2011年高考四川卷理科数学(WORD版)及答案解析精校版

2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工类)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5) 2 [15．5,19．5) 4 [19．5，23．5) 9 [23．5,27．5) 18 [27．5，31．5) 1l [31．5，35．5) 12 [35．5．39．5) 7 [39．5,43．5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5)的概率约是 (A)16 (B )13 (C)12 （D ）232．复数1i i-+=(A )2i - （B ）12i （C ）0 （D ）2i 3．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(A)12l l ⊥，23l l ⊥1l ⇒∥3l （B ）12l l ⊥，2l ∥3l ⇒13l l ⊥ (C) 1l ∥2l ∥3l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 4．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= (A)0 (B)BE (C)AD (D )CF5．5函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 (A)充分而不必要的条件 (B )必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件6．在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 (A)(0，6π] (B)[ 6π，π) (C )(0，3π] (D) [ 3π，π) 7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是8．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ ．若则32b =-，1012b =，则8a =（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）119．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元10．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)-11．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=（A ）3 （B ）52 （C ）2 （D ）3212．在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn = （A ）415 （B ）13 （C ）25 （D ）23 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．计算121(lg lg 25)100=4--÷ ．14．双曲线22x y =1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 ．15．如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 ． 16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称函数()f x 为单函数．例如，函数()21f x x =+（x R ∈）是单函数．下列命题：①函数2()f x x =（x R ∈）是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；③若f ：A B →为单函数，则对于任意b B ∈，它至多有一个原象；④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号） 答案：B解：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==． 答案：A解：12i i i i i-+=--=-答案：B解：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定 答案D解：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+= 答案：B解：连续必定有定义，有定义不一定连续． 答案：C解：由题意正弦定理22222222211cos 023b c a a b c bc b c a bc A A bc π+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤ 答案：A解：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域． 当10,0()1,122xx y ><<⇒<<，故选A 答案：B解：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==答案：C解：由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件08071210672219x y x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪+≥⎪+≤⎪⎩画出可行域在12219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的点75x y =⎧⎨=⎩代入目标函数4900z =．答案：A解：由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a k a---=-,设直线方程为(2)y a x b=-+，则223651(2)b a =+-又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩ 答案：D解：由题意1(2)()3f x f x +=,在[22,2]n n -上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213nn n n nn f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=- 答案：D基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515n C ==⨯=由其中面积为1的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1) 其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3) 其中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5) 其中面积为5的平行四边形的个数(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)； 其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)其中面积为8的平行四边形的个数(4,1)(4,5) 其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1) 答案：20-解：12111(lg lg 25)100lg20410010--÷=÷=- 答案：16解：8,6,10a b c ===，点P 显然在双曲线右支上，点P 到左焦点的距离为20，所以205164c d d a==⇒= 答案：22R π解：max 24S r S π=⋅=⇒侧侧时，2222222R r R r r r R =-⇒=⇒=，则222422R R R πππ-=答案：②③ 解 ：①错，12x x =±;④错()f x 在某区间上具有单调性，不一定在整个定义域上单调．故②③正确．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题共12分）已知函数73()sin()cos(),44f x x x x Rππ=++-∈(Ⅰ)求()f x的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知44cos(),cos(),(0)552aπββααβ-=+=-<<≤，求证：2[()]20fβ-=18．（本小题共12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有人独立来该租车点则车骑游．各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ；如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1．D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．(I)求证：CD=C1D；(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离．设d 为非零实数，12211*1(2(1)]()n n n nn n n n n a C d C d n C d nC d n N n--=+++-+∈(1)写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设*()n n b nda n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．本小题考查等比数列和组合数的基础知识以及基本的运算能力,分析问题、解决问题的能力和化归与转化等数学思想．21．(本小题共l2分)椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．(I)当|CD | =322时，求直线l的方程；(II)当点P异于A、B两点时，求证：OP OQ为定值．本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基础知识，考查平面解几何的思想方法及推理运算能力． 22．(本小题共l4分)已知函数21(),()32f x x h x x =+= (I)设函数()()()F x f x h x =-，求()F x 的单调区间与极值； (Ⅱ)设a R ∈，解关于x 的方程42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x x --=--- (Ⅲ)试比较1001(100)(100)()k f h h k =-∑与16的大小．本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识及基本运算能力 ，函数与方程、化归与转化等数学思想． 解：(Ⅰ) 7733()sin coscos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++ 222sin()4x x x π==-max 2,()2T f x π∴==（Ⅱ）因为4cos()cos cos sin sin (1)5βααβαβ-=+=4cos()cos cos sin sin (2)5βααβαβ+=-=-又0cos 022ππαβββ<<≤⇒=⇒=cos cos 0αβ=2()2(())20f f ββ∴=⇒-=本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等到概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）所付费用相同即为0,2,4元．设付0元为1111428P =⋅=，付2元为2111248P =⋅=，付4元为31114416P =⋅= 则所付费用相同的概率为123516P P P P =++=(Ⅱ)设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,81(0)811115(2)4422161111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416P P P P P ξξξξξ====⋅+⋅===⋅+⋅+⋅===⋅+⋅===⋅=故ξ的分布列为ξ 0 2 468P18 516 51631611684822E ξ=+++=本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．解：：（I ）连接1B A 交1BA 于O ,1//B P 1面BDA ,111,,B P AB P AB P D OD ⊂=1面面面BA1//B P OD ∴,又O 为1B A 的中点，D ∴为AP 中点，1C ∴1为A P ,1ACD PC D ∴∆≅∆1C D CD ∴=,D 为1CC 的中点．（II ）由题意11,AB AC AB AA AB C C ⊥⊥⇒⊥1面AA ,过B 作AH AD ⊥,连接BH ，则BH AD ⊥,AHB ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D ∆中，11551,,22AA AD A D ===,则252535253355AH AH BH AHB BH ==∠===(Ⅲ)因为11C B PD B PCD V V -=，所以1111133B PD PCD h S A B S ∆∆⋅=⋅,111A B = 11111244PCD PC C PC D S S S ∆∆∆=-=-=, 在1B DP ∆中，11119553525544,5,32255252B D B P PD DB P DB P +-===∠==∠=⋅， 1135315,2243B PD S h ∆∴=⋅== 解法二：如图，以1A 为原点，11A B ，11A C ，1A A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系111A B C A -，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ．（Ⅰ）设1C D x =，AC ∥1PC ，111C P C D xAC CD x∴==-． 由此可得(0,1,)D x ，(0,1,0)1xP x+-， 1(1,0,1)A B ∴=，1(0,1,)A D x ∴=，1(1,1,0)1xB P x=-+-． 设平面1BA D 的一个法向量为1(,,)n a b c =，则111100n A B a c n A D b cx ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩ 令1c =-，则1(1,,1)n x =-．1PB ∥平面1BA D ，111(1)(1)(1)001xn B P x x∴=⨯-+⋅++-⨯=- 由此可得12x =，故1CD C D =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面1BA D 的一个法向量为11(1,,1)2n =-， 又2(1,0,0)n =为平面1AA D 的一个法向量．12121212cos ,33||||12n n n n n n ∴<>===⨯．故二面角1A A D B --的平面角的余弦值为23． （Ⅲ）1(1,2,0)PB =-，1(0,1,)2PD =-设平面1B DP 的一个法向量为3111(,,)n a b c =，则31111312002n PB a b c n PD b ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩ 令11c =，可得31(1,,1)2n =． 又1(0,0,)2DC =，C ∴到平面1B DP 的距离33||13||DC n d n ==． 解：（Ⅰ）由已知可得2123,(1),(1)a d a d d a d d ==+=+．当n ≥2，k ≥1时，因为11k k n n k C C n --=，所以1111110(1)n n nk k k k k k n n n n n k k k k a C d C d d C d d d n ----=======+∑∑∑由此可见，当1d ≠-时，{}n a 是以d 为首项，1d +为公比的等比数列； 当1d =-，11a =-，0n a =（n ≥2），此时{}n a 不是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(1)n n a d d -=+，从而21(1)n n b nd d -=+20212221(1)2(1)3(1)(1)n n S d d d d d d nd d -=++++++++20121[(1)2(1)3(1)(1)]n d d d d n d -=++++++++ ①当1d =-时，21n S d ==．当1d ≠-时，①式两边同乘以1d +得2123(1)[(1)2(1)3(1)(1)]n n d S d d d d n d +=++++++++ ②由②-①得：2221(1(1))[(1)()(1)1(1)n n n n d dS d d n d d d n d d d ⋅-+=-++=+-+-+ 化得即得：1(1)(1)nn S dn d =+-+ 综上，1(1)(1)nn S dn d =+-+．解：由已知可得椭圆方程为2212y x +=，设l 的方程为1(0),y k x k -=-为l 的斜率．则1212222222212122242122(2)2101221222k y kx y y x x k k k x kx y k x x x y y k k ⎧⎧=++=⎧+=-⎪⎪⎪⎪⎪++⇒++-=⇒⎨⎨⎨--++=⎪⎪⎪==⎩⎪⎪+⎩+⎩2422221212222288889()()2(2)(2)2k k k x x y y k k k k ++-+-=+=⇒=⇒=++ l ∴的方程为1y =+或1y =+为所求．（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为1y kx =+，(01)k k ≠≠±且，所以P 点坐标为1(,0)k-． 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，由（Ⅰ）知12222k x x k +=-+，12212x x k=-+， 直线AC 的方程为11(1)1y y x x =++，直线BD 的方程为12(1)1yy x x =-- 将两直线方程联立，消去y 得2112(1)11(1)y x x x y x ++=--． 因为121,1x x -<<，所以11x x +-与21y y 异号． 222222121122222121212(1)22(1)(1)(1)1()1(1)22(1)(1)(1)y x x x x x x x y x x x x x +-++++==⋅=------ 22222211122()211122k k k k k k k k --++-++==--+-+++． 又22121212222(1)(1)2(1)1()1221k k k k y y k x x k x x k k k -++-=+++==-⋅+++．11k k -∴+与12y y 异号，11x x +-与11k k -+同号， 1111x k x k +-∴=-+，解得x k =-因此Q 点坐标为0(,)k y -，01(,0)(,)1OP OQ k y k=--=故OP OQ 为定值．本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法以及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）由21()()()32F x f x g x x x =-=+（x ≥0）知， 2()32F x x '=，令()0F x '=，得916x = 当9016x ≤<时，()0F x '<；当916x >时，()0F x '>；故当9[0,)16x ∈时，()F x 单调递减；当9(,)16x ∈+∞时，()F x 单调递增；所以916x =是其极小值点，且极小值为9()16F 18=． （Ⅱ）因为33(1)124f x x --=-,故原方程可化为422log (1)log (4)log ()xh x h a x -+-=-；即2221log (1)log 4log 2x x a x -+-=-等价于:10400(1)(4)x x a x x x a x->⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪--=-⎩214(3)5x x a a x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩故画出函数图象后,由方程与函数的思想,讨论得: (1)当14a <≤时,原方程有一解35x a =--(2)当45a <<时,原方程有两解1,235x a =-(3)当5a =时,原方程有一解3x =; (4)当15a a ≤>或时,原方程无解．(Ⅲ) 由已知得10010011()k k h k k===∑．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1()()6n S f n g n =-，*()n N ∈． 从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，14341166k k k k k a S S k k -+-=-=-，又1[(4(46k a k k =--220==>则对任意的2100k ≤≤，有k a又因为11a ==10010011k k k a ==>∑，故10011(100)(100)()6k f h h k =->∑．。

11．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an（n∈N+）且{an}的前n项和为Sn，则 =（ ）
A．3B． C．2D．
12．（5分）在集合1，2，3，4，5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量 =（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数m，则 =（ ）
A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元
10．（5分）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5）C．（2，﹣9）D．（1，6）
根据样本的频率分布估计，数据[31.5，43.5）的概率约是（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）复数 =（ ）
A．﹣2iB． C．0D．2i
3．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
（Ⅰ）求证：CD=C1D；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面B1DP的距离．
20．（12分）设d为非零实数，
（Ⅰ）写出a1，a2，a3并判断﹛an﹜是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至1 0 页．满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.] 参考公式：高^考#资*源^网如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 24s R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 243v R π=在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径n ()(1)(0,1,2,...)k k n knP k C p p k n -=-= 第一部分 （选择题 共60分）注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上. 2．本部分共1 2小题，每小题5分，共60分． 一、选择题1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[)11.515.5， 2 [)15.519.5， 4 [)19.523.5， 9 [)23.527.5， 18 [)27.531.5，11 [)31.535.5， 12 [)35.539.5， 7 [)39.543.5， 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[)31.543.5，的概率约是(A)16 (B) 13 (C)12 (D)232．复数1i i -+=(A)2i - (B)12i (C)0 (D) 2i3．123,,l l l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(A) 122313,l l l l l l ⊥⊥⇒⊥ (B) 122313,l l l l l l ⊥//⇒⊥ (C) 123123,,l l l l l l ////⇒共面 (D)123,,l l l 共点123,,l l l ⇒共面4．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=(A) 0 (B) BE (C) AD(D) CF5．函数()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是 （A ）0,6π⎛⎤⎥⎝⎦（B ）,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （C ）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ （D ）,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，12()()1xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是（A ） （B ） （C ） （D ）8．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且*1()n n n b a a n N +=-∈，若3102,12b b =-=，则8a = （A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）119．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工类)本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。

第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。

第一部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5） 2 [15.5, 19.5) 4 [19.5, 23.5) 9 [23.5, 27.5) 18 [27.5, 31.5) 11 [31.5, 35.5) 12 [35.5, 39.5) 7 [39.5, 43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据[31.5,43.5）的概率约是（A ）16 （B ）13 （C ）12 （D ）232．复数1i i-+=（A ）2i - （B ）12i （C ）0 （D ）2i3.l 1,l 2,l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A ）l 1⊥l 2, l 2⊥l 3⇒ l 1∥l 3 (B) l 1⊥l 2, l 2∥l 3⇒ l 1⊥l 3（C ）l 1∥l 2 ∥l 3 ⇒ l 1,l 2,l 3 共面 (D) l 1,l 2,l 3 共点⇒ l 1,l 2,l 3 共面4.如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=u u u r u u u r u u u r（A ）0 （B ）AD u u u r （C ）BE u u u r（D ）CF uuu r5.函数()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 （A ）充分而不必要的条件 （B ）必要而不充分的条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件6.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ （C ）(0,]3π （D ）[,)3ππ7. 已知()f x 是R 的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是8. 数列{}n a 的首3，{}n b 为等差数列且n b *1()n n a a n N +=-∈，若3102,12b b =-=， 则s a =（A ）**** （B ）3 （C ）8 （D ） 118.数列{a n } 的首项为3，{b n }为等差数列且b n =a n+1- a n (n ∈N +),若b 3=-2, b 10 =12,则a 8= （A ）0 （B ）3 (C) 8 （D ）119.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；没送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润 （A ） 4650元 （B ）4700元(C) 4900元 （D ）5000元10.在抛物线y=x 2+ax-5(a ≠ 0)上取横坐标为x 1=4,x 2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2+5y 2=36相切，则（A ） (-2,-9) （B ）(0,-5) (C) (2,-9) （D ）(1,6)11.已知定义在[0，+∞ ]上的函数()f x 满足()f x =3(2)f x +，当[0,2)x ∈时，()f x =22x x -+，设()f x 在[22,2)n n -上的最小值为([0,)n a n N +∈且{}n a 的前n 项和为S n ，则lim n x S →∞=（A ）3 （B ）52 (C) 2 （D ）3212.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量a=（a ，b ）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数m ，则m n= 注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔画线，确认后在用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分。

2011年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•四川）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5）2；[15.5，19.5）4；[19.5，23.5）9；[23.5，27.5）18；[27.5，31.5）11；[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3．根据样本的频率分布估计，数据[31.5，43.5）的概率约是（）A．B．C．D．2．（5分）（2011•四川）复数=（）A．﹣2i B．C．0 D．2i3．（5分）（2011•四川）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面4．（5分）（2011•四川）如图，正六边形ABCDEF中，=（）A．B．C．D．5．（5分）（2011•四川）函数f（x）在点x=x0处有定义是f（x）在点x=x0处连续的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件6．（5分）（2011•四川）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π） C．（0，]D．[，π）7．（5分）（2011•四川）已知f（x）是R的奇函数，且当x＞0时，，则f（x）的反函数的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）（2011•四川）数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．119．（5分）（2011•四川）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z=（）A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元10．（5分）（2011•四川）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（）A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5）C．（2，﹣9）D．（1，6）11．（5分）（2011•四川）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N+）且{a n}的前n 项和为S n，则=（）A．3 B．C．2 D．12．（5分）（2011•四川）在集合1，2，3，4，5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数m，则=（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2011•四川）计算÷=．14．（4分）（2011•四川）双曲线﹣=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P 到左准线的距离是．15．（4分）（2011•四川）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是．16．（4分）（2011•四川）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2011•四川）已知函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣），x∈R（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知cos（β﹣α）=，cos（β+α）=﹣.0＜α＜β，求证：[f（β）]2﹣2=0．18．（12分）（2011•四川）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（12分）（2011•四川）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1（Ⅰ）求证：CD=C1D；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面B1DP的距离．20．（12分）（2011•四川）设d为非零实数，（Ⅰ）写出a1，a2，a3并判断﹛a n﹜是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；（Ⅱ）设b n=nda n（n∈N*），求数列﹛b n﹜的前n项和S n．21．（12分）（2011•四川）椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．22．（14分）（2011•四川）已知函数f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[f（x﹣1）﹣]=log2h（a﹣x）﹣log2h（4﹣x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24xy x R =∈ (B)()204xy x =≥(C)()24y xx R =∈ (D)()240y xx =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1A B A C B D ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)22(B)33(C)63(D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13(B)12(C)23(D) 19.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14-(C)14(D)1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos A F B ∠= (A)45(B)35(C) 35-(D) 45-11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60 二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927xyC -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F A F ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABC D A B C D - 的棱11BB C C 、上，且12B E E B =,12C F FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2011年四川高考数学理试题及答案2011年四川高考数学理试题及答案一、选择题（每题6分，共30分，无答案解析）1. 已知函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f(x) 的一个周期是(A) 2π；(B) π/2；(C) π/4；(D) π；(E) 3π/2.2. 椭圆的离心率为 5/6，焦距为 4，则该椭圆的长轴的长度为(A) 6；(B) 8；(C) 10；(D) 12；(E) 14.3. 在平面直角坐标系中，直线 l 的方程为 3x - 2y + 6 = 0，直线 l' 过点 (1,3) 且与直线 l 垂直，则直线 l' 的解析式为(A) y = (2/3)x + 5/3；(B) y = -(3/2)x + 9/2；(C) y = (2/3)x - 1/3；(D) y = -(3/2)x + 13/2；(E) y = (2/3)x - 1/6.4. 如果一个 3 阶行列式的任意两行或任意两列相同，那么这个行列式的值一定等于(A) 0；(B) 1；(C) -1；(D) 2；(E) -2.5. 函数 f(x) = 1 + 2x - 3x^2 的图象关于点 (a,b) 对称，其中 a>0, b>0，则 a+b 的值为(A) 0；(B) 1/2；(C) 1；(D) 3/2；(E) 2.二、填空题（每题6分，共30分，无答案解析）6. 已知四面体 ABCD 的底面 ABC 为等边三角形，AD = BD = CD = 2，高 AF = 2，令 S=面 ABC 的面积，则 S=7. 已知函数 f(x) = ex + a。

若对于任意的 x，有f(2x) = f(x + 1)，则实数 a 的值是 __________。

8. 已知数列 {an} 的通项公式为 a_n = (n ^ 2 + n) / (n^3 - n)，则 a_101 的值为 __________。

9. 若对于任意的实数 x，恒有 f(x) = f(1/2 - x)，则函数 f(x) 的一个可能的解析式为 __________。

2011年全国统一招生考试（四川卷）理科数学本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。

第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B) =P(A)+P(B) 球的表面积公式 24s R π= 其中R 表示球的半径如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式243v R π=其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率n ()(1)(0,1,2,...)k kn k n P k C p p k n -=-=第一部分（选择题 共60分） 注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。

2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是(A)16 (B)13 (C)12 （D ）232、复数1i i -+=(A)2i - （B ）12i（C ）0 （D ）2i3、1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ⇒P（B ）12l l ⊥，23l l P ⇒13l l ⊥[来源:] (C)233l l l P P ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 4、如图，正六边形ABCDEF中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r=[来源:] (A)0 (B)BE u u u r (C)AD u u u r(D)CF uuu r5、5函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 (A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件6.在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是(A)(0，6π] (B)[ 6π，π) (c)(0，3π] (D) [ 3π，π)7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是8.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则32b =-，1012b =，则8a =（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 （A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元10.在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为 （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)-11.已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=（A ）3 （B ）52 （C ）2 （D ）3212.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m ，则m n =（A ）415 （B ）13 （C ）25 （D ）23二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.计算121(lg lg 25)100=4--÷ .14.双曲线22x y =1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 .15.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 .16.函数f x （）的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）时总有12x =x f x ，则称（）为单函数.例如，函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数.下列命题：① 函数f x （）=2x （x ∈R ）是单函数；② 若f x （）为单函数，121212x x A x x f x f x ∈≠≠，且，则（）（）；③ 若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④ 函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 三、解答题17、 已知函数73()sin()cos(),44f x x x x Rππ=++-∈(1)求()f x 的最小正周期和最小值； （2）已知44cos(),cos(),(0)552a πββααβ-=+=-<<≤，求证：2[()]20f β-=18、本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（四川卷）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A+B ） =PA ．+PB ． 24s R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P （A·B ）=PA ．·PB ． 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么243v R π=在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径第一部分（选择题 共60分）注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。

2．本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是A ．16B ．13C ．12D ．232．复数1i i-+=A ．2i -B ．12i C ．0 D ．2i3．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥C ．233////l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面n ()(1)(0,1,2,...)kkn kn P k C p p k n -=-=4．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=A ．0B ．BEC ．ADD ．CF5．函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件6．在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π）7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是8．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ ．若则32b =-，1012b =，则8a =A ．0B ．3C ．8D ．119．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元10．在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x=的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为A ．(2,9)--B ．(0,5)-C ．(2,9)-D ．(1,6)-11．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x=-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=A ．3B ．52C ．2D ．3212．在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n =A ．415B ．13C ．25D ．23本部分共10小题，共90分。

1、答案：B解析：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==。

2、答案：A解析：12i i i i i-+=--=-3、答案：B解析：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定 4、答案D解析：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+=5、答案：B解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。

6.答案：C 解析：由题意正弦定理22222222211c o s23b c a a b c bc b c a bc A A bc π+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤ 7．答案：A解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。

当10,0()1,122xx y ><<⇒<<，故选A 8.B 解析：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==9.答案：C解析：由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件08071210672219x y x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪+≥⎪+≤⎪⎩画出可行域在12219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的点75x y =⎧⎨=⎩代入目标函数4900z =10.答案：A解析：由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为(2)y a x b =-+，则223651(2)b a =+-又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩11.答案：D 解析：由题意1(2)()3f x f x +=,在[22,2]n n -上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213nn n n nn f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=-12.答案：D基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515n C ==⨯=由其中面积为1的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)其中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5)其中面积为5的平行四边形的个数(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)其8的平行四边形的个数(4,1)(4,5)其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.答案：20-解析：12111(lg lg 25)100lg20410010--÷=÷=- 14.答案：565解析：8,6,10a b c ===，点P 显然在双曲线右支上，点P 到左焦点的距离为14，所以1455645c d d a ==⇒=15.答案：22R π 解析：22222max 224()S r R rrR r Sππ=⋅-=-⇒侧侧时，22222222R r R r r r R =-⇒=⇒=，则222422R R R πππ-=16.答案：②③④解析 ：①错，12x x =± ，②③④正确。

2011年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•四川）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5）2；[15.5，19.5）4；[19.5，23.5）9；[23.5，27.5）18；[27.5，31.5）11；[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3．根据样本的频率分布估计，数据[31.5，43.5）的概率约是（）A．B．C．D．【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布表．【专题】计算题．【分析】根据所给的数据的分组及各组的频数，得到符合条件的数据共有的个数，又知这组数据的总数是66，根据等可能事件的概率个数得到结果．【解答】解：根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在[31.5，43.5）范围的有[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3，∴满足题意的数据有12+7+3=22个，总的数据有66个，根据等可能数据的概率得到P=，故选：B．【点评】本题考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查频率分布表的应用，考查等可能事件的概率，是一个必得分题目．2．（5分）（2011•四川）复数=（）A．﹣2i B．C．0 D．2i【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】直接对复数的分母、分子同乘i，然后化简即可．【解答】解：复数==﹣2i故选A【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．3．（5分）（2011•四川）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．4．（5分）（2011•四川）如图，正六边形ABCDEF中，=（）A．B．C．D．【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】根据正六边形对边平行且相等的性质，我们可得=，=，然后根据平面向量加法的三角形法则，即可得到答案．【解答】解：根据正六边形的性质，我们易得===故选D【点评】本题考查的知识点是向量的加法及其几何意义，其中根据正六边形的性质得到=，=是解答本题的关键．5．（5分）（2011•四川）函数f（x）在点x=x0处有定义是f（x）在点x=x0处连续的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件【考点】函数的连续性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型．【分析】由f（x）在点x=x0处连续的定义，函数f（x）在点x=x0处有定义；但是函数f（x）在点x=x0处有定义，f（x）在点x=x0处不一定连续，分析选项可得答案．【解答】解：由f（x）在点x=x0处连续的定义，可知f（x）在点x=x0处连续⇒函数f（x）在点x=x0处有定义；反之不成立．故为必要而不充分的条件故选：B【点评】本题考查函数在某点连续的概念和充要条件的判断，属基本概念的考查．6．（5分）（2011•四川）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π） C．（0，]D．[，π）【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选C【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．7．（5分）（2011•四川）已知f（x）是R的奇函数，且当x＞0时，，则f（x）的反函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】反函数．【专题】综合题；数形结合．【分析】根据已知条件我们易得f（x）的反函数也为奇函数，根据x＞0时，函数的解析式，我们易求出反函数的解析式及定义域，分析其性质判断反函数图象的形状，并逐一分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是R的奇函数，故f（x）的反函数也为奇函数，又∵x＞0时，此时其反函数（1＜x＜2）分析四个答案，发现只有A答案满足条件故选A【点评】本题考查的知识点是反函数及对数函数的图象，其中根据已知函数的解析式，求出当x＞0时，其反函数的解析式及定义域是解答本题的关键．8．（5分）（2011•四川）数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．11【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10，联立方程求得b1和d，进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．【解答】解：依题意可知求得b1=﹣6，d=2∵b n=a n+1﹣a n，∴b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3故选B．【点评】本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．9．（5分）（2011•四川）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z=（）A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合．【分析】我们设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，根据题意中运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，我们易构造出x，y满足的约束条件，及目标函数，画出满足条件的平面区域，利用角点法即可得到答案．【解答】解：设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，由题意得：z=450x+350y由题意得x，y满足下列条件：上述条件作出可行域，如图所示：由图可知，当x=7，y=5时，450x+350y有最大值4900故选C【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．10．（5分）（2011•四川）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（）A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5）C．（2，﹣9）D．（1，6）【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标．【解答】解：两点坐标为（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1），两点连线的斜率k=，对于y=x2+ax﹣5，y′=2x+a，∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1，在抛物线上的切点为（﹣1，﹣a﹣4），切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0，该切线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，解得a=4或0（0舍去），抛物线方程为y=x2+4x﹣5顶点坐标为（﹣2，﹣9）．故选A．【点评】本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．11．（5分）（2011•四川）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N+）且{a n}的前n 项和为S n，则=（）A．3 B．C．2 D．【考点】数列的求和；数列的极限．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意可知，函数f（x）按照2单位向右平移，只是改变函数的最大值，求出a1，公比，推出a n，然后求出S n，即可求出极限．【解答】解：因为f（x）=3f（x+2），所以f（x+2）=f（x），就是函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，a1=f（1）=1，q=，所以a n=，S n=，==故选D【点评】本题是中档题，考查函数与数列以及数列的极限的交汇题目，注意函数的图象的平移，改变的是函数的最大值，就是数列的公比，考查计算能力，发现问题解决问题的能力．12．（5分）（2011•四川）在集合1，2，3，4，5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数m，则=（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，a的取法有2种，b的取法有3种，故向量=（a，b）有6个，从中任取两个向量共C62=15中取法，平行四边形的面积超过4的由列举法列出，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从数字中选出两个数字，组成向量，a的取法有2种，b的取法有3种，故向量=（a，b）有6个，从中任取两个向量共C62=15种结果，满足条件的事件是平行四边形的面积不超过4的由列举法列出共有5个，根据等可能事件的概率得到P==故选B．【点评】本题考查等可能事件的概率，考查组合数的应用，考查用列举法列举法求计数问题，本题是一个综合题目．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2011•四川）计算÷=﹣20．【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】计算题．【分析】利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值．【解答】解：=lg=﹣20故答案为：﹣20【点评】本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则．14．（4分）（2011•四川）双曲线﹣=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是16．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用双曲线的方程求出参数a，b，c；求出准线方程，离心率的值；利用双曲线的第二定义求出点P的横坐标；求出P到左准线的距离．【解答】解：由双曲线的方程知a=8，b=6所以c=10准线方程为x=；离心率e=设点P到右准线的距离为d则由双曲线定义得即d=设P（x，y）则d=|=所以x=所以点P到左准线的距离是故答案为16【点评】本题考查由双曲线的方程得到三个参数值注意最大的参数是c、考查双曲线的准线方程与离心率、考查双曲线的第二定义、利用第二定义解决双曲线上的点到焦点距离的有关问题．15．（4分）（2011•四川）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是2πR2．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【专题】计算题；压轴题．【分析】设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的差值．【解答】解：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r=Rcosα，圆柱的高为2Rsinα，圆柱的侧面积为：2πR2sin2α，当且仅当α=时，sin2α=1，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为：2πR2，球的表面积为：4πR2，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：2πR2．故答案为：2πR2【点评】本题是基础题，考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型．16．（4分）（2011•四川）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是②③．（写出所有真命题的编号）【考点】抽象函数及其应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据单函数的定义f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，可知函数f（x）则对于任意b∈B，它至多有一个原象，而①④f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，可知它不是单函数，②③都是，可得结果．【解答】解：∵若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数∴①函数f（x）=x2不是单函数，∵f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，∴函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；②∵函数f（x）=2x（x∈R）是增函数，∴f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，即②正确；③∵f（x）为单函数，对于任意b∈B，若∃x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）=b，则x1=x2，与x1≠x2矛盾∴③正确；④例如①函数f（x）=x2在（0，+∞）上是增函数，而它不是单函数；故④不正确．故答案为：②③．【点评】此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，以及知识方法的迁移能力．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2011•四川）已知函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣），x∈R（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知cos（β﹣α）=，cos（β+α）=﹣.0＜α＜β，求证：[f（β）]2﹣2=0．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；综合题．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求解．（Ⅱ）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得β的值，代入函数解析式中求得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x﹣）+sin（x﹣）=2sin（x﹣）∴T=2π，最小值为﹣2（Ⅱ）∵cos（β﹣α）=cosβcosα+sinβsinα=，cos（β+α）=cosβcosα﹣sinβsinα=﹣，两式相加得2cosβcosα=0，∵0＜α＜β，∴β=∴[f（β）]2﹣2=4sin2﹣2=0【点评】本题主要考查了两角和公式和诱导公式的化简求值．考查了考生基础知识的综合运用．18．（12分）（2011•四川）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；应用题．【分析】（Ⅰ）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可．（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8P（ξ=0）==P（ξ=2）==P（ξ=4）==P（ξ=6）==P（ξ=8）==数学期望Eξ==【点评】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力．19．（12分）（2011•四川）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1（Ⅰ）求证：CD=C1D；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面B1DP的距离．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）°由题意及图形建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用AC∥PC1，建立点D的汗有未知数x的坐标，利用PB1∥平面BDA1建立x的方程，解出即证出所求；（II）由题意及（I）所建立的坐标系，利用平面法向量与二面角的大小之间的关系求出二面角的大小；（III）利用空间向量中求点到平面的距离公式直接求出点到平面的距离．【解答】解：（I）由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系：以A1点为原点，A1B1，A1C1，A1A所在的直线分别为x，y，z轴，建立图示的空间直角坐标系，则A1（0，0，0）B1（1，0，0）C1（0，1，0）B（1，0，1）（I）设C1D=x，∵AC∥PC1∴可设D（0，1，x），∴=（0，1，x），设平面BA1D的一个法向量为=（a，b，c），则⇒令a=1，则=（1，x，﹣1）∵PB1∥平面BA1D∴0=0⇒x=；故CD=C1D．（II）由（I）知，平面BA1D的一个法向量为又=（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量，∴cos＜．故二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为．（III）∵设平面B1DP的一个法向量为=（x，y，z），则⇒令z=1，∴又∴C到平面B1PD的距离d=．【点评】此题重点考查了利用空间向量的方法求点到平面的距离和二面角的大小，还考查了利用方程的思想求解坐标中所设的变量的大小．20．（12分）（2011•四川）设d为非零实数，（Ⅰ）写出a1，a2，a3并判断﹛a n﹜是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；（Ⅱ）设b n=nda n（n∈N*），求数列﹛b n﹜的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【专题】计算题；综合题．【分析】本题考查的是数列求和问题，在解答时：（Ⅰ）根据条件直接代入n值计算即可获得a1、a2、a3的值．然后利用，当n≥2，k≥1时，，对数列通向进行化简可得a n=d（d+1）n﹣1，进而分类讨论问题即可获得解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a n=d（d+1）n﹣1，进而可计算b n，结合b n的特点可利用成公比错位相减法进行求解，注意分类讨论即可获得问题的解答．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：a1=d，a2=d（1+d），a3=d（1+d）2，当n≥2，k≥1时，，∴=d（C n﹣10d0+C n﹣11d1+C n﹣12d2+…+C n﹣1n﹣1d n﹣1）=d（d+1）n﹣1．所以，当d≠﹣1时，{a n}是以d为首项，d+1为公比的等比数列．当d=﹣1时，a1=﹣1，a n=0（n≥2），此时{a n}不是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a n=d（d+1）n﹣1，∴b n=nd2（d+1）n﹣1=d2n（d+1）n﹣1，∴S n=d2[1•（d+1）0+2•（d+1）1+3•（d+1）2+…+（n﹣1）•（d+1）n﹣2+n•（d+1）n﹣1]，当d=﹣1时，S n=d2=1当d≠﹣1时，（d+1）S n=d2[1•（d+1）1+2•（d+1）2+3•（d+1）3+…+（n﹣1）•（d+1）n﹣1+n•（d+1）n]，∴﹣dS n=d2[1+（d+1）+（d+1）2+（d+1）3+…+（d+1）n﹣1﹣n（d+1）n]，∴S n=（d+1）n（nd﹣1）+1．综上可知：S n=（d+1）n（nd﹣1）+1，n∈N*．【点评】本题考查的是数列求和问题，在解答的过程当中充分体现了同学们的运算能力、数据处理能力、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．21．（12分）（2011•四川）椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；方程思想．【分析】（Ⅰ）根据椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），焦点F（0，1），可知椭圆的焦点在y轴上，b=1，c=1，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程；（Ⅱ）根据过其焦点F（0，1）的直线l的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，和直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），由已知得b=1，c=1，所以a=，椭圆的方程为，当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，则x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，∴|CD|====，解得k=．∴直线l的方程为y=x+1；（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），∴P点的坐标为（﹣，0），由（Ⅰ）知x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，且直线AC的方程为y=，且直线BD的方程为y=，将两直线联立，消去y得，∵﹣1＜x1，x2＜1，∴与异号，==，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1==﹣，∴与y1y2异号，与同号，∴=，解得x=﹣k，故Q点坐标为（﹣k，y0），=（﹣，0）•（﹣k，y0）=1，故为定值．【点评】此题是个难题．本题考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．体现了分类讨论和数形结合的思想．22．（14分）（2011•四川）已知函数f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[f（x﹣1）﹣]=log2h（a﹣x）﹣log2h（4﹣x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题；数形结合；分类讨论．【分析】（Ⅰ）先求导函数，利用导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．即可求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）先把原等式转化为关于a和x之间的等量关系，最后利用图象来求x的值（注意对a 的讨论）．（Ⅲ）把f（100）h（100）﹣转化为一新数列{a n}的前100项和，再比较新数列{a n}的每一项和对应h（x）=之间的大小关系，即可比较f（100）h（100）﹣与的大小．【解答】解：（Ⅰ）由F（x）=f（x）﹣h（x）=x+﹣（x≥0）知，F′（x）=，令F′（x）=0，得x=．当x∈（0，）时，F′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，F′（x）＞0．故x∈（0，）时，F（x）是减函数；故x∈（，+∞）时，F（x）是增函数．F（x）在x=处有极小值且F（）=．（Ⅱ）原方程可化为log4（x﹣1）+log2 h（4﹣x）=log2h（a﹣x），即log2（x﹣1）+log2=log2，⇔⇔①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3﹣；②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3；③当a=5时，原方程有一解x=3；④当a≤1或a＞5时，原方程无解．（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为s n，且s n=f（n）g（n）﹣从而有a1=s1=1．当2＜k≤100时，a k=s k﹣s k﹣1=，a k﹣=[（4k﹣3）﹣（4k﹣1）]==＞0．即对任意的2＜k≤100，都有a k＞．又因为a1=s1=1，所以a1+a2+a3+…+a100＞=h（1）+h（2）+…+h（100）．故f（100）h（100）﹣＞．【点评】题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系以及函数极值的求法和函数与数列的综合应用问题．在解题过程中，用到了分类讨论思想和数形结合思想，是一道综合性很强的好题．。

2011年四川高考数学卷(答案）1 答案：B 解析：[31.5,43.5）之间的频数为12+7+3=22，总数为66，所以概率为22/66=1/3。

故选B 。

2 答案：A 。

3 答案：B ； 解析：正方体同一顶点的三条棱两两垂直但都不平行，A 错。

三棱柱的三条棱相互平行但不共面，C 错。

正方体同一顶点的三条棱交于同一点但不共面，D 错。

垂直于一条直线则也必定垂直于其平行线，B 正确。

4 答案：D ； 解析：BA CD EF ++= BA AF CB CB BF CF ++=+= 故选D 。

5 答案：B ； 解析：分段函数中，()f x 在点0x x =处可以有定义但是不连续；如果()f x 在0x x =处连续则必定有定义。

6 答案：C 解析：排除法，显然A=2π时原式不成立，排除BD ，经计算当A=3π时原式成立，故选C 。

7 答案：A ； 解析：依据题意做出当0x >时，1()()12x f x =+的图像，1/2为底数的指数函数再向上平移一个单位，再依据()f x 是R 奇函数，关于原点对称，做出原函数图像为B 图像，反函数与原函数关于y=x 对称，故反函数图像为A 。

8 答案：B ； 解析：{b n }为等差数列且b 3=-2, b 10 =12,则通项公式b n =2n-8；所以a n+1- a n =2n-8，于是得出关于数列a n 的递推关系，使用叠加法即可计算出 a n =2911n n -+，带入n=8，a n =3.故选B 。

9 答案：C ； 解析：线性规划问题，做出图像取点计算。

计算略。

10答案：A ， 解析：x 1=-4,x 2=2代入y=x 2+ax-5 ，得出（2,2a-1），（-4,-4a+11），经过两点的直线斜率为k=a-2，令同时与抛物线和圆5x 2+5y 2=36相切的直线为y=（a-2）x+b ，代入计算得出a=4.所以顶点坐标(-2,-9)。

11答案：D ； 解析：由题意当[0,2)x ∈时2[2,4)x +∈，[0,2)x ∈时有()f x =3(2)f x +，代入得出[2,4)x ∈时的解析式。

线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i - 2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+= Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．0 4. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z O M O N=的最大值为 A．B．C ．4D ．36. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12B ．35C ．23D ．347. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A.B.C.D. 8.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（四川卷）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A+B ） =PA ．+PB ． 24s R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P （A·B ）=PA ．·PB ． 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 243v R π=在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径第一部分（选择题 共60分）注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。

2．本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是A ．16 B ．13C ．12D ．232．复数1i i-+=A ．2i -B ．12i C ．0 D ．2i3．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥C ．233////l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面n ()(1)(0,1,2,...)k k n kn P k C p p k n -=-=4．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=A ．0B ．BEC ．ADD ．CF5．函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件6．在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是A ．（0，6π] B ．[6π，π）C ．（0，3π] D ．[3π，π）7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是8．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ ．若则32b =-，1012b =，则8a =A ．0B ．3C ．8D ．11 9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元10．在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为A ．(2,9)--B ．(0,5)-C ．(2,9)-D ．(1,6)-11．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x=-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=A ．3B ．52C ．2D ．3212．在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn=A ．415 B ．13C ．25D ．23本部分共10小题，共90分。

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(四川卷)本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)．满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率-()C (1)k k n kn n P k p p =- (k ＝0,1,2，…，n ) 球的表面积公式 S ＝4πR 2 其中R 表示球的半径 球的体积公式 34π3V R =其中R 表示球的半径第一部分 (选择题 共60分)本部分共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4[19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5 39.5) 7 [39.5 43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( )A.16 B ．13 C ．12 D ．232．复数1i i-+= ( )A ．－2iB ．1i 2C ．0D ．2i3．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面4．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=( )A ．0B ．BE C.ADD ．CF 5．函数f (x )在点x ＝x 0处有定义是f (x )在点x ＝x 0处连续的( ) A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件6．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A ．π(0,] 6B ．π[,π)6C ．π(0,] 3D ．π[,π)37．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，1()()12x f x =+，则f (x )的反函数的图象大致是( )8．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11 9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元 10．在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )A ．(－2，－9)B ．(0，－5)C ．(2，－9)D ．(1，－6)11．已知定义在[0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )＝3f (x ＋2)，当x ∈[0,2)时，f (x )＝－x 2＋2x .设f (x )在[2n －2,2n )上的最大值为a n (n ∈N *)，且{a n }的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞= ( )A ．3B ．52 C ．2 D ．3212．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量α＝(a ，b )．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn= ( ) A.415 B ．13 C ．25 D ．23第二部分 (非选择题 共90分) 本部分共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共 16分．13．计算=÷--21100)25lg 41(lg __________.14．双曲线2216436x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么点P 到左准线的距离是__________．15．如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是__________．16．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是__________．(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数7π3π()sin()cos()44f x x x =++-，x ∈R . (1)求函数的最小正周期和最小值； (2)已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，π02αβ<<≤.求证：[f (β)]2－2＝0. 18．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.19．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1.D 是棱CC 1上的一点，P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA 1.(1)求证：CD ＝C 1D ；(2)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值； (3)求点C 到平面B 1DP 的距离．20．设d 为非零实数，122111[C 2C (1)C C ]n n n nn n n n n a d d n d n d n--=+++-⋅+ (n ∈N *)．(1)写出a 1，a 2，a 3并判断{a n }是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；(2)设b n ＝nda n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .21．椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当CD =时，求直线l 的方程； (2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP OQ ⋅为定值．22．已知函数21()32f x x =+，()h x =. (1)设函数F (x )＝f (x )－h (x )，求F (x )的单调区间与极值；(2)设a ∈R ，解关于x 的方程42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x h x --=-－－； (3)试比较1001(100)(100)()k f h h k =-∑与16的大小．参考答案1．B 2．A 3．B 4． D 5．B 6．C 7． A 8．B 9．C 10．A 11． D 12．B13．答案：－20 .14．答案：16 15．答案：2πR 2 16．答案：②③ 17．解： (1)∵73()sin(2)sin()sin()sin()2sin()442444f x x x x x x πππππππ=+-+-+=-+-=-． ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)由已知得4cos cos sin sin 5βαβα+=， 4cos cos sin sin 5βαβα-=-.两式相加得2cos βcos α＝0.∵π02αβ<<≤，∴π2β=. ∴22π[()]24sin 204f β-=-=.18．解：(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则1111115()42244416P A =⨯+⨯+⨯=.故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516. (2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.111(0)428P ξ==⨯=；11115(2)442216P ξ==⨯+⨯=；1111115(4)24424416P ξ==⨯+⨯+⨯=；11113(6)244416P ξ==⨯+⨯=；111(8)4416P ξ==⨯=.所以155317024688161616162E ξ=⨯⨯⨯⨯⨯=＋＋＋＋.19．解：法一：(1)连结AB 1与BA 1交于点O ，连结OD .∵PB 1∥平面BDA 1，PB 1⊂平面AB 1P ，平面AB 1P ∩平面BDA 1＝OD ， ∴OD ∥PB 1.又AO ＝B 1O ，∴AD ＝PD . 又AC ∥C 1P ，∴CD ＝C 1D .(2)过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连结BE . ∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC ＝A ， ∴BA ⊥平面AA 1C 1C .由三垂线定理可知BE ⊥DA 1.∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角．在Rt △A 1C 1D 中，1A D ==又11111222S AA D AE =⨯⨯=⨯⋅ ，∴5AE =.在Rt △BAE中，5BE ==， ∴2cos 3AE BEA BE ∠==. 故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23. (3)由题意知，点C 到平面B 1DP 的距离是点C 到平面DB 1A 的距离，设此距离为h . ∵VC －DB 1A ＝VB 1－ACD ，∴1111133DB A ACD S h S B A ⋅=⋅ .由已知可得AP =1PB =1AB =，∴在等腰△AB 1P 中，11322AB P S AB == . ∴111324DB A AB P S S == .又1124ACD S AC CD =⋅= ，∴11113ACD DB A S B A h S ⋅== .故C 到平面B 1DP 的距离等于13.法二：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．(1)设C 1D ＝x ， ∵AC ∥PC 1，∴111C P C D xAC CD x==-. 由此可得D (0,1，x )，P (0,1,0)1xx+-，∴1(1,0,1)A B = ，1(0,1,)A D x = ，1(1,1,0)1x B P x=-+- ．设平面BA 1D 的一个法向量为n 1＝(a ，b ，c )，则111100A B a c A D b cx ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ n n ，令c ＝－1，则n 1＝(1，x ，－1)． ∵PB 1∥平面BA 1D ，∴111(1)(1)(1)001x B P x x⋅=⨯-+⋅++-⨯=- n .由此可得12x =，故CD ＝C 1D . (2)由(1)知，平面BA 1D 的一个法向量11(1,,1)2=-n ． 又n 2＝(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量， ∴121212·12cos 3||||312===⨯〈，〉n n n n n n .故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23. (3)∵1(1,2,0)PB =- ，1(0,1,)2PD =- ，设平面B 1DP 的一个法向量n 3＝(a 1，b 1，c 1)，则3111131202PB a b c PD b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n ，令c 1＝1，可得31(1,,1)2=n ． 又1(0,0,)2DC = ．∴C 到平面B 1DP 的距离33||1||3DC d ⋅==n n . 20．解：(1)由已知可得a 1＝d ，a 2＝d (1＋d )，a 3＝d (1＋d )2. 当n ≥2，k ≥1时，11C C k k n n k n--=. 因此11111110C C C (1)nn n k k k k k k n n n n n k k k k a d d d d d d n -----=======+∑∑∑.由此可见，当d ≠－1时，{a n }是以d 为首项，d ＋1为公比的等比数列；当d ＝－1时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }不是等比数列．(2)由(1)可知，a n ＝d (d ＋1)n －1，从而b n ＝nd 2(d ＋1)n －1，S n ＝d 2[1＋2(d ＋1)＋3(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d －1)n －2＋n (d ＋1)n －1]．① 当d ＝－1时，S n ＝d 2＝1.当d ≠－1时，①式两边同乘d ＋1得(d ＋1)S n ＝d 2[(d ＋1)＋2(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －1＋n (d ＋1)n ]．② ①②式相减可得221211[1(1)(1)(1)(1)][(1)]n n nn n d dS d d d d n d d n d d-(+)--=+++++⋅⋅⋅++-+=-+．化简即得S n ＝(d ＋1)n (nd －1)＋1. 综上，S n ＝(d ＋1)n (nd －1)＋1.21．解：(1)因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22221y x a b+= (a >b >0)，由已知得b ＝1，c ＝1，所以a =，椭圆方程为2212y x +=. 直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则12222k x x k =-+＋，12212x x k ⋅=-+，CD ===k =所以直线l 的方程为1y =+或1y =+.(2)证明：直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)， 所以P 点坐标为1(,0)k-． 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知12222k x x k =-+＋，12212x x k ⋅=-+. 直线AC 的方程为11(1)1y y x x =++，直线BD 的方程为22(1)1yy x x =--，将两直线方程联立，消去y 得2112(1)11(1)y x x x y x ++=--. 因为－1＜x 1，x 2＜1，所以11x x +-与21y y 异号．22222222212112222212121222211(1)2(1)(1)(1)1122()()211(1)2(1)(1)(1)1122k y x x x x x x k k k k x y x x x x x k k k --+++-++++-++==⋅===--------+-+++.又22121212222(1)(1)2(1)1()1221k k k k y y k x x k x x k k k -++-=+++==-⋅+++， ∴11k k -+与y 1y 2异号，11x x +-与11k k -+同号， 1111x k x k +-=-+，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)．01(,0)(,)1OP OQ k y k⋅=-⋅-=. 故OP OQ ⋅ 为定值．22．解：(1)由21()()()32F x f x hx x =-=+ (x ≥0)知，()F x '=，令F ′(x )＝0，得916x =.当9(0,)16x ∈时，F ′(x )＜0； 当9(,)16x ∈∞＋时，F ′(x )>0. 故当9[0,)16x ∈时，F (x )是减函数；当9[,)16x ∈∞＋时，F (x )是增函数．F (x )在916x =处有极小值且91()168F =.(2)原方程可化为log 4(x －1)＋log 2h (4－x )＝log 2h (a －x )，即21l o g (1g l o g2x x -+-10400(1)(4)x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⇔⎨->⎪⎪--=-⎩， 214(3)5x x aa x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩. ①当1＜a ≤4时，原方程有一解3x = ②当4＜a ＜5时，原方程有123x x ==±； ③当a ＝5时，原方程有一解x ＝3； ④当a ≤1或a >5时，原方程无解．(3)由已知得10010011()k k h k ===∑.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且1()()6n S f n h n =- (n ∈N *)， 从而有a 1＝S 1＝1，当2≤k ≤100时，1k k k a S S ==－－又21[(4(46k a k k =--=0=>，即对任意的2≤k ≤100，有a k >k .又因为11a ==10010011k k k a ==>∑故10011(100)(100)()6k f h h k =->∑.。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学理试题本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。

第一部分1至2页，第二部分3至4页， 共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ） =PA ．+PB ． 24s R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A·B ）=PA ．·PB ． 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 243v R π=在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径第一部分（选择题 共60分）注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。

2．本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是A ．16 B ．13C ．12D ．232．复数1i i-+=A ．2i -B ．12i C ．0 D ．2in ()(1)(0,1,2,...)k k n kn P k C p p k n -=-=3．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥ C ．233////l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面4．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=A ．0B ．BEC ．ADD ．CF5．函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件6．在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是A ．（0，6π] B ．[6π，π）C ．（0，3π] D ．[3π，π）7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是8．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ ．若则32b =-，1012b =，则8a =A ．0B ．3C ．8D ．119．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元10．在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为A ．(2,9)--B ．(0,5)-C ．(2,9)-D ．(1,6)-11．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=A ．3B ．52C ．2D ．3212．在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn=A ．415B ．13C ．25D ．23注意事项：1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。