小学六年级数学工程问题例题详细讲解与练习(有答案)

六年级数学工程问题(附例题答案)本文介绍了工程问题中的基本数量关系，即工作总量=工作效率×工作时间。

举例说明了如何计算两人合作完成一件工作需要的时间。

为了计算方便，可以把工作量设为整体1或整数化，也可以从比例角度出发或列方程等。

接下来给出了一个例题：甲做9天可以完成一件工作，乙做6天可以完成，现在甲先做了3天，问乙需要做几天才能完成全部工作。

根据基本数量关系，甲的工效为1/9，乙的工效为1/6，甲三天做了1/3的工作，余下的工作量为2/3，乙需要的时间为2/3÷1/6=4天。

第七讲工程问题例2.一个工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。

这个工程由丙队单独做需几天完成？解析：先计算甲、乙两队合作完成这个工程所需的时间：1-（1/24+1/30）×8=2/56÷2/5=15天。

因此，丙队单独做这个工程需要15+6=21天完成。

例3.某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，若由甲乙两人合作，需48天完成。

现在甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么还需要多少天？解析：根据已知条件，可以得出甲的工效为(1-28/48)/35=1/84，乙的工效为1/48-1/84=1/112.因此，甲先单独做42天后，剩下的工程量为1-42*1/84=1/2，需要乙再完成1/2，所需时间为(1/2)÷(1/112)=56天。

另一种方法是设甲每天完成工程的百分比为x，乙每天完成工程的百分比为y，则63x+28y=148(x+y)=1，解得x=1/84，y=1/112.因此，甲先单独做42天后，剩下的工程量为1/2，需要乙再完成1/2，所需时间为(1-42*1/84)/(1/112)=56天。

例4.一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的甲乙单独做这项工程各需要多少天？解析：设甲单独做需要X天，乙单独做需要Y天，则有4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1，同时有1/X -1/Y=1/30.解得X=10，Y=15，因此甲单独做需10天，乙单独做需15天。

六年级数学工程问题(附例题答案)一、知识要点在日常生活中；做某一件事；制造某种产品；完成某项任务；完成某项工程等等；都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量；它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率×工作时间.在小学数学中；探讨这三个数量之间关系的应用题；我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子：一件工作；甲做10天可完成；乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体；因此可以把工作量算作1.所谓工作效率；就是单位时间内完成的工作量；我们用的时间单位是“天”；1天就是一个单位；因此甲的工作效率是101；乙的工作效率是151；我们想求两人合作所需时间；就要先求两人合作的工作效率151101+；再根据基本数量关系式；得到所需时间=工作量÷工作效率 =6（天）.两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题；这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算）；可把工作量多设份额.如上题；10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份；乙每天完成2份.两人合作所需天数是30÷（3+ 2）= 6（天） 实际上我们把111()1015÷+这个算式；先用30乘了一下；都变成整数计算；就方便些. 10天与15天；体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系11:3:21015=.或者说“工作量固定；工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比；从比例角度考虑问题；也是非常实用的.根据3:2；两人合作时；甲应完成全部工作的33325=+；所需时间是31065⨯=（天）. 因此；在下面例题的讲述中；我们可以采用 “把工作量设为整体1”的做法；也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等；这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作；甲做9天可以完成；乙做6天可以完成.现在甲先做了3天；余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解析： 甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）例2. 有一工程；甲队单独做24天完成；乙队单独做30天完成；甲、乙两队合做8天后；余下的由丙队做；又做了6天才完成.这个工程由丙队单独做需几天完成？解析：1-（1/24+1/30）×8=2/5 6÷2/5=15天例3. 某工程先由甲单独做63天；再由乙单独做28天即可完成；若由甲乙两人合作；需48天完成；现在甲先单独做42天；然后由乙来单独完成；那么还需要多少天？解析：某工程先由甲单独做63天；再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天；甲再另外做了35天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84；乙的工效为1/48-1/84=1/112甲先单独做42天；然后由乙接着做；还需(1-42*1/84)/(1/112)=56天另一个方法：令甲每天做工程的百分比为x；乙每天做工程的百分比为y则63x+28y=1 48(x+y)=1求得x=1/84 y=1/112若甲独做42天；则完成工程的42/84；即1/2；剩下1/2由乙完成；需要1/2÷1/112=56天例4.一项工程；甲乙两人合作4天后；再由乙单独做5天完成；已知甲比乙每天多完成这项工程的130；甲乙单独做这项工程各需要多少天？甲单独做需X天；乙单独做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15甲单独做需10天；乙单独做需15天设甲单独做需X天；那么甲平均每天完成工程的1/X；因为甲比乙每天多完成这项工程的30分之一；就是说；乙平均每天完成1/X-1/30；按照已知条件；甲乙合作4天；4/X+4*(1/x-1/30)；随后；乙单独做了5天；5*(1/x-1/30)；加在一起；完成了这项工程；即；4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1x=10乙每天完成1/10-1/30=1/15；即；乙单独做需15天例5. 一项工程；甲队单独做20天完成；乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做；其间甲队休息了3天；乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？16天中甲实际休息了16-3=13天甲完成了13/20乙完成了1-13/20=7/20需要时间：7/20÷1/30=10.5天所以乙休息了16-10.5=5.5天例6. 有甲、乙两项工作；张单独完成甲工作要10天；单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天；单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作；那么这两项工作都完成最少需要多少天？解析1：先让张某单独完成乙；李某单独完成甲.乙还剩1-8/15=7/15两人合作时间为：7/15/（1/15+1/20)=4 所以至少要工作：8+4=12（天）解析2：小李做甲工效高小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲以后再和小张一起做乙至少需要:(1-8/15)÷(1/15+1/20)+8=12天例7.甲、乙合做一件工作要15天才能完成；现在甲、乙合做10天后；再由乙独做6天；还剩下这件工作的1/10；甲单独完成这件工作要多少天？解析：甲乙合作10天；完成了：10×1/15＝2/3 乙独做6天完成了：1－2/3－1/10＝7/30 乙每天完成：7/30÷6＝7/180 甲独做需要：1÷（1/15－7/180）＝36（天）例8. 一项工程甲队单独做15天可以完成；乙队独坐10天可以完成.现在开始两队合作；但中间乙队因另有任务调走；从开始到完成任务；甲队工作了9天；乙队比甲队少工作了多少天？解析：甲独做一天的工效为1/15；乙独做一天的工效为1/10.合做分想：这项工程甲做了9天；剩下的都是由乙队完成的.可以用工作总量减去甲队9天的工作量；求出乙队工作量；再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时间：（1－1/15×9）÷1/10＝4（天）.所以乙队比甲队少工作天数为：9－4＝5例9. 甲、乙合做一件工作；合作8天后；乙又独做5天；还剩下这件工作的1/6.已知乙单独完成这件工作要30天；那么甲单独完成这件工作要多少天？解析：1-1/30×（8+5）-1/6=12/30=2/5 2/5÷8=1/20 所以需要20天例10. 甲、乙合做一件工作；每天能完成全部工作的1/12；甲单独做6天；乙又单独做10天后；还剩下全部工作的11/30没有完成；甲单独完成全部工作要多少天？解析：6*1/12=1/2 1-11/30-1/2=2/15 (2/15)/(10-6)=1/30 1/(1/12-1/30)=20例11..一项工程；甲单独完成需12天；乙单独完成需9天.若甲先做若干天后乙接着做；共用10天完成；问甲做了几天？解析1：当做鸡兔同笼问题处理；如果10天都是乙做；能完成：1/9×10=10/9；超出了：10/9-1=1/9；每天；甲比乙少做：1/9-1/12=1/36；甲做了：1/9÷1/36=4天解析2：设甲做了X天X×1/12＋(10-X)×1/9＝1；得出X＝4甲做了4天例12. 一件工作；甲独做要12天；乙独做要18天；丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天；然后由乙接着做；乙做的天数是甲做的天数的3倍；再由丙接着做；丙做的天数是乙做的天数的2倍；终于做完了这件工作.问总共用了多少天？解析：设甲做了x天；则乙做了3x天；丙做了6x天；所以x/12+3x/18+6x/24=1；x/2=1x=2；所以总共用了2+3*2+6*2=20天例13. 一份稿件；甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是20小时、24小时、30小时；现在三人合打；但甲因中途另有任务提前撤出；结果用12小时完成；甲只打了多少小时？解析1：甲、乙、丙每小时单独打出稿件的1/20,1/24,1/30；打了12小时；则乙和丙分别打了全部稿件的12/24,12/30；12/24+12/30=9/10；则甲打了稿件的十分之一；(1/10)除以（1/20)=2甲打了2小时解析2：方程法：设甲打x小时.则：x/20+12*（1/24+1/30）=1；可解出X=2例14. 一项工程甲单独完成要30天；乙单独完成要45天；丙单独完成要90天.现在由甲、乙、丙合作完成此工程；在工作过程中甲休息了2天；乙休息了3天；丙没有休息；最后把工程完成了；问完成这项工程前后一共用了多少天？解析1：方程法设是第x天完成的；(x-2)/30 +(x-3)/45 +x/90=1整理；得x=17解析2：(1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=17(天)解释：假若甲、乙没休息；那么应该完成总工程的1+2/30 +3/45例15.一项工程；甲、乙两人合做4天后；再由甲单独做6天才完成全部任务.已知甲比乙每天多完成这项工程的1/80,则甲、乙单独完成各需多少天？解析1：思路同第四题；设乙每天完成的工作占整个工作的x；4(x+x+1/80)+6(x+1/80)=1x=1/16；x+1/80=3/40；所以甲40/3天完成；乙16天完成解析2：甲比乙多完成全部任务的：1/80*（4＋6）＝1/8（4＋6表示甲一共做了10天）1-1/8＝7/8（相当于两人均以乙的工效完成的工作量）4＋4＋6＝14（天）乙每天完成：7/8÷14＝1/16；甲每天完成：1/16＋1/80＝3/40；单独完成甲要：1÷3/40＝13又1/3（天）例16. 一件工作；甲、乙两人合作36天完成；乙、丙两人合作45天完成；甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？解析：甲乙合作的效率=1÷36=1/36；乙丙合作的效率=1÷45=1/45；甲丙合作的效率=1÷60=1/60；甲乙丙三人合作的效率=(1/36+1/45+1/60)÷2=1/30甲工作的效率=1/30-1/45=1/90三、练习题1. 某工程甲单独干10天完成；乙单独干15天完成；他们合干多少天才可完成工程的一半？解：3)151101(21=+÷天 2. 某工程甲队单独做需48天；乙队单独做需36天.甲队先干了6天后转交给乙队干；后来甲队重新回来与乙队一起干了10天；将工程做完.求乙队在中间单独工作的天数.3. 一条水渠；甲、乙两队合挖需30天完工.现在合挖12天后；剩下的乙队单独又挖了24天挖完.这条水渠由甲队单独挖需多少天？4. 单独干某项工程；甲队需100天完成；乙队需150天完成.甲、乙两队合干50天后；剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1.甲队单独干需100天；甲的工作效5. 某项工程；甲单独做需36天完成；乙单独做需45天完成.如果开工时甲、乙两队合做；中途甲队退出转做新的工程；那么乙队又做了18天才完成任务.问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想；变为“乙队先干18天；后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来；问题就简单多了.答：甲队干了12天.6. 制作一批零件；甲车间要10天完成；如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做；需要8天才能完成.现在三个车间一起做；完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工作量为1.甲每天比乙多完成因此这批零件的总数是丙车间制作的零件数目是答：丙车间制作了4200个零件.解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份；甲、乙一起每天完成5份；由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起；8天完成.乙完成8×2=16（份）；丙完成30-16=14（份）；就知乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.已知甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.综合一起；甲、乙、丙三人工作效率之比是12∶8∶7.当三个车间一起做时；丙制作的零件个数是2400÷（12- 8） × 7= 4200（个）.7. 搬运一个仓库的货物；甲需要10小时；乙需要12小时；丙需要15小时.有同样的仓库A 和B ；甲在A 仓库、乙在B 仓库同时开始搬运货物；丙开始帮助甲搬运；中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2；所需时间是答：丙帮助甲搬运3小时；帮助乙搬运5小时.解本题的关键；是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化；设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6；乙每小时搬运 5；丙每小时搬运4.三人共同搬完；需要60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）.甲需丙帮助搬运（60- 6×8）÷4= 3（小时）.乙需丙帮助搬运（60- 5×8）÷4= 5（小时）.8.一件工作；甲独做12天完成；乙独做18天完成；丙独做24天完成.这件工作先由甲做了若干天；然后乙接着做；乙做的天数是甲做的天数的3倍；再由丙接着做；丙做的天数是乙做的天数的2倍；终于做完了这件工作；求这件工作做完共用了多少天？【解析】：解法一：列方程解答.设甲先做了X天；则乙接着做了3 X天；丙做了（2×3）X天；由题意可得：X×1/12＋3X×1/18＋（2×3）X×1/24＝1解得：X＝2所以这件工作做完共用时间：2×（1＋3＋2×3）＝20（天）.解法二：把甲的工效（一天的工作量）、乙工效的3倍、丙工效的6倍合起来的工作量看作一份；总工作量里有这样的几份；甲就工作了几天；可以求出甲工作的天数为：1÷（1/12＋3×1/18＋2×3×1/24）＝2（天）所以这件工作做完共用时间：2×（1＋3＋2×3）＝20（天）.。

第七讲 工程问题第七讲工程问题一、知识要点在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率×工作时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”. 举一个简单例子：一件工作，甲做 10天可完成，乙做 15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量， 我们用的时间 单位是“天”，1天就是一个单位，因此甲的工作效率是1，乙的工作效率是 1，我们想求两人合作所需时间， 1 1 10 15就要先求两人合作的工作效率 ，再根据基本数量关系式，得到所需时间 =工作量÷工作效率10 15 =6（天）. 两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可把工作量多设份额 .如上题，10与15的最小公倍数是30.设全 部工作量为30份.那么甲每天完成 3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是30÷（3+2）=6（天） 实际上我们把1(11)这个算式，先用 30乘了一下，都变成整数计算，就方便些.101510天与15天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系1 :13:2.或者说“工作量固定，工作效率与 10 15时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是 15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也是 非常实用的.根据3:2，两人合作时，甲应完成全部工作的3 3 3，所需时间是 103 6（天）. 2 5 5因此，在下面例题的讲述中，我们可以采用 “把工作量设为整体 1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1.一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解析： 甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9×3＝1/3 余下的工作：1－1/3＝2/3乙需做的天数：2/3 ÷1/6＝4（天）例2.有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做 30天完成，甲、乙两队合做 8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。

第七讲工程问题之老阳三干创作一、知识要点在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率×工作时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，间=工作量÷工作效率=6（天）.两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展发生的.30÷（3+ 2）= 6（天）30乘了一下，都酿成整数计算，就方便些.10天与15或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3.因此，在下面例题的讲述中，我们可以采取“把工作量设为整体1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解析：甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）例2.有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。

这个工程由丙队单独做需几天完成？解析：1-（1/24+1/30）×8=2/5 6÷2/5=15天例3.某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，若由甲乙两人合作，需48天完成，现在甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么还需要多少天？解析：某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天，甲再另外做了35天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84，乙的工效为1/48-1/84=1/112甲先单独做42天，然后由乙接着做，还需(1-42*1/84)/(1/112)=56天另一个方法：令甲每天做工程的百分比为x，乙每天做工程的百分比为y则63x+28y=1 48(x+y)=1求得x=1/84 y=1/112若甲独做42天，则完成工程的42/84，即1/2，剩下1/2由乙完成，需要1/2÷1/112=56天例4.一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比甲单独做需X天，乙单独做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15甲单独做需10天，乙单独做需15天设甲单独做需X天，那么甲平均每天完成工程的1/X；因为甲比乙每天多完成这项工程的30分之一，就是说，乙平均每天完成1/X-1/30；依照已知条件，甲乙合作4天，4/X+4*(1/x-1/30)，随后，乙单独做了5天，5*(1/x-1/30)，加在一起，完成了这项工程，即，4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1x=10乙每天完成 1/10-1/30=1/15，即，乙单独做需15天例5. 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？16天中甲实际休息了16-3=13天甲完成了13/20乙完成了1-13/20=7/20需要时间：7/20÷例 6. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？解析1：先让张某单独完成乙，李某单独完成甲。

第七讲工程问题一、知识要点在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量 =工作效率×工作时间 . 在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题” .举一个简单例子：一件工作，甲做 10 天可完成，乙做 15 天可完成 .问两人合作几天可以完成？一件工作看成 1 个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用11的时间单位是“天” ，1 天就是一个单位，因此甲的工作效率是1，乙的工作效率是1，我们想求两人合10 1511作所需时间，就要先求两人合作的工作效率，再根据基本数量关系式，得到所需时间 =工作量÷工10 15作效率=6（天） .两人合作需要 6 天 .这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的 . 为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可把工作量多设份额 .如上题， 10 与 15 的最小公倍数是30.设全部工作量为 30 份.那么甲每天完成 3份，乙每天完成 2 份.两人合作所需天数是30÷（ 3+ 2）= 6（天）11实际上我们把1 （）这个算式，先用 30 乘了一下，都变成整数计算，就方便些.10 151110 天与 15 天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系: 3: 2 .或者说“工作量固定，工作效10 15率与时间成反比例” .甲、乙工作效率的比是 15∶ 10=3∶ 2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问3 3 3题，也是非常实用的 .根据3: 2 ，两人合作时，甲应完成全部工作的 3 3，所需时间是10 3 6（天）3 2 5 5因此，在下面例题的讲述中，我们可以采用“把工作量设为整体 1”的做法，也可以“整数化” 或“从比例角度出发” 、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些 .二、典型例题例 1. 一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成 .现在甲先做了 3 天，余下的工作由乙继续完成 . 乙需要做几天可以完成全部工作？解析：甲的工效： 1 ÷9 ＝ 1/9 乙的工效： 1÷6＝1/6 甲三天做了的： 1/9 × 3＝1/3余下的工作： 1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数： 2/3 ÷ 1/6 ＝ 4(天)例 2. 有一工程，甲队单独做 24 天完成，乙队单独做 30 天完成，甲、乙两队合做 8 天后，余下的由丙队做，又做了 6 天才完成。

小学六年级数学上册——工程问题1.用分数解决工程问题的解题方法与用整数解决工程问题的解题方法相同，所用数量关系相同，即工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率。

2.在用分数解决工程问题时，通常没有具体的工作总量，解题时把工作总量看作单位“1”，用单位时间内完成工作总量的几分之一表示工作效率。

基础巩固例题1.修一段路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。

如果两队同时修，几天能完成？练习1.录入一份稿件，陈老师单独录入要用18小时，李老师单独录入要用12小时。

两个人合作，几小时能完成这份稿件的一半？例题2.一项工作，甲单独做3天完成这项工作的101，乙单独做4天完成这项工作的51。

甲、乙合作12天，能完成全部工作吗？练习2.有一堆钢材，甲汽车运这堆钢材的61要2天，乙汽车运这堆钢材的52要10天。

乙汽车独运5天，剩下的钢材由甲、乙两汽车共同来运，这需几天运完？例题3.一项工程，甲、乙两队合作需要12天完成，乙、丙两队合作需要15天完成，甲、丙两队合作需要20天完成，甲、乙、丙三队合作需要几天完成？练习3.一项工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作60天完成。

问甲单独做需要多少天完成？思维拓展例题1.一项工程，甲队单独做要10小时完成，乙队单独做要12小时完成，丙队单独做要15小时完成。

开始三队合作，中途丙队有事离开，剩下的由甲、乙两队完成。

从工程开始到结束共用了5小时。

问丙队实际做了几小时？练习1.有一批工艺品。

王大妈独自加工要20天完成，李大妈独自加工要30天完成，张大妈独自加工要40天完成。

现在三人合作，王大妈家中有事中间暂停几天，结果用了12天完成。

王大妈中间休息了几天？例题2.一辆客车和一辆货车同时从A 、B 两城相对开出，经过8小时相遇，相遇后两车各自按原来速度继续行驶。

第七讲工程问题第1 页共6 页1 第七讲工程问题一、知识要点在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率×工作时间. 在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”. 举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，因此甲的工作效率是101，乙的工作效率是151，我们想求两人合作所需时间，作所需时间，就要先求两人合作的工作效率就要先求两人合作的工作效率151101+，再根据基本数量关系式，再根据基本数量关系式，得到所需时间得到所需时间=工作量÷工作效率=6（天）. 两人合作需要6天. 这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的. 为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可把工作量多设份额如上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是30÷（3+ 2）= 6（天）实际上我们把111()1015¸+这个算式，先用30乘了一下，都变成整数计算，就方便些. 10天与15天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系11:3:21015=或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问从比例角度考虑问题，也是非常实用的.根据3:2，两人合作时，甲应完成全部工作的33325=+，所需时间是31065´=（天）. 因此，在下面例题的讲述中，在下面例题的讲述中，我们可以采用我们可以采用“把工作量设为整体1”的做法，的做法，也可以也可以“整数化”“整数化”或或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些. 二、典型例题例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解析：甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3 余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）例2.有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。

第七讲 工程问题一、知识要点在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率×工作时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，因此甲的工作效率是101，乙的工作效率是151，我们想求两人合作所需时间，就要先求两人合作的工作效率151101 ，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效率=6（天）.两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可把工作量多设份额.如上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是30÷（3+ 2）= 6（天） 实际上我们把111()1015÷+这个算式，先用30乘了一下，都变成整数计算，就方便些.10天与15天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系11:3:21015=.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也是非常实用的.根据3:2，两人合作时，甲应完成全部工作的33325=+，所需时间是31065⨯=（天）. 因此，在下面例题的讲述中，我们可以采用 “把工作量设为整体1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解析： 甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天） 例2. 有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。

第七讲 工程问题一、知识要点在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率×工作时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，因此甲的工作效率是101，乙的工作效率是151，我们想求两人合作所需时间，就要先求两人合作的工作效率151101+，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效率 =6（天）.两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可把工作量多设份额.如上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是30÷（3+ 2）= 6（天） 实际上我们把111()1015÷+这个算式，先用30乘了一下，都变成整数计算，就方便些. 10天与15天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系11:3:21015=.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也是非常实用的.根据3:2，两人合作时，甲应完成全部工作的33325=+，所需时间是31065⨯=（天）. 因此，在下面例题的讲述中，我们可以采用 “把工作量设为整体1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解析： 甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）例2. 有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。

第七讲 工程问题一、知识要点在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率×工作时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，因此甲的工作效率是101，乙的工作效率是151，我们想求两人合作所需时间，就要先求两人合作的工作效率151101+，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效率=6（天）.两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可把工作量多设份额.如上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是30÷（3+ 2）= 6（天） 实际上我们把111()1015÷+这个算式，先用30乘了一下，都变成整数计算，就方便些. 10天与15天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系11:3:21015=.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也是非常实用的.根据3:2，两人合作时，甲应完成全部工作的33325=+，所需时间是31065⨯=（天）. 因此，在下面例题的讲述中，我们可以采用 “把工作量设为整体1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解析：甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 ×3＝1/3余下的工作：1 －1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷1/6＝4（天）例2.有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。

小学六年级数学上册——工程问题1.用分数解决工程问题的解题方法与用整数解决工程问题的解题方法相同，所用数量关系相同，即工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率。

2.在用分数解决工程问题时，通常没有具体的工作总量，解题时把工作总量看作单位“1”，用单位时间内完成工作总量的几分之一表示工作效率。

基础巩固例题1.修一段路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。

如果两队同时修，几天能完成？练习1.录入一份稿件，陈老师单独录入要用18小时，李老师单独录入要用12小时。

两个人合作，几小时能完成这份稿件的一半？例题2.一项工作，甲单独做3天完成这项工作的101，乙单独做4天完成这项工作的51。

甲、乙合作12天，能完成全部工作吗？练习2.有一堆钢材，甲汽车运这堆钢材的61要2天，乙汽车运这堆钢材的52要10天。

乙汽车独运5天，剩下的钢材由甲、乙两汽车共同来运，这需几天运完？例题3.一项工程，甲、乙两队合作需要12天完成，乙、丙两队合作需要15天完成，甲、丙两队合作需要20天完成，甲、乙、丙三队合作需要几天完成？练习3.一项工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作60天完成。

问甲单独做需要多少天完成？思维拓展例题1.一项工程，甲队单独做要10小时完成，乙队单独做要12小时完成，丙队单独做要15小时完成。

开始三队合作，中途丙队有事离开，剩下的由甲、乙两队完成。

从工程开始到结束共用了5小时。

问丙队实际做了几小时？练习1.有一批工艺品。

王大妈独自加工要20天完成，李大妈独自加工要30天完成，张大妈独自加工要40天完成。

现在三人合作，王大妈家中有事中间暂停几天，结果用了12天完成。

王大妈中间休息了几天？例题2.一辆客车和一辆货车同时从A 、B 两城相对开出，经过8小时相遇，相遇后两车各自按原来速度继续行驶。

第七讲工程成绩之相礼和热创作一、学问要点在一样平常生存中，做某一件事，制造某种产品，完成某项义务，完成某项工程等等，都要触及到工作总量、工作服从、工作工夫这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作服从×工作工夫.在小学数学中，探究这三个数量之间关系的使用题，我们都叫做“工程成绩”.举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个团体，因而可以把工作量算作1.所谓工作服从，就是单位工夫内完成的工作量，我们用的工夫单位是“天”，1天就是数量关系式，得到所需工夫=工作量÷工作服从=6（天）.两人合作必要6天.这是工程成绩中最基本的成绩，这一讲引见的许多例子都是从这一成绩进展发生的.30÷（3+ 2）= 6（天）30乘了一下，都酿成整数计算，就方便些.10天与15或者说“工作量固定，工作服从与工夫成反比例”.甲、乙工作服从的比是15∶10=3.因而，在上面例题的讲述中，我们可以采取“把工作量设为团体1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思绪更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.如今甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙必要做几天可以完成全部工作？解析：甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）例 2.有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天赋完成.这个工程由丙队单独做需几天完成？解析：1-（1/24+1/30）×8=2/5 6÷2/5=15天例3.某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，若由甲乙两人合作，需48天完成，如今甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么还必要多少天？解析：某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天，甲再另外做了35天以是甲的工效为(1-28/48)/35=1/84，乙的工效为1/48-1/84=1/112甲先单独做42天，然后由乙接着做，还需(1-42*1/84)/(1/112)=56天另一个方法：令甲每天唱工程的百分比为x，乙每天唱工程的百分比为y则63x+28y=1 48(x+y)=1求得x=1/84 y=1/112若甲独做42天，则完成工程的42/84，即1/2，剩下1/2由乙完成，必要1/2÷1/112=56天例4.一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已天？甲单独做需X天，乙单独做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15甲单独做需10天，乙单独做需15天设甲单独做需X天，那么甲均匀每天完成工程的1/X；由于甲比乙每天多完成这项工程的30分之一，就是说，乙均匀每天完成1/X-1/30；按照已知条件，甲乙合作4天，4/X+4*(1/x-1/30)，随后，乙单独做了5天，5*(1/x-1/30)，加在一同，完成了这项工程，即，4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1x=10乙每天完成1/10-1/30=1/15，即，乙单独做需15天例5. 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.如今他们两队一同做，其间甲队苏息了3天，乙队苏息了多少天.从开始到完成共用了16天.问乙队苏息了多少天？16天中甲实践苏息了16-3=13天甲完成了13/20乙完成了1-13/20=7/20必要工夫：7/20÷例6. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.假如每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少必要多少天？解析1：先让张某单独完成乙，李某单独完成甲.乙还剩1-8/15=7/15两人合作工夫为：7/15/（1/15+1/20)=4 以是至多要工作：8+4=12（天）解析2：小李做甲工效高小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲当前再和小张一同做乙至多必要:(1-8/15)÷(1/15+1/20)+8=12天例7.甲、乙合做一件工作要15天赋能完成，如今甲、乙合做10天后，再由乙独做6天，还剩下这件工作的1/10，甲单独完成这件工作要多少天？解析：甲乙合作10天，完成了：10×1/15＝2/3 乙独做6天完成了：1－2/3－1/10＝7/30 乙每天完成：7/30÷6＝7/180 甲独做必要：1÷（1/15－7/180）＝36（天）例8. 一项工程甲队单独做15天可以完成，乙队独坐10天可以完成.如今开始两队合作，但两头乙队因另有义务调走，从开始到完成义务，甲队工作了9天，乙队比甲队少工作了多少天？解析：甲独做一天的工效为1/15，乙独做一天的工效为1/10.合做分想：这项工程甲做了9天，剩下的都是由乙队完成的.可以用工作总量减往甲队9天的工作量，求出乙队工作量，再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作工夫：（1－1/15×9）÷1/10＝4（天）.以是乙队比甲队少工作天数为：9－4＝5例9. 甲、乙合做一件工作，合作8天后，乙又独做5天，还剩下这件工作的1/6.已知乙单独完成这件工作要30天，那么甲单独完成这件工作要多少天？解析：1-1/30×（8+5）-1/6=12/30=2/5 2/5÷8=1/20 以是必要20天例10. 甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的1/12，甲单独做6天，乙又单独做10天后，还剩下全部工作的11/30没有完成，甲单独完成全部工作要多少天？解析：6*1/12=1/2 1-11/30-1/2=2/15 (2/15)/(10-6)=1/30 1/(1/12-1/30)=20例11..一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天.若甲先做多少天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？解析1：当做鸡兔同笼成绩处理，假如10天都是乙做，能完成：1/9×10=10/9，超出了：10/9-1=1/9，每天，甲比乙少做：1/9-1/12=1/36，甲做了：1/9÷1/36=4天解析2：设甲做了X天 X×1/12＋(10-X)×1/9＝1，得出X＝4甲做了4天例12. 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了多少天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问统共用了多少天？解析：设甲做了x天，则乙做了3x天，丙做了6x天，以是x/12+3x/18+6x/24=1，x/2=1x=2，以是统共用了2+3*2+6*2=20天例13. 一份稿件，甲、乙、丙三人单独打字必要的工夫分别是20小时、24小时、30小时，如今三人合打，但甲因中途另有义务提早撤出，结果用12小时完成，甲只打了多少小时？解析1：甲、乙、丙每小时单独打出稿件的1/20,1/24,1/30，打了12小时，则乙和丙分别打了全部稿件的12/24,12/30，12/24+12/30=9/10，则甲打了稿件的非常之一，(1/10)除以（1/20)=2甲打了2小时解析2：方程法：设甲打x小时.则：x/20+12*（1/24+1/30）=1，可解出X=2例14. 一项工程甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天.如今由甲、乙、丙合作完成此工程，在工作过程中甲苏息了2天，乙苏息了3天，丙没有苏息，末了把工程完成了，问完成这项工程前后一共用了多少天？解析1：方程法设是第x天完成的，(x-2)/30 +(x-3)/45 +x/90=1整理，得x=17解析2：(1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=17(天)解释：假若甲、乙没苏息，那么应该完成总工程的1+2/30 +3/45例15.一项工程，甲、乙两人合做4天后，再由甲单独做6天赋完成全部义务.已知甲比乙每天多完成这项工程的1/80,则甲、乙单独完成各需多少天？解析1：思绪同第四题，设乙每天完成的工作占整个工作的x，4(x+x+1/80)+6(x+1/80)=1x=1/16，x+1/80=3/40，以是甲40/3天完成，乙16天完成解析2：甲比乙多完成全部义务的：1/80*（4＋6）＝1/8（4＋6暗示甲一共做了10天）1-1/8＝7/8（相当于两人均以乙的工效完成的工作量）4＋4＋6＝14（天）乙每天完成：7/8÷14＝1/16，甲每天完成：1/16＋1/80＝3/40，单独完成甲要：1÷3/40＝13又1/3（天）例16. 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做必要多少天完成？解析：甲乙合作的服从=1÷36=1/36，乙丙合作的服从=1÷45=1/45，甲丙合作的服从=1÷60=1/60，甲乙丙三人合作的服从=(1/36+1/45+1/60)÷2=1/30甲工作的服从=1/30-1/45=1/90三、练习题1. 某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天赋可完成工程的一半？2. 某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天.甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一同干了10天，将工程做完.求乙队在两头单独工作的天数.3. 一条水渠，甲、乙两队合挖需30天竣工.如今合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完.这条水渠由甲队单独挖需多少天？4. 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成.甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1.甲队单独干需100天，甲的工作效5. 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成.假如开工时甲、乙两队合做，中途甲队加入转做新的工程，那么乙队又做了18天赋完成义务.问：甲队干了多少天？分析：将标题的条件倒过来想，变成“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，成绩就简单多了.答：甲队干了12天.6. 制造一批零件，甲车间要10天完成，假如甲车间与乙车间一同做只需6天就能完成.乙车间与丙车间一同做，必要8天赋能完成.如今三个车间一同做，完成后发现甲车间比乙车间多制造零件2400个.问丙车间制造了多少个零件？解一：仍设总工作量为1.甲每天比乙多完成因而这批零件的总数是丙车间制造的零件数目是答：丙车间制造了4200个零件.解二：10与6最小公倍数是30.设制造零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一同每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知乙、丙工作服从之比是16∶14=8∶7.已知甲、乙工作服从之比是 3∶2= 12∶8.综合一同，甲、乙、丙三人工作服从之比是12∶8∶7.当三个车间一同做时，丙制造的零件个数是2400÷（12- 8）× 7= 4200（个）.7.搬运一个仓库的货物，甲必要10小时，乙必要12小时，丙必要15小时.有异样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮忙甲搬运，中途又转向帮忙乙搬运.末了两个仓库货物同时搬完.问丙帮忙甲、乙各多少工夫？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.如今相当于三人共同完成工作量2，所需工夫是答：丙帮忙甲搬运3小时，帮忙乙搬运5小时.解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的工夫.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.三人共同搬完，必要60 × 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）.甲需丙帮忙搬运（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）.乙需丙帮忙搬运（60- 5× 8）÷4= 5（小时）.8.一件工作，甲独做12天完成，乙独做18天完成，丙独做24天完成.这件工作先由甲做了多少天，然后乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作，求这件工作做完共用了多少天？【解析】：解法一：列方程解答.设甲先做了X天，则乙接着做了3 X天，丙做了（2×3）X天，由题意可得：X×1/12＋3X×1/18＋（2×3）X×1/24＝1解得：X＝2以是这件工作做完共用工夫：2×（1＋3＋2×3）＝20（天）.解法二：把甲的工效（一天的工作量）、乙工效的3倍、丙工效的6倍合起来的工作量看作一份，总工作量里有这样的几份，甲就工作了几天，可以求出甲工作的天数为：1÷（1/12＋3×1/18＋2×3×1/24）＝2（天）以是这件工作做完共用工夫：2×（1＋3＋2×3）＝20（天）.。

第七讲 工程问题一、知识要点 在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率×工作时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，因此甲的工作效率是101，乙的工作效率是151，我们想求两人合作所需时间，就要先求两人合作的工作效率151101+，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效率 =6（天）.两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可把工作量多设份额.如上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是30÷（3+ 2）= 6（天） 实际上我们把111()1015÷+这个算式，先用30乘了一下，都变成整数计算，就方便些. 10天与15天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系11:3:21015=.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也是非常实用的.根据3:2，两人合作时，甲应完成全部工作的33325=+，所需时间是31065⨯=（天）. 因此，在下面例题的讲述中，我们可以采用 “把工作量设为整体1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解析：甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 ×3＝1/3余下的工作：1 －1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷1/6＝4（天）例2.有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。

工程问题（一）顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。

其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。

在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。

单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。

工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。

但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。

甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。

甲队单独干需100天，甲的工作效例2 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。

如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。

问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。

答：甲队干了12天。

例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。

开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。

问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。

如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。

这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。

首先求出两人合作完成需要的时间，例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。

工程问题（一）分析与解：以全部工程量为单位1。

甲队单独干需100天,甲的工作效例2 分析:将题目的条件倒过来想,变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天?"这样一来，问题就简单多了.答：甲队干了12天.例3 分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量,剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4 分析与解：这道题可以分三步。

首先求出两人合作完成需要的时间，例5例6 分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。

甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。

我们将题目改述一下：完成一件工作,甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。

答：甲再出发后15分钟两人相遇。

答案与提示练习22。

14天.3.120天。

4.350棵。

5.6000米。

6.8时。

提示：甲管12时都开着，乙管开7。

280千米。

工程问题（二）分析与解：本题没有直接给出工作效率,为了求出甲、乙的工作效率,我们先画出示意图：从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。

于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件,通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24(天）甲、乙合做这一工程,需用的时间为例2分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天,乙再单独例3 分析与解：乙单独做要超过3天,甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完成,说明甲做2天等于乙做3天,即完成这件工作，乙需要的时间是甲的，乙需要10+5=15（天）。

甲、乙合作需要例4 分析与解:同时打开1,2，3号阀门1分钟，再同时打开2，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，3,4号阀门1分钟，再同时打开1,2，4号阀门1分钟，这时，1，2，3,4号阀门各打开了3分钟，放水量等于一例5 分析与解：与例4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是例6分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。

第七讲工程成绩之杨若古兰创作一、常识要点在日常生活中，做某一件事，建造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效力、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效力×工作时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的利用题，我们都叫做“工程成绩”.举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个全体，是以可以把工作量算作1.所谓工作效力，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，是以甲的工作效力是，乙的工作效力是，我们想求两人合作所需时间，就要先求两人合作的工作效力，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效力=6（天）.两人合作须要6天.这是工程成绩中最基本的成绩，这一讲介绍的很多例子都是从这一成绩发展发生的.30÷（3+ 2）= 6（天）实际上我们把这个算式，先用30乘了一下，都酿成整数计算，就方便些.10天与15天，体现了甲、乙两人工作效力之间比例关系，两人合作时，甲应完成全部工作的，所需时间是（天）.是以，在上面例题的讲述中，我们可以采取“把工作量设为全体1”的做法，也能够“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，如许会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.此刻甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙须要做几天可以完成全部工作？解析：甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）例2. 有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成.这个工程由丙队单独做需几天完成？解析：1-（1/24+1/30）×8=2/5 6÷2/5=15天例3. 某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，若由甲乙两人合作，需48天完成，此刻甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么还须要多少天？解析：某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天，甲再另外做了35天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84，乙的工效为1/48-1/84=1/112甲先单独做42天，然后由乙接着做，还需(1-42*1/84)/(1/112)=56天另一个方法：令甲每天唱工程的百分比为x，乙每天唱工程的百分比为y则63x+28y=1 48(x+y)=1求得x=1/84 y=1/112若甲独做42天，则完成工程的42/84，即1/2，剩下1/2由乙完成，须要1/2÷1/112=56天例4. 一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的，甲乙单独做这项工程各须要多少天？甲单独做需X天，乙单独做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15甲单独做需10天，乙单独做需15天设甲单独做需X天，那么甲平均每天完成工程的1/X；由于甲比乙每天多完成这项工程的30分之一，就是说，乙平均每天完成1/X-1/30；按照已知条件，甲乙合作4天，4/X+4*(1/x-1/30)，随后，乙单独做了5天，5*(1/x-1/30)，加在一路，完成了这项工程，即，4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1x=10乙每天完成1/10-1/30=1/15，即，乙单独做需15天例5. 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.此刻他们两队一路做，其间甲队歇息了3天，乙队歇息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队歇息了多少天？例6. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成起码须要多少天？解析1：先让张某单独完成乙，李某单独完成甲.乙还剩1-8/15=7/15两人合作时间为：7/15/（1/15+1/20)=4 所以致少要工作：8+4=12（天）解析2：小李做甲工效高小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲当前再和小张一路做乙至多须要:(1-8/15)÷(1/15+1/20)+8=12天例7. 甲、乙合做一件工作要15天才干完成，此刻甲、乙合做10天后，再由乙独做6天，还剩下这件工作的1/10，甲单独完成这件工作要多少天？解析：甲乙合作10天，完成了：10×1/15＝2/3 乙独做6天完成了：1－2/3－1/10＝7/30 乙每天完成：7/30÷6＝7/180 甲独做须要：1÷（1/15－7/180）＝36（天）例8. 一项工程甲队单独做15天可以完成，乙队独坐10天可以完成.此刻开始两队合作，但两头乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了9天，乙队比甲队少工作了多少天？解析：甲独做一天的工效为1/15，乙独做一天的工效为1/10.合做分想：这项工程甲做了9天，剩下的都是由乙队完成的.可以用工作总量减去甲队9天的工作量，求出乙队工作量，再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时间：（1－1/15×9）÷1/10＝4（天）.所以乙队比甲队少工作天数为：9－4＝5例9. 甲、乙合做一件工作，合作8天后，乙又独做5天，还剩下这件工作的1/6.已知乙单独完成这件工作要30天，那么甲单独完成这件工作要多少天？解析：1-1/30×（8+5）-1/6=12/30=2/5 2/5÷8=1/20 所以须要20天例10. 甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的1/12，甲单独做6天，乙又单独做10天后，还剩下全部工作的11/30没有完成，甲单独完成全部工作要多少天？解析：6*1/12=1/2 1-11/30-1/2=2/15 (2/15)/(10-6)=1/30 1/(1/12-1/30)=20例11..一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天.若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？解析1：当做鸡兔同笼成绩处理，如果10天都是乙做，能完成：1/9×10=10/9，超出了：10/9-1=1/9，每天，甲比乙少做：1/9-1/12=1/36，甲做了：1/9÷1/36=4天解析2：设甲做了X天X×1/12＋(10-X)×1/9＝1，得出X＝4甲做了4天例12. 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终究做完了这件工作.问总共用了多少天？解析：设甲做了x天，则乙做了3x天，丙做了6x天，所以x/12+3x/18+6x/24=1，x/2=1x=2，所以总共用了2+3*2+6*2=20天例13. 一份稿件，甲、乙、丙三人单独打字须要的时间分别是20小时、24小时、30小时，此刻三人合打，但甲因半途另有任务提前撤出，结果用12小时完成，甲只打了多少小时？解析1：甲、乙、丙每小时单独打出稿件的1/20,1/24,1/30，打了12小时，则乙和丙分别打了全部稿件的12/24,12/30，12/24+12/30=9/10，则甲打了稿件的十分之一，(1/10)除以（1/20)=2甲打了2小时解析2：方程法：设甲打x小时.则：x/20+12*（1/24+1/30）=1，可解出X=2例14. 一项工程甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天.此刻由甲、乙、丙合作完成此工程，在工作过程中甲歇息了2天，乙歇息了3天，丙没有歇息，最初把工程完成了，问完成这项工程前后一共用了多少天？解析1：方程法设是第x天完成的，(x-2)/30 +(x-3)/45 +x/90=1清算，得x=17解析2：(1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=17(天)解释：假若甲、乙没歇息，那么应当完成总工程的1+2/30 +3/45例15. 一项工程，甲、乙两人合做4天后，再由甲单独做6天才完成全部任务.已知甲比乙每天多完成这项工程的1/80,则甲、乙单独完成各需多少天？解析1：思路同第四题，设乙每天完成的工作占全部工作的x，4(x+x+1/80)+6(x+1/80)=1x=1/16，x+1/80=3/40，所以甲40/3天完成，乙16天完成解析2：甲比乙多完成全部任务的：1/80*（4＋6）＝1/8（4＋6暗示甲一共做了10天）1-1/8＝7/8（相当于两人均以乙的工效完成的工作量）4＋4＋6＝14（天）乙每天完成：7/8÷14＝1/16，甲每天完成：1/16＋1/80＝3/40，单独完成甲要：1÷3/40＝13又1/3（天）例16. 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做须要多少天完成？解析：甲乙合作的效力=1÷36=1/36，乙丙合作的效力=1÷45=1/45，甲丙合作的效力=1÷60=1/60，甲乙丙三人合作的效力=(1/36+1/45+1/60)÷2=1/30甲工作的效力=1/30-1/45=1/90三、练习题1. 某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？解：天2. 某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天.甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队从头回来与乙队一路干了10天，将工程做完.求乙队在两头单独工作的天数.3. 一条水渠，甲、乙两队合挖需30天竣工.此刻合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完.这条水渠由甲队单独挖需多少天？4. 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成.甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1.甲队单独干需100天，甲的工作效5. 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成.如果开工时甲、乙两队合做，半途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务.问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变成“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”如许一来，成绩就简单多了.答：甲队干了12天.6. 建造一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一路做只需6天就能完成.乙车间与丙车间一路做，须要8天才干完成.此刻三个车间一路做，完成后发现甲车间比乙车间多建造零件2400个.问丙车间建造了多少个零件？解一：仍设总工作量为1.甲每天比乙多完成是以这批零件的总数是丙车间建造的零件数目是答：丙车间建造了4200个零件.解二：10与6最小公倍数是30.设建造零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一路每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙一路，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知乙、丙工作效力之比是16∶14=8∶7.已知甲、乙工作效力之比是3∶2= 12∶8.综合一路，甲、乙、丙三人工作效力之比是12∶8∶7.当三个车间一路做时，丙建造的零件个数是2400÷（12- 8）× 7= 4200（个）.7.搬运一个仓库的货物，甲须要10小时，乙须要12小时，丙须要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮忙甲搬运，半途又转向帮忙乙搬运.最初两个仓库货物同时搬完.问丙帮忙甲、乙各多少时间？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.此刻相当于三人共同完成工作量2，所需时间是答：丙帮忙甲搬运3小时，帮忙乙搬运5小时.解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也能够整数化，设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.三人共同搬完，须要60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）.甲需丙帮忙搬运（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）.乙需丙帮忙搬运（60- 5× 8）÷4= 5（小时）.8.一件工作，甲独做12天完成，乙独做18天完成，丙独做24天完成.这件工作先由甲做了若干天，然后乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终究做完了这件工作，求这件工作做完共用了多少天？【解析】：解法一：列方程解答.设甲先做了X天，则乙接着做了3 X天，丙做了（2×3）X天，由题意可得：X×1/12＋3X×1/18＋（2×3）X×1/24＝1解得：X＝2所以这件工作做完共用时间：2×（1＋3＋2×3）＝20（天）.解法二：把甲的工效（一天的工作量）、乙工效的3倍、丙工效的6倍合起来的工作量看作一份，总工作量里有如许的几份，甲就工作了几天，可以求出甲工作的天数为：1÷（1/12＋3×1/18＋2×3×1/24）＝2（天）所以这件工作做完共用时间：2×（1＋3＋2×3）＝20（天）.。

最新六年级数学⼯程问题（附例题答案）六年级数学⼯程问题(附例题答案)⼀、知识要点在⽇常⽣活中,做某⼀件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项⼯程等等,都要涉及到⼯作总量、⼯作效率、⼯作时间这三个量,它们之间的基本数量关系是⼯作总量=⼯作效率×⼯作时间.在⼩学数学中,探讨这三个数量之间关系的应⽤题,我们都叫做“⼯程问题”.举⼀个简单例⼦：⼀件⼯作,甲做10天可完成,⼄做15天可完成.问两⼈合作⼏天可以完成？⼀件⼯作看成1个整体,因此可以把⼯作量算作1.所谓⼯作效率,就是单位时间内完成的⼯作量,我们⽤的时间单位是“天”,1天就是⼀个单位,因此甲的⼯作效率是101,⼄的⼯作效率是151,我们想求两⼈合作所需时间,就要先求两⼈合作的⼯作效率151101+,再根据基本数量关系式,得到所需时间=⼯作量÷⼯作效率=6（天）.两⼈合作需要6天.这是⼯程问题中最基本的问题,这⼀讲介绍的许多例⼦都是从这⼀问题发展产⽣的.为了计算整数化（尽可能⽤整数进⾏计算）,可把⼯作量多设份额.如上题,10与15的最⼩公倍数是30.设全部⼯作量为30份.那么甲每天完成3份,⼄每天完成2份.两⼈合作所需天数是30÷（3+ 2）= 6（天）实际上我们把111()1015÷+这个算式,先⽤30乘了⼀下,都变成整数计算,就⽅便些. 10天与15天,体现了甲、⼄两⼈⼯作效率之间⽐例关系11:3:21015=.或者说“⼯作量固定,⼯作效率与时间成反⽐例”.甲、⼄⼯作效率的⽐是15∶10=3∶2.当知道了两者⼯作效率之⽐,从⽐例⾓度考虑问题,也是⾮常实⽤的.根据3:2,两⼈合作时,甲应完成全部⼯作的33325=+,所需时间是31065=（天）. 因此,在下⾯例题的讲述中,我们可以采⽤ “把⼯作量设为整体1”的做法,也可以“整数化”或“从⽐例⾓度出发”、“列⽅程”等,这样会使我们的解题思路更灵活⼀些.⼆、典型例题例1. ⼀件⼯作,甲做9天可以完成,⼄做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的⼯作由⼄继续完成.⼄需要做⼏天可以完成全部⼯作？解析：甲的⼯效：1÷9＝1/9 ⼄的⼯效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3余下的⼯作：1 － 1/3 ＝2/3 ⼄需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）例2. 有⼀⼯程,甲队单独做24天完成,⼄队单独做30天完成,甲、⼄两队合做8天后,余下的由丙队做,⼜做了6天才完成。

第七讲 工程问题第七讲工程问题一、知识要点在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率×工作时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”. 举一个简单例子：一件工作，甲做 10天可完成，乙做 15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量， 我们用的时间 单位是“天”，1天就是一个单位，因此甲的工作效率是1，乙的工作效率是 1，我们想求两人合作所需时间， 1 1 10 15就要先求两人合作的工作效率 ，再根据基本数量关系式，得到所需时间 =工作量÷工作效率10 15 =6（天）. 两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可把工作量多设份额 .如上题，10与15的最小公倍数是30.设全 部工作量为30份.那么甲每天完成 3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是30÷（3+2）=6（天） 实际上我们把1(11)这个算式，先用 30乘了一下，都变成整数计算，就方便些.101510天与15天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系1 :13:2.或者说“工作量固定，工作效率与 10 15时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是 15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也是 非常实用的.根据3:2，两人合作时，甲应完成全部工作的3 3 3，所需时间是 103 6（天）. 2 5 5因此，在下面例题的讲述中，我们可以采用 “把工作量设为整体 1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1.一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解析： 甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9×3＝1/3 余下的工作：1－1/3＝2/3乙需做的天数：2/3 ÷1/6＝4（天）例2.有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做 30天完成，甲、乙两队合做 8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。