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3、晶列、晶面指数、倒格空间讲解

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晶体学符号与倒格子

晶体学符号与倒格子

例题：在立方晶系中画出（210）与 晶面 （ 121）
画晶面时，标注出面与晶轴交点离原点的距离（以晶轴长度为单位）
晶面指数说明
• 1，坐标系建立：晶体中坐标系x，y，z不一定是正交系，但满足右手 关系，其中晶轴a，b，c分别对应x，y，z轴。 • 2，当晶面交于晶轴的负方向是，对应的指数就是负值，并将负号标 注在数字的上面。 • 3，晶面指数中的1，2，3位数字分别代表与a，b，c轴的截距倒数。 • 4，一个晶面指数代表某一方向（晶面法向）的一组晶面，而不是一 个面。 • 5，晶面对应某晶轴的指数为零时，晶面平行于该晶轴。 • 6，与晶向指数类似，晶体中存在一组等价晶面，即晶面族，用{hkl} 表示。 • 7，设基矢a，b，c ，末端分别落在离原点距离为hd，kd，ld 的晶面 上，h，k，l 为整数，d为晶面间距，h，k，l是互质的整数。用结晶学 原胞（惯用晶胞）基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。
指数为负数的情况
A 轴截距为1 B轴截距为1/2 C轴截距为－1/3
(123)
例：在一个面心立方晶胞中画出(012)和(122)晶面。
c b
a
b
a
b
晶面指数等于0，则平行该轴！存在附加面！
晶面指数标注：
1/2
晶面指数确定时选择离原点最近的晶面。 判断方法：过原点做已知晶面的平行面，看两平行晶面间是否有格点不在晶面上？
z [100] 2
[100]
[100] x
o
y
x
z
[011]
晶向指数实际上代表所有相互平行、
1
o [011] x 2 y
方向一致的晶向。
平行反向有“—”号
例题：立方晶胞中，已知晶向指数[231] ，画出[231]晶向？

第三节 晶列和晶面指数

第三节 晶列和晶面指数

Solid State Physics
简单立方晶格的晶向标志 —— 由于立方晶格的对称性，以上3组晶向是等效的 —— 表示为
100 110 111
Department of Physics, Northwest University
Solid State Physics
Solid State Physics
2 晶向指数 (direction indices)
一组能表示晶列方向的数称为晶向指数。 晶向指数可根据晶列上格点的周期性，用如下的方法来表标志：
取晶列直线上一格点为坐标原点，该晶列上另一格点相对该点的
位矢为：
R l ' l1 ' a 1 l 2 ' a 2 l 3 ' a 3
，得第一晶面满足的方程组：
co s( a 1 , n ) d
co s( a 2 , n ) d
（1.3.4）
1 h3
co s( a 3 , n ) d
Department of Physics, Northwest University
Solid State Physics
晶面的标志 晶体的晶面 —— 在布拉伐格子中作一簇平行的平面 这些相互平行、等间距的平面可以 将所有的格点包括无遗
—— 这些相互平行的平 面称为晶体的晶面
Department of Physics, Northwest University
Solid State Physics
同一个格子，两组不同的晶面族
C D B A
Department of Physics, Northwest University
Solid State Physics

《晶列和晶面指数》课件

《晶列和晶面指数》课件

透射电子显微镜法
通过透射电子显微镜观察晶 体和晶面的结构。
干涉显微镜法
通过干涉显微镜测量晶体和 晶面的参数。
晶列和晶面的实际应用
1
药物研发
2
分析晶体结构以进行药物晶型的选择。
3
材料科学
研究晶体结构以优化材料性能。
能源领域
优化晶体结构以提高能源转换效率。
结论和总结
晶列和晶面指数是研究晶体结构和性质的重要工具，广泛应用于材料科学、 药物研发和能源领域等。
《晶列和晶面指数》PPT 课件
晶体和晶面的定义
பைடு நூலகம்
晶列指数和晶面指数的定义
1 晶列指数
晶列指数用来描述晶体内原子排列的规则性。
2 晶面指数
晶面指数表示晶体表面所处位置的标识。
晶列和晶面的表示方法
晶列 晶面
方向和摆放顺序的指数 截距和晶面位置的指数
晶列和晶面的求解方法
X射线衍射法
利用X射线衍射实验测量晶体 和晶面的参数。

1-3 第一章 晶体的结构(晶列、晶向、晶面)

1-3 第一章 晶体的结构(晶列、晶向、晶面)
2
简单立方的晶列（用[ ]表示）及等效晶列( < >)
C 立方边OA：[100] 面对角线OB：[110] k B O A O j i
−−
体对角线OC：[111]
−
[111]
−
[111]
[111]
OA、OB、OC的等效晶列？
[111]
[0 OA：[100], [ 1 00], [010]， 1 0], [001], [00 1 ] →<100 >
• 如果某族晶面与某一基矢轴没有相交 • 截距是无限大
u = 2, v = 2, w = ∞
• 现在
1 1 1 1 1 1 : : = : : = 1:1: 0 u v w 2 2 ∞
• 密勒指数为
(hkl ) = (110)
8
立方结构常用的Miller指数 指数 立方结构常用的
• 简立方 • 体心立方 • 面心立方
14
A4
4
A3 3 A2
A1 A 1
2
12
滑移反映面（反演加平移） 滑移反映面（反演加平移）
• 镜象反映后，再沿平行于 镜象反映后， 该面的方向平移T/n的距 该面的方向平移 的距 离。T是该方向上的周期 是该方向上的周期 矢量， 矢量，n=2或4，原子重 或 ， 合。
13
小结
• 晶列，晶向 晶列， • 晶面，密勒指数 晶面， • 晶体对称操作
1
• • • • •
任一晶列上周期性地排列着无穷多个格点 同族晶列上的格点具有相同的周期性 [01] 所有的格点都在一族晶列上 在一平面中， 在一平面中，相邻晶列间距相等 a1 晶向：晶列的方向。怎么表示？ 晶向：晶列的方向。怎么表示？ a

晶体生长原理与技术第三讲_晶面和晶向

晶体生长原理与技术第三讲_晶面和晶向

r a1cos a1 ,n d
A3
Nn
s a2cos a2 ,n d
t a3cos a3 ,n d a 3 d a 2
A2
取a1,a2,a3为天然长度单位，则得： O a 1
A1
111
ca o 1 ,n s : ca o 2 ,n s : ca o 3 ,n s :: rst
向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的
2倍。
1.4.2 倒格与正格的关系
1. ai bj 2πij 2π (ij)
0 ij
a1b1a12πa2a3 Ω
2π
a1b2a12πa3a1 0 Ω
2. Rl Kh 2π (为整数)
解： OB i , OEijk,
BE OE O Bjk
晶列BE的晶列指数为：[011]
c
b
Oa
C
D B
求AD的晶列指数。
E
OA k , OD i 1 j,
A
2
AD O D O Ai1jk c
2
b
AD的晶列指数为: [ 21 2 ] 注意:
Oa
C
D B
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1)
任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。
可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的 面指数，记为(h1h2h3 ) 。
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢a1,a2,a3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份；
(2)以 a1,a2,a3为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴

材料的结构-晶面晶向指数-文档资料

材料的结构-晶面晶向指数-文档资料
再加上以上各指数均取相反数的符号。
Total: 48
•29
Discussions 立方晶体中重要晶面的原子排列和面密度
plane indices
{100}
BCC
atomic arrangement
planar density
a a
4 1 4
a2
1 a2
FCC
atomic arrangement
planar density
•21
1
（100）与 ［100］？有何关系？
（4)立方晶系中：相同指数（指数和符号均相同）的晶向和 晶面互相垂直，即同指数的晶向是晶面的法线方向。如： [111] ⊥（111）、[110] ⊥（110）、[100] ⊥（100）。该 规律适用于三根晶轴相互垂直时，如果三轴不相互垂直，则 (hkl)与[hkl]不垂直。 晶面（hkl）的法线与晶向[hkl]的方向平行，这就是晶面指 数的几何意义。
a3＝一(a1+a2)
可以证明: i ≡－(h＋k)
(10)0(1010) (110)(1100)
•36
六方晶体中常见的晶面
•37
2、晶向指数
晶向指数 [uvtw] 四个指数来表示。
标定方法：
(1)平移晶向(或坐标)， 让原点为晶向上一点， 取另一点的坐标; (2)必须满足u+v+t＝0，
或t=－(u+v)。
a a
4 1 1 4 a2
2 a2
{110} {111}
a 2a
2a
2a
2a
4
1 4 2a2
1
1.4 a2
3 1 6
3 a2
0 .58 a2

3晶列晶面指数倒格空间解读


这族晶
面中，离开
原点的距离 等于μ d的晶
面的方程式 第一章 晶体的结构 为
第8页
设此晶面与三个坐标轴的交点的截距分别为： ra1、sa2、ta3,依次代入上 式就得到：
ra1 cos (a1 , n ) d sa 2 cos (a 2 , n ) d ta3 cos (a3 , n ) d
得：
( 2)
取a1、a2、a3为沿三个轴的自然的长度单位，
cos(a1 , n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) 1 1 1 : : (3) r s t
第一章 晶体的结构
第9页
晶面的法线方向n与三个坐标轴（基矢）的夹角的余 弦之比等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。
简立方的倒格子在其所处的空间（倒空间）也是简立方。
从倒格子定义式可知，倒格子只由正格子原胞基矢确定，而与具体正
格子空间中的晶体结构究竟是布喇菲格子还是复式格子无关。 如一复式格子是由若干相同的布喇菲格子穿套而成，则其倒格子也就
是此布喇菲格子的倒格子。
第一章 晶体的结构
第 24 页
普遍而言，正空间中的点阵与其倒易点阵属于同一
晶列族
第一章 晶体的结构
第1页
2、标示晶列的方法： 固体物理学原胞基矢表示： 取晶列上的某个原子或格点为原点O 同一列上的另一个原子A的位置矢量可
A
表示为（任一格矢）
Rl = l1a1+l2a2+l3a3
若l 1 l 2 l 3 是互质整数，则［l1 l2 l3］ 表征了晶列的方向，称为晶向指数。
因而其密勒指数为
(210)
；
晶面EFG的密勒指数则应为 ( 263)

1.4晶列、晶面指数解析


③ 遇到负数在该数上方加一横线。
11:33
(3)等效晶向 在立方体中有，沿立方边的 晶列一共有6个不同的晶向，由于 [100]
[001]
[010]
[100]
晶格的对称性，这6个晶向并没有
什么区别，晶体在这些方向上的 性质是完全相同的，统称这些方 向为等效晶向，写成<100>。 同样 有12个等效〈110〉 面对角线 k j
D A
c
b
11:33
C
B I
G F
。
在三个坐标 h' 轴上的截距 k' l'
AEG 1
ABCD
1
1
1
O a E H DIHG 2 1
1 1 1 h:k :l : : h k l
1:1:1
(111)
1 1 1 : : 1
(hkl)
(001)
1 1 1 : : 2 1 (120)
三个基矢坐标轴上截距系数的倒数之比。
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢a1 , a 2 , a 3 被平行的晶面等间距的分割成|h1 |、 |h2|、|h3 |等份； (2)以 a1 , a2 , a3 为各轴的长度单位所求得的晶面指数是在
坐标轴上的截距倒数的互质比；
(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
记为[ l1l2 l3]， [ l1l2 l3 ]即为该晶列的晶向指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示
l1 1, l2 2, l3 1
11:33
(2)以晶胞基矢表示
在晶胞基矢坐标系中，任一格点R’的位置矢量表示为

晶向指数与晶面指数

晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。

晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。

2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。

晶体中原子所构成的平面。

不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。

材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。

所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。

为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。

二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。

(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。

(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。

(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。

(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。

图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。

若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。

则[uvw ]为该晶向的指数。

显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。

若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。

说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。

晶列和晶面指数解析


l ，则（h，k，l）即为密勒指数。
例：立方晶系的几个晶面
(111)
(201)
六角结构的Miller指数表示
说明
六角晶系的四指数表示 以上三指数表示晶向、晶面原则上适用于任
何晶系，但用于六角晶系有一个缺点： 晶体具有等效的晶面、晶向不具有类似的指数。 例：六棱柱的两个相邻的外表面在晶体学上应 是 等 价 的 ， 但 其 密 勒 指 数 却 分 别 为 (100) 和 (110)。夹角为600的密排方向是等价的，但其 方向指数却为[100]和[110].
OA、OB、OC的等效晶列？ OA：[100],[100],[010]， [010],
[00][1 ,001]100 OB：共12个，表示为<110> OC：共8个，表示为<111>，如右图
三、晶面
晶面 —— 晶体内三个非共线结点组成的平面。 在一晶面外过其它格点作一系列与原晶面平行
的晶面，可得到一组等距的晶面，各晶面上结点的 分布情况是相同的。这组等距的晶面的称为一族晶 面。 面间距——同族晶面中，相邻两晶面的距离。
由于三轴系和四轴系均描述同一晶向，故：
u a1 + v a2 + t a3 + w c
= U a1 + V a2 + W c
(1)
又有： a1 + a2 =－ a3
(2)
又由等价性条件： u + v = － t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)
解得：U=2u+v, V=2v+u, W=w
金刚石、闪锌矿结构的图示法
该图为金刚石惯用元胞在 {100}面上的投影,图中
（晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构 成晶体。 ）
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第 13 页
§1.4 晶列 晶面指数
晶面族的两种标示方法：
晶面族的标示方法一：以固体物理学原胞基矢 a1、a2、a3 为坐 标系三个轴，用晶面族的法线的方向余弦(h1h2h3)来标示晶面，称为该 晶面族的晶面指数。
晶面族的标示方法二：以结晶学原胞基矢 a、b、c 为坐标系三 个轴，用晶面族的法线的方向余弦(hkl)来标示晶面，称为该晶面族的 密勒指数。
第3页
(1,0,0)
(0,1,1)
§1.4 晶列 晶面指数
第4页
§1.4 晶列 晶面指数
晶向上原子排列规律相同但空间方位不同的晶向属于同一晶向族， 用<uvw>表示。
立方边一共有六个不同的晶向，如图：
[100].[010].[001].[100].[010].[001]
第5页
§1.4 晶列 晶面指数
r st
第 10 页
晶面指数与截距的关系
§1.4 晶列 晶面指数
截距为（r，s，t）的晶面族中，总有两个晶面分别通过基矢的两端，
从而这个晶面族把基矢 a1, a2 分, a别3 截成
h1, h2个, h3等长的小段。
由图可以看出，该晶面系中离原点 最近的晶面（ μ ＝1）的截距分别是
a1 , a2 , a3 h1 h2 h3
n)

d

(2)
ta3 cos(a3 , n)

d

取a1、a2、a3为沿三个轴的自然的长度单位， 得：
cos(a1, n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) 1 : 1 : 1 (3)
r st
第9页
§1.4 晶列 晶面指数
晶面的法线方向n与三个坐标轴（基矢）的夹角的余 弦之比等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。 cos(a1, n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) 1 : 1 : 1 (3)
第2页
§1.4 晶列 晶面指数
结晶学原胞基矢表示 a、b、c 为坐标系三个轴，任一格矢
Rl ma nb pc
a、b、c并非原胞基矢，故m’n’p’并不一定是一组 整数； 但m’n’p’是有理数，可以取三个互质整数m、n、p, 使 m:n:p=m’:n’:p’，则［m、n、p］表征了晶列的 方向，称为晶列的指数。
晶列族
第1页
§1.4 晶列 晶面指数
2、标示晶列的方法：
固体物理学原胞基矢表示：
A
取晶列上的某个原子或格点为原点O
同一列上的另一个原子A的位置矢量可 表示为（任一格矢）
Rl = l1a1+l2a2+l3a3
若l1 l2 l3 是互质整数，则［l1 l2 l3］ 表征了晶列的方向，称为晶向指数。
111 r : s : t h1 : h2 : h3
第 12 页
§1.4 晶列 晶面指数
通常用从原点算起的第一个晶面的截距
r1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

a1 h1
,
s1

a2 h2
,t

a3 h3
系数的倒数
h1 , h2 , h3
标志这一族晶面，记为 (h1, h2 , h3 ) 称为该族晶面的晶面指数。
使用r.s.t的倒数的互质整数比(h1h2h3)，可以避免当晶 面与某轴平行时出现的无穷大。
由方程（2）就得到第一晶面满足的方程组：
第 11 页
1

h1
cos(a1 , n)
d

1

h2
cos(a2 , n)

d
1

h3
cos(a3 , n)

d

§1.4 晶列
(4)
晶面指数
晶面族的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
cos(a1, n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) h1 : h2 : h3
这族晶面中，离开原点的距离等于μd 的晶面的方程式为
x n d (1)
μ为整数， x是晶面上任意点的位矢。
第8页
§1.4 晶列 晶面指数
设此晶面与三个坐标轴的交点的截距分别为： ra1、sa2、ta3,依次代入上 式就得到：
ra1 cos(a1, n) d
sa 2
cos(a2 ,
第 14 页
对晶面指数需作如下说明：
§1.4 晶列 晶面指数
h、k、l分别与X、Y、Z轴相对应，不能随意更换其次序。
若某一数为 0，则表示晶面与该数所对应的坐标轴是平行的。例 如(h0l)表明该晶面与Y轴平行。若截某一轴为负方向截距，则在其相 应指数上冠以“-”号。
在晶体中任何一个晶面总是按一定周期重复出现的，它的数目可 以无限多，且互相平行，故均可用同一晶面指数（hkl）表示。所以 （hkl）并非只表示一个晶面，而是代表相互平行的一组晶面。
第 15 页
§1.4 晶列 晶面指数
h、k、l分别表示沿三个坐标轴单位长度范围内所包含的该晶面的 个数，即晶面的线密度（比例关系）。 例如，(123)表示在X轴的单位长度内有 1个该晶面，在Y轴单位长度内 有 2个该晶面，而在 Z轴单位长度内有 3个该晶面，而其中距原点最 近的晶面在三坐标轴上的截距为1、1/2、1/3。 在晶体中有些晶面具有共同的特点，其上原子排列和分布规律是 完全相同的，晶面间距也相同，唯一不同的是晶面在空间的位向，这 样的一组等同晶面称为一个晶面族，用符号{hkl}表示。
由于晶格的对称性，晶体在这六个晶向方向上的性质是完全等效 的，通常写成<100>。 同理，沿立方体对角线的晶向共有8个， 统称这些晶向时，写成<111>。 面对角线的晶向共有12个，只注明其 中一个的晶向指数，写成<110>。
第6页
2、晶面和晶面族
§1.4 晶列 晶面指数
定义: 布喇菲格子的格点还可以看成分布在一系列平面
§1.4 晶列 晶面指数 晶体的基本特征是具有方向性，沿晶体的不同方向，晶体性质不同。
1、晶列和晶列族
联结任意二个格点的一条直线上包含无 限个相同格点，这样的一条直线称为晶列。 同一个格子可以形成方向不同的晶列。
每一个晶列定义了一个方向，称为晶向， 它的确定依赖于晶体单胞的基矢。
所有与该晶列平行的全同晶列（有无穷 多个）的集合称为晶列族。
簇上，这个平面簇即晶面，用晶面指数(hkl)表示。
描述一个平面的方位:
在一个坐标系中表示出该 平面的法线的方向余弦；
或者表示出这平面在三个
坐标轴上的截距。
晶面族
第7页
晶面的表示
§1.4 晶列 晶面指数
选取某一格点为原点，原胞的三个基矢 a1、a2、a3为坐标系的三个轴，这三个轴不一 定相互正交。
设某一族晶面的面间距为d，它的法线方 向的单位矢量为n 。