数学家吴宝珠的成长启示：实实在在解决一个问题以慢节奏滴水穿石的研究成为第一位获得菲尔茨奖的越南人吴宝珠并没有通常人们所认为的那种天才的光芒，但他的思考很深入，是水滴石穿的类型。
吴宝珠(左二)同1989年德国第30届国际数学奥林匹克参赛生合影。
在长达十年的时间里，吴宝珠能够以他特有的慢节奏滴水穿石地做研究，而不需要考虑发表论文的问题。
他对写低质量的论文没有兴趣，而只想写几篇好论文。
令人望而生畏的猜想在日本推理小说家东野圭吾的小说《嫌疑人X的献身》中，侦查命案的物理学家问了痴迷数学的嫌疑人一个问题：“拟一个无法解答的问题，和解答那个问题，何者比较困难?”嫌疑人没有正面回答，他只是说：“的确是耐人寻味的题目。
我会好好想想。
”“这名嫌疑人是个非常聪明的人。
”美国普林斯顿高等研究院数学教授罗伯特·朗兰兹(RobertLanglands)说，“我认为这个问题没有答案。
”1967年，朗兰兹给数论专家安德雷·韦依写了封信。
在这封著名的信中，朗兰兹说：“如果您能把(我的信)当作纯粹的猜测来读，我会很感激；如果不行——我相信您的手边就有废纸篓。
”接着，朗兰兹就写下了一系列宏大的数学猜想。
这一系列猜想组成了“朗兰兹纲领”。
2010年，越南数学家吴宝珠因证明了朗兰兹纲领中的基本引理而获得国际数学界的最高奖——菲尔茨奖。
他成为了第一位获得菲尔茨奖的越南人。
加拿大多伦多大学数学教授詹姆斯·阿瑟(JamesArthur)评价吴宝珠的工作时说：“它是一个深刻又优美的论证，建立在数学家们三十多年时间里所贡献的洞见之上。
”朗兰兹纲领是一个宏伟得令人望而生畏的猜想，横跨当代数学中的数论、群论、表示论和代数几何等几大领域。
一旦得到完整的证明，这些领域中的诸多中心问题将迎刃而解。
尽管直到今天，纲领中的绝大部分猜想仍然没有得到证明，但阿瑟称基本引理的证明“将会成为该课题的一块奠基石”。
纲领的完整证明也许仍需要几代数学家的努力。
w ww .q bx t.cn多项式0.1基本知识和性质多项式是代数学的一个基本概念,是中学代数的重要内容之一,也是各类数学考试以及数学竞赛内容的重要部分.本节我们先介绍一些多项式的基本概念和性质.定义1.设n 是一个非负整数,称形式表达式a n x n +a n −1x n −1+···+a 1x +a 0(1)为一元多项式.其中,a 0,a 1,···,a n 为实数(或复数).在多项式(1)中,a 0称为常数项,a i x i 称为i 次项,a i 称为i 次项系数.一元多项式常用符号f (x ),g (x ),···或者f,g,···等来表示.定义2.如果在多项式f (x )与g (x )中,同次项系数都相等,则称f (x )与g (x )相等.记为f (x )=g (x ).系数全部为0的多项式称为零多项式,记作0.在多项式(1)中,若a n =0,则称a n x n 为多项式(1)的最高次项或首项,称a n 为最高次项系数或首项系数.此时,n 称为多项式(1)的次数,零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式f (x )的次数记作deg(f (x ))或者∂(f (x )).给定一个数c 以及多项式f (x )=a n x n +a n −1x n −1+···+a 1x +a 0,在f (x )的表达式中用c 代替x 所得的数a n c n +a n −1c n −1+···+a 1c +a 0称作当x =c 时f (x )的值,并用f (c )来表示.这样一来f (x )就定义了一个函数,称为多项式函数.两个多项式相等当且仅当它们定义的多项式函数相等.和数的运算一样,多项式的运算满足加法交换律,加法结合律,乘法交换律,乘法结合律以及乘法对加法的分配律.性质1.f (x )g (x )的首项系数等于f (x )和g (x )的首项系数的乘积,并且∂(f (x )±g (x ))≤max(∂(f (x )),∂(g (x ))),∂(f (x )g (x ))=∂(f (x ))+∂(g (x )).性质2.若f (x )g (x )=0,则或者f (x )=0,或者g (x )=0.1w ww .q bx t.cn2性质3.若f (x )g (x )=f (x )h (x ),并且f (x )=0,则g (x )=h (x ).二.例题例1.设多项式f (x ),g (x )和h (x )的系数全部为实数.证明:若f 2(x )=xg 2(x )+xh 2(x ),(2)则f (x )=g (x )=h (x )=0.例2.设n 为自然数,证明:(1+x )(1+x 2)(1+x 4)···(1+x 2n −1)=1+x +x 2+x 3+···+x 2n −1.(3)例3.试求所有实数p ,使得三次方程5x 3−5(p +1)x 2+(71p −1)x +1=66p.(4)的三个根全部为自然数.例4.给定自然数n 以及二次多项式f (x )=ax 2+bx +c,a =0.试证:最多存在一个n 次多项式g (x ),使得f (g (x ))=g (f (x )).例5.设多项式f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+···+a 2n x 2n =(x +2x 2+···+nx n )2.求证:2n Pk =n +1a k =1n (n +1)(5n 2+5n +2).例6.设多项式f (x )满足条件(1)f (0)=0;(2)f (x )=12(f (x +1)+f (x −1)).求f (x )的表达式.例7.设多项式f (x )=ax 2+bx +c 的系数满足:a,b,c >0,a +b +c =1.证明:若正数x 1,x 2,···,x n 满足x 1x 2···x n =1,则f (x 1)f (x 2)···f (x n )≥1.例8.设a,b,c,d 为实数,多项式函数p (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足:对任何|x |<1,有|p (x )|≤1.求证:|a |+|b |+|c |+|d |≤7.例9.(第28届国际数学奥林匹克预选题)给定自然数n ,试求出所有低于n 次的多项式p (x ),使之满足如下条件:n X k =0p (k )(−1)k C kn =0.(5)三.习题习题1.将多项式f (x )=1−x +x 2−x 3+···+x 16−x 17写成g (y )=a 0+a 1y +a 2y 2+···+a 17y 17的形式,其中y =x +1,每个a i 为常数.试确定a 2的值.w ww .q bx t.cn0.2实系数和复系数多项式3习题2.解方程:x 4−x 2+8x −16=0.习题3.求所有满足f (x 2)=f 2(x )的非零多项式f (x ).习题4.试证明:多项式f (x )=1x 9−1x 7+13x 5−82x 3+32x 对所以整数x 都取整数值.习题5.分解因式:S n (x )=1−x +12!x (x −1)−13!x (x −1)(x −2)+···+(−1)nn !x (x −1)···(x −n +1).习题6.已知非常数实数列a 0,a 1,a 2,···,满足a i −1+a i +1=2a i ,i =1,2,3,···.求证:对于任意自然数n ,p n (x )=a 0C 0n (1−x )n +a 1C 1n x (1−x )n −1+a 2C 2n x 2(1−x )n −2+···+a n −1C n −1nx n −1(1−x )+a n C n n x n 是x 的一次多项式.习题7.设多项式f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 当x =−1,x =0,x =1,x =2时取值为整数.试证明:对于任意整数n ,f (n )为整数.习题8.求满足f (x 2−2x )=f 2(x −2)的所有非零多项式f (x ).0.2实系数和复系数多项式一.基本知识和性质在以下两节我们针对复数,实数,有理数和整数的特点,分别讨论复系数,实系数,有理系数和整系数多项式的根和因式分解以及其他相关问题.定理1.(代数基本定理)设f (x )为n (n >0)次复系数多项式,则f (x )至少有一个复根.定理2.任何n (n >0)次复系数多项式恰好有n 个复根(重根按重数计算).定理3.任何n (n >0)次复系数多项式都可以分解为n 个1次复系数因式的乘积.由定理2和定理3,设x 1,x 2,···,x k 为n (n >0)次复系数多项式f (x )的所有复根,重数分别为n 1,n 2,···,n k ,则n 1+n 2+···+n k =n 并且f (x )=a (x −x 1)n 1(x −x 2)n 2···(x −x k )n k .若不讨论复系数多项式的根的相重,即将m 重根看做m 个根,则可以得到多项式的根与系数的关系.事实上,记n (n >0)次复系数多项式f (x )=a 0+a 1x +···+a n −1x n −1+a n x n的n 个根为x 1,x 2,···,x n ,则有f (x )=a n (x −x 1)(x −x 2)···(x −x n ).(6)w ww .q bx t.cn4将(6)展开再比较系数可得根与系数的关系:8>>>>>>>><>>>>>>>>:x 1+x 2+···+x n =−a n −1a n ,X 1≤i<j ≤nx i x j =a n −2a n,······,x 1x 2···x n =(−1)na 1a n.其中常用的是第一个和最后一个等式.反之,当上式成立时x 1,x 2,···,x n 为多项式f (x )=a 0+a 1x +···+a n −1x n −1+a n x n的n 个根.推论1.任何n (n >0)次实系数多项式的非实数的复根两两成对出现.推论2.每一个实系数多项式都可以分解成实系数的一次因式和二次因式的乘积.我们指出,n 次单位根在实际解题过程(尤其是分解因式,多项式的整除等)中具有特殊的作用.在前面几节的某些例题和习题中我们实际已经用到了单位根的部分性质.设1,ω,ω2,···,ωn −1为全部n 次单位根,ω=cos 2πn +i sin 2πn ,则有x n −1=(x −1)(x −ω)(x −ω2)···(x −ωn −1),从而有x n −1+x n −2+···+1=(x −ω)(x −ω2)···(x −ωn −1),这个恒等式经常用到.并且由这个恒等式可知ω,ω2,···,ωn −1为多项式p (x )=x n −1+x n −2+···+1的全部n −1个根.二.例题例1.已知关于x 的方程x 4−(3m +2)x 2+m 2=0的四个实根成等差数列,求m .例2.设n 为自然数,f (x )=x 2+x +1,g (x )=(x +1)2n +1+x n +2.试证明:f (x )|g (x ).例3.设a,b,c 为实数,且多项式f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的三个实根成等差数列.试指出a,b,c 应满足的充分必要条件.例4.设多项式f (x ),g (x ),h (x )和p (x )满足f (x 5)+xg (x 5)+x 2h (x 5)=(x 4+x 3+x 2+x +1)p (x 5),(7)试证:(x −1)|f (x ).例5.设复系数n 次多项式f (x )=x n +c n −1x n −1+···+c 1x +c 0满足|f (i )|<1(其中i =√−1).求证:存在实数a,b 使得f (a +bi )=0,且(a 2+b 2+1)2<4b 2+1.w ww .q bx t.cn0.2实系数和复系数多项式5例6.设实系数多项式f (x )=1+a 1x +···+a n −1x n −1+x n 的各项系数非负.证明:如果f (x )有n 个不同的实根,则f (2)≥3n .例7.设f (x )=x n +a 1x n −1+···+a n −1x +a n 与g (x )=x n +b 1x n −1+···+b n −1x +b n 为两个复系数多项式,g (x )的根为f (x )的根的平方.证明:若a 1+a 3+a 5+···和a 2+a 4+a 6+···为实数,则b 1+b 2+···+b n 为实数.例8.设n 次多项式f (x )=x n +a n −1x n −1+···+a 1x +a 0的系数全部为实数,且满足条件0<a 0≤a 1≤a 2≤···≤a n −1≤1.证明:若λ为f (x )的复根,且|λ|≥1则λn +1=1.例9.给定多项式序列如下:P 1(x )=x 2−2,P k (x )=P (P k −1(x )),k =2,3,···.求证:对任意自然数n ,方程P n (x )=x 的解为互不相同的实数.例10.设f (x )和g (x )都是不低于1次的多项式.对于复数a ,f (a )=0当且仅当g (a )=0;f (a )=1当且仅当g (a )=1.求证:f (x )=g (x ).三.习题习题1.设n 为自然数,证明:如果(x −1)|f (x n ),那么(x n −1)|f (x n ).习题2.为使实系数多项式f (x )=x 3+ax 2+bx +c 有三个成等比数列的不同实根,a,b,c 应满足什么条件?习题3.试通过考虑单位根确定所有自然数对(m,n ),使得多项式f (x )=1+x n +x 2n +···+x mn 能被g (x )=1+x +x 2+···+x m 整除.习题4.设n 为自然数，求证:多项式f (x )=x n +1−x n −1有一个模为1的复根的充分必要条件是6|n +2.习题5.设多项式f (x ),g (x )满足条件(x 2+x +1)|f (x 3)+xg (x 3),求证:(x −1)|f (x ),(x −1)|g (x ).(8)习题6.给定复系数n 次多项式f (x )=c 0+c 1x +···+c n x n .求证:存在复数z 0满足|z 0|≤1,且|f (z 0)|≥|c 0|+|c n |.习题7.设l,m,n 为自然数,证明:多项式f (x )=x 3l +x 3m +1+x 3n +2能被g (x )=x 2+x +1整除.习题8.设l,m,n 为自然数,试确定多项式f (x )=x 3l −x 3m +1+x 3n +2能被g (x )=x 2−x +1整除的条件.习题9.设l,m,n 为自然数,试确定多项式f (x )=x 3l +x 3m +1+x 3n +2能被g (x )=x 4+x 2+1整除的条件.。
