第一章 立体几何初步知识精要1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量共线（即成倍数关系）．证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量的数量积等于零． 2．通过法向量，把线面、面面的角转化为线线的角．从而可以利用公式cos ||||θαβαβ=求解． 3．建立空间直角坐标系．例题1如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ， 点O 、D 分别是AC 、PC ABC ．(Ⅰ)求证OD ∥平面PAB ；(Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC 所成角的大小．解答OP ABC OA OC AB BC ⊥== 平面，，，arcsin30OD PBC ∴ 与平面所成的角为．练习1如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，12,1AB AA ==，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为030，AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点．1（Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角；（Ⅱ）求平面BDF 与平面1AA B 的大小；（Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离解答 在长方体1111ABCD A B C D -中，以AB 所在直线为x轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴建立空间直 角坐标系如图．由已知12,1AB AA ==，可得(0,0,0),(2,0,0),(1,0,1)A B F ．又AD ⊥平面11AA B B ，从面BD 与平面1AA为030DBA ∠=又2,,1,AB AE BD AE AD =⊥==从而易得1(,(0,223E D （Ⅰ）13(,,0),(1,0,1)22AE BF ==-cos ,AE BF AE BF AE BF∴<>=14-==即异面直线AE、BF所成的角为（Ⅱ）易知平面1AA B的一个法向量(0,1,0)m=(,,)n x y z=是平面BDF的一个法向量．(2,,0)3BD=-由n BFn BD⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n BFn BD⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩203x xx y-+=⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩x zy=⎧⎪⇒=取(1,3,1)n=∴3cos,515m nm nm n<>===⨯即平面BDF 与平面1AA B所成二面角（锐角）大小为5（Ⅲ）点A到平面BDF的距离，即AB 在平面BDF 的法向量n上的投影的绝对值所以距离||cos ,d AB AB n=<>||||||ABnABAB n=||2||55AB nn===所以点A 到平面BDF5例题2 如图1，已知ABCD 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2（Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小．解答（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1．所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB ． 故可以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A （3，0，0），B （0，3，0），C （0，1，3）O 1（0，0，3）．从而图11A .0333),3,3,0(),3,1,3(11=⋅+-=⋅-=-=BO AC BO AC所以AC ⊥BO 1．（II ）解：因为,03331=⋅+-=⋅OC BO 所以BO 1⊥OC ，由（I ）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量．设),,(z y x n =是0平面O 1AC 的一个法向量，由,3.0,033001=⎩⎨⎧==++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z y z y x C O n AC n 取得)3,0,1(=n ．设二面角O —AC —O 1的大小为θ，由n 、1BO 的方向可知=<θn ，1BO >，所以COS <=cos θn ，1BO .43||||11=⋅BO n BO n 即二面角O —AC —O 1的大小是.43arccos练习2 如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB (Ⅰ)求证1AC BC ⊥； (Ⅱ) 求证11AC CDB 平面；(Ⅲ)求异面直线1AC 与1B C 解答∵直三棱锥111ABC A B C -底面三边长C 1A 1xz3,4,5AC BC AB ===，1,,AC BC CC 两两垂直标系，则C (0,0,0),A (3,0,0),C 1(0,0,4),B (0,4,0),B 1(0,4,4),D (32,2,0)(Ⅰ)11(3,0,0),(0,4,4)AC BC =-=,11110,AC BC AC BC ∴⋅=∴⊥(Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ，则E (0,2,2)(Ⅲ)11(3,0,4),(0,4,4),AC CB =-=1111112cos ,5||||AC CB AC CB AC CB ∴<>==∴异面直线1AC 与1B C 例题3 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求SINA ．解答 以B 为坐标原点，BC 为x 轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A 位于第一象限由630sin =B ，则44(,sin )(,)3333BA B B ==，设BC =（x ，0），则43(,63x BD +=，由条件得5)352()634(||22=++=x BD ，从而x=2，314-=x （舍去），故2(,)33CA =-．于是 ∴1470cos 1sin 2=-=A A 练习3 在平面上给定ABC ∆，对于平面上的一点P ，建立如下的变换 :f AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为'P ，'()f P P =，求证 f 只有一个不动点（指P 与'P 重合的点）． 解答：依提意，有12AQ AP =，且111()224AR AB AQ AB AP=+=+，'1111()2248AP AC AR AC AB AP =+=+++，要使'P 与P 重合，应111248AP AC AB AP =++，得1(42)7AP AC AB =+，对于给定的ABC ∆，满足条件的不动点P 只有一个． 例题4 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC ． 已知,21,2,2===AE CD PD 求 （Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小．解答 （Ⅰ）以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． 由已知可得D （0，0，0），P （0，0C （0，2，0）设0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>由0=⋅⊥CE PE CE PE 得，即,0432=-x 故由DE CE DE =-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=DE ，故异面直线PD 、CE 的距离为1．（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，Y ，Z ）．由0=⋅PC DG 得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y ,即),2,1,0(,2==DG y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，M ，N ），则 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得，111又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=EF n m m n 故 因,,PC DG PC EF ⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角． 故,4,22||||cos πθθ===EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.4π练习4如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，BB 1=2，BC =1，∠BCC 1=3π，求：（Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值．解答（I ）以B 为原点，1BB 、BA 分别为Y 、Z 轴建立空间直角坐标系． 由于BC =1，BB 1=2，∠BCC 1=3π，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B （0，0，0），A （0，0，2），B 1（0设即得由,0,),0,,23(11=⋅⊥EB EA EB EA a E 又AB ⊥面BCC 1B 1，故AB ⊥BE ． 因此BE 是异面直线AB 、EB 1的公垂线，则14143||=+=BE ，故异面直线AB 、EB 1的距离为1．（II ）由已知有,,1111EB A B EB EA ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的平面角θ的大小为向量EA A B 与11的夹角．。
