2015届高考数学第一轮基础知识复习教案65.doc

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[试一试]1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量答案：C2．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________.解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.答案：21．向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP OP＝12(OA＋OB)．2．三点共线等价关系A，P，B三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)·OA＋t OB(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔OP＝x OA＋y OB(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．[练一练]1．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BAC ．BC －12BAD ．BC ＋12BA答案：A2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]， 所以⎩⎨⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－131.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤ 解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC ， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a|a|是与a同向的单位向量，a－|a|是与a反向的单位向量．[典例](1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF ＝()A．0B．BEC．AD D．CF(2)(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD ＝AF ，BF ＝CE ，∴BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE ＋EF ＝CF .(2)由题意DE ＝CE ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. [答案] (1)D (2)123解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD . 又∵AD ＝2CE ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA ) ＝23CA ＋43CB . ∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23. 答案：23 [类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，右边＝DA＋DC，不一定相等；②式的等价式是AC－BC＝AD－BD，AC＋CB ＝AD＋CE＝AB成立；③式的等价式是AC－DC＝AB＋BD，AD＝AD成立．[典例]设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．[解](1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.∴AB，BD共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵k a＋b与a＋k b共线，∴存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，即k a＋b＝λa＋λk b.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. [类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值． (2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ， OC ＝c ， OD ＝d ， OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．若a、b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.[试一试]1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝()A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)答案：A2．(2013·石家庄模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值是________．解析：∵u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v，∴8－4x＝3＋6x，∴x＝1 2.答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )·e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －131.(2014·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN ＝(x －5，y －(－6))＝(－3,6)，所以⎩⎨⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，选A.2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1. [类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ， DF ，CD .[解] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b . [类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 AC －AB＝(1－k )AB ＋k4AC ， 且AP ＝m AB ＋211AC ， 所以1－k ＝m ，k 4＝211， 解得k ＝811，m ＝311. 答案：311[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)， 所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.解：设由题意得⎩⎨⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5， 得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3. ∴d ＝(3，－1)或(5,3)． [类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC .∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3. ∴点C 的坐标为(5，－3)．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb ). (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c，若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等．[试一试]1．(2013·广州调研)已知向量a，b都是单位向量，且a·b＝12，则|2a－b|的值为________．解析：|2a－b|＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4－2＋1＝ 3.答案： 32．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(－1，t)，OB＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．解析：AB＝OB－OA＝(3,2－t)，由题意知OB·AB＝0，所以2×3＋2(2－t)＝0，t＝5.答案：51．明确两个结论：(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．[练一练]1．已知向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为()A.π6 B.π3C.2π3 D.5π6解析：选B(a－2b)·a＝|a|2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，故|a|2－2a·b＝|a|2－2|a|2a，b＝0，可得a，b＝1 2，又因为0≤a，b≤π，所以a，b＝π3.2．(2013·福建高考)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A. 5 B．2 5C．5 D．10解析：选C依题意得，AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积为12|AC|·|BD|＝12×5×20＝5.11＝(x2，y2)，若|＝2，|b|＝3，a·b＝－6.则x1＋y1x2＋y2的值为()A.23B．－23C.56D．－56解析：选B由已知得，向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即3(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(0,0)，得x1＝－23x2，y1＝－23y2，故x1＋y1x2＋y2＝－23.2．(2014·温州适应性测试)在△ABC中，若∠A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是()A. 2 B ．2 C. 6D ．6解析：选C ∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC |＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC |min ＝ 6.3．(2013·南昌模拟)已知向量e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________.解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋12×2＝2.答案：24．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________.解析：因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝(AD ＋12AB )·(AD －AB )＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2. 答案：2 [类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos a ，b．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．角度一 平面向量的模1．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60° , E 为CD的中点．若AC ·BE ＝1 , 则AB 的长为________． 解析：由已知得AC ＝AD ＋AB ，BE ＝AD －12AB ，∴AC ·BE ＝AD 2－12AB ·AD ＋AB ·AD －12AB 2＝1＋12AB ·AD －12|AB |2＝1＋12|AB |·|AD |cos 60°－12|AB |2＝1，∴|AB |＝12. 答案：12角度二 平面向量的夹角2．(1)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与a ＋b 的夹角为( )A.π2 B.π3 C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA .∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝|b ||a |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3. (2)(2014·云南第一次检测)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126 B ．－126 C.112D ．－112解析：选B 记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即向量2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126，因此选B.角度三 平面向量的垂直3．(1)(2013·荆州高中毕业班质量检查Ⅰ)已知向量a 与b 的夹角是2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.解析：若a ⊥(2a ＋λb )，则a ·(2a ＋λb )＝0，即2|a |2＋λ·|a ||b |·cos 2π3＝0，∴2＋λ×1×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∴λ＝1.答案：1(2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________． 解析：①当A ＝90°时， ∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23. ②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC ＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113. ③当C ＝90°时，∵AC ⊥BC ，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132. [类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.[典例sin α)，b ＝(cos sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. [类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4， 所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或θ＝3π4.第四节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a＋b i为实数；若b≠0，则a＋b i为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数．(2)复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ―→的模r叫做复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝(a＋b i)(c－d i)(c＋d i)(c－d i)＝ac＋bd c2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a＋b i＝c＋d i列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．3．z2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z＝3i时z2＝－9<0.[试一试]1．(2014·惠州调研)i 是虚数单位，若z (i ＋1)＝i ，则|z |等于( ) A ．1 B.32 C.22D.12解析：选C 由题意知z ＝i i ＋1＝i (1－i )(i ＋1)(1－i )＝1＋i 2，|z |＝22，故选C.2．(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i1．把握复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．2．掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *.[练一练](2013·安徽联考)已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝2i2＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 0121＋i 2＝i 1 006·1＋i 2＝i 2·1＋i 2＝－22－22i.∴其对应点位于第三象限，故选C.1.(2014·湖北八校联考)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由纯虚数的定义知：⎩⎨⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇒x ＝1，选C.2．(2014·安徽“江南十校”联考)若a ＋b i ＝51＋2i(i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A a ＋b i ＝51＋2i＝1－2i ，所以a ＝1，b ＝－2，ab ＝－2. 3．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选D 复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.4．(2013·洛阳统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z －|＝( )A.10 B ．2 C. 2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z －＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z －|＝|－3＋i|＝(－3)2＋12＝10.选A.[类题通法]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋bi (a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[典例] (1)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(2)(2014·郑州质量预测)复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1z 2的共轭复数在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．(2)依题意得，z ＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i 2＝1＋2i ，因此复数z ＝z 1z 2的共轭复数1－2i 在复平面内的对应点的坐标是(1，－2)，该点位于第四象限，选D.[答案] (1)B (2)D [类题通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ 相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔ OZ(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[针对训练]1．(2013·湖北八校联考)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为________．解析：z ＝1＋i ，则z 2z －＝(1＋i )21－i ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB ，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC ＝(3，－4)，OA ＝(－1,2)，OB ＝(1，－1)， 根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴⎩⎨⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1. 答案：1[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2013·长春调研)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－12[解析] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.(2)由题意可知：1－a i 1＋a i ＝(1－a i )2(1＋a i )(1－a i )＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ，因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2，由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，仅有a ＝－2满足，故选B.[答案] (1)A (2)B解：∵z ＝3＋5i ，∴z －＝3－5i∴(1＋z )·z －＝(4＋5i)(3－5i)＝12－20i ＋15i ＋25＝37－5i. [类题通法]复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[针对训练]1．(2013·山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z为()A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i解析：选D由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋52－i＝3＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝3＋2＋i＝5＋i，所以z＝5－i.2．设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则zz＋z2的值为()A．－3i B．－2i C．i D．－i解析：选D依题意得zz＋z2＝1＋i1－i＋(1－i)2＝－i2＋i1－i－2i＝i－2i＝－i.。

【课本导读】1．等差数列的基本概念(1)定义： ．(2)通项公式：a n ＝ .a n ＝a m ＋ .(3)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝a 1＋a n n 2. (4)a 、b 的等差中项为a ＋b 2. 2．等差数列常用性质：等差数列{a n }中(1)若m 1＋m 2＋…＋m k ＝n 1＋n 2＋…＋n k ，则am 1＋am 2＋…＋am k ＝an 1＋an 2＋…＋an k .特别地，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝ .(2)n 为奇数时，S n ＝na 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中， ∴S 奇－S 偶＝ ．(3)n 为偶数时，S 偶－S 奇＝nd 2. (4)若公差为d ，依次k 项和S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等差数列，新公差d ′＝ .(5){S n n }为等差数列．【教材回归】1．(课本习题改编)若一个数列的通项公式是a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)，则下列说法中正确的是( )A ．数列{a n }一定不是等差数列B ．数列{a n }是公差为k 的等差数列C ．数列{a n }是公差为b 的等差数列D ．数列{a n }不一定是等差数列2．设a ≠b ，且数列a ，x 1，x 2，b 和a ，y 1，y 2，y 3，y 4，b 分别是等差数列，则y 4－y 3x 2－x 1＝__________. 3．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________. 4．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( )A ．12B ．16C ．20D ．245．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．2【授人以渔】题型一 等差数列的基本量例1 (1)等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50.求通项a n ； ②若S n ＝242，求n .(2)设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S n n}的前n 项和，求T n .思考题1 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5(2)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．题型二 等差数列的性质例2 (1)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.(2)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176思考题2 (1)等差数列{a n }共有63项，且S 63＝36，求S 奇和S 偶．(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 012的值等于( ) A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 010 D ．－2 013题型三 等差数列的证明例3已知数列{a n }，a n ∈N *，S n ＝18(a n ＋2)2.求证：{a n }是等差数列．思考题3 已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n ＝a n ＋1.求证：{a n }是等差数列，并求a n .．题型四等差数列的综合应用例4 等差数列{a n}中，a1＜0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？思考题4 (1)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )A．6 B．7 C．8 D．9(2)已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，且S17＜0，则当S n最大时n的值为( )A．16 B．8 C．9 D．10【本课总结】1．深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点．2．等差数列中，已知五个元素a1，a n，n，d，S n中的任意三个，便可求出其余两个．3．证明数列{a n}是等差数列的两种基本方法是：(1)利用定义，证明a n－a n－1(n≥2)为常数；(2)利用等差中项，即证明2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)．4．等差数列{a n}中，当a1<0，d>0时，数列{a n}为递增数列，S n有最小值；当a1>0，d<0时，数列{a n}为递减数列，S n有最大值；当d＝0时，{a n}为常数列．【自助餐】1．由下列各表达式给出的数列{a n}：①S n＝a1＋a2＋…＋a n＝n2；②S n＝a1＋a2＋…＋a n＝n2－1；③a2n＋1＝a n·a n＋2；④2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)．其中表示等差数列的是()A．①④B．②④C．①②④D．①③④2．若S n是等差数列{a n}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为()A．12 B．18 C．22 D．443．设{a n}是公差为－2的等差数列，如果a1＋a4＋a7＝50，那么a6＋a9＋a12＝() A．40 B．30 C．20 D．104．在Rt△ABC中，∠C＝90°，它的三边成等差数列，则sin A＋sin B＝________.5．已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－326．(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．67．(2013·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S m ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．8．将等差数列3,8,13,18，…按顺序抄在练习本上，已知每行抄13个数，每页抄21行．求数33 333所在的页和行．。

a b【教学目标】1.让学生理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；2.让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；【教学重点】实数与向量积的定义及几何意义.【新知学习】质点从点O 出发做匀速直线运动，若经过1s 的位移对应的向量用a 表示，那么在同方向上经过3s 的位移所对应的向量可用3a 来表示。

这里，3是何种运算的结果？【新知深化】1．实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a a λλ=；（2）当0λ>时，λ的方向与的方向相同；当0λ<时，λ的方向与的方向相反； 当=时，=λ_____________；当0λ= 时，0=λ．实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘.注意：向量数乘的结果是一个向量。

2．实数与向量的积的运算律：（1）()()a a λμλμ=（结合律）； ①（2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）； ②（3）λλλ+=+)(（第二分配律）． ③【思考】：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律【新知应用】例1、已知向量a 和向量b ，求作向量5.2-a 和向量2a -3b 。

例2、计算：（1）)2(2)(3b a b a +-- （2）)243(3)362(2c b a c b a -+---+例3、如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知,AB a AD b ==，试用a 、b 表示BC 和MN 。

N M D CBA变式、如图，在平行四边形ABCD 中，a AC =，b BD =，试用a ，b 表示向量AB 和AD 。

【新知回顾】实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；实数与向量的积的运算律。

【学习目标】1．理解正弦函数，余弦函数、正切函数的图像．2．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，理解A 、ω、φ的物理意义． 【课本导读】 1．三角函数图像(1)y ＝sin x ，x ∈的图像是 . (2)y ＝cos x ，x ∈的图像是 .(3)y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)的图像是 . 2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(A >0，ω≠0)(1)五点作图法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，五点坐标为 ， (2)变换作图【说明】 前一种方法第一步相位变换是 平移 ，而后一种方法第二步相位变换是向 或 移 个 单位，要严格区分，对y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)同样适用．【教材回归】1．(1)把y ＝sin x 的图像向右平移π3个单位，得______的图像．(2)把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得________的图像．(3)把y ＝sin(x －π3)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得________的图像．(4)把y ＝sin2x 的图像向右平移π6得________的图像．2．要得到函数y ＝cos2x 的图像，只需把函数y ＝sin2x 的图像( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度3．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对 称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3 D.5π64.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π35．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )【授人以渔】题型一：五点作图法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像例1 (1)用“五点法”画出函数y ＝3sin x 2＋cos x2的图像，并指出这个函数的周期与单调区间．(2)用五点法作出y ＝2sin(2x ＋π3)在⎣⎡⎦⎤－π3，2π3内的图像．题型二：三角函数的图像变换例2 (1)如何由y ＝sin x 的图像得y ＝2cos(－12x ＋π4)的图像．(2)如何由y ＝13sin(2x ＋π4)的图像得y ＝sin x 的图像．题型三：已知函数图像求解析式例3 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0)的图像在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M (2,22)，与x 轴在原点右侧的第一个交点为N (6,0)，求这个函数的解析式．思考题3 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域题型四：函数y＝A sin(ωx＋φ)模型的简单应用例4如图，某市准备在道路EF的一侧修一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线是函数y＝A sin(ωx＋2π3)(A>0，ω>0)，x∈时的图像，且图像的最高点为B(－1,2)．赛道的中间部分为长 3 千米的直线跑道CD，且CD∥EF，赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．(1)求ω的值和∠DOE的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值。

1、 函数函数是历年高考命题的重点，集合、函数的定义域、值域、图象、奇偶性、单调性、周期性、最值、反函数以及具体函数的图象及性质在高考试题中屡见不鲜.因此须注意以下几点.（1）集合是近代数学中最基本的概念之一，集合观点渗透于中学数学内容的各个方面，所以我们应弄懂集合的概念，掌握集合元素的性质，熟练地进行集合的交、并、补运算.同时，应准确地理解以集合形式出现的数学语言和符号.（2）函数是中学中最重要的内容之一，主要从定义、图象、性质三方面加以研究.在复习时要全面掌握、透彻理解每一个知识点.为了提高复习质量，我们提出下述几个问题：①掌握图象变换的常用方法（参照南师大第一学期教材图象变换一节）特别注意：凡变换均在自变量x 上进行.②求函数的最值是一种重要的题型.要掌握函数最值的求法，特别注意二次函数在定区间上的最值问题以及有些问题可能隐藏范围，因此范围问题是二次函数最值的关键.另外二次分式函数的最值亦应引起注意，它的基本解法是“∆”法，当然有一部分可以转化为函数)0,()(>+=b a xb ax x f 的形式，而后与基本不等式相联系，或用函数的单调性求解.③学会解简单的函数方程，认真对待指数或对数中含参数问题的求解方法，特别注意对数的真数必须“>0”，注意方程求解时的等价性.2、 三角三角包括两部分内容：三角函数和两角和与差的三角函数.三角函数主要考查三角函数的性质、图象变换、求函数解析式、最小正周期等. 两角和与差的三角函数中公式较多，应在掌握这些公式的内在联系及推导过程的基础上，理解并熟悉这些公式.特别注意以下几个问题：（1）和、差、倍、半角公式都是用单角的三角函数表示复角（和、差、倍、半角）的三角函数.这就决定了这些公式应用的广泛性，即这些公式可以将三角函数统一成单角的三角函数.（2）了解公式中角的取值范围，凡使公式中某个三角函数或某个式子失去意义的角，都不适合公式.例如:βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)(（αβα,,Z k k ∈+≠+,2ππβ）类似还有一些，请自己注意.（3）半角公式中的无理表达式前面的符号取舍，由公式左端的三角函数中角的范围决定，半角正切公式的有理表达式中，无需选择符合，但2αtg 与αsin 的符合是一致的. （4）掌握公式的正用、反用、变形用及在特定条件下用，它可以提高思维起点，缩短思维线路，从而使运算流畅自然.例如:ααcos sin ±=)4sin(2πα±；)4(11απαα±=±tg tg tg ；=±α2sin 12)cos (sin αα± αα2cos 22cos 1=+；αα2sin 22cos 1=-.（5）三角函数式的化简与求值，这是中学数学中重要内容之一，并且与解三角形相集合，有的还与复数的三角形式运算相联系，因此须注意常用方法和技巧：切割化弦、升降幂、和积互化、“1”的互化、辅助元素法等.3、不等式有关不等式的高考试题分布极为广泛，在客观题中主要考查不等式的性质、简单不等式的解法以及均值不等式的初步应用.经常以比较大小、求不等式的解集、求函数的定义域、值域、最值等形式出现.在中档题中，求解不等式与分类讨论相关联；特别是近几年来强调考查逻辑推理能力，增加了一个代数推理题，也和不等式的证明相关联.在压轴题中，无论函数题、还是解析几何题，也往往需要使用不等式的有关知识.在复习中应注意下述几个问题：（1）掌握比较大小的常用方法：作差、作商、平方作差、图象法. （2）熟练掌握用均值不等式求最值，必须注意三个条件：一正；二定；三相等.三者缺一不可.（3）把握解含参数的不等式的注意事项解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①在不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③ 当解集的边界值含参数时，则需对零值的顺序进行讨论.4、 数列本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前n 项和n S ，则其通项为⎩⎨⎧∈≥-==-).,2(),1(11N n n S S n S a n nn 若11S a =满足,121S S a -=则通项公式可写成1--=n n n S S a .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是n 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.②分类讨论思想： 用等比数列求和公式应分为)1(1)1(1≠--=q qq a S n n 及)1(1==q na S n ； 已知n S 求n a 时，也要进行分类；计算n n q lin ∞→时，应分为1=q 时，1lim =∞→n n q ，1<q 时，0lim =∞→n n q ； 求一般数列的和时还应考虑字母的取值或项数的奇偶性.④ 整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解.（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.5、 复数高考试题中有关复数的题目的内容比较分散，有的是考查复数概念的，有的是考查复数运算的，有的是考查复数几何意义的.并且每个题目都有一定的综合性，即使是一个简单的客观题也包括3—4个知识点.从1994年以来复数题主要分布在客观题及中档解答题中.因此，我们应扎扎实实地全面复习基础知识及基本解题方法.在复习过程中应注意下述几个问题：（1）对复数的有关概念的理解要准确，不能似是而非，否则在解题过程中就会发生错误.如：在实数范围内适用的幂的运算法则),,()(+∈∈=R a R n m a a mn n m ，在复数集内不在适用，纯虚数的概念等（2）要掌握复数的模及辐角主值的最值的求法.求复数的模的最值的常用方法有：把复数化成三角形式，转求三角函数的最值问题（三角法）；利用复数的代数形式，转求代数函数的最值问题（代数法）；利用复数的几何意义，转成复平面上的几何问题（图象法）；利用z z z =2或.212121z z z z z z +≤+≤-求有关复数的辐角或辐角主值的最值的主要方法有几何法和三角法.（3）要掌握在复数集中解一元二次方程和二项方程的方法：所有一元二次方程均可用求根公式求方程的根，并且韦达定理也成立，只有实系数一元二次方程可用 判断方程根的情况，复系数一元二次方程只能利用复数相等的条件化为方程组求解.（4）由于复数知识与中学数学中许多内容有着密切联系，这就提供了复数与实数、复数与三角函数、复数与几何的双向转化的基础，因此复习复数内容时是培养我们转化思想的极好机会.6、立体几何（1）“直线和平面”这一章的内容是立体几何的基础.在复习时要反复梳理知识系统，掌握每个概念的本质属性，理解每个判断定理和性质定理的前提条件和结论.（2）在研究线线、线面、面面的位置关系时，主要是研究平行和垂直关系.其研究方法是采取转化的方法.（3）三垂线定理及其逆定理是立体几何中应用非常广泛的定理，只要题设条件中有直线和平面垂直时，就往往需要使用三垂线定理及其逆定理.每年高考试题都要考查这个定理.三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.（4）在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥、棱台的问题转化成平面图形去解决.②利用轴截面将旋转体的有关问题转化成平面图形去解决.③将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.④由于台体是用一个平行于锥体底面的平面截得的几何体，因此有些台体的问题，常常转化成截得这个台体的锥体中去解决.⑤ 利用割补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.⑥ 利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.（5）立体几何解答题一般包括“作、证、求”三个步骤，缺一不可，在证明中使用定理时，定理的条件必须写全，特别是比较明显的“线在面内”，“两直线相交”等必须交代清楚.6、 平面解析几何有关直线方程的高考试题可分成两部分，一部分是独立成题，多出在客观题中，并且每年只有一个题，难度属于基本题.考查内容除了对称问题，求直线的倾斜角及斜率外，还出现求直线方程，两条直线平行或垂直的充要条件等.另一部分是在解析几何综合题出现，例如在圆锥曲线中往往涉及到和直线的位置关系，此种情况下一般都使用直线的斜截式或点斜式.因此，我们在复习时须加强基本概念和基本方法的复习.（1）注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解（2）要学会变形使用两点间距离公式212212)()(y y x x d -+-=，当已知直线l 的斜率k 时，公式变形为1221x x k d -+=或12211y y k d -+=；当已知直线的倾斜角α时，还可以得到αsec 12⋅-=x x d 或αcsc 12⋅-=y y d（3）灵活使用定比分点公式，可以简化运算.（4）会在任何条件下求出直线方程.（5）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键.（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，可以使用数形结合思想，画出方程所表示的曲线，通过图形求解.（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程.（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.（7）参数方程和极坐标的内容，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解.。

第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则． 2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几种函数组成． [试一试]1．(2013·江西高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1]解析：选B 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ≥0，解得0≤x <1，即所求定义域为[0,1)．2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：选B f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．[练一练]1．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7答案：D2．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (x )＝________. 答案：x 2－4x ＋3函数与映射的概念1.下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？ (1)f 1：y ＝xx ；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2；f 2：(3)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．解：(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R|x ≠0}，f 2(x )的定义域为R.(2)同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．(3)同一函数．理由同②. [类题通法]两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f (x )＝2x －1，g (t )＝2t －1，h (m )＝2m －1均表示同一函数．函数的定义域问题角度一 求给定函数解析式的定义域 1．(1)(2013·山东高考)函数f (x )＝ 1－2x ＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)(2013·安徽高考)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分.归纳起来常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域； (2)已知f x的定义域，求f gx的定义域；(3)已知定义域确定参数问题.解析：(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，∴－3<x ≤0.(2)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1＋1x >0，1－x 2≥0，即⎩⎨⎧x ＋1x>0，x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0,1]． 答案：(1)A (2)(0,1]角度二 已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域2．已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域． 解：∵函数f (x )的定义域是[－1,1]，∴－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.故f (log 2x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 角度三 已知定义域确定参数问题 3．(2014·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0] [类题通法]简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．求函数的解析式[典例] (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )； (4)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)． (4)当x ∈(－1,1)时，有 2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代x ，得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)． [类题通法]求函数解析式常用的方法(1)待定系数法；(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)； (3)配凑法；(4)解方程组法． [针对训练]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：法一：设t ＝x ＋1， 则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，即f (x )＝x 2－1(x ≥1)．2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分段函数[典例] (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．(2)(2013·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. [解析] (1)当a >0时，1－a <1,1＋a >1. 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32. 不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34. 综上可知，a 的值为－34. (2)∵π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. [答案] (1)－34 (2)－2 [类题通法]分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． [针对训练]设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．解析：当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2； 当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2，由于x≥1，所以x>2.综上可得x<－2或x>2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)第二节函数的单调性与最值1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1<x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2)．2．单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．函数的最值1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max＝________.解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8.答案：[1,4] 81．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．(2013·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C2．函数f (x )＝1x ＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15 110求函数的单调区间1.函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析：要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1>0，即x >－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x >－12时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥1，2x －1， x <1.作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1.故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．[类题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．函数单调性的判断[典例] 试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．[解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2. 因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：f ′(x )＝1－k x 2.令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．[类题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．[针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)．故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．函数单调性的应用角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ， 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时，f (x )<0， 而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎨⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 .[类题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2.周期性 (1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，f (－x 0)＝f (x 0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．[试一试]1．(2013·广东高考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 由奇函数的概念可知，y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数． 2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：2．周期性常用的结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0)[练一练]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________.解析：∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数． 则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2. 答案：2函数奇偶性的判断1.判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x ； (4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[类题通法]判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质，具体如下：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．函数奇偶性的应用[典例] (1)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.(2)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．[解析] (1)∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，∴当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. [答案] －1[解] (2)∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.② 综合①②可知，－1≤m <1.解：改变．∵f (x )为奇函数且在[－2,0]上递增， ∴f (x )在[－2,2]上递增． ∴m 2－1>1－m . 即m >1或m <－2. 由例(2)①知1<m ≤ 3. 故m 的取值范围为(1，3]．[类题通法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性．[针对训练]1．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：选A 由题意知x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数且当x ∈R 时，f (x )的图像关于直线x ＝0对称，所以f (1)>f (－2)>f (3)，故选A.2．(1)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．(2)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)∵函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，∴设g (x )＝e x ＋a e －x ，x ∈R ，由题意知，g (x )为奇函数，∴g (0)＝0， 则1＋a ＝0，即a ＝－1.(2)∵y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数， ∴函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是增函数． ∴当a >0时，由f (a )≥f (2)可得a ≥2， 当a <0时，由f (a )≥f (2)＝f (－2)，可得a ≤－2. 所以实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 答案：(1)－1 (2)(－∞，－2]∪[2，＋∞)函数的周期性及其应用[典例] 已知函数f (x )对任意的实数满足：f (x ＋3)＝－1f (x )，且当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)＝________.[解析] ∵对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，∴f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3) ＝－1f (x ＋3)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴f (x )是以6为周期的周期函数，∵当－3≤x <－1时， f (x )＝－(x ＋2)2， 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋2－1＋0＝2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝335＋2＝337. [答案] 337 [类题通法]函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．[针对训练]设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． 解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. 又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．第四节函数的图像1．利用描点法作函数图像其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．2．利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换：y ＝f (x )――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换：y ＝f (x )10111ωωωω<<>−−−−−−−−→，伸原的倍，短原的长为来缩为来y ＝f (ωx )；y ＝f (x )――――――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A 倍y ＝Af (x )．(3)对称变换：y ＝f (x )―――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )―――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|.1．在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图像对应的解析式，这样才能避免出错．2．明确一个函数的图像关于y 轴对称与两个函数的图像关于y 轴对称的不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．[试一试](2014·安徽“江南十校”联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图像大致是( )解析：选B 首先判断定义域为R.又f (－x )＝f (x )．所以函数y ＝log 2(|x |＋1)为偶函数，当x >0时，y ＝log 2(x ＋1)．故选B.1．数形结合思想借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图像，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数、求不等式的解集等．2．分类讨论思想画函数图像时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图像．[练一练]若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意a ＝|x |＋x令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，图像如图所示，故要使a＝|x |＋x 只有一解则a >0.答案：(0，＋∞)作函数的图像分别画出下列函数的图像： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.图像如图1.(2)将y ＝2x 的图像向左平移2个单位．图像如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0.图像如图3.[类题通法]画函数图像的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．识图与辨图[典例] (1)(2013·福建高考)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )(2)(2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( )[解析] (1)f (x )＝ln(x 2＋1)，x ∈R ， 当x ＝0时，f (0)＝ln 1＝0， 即f (x )过点(0,0)，排除B ，D.∵f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，其图像关于y 轴对称，故选A. (2)法一：由y ＝f (x )的图像知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (0≤x ≤1)，1(1<x ≤2).当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(0≤x ≤1)，2－x (1<x ≤2)，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(0≤x ≤1)，x －2(1<x ≤2).法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1； 当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各选项，可知应选B. [答案] (1)A (2)B [类题通法]识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．[针对训练]1．(2014·佛山一模)函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (x ＋1)的图像大致是( )解析：选B 作出f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1的图像，如图．再把f (x )的图像向左平移一个单位， 可得到y ＝f (x ＋1)的图像．故选B.2.如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)的值等于________．解析：∵由图像知f (3)＝1，∴1f (3)＝1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)＝f (1)＝2. 答案：2函数图像的应用角度一 确定方程根的个数1．(2014·日照一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．解析：方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图像，由图像知零点的个数为5.答案：5角度二 求参数的取值范围2．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]解析：选B ∵a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1，∴函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2.结合图像可知，当c ∈(－2，－1]∪(1,2]时，函数f (x )与y ＝c 的图像有两个公共点，∴c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．角度三 求不等式的解集3．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________．解析：在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上y ＝cos x >0， 在⎝⎛⎭⎪⎫π2，4上y ＝cos x <0.由f (x )的图像知在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2上f (x )cos x <0，因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数， 所以y ＝f (x )cos x 为偶函数，所以f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 [类题通法]1．研究函数性质时一般要借助于函数图像，体现了数形结合思想；2．有些不等式问题常转化为两函数图像的上、下关系来解决； 3．方程解的问题常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来解决．第五节二次函数与幂函数1．五种常见幂函数的图像与性质2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．二次函数的图像和性质1．研究函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的性质，易忽视a 的取值情况而盲目认为f (x )为二次函数．2．形如y ＝x α(α∈R)才是幂函数，如y ＝3x 12不是幂函数． [试一试]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2 D ．f (x )＝x 2答案：D2．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.1．函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图像关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．2．与二次函数有关的不等式恒成立两个条件(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.3．两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．[练一练]如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图像关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6. 则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5.答案：51.幂函数y ＝f (x )的图像过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图像是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.2.图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的图像．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为________．答案：2，12，－12，－23．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵y ＝x 25(x >0)为增函数，∴a >c .∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R)为减函数，∴c >b ，∴a >c >b . 答案：a >c >b [类题通法]1．幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8. 解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [类题通法]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：[针对训练]已知y ＝f (x )为二次函数，且f (0)＝－5，f (－1)＝－4，f (2)＝－5，求此二次函数的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为f (0)＝－5，f (－1)＝－4，f (2)＝－5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－5，a －b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝－5，解得a ＝13，b ＝－23，c ＝－5， 故f (x )＝13x 2－23x －5.二次函数的图像与性质角度一 轴定区间定求最值1．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6] (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1， 又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．角度二 轴动区间定求最值2．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， ∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0， ∴a ＝1±52(舍)．(3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 角度三 轴定区间动求最值3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，求g (a )．解：∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内， ∴应进行讨论．当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a ≤1，－1，a >1.[类题通法]影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法： (1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关．(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得最值．当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论．第六节指数与指数函数1．根式的性质。

【学习目标】了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线准线方程的方法，能解决与准线相关的简单的圆锥曲线问题。

【学习重点】圆锥曲线的统一定义的形成,根据标准方程求圆锥曲线准线方程，能解决与准线相关的简单的圆锥曲线问题。

【新知链接1、椭圆、双曲线定义相似，抛物线的定义与椭圆、双曲线的定义区别较大，这是为什么呢？2、离心率：椭圆0＜e ＜1 ，双曲线e ＞1, 抛物线有没有离心率？什么曲线的离心率等于1？【新知学习】探究1：已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线ca x l 2:=的距离的比是常数 c a (a>c>0),求P 的轨迹.探究2：已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线ca x l 2:= 的距离的比是常数 c a (c>a>0),求P 的轨迹.【新知深化】圆锥曲线的统一定义:平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是(2)当 e >1 时, 点的轨迹是(3)当 e = 1 时, 点的轨迹是其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率, 定点F 叫做圆锥曲线的焦点,定直线l 就是该圆锥曲线的准线.【新知应用】例1.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:1925)1(22=+y x 164)2(22=-x y y x 16)3(2-=例2.已知双曲线1366422=-y x 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离. 例3.已知点P 到定点F(1,0)的距离与它到定直线5:=x l 的距离的比是常数55 ，求P 的轨迹方程.变式1:已知点P 到定点F(1,0)的距离与它到定直线5:=x l 的距离的比是常数 57 ， P 的轨迹方程为 。

变式2：到点A （1，1）和到直线x+2y-3=0距离相等的点的轨迹方程为 。

例4.已知(1,1)A ，1F ，2F 是椭圆225945x y +=的左右焦点，M 是椭圆上的一点。

江苏省泰兴市第三中学2015届高考数学一轮复习 直线与圆复习教案教学重点、难点：直线与圆一、 基础训练：1、直线l 过点M （２，１）其倾斜角是直线40x y -+=倾斜角的2倍，则直线l 的方程是_________________2、已知三点(2,3),(3,),(4,)a b 在一条直线上，则点(,)a b 所在的直线方程是________3、.过点(1, 2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程：________________________4、已知A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)是圆222x y +=两点，若12121x x y y +=-则AOB ∠＝______5、过圆224x y +=外的一点P （４，２）作圆的两条切线，切点为A, B 则△PAB 的外接圆方程:______________6、 两圆相交于两点(1, 3)和(m ,-1)，若两圆圆心在直线0x y c -+=上则m c +＝________7、曲线1y =与直线(2)4y k x =-+有两个不同的交点，则k 的取值范围_____8、P(x , y )是圆22(1)1x y +-=上的任意一点，若不等式0x y c ++≥恒成立，则实数c 的取值范围______________二、例题讲解：例1. 过点M(2, 4)作两条直线垂直的直线分别交,x y 的正半轴于A, B 若四边形OAMB 的面积被直线AB平分，求AB 的方程。

例2. 已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA, PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，切点为A 、B ，Ｃ为圆心，求四边形PACB 的面积的最小值。

例3：已知圆22:(2)1M x y +-=，直线l 的方程20x y -=，点P 在直线l 上，过P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B（1）若060APB ∠=，求点P 的坐标；（2）过点P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，若点P 的纵坐标为1，且CD =CD 的方程；（3）求证：当点P 在直线l 上运动时，经过AB 两点的直线恒过定点例4：已知圆229:9,(5,0),(,0)5C x y A B +=--，直线:20l x y -=（1）求与圆C 相切，且与直线l 垂直的方程；（2）求证：对圆C 上任意一点P ，PB PA为一常数，并求出这一常数 数学（理）即时反馈作业编号：017 直线与圆复习1、过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是____________2、已知圆C ：)0(4)2()(22>=-+-a y a x 及直线03=+-y x l ：，当直线l 被C 截的弦长为32时，则a=________3、过点)3,2(P 向1)1()1(22=-+-y x 引切线，设T 为切点，则切线长|PT|=__________4、一条光线从点)3,2(P 射出，经x 轴反射，与圆1)2()3(22=-++y x 相切，则反射光线所在直线的方程是 __________.5、设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上的点，则点M 到直线3420x y +-=的最短距离是________________6、已知圆22(2)9x y -+=和直线y kx =交于A,B 两点,O 是坐标原点, 若2OA OB O +=,则||AB =7、圆222(3)(5)x y r -++=上有且仅有2个不同的点到直线4320x y --=的距离为1则半径r 的取值范围是____________10、已知圆与两直线350,330x y x y +-=+-=都相切，且圆心在直线210x y ++=上，求这个圆的方程。

选修4－1 几何证明选讲第2课时 圆的进一步认识(对应学生用书(理)182～185页)1. 如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，求PC 和CD 的长．解：由切割线定理得PC 2＝PB·PA ＝12，∴ PC ＝23，连结OC ，则OC ＝12OP ，∴ ∠P ＝30°， ∴ CD ＝12PC ＝ 3.2. 如图，AC 为圆O 的直径，弦BD ⊥AC 于点P ，PC ＝2，PA ＝8，求tan ∠ACD 的值．解：由相交弦定理和垂径定理得BP 2＝PC·PA ＝16，BP ＝4.∵ ∠ACD ＝∠ABP ，∴ tan ∠ACD ＝tan ∠ABP ＝AP BP ＝84＝2.3. 如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，求圆O 的面积．解：(解法1)连结OA 、OB ，则∠AOB ＝90°. ∵ AB ＝4，OA ＝OB ，∴ OA ＝22，则S 圆＝π×(22)2＝8π.(解法2)2R ＝4sin45°＝42 R ＝22，则S 圆＝π×(22)2＝8π.4. 如图，点B 在圆O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交圆O 于N ，∠BNA ＝45°，若圆O 的半径为2 3，OA ＝3OM ，求MN 的长．解：∵ ∠BNA ＝45°，∴ ∠BOA ＝90°.∵ OM ＝2，BO ＝23，∴ BM ＝4.∵ BM·MN ＝CM·MA ＝(23＋2)(23－2)＝8，∴ MN ＝2.5. 如图，已知P 是圆O 外一点，PD 为圆O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若PF ＝12，PD ＝4 3，求圆O 的半径长和∠EFD 的大小．解：由切割线定理，得PD 2＝PE·PF PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4EF ＝8，OD ＝4.∵ OD ⊥PD ，OD ＝12PO ，∴ ∠P ＝30°，∠POD ＝60°，∴∠PDE ＝∠EFD ＝30°.1. 圆周角定理(1) 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半．(2) 推论1：同弧(或等弧)上的圆周角相等．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．(3) 半圆(或直径)上的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弦为直径．2. 圆的切线(1) 圆的切线的性质与判定①切线的定义：当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆有且只有1个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．②切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．③切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．④切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．(2) 弦切角①弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角称为弦切角．②弦切角定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．③推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．3. 相交弦定理相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两段的积相等．4. 切割线定理(1) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等．(2) 切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项．5. 圆内接四边形(1) 圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补．(2) 圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆．[备课札记]题型1探求角的关系例1如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DFA.证明：连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A、D、E、F四点共圆．所以∠DEA ＝∠DFA.备选变式（教师专享）(2011·南通三模)如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为圆O上一点，AE＝AC，求证：∠PDE＝∠POC.证明：因为AE＝AC，AB为直径，故∠OAC＝∠OCA＝∠OAE.所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA＝∠OAC＋∠OAE＝∠EAC.又∠EAC ＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC.题型2求线段长度例2如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G.(1) 求证：△DEF∽△EFA；(2) 如果FG＝1，求EF的长．(1) 证明：因为EF∥CB，所以∠BCE＝∠FED.又∠BAD＝∠BCD，所以∠BAD＝∠FED.又∠EFD＝∠EFD，所以△DEF∽△EFA.(2) 解：由(1)得EFFA＝FDEF，即EF2＝FA·FD.因为FG是切线，所以FG2＝FD·FA，所以EF＝FG＝1.变式训练如图，圆O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC 到点D，使CD＝AC，连结AD交圆O于点E，连结BE与AC交于点F.(1) 判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；(2) 若AE＝6，BE＝8，求EF的长．解：(1) BE平分∠ABC.∵CD＝AC，∴∠D＝∠CAD.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠EBC＝∠CAD，∴∠EBC＝∠D＝∠CAD.∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ACB＝∠D＋∠CAD，∴∠ABE＝∠EBC，即BE平分∠ABC.(2) 由(1)知∠CAD＝∠EBC＝∠ABE.∵∠AFE＝∠ABE，∴△AEF∽△BEA.∴AEBE＝EFAE.∵AE＝6，BE＝8，∴ EF ＝AE 2BE ＝368＝92. 题型3 证明线段相等例3 如图，在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N.若AC ＝12AB ，求证：BN ＝2AM.证明： 在△ABC 中，因为CM 是∠ACB 的角平分线，所以ACBC ＝AM BM .又已知AC ＝12AB ，所以AB BC ＝2AMBM .① 又BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线， 所以BM·BA ＝BN·BC ，即BA BC ＝BNBM .② 由①②可知，2AM BM ＝BNBM ，所以BN ＝2AM. 备选变式（教师专享）如图，圆O 的直径AB ＝25，C 是圆O 外一点，AC 交圆O 于点E ，BC 交圆O 于点D ，已知AC ＝AB ，BC ＝4，求△ADE 的周长．解：∵ AB 是圆O 的直径，∴ AD ⊥BC.又AC ＝AB ，∴ AD 是△ABC 的中线． 又BC ＝4，∴ BD ＝DC ＝2， ∴ AD ＝AB 2－BD 2＝4. 由CE·CA ＝CD·CB ，得CE ＝455. ∴ AE ＝25－455＝65 5.由∠DEC ＝∠B ＝∠C ，所以DE ＝DC ＝2. 则△ADE 的周长为6＋655. 题型4 证明线段成比例例4 如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于D ，过点D 作圆O 的切线交BC 于E ，AE 交圆O 于点F.求证：(1) E 是BC 的中点； (2) AD·AC ＝AE·AF.证明：(1) 连结BD ，因为AB 为圆O 的直径，所以BD ⊥AC.又∠B ＝90°，所以CB 切圆O 于点B 且ED 切圆O 于点D ，因此EB ＝ED ，所以∠EBD ＝∠EDB ，∠CDE ＋∠EDB ＝90°＝∠EBD ＋∠C ，所以∠CDE ＝∠C ，得ED ＝EC ，因此EB ＝EC ，即E 是BC 的中点．(2) 连结BF ，显然BF 是Rt △ABE 斜边上的高，可得△ABE ∽△AFB ，于是有AB AF ＝AEAB ，即AB 2＝AE·AF ，同理可得AB 2＝AD·AC ， 所以AD·AC ＝AE·AF. 备选变式（教师专享）如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 交圆O 于点B 、C ，∠APC 的角平分线分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，求证：(1) AD ＝AE ； (2) AD 2＝DB·EC.证明：(1) ∠AED ＝∠EPC ＋∠C ，∠ADE ＝∠APD ＋∠PAB.因为PE 是∠APC 的角平分线，所以∠EPC ＝∠APD.又PA 是圆O 的切线，故∠C ＝∠PAB.所以∠AED ＝∠ADE.所以AD ＝AE.(2)⎭⎪⎬⎪⎫∠PCE ＝∠PAD ，∠CPE ＝∠APDÞ△PCE ∽△PAD ÞECAD ＝PC PA .⎭⎪⎬⎪⎫∠PEA ＝PDB ，∠APE ＝∠BPD Þ△PAE ∽△PBD ÞAE DB ＝PA PB .又PA 是切线，PBC 是割线ÞPA 2＝PB·PC PA PB ＝PC PA .故EC AD ＝AE DB .又AD ＝AE ，所以AD 2＝DB·EC.1. (2013·广东)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝6，ED ＝2，求BC 的值．解：依题意易知△ABC ∽△CDE ，所以AB CD ＝BC DE ，又BC ＝CD ，所以BC 2＝AB·DE ＝12，从而BC ＝2 3.2. (2013·重庆)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，求DE 的长．解：延长BA 交切线CD 于M.因为∠C ＝90°，所以AB 为直径，所以半径为10.连结OC ，则OC ⊥CD ，且OC ∥BD.因为∠OAC ＝60°，所以∠AOC ＝60°，∠OBE ＝60°，即BE ＝OB ＝10且∠M ＝30°.所以OM ＝2OC ＝20，所以AM ＝10.所以BD ＝12(AM ＋AB)＝10＋202＝15，即DE ＝BD －BE ＝15－10＝5.3. (2013·江苏)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC 经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD，∵AB、BC分别与圆O相切于点D、C，∴∠ADO＝∠ACB＝90°.∵∠A＝∠A，∴Rt△ADO∽Rt△ACB.∴BCOD＝ACAD.∵BC＝2OC＝2OD，∴AC＝2AD.4. (2013·新课标Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C 在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.(1) 证明：DB＝DC；(2) 设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF 外接圆的半径．(1) 证明：连结DE，交BC与点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.∵DB⊥BE，∴DE是直径，∠DCE＝90°.由勾股定理可得DB＝DC.(2) 解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，BD＝DC，故DG是BC的中垂线，∴BG＝3 2.设DE中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°，∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，∴CF⊥BF，∴Rt△BCF的外接圆半径等于3 2.1. 如图，圆O 与圆O′内切于点T ，点P 为外圆O 上任意一点，PM 与内圆O′切于点M.求证：PM ∶PT 为定值．证明：设外圆半径为R ，内圆半径为r ，作两圆的公切线TQ. 设PT 交内圆于C ，连结OP ，O ′C ，则PM 2＝PC·PT ，所以PM 2PT 2＝PC·PT PT 2＝PC PT .由弦切角定理知∠POT ＝2∠PTQ ，∠CO ′T ＝2∠PTQ ，则∠POT ＝∠CO′T ，所以PO ∥CO′，所以PC PT ＝OO′OT ＝R －r R ，即PM PT ＝R －rR ，为定值．2. 如图， 弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P.已知PD ＝2DA ＝2, 求PE.解：∵ BC//PE ∴ ∠BCD ＝∠PED.且在圆中∠BCD ＝∠BAD∠PED ＝∠BAD. △EPD ∽△APE PE PA ＝PD PE PE 2＝PA·PD ＝3·2＝6.所以PE ＝ 6.3. 如图，正三角形ABC 外接圆的半径为1，点M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，延长MN 与△ABC 的外接圆交于点P ，求线段NP 的长．解：设正三角形ABC 的边长为x ，由正弦定理，得x sin60°＝2，所以x ＝ 3.延长PN 交圆于Q ，则NA·NC ＝NP·NQ.设NP ＝t ，则t·⎝⎛⎭⎪⎫t ＋32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.所以t ＝15－34，即NP ＝15－34.4. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BE 是角平分线，DE ⊥BE 交AB 于D ，圆O 是△BDE 的外接圆．(1) 求证：AC 是圆O 的切线；(2) 如果AD ＝6，AE ＝62，求BC 的长．(1) 证明：连OE ，∵BE ⊥DE ，∴O 点为BD 的中点．∵OB ＝OE ，∴∠OEB ＝∠OBE.∵∠OEC ＝∠OEB ＋∠CEB ＝∠OBE ＋∠CEB ＝∠CEB ＋∠CBE ＝90°，即OE ⊥AC.又E 是AC 与圆O 的公共点，∴AC 是圆O 的切线．(2) 解：∵AE 是圆的切线，∴∠AED ＝∠ABE.又∠A 共用，∴△ADE ∽△AEB ，∴AD AE ＝AE AB ，即662＝62AB，解得AB ＝12， ∴圆O 的半径为3.又∵OE∥BC，∴OEBC＝AOAB，即3BC＝912，解得BC＝4.几个重要定理的符号语言及图形(1) 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等．符号语言：∵在圆O中，弦AB、CD相交于点P，∴PA·PB＝PC·PD.(图①)图形语言：推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．符号语言：∵在圆O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∴CE2＝AE·BE.(图②)(2) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等．符号语言：∵在圆O中，PB、PE是割线，∴PC·PB＝PD·PE.(图③)(3) 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．符号语言：∵在圆O中，PA是切线，PB是割线，∴PA2＝PC·PB.(图③)请使用课时训练（B）第2课时（见活页）.[备课札记]。

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理和余弦定理(对应学生用书(文)、(理)53～54页)1. (必修5P10习题1.1第1(2)题改编)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝________．答案：23解析：在△ABC中，ACsinB＝BCsinA，∴AC＝BC·sinBsinA＝32×2232＝2 3.2. (必修5P24复习题第1(2)题改编)在△ABC中，a＝3，b＝1，c ＝2，则A＝________．答案：60°解析：由余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝60°.3. (必修5P 17习题1.2第6题改编)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．答案：等腰解析：因为a ＝2bcosC ，所以由余弦定理得a ＝2b·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，故此三角形一定是等腰三角形．4. (必修5P 17习题6改编)已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C ＝________．答案：60°解析：cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∵ 0°＜C ＜180°，∴ ∠C ＝60°.5. (必修5P 11习题1.1第6(1)题改编)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，则△ABC 的面积为________．答案：43解析：∵ cosC ＝13，∴ sinC ＝223， ∴ S △ABC ＝12absinC ＝12×32×23×223＝4 3.1. 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)．2. 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 或cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab .3. 三角形中的常见结论 (1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc4R ； ③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)；④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)．[备课札记]题型1正弦定理解三角形例1在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A、C和边c.解：由正弦定理，得asinA＝bsinB，即3sinA＝2sin45°，∴sinA＝3 2.∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinC sinB＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝6－22.变式训练在△ABC中，(1) 若a＝4，B＝30°，C＝105°，则b＝________．(2) 若b＝3，c＝2，C＝45°，则a＝________．(3) 若AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，则∠A ＝________． 答案：(1) 22 (2) 无解 (3) 45°或135°解析：(1) 已知两角和一边只有一解，由∠B ＝30°，∠C ＝105°，得∠A ＝45°.由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝4sin30°sin45°＝2 2.(2) 由正弦定理得sinB ＝bsinC C ＝32>1，∴ 无解． (3) 由正弦定理BC sinA ＝AB sinC ，得6sinA ＝312，∴ sinA ＝22.∵ BC>AB ，∴ A>C ，∴ ∠A ＝45°或135°. 题型2 余弦定理解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosBcosC ＝－b 2a ＋c.(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解：(1) 由余弦定理知：cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cosB cosC ＝－b 2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ，整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac.∴ cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵ B 为三角形的内角，∴ B ＝23π.(2) 将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accosB ，∴ 13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ ac ＝3. ∴ S △ABC ＝12acsinB ＝334. 备选变式（教师专享）(2014·南京期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4. 因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA.当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233. 当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433. 所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.题型3 三角形形状的判定例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sin(A ＋B)，判断三角形的形状．解：已知等式可化为a 2[sin(A －B)－sin(A ＋B)]＝ b 2[－sin(A ＋B)－sin(A －B)]， ∴ 2a 2cosAsinB ＝2b 2cosBsinA.由正弦定理得sin 2AcosAsinB ＝sin 2BcosBsinA ，∴ sinAsinB(sinAcosA －sinBcosB)＝0，∴ sin2A ＝sin2B.由0<2A<2π，0<2B<2π得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 为等腰或直角三角形．备选变式（教师专享）已知△ABC 中，b·cosC c ·cosB ＝1＋cos2C1＋cos2B ，试判断△ABC 的形状．解：由已知，得1＋cos2C 1＋cos2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b·cosCc ·cosB ，∴ cosC cosB ＝bc .由正弦定理知b c ＝sinB sinC ，∴ sinB sinC ＝cosCcosB .∴ sinCcosC ＝sinBcosB ，即sin2C ＝sin2B ，因为∠B 、∠C 均为△ABC 的内角．所以2∠C ＝2∠B 或2∠C ＋2∠B ＝180°，所以∠B ＝∠C 或∠B ＋∠C ＝90°，故三角形为等腰或直角三角形．题型4 正弦定理、余弦定理的综合应用例4 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且bcosB 是acosC 、ccosA 的等差中项．(1) 求B 的大小；(2) 若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由题意，得acosC ＋ccosA ＝2bcosB.由正弦定理，得sinAcosC ＋cosAsinC ＝2sinBcosB ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosB. ∵ A ＋C ＝π－B ，0＜B ＜π， ∴ sin(A ＋C)＝sinB ≠0. ∴ cosB ＝12，∴ B ＝π3. (2) 由B ＝π3，得a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 即（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝12，∴ ac ＝2. ∴ S △ABC ＝12acsinB ＝32. 变式训练已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，acosC ＋3asinC －b －c ＝0.(1) 求A ；(2) 若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b 、c.解：(1) 由acosC ＋3asinC －b －c ＝0及正弦定理得sinAcosC ＋3sinAsinC －sinB －sinC ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sinAsinC －cosAsinC －sinC ＝0.由于sinC ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A<π，故A ＝π3.(2) △ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.1. (2013·安徽)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若b ＋c ＝2a ，3sinA ＝5sinB ，则角C ＝________．答案：2π3解析：根据正弦定理，3sinA ＝5sinB 可化为3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，解得b ＝3a 5，c ＝7a5.令a ＝5t(t>0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，在△ABC 中，由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25t 2＋9t 2－49t 22×5t ×3t＝－12，所以C ＝2π3.2. (2013·贵州)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________．答案：3＋1解析：∵ b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，∴ 由正弦定理得b sin π6＝csin π4，解得c ＝2 2.又A ＝π－(B ＋C)＝7π12，S △ABC ＝12bcsinA ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.3. (2013·盐城期末)在△ABC 中，若9cos2A －4cos2B ＝5，则BCAC ＝________．答案：23解析：由9cos2A －4cos2B ＝5，得9(1－2sin 2A)＝5＋4(1－2sin 2B)，得9sin 2A ＝4sin 2B ，即3sinA ＝2sinB.由正弦定理得BC AC ＝sinA sinB ＝23.4. 已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为________．答案：4＋42解析：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos45°，即16＝c 2＋a 2－2ac·cos45°，则有2ac －2ac·cos45°≤16，即ac ≤81－cos45°＝16（2＋2）2＝8(2＋2)． S max ＝12acsin45°＝24×8(2＋2)＝4＋4 2.1. (2014·南通一模)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且c ＝－3bcosA ，tanC ＝34.(1) 求tanB 的值；(2) 若c ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由正弦定理，得sinC ＝－3sinBcosA ，即sin(A ＋B)＝－3sinBcosA.所以sinAcosB ＋cosAsinB ＝－3sinBcosA.从而sinAcosB ＝－4sinBcosA.因为cosAcosB ≠0，所以tanAtanB ＝－4.又tanC ＝－tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB tanAtanB －1，由(1)知，3tanB 4tan 2B ＋1＝34，解得tanB ＝12.(2) 由(1)，得sinA ＝25，sinB ＝15，sinC ＝35.由正弦定理，得a ＝csinAsinC ＝2×2535＝453.所以△ABC 的面积为12acsinB ＝12×453×2×15＝43.2. (2014·苏州期末)在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且acosC ＋12c ＝b.(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝15，b ＝4，求边c 的大小．解：(1) 用正弦定理，由acosC ＋12c ＝b ， 得sinAcosC ＋12sinC ＝sinB.∵ sinB ＝sin (A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ， ∴ 12sinC ＝cosAsinC. ∵ sinC ≠0，∴ cosA ＝12. ∵ 0<A<π，∴ A ＝π3.(2) 用余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA. ∵ a ＝15，b ＝4， ∴ 15＝16＋c 2－2×4×c ×12. 即c 2－4c ＋1＝0. 则c ＝2±3.3. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c. (1) 若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a 、b 的值； (2) 若sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，试判断△ABC 的形状． 解：(1) ∵ c ＝2，C ＝π3，∴ 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，得a 2＋b 2－ab ＝4.又△ABC 的面积为3，∴ 12absinC ＝3，即ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2) 由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，得sin(A ＋B)＋sin(B －A)＝2sinAcosA ，即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴ cosA ·(sinA －sinB)＝0，∴ cosA ＝0或sinA －sinB ＝0.当cosA ＝0时，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴ △ABC 为等腰三角形或直角三角形．4. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.求：(1) △ABC 的周长； (2) cos(A －C)的值．解：(1) 因为c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4. 所以c ＝2.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2) 因为cosC ＝14，所以sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.所以sinA ＝asinC c ＝1542＝158.因为a ＜c ，所以A ＜C ，故A 为锐角， 所以cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＝78. 所以cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.1. (1) 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2) 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．2. (1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键．(2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．3. 在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解．请使用课时训练（B）第7课时（见活页）.[备课札记]。