全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷).pdf

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=1+i，则−2z|=()A. 0B. 1C.D. 22.设集合A={−40}，B={x|2x+a0}，且A B={x|−2x1}，则a=()A. −4B. −2C. 2D. 43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. B. C. D.4.已知A为抛物线C:=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=()A. 2B. 3C. 6D. 95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(，)(i=1，2，，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+C. y=a+D. y=a+b x6.函数f(x)=−的图像在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+17.设函数f(x)=(x+)在[−，]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.8.(x+y2)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()xA. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)，且3cos2α−8cosα=5，则=()A. B. C. D.10.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为ABC的外接圆，若的面积为4，AB=BC=AC=，则球O的表面积为()A. 64B. 48C. 36D. 3211.已知M:+−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，且切点为A，B，当|PM||AB|最小时，直线AB的方程为()A. 2x−y−1=0B. 2x+y−1=0C. 2x−y+1=0D. 2x+y+1=012.若2a+log2a=4b+2log4b，则()A. a>2bB. a<2bC. a>D. a<二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为__________．14.设，为单位向量，且||=1，则||=__________．15.已知F为双曲线C:−=1(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为__________．16.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=，AB AC，AB AD，CAE=，则FCB=__________．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.设{}是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．(1)求{}的公比;(2)若=1，求数列{}的前n项和．18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=DO．(1)证明：PA平面PBC;(2)求二面角B−PC−E的余弦值．19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为．(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率．20.已知A，B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点．21.已知函数f(x)=+−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)当x0时，f(x)+1，求a的取值范围．22.[选修4−4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为4−16+3=0．(1)当k=1时，是什么曲线?(2)当k=4时，求与的公共点的直角坐标．23.[选修4−4:坐标系与参数方程]已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．答案和解析1. D解：由z =1+i 得z 2=2i ，2z =2+2i ，|z 2−2z |=|2i −(2+2i)|=2．2. B解：由已知可得A ={x|−2⩽x ⩽2}，B ={x|x ⩽−a2}， 又因为A ∩B ={x|−2⩽x ⩽1}， 所以−a2=1，从而a =−2,3. C解：如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a,侧面三角形底边上的高为ℎ′， 则由题意可得{ℎ2=12aℎ′ℎ2=(ℎ′)2−(a2)2,故(ℎ′)2−(a2)2=12aℎ′，化简可得4(ℎ′a )2−2(ℎ′a )−1=0,解得ℎ′a=1±√54．负值舍去可得ℎ′a=1+√544.C解：设点A的坐标为(x,y)，由点A到y轴的距离为9，可得x=9,由点A到点C的焦点的距离为12，可得x+p2=12解得p=6．5.D解：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a+bln x．6.B解：先求函数的导函数f′(x)=4x3−6x2，则由函数的几何意义可知在点(1,f(1))的切线斜率为k=f′(1)=−2．又因为f(1)=−1，则切线方程为y−(−1)=−2(x−1)，则y=−2x+1．7.C解：由图可知f(−4π9)=cos(−4π9w+π6)=0，所以−4π9w+π6=π2+kπ(k∈Z),化简可得w=−3+9k4(k∈Z)，又因为T<2π<2T，即2π|w|<2π<4π|w|，所以1<|ω|<2，当且仅当k=−1时1<|ω|<2，所以w=32，所以最小正周期T=2π|w|=4π3．8.C解：(x+y)5的展开式通项为C5r x5−r y r，r=0，1，2，3，4，5，则(x+y2x )(x+y)5的展开式有xC5r x5−r y r，y2xC5r x5−r y r，取r=3和r=1时可得10x3y3，5x3y3，合并后系数为15，9.A解：∵3cos2α−8cosα=5，∴3(2cos2α−1)−8cosα=5，即3cos2α−4cosα−4=0，(3cosα+2)(cosα−2)=0，α∈(0,π)，即cosα=−23，又α∈(0,π)，sinα>0，∴sinα=√1−cos2α=√53，10.A解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，=2r=4，得AB=OO1=2√3，由正弦定理：ABsin60∘由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，11.D解：圆M方程化为：(x−1)2+(y−1)2=4，圆心M(1,1)，半径r=2，根据切线的性质及圆的对称性可知，则|PM|⋅|AB|=4S△PAM=2|PA|⋅|AM|，要使其值最小，只需|PA|最小，即|PM|最小，此时，=√5，|PA|=√|PM|2−|AM|2=1，∴|PM|=√5(x−1)，联立l的方程解得P(−1,0)，过点M且垂直于l的方程为y−1=12以P为圆心，|PA|为半径的圆的方程为(x+1)2+y2=1，即x2+y2+2x=0，结合圆M的方程两式相减可得直线AB的方程为2x+y+1=0，12.B解：根据指数及对数的运算性质，4b+2log4b=22b+log2b，∵log2(2b)=log2b+1>log2b，∴22b+log2(2b)>22b+log2b=2a+log2a，根据函数f(x)=2x+log2x是定义域上的增函数，由f(2b)>f(a)，得a<2b，13.1解：根据约束条件画出可行域为：由z=x+7y得y=−17x+17z，平移直线y=−17x，要使z最大，则y=−17x+17z在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，14.√3解：|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =2+2a⃗⋅b⃗ =1，a⃗⋅b⃗ =−12，|a⃗−b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =2−2a⃗⋅b⃗ =3，∴|a⃗−b⃗ |=√3．15.2解：由题意可知，B在双曲线C的右支上，且在x轴上方，∵BF垂直于x轴，把x=c代入x2a2−y2b2=1，得y=b2a，∴B点坐标为(c,b2a)，又A点坐标为(a,0)，∴k AB=b2a−0c−a=3，化简得b2=3ac−3a2=c2−a2，即2a2−3ac+c2=0，解得c=2a或c=a(舍)，故e=ca=2．16.−14解：由已知得BD=√2AB=√6，∵D、E、F重合于一点，∴AE=AD=√3，BF=BD=√6，∴△ACE中，由余弦定理得，∴CE=CF=1，BC²=AC²+AB²，BC=2，∴在△BCF中，由余弦定理得．17.解：⑴设等比数列{a n}的公比为q(q≠1)，由题意知：2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2，所以q2+q−2=0，解得q=−2．(2)若a1=1，则a n=(−2)n−1，所以数列{na n}的前n项和为T n=1+2×(−2)+3×(−2)2+⋯+n(−2)n−1，则−2T n=−2+2×(−2)2+3×(−2)3+⋯+n(−2)n，两式相减得3T n=1+(−2)+(−2)2+(−2)3+(−2)n−1−n(−2)n=1−(−2)n1−(−2)−n(−2)n=1−(3n+1)(−2)n3，所以T n=1−(3n+1)(−2)n9．18.(1)证明：不妨设⊙O的半径为1，则AO=OB=OC=1，AE=AD=2，AB=BC=CA=√3，DO=√DA2−OA2=√3，PO=√66DO=√22，PA=PB=PC=√PO2+AO2=√62，在△PAC中，PA2+PC2=AC2，故PA⊥PC，同理可得PA⊥PB，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，∴PA ⊥平面PBC ．(2)解：以OE ，OD 所在直线分别为y ，z 轴，圆锥底面内垂直于OE 的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则有B (√32,12,0),C (−√32,12,0),P (0,0,√22),E (0,1,0)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,√22)， 设平面PBC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，解得n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)， 同理可得平面PCE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√6,−2√3)， 由图形可知二面角B −PC −E 为锐角，则cosθ=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√55， 故二面角B −PC −E 的余弦值为2√55．19. 解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，则P =(12)4=116．(2)设甲输掉一场比赛为事件A ，乙输掉一场比赛为事件B ，丙输掉一场比赛为事件C ， 四场比赛能结束为事件N ，则P(N)=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BABA)+P(BCBC)=116×4=14所以需要进行第五场比赛的概率为P =1−P(N)=1−14=34(3) 丙获胜的概率为：P =P (ABAB )+P(BABA)+P(ABACB)+P(BABCA)+P(ABCAB)+P(ABCBA) +P(BACAB)+P(BACBA)+P(ACABB)+P(ACBAB)+P(BCABA)+P(BCBAA) =(12)4×2+(12)5×10=716．20. 解：由题意A (−a,0),B (a,0),G (0,1),AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1), AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−1=8⇒a 2=9⇒a =3， ∴椭圆E 的方程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (−3,0),B (3,0),P (6,m )，则直线PA 的方程为y =m 9(x +3)，联立{y =m 9(x +3)x 29+y 2=1⇒(9+m 2)x 2+6m 2x +9m 2−81=0,由韦达定理−3x C =9m 2−819+m 2⇒x C =−3m 2+279+m 2，代入直线PA 的方程y =m 9(x +3)得，y C =6m9+m 2，即C (−3m 2+279+m 2,6m9+m 2)，直线PB的方程为y=m3(x−3)，联立{y=m3(x−3)x29+y2=1⇒(1+m2)x2−6m2x+9m2−9=0,由韦达定理3x D=9m2−91+m2⇒x D=3m2−31+m2，代入直线PA的方程y=m3(x−3)得，y D=−2m1+m2，即D(3m2−31+m2,−2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2=4m3(3−m2)，∴直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m3(3−m2)(x−3m2−31+m2)，整理得y=4m3(3−m2)(x−32)，∴直线CD过定点(32,0)．21.解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，记g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，所以g(x)=f′(x)=e x+2x−1在R上单调递增，又f′(0)=0，得当x>0时f′(x)>0，即f(x)=e x+x2−x在(0,+∞)上单调递增；当x<0时f′(x)<0，即f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减．所以f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当x=0时，a∈R；②当x>0时，f(x)≥12x3+1即a≥12x3+x+1−e xx2，令ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3记m(x)=e x−12x2−x−1，m′(x)=e x−x−1令q(x)=e x−x−1，因为x>0，所以q′(x)=e x−1>0，所以m′(x)=q(x)=e x−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m′(x)=e x−x−1> m′(0)=0所以m(x)=e x−12x2−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m(x)=e x−12x2−x−1>m(0)=0，故当x∈(0,2)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(0,2)上单调递增；当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(2,+∞)上单调递减；所以[ℎ(x)]max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可知，实数a的取值范围是[7−e24,+∞)．22.解：(1)当k=1时，曲线C1的参数方程为{x=costy=sint，化为直角坐标方程为x2+y2=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆．(2)k=4时，曲线C1的参数方程为{x=cos 4ty=sin4t，化为直角坐标方程为√x+√y=1，曲线C2化为直角坐标方程为4x−16y+3=0，联立{√x+√y=14x−16y+3=0，解得{x=14y=14,所以曲线C1与曲线C2的公共点的直角坐标为(14,14 )．23.解：(1)函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|=，图像如图所示：(2)函数f(x+1)的图像即为将f(x)的图像向左平移一个单位所得，如图，联立y=−x−3和y=5x+4解得交点横坐标为x=−，原不等式的解集为．。

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理）一、选择题1.设2()3()46z z z z i ++-=+，则z =(）A.12i -B.12i +C.1i +D.1i -答案：C 解析：设z a bi =+，则z a bi =-，2()3()4646z z z z a bi i ++-=+=+，所以1a =，1b =，所以1z i =+.2.已知集合{|21,}S s s n n Z ==+∈，{|41,}T t t n n Z ==+∈，则S T = ()A.∅B.SC.TD.Z 答案：C 解析：21s n =+，n Z ∈；当2n k =，k Z ∈时，{|41,}S s s k k Z ==+∈；当21n k =+，k Z ∈时，{|43,}S s s k k Z ==+∈.所以T S Ü，S T T = .故选C.3.已知命题:p x R ∃∈﹐sin 1x <；命题||:,1x q x R e∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（）A.p q∧B.p q ⌝∧C.p q∧⌝D.()p q ⌝∨答案：A 解析：根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，故x R ∃∈，sin 1x <，p 为真命题，而函数||x y y e ==为偶函数，且0x ≥时，||1x y e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.，则q 也为真命题，所以p q ∧为真，选A.4.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案：B 解析：12()111x f x x x -==-+++，()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数.5.在正方体1111ABCD ABC D -中，P 为11BD 的中点，则直线PB 与1A D 所成的角为（）A.2πB.3πC.4πD.6π答案：D 解析：如图，1P B C ∠为直线PB 与1A D 所成角的平面角.易知11AB C ∆为正三角形，又P 为11AC 中点，所以16PBC π∠=.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种答案：C 解析：所求分配方案数为2454240C A =.7.把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin()4y x π=-的图像，则)(f x =（）A.7sin()212x π-B.sin()212x π+C.7sin(212x π-D.sin(212x π+答案：B解析：逆向：231sin()sin(sin() 412212 y x y x y xππππ=-−−−→=+−−−−−−−→=+左移横坐标变为原来的倍.故选B.8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A.7 9B.23 32C.9 32D.2 9答案：B解析：由题意记(0,1)x∈，(1,2)y∈，题目即求74x y+>的概率，绘图如下所示.故113311123224411132 ABCDAM ANSPS==⨯-⋅-⨯⨯==⨯阴正.9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点,,E H G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”.GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB =（）A.⨯+表高表距表高表目距的差B.⨯-表高表距表高表目距的差C.⨯+表高表距表距表目距的差D.⨯-表高表距表距表目距的差答案：A 解析：连接DF 交AB 于M ，则AB AM BM =+.记BDM α∠=，BFM β∠=，则tan tan MB MBMF MD DF βα-=-=.而tan FG GC β=，tan EDEHα=.所以11(()tan tan tan tan MB MB GC EH GC EH MB MB MB FG ED ED βαβα--=-=⋅-=⋅.故ED DF MB GC EH ⋅⨯==-表高表距表目距的差，所以高AB ⨯=+表高表距表高表目距的差.10.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a >答案：D 解析：若0a >，其图像如图（1），此时，0a b <<；若0a <，时图像如图（2），此时，0b a <<.综上，2ab a <.11.设B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足，2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A.[)2B.1[,1)2C.2D.1(0,2答案：C 解析：由题意，点(0,)B b ，设00(,)P x y ，则2222200002221(1)x y y x a a b b +=⇒=-，故22222222222000000022()(122y c PB x y b a y by b y by a b b b =+-=-+-+=--++，0[,]y b b ∈-.由题意，当0y b =-时，2PB 最大，则32b b c -≤-，22b c ≥，222a c c -≥，2c c a =≤，2(0,2c ∈.12.设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c -，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.c a b <<答案：B 解析:设()ln(1)1f x x =+，则(0.02)b c f -=，易得1()1f x x '==+当0x ≥时，1x +=≥()0f x '≤.所以()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以(0.02)(0)0f f <=，故b c <.再设()2ln(1)1g x x =++，则(0.01)a c g -=，易得2()21g x x '==+当02x ≤<时，1x ≥=+，所以()g x '在[0.2)上0≥.故()g x 在[0.2)上单调递增，所以(0.01)(0)0g g >=，故a c >.综上，a c b >>.二、填空题13.已知双曲线C ：221(0)x y m m-=>的一条渐近线为0my +=，则C 的焦距为.答案：4解析：易知双曲线渐近线方程为by x a=±，由题意得2a m =，21b =，且一条渐近线方程为y x m=-，则有0m =（舍去），3m =，故焦距为24c =.14.已知向量(1,3)a = ，(3,4)b = ，若()a b b λ-⊥，则λ=.答案：35解析：由题意得()0a b b λ-⋅= ，即15250λ-=，解得35λ=.15.记ABC ∆的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，60B =︒，223a c ac +=，则b =.答案：解析：1sin24ABC S ac B ac ∆===4ac =，由余弦定理，222328b a c ac ac ac ac =+-=-==，所以b =.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ==，BA BC =，2AC =，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，AC AB =，2BC =，俯视图为④.三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y，样本方差分别己为21s 和22S .（1）求x ，y，21s ，22s ：（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果2212210s s y x +-≥，否则不认为有显著提高)。

绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6≥0}，则M∩N=( )A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}2.已知z=1−i2+2i，则z−z−=( )A. −iB. iC. 0D. 13.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗⃗=(1,−1).若(a⃗⃗+λb⃗⃗)⊥(a⃗⃗+μb⃗⃗)，则( )A. λ+μ=1B. λ+μ=−1C. λμ=1D. λμ=−14.设函数f(x)=2x(x−a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( )A. (−∞,−2]B. [−2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)5.设椭圆C1：x2a2+y2=1(a>1)，C2：x24+y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2=√ 3e1，则a=( )A. 2√ 33B. √ 2C. √ 3D. √ 66.过点(0,−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=( )A. 1B. √ 154C. √ 104D. √ 647.记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{S nn}为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知sin(α−β)=13，cosαsinβ=16，则cos(2α+2β)=( )A. 79B. 19C. −19D. −79二、多选题：本题共4小题，共20分。

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．　11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=　2　．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为　﹣5　．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为　4cm3　．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。

绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A.2M ∈ B.3M∈ C.4M∉ D.5M∉【答案】A 【解析】【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A2.已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A.1,2a b ==- B.1,2a b =-= C.1,2a b == D.1,2a b =-=-【答案】A 【解析】【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】12iz =+12i (12i)(1)(22)iz az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩故选:A3.已知向量,a b 满足||1,||2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅ a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）A.15b b < B.38b b < C.62b b < D.47b b <【答案】D 【解析】【分析】根据()*1,2,k k α∈=N …，再利用数列{}n b 与k α的关系判断{}n b 中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为()*1,2,k k α∈=N ，所以1121ααα<+，112111ααα>+，得到12b b >，同理11223111ααααα+>++，可得23b b <，13b b >又因为223411,11αααα>++112233411111ααααααα++<+++，故24b b <，34b b >；以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误；178b b b >>，故B 错误；26231111αααα>++…，得26b b <，故C 错误；11237264111111αααααααα>++++++…，得47b b <，故D 正确.故选：D.5.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A.2B. C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A 坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，()1,0F ，则2AF BF ==，即点A 到准线1x =-的距离为2，所以点A 的横坐标为121-+=，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，所以AB ==.故选：B6.执行下边的程序框图，输出的n =（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =-=-==+=，222231220.0124b a -=-=>；执行第二次循环，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =-=-==+=，222271220.01525b a -=-=>；执行第三次循环，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =-=-==+=，2222171220.0112144b a -=-=<，此时输出4n =.故选：B7.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（）A.平面1B EF ⊥平面1BDD B.平面1B EF ⊥平面1A BD C.平面1//B EF 平面1A ACD.平面1//B EF 平面11AC D【答案】A 【解析】【分析】证明EF ⊥平面1BDD ，即可判断A ；如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，分别求出平面1B EF ，1A BD ，11AC D 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD .【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥且1DD ⊥平面ABCD ，又EF ⊂平面ABCD ，所以1EF DD ⊥，因为,E F 分别为,AB BC 的中点，所以EF AC ，所以EF BD ⊥，又1BD DD D = ，所以EF ⊥平面1BDD ，又EF ⊂平面1B EF ，所以平面1B EF ⊥平面1BDD ，故A 正确；如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，则()()()()()()()112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0B E F B A A C ，()10,2,2C ，则()()11,1,0,0,1,2EF EB =-= ，()()12,2,0,2,0,2DB DA ==，()()()1110,0,2,2,2,0,2,2,0,AA AC A C ==-=-设平面1B EF 的法向量为()111,,m x y z =，则有11111020m EF x y m EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，可取()2,2,1m =- ，同理可得平面1A BD 的法向量为()11,1,1n =--，平面1A AC 的法向量为()21,1,0n =，平面11AC D 的法向量为()31,1,1n =-，则122110m n ⋅=-+=≠，所以平面1B EF 与平面1A BD 不垂直，故B 错误；因为m 与2n uu r 不平行，所以平面1B EF 与平面1A AC 不平行，故C 错误；因为m 与3n不平行，所以平面1B EF 与平面11AC D 不平行，故D 错误，故选：A.8.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A.14 B.12C.6D.3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==.故选：D .9.已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.13B.12C.33D.22【答案】C 【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r 又22r h 1+=则212327O ABCDV r h -=⋅⋅=当且仅当222r h =即h =时等号成立，故选：C10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（）A.p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大【答案】D 【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p 甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p 乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p 丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p 甲则2132131231232(1)2(1)2()4p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-甲记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p 乙则1231232131232(1)2(1)2()4p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-乙记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p 丙则1321323121232(1)2(1)2()4p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-丙则[]()1231232131231232()42()420p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<甲乙[]()2131233121232312()42()420p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<乙丙即p p <甲乙，p p <乙丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大.选项D 判断正确；选项BC 判断错误；p 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A 判断错误.故选：D11.双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A.2B.32C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，可判断N 在双曲线的右支，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，即可求出sin α，sin β，cos β，在21F F N 中由()12sin sin F F N αβ∠=+求出12sin F F N ∠，再由正弦定理求出1NF ，2NF ，最后根据双曲线的定义得到23b a =，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，sin a c β=，cos b c β=，在21F F N 中，()()12sin sin sin F F N παβαβ∠=--=+4334sin cos cos sin 555b a a bc c cαβαβ+=+=⨯+⨯=，由正弦定理得211225sin sin sin 2NF NF c cF F N αβ===∠，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c ++=∠=⨯=，2555sin 222c c a a NF c β==⨯=又12345422222a b a b aNF NF a +--=-==，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率221312c b e a a ==+=故选：C12.已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（）A.21-B.22-C.23-D.24-【答案】D 【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10=甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所以甲、乙都入选的概率310P =故答案为：31014.过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；【解析】【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；15.记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若3()2f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．【答案】3【解析】【分析】首先表示出T ，根据()32f T =求出ϕ，再根据π9x =为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解；【详解】解：因为()()cos f x x ωϕ=+，（0>ω，0πϕ<<）所以最小正周期2πT ω=，因为()()2π3cos cos 2πcos 2f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+==⎪⎝⎭，又0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又π9x =为()f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k ω+=+∈，解得39,Z k k ω=+∈，因为0>ω，所以当0k =时min 3ω=；故答案为：316.已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．【答案】1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由12,x x 分别是函数()22e xf x a x =-的极小值点和极大值点，可得()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，()12,x x x ∈时，()0f x '>，再分1a >和01a <<两种情况讨论，方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，构造函数()ln x g x a a =⋅，根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.【详解】解：()2ln 2e xf x a a x '=⋅-，因为12,x x 分别是函数()22e xf x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，当()12,x x x ∈时，()0f x '>，若1a >时，当0x <时，2ln 0,2e 0x a a x ⋅><，则此时()0f x '>，与前面矛盾，故1a >不符合题意，若01a <<时，则方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，令()ln xg x a a =⋅，则()2ln ,01xg x a a a '=⋅<<，设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln x x a a ⋅，则切线的斜率为()020ln xg x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln eln aa aa ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e ea <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的范围为1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.三、解答题：共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．（1）证明：2222a b c =+；（2）若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．【答案】（1）见解析（2）14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解.【小问1详解】证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅，即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-，所以2222a b c =+；【小问2详解】解：因为255,cos 31a A ==，由（1）得2250b c +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则50502531bc -=，所以312bc =，故()2222503181b c b c bc +=++=+=，所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.18.如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；（2）设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为7【解析】【分析】（1）根据已知关系证明ABD CBD ≌△△，得到AB CB =，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到BE DE ⊥，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【小问1详解】因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥；在ABD △和CBD 中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥；又因为,DE BE ⊂平面BED ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BED ，因为AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .【小问2详解】连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ，所以AC EF ⊥，所以1=2AFC S AC EF ⋅△，当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小.因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==，又因为60ACB ∠=︒，所以ABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，BE =，因为AD CD ⊥，所以112DE AC ==,在DEB 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()()()1,0,0,,0,0,1A B D ，所以()()1,0,1,AD AB =-=-，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取y =，则()n = ，又因为()31,0,0,0,44C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以31,,44CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以43cos ,7n CF n CF n CF⋅==，设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，所以43sin cos ,7n CF θ== ，所以CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为437.19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积i x 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量i y 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数iii=122iii=1i=1( 1.896 1.377)()()nn nx x y y r x x y y --=≈--∑∑∑．【答案】（1）20.06m ；30.39m （2）0.97（3）31209m 【解析】【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x ==样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y ==据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m ，平均一棵的材积量为30.39m 【小问2详解】()()1010iii i10x x y y x y xyr ---=∑∑0.01340.970.01377=≈则0.97r ≈【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为3m Y ，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209m Y ．则该林区这种树木的总材积量估计为31209m 20.已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【答案】（1）22143y x +=（2）(0,2)-【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【小问1详解】解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.【小问2详解】3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N -，代入AB 方程223y x =-，可得263,)3T ，由MT TH =得到265,3H +.求得HN 方程：26(223y x =--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数()()ln 1exf x x ax -=++（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）2y x =（2）(,1)-∞-【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e xxf x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x=【小问2详解】()ln(1)e xax f x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x xxa xa x f x x x '+--=+=++设()2()e 1xg x a x=+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -,当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20xg x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1xx g x a x ∈-=+-设()()e 2x h x g x ax'==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为322sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=．（1）写出l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】（1320++=y m （2）195122-≤≤m 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可.【小问1详解】因为l ：sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，所以13sin cos 022ρθρθ⋅+⋅+=m ，又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=，所以化简为13022++=y x m ，整理得l 20++=y m 【小问2详解】联立l 与C 的方程，即将2=x t ，2sin y t =代入20++=y m 中，可得3cos 22sin 20++=t t m ，所以23(12sin )2sin 20-++=t t m ，化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ，要使l 与C 有公共点，则226sin 2sin 3=--m t t 有解，令sin =t a ，则[]1,1a ∈-，令2()623=--f a a a ，(11)a -≤≤，对称轴为16a =，开口向上，所以(1)623()5=-=+-=max f f a ，min 11219(()36666==--=-f f a ，所以19256-≤≤m m 的取值范围为195122-≤≤m .[选修4-5：不等式选讲]23.已知a ，b ，c 都是正数，且3332221a b c ++=，证明：（1）19abc ≤；（2）a b c b c a c a b ++≤+++；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．【小问1详解】证明：因为0a >，0b >，0c >，则320a >，320b >，320c >，所以3332223a b c++≥，即()1213abc ≤，所以19abc ≤，当且仅当333222a b c ==，即a b c ===时取等号．【小问2详解】证明：因为0a >，0b >，0c >，所以b c +≥，a c +≥a b +≥，所以32a b c ≤=+32b a c ≤=+32c a b ≤=+333333222222a b c b c a c a b ++≤+++当且仅当a b c ==时取等号．。

2020年全国高考卷1理科数学2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生必须在答题卡和试卷指定位置上填写自己的姓名、考生号等信息。

2.回答选择题时，选择每小题的答案后，用铅笔在答题卡对应题目的答案标号处涂黑。

如需更改，先用橡皮擦干净，再涂上其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若 $z=1+i$，则 $|z^2-2z|=$A。

0B。

1C。

2D。

22.设集合 $A=\{x|x^2-4\leq 0\}$，$B=\{x|2x+a\leq 0\}$，且$A\cap B=\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则 $a=$A。

$-4$B。

$-2$C。

2D。

44.已知 $A$ 为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上一点，点$A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $12$，到 $y$ 轴的距离为 $9$，则 $p=$A。

2B。

3C。

6D。

95.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：°C）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据$(x_i,y_i)(i=1,2,\dots,20)$ 得到下面的散点图：由此散点图，在$10°C$ 至 $40°C$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是A。

$y=a+bx$B。

$y=a+bx^2$C。

$y=a+be^x$D。

$y=a+blnx$6.函数 $f(x)=x-2x$ 的图像在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为A。

$y=-2x-1$B。

$y=-2x+1$C。

$y=2x-3$D。

$y=2x+1$7.设函数 $f(x)=\cos(\omega x+\theta)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 的图像大致如下图，则 $f(x)$ 的最小正周期为8.已知 $(x+y)^5$ 的展开式中 $x^3y^3$ 的系数为 $8$，则$(x+y)^6$ 的展开式中 $x^3y^3$ 的系数为A。

2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ)第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+= C ．22(1)1x y +-= D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B．1132C．2132D．11167．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A．A=12A+B．A=12A+C．A=112A+D．A=112A+9．记n S为等差数列{}n a的前n项和．已知4505S a==，，则A．25na n=-B．310na n=-C．228nS n n=-D．2122nS n n=-10．已知椭圆C的焦点为121,01,0F F-()，()，过F2的直线与C交于A，B两点.若222AF F B=││││，1AB BF=││││，则C的方程为A．2212xy+=B．22132x y+=C．22143x y+=D．22154x y+=11．关于函数()sin|||sin|f x x x=+有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2π,π）单调递增③f(x)在[,]ππ-有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．86π B ．46πC ．26πD ．6π第II 卷（非选择题)13．曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u ur u u u r ，则C 的离心率为____________．17．V ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．18．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值．19．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =u u u r u u u r，求|AB |．20．已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列； (ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++ 参考答案1．C【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2．C 【解析】 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ． 【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22(1)1x y +-=．故选C ．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题． 3．B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 4．B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解． 【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm，则262611052x x y +==+，得42.07, 5.15x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题． 5．D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】 由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． 6．A 【解析】 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题． 7．B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． 8．A 【解析】 【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择． 【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+． 9．A【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断． 10．B 【解析】 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =.【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos4,422cos9n n AF F nn n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F∠∠互补，2121cos cos0AF F BF F∴∠+∠=，两式消去2121cos cosAF F BF F∠∠,，得223611n n+=，解得3n=．2222423,3,312,a n ab a c∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y+=，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11．C【解析】【分析】化简函数()sin sinf x x x=+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin,f x x x x x f x f x-=-+-=+=∴Q为偶函数，故①正确．当2xππ<<时，()2sinf x x=，它在区间,2π⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0xπ≤≤时，()2sinf x x=，它有两个零点：0,π；当0xπ-≤<时，()()sin sin2sinf x x x x=--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k*∈ππ+π∈N时，()2sinf x x=；当[]()2,22x k k k*∈π+ππ+π∈N时，()sin sin0f x x x=-=，又()f x为偶函数，()f x∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【点睛】画出函数()sin sinf x x x=+的图象，由图象可得①④正确，故选C．12．D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆Q 为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即364466,62338R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆Q 为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴=== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 13．30x y -=. 【解析】 【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x xy x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 14．1213. 【解析】 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误． 15．0.216. 【解析】 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查． 【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+= 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 16．2. 【解析】 【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 60ba==. 【详解】 如图，由1,F A AB =u u u r u u u r 得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =u u u r u u u u rg ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==率为221()1(3)2c be a a==+=+=． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 17．（1）3A π=；（2）62sin C +=【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（22sin 2sin A B C +=，利用()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果. 【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈Q 3A π\=（2）22a b c +=Q 2sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C ++=整理可得：3sin C C -=22sin cos 1C C +=Q (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin 4C =4因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==->所以sin C >，故sin C =（2）法二：2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C ++=整理可得：3sin C C -=，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.18．（1）见解析；（2）5. 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB 中点F ，可证得DF ⊥平面1AMA ，得到平面1AMA 的法向量DF uuu r；再通过向量法求得平面1MA N 的法向量n r，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值. 【详解】（1）连接ME ，1B CM Q ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C =//ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE Ì平面1C DE //MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O =I ，11111AC B D O =I 由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCDQ 四边形ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：()3,0,0A，()0,1,2M ，)13,0,4A ，D （0，-1,0）31,222N ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF，则01,22F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭Q 四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠=o BAD ∴∆为等边三角形 DF AB ∴⊥又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD 1DFAA ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMADF ∴u u u r为平面1AMA的一个法向量，且3,022DF⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r 设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =r，又)11,2MA =-u u u u r，3,022MN ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭u u u u r1203022n MA y z n MN x y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩u u u u v r u u u u v r，令x =1y =，1z =-)1n ∴=-rcos ,5DF n DF n DF n ⋅∴<>===⋅u u u r ru u u r r u u u r rsin ,DF n ∴<>=u u u r r∴二面角1A MA N --【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型. 19．（1）12870x y --=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）设直线l ：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得121x x =+；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =u u u r u u u r 可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+=联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB =u u u r u u u rQ 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 20．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，根据零点存在定理可判断出00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，进而得到导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知0x =为()f x 在(]1,0-上的唯一零点；当0,2x p 骣÷ç西ç÷ç÷桫时，首先可判断出在()00,x 上无零点，再利用零点存在定理得到()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可知()0f x >，不存在零点；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，利用零点存在定理和()f x 单调性可判断出存在唯一一个零点；当(),x π∈+∞，可证得()0f x <；综合上述情况可证得结论.【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()211x +Q在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n n a a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 则0x x =为()g x 唯一的极大值点即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1lnln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减 ()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+< 即()02ff ππ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点 【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.21．（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）41257p =. 【解析】 【分析】（1）首先确定X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i ）求解出,,a b c 的取值，可得()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii ）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合8p 和0p 的值可求得1p ；再次利用累加法可求出4p . 【详解】（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-则X 的分布列如下：（2）0.5α=Q ，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i ）()111,2,,7i i i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅Q即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅ ()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列（ii ）由（i ）知：()110144i i i i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅作和可得：()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18341p ∴=- ()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+ 4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.22．（1）22:1,(1,1]4y C x x +=∈-；:2110l x ++=；（2【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由2211t x t -=+得：210,(1,1]1x t x x -=≥∈-+，又()2222161t y t =+ ()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ 整理可得C 的直角坐标方程为：221,(1,1]4y x x +=∈- 又cos x ρθ=，sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：2110x ++=（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l的距离d ==当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最小值则min d =【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.23．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用1abc =将所证不等式可变为证明：222a b c bc ac ab ++≥++，利用基本不等式可证得()2222222a b c ab bc ac ++≥++，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，再次利用基本不等式可将式转化为()()()333a b b c c a +++++≥.【详解】 （1）1abc =Q 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++Q当且仅当a b c ==时取等号 ()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++Q ，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥b c +≥，a c +≥a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥【点睛】 本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1 B．+＝1C．+＝1 D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数 学（理科）注意事项:1．答卷前,考生务必将自己地姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时,选出每小题解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析标号。

回答非选择题时,将解析写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。

1．设全集{1,2,3,4,5}U =,集合M 满足{1,3}U M =ð,则（ ）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M∉2．已知12i z =-,且0z az b ++=,其中a ,b 为实数,则（ ）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-3．已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3==-=a b a b ,则⋅=a b （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行地人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期地比值,用到数列{}n b :1111b α=+,212111b αα=++,31231111b ααα=+++,…,依此类推,其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）A ．15b b <B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <5．设F 为抛物线2:4C y x =地焦点,点A 在C 上,点(3,0)B ,若||||AF BF =,则||AB =（ ）A ．2B ．22C ．3D ．326．执行下边地程序框图,输出地n =（）位:3m ）,得到如下数据:样本号i 12345678910总和根部横截面积ix 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量i y 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．（1）估计该林区这种树木平均一棵地根部横截面积与平均一棵地材积量；（2）求该林区这种树木地根部横截面积与材积量地样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木地根部横截面积,并得到所有这种树木地根部横截面积总和为2186m ．已知树木地材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木地总材积量地估计值．附:相关系数i=122=1=1()(), 1.89617()7().3nii n niii i x x y y r x x y y -=-≈--∑∑∑．20．（12分）已知椭圆E 地中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 地方程；（2）设过点()1,2P -地直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴地直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT TH =．证明:直线HN 过定点．21．（12分）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++.（1）当1a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处地切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点,求a 地取值范围．（二）选考题,共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做,则按所做地第一题计分．22．[选修4-4:坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线C 地参数方程为3cos 2,2sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 地极坐标方程为sin 03m ⎛⎫⎪⎝=⎭π++ρθ．（1）写出l 地直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点,求m 地取值范围．23．[选修4-5:不等式选讲]（10分） 已知a ,b ,c 都是正数,且3332221a b c ++=,证明:（1）19abc ≤；（2）12a b c b c a c a b abc++≤+++．2023年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考解析注意事项:1．答卷前,考生务必将自己地姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时,选出每小题解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析标号.回答非选择题时,将解析写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1. A2. A3. C.4. D5. B6. B7. A8. D9. C 10.D 11. C12. D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13. 31014. ()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；15. 316. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题:共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题,每个试卷考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答．（一）必考题:共60分．17. （1）证明:因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-,所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-,所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅,即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-,所以2222a b c =+；（2）解:因为255,cos 31a A ==,由（1）得2250b c +=,由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-, 则50502531bc -=,所以312bc =,故()2222503181b c b c bc +=++=+=,所以9b c +=,所以ABC 地周长为14a b c ++=.18. （1）因为AD CD =,E 为AC 地中点,所以AC DE ⊥；在ABD △和CBD 中,因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==,所以ABD CBD ≌△△,所以AB CB =,又因为E 为AC 地中点,所以AC BE ⊥；又因为,DE BE ⊂平面BED ,DE BE E ⋂=,所以AC ⊥平面BED ,因为AC ⊂平面ACD ,所以平面BED ⊥平面ACD .（2）连接EF ,由（1）知,AC ⊥平面BED ,因为EF ⊂平面BED ,所以AC EF ⊥,所以1=2AFC S AC EF ⋅△,当EF BD ⊥时,EF 最小,即AFC △地面积最小.因为ABD CBD ≌△△,所以2CB AB ==,又因为60ACB ∠=︒,所以ABC 是等边三角形,因为E 为AC 地中点,所以1AE EC ==,3BE =,因为AD CD ⊥,所以112DE AC ==,在DEB 中,222DE BE BD +=,所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如下图所示地空间直角坐标系E xyz -,则()()()1,0,0,0,3,0,0,0,1A B D ,所以()()1,0,1,1,3,0AD AB =-=-,设平面ABD 地一个法向量为(),,n x y z =,则030n AD x z n AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,取3y =,则()3,3,3n = ,又因为()331,0,0,0,,44C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以331,,44CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ,所以643cos ,77214n CF n CF n CF⋅===⨯,设CF 与平面ABD 所成地角地正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭,所以43sin cos ,7n CF θ== ,所以CF 与平面ABD 所成地角地正弦值为437.19.（1）样本中10棵这种树木地根部横截面积地平均值（1）解:设椭圆E 地方程为221mx ny +=,过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭,则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得13m =,14n =,所以椭圆E 地方程为:22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --,所以2:23+=AB y x ,①若过点(1,2)P -地直线斜率不存在,直线1x =.代入22134x y+=,可得26(1,)3M ,26(1,)3N -,代入AB 方程223y x =-,可得26(63,)3T +,由MT TH = 得到26(265,)3H +.求得HN 方程:26(2)23y x =--,过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -地直线斜率存在,设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=,可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩,12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩,且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--,将(0,2)-,代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=,将(*)代入,得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立,综上,可得直线HN 过定点(0,2).-21. （1）()f x 地定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e xxf x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处地切线方程为2y x =（2）()ln(1)e xax f x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x xa x a x f x x x '+--=+=++设()2()e 1xg x a x=+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -……,当,()0x ∈+∞,则()e 20xg x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+…,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x∈-=+-设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 地取值范围为(,1)-∞-（二）选考题,共10分．请考生在第22按所做地第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.（1）因l :sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=,所以1sin 2ρθ⋅为。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试课标1理科数学2020年全国1高考数学与2020全国1高考数学难度方面相对持平，在选择题和填空题方面难度有所提升，解答题方面难度有所减缓.在保持稳定的基础上，进行适度创新，尤其是选择填空压轴题.试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础性的考查，同时加大了综合性、应用性和创新性的考查，如理科第2、3、10、11、12、16、19题，文科第2、4、9、12、19题.1.体现新课标理念，重视对传统核心考点考查的同时，增加了对数学文化的考查，如理科第2题，文科第4题以中国古代的太极图为背景，考查几何概型.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求.3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精神.如理科第6、10、13、15题，文科第5、12、13、16题对数形结合思想的考查；理科第11，文科第9题对函数与方程思想的考查；理科第12、16题对数学的科学与人文价值的考查.4.体现了创新性，如理科第19题，文科第19题立意新、情景新、设问新，增强了学生数学应用意识和创新能力.命题趋势：（1）函数与导数知识：以函数性质为基础，考查函数与不等式综合知识，如理科第5题，；以基本初等函数为背景考查构造新函数解决比较大小问题，如理科第11题；对含参单调性以及零点问题的考查，如理科21题，比较常规.（2）三角函数与解三角形知识：对三角函数图像与性质的考查，如理科第9题；；对解三角形问题的考查，如理科第17题.重视对基础知识与运算能力的考查.（3）数列知识：对数列性质的考查，如理科第4题；突出了数列与现实生活的联系，考查学生分析问题的能力，如理科第12题，难点较大.整体考查比较平稳，没有出现偏、怪的数列相关考点.（4）立体几何知识：对立体几何图形的认识与考查，如理科第7题，试题难度不大，比较常规；对简单几何体的体积知识的考查，如理科第16题，用到函数知识进行解决，体现了综合性，难度较大，立体几何解答题的考查较常规，如理科对二面角的考查.（5）解析几何知识：对圆锥曲线综合知识的考查，如理科第15题，难度偏大；解答题考查较为常规，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，重视对学生运算能力的考查.【试卷解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B =R U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I【答案】A2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】试题分析：设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，则正方形的面积为2a ，圆的面积为24a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221248a a ππ⋅=，选B. 秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率1142p <<，故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】试题分析：设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.秒杀解析：因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x ⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好2x 的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B8．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1D．A≤1 000和n=n+2【答案】D9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D. 【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A2222||sin cos()2p pDE παα==-，所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+=11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】试题分析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -LL L则该数列的前(1)122k k k ++++=L 项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭L L 要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +L 的部分和，即1212221t t k -+=+++=-L ，所以2314tk =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 对应满足的最小条件为293054402N ⨯=+=，故选A. 【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】2314．设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y=-的最小值为.【答案】5-15．已知双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.23【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】415【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.【考点】三角函数及其变换.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A -PB -C 的余弦值.则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.969.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i ii i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=，0.0080.09≈．试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.20.（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，24t -，（t ，24t -）. 则221242421t t k k ---++==-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简. 21.（12分）已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 17 a.【解析】试题分析：（1）先将曲线C 和直线l 化成普通方程，然后联立求出交点坐标；（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点(3cos ,sin )θθ，l 的距离为17d =.对a 进行讨23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│.（1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.【解析】试题分析：（1）将1a =代入，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤，对x 按1x <-，11x -≤≤，1x >讨论，得出最值的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，。

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）理科数学2019年聊通高筲学枝IW 上全国统与试理科数学1. 善巻啊.蛊生务愛耨自已的蚪化、齐生号霁垃q 在善變节*1弑嘗搭电他*上.2. 阿巻就卄虺uh 迤出禅小町善丽，用樹笔把仔国鬥tlSJ ■貝曲唇塞标号找事，如蒂改圍”用 檢皮崔「浄后・再选涂其它袴索标号"凤祎非选择期时.特嘗案耳在答理卡匕耳左血试卷匕无牡・3-苇试姑柬斤，将事试卷和書岂卡一弁宦回°、业獎砸：本翹弍垃小SL 爼水粗占分.共⑷分.在毎小題箱出的四个选亚中.人有--助超胡倉饉 目贾康的"】.己如能會M ■徉4< JT 莖工｝, N = |x -r-6<o|» HA/nJV =(A. [.r|-4 < x <3. (r-4 < x < -2^C.[ .v -1 < J <D. (JL |2 < A <d 试耳烈：満足：一F| = l*匚料珏罪血内时咻的戌対(斗y)・确r 】A.(x-i) +3'： =1B (J -1 + >2 - IC t' +( i -l)J =i D.r +(.V + 1)3 = 1弘已刘iM = 】Qg ；0£ b 二 0 • e-o^1' ・剧 i JA,.ti<h<ce. < f < bCvai^bu.Zt <c<a朽一]4,古希雅时朗.人怕认为星类人井的齊哺至肚睛的绘度勺肚1ft 帘足底的氏度之比是七一吕首的-瞬嘗聲抽飓・便艮则此Jtt>K 摊羌人体的久3证1%1/5噸的快度与咽麻奇tt 席酋长嵐之比也呈坐二.拧卓人厲址h.ifffif 黄童井制比桝.105cm.AJMSIF f F 韻的叹度为Mcrm 则K 甘岳町施址(1A,]lKcm B.l 75cm 匚185cm5,i 炯柱小｝壬二町・屁訂的側粉打)ccs r +□ 190cm*： 0.611!.轧爲竝；：寸乩比隣.*"tty氐我岡古代典攜（周SP用H卄”推述打物的堂比邯一“直5K山从卜之1齐列的EG弦爼获.Jt分为團爻■■一 -•- ■■右圈就是M・也所有重計中融机取£幷’则谍啃料惜盯于个们爻的栅率¥（〕5 II 2\IIA.—&.—C,— D.—16 竝竝169.记旺为:字衣吐列仏｝的前』」1杷L1畑二=0・山二5.驅CA.叫= 2rt 5B. = 3n 10CS =2n:D.S =-ft-2nh °2ltt已如«•■<；的世点为^（-W） . FW 过珂的fL^'j C丸于礼H阳点雷|娠卜2|两国,\AH=2|占F，則亡的力糧为（>①丿足腾咕救②/|町任邂的|彳，用）单闊理增③f （x I住区间［一亿訂f：F个-匸?.i ④/V）的赧（伯X-j 22/5 三三A,—Uu b）-i・则：与石的夹甬沟<fiSMEB・图中空白框*■ I丄rL缶航朗是求二己知羊零向鐵：* &WM 22/711.艾干诵豹f ix）= sin J* |>in A'| f」下述四个馆论t匚①④埠巴如三检推F —川封匸的四牛I 加的用商上，PA^PB^PC, AX5CMlt£^2 rn 止-M t £尸介別兄加「祐的中九 ZCEF = 90 ’则球O 的休机为（ t34vf )zr二 填空嵐：本鹽找4「|咂.毎小駆S 井”其加分达曲凹7 = 3（屮7片在点（（｝期社儿•:叫川沟 ________________ .地记屯为等比栽手|｛叫｝的前萌项和,若納二y tr? = a..则员= _____________________ .Je.屮.乙洒賦诜恬槪球比賽.光用七场西胜制.幄捲訓期比赛成细，屮认的主客甬安排粮抚旳"主主客 峯L 客广.设甲阻主场即胜的柢率为06辉场駅胖的觀率肯血窑（1各场比赛靖黑梱互1M 則甲駅以4： 1塡腔的槪率 ________________ .J甲W 已知或曲険C:肴-舊 “BI" 0）的底右儒点分別为耳迅.迁片的血线二匸的两最潮瓦钱甘 ^TA y B^F [A = AB. FR 化 S 則卍的离也那肯 ________________________________ .三' 解善題：M7C^・聲笞应写出文字说明、证明过程亚演算步骑L 第E1锂为必考麵.毎『试饉 老生都必顼作啤 闕瞬” 口罚为选老題・老主喂西英求作?£• （一）叱老證匸別分"17. <12山I&C 的内ftX.JJ,C 的柑边分别是ng 设（sin£ —sinQ 『 =sin 2/I-sm ffsiuC,ti ）求右；2）?7 ^2a + 6 = 2c .求*nJ “IS. （12 *、 斗呃直网檢哇卫处Q-月風CD 的虑曲是菱器*.11, = 41 AB = 2 ・ £BAD =■ 6O P . E,M r N^\^BC.RH 、 J Q ；勺中止”丸①②④-Ci5 / 36i）旺明i .,WA P//2)求_i加傩卫一址气一用的止強值.19”〔12 分｝己却删为尸，期卓为斗的直教却C的蛉伪小总，S轴的仝山为"Xi11務|/<尸| + 0F卜£ 求*的力軒;2*越乔二［两.求\AU .30.(12^)dfti^Si/(r)=(mx-hi(l + T). f(x)^i/(r)的#敷就削：⑴『匕)杞皿’—】.亍存杞唯…的极人值点；⑵血工”相农有2卒毒丸21- C12 分〉为冷疗革种臥両”研制了甲、乙两种折科，需型知洞那种軒药更TT故・为此进打动梅实越真验收fill心毎轮逸取詡卿自臥对貞1效进荷对比试鑿.对F闊！！勺就・RI机选•射只施氐乙罚. M MB HINNIA ffiBI卜--轮试戦.当齐中--忡童称直的白嵐出另咐> i门二h、；.： a」一- 就碎止试驰丼从曲治倉只數命的荊史有玆・为了方便描述问臥的定*对于厘Flit魅・若itu甲药的白艮治載且16玖兀药的白損耒谢蠢惰甲蘇禅I分，二药斜-】血若施以乙药时口瞬泊JftlL施以屮葯的白亂走冶愈刚乙罚堺lih甲冊-】4h若欄治竈诚暮水治壷嘲两种眦均鮒0分耳、£两种拘闱治愈率廿别记如和". 熾试猫申甲的的咼灯记沖Y.1)哦JV的少舟列t⑵ 若甲药、乙t?孫试验幵始时都瞋"井.期"=0J,2…問老示存甲苟的當计得分知仇最终儿为屮知比乙热屯白％”的槻典刖地=0，仇=1+冏=即严如+甲⑴(：=】2 <7｝,儿中芒=尸(,丫=0), f) -P(.¥ -0), < = P( A J/7-0>.:i)hi小—瓦｝"二12…⑺为鼻比故処；门门求齐.井規揣円的您駢痒试种试誥方當的合證性.4/5(二)粧电瓯：it 10^.请弋生在察2叭為赣中作讐.如睾第妣・则按所憎的策一晅计分.22.［选悔V 坐标集与題數晒(10井】"为需歎)息堂标底成O为駆点.石轴在帆角坐标纂呦冲*曲爼C的辩数方押为f -1 ~止半稱为槻轴建立璇坐标系.的概生桩方租为2“顷旧 + JJpsin日+丨1・0,11)*匚与』的直箱坐栋方程I:空痕匚上财点到F跑寄的最小值.21[4iU-5t不芳氏注讲]10 5Z)已抑臥he为壬敕・且胃足nhc- I.证弗(1)丄4■丄+丄羞应『卜胪+『和a b c!2)(a + ^)J + (A+r)- +(c+<J)' >245/58 / 362019年査通爲零学校招化全国统一考试文科数学注卷車顶：1.售卷前・考牛•务感将口己的姓洛号空号黑填垢在割S卡铀试卷指建位胃匕.孔河答址择期i・h旌出毎小童答案冶*期铅里把菩匙轻对应題目鸚I■如需盘4h用也皮攥「-净后.再选洙其它答慕标h昇回霜4延择题时.瘙椁家写隹粹朗卡上.写芒本试卷L：无效"3.考试轴束已将体试程和剳冒卡一件交同―、选擇慙；本駆共12小怂"程小融弓分*共60分在毎小融绐出的四个进念中* 口右一砺星轩合豔目要求的=2B.V3 c. 41ai1L1知#0U =①狛从氐7}・A ={234・5；,Z?二h・3百・7}・A=(】A ；L6（B-{1J| C. {6.7} D. {1,6,7} 乱已知a = lo^r DN・h = 2a2, c = 0.2in. IM t )A.ii <h<f R.ti<c<hC.c<ti<hD.^ <4 一古乖聊时训”人心认为於兀人侏的义顶至肚M的山A乌丄情孚足呸的li哽之比兄"匚‘^5-1*0.618.林为黄金分割比榊人着呂的•斷惮醴抽斯”良足JU此,此外.扯k扎障的久顶至啥2喉的fei44i咽喉至It脐的怪度立比也昱｛口+若臬人涌匸丨述两个扯金分削比悯*巨腿圧为KScm’2张顼奎聆『卜-端的悅度为265・耻其身禹町能足（>^lGSem B.175cm CJBScm D.190em 去汝嚼数/｛巧二竺斗■理［饥厅］的轻|他为（-COS J + X立科軸学10 / 36氐某学栈为r 解1 Q00宕新生怕刖悻當际将这些学牛編弓为眞2+ -+ 1000.^^^＜k 屮用系统抽枠 的加i 等距抽9U00名手空进行测试.若輻号学牛被抽轧 则下面4名宁主中被抽取的址（）A.B :^^T. B 200 号学中- C 616 ^4^1：D 81S 号即上&己划 忤向施.匸祸斗：=平.11币一和丄乳则门示的夹旳,1LAXSC 的内脚扎鼠匸的时处务刑是鸟氏c LliuasiiM- bsia&-4ca\nC . e«j» J = - T M* =4 cA.6B.5C.d a.3区L 2掠瞬闘匚的囁点为林一 1、创・rtkOl ・过巧的起缕耳匚交：■-」/ 九忆苦I”； =2|/'；^・I 姐=2）昭|・则（7的方程为＜）11 T 丁*■* 1 x'2 .犷 y .工” y .匕 A ' v .A . — + r = I玫一 + J 匸】匚一+ — = I& - -+ — = I232435 4-＞才空题；本题共4小題，霽小題5井，共20分.= ^x~ +扌片件点（0X ）牡的切纯方出为 ________________ .皿记比为等比數时就｝的斛丹顷和.若坷丄・衬=毎.则乂二 _______________________ .17. un 255 =【Rg 号学生 B 200号学生 C616号供主0415 v^tB. - ? ■ v'?i€-2"D 2 + V3■右— 的程序帼用.圈屮空口框屮应塡入］■応础戟（？:二—吴三财＞0上M ）的一柚f 近线的幢料角为口0 .则匕的离心莘为＜ abA. 2 sin 4(}B. 2 cos 40sin 50D. ---------cos 502 + 4CA =1*2#甲2/515 医靈/(P v)=siml v 4-—)-Jcnsx 的瑕小恆为_______________________值已如ZJCB二90’・P为芈迪A&C外规FC = 2 ■点尸到^ACB两边"G AB的距离均A I J5.廉么P到辛祈冲占“的护离为 ______________________ .三i離答孤共7C^解答內写出文字说馭证明讨幻走洁草梅第1严21孤为必老黑.岛个试耶不生都必须件答“第2氛刀就为选青！L电生觸据聲求作答.C-)必书迩；60分*17.(1Z 时)臬南场为提1W务櫛孟驰机调查了和粕男贼客神疔「窑立顒罂毎忖蹊客村谨商场恂审务给出満总戍平满意的泮比眸到下列列联祐D分別估计职女岡客对谐商场服务满强的槪執C2)能否有95%的把握认為?b女陵第对谁斷炀服务的评价有館异? 附宀——凹」竺——(tj + h)(c^-ii )(/T-*-L')(/J +18 <12 ^f)记&为零龙:数列®」的前舟驷h曲0罠=—令*1> 阻％軒帆｝他通项公戌*(2)若>?0・頼購£ 土斗術I刀取苟小范鬧.立理數学13 / 3619. (12如& 豐四變柱ABCD -叫垃3的旳如辛菱厢-AA,= 4 (AH-2. r£4匚*分别晁/?「.11歇..4、D的中点.[D 证I则v.w/TmcDFi[?＞求点＜到平[tic,n£的距离,竹、Ml 朗数 f (x) - 2 sin v - .vcos x~x , f f(x)为f(x)的冷 ft.[|＞证罔：_f{-r)托IK间®.JT)存序吋-话点t⑵占上£[0卫]时，/(.r)＞ax T求“的収價小也囤20, ＜12 分)已姐山彳.F艾尸叶函:口。

2021年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)(含详细解析)2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）注意事项：在答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名和准考证号。

回答选择题时，选出每小题的答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.(5分) 设集合A={x|-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）A。

{2} B。

{2,3} C。

{3,4} D。

{2,3,4}2.(5分) 已知z=2-i，则|z-3i|=（）A。

6-2i B。

4-2i C。

6+2i D。

4+2i3.(5分) 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。

2 B。

4 C。

4√2 D。

2√24.(5分) 下列区间中，函数f(x)=7sin(x)单调递增的区间是（）A。

(0,π/2) B。

(π/2,π) C。

(π,3π/2) D。

(3π/2,2π)5.(5分) 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（）A。

13 B。

12 C。

9 D。

66.(5分) 若tanθ=-2，则cos2θ=（）A。

-3/5 B。

-4/5 C。

-24/25 D。

-7/257.(5分) 若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（）XXX<a B。

ea<b C。

0<a<eb D。

0<b<ea8.(5分) 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“两次取到的数字和为偶数”，乙表示事件“两次取到的数字都是奇数”，则P(甲∪乙)=（）A。

2/3 B。

5/9 C。

7/9 D。

2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1．（5分）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{2，3}C．{﹣3，﹣1，0}D．{﹣1，0，2} 2．（5分）若＝1+i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）已知向量＝（0，1），＝（2，x），若⊥（），则x＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（5分）已知cos（α+β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝（）A．﹣3m B．﹣C．D．3m5．（5分）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A．2πB．3πC．6πD．9π6．（5分）已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．[0，+∞）7．（5分）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为（）A．3B．4C．6D．88．（5分）已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x，则下列结论中一定正确的是（）A．f（10）＞100B．f（20）＞1000C．f（10）＜1000D．f（20）＜10000二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。

每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

（多选）9．（6分）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2B．P（X＞2）＜0.5C．P（Y＞2）＞0.5D．P（Y＞2）＜0.8（多选）10．（6分）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（）A．x＝3是f（x）的极小值点B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）（多选）11．（6分）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（）A．a＝﹣2B．点（2，0）在C上C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1D．当点（x0，y0）在C上时，y0≤三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数的定义域为（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}2．（5分）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p2，则（）A．p1＜p2B．p1＞p2C．p1=p2D．不能确定3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A． B．C．D．4．（5分）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣15．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．236．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1 D．e2x+27．（5分）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣28．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D 的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n）．（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（Ⅱ）证明：a n＜a n+1＜1；（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：a k+1＞b．2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）函数的定义域为（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于x的不等式组，即为函数的定义域．【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}故选C．2．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p2，则（）A．p1＜p2B．p1＞p2C．p1=p2D．不能确定【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可．【解答】解：大于2小于5的数有2个数，∴p1==；投掷一次正面朝上的概率为，两次正面朝上的概率为p2=×=，∵＞，∴p1＞p2．故选B．3．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A． B．C．D．【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故选A4．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】注意到a+bi（a，b∈R）为正实数的充要条件是a＞0，b=0【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故选D．5．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选C6．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵，∴，∴x=（e y﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x ﹣2∴答案为A．7．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣2【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．8．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．9．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，最后结合f（x）的单调性解出答案．【解答】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．故选D．10．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r，∴故选D．11．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】法一：由题意可知三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，所以三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形，所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D==，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为==；（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，故DA=，由勾股定理得A1D==故B1E=，如图作A1S⊥AB于中点S，易得A1S=，所以AB1==2，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故选B．12．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法．共有A42+2A43+A44=84．故选B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为9．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x﹣y有最大值9．14．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为2．【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．【解答】解：由抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点得，，则与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0），则以这三点围成的三角形的面积为故答案为215．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．【分析】设AB=BC=1，，则，由此可知，从而求出该椭圆的离心率．【解答】解：设AB=BC=1，，则，∴，．答案：．16．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于．【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．【解答】解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则，=故EM，AN所成角的余弦值故答案为：三、解答题（共6小题，满分74分）17．（10分）（2008•全国卷Ⅰ）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB ＞0，则tan（A﹣B）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，则；（Ⅱ）由得tanA=4tanB＞0当且仅当时，等号成立，故当时，tan（A﹣B）的最大值为．18．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE 即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小．【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，∵AB=AC，∴AF⊥BC．又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．再根据，可得∠CED=∠FDC．又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角．作CH⊥AB，H为垂足．∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角．∵CE=，∴CH=EH=．直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，故△ACD为直角三角形，AD===，故CG===，DG==，，又，则，∴，即二面角C﹣AD﹣E的大小．19．（12分）（2010•大纲版Ⅱ）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x）＞0，即：2x2﹣3x+1＜0函数f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，∵f（x）在上为减函数，∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．即a≤2x+恒成立．设，则∵x∈时，＞4，∴g′（x）＜0，∴g（x）在上递减，∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3．20．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束），∴乙只用两次的概率为．若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．21．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程．【解答】解：（1）设双曲线方程为，由，同向，∴渐近线的倾斜角为（0，），∴渐近线斜率为：，∴．∵||、||、||成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|，∴，∴，可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=，而由对称性可知：OA的斜率为k=tan，∴，∴2k2+3k﹣2=0，∴；∴，∴，∴．（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，∴c=b．由于AB的倾斜角为+∠AOB，故AB的斜率为tan（+∠AOB ）=﹣cot （∠AOB）=﹣2，∴AB的直线方程为y=﹣2（x﹣b），代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴4=•=•，即16=﹣112b2，∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．22．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n）．（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（Ⅱ）证明：a n＜a n+1＜1；（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：a k+1＞b．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而进行证明．（2）由题意数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n），求出a n+1=a n﹣a n lna n，然后利用归纳法进行证明；=f（a n）可得a k+1=a k﹣b﹣a k，然后进行讨论求（3）由题意f（x）=x﹣xlnx，a n+1解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x﹣xlnx，∴f′（x）=﹣lnx，当x∈（0，1）时，f′（x）=﹣lnx＞0故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＞a1，∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，∴f（x）在区间（0，1]是增函数，a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＜1，即a1＜a2＜1成立，（ⅱ）假设当x=k（k∈N+）时，a k＜a k+1＜1成立，即0＜a1≤a k＜a k+1＜1，那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a1≤a k＜a k+1＜1，得f（a k）＜f（a k+1）＜f（1），=f（a n），而a n+1则a k=f（a k），a k+2=f（a k+1），a k+1＜a k+2＜1，+1也就是说当n=k+1时，a n＜a n+1＜1也成立，根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，a n＜a n+1＜1恒成立．（Ⅲ）证明：由f（x）=x﹣xlnx，a n=f（a n）可得+1a k+1=a k﹣a k lna k=，1）若存在某i≤k2，满足a i≤b3，则由（Ⅱ）知：a k+1﹣b＜a i﹣b≥04，2）若对任意i≤k6，都有a i＞b，则a k+1=a k﹣a k lna k==≥a1﹣b1﹣ka1ln=0，＞b成立．即a k+1。

2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题目（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．2．（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1C．D．23．（4分）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（4分）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b﹣a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣26．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B 与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（4分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2C．D．49．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3B．4C．5D．611．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4B．C．D．812．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B．C．D．二、填空题目（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（14分）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题目（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．【分析】根据tanα=，sin2α+cos2α=1，即可得答案．【解答】解：∵α是第四象限角，=，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣．故选D．2．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1C．D．2【分析】复数分母实数化，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部等于0，可求得结果．【解答】解．设a是实数，=是实数，则a=1，故选B．3．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b ﹣a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．6．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论．【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y+1=0的距离都为，但∵，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选C7．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2C．D．4【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．（4分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g （x）均不是偶函数”，故选B10．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3B．4C．5D．6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．【解答】解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=3≠15，当n=6时，C62=15，故选项为D11．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A （3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．12．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，∴原函数此时是单调增，故选A二、填空题目（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种．（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可．【解答】解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种．14．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（x∈R）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为16．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．【解答】解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．18．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【分析】（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，∴．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．∴η的分布列为η200250300P0.40.40.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．19．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x 轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号．得到f'（x）≥2；（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x≥0上求出a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=e x+e﹣x．由于，故f'（x）≥2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g'（x）=f'（x）﹣a=e x+e﹣x﹣a，（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=e x+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为，此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．21．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．22．（16分）（2007•全国卷Ⅰ）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…【分析】（Ⅰ）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到．（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=，进而可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题设：==，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即a n的通项公式为，n=1，2，3，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n=1时，因，b1=a1=2，所以，结论成立．（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，也即．当n=k+1时，==，又，所以=．也就是说，当n=k+1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，．参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；qiss；wkqd；danbo7801；豫汝王世崇；minqi5；wdlxh；wdnah；涨停；zhwsd；yhx01248；sllwyn；zlzhan （排名不分先后）菁优网2017年2月4日祝福语祝你马到成功，万事顺意!。