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y
P2 β α+β α O –β
P1 x
各点坐标：P1(1, 0), P2(cosα, sinα), P3(cos(α+β), sin(α+β)), P4(cos(–β), sin(–β)), 由P1P3＝P2P4及两点间距离公式，得 y 2+sin2(α+β) [cos(α+β)–1] P3 P2 =[cos(–β)–cosα]2 β α+β +[sin(–β)–sinα]2, α
sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ, （S（α+β）） cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ， （C（α+β）） 记忆方式： y sin(α+β) Q =QM =NE+QF =ONsinα+QNcosα α = sinαcosβ + cosαsinβ; P F cos(α+β) N β =OM =OE–FN α =ONcosα– QNsinα 1 O M E = cosαcosβ – sinαsinβ.
2=P
y
N2(0, y2) P1P2 1Q2+QP22 =┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2
=(x1–x2)2+(y1–y2)2, 由此得到平面内
M1(x1, 0)
∟
P1(x1, y1), P2(x2, y2) 两点间距离公式： P1P2= ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 .
π 即 cos( –α) =sinα， 2 π ， 这里，等号两边的角的和为 2 cosα =sin(π –α)， ∴ 2 这就是说，诱导公式 π cos( 2 –α) =sinα， π –α)＝ cosα, sin( 2 当α为任意角时仍然成立.α)＝ cosα, =sinα， sin( 2
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ.
运用上述公式，得 sin(α+β)= cos[ π –(α+β)] 2 =cos[( π –α)–β] 2 =cos( π –α)cosβ +sin(π –α)sinβ 2 2 =sinαcosβ +cosαsinβ, 即 sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、 余弦和正切的值. sin75° 6 + 2 = 2 + 3; = tan75°= cos75° 6 − 2 或 tan75°=tan(45°+30°) tan 45° + tan 30° = 1 − tan 45° tan 30° 3 1+ 3+ 3 3 = = = 2 + 3; 3 3− 3 1 − 1⋅ 3
例2、已知 sinα= 2 ，α∈( π π)， , 3 2 3 3π cosβ= – 4 , β∈(π， ), 2 求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β). 2 ，α∈( π π)， ∵ , 解： sinα= 3 2 2 2 2 ∴ cosα= − 1− sin α = − 1− ( ) = − 3 3 3π ∵ cosβ= – , β∈(π， ), 4 2 3 2 2 ∴ sinβ= − 1− sin β= − 1 − (− ) = − 4
sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ, （S（α+β）） sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ, （S（α–β）） cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ， （C（α+β）） cos(α–β)= cosα cosβ +sinα sinβ， （C（α–β）） 等号右边“±”的记忆方式： 在锐角范围内，正弦函数是增函数， 余弦函数是减函数， ∴
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、 余弦和正切的值. 6− 2 = ; sin15°=cos75° 4 或 sin15°=sin( 45°–30°) =sin45°cos30° –cos45°sin30° 2 3 2 1 6− 2 = ⋅ − ⋅ = ; 2 2 2 2 4
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、 余弦和正切的值. 6+ 2 cos15°=sin75° = ; 4 或 cos75°=cos( 45°–30°) 45 –30 ) =cos45°cos30° +sin45°sin30° 2 1 2 3 6+ 2 + ⋅ = = ⋅ ; 2 2 2 2 4
∟ ∟ ∟
x
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、 余弦和正切的值. 解： sin75°=sin( 45°+30°) =sin45°cos30° +cos45°sin30° 2 3 2 1 6+ 2 = ⋅ + ⋅ = ; 2 2 2 2 4 cos75°=cos(45°+30°) =cos45°cos30° –sin45°sin30° 2 1 2 3 6− 2 − ⋅ = = ⋅ ; 2 2 2 2 4
两角和与差的 正弦、余弦函数
在研究三角函数时，我们还常常遇到这样 的问题：已知任意角α、β的三角函数值， 如何求α+β、 α–β或 2α的三角函数值？ 下面我们先引出平面内两点间的距离公式， 并从两角和的余弦公式谈起.
在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), P1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃， 由勾股定理，可得
例2、已知 sinα= 2 ，α∈( π π)， , 3 2 3 3π cosβ= – 4 , β∈(π， ), 2 求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β). sin(α+β) =sinαcosβ +cosαsinβ
2 3 5 7 − 6 + 35 , = (− ) + (− )(− )= 12 3 4 3 4 sin (α+β) − 6 + 35 − 32 5 + 27 7 . ∴ tan (α+β)= = cos (α+β) = 3 5+2 7 17
1+ tan15° 的值. 例3、利用和角公式求 1− tan15° 1+ tan15° tan 45° + tan15° 解： = 1− tan15° 1− tan 45° tan15°
=tan(45°+15°) =tan60°= 3.
例3′、△ABC中， 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 证明： ∵tanA、tanB、tanC 都有意义， ∴tanAtanB≠1. ∴△ABC中没有直角，
sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ, 在上式中用–β代替β，得 （S（α+β））
sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ, 当 cos(α+β)≠0 tan (α+β)= 时，有 （S（α–β）） ,
sinαcosβ+cos αsinβ sin (α+β) αcosβ–sin αsinβ cos (α+β)
tan A+ tan B , ∵ tan(A+B)= 1− tan Atan B
∴ tanA+tanB= tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B) =tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C) = –tanC+tanAtanBtanC， ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
O
–β P4
P1 x
[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β) =[cos(–β)–cosα]2 +[sin(–β)–sinα]2,
cos2(α+β)–2cos(α+β)+1+sin2(α+β) =cos2β–2cosα cosβ+ cos2α + sin2α+2sinα sinβ+ sin2β， 2–2cos(α+β) =2–2cosα cosβ +2sinα sinβ， ∴ cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ， （C（α+β））
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、 余弦和正切的值. sin15° 6 − 2 = 2 − 3; = tan15°= cos15° 6 + 2 或 tan15°=tan(45°–30°) tan 45° − tan 30° = 1 + tan 45° tan 30° 3 1− 3− 3 3 = = = 2 − 3; 3 3+ 3 1 + 1⋅ 3
P1(x1, y1)
.
O
∟
.
∟ ∟
P2(x2, y2)
∟
M2(x2, 0)
x
Q N1(0, y1)
接下来，我们继续考虑如何运用两点间 的距离公式，把两角和的余弦cos(α+β)用 α、β的三角函数来表示的问题. 如图，在直角坐标 平面xOy内作单位圆O, P3 并作出角α、β和–β， 各点坐标： P1(1, 0), P2(cosα, sinα), P3(cos(α+β), sin(α+β)), P4(cos(–β), sin(–β)), P4
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ
（C（α+β）） 这个公式对于任意角α、β都成立.
例如 cos(62° +59°) cos59° sin62° ＝cos62° sin59°; – cos(113° +27°) cos27° sin113° sin27°; – ＝cos113° cos[α +(–β)] ＝cosα cos(–β) – sinα sin(–β)，
