构造法在初等数学中的应用
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构造法在初等数学中的应用
1 构造因式
例1 当x =3+1,求123+--=x x x y 的值。
解：由条件得x =3+1，所以3=x -1。
构造x -1的因式
123+--=x x x y
()
()[]
23121222212
23
+--=+--=
x x x x x x
()123321
=+-=
x x 例2 正数a ，b 满足23
3=+b a ，求证2≤+b a 。
分析：式中的次数为3次，而结论式中是1次，所以要降幂，结论式为不等式，b a ,都为正数，于是可以考虑构造均值不等式。
解：由均值不等式abc c b a 33
3
3
≥++可得： a a 3113
3
3
≥++ ()1
b b 3113
3
3
≥++ ()2
由()()21+得 2≤+b a
2 构造函数
例3 证明如果(
)(
)
11122=++
++
y y x x ，那么0=+y x 。
证明：构造函数()(
)
1lg 2++
=x x x f ()R x ∈
易证()x f 在R 是奇函数且单调递增 (
)(
)
11122=++
++
y y x x
∴ ()()(
)(
)[]
01lg 11lg 22==++
++
=+y y x x y f x f
()()y f x f -=∴ ()()y f x f -=∴ 又 ()x f 是增函数 ∴ y x -= 即 0=+y x
例4 求证：
3
109
1022≥
++x x 分析：
3109
1022≥
++x x 可化为3
1091922
≥+++x x ，
这与我们常见的函数x x y 1+=为同一形式，可用单调性来证明。
证明：设=
t 92
+x ()3≥t 则()t
t t f 1
2+= 令213t t <≤ 则()()21t f t f -=01
12
2
2121<+-+t t t t
即()t f 在),3[+∞上单调递增， ∴
()3
10
39
1022=
≥++f x x 3 构造方程
例5 若()()()042
=----z y y x x z ，求证：x 、y 、z 成等差数列。
问题条件酷似判别式∆=ac b 42
-的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解。
证明：当y x =时，可得z x =，所以x 、y 、z 成等差数列；当y x ≠时，设方程
()()()02=-+-+-z y t x z t y x ，由0=∆得21t t =，并易知1=t 是方程的根，所以
=
21t t 1=--y
x z
y ，即z x y +=2，所以x 、y 、z 成等差数列。
例6 已知p 、q R ∈，23
3=+q p ，求证2≤+q p 。
分析：设法构造一个一元二次方程，使p 、q 以其系数或常数的面目出现，再由∆0≥得到不等式。
解：设b q p =+，易证0>b ，
求得b b pq 323-=，则pq 就是方程03232
=-+-b b bx x 的两实根，由
0≥∆⇒2≤b
解这个方程或讨论这个方程的有关性质（常用判别式和韦达定理）得出结论； 4 构造数列
4.1构造新数列求原数列通项。
4.1.1形如q pa a n n +=+1，求通项公式，可构造新数列{}λ+n a 。
例7 已知数列{}n a 满足41=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。
分析：这类问题引入待定系数λ，拼凑()λλ+=++n n a p a 1，使得{}λ+n a 成为等比数列。
解：设()λλ+=++n n a p a 1，整理得λλ-+=+p pa a n n 1，与已知121+=+n n a a 对比，系数得2=p ，1=λ，于是()1211+=++n n a a ，即
21
1
1=+++n n a a ，所以数列{}1+n a 是
首项为5公比为2的等比数列，由1251-⋅=+n n a 得12
51
-⋅=-n n a 。
4.1.2 形如B a Aa a n n
n +=+1，求通项公式，构造新数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+λn a 1。
分析：两边同时取倒数得
n
n n n a B A Aa B a a 1111
1+
+=+=+，令111++=n n a b ，得q pb b n n +=+1⎪⎭⎫ ⎝
⎛
==A q A B p 1,.
例8 在数列{}n a 中，21=a ，2
21+=
+n n
n a a a ，求数列{}n a 的通项公式。
解：由221+=
+n n n a a a 两边取倒数得
2
112211+=+=+n n n n a a a a ，整理得21
111=-+n n a a 。
故数列⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧n a 1是首项为21、公差为21
的等差数列，于是
()()2
21121211111n
n n a a n =-+=-+=，故n a n 2=。
（注）：形如D
Ca B
Aa a n n n ++=
+1，求数列通项公式，该数列一般可引入参数λ、μ、t ,
使得λ++1n a =()()μλλ+++n n a a t ，与已知对比后得系数，转化为新数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧++k a n λ1。
4.1.3 构造与n s 有关的数列，再由n s 求n a 。
例9 已知数列{}n a 前n 项和为n s ，21=a ，(
)
2
12+=-n n s s ，求数列{}n a 的通项公式。
解：由(
)
2
12+=
-n n s s 得21=--n n s s ，即数列
{}n
s 是以
211==a s 为首项，
以2为公差的等差数列，所以()n n s s n 2211=-+=，即22n s n =
当1=n 时，211==s a 。
当2≥n 时，()241222
21-=--=-=-n n n s s a n n n
综上，数列的通项公式是n a =2()1=n ；()224≥-=n n a n 。
4.2构造数列法
例10 对一切非零自然数n ，求证：()313231141111+>⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+
+n n l 。
分析：关于含有自然数的问题可以用数学归纳法来证明，但此题可用构造数列的方法来证明。
证明：构造数列{}n a ，使其通项为()()34
13
132311111131+>⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-++++=
n n l n a n ，则()14
24211131
33
1=>=++=a ， 1134332
1>⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=+n n a a n n ，所以()
N n a a n n *+∈>1，故对一切自然数n ，都有11>≥a a n ，即
()1231141111131>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n l n ，所以()313231141111+>⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n l 。
例11 求证
11
312111>++++++n n n （其中+∈N n ）
分析:构造数列模型 11
312111-++++++=
n n n a n 则有
112313314311+-
+++++=
-+n n n n a a n n
=
3
32
231431+-+++n n n =
()()()
04333232
>+++n n n
所以数列{}n a 为递增数列。
又因012
114131211≥=-++=
a ⋅故⋅≥0n a （其中+∈N n ）即证。
评注：欲证含有与自然数n 有关的和的不等式()()n g n f >可以构造数列模型
()()n g n f a n -=，只需证数列{}n a 是单调递增，且01>a ，
5构造几何图形（体）
例12 求函数()261013422+-++-=
x x x x x f 的值域。
解析：原函数可写为()()()()()[]222
2105302--+-+
-+-=
x x x f ，其几何意义是
平面内动点()0,x P 到两定点()3,2M 和()1,5-N 的距离之和。
求值域只要求其最值即可。
易知当M 、N 、P 三点共线时，()x f 取最小值，()5min ==MN x f ,无最大值。
故得函数值域为),5[+∞。
