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中考数学习题精选：动态型问题

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一、选择题1．（2018北京延庆区初三统一练习）某游泳池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的A ，B 两边，同时朝着另一边游泳，他们游泳的时间为t （秒），其中0180t ≤≤，到A 边距离为y （米），图中的实 线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y 与t 的对应关系．下面有四个推断： ①小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度； ②小明游泳的距离大于小林游泳的距离； ③小明游75米时小林游了90米游泳； ④小明与小林共相遇5次；其中正确的是A ．①②B ．①③C.③④D ．②④ 答案：D2．（2018北京市朝阳区初二年级第一学期期末）如图，等腰ABC ∆中，AB AC =,MN 是边BC 上一条运动的线段(点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合)，且12MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，BMD ∆和CNE ∆的面积之和A ．保持不变B ．先变小后变大C ．先变大后变小D ．一直变大答案：B3.（2018北京通州区一模）答案C4．（2018北京丰台区一模）如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距8cm 的A ，B两点同时开始沿线段AB 运动，运动过程中甲光斑与点A 的距离S 1(cm)与时间t (s)的函数关系图象如图2，乙光斑与点B 的距离S 2(cm)与时间t (s)的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为1.5cm/s ，且两图象中△P 1O 1Q 1≌△P 2Q 2O 2．下列叙述正确的是（A ）甲光斑从点A 到点B的运动速度是从点B 到点A 的运动速度的4倍 （B ）乙光斑从点A 到B 的运动速度小于1.5cm/s （C ）甲乙两光斑全程的平均速度一样 （D ）甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次答案C图2图3图15. （2018北京市大兴区检测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点P在矩形的边上沿B→C→D→A 运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，则y关于x的函数图象大致是答案B6.（2018北京市朝阳区综合练习（一））如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=6，点P是AB边上一动点（点P与点A不重合），以AP为边作正方形APDE，设AP=x，正方形APDE与△ABC重合部分（阴影部分）的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是答案C7、（2018北京石景山区第一学期期末）如图，点M 为□ABCD 的边AB 上一动点，过点M 作直线l 垂直于AB ，且直线l 与□ABCD 的另一边 交于点N ．当点M 从A →B 匀速运动时，设点M 的 运动时间为t ，△AMN 的面积为S ，能大致反 映S 与t 函数关系的图象是答案：C8、（2018北京通州区第一学期期末）如图，在ABC Rt △中，︒=∠90A ，4==AC AB .点E 为ABC Rt △边上一点，以每秒1单位的速度从点C 出发，沿着B A C →→的路径运动到点B 为止.连接CE ，以点C 为圆心，CE 长为半径作⊙C ，⊙C 与线段BC 交于点D .设扇形DCE 面积为S ，点E 的运动时间为.则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积S 关于运动时间的变化趋势的是（）答案：A9、（2018北京怀柔区第一学期期末）如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N.动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动.设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为A.从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB.从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC.从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND.从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB答案：C二、填空题10、（2018北京顺义区初三练习）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．答案：3， 18 ； 三、解答题11、（2018北京丰台区初一第一学期期末）如图，正方形ABCD 的边AB 在数轴上，数轴上点A 表示的数为-1，正方形ABCD 的面积为16.（1）数轴上点B 表示的数为；（2）将正方形ABCD 沿数轴水平移动，移动后的正方形记为''''D C B A ，移动后的正方形''''D C B A 与原正方形ABCD 重叠部分的面积记为S. ①当S =4时，画出图形，并求出数轴上点'A 表示的数；②设正方形ABCD 的移动速度为每秒2个单位长度，点E 为线段'AA 的中点，点F 在线段'BB 上，且B B BF '=41. 经过t 秒后，点E ，F 所表示的数互为相反数，直接写出t 的值.备用图解：（1）–5；……1分（2）∵正方形ABCD 的面积为16，∴边长为4.①当S=4时，若正方形ABCD 向左平移，如图1，……2分重叠部分中的A ＇B =1，∴AA ＇=3. 则点A ＇表示–1–3= – 4.……3分 若正方形ABCD 向右平移，如图2，……4分重叠部分中的AB ＇=1，∴AA ＇=3. 则点A ＇表示–1+3= 2.……5分∴点A ＇表示的数为– 4或2.图1 图2②t =4.……6分12、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）如图1，在数轴上A ，B 两点对应的数分别是6, -6，90DCE ∠=︒（C 与O 重合，D 点在数轴的正半轴上）（1）如图1，若CF 平分ACE ∠，则AOF ∠=_________;（2）如图2，将DCE ∠沿数轴的正半轴向右平移t (0<t <3)个单位后，再绕点顶点C 逆时针旋转30t 度，作CF 平分ACE ∠，此时记DCF α∠=.①当t =1时，=α_______;②猜想BCE ∠和α的数量关系，并证明;（3）如图3，开始111D C E ∠与DCE ∠重合，将DCE ∠沿数轴的正半轴向右平移t (0<t <3)个单位，再绕点顶点C 逆时针旋转30t 度，作CF 平分ACE ∠，此时记DCF α∠=，与此同时，将111D C E ∠沿数轴的负半轴向左平移t (0<t <3)个单位，再绕点顶点1C 顺时针旋转30t 度，作11C F 平分11AC E ∠，记111D C F β∠=，若α与β满足20αβ-=︒，请直接写出t 的值为_________.解：（1）45︒；……………………..１分（2）①当t =1时，α=____30︒_____……………………..２分②猜想：=2BCE α∠证明：90DCE DCF α∠=︒∠=Q ，90ECF DCE DCF α∴∠=∠-∠=︒-∵CF 平分ACE ∠ 9090902ACF ECF ACD ACF DCF αααα∴∠=∠=︒-∴∠=∠-∠=︒--=︒-∵点A ，O ，B 共线 180AOB ∴∠=︒18090(902)2BCE AOB DCE ACDαα∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒-=……………………..５分（3）23t =.……………………..７分 说明：1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数； 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

图1图2图3113.（2018北京市朝阳区综合练习（一））如图，AB是⊙O的直径，AB=4cm，C为AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=60°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x cm，DE=y cm（当x的值为0或3时，y的值为2），探究函数y随自变量x的变化而变化的规律.（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：x/cm 0 0.40 0.55 1.00 1.80 2.29 2.61 3y/cm 2 3. 68 3.84 3.65 3.13 2.70 2（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F与点O重合时，DE长度约为cm（结果保留一位小数）．解：本题答案不唯一，如：（1）x/cm 0 0.40 0.55 1.00 1.80 2.29 2.61 3y/cm 2 3.68 3.84 4.00 3.65 3.13 2.70 2…………………………………………………………………………………………………1分（2）…………………………………………………………………………………………………4分ECAHFE DC B（3）3.5．…………………………………………………………………………………………6分14.（2018北京怀柔区一模）如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE ，连结EC. (1)依题意补全图形； (2)求∠ECD 的度数；(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60°交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．解：(1)如图…………………………………………………………………………………………1分(2)∵线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE. ∴∠DAE=90°，AD=AE. ∴∠DAC+∠CAE =90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠DAC =90°.∴∠BAD=∠CAE .…………………………………………………………………………2分 又∵AB=AC,∴△ABD ≌△ACE. ∴∠B=∠ACE.∵△ABC 中，∠A=90°，AB=AC, ∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°.……………………………………………………………4分 (3)Ⅰ.连接DE,由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求DE=；……………………5分 Ⅱ.由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°，可求∠EDC 的度数和∠CDF 的度数，从而可知DF 的长； …………………………………………………………………………………………………6分 Ⅲ.过点A 作AH ⊥DF 于点H ，在Rt △ADH 中, 由∠ADF=60°，AD=1可求AH 、DH 的长； Ⅳ. 由DF 、DH 的长可求HF 的长；Ⅴ. 在Rt △AHF 中, 由AH 和HF,利用勾股定理可求AF 的长．…………………………7分15．（2018北京石景山区初三毕业考试）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21G y mx =+：0m ≠）2G ，点A 是抛物线2G 的顶点． （1）直接写出点A 的坐标；（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点．①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式；②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围． 解:（1）A. ………………………………… 2分（2）①设抛物线2G 的表达式为2(y m x =+，如图所示，由题意可得AD ==∵=90BAC ∠°，AB AC =，∴=45ABD ∠︒. ∴BD AD ==. ∴点B 的坐标为. ∵点B 在抛物线2G 上，2可得3m =-.∴抛物线2G的表达式为23y x =+，即223y x x =++ ………………… 5分②m <<-. … 7分21中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是-1，且与y 轴交于点B （0，-1），点P 为抛物线上一点． （1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q ．如果OP =OQ ，求点Q 的坐标．解：（1）依题意12-=-b，b =2, 由B （0，-1），得c=-1,∴抛物线的表达式是221=+-y x x ．…………………… 2分4（2）向下平移4个单位得到225=+-y x x ，……………………… 3分 ∵OP =OQ ，∴P 、Q 两点横坐标相同，纵坐标互为相反数．∴2221250+-++-=x x x x ．∴13=-x ，21=x ．………………………………………………… 5分 把13=-x ，21=x 分别代入225=+-y x x ．得出Q 1（-3，-2），Q 2（1，-2）．………………………………… 7分17（2018北京东城第一学期期末）如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC=B为圆心，P 为e B 上的动点，连接PC ，作P C PC '⊥，使点P '落在直线BC的上方，且满足:P C PC '=BP ，AP '．（1）求∠BAC 的度数，并证明△AP C '∽△BPC ； （2）若点P 在AB 上时，①在图2中画出△AP’C ； ②连接BP '，求BP '的长；图1 图2（3）点P 在运动过程中，BP '是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP '取得最大值或最小值时∠PBC 的度数；若没有，请说明理由．备用图解：（1）Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC= ∴tan ∠． ∴∠BAC =60°． ∵P C PC '⊥， ∴90P CP '∠=︒． ∵∠ACB =90°， ∴P CA '∠=∠PCB ．∵AC =2，BC=:P C PC '= ∴AC ：BC =:P C PC '．∴△P CA '∽△PCB ．………………………………2分（2）①作图如下：②Rt △ABC 中，AC =2，BC= ∴AB =4，∠PBC=30°． ∵△P CA '∽△PCB ，∴∠P AC '=∠PBC=30°，:AP PB '= ∵P∴∴1AP '=． ∵∠BAC =60°， ∴∠P AB '=90°．Rt △P AB '中，AP '=1，AB =4，∴BP '=………………………………5分 （3）当BP '最大时∠PBC=120°；当BP '最小时∠PBC=60°．………………………………7分 （当A ，B ，P '共线时，BP '取到最大值和最小值，如下图所示）18、（2018北京房山区第一学期检测）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，CD ⊥AB 于D ，P 是线段CD 上一个动点，以P 为直角顶点向下作等腰Rt △BPE ，连结AE ，DE . （1）∠BAE 的度数是否为定值？若是，求出∠BAE 的度数；若不是，说明理由； （2）直接写出DE 的最小值.19、（2018北京丰台区第一学期期末）如图，点E 是矩形ABCD 边AB 上一动点（不与点B 重合），过点E作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连接DF ．已知AB =4cm ，AD =2cm ，设A ，E 两点间的距离为x cm ，△DEF 面积为y cm 2．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x的取值范围是；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …3.7（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为cm．答案：（1）04x≤<；.……1分（2）3.8，4.0；……3分（3）如图……4分（4）0或2. ……6分20、（2018年北京海淀区第一学期期末）如图，在△ABC中，90ABC∠=︒，40C∠=°，点D是线段BC上D CBA EF的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至AD'，连接BD'．已知AB=2cm，设BD为x cm，B D'为y cm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：1.7（2（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD'的长度的最小值约为__________cm；若BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是_____________．答案：（1）0.9. ………………1分（2）如右图所示. ………………3分（3）0.7，………………4分≤≤. ………………6分x00.9121、（2018北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ． （1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．答案：22. （2018北京昌平区初二年级期末）在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =45º，CD 是△ABC 的高，P 是线段AC （不包括端点A ，C ）上一动点，以DP 为一腰，D 为直角顶点（D 、P 、E 三点逆时针）作等腰直角△DPE ，连接AE .（1）如图1，点P 在运动过程中，∠EAD =，写出PC 和AE 的数量关系； （2）如图2，连接BE . 如果AB =4，CP，求出此时BE 的长．解：(1)45°；PC =AE . ………………………………………………………………… 2分CBAEPD图2图1D PEABC(2)如图2，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°.∵∠BAC =45°,∴AD =DC .∵△DEP 是等腰直角三角形，∠EDP =90°,∴∠DEP =∠DPE =45°，DE =DP .∵∠EDP =∠ADC =90°，∴∠EDP -∠ADP =∠ADC -∠ADP .∴∠EDA =∠PDC .∴△EDA ≌△PDC.(SAS ) ………………………………… 4分∴45AE PC EAD ACD ==∠=∠=︒. …………………………………5分 过点E 作EF ⊥AB 于F .∴在Rt △AEF 中，利用勾股定理，可得EF = A F = 1. ………………………6分 ∵AB =4，∴BF =AB -AF =3.∴BE ==. ………………………………7分F C B A E P D 图2。

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初中数学常见的动态型问题(答案附后)

初中数学常见的动态型问题(答案附后)

5. (2017·无锡)如图，已知矩形 ABCD 中，AB 4, AD m ，动点 P 从点 D 出发，在边 DA 上以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，连接 CP ，作点 D 关于直线 I PC 的讨称点 E ，设 点 P 的运动时间为 t ( s). (1)若 m 6 ，求当 P 、 E 、 B 三点在同一直线上时对应的 t 的值; (2)已知 m 满足:在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻 t ，使点 E 到直线 BC 的距离等于 3，求所有这样的 m 的取值范围.
且 A(2, 0),C(0, 4) ， 直 线 l : y 1 x 4 与 x 轴 交 于 点 D ， 点 P 是 抛 物 线 2
y ax2 8 x c 上的一动点，过点 P 作 PE x 轴，垂足为 E ，交直线 l 于点 F . 5
①
②
(1)试求该抛物线的表达式;
OD 8 .
AD 10 .
在 RtOAC 中.由勾股定理得 AC2 20 ,
同理 DC2 80 , AC2 DC2 AD2 . ACD 是直角三角形. ②点 P 的横坐标为-5.5 或-10.5 或 2 或-18 时.能够使得以点 P,C, H 为顶点的三角形与 ACD 相似.
(2)分两种情况：
① 0 t 2 时， y 1 t2 2t ； 4
② 2 t 4 时， y 1 (8 t)2 . 12
(3)
sin NEF 3
10
.
10
7. (1) 由题意可得 QP AB ；
(2) m 4 35 t 或 m 4 5 t ;
2. 2 2
3.①②③
4.(1) BF 8 t(0 t 8) ; 5
新课标人教版九年级数学精题精解：专题40动态问题

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动态问题一.选择题1.（2015湖南邵阳第9题3分）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l 沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）A．B． C． D．考点：动点问题的函数图象．.专题：数形结合．分析：作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD=m，根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，BD=CD=m，当点F从点B运动到D时，如图1，利用正切定义即可得到y=tanB•t （0≤t≤m）；当点F从点D运动到C时，如图2，利用正切定义可得y=tanC•CF=﹣tanB•t+2mtanB （m≤t≤2m），即y与t的函数关系为两个一次函数关系式，于是可对四个选项进行判断．解答：解：作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD=m，∵△ABC为等腰三角形，∴∠B=∠C，BD=CD，当点F从点B运动到D时，如图1，在Rt△BEF中，∵tanB=，∴y=tanB•t（0≤t≤m）；当点F从点D运动到C时，如图2，在Rt△CEF中，∵tanC=，∴y=tanC•CF=tanC•（2m﹣t）=﹣tanB•t+2mtanB（m≤t≤2m）．故选B．点评：本题考查了动点问题的函数图象：利用三角函数关系得到两变量的函数关系，再利用函数关系式画出对应的函数图象．注意自变量的取值范围．2.（2015湖北荆州第9题3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ 的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A B C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．解答：解：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=BP•BQ，解y=•3x•x=x2；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=BQ•BC，解y=•x•3=x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=AP•BQ，解y=•（9﹣3x）•x=x﹣x2；故D选项错误．故选C．点评：本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．3．（2015•甘肃武威,第10题3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x 的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：证明△BPE∽△CDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断．解答：解：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，∴∠CPD+∠BPE=90°，又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°，∴∠BEP=∠CPD，又∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CDP，∴，即，则y=﹣x2+，y是x的二次函数，且开口向下．故选C．点评：本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE∽△CDP是关键．4．（2015•四川资阳,第8题3分）如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是考点：动点问题的函数图象．.分析：根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→D运动时；（3）当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．解答：解：（1）当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；（2）当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；（3）当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，∴y由45°逐渐增加到90°．故选：B．点评：（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．5. （2015•四川省内江市，第11题，3分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．B．2C． 2D．考点：轴对称－最短路线问题；正方形的性质．.分析：由于点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．解答：解：由题意，可得BE与AC交于点P．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．故选B．点评：此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点P的位置是解决问题的关键．6. （2015•山东威海，第11题3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F 点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B． C． D．考点：动点问题的函数图象．.分析：根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求得∠F=30°，然后证得△EDC是等边三角形，从而求得ED=DC=2﹣x，再根据直角三角形的性质求得EF，最后根据三角形的面积公式求得y与x函数关系式，根据函数关系式即可判定．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2﹣x，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴EF=ED=（2﹣x）．∴y=ED•EF=（2﹣x）•（2﹣x），即y=（x﹣2）2，（x＜2），故选A．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，特殊角的三角函数、三角形的面积等．7. （2015山东省德州市，11，3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD 和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是（）A. ②③B. ②④C. ①③④D.②③④第11题图【答案】D考点：角平分线的性质；正方形的判定方法；全等三角形的判定、勾股定理考点：几何动态问题函数图象二.填空题1. （2015•四川广安，第16题3分）如图，半径为r的⊙O分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆用相同速度匀速滚动一周，用时分别为t1、t2、t3，则t1、t2、t3的大小关系为t2＞t3＞t1．考点：轨迹．.分析：根据面积，可得相应的周长，根据有理数的大小比较，可得答案．解答：解：设面积相等的等边三角形、正方形和圆的面积为3.14，等边三角型的边长为a≈2，等边三角形的周长为6；正方形的边长为b≈1.7，正方形的周长为1.7×4=6.8；圆的周长为3.14×2×1=6.28，∵6.8＞6.28＞6，∴t2＞t3＞t1．故答案为：t2＞t3＞t1．点评：本题考查了轨迹，利用相等的面积求出相应的周长是解题关键．三.解答题1. （2015•四川甘孜、阿坝，第28题12分）如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y 轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题．.分析：（1）把点A坐标代入抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）求得抛物线的解析式即可；（2）求出抛物线的对称轴，再求得点B、C坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，再把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，求得k和b即可；（3）设N（x，ax2﹣5ax+2），分两种情况讨论：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，根据相似，得出比例式，再分别求得点N坐标即可．解答：解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）上，∴a﹣5a+2=0，∴a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+2；（2）抛物线的对称轴为直线x=，∴点B（4，0），C（0，2），设直线BC的解析式为y=kx+b，∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，得，解得k=﹣，b=2，∴直线BC的解析式y=﹣x+2；（3）设N（x，x2﹣x+2），分两种情况讨论：①当△OBC∽△HNB时，如图1，=，即=，解得x1=5，x2=4（不合题意，舍去），∴点N坐标（5，2）；②当△OBC∽△HBN时，如图2，=，即=﹣，解得x1=2，x2=4（不合题意舍去），∴点N坐标（2，﹣1）；综上所述点N坐标（5，2）或（2，﹣1）．点评：本题考查了二次函数的综合题，以及二次函数解析式和一次函数的解析式的确定以及三角形的相似，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答（3）问时需要进行分类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大．2. （2015•山东威海，第25题12分）已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接P A，PC，当P A=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．考点：二次函数综合题．.分析：（1）由对称轴可求得b，可求得l1的解析式，令y=0可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得l2的表达式；（2）设P点坐标为（1，y），由勾股定理可表示出PC2和P A2，由条件可得到关于y的方程可求得y，可求得P点坐标；（3）可分别设出M、N的坐标，可表示出MN，再根据函数的性质可求得MN的最大值．解答：解：（1）∵抛物线l1：y=﹣x2+bx+3的对称轴为x=1，∴﹣=1，解得b=2，∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为（﹣1，0），∵抛物线l2经过点A、E两点，∴可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x﹣5），又∵抛物线l2交y轴于点D（0，﹣），∴﹣=﹣5a，解得a=，∴y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣2x﹣，∴抛物线l2的函数表达式为y=x2﹣2x﹣；（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，P A2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4，∵PC=P A，∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，∴P点坐标为（1，1）；（3）由题意可设M（x，x2﹣2x﹣），∵MN∥y轴，∴N（x，﹣x2+2x+3），x2﹣2x﹣令﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，①当﹣1＜x≤时，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣2x﹣）=﹣x2+4x+=﹣（x﹣）2+，显然﹣1＜≤，∴当x=时，MN有最大值；②当＜x≤5时，MN=（x2﹣2x﹣）﹣（﹣x2+2x+3）=x2﹣4x﹣=（x﹣）2﹣，显然当x＞时，MN随x的增大而增大，∴当x=5时，MN有最大值，×（5﹣）2﹣=12；综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点．在（1）中求得A点的坐标是解题的关键，在（2）中用P点的坐标分别表示出P A、PC是解题的关键，在（3）中用M、N的坐标分别表示出MN的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较为基础，难度适中．3.（2015•山东日照，第22题14分）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？考点：二次函数综合题；线段的性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．.专题：压轴题．分析：（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=3，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①当∠P AQ=∠CAB 时，△P AQ∽△CA B．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠P AQ=∠CBA时，△P AQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE=EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，从而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN 最小．此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′=OC=3，ON=D′C=D C．然后求出点D 的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标．解答：解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得，解得：．新课标人教版∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．过点B作BH⊥x轴于H，如图1．∵C（3，0），B（4，1），∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=．同理：∠ACO=45°，AC=3，∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，∴tan∠BAC===；（Ⅱ）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．∵PQ⊥P A，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①如图2①，当∠P AQ=∠CAB时，则△P AQ∽△CA B．∵∠PGA=∠ACB=90°，∠P AQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴==．∴AG=3PG=3x．则P（x，3﹣3x）．新课标人教版把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得x2﹣x+3=3﹣3x，整理得：x2+x=0解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．②如图2②，当∠P AQ=∠CBA时，则△P AQ∽△CB A．同理可得：AG=PG=x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y=x2﹣x+3，得x2﹣x+3=3﹣x，整理得：x2﹣x=0解得：x1=0（舍去），x2=，∴P（，）；若点G在点A的上方，①当∠P AQ=∠CAB时，则△P AQ∽△CAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）．②当∠P AQ=∠CBA时，则△P AQ∽△CB A．同理可得：点P的坐标为P（，）．综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=AE，即AE=EN，∴点M在整个运动中所用的时间为+=DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，新课标人教版∴四边形OCD′N是矩形，∴ND′=OC=3，ON=D′C=D C．对于y=x2﹣x+3，当y=0时，有x2﹣x+3=0，解得：x1=2，x2=3．∴D（2，0），OD=2，∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，∴点E的坐标为（2，1）．点评：本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（Ⅱ）（1）小题的关键，把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第（Ⅱ）（2）小题的关键．4.（2015•山东聊城,第25题12分）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．.分析：（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；（2）由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；（3）分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．解答：解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，作NP⊥OA于P，如图1所示：则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴，即，解得：OP=x，PN=，∴点N的坐标是（x，）；（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，∴S=OM•PN=（4﹣x）•=﹣x2+x，∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4），配方得：S=﹣（x﹣2）2+，∵﹣＜0，∴S有最大值，当x=2时，S有最大值，最大值是；（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：则MN∥AB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵MN∥AB，新课标人教版∴△OMN∽△OAB，∴，即，解得：x=2；②若∠ONM=90°，如图3所示：则∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴，即，解得：x=；综上所述：x的值是2秒或秒．点评： 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果．5．(2015·深圳，第22题 分)如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE 在一条直线上，,3,6cm OD cm BC AB ===开始的时候BD =1cm ,现在三角板以2cm /s 的速度向右移动。

初中数学动态问题复习题

初中数学动态问题复习题

初中数学动态问题复习题初中数学动态问题复习题数学是一门需要动脑筋的学科，其中的动态问题更是让人头痛不已。

动态问题是指涉及时间、速度、距离等变量的数学问题。

在初中数学中，动态问题常常出现在应用题中，需要我们通过建立方程、列式子等方法来解决。

下面，我们来复习一些初中数学中常见的动态问题。

1. 小明骑自行车从A地到B地，全程100公里。

他开始时以每小时20公里的速度骑行，过了一段时间后，他加快了速度，以每小时30公里的速度骑行。

问小明骑行了多长时间到达B地？解析：设小明骑行了x小时后加快速度，那么他骑行了(100-20x)公里后加快速度。

根据速度等于路程除以时间，我们可以列出方程：20x + 30(100-20x) = 100解方程得到 x = 2。

所以小明骑行了2小时后加快速度，总共用时2 + (100-20*2)/30 = 4小时。

2. 甲、乙两辆汽车同时从A地出发，分别以每小时60公里和每小时80公里的速度相向而行，相距240公里时，一只鸟从甲车上飞到乙车上，然后再飞回甲车上，如此往复直到两车相遇。

问这只鸟飞了多少公里？解析：设鸟飞行的时间为t小时，那么两车相遇时，甲车行驶了60t公里，乙车行驶了80t公里。

根据题目中的条件，我们可以列出方程：60t + 80t = 240解方程得到 t = 2。

所以鸟飞行了2小时，飞行距离为60*2 = 120公里。

3. 甲、乙两辆汽车同时从A地出发，分别以每小时50公里和每小时70公里的速度相向而行，相距200公里时，一只兔子从甲车上跳到乙车上，然后再跳回甲车上，如此往复直到两车相遇。

问这只兔子跳了多少公里？解析：设兔子跳行的时间为t小时，那么两车相遇时，甲车行驶了50t公里，乙车行驶了70t公里。

根据题目中的条件，我们可以列出方程：50t + 70t = 200解方程得到 t = 2。

所以兔子跳行了2小时，跳行距离为50*2 = 100公里。

通过以上的复习题，我们可以看到，解决动态问题的关键是建立方程或列式子，并通过解方程或计算来得到答案。

中考数学专题复习之 41 动态问题(含解析)2 精编

中考数学专题复习之 41 动态问题(含解析)2 精编

41 动态问题(含解析)一、选择题1．（2016•武汉）如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A B．πC．D．2【考点】轨迹；等腰直角三角形；圆周角定理．【专题】计算题．【分析】取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB BC=4，则OC=12AB=2，OP=12AB=2，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．【解答】解：取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=∴AB BC=4，∴OC=12AB=2，OP=12AB=2，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=12•2π•1=π．故选B．【点评】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M 点的轨迹为以EF 为直径的半圆． 2． 2．1．（3分）（2016•黑龙江）如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t ，正方形与三角形不重合部分的面积为s （阴影部分），则s 与t 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形可知，当0≤t≤2时，以及当2＜t≤2时，当2＜t≤3时，求出函数关系式，即可得出答案．【解答】解：∵直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t ，正方形与三角形不重合部分的面积为s ， ∴s 关于t 的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前s 增大，当0≤t≤2时，s=21×1×1+2×2﹣221t ⨯=29﹣21t 2； 当2＜t≤2时，s=2122-×12=27；当2＜t≤3时，s=29﹣21（3﹣t ）2=21-t 2﹣3t ，∴A 符合要求，故选A ．【点评】此题主要考查了函数图象中动点问题，根据移动路线以及图形边长即可得出函数关系式情况是解决问题的关键．2．（3分）（2016•鄂州）如图，O 是边长为4cm 的正方形ABCD 的中心，M 是BC 的中点，动点P 由A 开始沿折线A ﹣B ﹣M 方向匀速运动，到M 时停止运动，速度为1cm/s ．设P 点的运动时间为t （s ），点P 的运动路径与OA 、OP 所围成的图形面积为S （cm 2），则描述面积S （cm 2）与时间t （s ）的关系的图象可以是（ ）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作OM⊥AB于M，由正方形的性质得出∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，AM=BM=OM=错误！未找到引用源。