直线的参数方程1

12
e
O
x
思考2
是否可以根据t的值来确定向量的 M 0 M
我们知道e是直线l的单位方向向量，那 么它的方向应该是向上还是向下的？还 是有时向上有时向下呢？
分析: 是直线的倾斜角， 当0< < 时, sin >0
又 sin 表示e 的纵坐标， e 的纵坐标都大于0 那么e 的终点就会都在第一，二象限， e 的方向 就总会向上。
3、抛物线y2=2px的参数方程
2p y 2px x t an2 由 y (为 数 参 ） t an y 2p x t an
2
x t 任一点与原点连线的斜率的倒数，即： y
4
1 若 t 令 , t (,0) (0,),则 t an x 2pt 2 t的几何意义：是抛 (t为 数 ) 参 y 2pt 物线上除顶点外的
k
7
y2 y1 x2 x1
Ax By C 0
tan
问题：已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
求这条直线的参数方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 ) sin 把它变成y y0 ( x x0 ) cos y y0 x x0 进一步整理，得： sin cos
求这条直线的方程.
M(x,y)
M0(x0,y0) 所以，该直线的参数方程为 e x x t cos

O
(cos ,sin )
x
10
练习1
x 3 t sin200 B （） 直 线 1 （t为 参 数 ） 的 倾 斜 角 是 （） 0 y t cos 20 0 0 0 0 A.20 B .70 C .110 D.160

直线的参数方程【学习目标】1．能选择适当的参数写出直线的参数方程．2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。

【要点梳理】要点一、直线的参数方程的标准形式1. 直线参数方程的标准形式：经过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）； 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。

2. 参数t 的几何意义：参数t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即0||||M M t =，||t 表示直线上任一点M 到定点0M 的距离。

当点M 在0M 上方时，0t >；当点M 在0M 下方时，0t <；当点M 与0M 重合时，0t =；要点注释：若直线l 的倾角0α=时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y t x x .要点二、直线的参数方程的一般形式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=a b 的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00(t 为参数) 在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义。

若a 2+b 2=1,则为标准式，此时，｜t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.要点三、化直线参数方程的一般式为标准式一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当22b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.(2) 当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a b y y t b a a x x 220220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量. 要点四、直线参数方程的应用1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法：设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则（1）P 1、P 2两点的坐标分别是：(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α)，(x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)；(2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3) 线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4) 若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0. 2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型：（1）有关弦长最值题型过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A 、B 两点。

直线参数方程1、直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221tt +,∣P 0P 3∣=221t t +(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<02、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α即⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t|x①当t>0时，点P 在点P 0的上方； ②当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线⎧+=0tx x ④当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤当t ＝0时，点P 与点P 0重合；⑥当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一对应关系？我们把直线l 看作是实数轴，以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系.问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2 参数分别为t 1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？ 根据直线l 参数方程t 的几何意义， P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P |＝|P 2P |P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2<0一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2 则t 3＝221t t + （∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义，∴P 1P 3= t 3－t 1, P 2P 3= t 3－t 2, ∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ）性质一：A 、B 两点之间的距离为||||21t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|21t t性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为221t t +，若0M 是线段AB 的中点，则 021=+t t ，反之亦然。

＝54(t＋2)2＋20. 当 t＝－2 时，|PM|2 取最小值，此时|PM|等于点 P 与直线
的距离，则|PM|＝ 20＝2 5. 解法二：由点 P 向直线作垂线，垂足记为 P0，如图所示，
它对应参数 t＝－2.代入直线的参数方程，可得点 P0 的坐标： x＝2，y＝1，即垂足 P0(2,1)，显然有|PP0|＝ 2＋22＋1＋12 ＝2 5.
2,6)的距离．
分析：由直线的方程可知，直线的斜率为34，即直线的倾 斜角(设为 α)的正切值 tan α＝34，则 sin α＝35，cos α＝45.因为 点 P 在直线 l 上，为了方便运算，选择点 P 作为直线上的定 点，到点 M 和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意 义或者两点之间的距离公式来求．
k＝ .
解析：(1)由题意可知直线的点斜式方程为 y－3＝－24(x－1)．
设 y－3＝－24(x－1)＝t，则xy＝＝13－＋2tt.，
∴该直线的参数方程为x＝1－2t ， y＝3＋t.
(2)解法一：如图所示，在直线上任取一点 M(x，y)，则 |PM|2＝(x＋2)2＋(y＋1)2
＝1－2t ＋22＋(3＋t＋1)2 ＝54t2＋5t＋25
线l的参数方程是 x＝ 22t， (t为参数)，
y＝－4＋
2 2t
点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求|PQ|的最
小值．
解析：曲线C的极坐标方程ρ＝4sin θ可化为ρ2＝4ρsin θ，其 直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.
直线l的方程为x－y－4＝0. 所以，圆心到直线l的距离d＝|－2－2 4|＝3 2. 所以，|PQ|的最小值为3 2－2.
5．直线 y＝－1－t (t为参数)与曲线 的交点个数为________．