …4分（2）证明：（ⅰ）由（1）得g (x )的两个零点为x 1，x 2，x 1＜0＜x 2，且a ＞6． f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． 令h (x )＝g (x )－g (－x )， 则h '(x )＝g '(x )＋g '(－x )＝4e x －4e －2x ＋4e －x －4e 2x＝4[－(e x ＋e －x )2＋(e x ＋e －x )＋2]＝4[2－(e x ＋e －x )][1＋(e x ＋e －x )]＜0， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 当x ＞0时，h (x )＜h (0)＝0．所以g (x 2)－g (－x 2)＜0，从而g (x 2)＜g (－x 2)， 又g (x 2)＝g (x 1)＝0， 所以g (x 1)＜g (－x 2)，因为g (x )在(－∞，0)上单调递减，x 1，－x 2∈(－∞，0)， 所以x 1＞－x 2，故x 1＋x 2＞0． …9分（ⅱ）f (x )＋f (－x )＝4e x －e －2x ＋4e －x －e 2x ，＝－(e x ＋e －x )2＋4(e x ＋e －x )＋2 ＝－(e x ＋e －x －2)2＋6 ≤6．由（ⅰ）得x 1＋x 2＞0，所以x 2＞－x 1＞0，由f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，可得f (x 2)＜f (－x 1)， 从而有f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1)＋f (－x 1)≤6， 所以f (x 1)＋f (x 2)＜6．…12分22．解：（1）依题意可得，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1；圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4． 所以C 1：x 2＋y 2＝2x ；C 2：x 2＋y 2＝－4x ， 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以C 1：ρ＝2cos θ；C 2：ρ＝－4cos θ． …4分（2）因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形，所以不妨设A (ρA ，θ)，B (ρB ，θ＋ π 3)，0＜θ＜ π2．依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB ＝－4cos (θ＋π3)． 从而2cos θ＝－4cos (θ＋π3)， 整理得，2cos θ＝3sin θ，所以tan θ＝233，又因为0＜θ＜ π 2，所以cos θ＝217，|AB |＝|OA |＝ρA ＝2217．…10分23．解：（1）因为|ax ＋1|＋|ax －1|≥|(ax ＋1)－(ax －1)|＝2， 等号当且仅当(ax ＋1)(ax －1)≤0时成立， 所以f (x )的最小值为2－2a －4＝－2a －2． 依题意可得，－2a －2≥0，所以a ≤－1． …4分（2）因为a ＞0，f (x )＝|ax ＋1|＋|ax －1|－2a －4，所以f (x )＝⎩⎨⎧－2ax －2a －4，x ≤－ 1a ，－2a －2，－ 1 a ＜x ＜ 1a，2ax －2a －4，x ≥ 1a．所以y ＝f (x )的图像与x 轴围成的封闭图形为等腰梯形ABCD ，且顶点为A (－1－2a ，0)，B (1＋ 2a ，0)，C (1a ，－2a －2)，D (－ 1a，－2a －2)从而S ＝2(1＋3a )(a ＋1)＝2(a ＋ 3a)＋8． 因为a ＋3a ≥23，等号当且仅当a ＝3时成立，所以当a ＝3时，S 取得最小值43＋8．…10分。
唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCD DACCB CB B 卷：ADBBD DACABCB二．填空题： （13）2（14）12（15）2 6 （16）(1，3)三．解答题： 17．解：（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1， ① 所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ② ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即a na n －1＝3（n ≥2）， …3分在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， …4分 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1． …6分（2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ， …8分＝3－3n 1－3－(n －1)·3n＝(3－2n )·3n －32． …10分 所以，T n ＝(2n －3)·3n ＋34． …12分 18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率 P ＝4×5＋6×510×10＝12． …5分（2）X 可取0，1，2，3． …6分P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝16； P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12；P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310； P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝130； …10分X 的分布列为∴随机变量X 的期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65． …12分 19．解：（1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为AC ∴BD ⊥CD ，又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ， ∴CD ⊥平面PBD ， ∴CD ⊥PD ， 又∵AD ⊥BD ， ∴PD ⊥BD ．又因为BD ∩CD ＝D ， ∴PD ⊥平面BCD ． …5分（2）以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，PA →＝(2，0，－2)，PB →＝(0，2，－2)，CB →＝(2，2，0)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由PB →·n ＝0，CB →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，－1，－1)．…9分cos 〈PA →，n 〉＝PA →·n |PA →||n |＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63． …12分20．解：（1）由已知可得，y 1＝x 21，y 2＝x 22，所以y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)，此时，直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2．…4分（2）因为OB ⊥l ，所以k OB ＝－1k ，又因为k OB ＝y 2x 2＝x 22x 2＝x 2，所以，x 2＝－1k ，…6分又由（1）可知，x 1＋x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k ，从而有，x 1＝k －x 2＝k ＋1k ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|k ＋ 2k |，|OB |＝x 22＋y 22＝x 22＋x 42＝1k 2＋1k 4＝1＋k 2k 2，…9分因为|AB |＝3|OB |，所以1＋k 2|k ＋2k |＝31＋k 2k 2，化简得，|k 3＋2k |＝3， 解得，k ＝±1，所以，|AB |＝1＋k 2|k ＋ 2k |＝32．…12分21．解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋1x ，所以f '(x )＝1x －1x 2．…1分设切点为(x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )与y ＝m 相切，得f '(x 0)＝0， 解得x 0＝1，所以切点为（1，1）． …3分 所以m ＝1． …4分 （2）依题意得f (1)≥ea ，所以1≥ ea ，从而a ≥e ．…5分因为f '(x )＝x －ln ax 2ln a ，a ≥e ，所以当0＜x ＜ln a 时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln a 时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值log a (ln a )＋1ln a ．…7分设g (x )＝eln x －x ，x ≥e ， 则g '(x )＝ex －1＝e －x x ≤0，所以g (x )在[e ，＋∞)单调递减， 从而g (x )≤g (e)＝0，所以eln x ≤x ．…10分又a ≥e ，所以eln a ≤a ，从而1ln a ≥ea ，当且仅当a ＝e 时等号成立．因为ln a ≥1，所以log a (ln a )≥0， 即log a (ln a )＋1ln a ≥ea ．综上，满足题设的a 的取值范围为[e ，＋∞)． …12分22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0． 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6． …5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得， t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π4)|因为0≤α＜π，所以π4≤α＋π4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]． …10分23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|, 所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2， 故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． …5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝12时，g (x )取得最大值1， 所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分----------------------------------------------- 学好语文的方法和技巧一、培养良好的阅读习惯良好的阅读习惯对形成阅读能力、保证阅读质量、提高阅读效率、顺利达到阅读目的有着重要作用。
河北唐山2019高三9月摸底考试-数学（理）word 版唐山市2018-2018学年度高三年级摸底考试理科数学第I 卷【一】选择题〔共60分〕 〔1〕复数3322ii i i+---+的虚部为 (A 〕2i 〔B 〕－2i 〔C 〕2〔D 〕－2 (2)设集合U ＝AUB,A={1，2，3}，AB={1}，那么UC B ＝〔A 〕{2}(B){3}(C){1，2，3}(D){2，3} (3)x ，y 满足1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，那么z=2x －y 的最大值为lax-Y}-3,(A)2(B)1(C)－1(D)3 (4)双曲22212x y a -＝1的离心串为2，那么该双曲线的实轴长为 〔A 〕2〔B 〕(5)假设tnn θ=2，那么cos2θ＝ 〔A 〕45〔B 〕－45〔C 〕35〔D 〕－35(6〕以下函数中，既是偶函数，又在区间(0.3)内是增函数的是 (A)y=22x x -+(B)y=coss (C 〕y=0.5log||x (D)y=x ＋x －1(7)在三棱锥P －ABC 中，PA ＝侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，那么该三棱锥外接球的体积为〔A 〕2π(B)3π(C)4π〔D)43π(8)要得到函数sin()3y x π=-的图象，只需将函数sin()6y x π=-的图象(A)向左平移6π个单位(B)向右平移6π单位(C)向左平移2π个单位(D 向右平移2π个单位(9〕空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为〔A 〕6＋B 〕8＋〔C 〕8＋B 〕6＋(10〕一名小学生的年龄和身高〔单位：cm) 的数据如下： 年龄x 6 7 8 9身高y 118 126 136144由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归直线方程为8.8y x a=+，预测该学生10岁时的身高为(A)154.(B)153(C)152(D)151(11)己知△ABC 的外心、重心、垂心分别为O ，G ，H ，假设OH OG λ=，那么λ= 〔A 〕3〔B 〕2〔C 〕12〔D 〕13(12)函数f 〔x 〕满足f 〔x ＋1〕［f 〔x 〕＋1］＝1。
唐山市2018—2019学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：CDBAA CDBAC BCB 卷：CDCAA CDBABBC二．填空题： （13）－4（14）7（15）2π（16）332三．解答题： （17）解：（1）令n ＝1，得a 1＋a 1＝2，(a 1＋2)(a 1－1)＝0，得a 1＝1， 所以S n ＝n ，即S n ＝n 2．当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1适合上式， 所以a n ＝2n －1． …6分（2）b n ＝(－1)n －1•a n ＋1S n ＋n ＝(－1)n －1•2n ＋1n 2＋n＝(－1)n －1•(1n ＋1n ＋1)…8分当n 为偶数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…－(1n ＋1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1当n 为奇数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…＋(1n ＋1n ＋1)＝1＋1n ＋1＝n ＋2n ＋1综上所述，T n ＝错误! …12分 另解：T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－(1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…＋(－1)n －1•(1n ＋1n ＋1)＝1＋(－1)n －1•1n ＋1＝n ＋1＋(－1)n －1n ＋1…12分（18）解：（1）因为E ，F 分别为AB ，AC 边的中点， 所以EF ∥BC ， 因为∠ABC ＝90°，所以EF ⊥BE ，EF ⊥PE ， 又因为BE ∩PE ＝E ， 所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ． …5分 （2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ，因为PB ＝BE ＝PE ，所以PO ⊥BE ，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ∩平面BCFE ＝BE ， 所以PO ⊥平面BCFE ． …7分 分别以OB ，OP 所在直线为x ，z 轴，过O 且平行BC 的直线为y 轴建立空间直角坐标系，则P (0，0，3) ，C (1，4，0)， F (－1，2，0)．PC →＝(1，4，－3)，PF →＝(－1，2，－3)设平面PCF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧PC →·m ＝0，PF →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3z ＝0，－x ＋2y －3z ＝0，则m ＝(－1，1，3)，易知n ＝(0，1，0)为平面PBE 的一个法向量， cos 〈m ，n 〉＝－1⨯0＋1⨯1＋3⨯0(－1)2＋12＋(3) 2＝1 5＝55， 所以平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值55．…12分（19）解：（1）当k ＝1 2时，直线l ：y ＝ 12(x ＋4)即x －2y ＋4＝0．此时，直线l 与抛物线C 相切，由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0y 2＝2px得y 2－4py ＋8p ＝0，由∆＝0即16p 2－32p ＝0，得p ＝2， 所以C 的方程为y 2＝4x ． …5分（2）直线l ：y ＝k (x ＋4)，其中k ≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋4)y 2＝4x得：ky 2－4y ＋16k ＝0，由∆＝16－64k 2＞0知：k 2＜14．根据韦达定理得：⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4 k ，y 1y 2＝16， …① 又A 为PB 的中点，得：y 1＝12y 2，…②由①②得：k 2＝29，符合∆＞0，所以|AB |＝(1＋1k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝4(1＋k 2)(1－4k 2)k 2＝211. …12分 （20）解：（1）分层抽样.…2分 （2）将列联表中的数据代入公式计算得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝200(40×50－100×10)2140×60×50×150≈3.175＞2.706，所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． …6分 （3）以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记顺利的概率为 4 5，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为 23．X 可取0，1，2，3，4．P (X ＝0)＝1 5×(1 3)3＝ 1135，P (X ＝1)＝4 5×(1 3)3＋1 5×C 13×2 3×(1 3)2＝ 10135， P (X ＝2)＝4 5×C 13× 2 3×(1 3)2＋1 5×C 23×(2 3)2×1 3＝ 36 135， P (X ＝3)＝4 5×C 23×( 2 3)2×1 3＋1 5×(2 3)3＝ 56 135， P (X ＝4)＝4 5×( 2 3)3＝ 32 135．X E (X )＝0× 1 135＋1× 10 135＋2× 36 135＋3× 56 135＋4× 32 135＝145．…12分（21）解：（1）由f (x )≥0得ax －ln xx≥0，从而ax ≥ln x x ，即a ≥ln xx2．…2分设g (x )＝ln xx 2，则g '(x )＝1－2ln x x 3，（x ＞0）所以0＜x ＜e 时，g '(x )＞0，g (x )单调递增； x ＞e 时，g '(x )＜0，g (x )单调递减，所以当x ＝e 时，g (x )取得最大值g (e)＝12e，故a 的取值范围是a ≥12e．…6分（2）设y ＝f (x )的图像与y ＝a 相切于点(t ，a )，依题意可得⎩⎨⎧f (t )＝a ，f '(t )＝0．因为f '(x )＝a －1－ln xx 2，所以⎩⎨⎧at －ln tt＝a ，a －1－ln tt2＝0，消去a 可得t －1－(2t －1)ln t ＝0． …9分令h (t )＝t －1－(2t －1)ln t ，则h '(t )＝1－(2t －1)·1t －2ln t ＝1t－2ln t －1，显然h '(t )在(0，＋∞)上单调递减，且h '(1)＝0， 所以0＜t ＜1时，h '(t )＞0，h (t )单调递增； t ＞1时，h '(t )＜0，h (t )单调递减， 所以当且仅当t ＝1时h (t )＝0． 故a ＝1． …12分（22）解：（1）当α＝ π2时，l ：x ＝1；当α≠ π2时，l ：y ＝tan α(x －1)．由ρsin 2θ＝4cos θ得，ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程y 2＝4x ． …5分（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得： (sin 2α)t 2－(4cos α)t －4＝0,则t 1＋t 2＝4cos αsin 2α，t 1t 2＝－4sin 2α，因为|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＝8，所以sin α＝22或－22，因为0＜α＜π，所以sin α＝22，故α＝ π4或3π4．…10分（23）解：（1）∵a ，b 是正实数，∴a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤1，∴(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ≤4， ∴a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时，取“＝”. …5分（2）∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b ) 2＝4， ∴a 2＋b 2≥2，∴(a ＋b 3)(a 3＋b )＝a 4＋b 4＋a 3b 3＋ab ≥a 4＋b 4＋2a 2b 2＝(a 2＋b 2) 2≥4，当且仅当⎩⎨⎧ a ＝b ，a 2b 2＝1，即a ＝b ＝1时，取“＝”.…10分。
河北省唐山市2018-2019学年高三下学期理数第三次模拟考试试卷（B卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1．已知集合M={x|x>3}，N={xlx2-7x+10≤0}，则MUN=（）A．[2，3）B．（3，5]C．（-∞，5]D．[2，+∞）2．已知复数：满足（2+i）z=i2019，则：在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．中国古代数学名著《九章算术》卷“商功”篇章中有这样的问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺。
问积几何？”（注：一丈等于十尺）。
若此方锥的三视图如图所示（其中俯视图为正方形），则方锥的体积为（）（单位：立方尺）A．7047B．21141C．7569D．227074．已知sinα+ √3cosα=2，则tanα=（）A．- √3B．√3C．- √33D．√335．设函数y=f（x）的定义域为I.则“f（x）在I上的最大为M”是“ x∈I，f（x）≤M”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>b>0）的两条渐近线的夹角为α.且cosα= 13，则C的离心率为（）A．√52B．√62C．√72D．27．函数f（x）=tanx-x3的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个球，已知摸出球的颜色不全相同，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为（ ） A ．1835B ．35C ．2235D ．11159．将函数f （x ）=sin(ωx+ π3 )（0>0）的图象向右平移 π6个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410．设椭圆C ： x 2a 2+y 2b2=1 （a>b>0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 √53 ，以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限的交点为P ，则直线PF 1的斜率为（ ） A ．13B ．12C ．√33D ．√3211．在△ABC 中，AB=AC ， BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD=2，△ABC 的面积为2 √3 ，则∠ADB=（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．30°或60°12．已知e 是自然对数的底数，不等式x[（e x-1+1）(e 1-x +1)-（e -1+e ）2]>0的解集为（ ）A ．（-1，0）U （3，+∞）B ．（-1，0）U （0，3）C ．（-∞，-1）U （3，+∞）D ．（-∞，-1）U （0，3）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
试卷类型：A 唐山市2018—2019学年度高三年级第二次模拟考试理科数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|2x＞12}，则C R A＝A．{x| x＞1} B．{x|0＜x≤－1}C．{x|x＞－1}D．{x|x≤－1}2．已知复数z满足(1＋i)z＝2，则z的共轭．．复数为A．1＋i B．1－iC．i D．－i3．在等差数列{a n}中，a4＝6，a3＋a5＝a10，则a12＝A．10 B．12C．14 D．164．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα，3)，则cosα＝A．12B．－12C．32D．－325．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4，A(2，3)为C上一点，则C的渐近线方程为A．y＝±12x B．y＝±xC．y＝±33x D．y＝±3x6．已知直线l ，m 和平面α，β，有如下三个命题： ①若存在平面γ，使α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若l ，m 是两条异面直线，l ⊂α，m ⊂β，l ∥β，m ∥α，则α∥β；③若l ⊥α，m ⊥β，l ∥m ，则α∥β． 其中正确命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．已知函数f (x )＝sin (2ωx － π3)（ω＞0）的最小正周期为π，将f (x )的图像向左平移 π3个单位长度后，所得函数图像的一条对称轴为A ．x ＝0B ．x ＝π12C ．x ＝ π8D ．x ＝ π38．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x ＞0．为奇函数，则f (x )在x ＝2处的切线斜率等于A ．6B ．－2C ．－6D ．－89．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．16πB ．14πC ．10πD ．8π10．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．右图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在△ABC 内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为A ．15B ．14C ．1 3D ．1211．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在C 上，以PF 为半径的圆P 与y 轴交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OB →＝7OA →，则圆P 的半径r ＝ A ．2 B ．3 C ．4 D ．512．已知a ＝log 32，b ＝log 43，c ＝log 0.20.3，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c侧视图 俯视图二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝1，且|a －b |＝|a ＋b |，则a ·(a －b )＝_____．14．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ≥1，x ＋2y －5≤0．则z ＝yx ＋2的最大值为_____．15．将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_____种．（用数字作答．．．．．） 16．各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ·a n ＋2＝3a n ＋1（n ∈N *），则a 5·a 2019＝_____． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2c ＝3a ＋2b cos A ． （1）求角B ；（2）若c ＝7，b sin A ＝3，求b ．18．（12分）如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，将△ABD 沿BD 折起，使点A 到达A 1的位置，且二面角A 1-BD -C 为60°．（1）求异面直线A 1C 与BD 所成角的大小；（2）若点E 为A 1C 中点，求直线BE 与平面A 1DC 所成角的正弦值．19．（12分）苹果可按果径M （最大横切面直径，单位：mm ．）分为五个等级：M ≥80时为1级，75≤M ＜80时为2级，70≤M ＜75时为3级，65≤M ＜70时为4级，M ＜65时为5级．不同果径的苹果，按照不同外观指标又分为特级果、一级果、二级果．某果园采摘苹果10000个，果径M 均在[60，85]内，从中随机抽取2000个苹果进行统计分析，得到如图1所示的频率分布直方图，图2为抽取的样本中果径在80以上的苹果的等级分布统计图．图1图2A BCA 1DE（1）假设M 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ的近似值为果径的样本平均数-x （同一组数据用该区间的中点值代替），σ2＝35.4，试估计采摘的10000个苹果中，果径M 位于区间(59.85，77.7)的苹果个数； （2）已知该果园今年共收获果径在80以上的苹果800kg ，且售价为特级果12元/ kg ，一级果10元/ kg ，二级果9元/kg ．设该果园售出这800kg 苹果的收入为X ，以频率估计．．．．．概率．．，求X 的数学期望． 附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.9545，35.4≈5.95．20．（12分）已知|MN |＝1，MP →＝3MN →，当N ，M 分别在x 轴，y 轴上滑动时，点P 的轨迹记为E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设斜率为k （k ≠0）的直线MN 与E 交于P ，Q 两点，若|PN |＝|MQ |，求k ．21．（12分）已知f (x )＝4e x －e －2x －ax ．（1）若f (x )在R 上单调递增，求a 的取值范围； （2）若f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1＜x 2，证明：（ⅰ）x 1＋x 2＞0；（ⅱ）f (x 1)＋f (x 2)＜6．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 1，C 2的极坐标方程；（2）设A ，B 分别为C 1，C 2上的点，若△OAB 为等边三角形，求|AB |．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知f (x )＝|ax ＋1|＋|ax －1|－2a －4． （1）若f (x )≥0，求a 的取值范围；（2）若a ＞0，y ＝f (x )的图像与x 轴围成的封闭图形面积为S ，求S 的最小值．唐山市2018—2019学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DACAD CBBCB DB B 卷：DBCAD CBACB DA 二．填空题：13．914．2315．660 16．27三．解答题： 17．解：（1）由已知及正弦定理可得：2sin C ＝3sin A ＋2sin B cos A ， 所以2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝3sin A ＋2sin B cos A ， 即2sin A cos B ＝3sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝32．又0＜B ＜π，故B ＝ π6． …6分（2）在△ABC 中，由正弦定理可得a sin A ＝bsin B，所以a sin B ＝b sin A ＝3，由（1）知B ＝ π6，所以a ＝23，由余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝19， 所以b ＝19． …12分 18．解：（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接OA 1， 因为四边形ABCD 为菱形， 所以AC ⊥BD ， 从而OA 1⊥BD ，OC ⊥BD ，又因为OA 1∩OC ＝O ， 所以BD ⊥平面A 1OC ， 因为A 1C ⊂平面A 1OC ， 所以BD ⊥A 1C ，所以异面直线A 1C 与BD 所成角的大小为90°． …5分 （2）由（1）可知，∠A 1OC 即为二面角A 1-BD -C 的平面角，所以∠A 1OC ＝60°．以O 为坐标原点，OB →，OC →为x ，y 轴正方向，建立空间直角坐标系O -xyz ，则 B (4，0，0)，D (－4，0，0)，C (0，43，0)，A 1(0，23，6)，E (0，33，3)． 所以BE →＝(－4，33，3)，DA 1→＝(4，23，6)，DC →＝(4，43，0)．设平面A 1DC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DA 1→·n ＝0，DC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋23y ＋6z ＝0，4x ＋43y ＝0，取x ＝3，则n ＝(3，－3，－1)， cos 〈BE →，n 〉＝－2413·213＝－1213，所以直线BE 与平面A 1DC 所成角的正弦值为1213． …12分19．解： （1）-x ＝62.5×5×0.03＋67.5×5×0.05＋72.5×5×0.06＋77.5×5×0.04＋82.5×5×0.02＝71.75．所以M 服从正态分布N (71.75，35.4)．从而有P (59.85＜M ＜77.7)＝P (μ－2σ＜Z ＜μ＋σ)＝12[P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＋P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)]＝0.8186，故采摘的10000个苹果中，果径位于区间(59.85，77.7)的苹果个数约为10000×0.8186＝8186（个）． …5分 （2）由图2可知，果径在80以上的苹果中，特级果、一级果、二级果的概率分别为15，12，310， 设出售1kg 果径在故E (Y )＝12×15＋10×12＋9×310＝10.1，所以E (X )＝800E (Y )＝8080元． …12分20．解：（1）设M (0，m )，N (n ，0)，P (x ，y )， 由|MN |＝1得m 2＋n 2＝1．由MP →＝3MN →得(x ，y －m )＝3(n ，－m )， 从而x ＝3n ，y －m ＝－3m ，所以n ＝ x 3，m ＝－ y2，所以曲线E 的方程为x 29＋y 24＝1． …6分（2）MN ：y ＝kx ＋m ，所以n ＝－ mk．①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将MN 代入到E 的方程并整理，可得(4＋9k 2)x 2＋18kmx ＋9m 2－36＝0，所以x 1＋x 2＝－18km4＋9k 2．因为|PN |＝|MQ |，所以MN 和PQ 的中点重合，所以－9km 4＋9k 2＝ n2，②联立①②可得k 2＝ 4 9，故k ＝± 23．…12分21．解：（1）f '(x )＝4e x ＋2e －2x －a ，令g (x )＝4e x ＋2e －2x －a ，则g '(x )＝4e x －4e －2x ， 显然g '(x )在(－∞，＋∞)单调递增，且g '(0)＝0， 所以当x ∈(－∞，0)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，g '(x )＞0，g (x )单调递增．所以g (x )的最小值为g (0)＝6－a ，即f '(x )的最小值为6－a ， 要使f (x )为单调增函数，则有f '(x )≥0，所以6－a ≥0，故a ≤6． …4分（2）证明：（ⅰ）由（1）得g (x )的两个零点为x 1，x 2，x 1＜0＜x 2，且a ＞6． f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． 令h (x )＝g (x )－g (－x )， 则h '(x )＝g '(x )＋g '(－x )＝4e x －4e －2x ＋4e －x －4e 2x＝4[－(e x ＋e －x )2＋(e x ＋e －x )＋2]＝4[2－(e x ＋e －x )][1＋(e x ＋e －x )]＜0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 当x ＞0时，h (x )＜h (0)＝0．所以g (x 2)－g (－x 2)＜0，从而g (x 2)＜g (－x 2)， 又g (x 2)＝g (x 1)＝0， 所以g (x 1)＜g (－x 2)，因为g (x )在(－∞，0)上单调递减，x 1，－x 2∈(－∞，0)，所以x 1＞－x 2，故x 1＋x 2＞0． …9分（ⅱ）f (x )＋f (－x )＝4e x －e －2x ＋4e －x －e 2x ，＝－(e x ＋e －x )2＋4(e x ＋e －x )＋2 ＝－(e x ＋e －x －2)2＋6 ≤6．由（ⅰ）得x 1＋x 2＞0，所以x 2＞－x 1＞0，由f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，可得f (x 2)＜f (－x 1)， 从而有f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1)＋f (－x 1)≤6， 所以f (x 1)＋f (x 2)＜6．…12分22．解：（1）依题意可得，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1；圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4． 所以C 1：x 2＋y 2＝2x ；C 2：x 2＋y 2＝－4x ， 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以C 1：ρ＝2cos θ；C 2：ρ＝－4cos θ． …4分（2）因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形，所以不妨设A (ρA ，θ)，B (ρB ，θ＋ π 3)，0＜θ＜ π2．依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB ＝－4cos (θ＋ π3)．从而2cos θ＝－4cos (θ＋ π3)，整理得，2cos θ＝3sin θ，所以tan θ＝233，又因为0＜θ＜ π 2，所以cos θ＝217，|AB |＝|OA |＝ρA ＝2217．…10分23．解：（1）因为|ax ＋1|＋|ax －1|≥|(ax ＋1)－(ax －1)|＝2， 等号当且仅当(ax ＋1)(ax －1)≤0时成立， 所以f (x )的最小值为2－2a －4＝－2a －2． 依题意可得，－2a －2≥0，所以a ≤－1． …4分（2）因为a ＞0，f (x )＝|ax ＋1|＋|ax －1|－2a －4，所以f (x )＝⎩⎨⎧－2ax －2a －4，x ≤－ 1a ，－2a －2，－ 1 a ＜x ＜ 1a，2ax －2a －4，x ≥ 1a．所以y ＝f (x )的图像与x 轴围成的封闭图形为等腰梯形ABCD ，且顶点为A (－1－2a ，0)，B (1＋ 2a ，0)，C (1a ，－2a －2)，D (－ 1a ，－2a －2)从而S ＝2(1＋ 3a )(a ＋1)＝2(a ＋ 3a )＋8．因为a ＋3a≥23，等号当且仅当a ＝3时成立，所以当a ＝3时，S 取得最小值43＋8． …10分。
