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等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是指具有两边边长相等的梯形。
在等腰梯形的性质定理和判定定理中，我们会探讨一些关于其边长，角度，和对角线的性质。
下面，我将解释等腰梯形的性质定理和判定定理，并给出它们的证明。
性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。
证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。
假设∠A和∠B是两个底角。
首先，我们可以根据等腰梯形的性质，得到AB=CD。
接着，我们可以通过等边三角形来证明∠BAD≌∠CBA。
因为AB=CD，所以三角形ABC和三角形DCA是等边三角形。
因此，∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC。
我们可以通过相邻角的和等于180度的原理，得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=180度和∠CBA+∠CDA+∠DAC=180度。
由于∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC，所以∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠BAD+∠CDA+∠DAC。
因此，根据相等的角度和等于相等的角度之和，我们得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC。
将等腰梯形的性质AB=CD和∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC代入其中，我们可以得到∠BAD=∠CBA。
因此，等腰梯形的两个底角是相等的。
性质定理2：等腰梯形的两个对角线相等。
证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。
我们需要证明AC=BD。
我们已经知道∠BAD=∠CBA。
因此，∠BAD和∠CBA是等腰梯形的两个底角，根据性质定理1，我们可以知道∠A=∠D和∠B=∠C。
我们可以通过相同边上的相等角来证明∠BAD≌∠BCD和∠ABD≌∠ACD。
因为∠A=∠D和∠B=∠C，所以AB//CD。
根据平行线的性质，我们得到∠ABD≌∠CDA和∠ACD≌∠BDA。
因此，根据等腰三角形的定义，我们可以知道三角形ABD和三角形CAD是等腰三角形。
因此，AD=BD和AC=CD。
等腰梯形知识点总结一、定义等腰梯形是一个四边形，它具有两组对边相等的性质。
具体地说，等腰梯形的两条底边和两条斜边都是相等的。
这意味着等腰梯形的上底和下底、左斜边和右斜边是相等的。
二、性质1. 对边性质：等腰梯形的两组对边是相等的，即上底等于下底，左斜边等于右斜边。
2. 对角性质：等腰梯形的对角线交点平分底边。
3. 对角线性质：等腰梯形的对角线长度相等。
三、面积等腰梯形的面积可以通过以下公式来计算：\[ S = \frac{(a + b) \times h} {2} \]其中，a和b分别表示上底和下底的长度，h表示等腰梯形的高。
四、周长等腰梯形的周长可以通过以下公式来计算：\[ C = a + b + 2l \]其中，a和b分别表示上底和下底的长度，l表示等腰梯形的斜边的长度。
五、性质证明1. 等腰梯形的对角线性质证明：等腰梯形的两对角线相等。
我们可以证明这一性质，从而利用等腰三角形的性质来得证。
证明：连接等腰梯形上底和下底的中点，可以得到两个等腰三角形。
因为等腰三角形的性质是两个底角相等，所以等腰梯形的两对角线相等。
2. 等腰梯形的面积计算证明：等腰梯形的面积可以通过将其视为一个矩形和两个直角三角形的和来进行计算。
具体来说，我们可以将等腰梯形的上底和下底之和视为矩形的长度，高为等腰梯形的高；而等腰梯形的底边与高构成两个直角三角形，通过计算这两个直角三角形的面积并加上矩形的面积，就可以得到等腰梯形的面积。
六、应用等腰梯形在现实生活中有许多应用。
例如，等腰梯形的性质常常用于建筑和工程设计中，用来计算各种结构的面积和周长。
此外，等腰梯形的性质还可以在数学题中用来解决各种几何问题。
七、总结等腰梯形是一个重要的几何概念，具有多种性质和应用。
通过本文的介绍，我们可以了解到等腰梯形的定义、性质、面积和周长的计算方法，以及它在现实生活中的应用。
掌握了这些知识，我们可以更好地理解和运用等腰梯形的概念，在解决各种数学问题和实际应用中发挥作用。
等腰梯形的性质及证明第一章：等腰梯形的定义及基本性质1.1 等腰梯形的定义引导学生复习梯形的定义，引入等腰梯形的概念。
通过实物模型或图形，让学生观察并理解等腰梯形的特征。
1.2 等腰梯形的边长关系引导学生观察等腰梯形的两条腰和底边的关系。
证明等腰梯形的两条腰长相等。
1.3 等腰梯形的对角线性质引导学生观察等腰梯形的对角线。
证明等腰梯形的对角线互相平分。
第二章：等腰梯形的内角性质2.1 等腰梯形的内角和引导学生复习四边形的内角和定理。
证明等腰梯形的内角和为360度。
2.2 等腰梯形的对角线与内角的关系引导学生观察等腰梯形的对角线与内角的关系。
证明等腰梯形的对角线与内角相等。
第三章：等腰梯形的对称性质3.1 等腰梯形的轴对称性引导学生复习轴对称性的概念。
证明等腰梯形具有轴对称性。
3.2 等腰梯形的中心对称性引导学生复习中心对称性的概念。
证明等腰梯形具有中心对称性。
第四章：等腰梯形的角平分线性质4.1 等腰梯形的角平分线定义引导学生复习角平分线的定义。
引入等腰梯形的角平分线概念。
4.2 等腰梯形的角平分线性质引导学生观察等腰梯形的角平分线。
证明等腰梯形的角平分线互相平分。
第五章：等腰梯形的应用5.1 等腰梯形的面积计算引导学生复习梯形的面积计算公式。
推导等腰梯形的面积计算公式。
5.2 等腰梯形的应用实例给出等腰梯形的实际应用题目。
引导学生运用等腰梯形的性质和证明结果解决实际问题。
第六章：等腰梯形的判定6.1 等腰梯形的判定条件引导学生复习四边形的判定条件。
引入等腰梯形的判定条件，即两条腰相等。
6.2 等腰梯形的判定方法给出等腰梯形的判定方法。
通过实际例子，让学生学会运用判定方法判断一个四边形是否为等腰梯形。
第七章：等腰梯形的相似性质7.1 等腰梯形的相似性质引导学生复习相似图形的性质。
引入等腰梯形的相似性质，即对应角相等，对应边成比例。
7.2 等腰梯形的相似证明给出等腰梯形的相似证明方法。
通过实际例子，让学生学会运用相似性质证明两个等腰梯形相似。
等腰梯形的性质
第1题. （2007北京课标，5分）如图，在梯形ABCD 中，
AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点1E AE =，，求梯形ABCD 的高．
第2题. (2007福建福州课改,3分)下列命题中，错误的是（ ）
A ．矩形的对角线互相平分且相等
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．等腰梯形的两条对角线相等
D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
第3题. (2007福建福州课改,4分)如图，45AOB ∠= ，过OA 上到点O 的距离分别为
1357911 ，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，再按一定规律标出一组黑色梯形的面积（如
图所示1234S S S S ，，，，）写出第10个黑色梯形的面积10S = ．
第4题. （2007福建三明课改，4分）用含30 角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下
列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．③④
D ．①②③ 第5题. （2007甘肃兰州课改，4分）顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ） Ａ．等腰梯形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．矩形 Ｄ．菱形
第6题. （2007广东河池非课改，2分）已知梯形的两底边长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a 的取值范围是 ．
第7题. （2007广西玉林课改，2分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=
，AD AB =．点E F ，分别在AD ，
AB 上，AE BF =，DF 与CE 相交于P ，则DPE ∠=
．
第8题. （2007湖南郴州课改，8分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，点E 是BC 边的中点，EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ． 求证：EM =EN
第9题. （2007河南课改，3分）如图，在直角梯形ABCD
中，1cm 2cm AB CD AD CD AB AD ==∥，⊥，，，
4cm CD =，则BC = cm ． 第10题. （2007湖北十堰课改，3分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E F ，分别在
C
E N M
D
C B A
B
C D A
A B C D F E
AB CD ，上移动，且AE CF =，则四边形BFDE 不可能．．．
是（ ） A ．矩形 B ．菱形
C ．梯形
D ．平行四边形
第11题. （2007湖北宜昌课改，3分）如图，四边形ABCD 是矩形，F 是AD 上一点，E 是CB 延长线上一点，且四边形AECF 是等腰梯形．下列结论中不一定．．．
正确的是（ ）Ａ．AE FC =Ｂ．AD BC = Ｃ．AEB CFD ∠=∠ Ｄ．BE AF = 第12题. (2007湖南长沙课改，3分)下列说法正确的是（ ） A ．有两个角为直角的四边形是矩形 B ．矩形的对角线互相垂直 C ．等腰梯形的对角线相等 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形
第13题. (2007湖南怀化课改,2分)如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称 ．
第14题. （2007湖南娄底课改，3分）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线DE 剪
开后，可以拼成的四边形是（ ）
A ．矩形或等腰梯形
B ．矩形或平行四边形
C ．平行四边形或等腰梯形
D ．矩形或等腰梯形或平行四边形
第15题. （2007江苏连云港课改，8分）已知：如图，在等腰ABC △中，
AB AC =，BD AC ⊥，CE AB ⊥， 垂足分别为点D ，E ，连接DE ．求证：四边形BCDE 是等腰梯形．
第16题. （2007江西课改，7分）如图，在正六边形ABCDEF 中，对角线AE 与BF 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ． （1）观察图形，写出图中两个不同形状．．．．
的特殊四边形； （2）选择（1）中的一个结论加以证明．
第18题. （2007辽宁12市课改，3分）把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2，则打开后梯形的周长是（ ）
A ．（
cm B ．（
cm C ．22cm D ．18cm
第19题. （2007内蒙呼和浩特课改，3分）如图在梯形ABCD 中，
AD BC ∥，BC BD =，120A ∠=
．则C ∠=
度．
第20题. （2007山东聊城课改，4分）如图1，ABC △是直角三角形，如果用四张与ABC △全等的三角形纸片恰好拼成一个等腰梯形，如图2，那
A D E C
B C 图1
图2
么在Rt ABC △中，
AC
AB
的值是 ．
第21题. (2007山东青岛课改,3分)如图，在等腰梯形ABCD 中，A B C D ∥，对角线AC 平分
602c
B A D B
C
D ∠∠== ，，，则梯形ABCD 的面积为（ ）2cm A
．B ．6C
．D ．12
第22题. （2007山东泰安课改，8分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线BD 平分ABC ∠，BAD ∠的平分线AE 交BC 于E F G ，，分别是AB AD ，的中点．
（1）求证：EF EG =； （2）当AB 与EC 满足怎样的数量关系时，EG CD ∥
？并说明理由．
第23题. （2007山东潍坊课改，3分）如图，梯形
ABCD 中，AD BC ∥，45B = ∠，120D = ∠，8cm AB =，则DC 的
长为（ ） A B C ． D ．8cm
第24题. （2007山西临汾课改，3分）在等腰梯形ABCD 中，5AB DC AD BC ==∥，，713DC AB ==，，点P 从点A 出发，
以3个单位/s 的速度沿AD DC →向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动．在运
动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为（ ） A ．3s B ．4s C ．5s D ．6s
第25题. （2007山西太原课改，8分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，E F ，是边AB 上两点，且AE BF =，DE 与CF 相交于梯形ABCD 内一点O ． （1）求证：OE OF =；
（2）当EF CD =时，请你连接DF CE ，，判断四边形DCEF 是什么样的四边形，并证明你的结论．
第26题. （2007四川德阳课改，2分）如图，已知等腰梯形ABCD 中，
AD BC ∥，110A = ∠，则C =∠（ ）Ａ．90 Ｂ．
80
Ｃ．70
Ｄ．60
B
Ｂ Ｅ Ｃ Ｄ
Ｇ Ａ Ｆ A B
C
D
A B
Q
A B C D
O F E
A D
C
B
第27题. （2007四川绵阳课改，4分）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD = CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若∠1 = 35︒，则∠D = ．
第28题. (2007浙江嘉兴课改,8分)如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是 AD 延长线上一点，DE BC =． （1）求证：E DBC ∠=∠；
（2）判断ACE △的形状（不需要说明理由）．
第29题. (2007 浙江宁波课改，3分)面积为l 个平方单位的正三角形，称为单位正三角形．下面图 中的每一个小三角形都是单位正三角形，三角形的顶点称为格点．在图1、2、3中分别画出一个平行四边形、梯形和对边都不平行的凸四边形，要求这三个图形的顶点在格点、面积都为l2个平方单位．
第30题. （2007浙江舟山课改，8分）我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系．
如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行． 那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件．
第31题. (2007湖南邵阳课改，3分)如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB CD AD ===cm ，60B ∠=°，则梯形ABCD 的周长为 cm ．
第32题. (2007湖南张家界课改，3分)沿着虚线将矩形剪成两部分，既能拼成三角形又能拼成梯形的是（ ）
D
A B C E
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 第33题. (2007黑龙江非课改，6分)在数学活动课上，小明做了一梯形纸板，测得一底为10cm ，高为12cm ，两腰长分别为15cm 和20cm ，求该梯形纸板另一底的长． 第34题. (2007青海课改，3分)在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，E F G H ，，，分别是AB BC CD DA ，，，的中点，则四边形EFGH 是（ ） A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 第35题. (2007新疆课改，8分)已知直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，90DAB ∠= ，
1
2
AD DC AB ==
，E 是AB 的中点． （1）求证：四边形AECD 是正方形． （2）求B ∠的度数．
Ｄ Ｃ
Ｅ
Ａ。
