高中数学解题基本方——配方法

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）撰稿：张晓新 审稿：杜少波【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x2-7x-1=0．【思路点拨】此题可以先将常数项右移，方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，使方程左边配成完全平方式，右边是非负数，再用直接开平方法就能解答此题．【答案与解析】将方程变形为x2-7x=1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根为x=+或x=-．【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．两边都加4，得x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-．于是，原方程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4】3．用配方法说明： 代数式 x 2+8x+17的值总大于0. 【答案与解析】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x 取何实数，代数式 x 2+8x+17的值总大于0.【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0， ∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值． 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式． 【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223124a b⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴32a-=且14b-=，∴32a=，14b=．∴3131 4422422a b-=-=-=-．【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a．b的值．。

解一元二次方程的三种基本方法解一元二次方程的三种基本方法一元二次方程是数学中的基础概念之一，它的解法有很多种。

在这里，我们将介绍三种基本的解法。

一、配方法（1）将方程写成“完全平方”的形式。

例如，对于方程x²+6x–16=0，将右边的常数项移到左边，变为x²+6x=16，然后再将6x一分为二，得到x²+3x+3x=16，继续变形，即可让其成为完全平方。

（2）设定新的变量，使其成为一个完全平方。

例如，对于x²+6x–16=0，令y=x+3，代入原方程，得到y²–9+6y–16=0，简化后得到y²+6y–25=0，再将其变形成完全平方，可得(y+3)²=34，解得y= ± √34–3，代入y=x+3得到x=-3±√34。

二、公式法在公式法中，我们将方程ax²+bx+c=0写成：x=[–b±√(b²–4ac)]/2a，即可求得方程的两个根。

例如，对于方程x²+6x–16=0，可将a=1，b=6，c=–16带入公式中，计算得到x=-3±√34。

三、图像法对于一元二次方程y=ax²+b x+c，我们可以将其用一条二次函数的图像表示出来，相交坐标轴的两个点就是其解。

例如，对于方程x²+6x–16=0，我们可以作出相应的二次函数的图像，其中一条相交坐标轴的边界为x=-4和x=–2，因此可以解得方程的两个根为x=-4和x=-2。

总结以上三种方法都可以用来解一元二次方程。

配方法被广泛地应用于题目的解答中，因为它在操作方式上比较简单，尤其是在遇到较为复杂的方程式时有很好的实际应用。

公式法是一种少有的利用抽象公式的方法，尤其是在解有较大常数的一元二次方程时，可以简化计算。

图像法则不太常用，但在一些情况下，例如探究关于两个变量的函数的等高线时，它是非常实用的。

高中数学常用解题方法配方法代换法与完全平方公式高中数学常用解题方法：配方法代换法与完全平方公式数学作为一门学科，常常需要我们运用不同的解题方法来解决各种问题。

在高中数学中，有一些常用的解题方法，其中包括配方法代换法与完全平方公式。

本文将介绍这两种常用的解题方法，并通过例题来展示它们的应用。

一、配方法代换法配方法代换法主要用于解决一些包含有代数表达式的方程或方程组。

其基本思想是将原方程通过代换的方式转化为一个易于解决的形式。

具体操作如下：1. 对于形如ax^2 + bx + c = 0（其中a≠0）的二次方程，可以采用配方法代换法。

我们可以通过配方将其转化为一个完全平方形式，进而解出方程。

例如，考虑方程2x^2 + 3x - 5 = 0，我们可以通过配方将其转化为(x + m)^2 + n = 0的形式。

具体步骤如下：(1) 将二次项系数a分解为两个因数的乘积：2 = m^2；(2) 将常数项c分解为两个因数的乘积：-5 = 2mn；(3) 根据上述两个分解式，求得m和n的值；(4) 根据转化后的形式(x + m)^2 + n = 0，解出方程。

通过以上步骤，我们可以得到方程2x^2 + 3x - 5 = 0的解。

2. 对于一些复杂的方程或方程组，我们也可以通过代换的方法进行求解。

例如，考虑方程组：{2x + 3y = 7{3x - 4y = 1我们可以通过代换的方式将其中一个变量表示为关于另一个变量的函数，再将其代入另一个方程中。

通过求解得到一个变量的解，再将其代入另一个方程中，最终求得方程组的解。

二、完全平方公式完全平方公式是解决一些二次型方程的常用方法，尤其适用于解决求最值等优化问题。

其基本思想是将二次型方程转化为平方的形式，便于解决最值问题。

具体操作如下：1. 对于形如x^2 + bx的二次型，可以通过添加一个适当的常数c，使其成为一个完全平方形式(x + m)^2。

例如，考虑二次型x^2 + 6x，我们可以通过添加一个常数使其变为(x + m)^2的形式，从而求得最值。

第17讲 基于数学核心素养的解题方法——配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完成配方.最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题. 【例1】已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．【答案】9.【解析】由值域为[0)+∞，，当2=0x ax b ++时有240a b =-=，即24a b =， ∴2222)2(4a a x ax x f x x ax b ⎛⎫++=+== ⎝+⎪⎭+. ∴2()2a f x x c ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭解得2a x +<，22a a x <<.∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，∴)()622aa --==，解得9c =.【反思】运用配方法求解函数的值域，不等式的解集. 【例2】已知α为第二象限角，sin cos αα+cos2=α【 】 A ．3 B ．9 C ．9 D ．3【答案】A.【解析】首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后然后利用二倍角的余弦公式，将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题：∵3sin cos =3αα+，∴两边平方，得11sin 2=3α+，即2sin 2=3α-. ∵α为第二象限角，∴因此sin 0 cos 0><αα，. ∴()2cos sin =cos sin =1sin 2215=1=33ααααα-+------.∴()()223155cos2=cos sin =cos sin cos sin ==333ααααααα⎛⎫-+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭.故选A.【反思】两角和差的公式以及二倍角公式的与配方法的综合运用【例3】如图，双曲线()2222-=1>>0x y a b a b的两顶点为12,A A ，虚轴两端点为12,B B ，两焦点为12,F F .若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D.则 （Ⅰ）双曲线的离心率e= ▲ ；（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12=S S ▲ .【答案】5+1；5+2【解析】（Ⅰ）由已知()()()22222222222224224+=+-=2--3+=0bc b c b c a b c c a c a c a c a c a ⇒⇒⇒42-3+1=0e e ，解得()221+53+56+255+1===3+5==24422e e ⇒. （Ⅱ）由已知得1=2S bc ，又直线22B F 的方程为()=--b y x c c ，而直线OA 的方程为=cy x b，联立解得222222=+=+b cx b c bc y b c ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴2222222=4++b c bc S b c b c ，()()()()()22222222122222222222222+2-2-125+2=====222-2-14++b c c a e S bc b c bc S b c c a c e e b c b c. 【反思】本题考查双曲线的离心率及实轴虚轴的相关定义，一般平面几何图形的面积计算，配方法用于辅助计算【例4】海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t . （1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）【答案】解：（1）5.0=t 时，P 的横坐标P 77=2x t =，代入抛物线方程21249y x =得P 的纵坐标P 3y =.∵A（0，12）， ∴AP =./时.由tan ∠OAP=72tan OAP 3+12730∠==，得OAP arc 30tan 7∠=，∴救援船速度的方向为北偏东arctan730弧度. （2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得222211144()337144()625625v t t t t =++=-+≤.∵当1t t =即t =1时2v 最小，即25≥v .∴救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 【解析】（1）求出A 点和P 点坐标即可求出.（2）求出时速v 关于时间t 的函数关系式求出极值. 【反思】在曲线与坐标问题中运用配方法【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m ，n ）使得直线l ：mx +ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）∵c e a ===，∴可设3,2(0)a k c k k .∴22b ack ，故椭圆C 的方程为222213x y b b+=.设(,)()P x y b yb 为椭圆上的任一点，则22233x b y .∵22222222||(2)24432(1)3636PQ x yy y b y b b ，∴当1y时，2||PQ 取得最大值236b ，即||PQ 取得最大值26.又∵椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3， 26=3，解得1b .∴所求的椭圆C 方程为2213x y +=. （2）假设点M （m ，n ）存在，则2213m n += ， 即2233m n +=圆心O 到直线l 的距离2211dmn. ∴221m n .∵22222222111||12m n AB rd m n m n∴22222222221111||2OABm n m n SAB d m n m nm n 22222222111111211m n m n m n m n 2222111n mn，即222m n 时取等号）.解2222332m n m n⎧+=⎪⎨+=⎪⎩得223212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或m n ⎧=⎪=⎨⎪⎪⎪⎩. ∴所求点M 的坐标为26262(()(,)(,)22222222、、、，对应的△OAB 的面积为12. 【解析】（1）由e =C 的方程为222213x y b b+=，设设(,)()P x y b y b 为椭圆上的任一点，求出2||PQ 的表达式，一方面由二次函数的最大值原理得||PQ 的最大值26，另一方面由已知椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3列式求出b ，从而得到椭圆C 的方程.（2）假设点M （m ，n ）存在，求出OABS的表达式，应用基本不等式求得△OAB 的面积最大时m ，n 的值和对应的△OAB 的面积.【反思】本题考察椭圆的性质，两点间的距离公式，二次函数的最大值，基本不等式等的综合应用，难度较大，配方法应用于二次函数求最值的过程中配方法法有助于数学运算和数据分析的发展．数学运算时解决一切数学问题的基础，较好的数据分析能力能在运算时快速决定正确的运算方向.比如例1至例6六个例题中都需要配方法来快速简化运算，求出结论.利用配方法来能大大提高解决问题效率.1. 如图，椭圆M ：2222x y 1(a b 0)a b+=>>的离心率为32，直线x a =±和y b =± 所围成的矩形ABCD 的面积为8. (Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ) 设直线l :y x m(m )=+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点P ，Q ，l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S ，T.求|PQ ||ST |的最大值及取得最大值时m 的值.2. 如图，动圆2221:C x y t +=,13t <<,与椭圆2C ：2219x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点.(Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ) 求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程.3.若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则34x y +的最小值是【 】 A.245 B. 285C.5D.6。

高考专题：配方法一、含义配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。

这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。

二、涉及到的内容普通二次式子配方，三次式配方，因式分解配方，根式配方，参数配方，分离法配方。

三、主心思路根据已学到的公式，对所求式子进行变换、凑化、化繁为简，从而达到节省时间，优化解题步骤的目的。

四、具体内容详解①普通二次式子配方需要掌握以下公式，并识记形如782-522=(78+52)(78=52)形式，以及常见自然数的平方数：22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324192=361222=484252=625242=576322=1024完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2=(a-b)2+4ab( a-b)2=a2-2ab+b2=(a+b)2-4ab 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2【例】解方程：2x²+6x+6=4分析：原方程可整理为：x²+3x+3=2，通过配方可得(x+1.5)²=1.25通过开方即可求解。

解：2x²+6x+6=4<=>(x+1.5)²=1.25x+1.5=1.25的平方根【例】因式分解x²-4x-12解：x²-4x-12=x²-4x+4-4-12=（x-2）²-16=（x -6)(x+2）【例】因式分解x²-ax-x+a解：原式=x²-(a-1)x+a=(x-a)(x-1)注：该种形式的题目一般出现在讨论带参数的零点个数问题，解题时一般化成三项式子观察。

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【答案与解析】解：2x 2+3x ﹣1=0x 2+x 2+） x+x 1= 【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax 2+bx+c=0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2．两边都加4，得x 2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-． 于是，原方程的根为x=2+或x=2-． (2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x 2+6x+32=-8+32， ∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4】【答案与解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值． 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式． 【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 3312222a -=-=-=-． 【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．。

配方法及其应用归纳总结配方法及其应用归纳总结一、配方法配方法是一种重要的数学方法，可以将一个多项式进行恒等变形，使之出现完全平方式，并化成平方的形式。

它是完全平方公式的逆用。

配方时主要用到以下两个公式：1）a²+2ab+b²=(a+b)²2）a²-2ab+b²=(a-b)²重要结论：1）x²±2x+1=(x±1)²2）a²+b²+c²-ab-bc-ca=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²二、配方法的应用配方法有着广泛的应用，常用于：1）求字母的值2）证明字母相等3）解一元二次方程4）证明代数式的值非负5）比较大小6）求函数的最值三、配方法用于求字母的值例2.已知a²+b²+4a-2b+5=0，则a=-2，b=1.说明：配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值，注意过程书写的规范。

例3.已知a²+b²+1=ab+a+b，求3a-4b的值。

解：将等式两边移项得：a²-2ab+b²+a-2a+1+b-2b+1=0.化简得：(a-b)²+(a-1)²+(b-1)²=4.由非负数的性质得：a-b=±2，a-1≥0，b-1≥2.因此，a=1，b=1，3a-4b=-1.题1.已知x2y2+x2+4xy+13=6x，则x=2，y=1.题2.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=2.题3.已知a、b、c满足a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17，求a+b+c的值为-2.四、配方法用于证明字母相等例4.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判断这个三角形的形状，并说明理由。

解：△ABC是等边三角形。

高中数学常用解题技巧第01讲：配方法【知识要点】一、配方法是初中数学和高中数学解题时常用的一种技巧，必须要理解和熟练掌握.配方的过程一般如下：22222222()()()44b b b b ax bx c ax bx c a x x c a x x c a a a a ++=++=++=++-+224()24b ac b a x a a-=++ 二、配方时，一般把常数项单独放开，再提取二次项的系数，再配方整理.三、如果二次项的系数是1，一次项的系数是偶数时，配方比较方便。

如果不是这种情况，可以不配方，直接利用二次函数的公式即可，0a >时 ，抛物线开口向上，0a <时，抛物线开口向下.对称轴方程为,2b x a =-顶点坐标为24(,)24b ac b a a--。

【方法讲评】【例1】已知函数2()log (2)1f t t t =-+-,(t)f 的定义域为D ．(1）求D ；(2）若函数22()2g x x mx m =+-在D 上存在最小值2,求实数m 的值．此时22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，此时m 值不存在；③1m -≤即1m ≥-时，()g x 在[1,2)上单调递增，此时221)1()(2min =-+==m m g x g ，解得1m =．综上：1m =．【点评】（1）对于有些二次函数的二次项系数是“1"，一次项的系数是偶数的，可以直接配方，对于【反馈检测1】已知函数() 2.f x x x =-(1)写出()f x 的单调区间；（2）设0a >，求()f x 在[]0,a 上的最大值．高中数学常用解题技巧第01讲：配方法参考答案【反馈检测1答案】（1) 单调递增区间是(],1-∞和[)2,+∞,单调递减区间是[]1,2;（2)max ()f x =(2),0112(2),2a a a a a a a -<<⎧⎪≤≤⎨⎪->⎩，11+1+。

高中数学方法篇之配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。

一、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则 a3＋a5＝_______。

2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。

A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。