第三种资料---高中数学考点荟萃

高中数学考点荟萃 ——献给2012年高三(理科)考生黄冈中学 吴校红一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域； {(,)|lg }x y y x =—函数图象上的点集.2.集合的性质：①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ⊆. ②空集是任何集合的子集,记为A ∅⊆.③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ⊆,在讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况如：}012|{2=--=x ax x A ,如果A R +=∅ ,求a 的取值.(答：0a ≤)④()U U U C A B C A C B = ,()U U U C A B C A C B = ；A B C A B C = （）（）；A B C A B C = （）（）.⑤A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=∅ U C A B R ⇔= . ⑥A B 元素的个数：()()card A B cardA cardB card A B =+- .⑦含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集)个数为21n -；非空真子集个数为22n -.3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使0)(>c f ,求实数p 的取值范围.(答：32(3,)-)4.原命题: p q ⇒；逆命题: q p ⇒；否命题: p q ⌝⇒⌝；逆否命题: q p ⌝⇒⌝；互为逆否的两个命题是等价的.如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件.(答：充分非必要条件)5.若p q ⇒且q p ≠>,则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件).6.注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别: 命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝. 命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”；“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”. 如：“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数,则b a +是奇数” 否定是“若a 和b 都是偶数,则b a +是奇数”.7.常见结论的否定形式二.函数1.①映射f :A B →是：⑪ “一对一或多对一”的对应；⑫集合A 中的元素必有象且A 中不同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ⊆). ②一一映射f :A B →： ⑪“一对一”的对应；⑫A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有原象.2.函数f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求定义域:⑪使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0> 且1≠；零指数幂的底数0≠)； ⑫实际问题有意义；⑬若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义域由()a g x b ≤≤解出； ⑭若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域. 5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)； ②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域； ⑤不等式法 ⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数). 6.求函数解析式的常用方法：⑪待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑫代换(配凑)法；⑬方程的思想:对已知等式进行赋值,从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组. 7.函数的奇偶性和单调性⑪函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑫若()f x 是偶函数,那么()()(||)f x f x f x =-=；定义域含零的奇函数必过原点((0)0f =)；⑬判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()()1(()0)f x f x f x -=±≠；⑭复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如()0f x =定义域关于原点对称即可).⑮奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；⑯确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑰复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数12log (2)y x x =-+的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))8.函数图象的几种常见变换 ⑪平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑫翻折变换：()|()|f x f x →；()(||)f x f x →. ⑬对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关于直线x a =对称；⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x+=-确定)；⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a b x +=对称；⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2A y =对称(由()()2f x A f x y +-=确定)；⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--的图像关于点22(,)m n对称；⑩函数()y f x =与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于y x a =+,y x a =-+的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=；曲线1C ：(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=. 9.函数的周期性：⑪若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ； ⑫若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ； ⑬若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ； ⑭若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；⑮()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；⑯()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||a ； 10.对数：⑪log log n n a a b b =(0,1,0,)a a b n R +>≠>∈；⑫对数恒等式log (0,1,0)a N a N a a N =>≠>； ⑬log ()log log ;log log log ;log log n a a a aa a a a M NM N M N M N M n M ⋅=+=-=；1log log a a nM =；⑭对数换底公式log log log b b a N aN =(0,1,0,1)a a b b >≠>≠；推论：121123log log log 1log log log log n a b c a a a n a n b c a a a a a -⋅⋅=⇒⋅⋅⋅= .(以上120,0,0,1,0,1,0,1,,,0n M N a a b b c c a a a >>>≠>≠>≠> 且12,,n a a a 均不等于1)11.方程()k f x =有解k D ⇔∈(D 为()f x 的值域)；()a f x ≥恒成立[()]a f x ⇔≥最大值, ()a f x ≤恒成立[()]a f x ⇔≤最小值.12.恒成立问题的处理方法： ⑪分离参数法(最值法)；⑫转化为一元二次方程根的分布问题；） (3)转化为一元一次方程根的分布问题；13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系； 14.二次函数解析式的三种形式：①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠； ②顶点式： 2()()(0)f x a x h k a =-+≠；③零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0∆>、轴与区间关系、区间端点函数值符号;16.复合函数：⑪复合函数定义域求法：若()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域可由不等式()a g x ≤b ≤解出；若[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于[,]x a b ∈时,求()g x 的值域；⑫复合函数的单调性由“同增异减”判定. 17.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑪定义域上的单调函数必有反函数； ⑫奇函数的反函数 也是奇函数；⑬定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数； ⑭周期函数不存在反函数；⑮互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑯()y f x =与1()y f x -=互为反函数,设()f x 的定义域为A ,值域为B ,则有1[()]()f f x x x B -=∈,1[()]()f f x x x A -=∈.18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：()()()0f u g x u h x =+≥(或0≤)()a u b ≤≤()0()0f a f b ≥⎧⇔⎨≥⎩(或()0()0f a f b ≤⎧⎨≤⎩)；19.函数(0,)ax b cx dy c ad bc ++=≠≠的图像是双曲线：①两渐近线分别直线d cx =-(由分母为零确定)和直线a cy =(由分子、分母中x 的系数确定)；②对称中心是点(,)d a c c-；③反函数为b dx cx ay --=；20.函数(0,0)b xy a x a b =+>>：增区间为(,,)-∞+∞,减区间为[-. 如：已知函数12()ax x f x ++=在区间(2,)-+∞上为增函数,则实数a的取值范围是_____(答：12(,)+∞).三.数列1.由n S 求n a ,1*1(1)(2,)n nn S n a S S n n N -=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ 注意验证1a 是否包含在后面n a 的公式中,若不符合要单独列出.如：数列{}n a 满足111534,n n n a S S a ++=+=，求n a (答：{14(1)34(2)n n n a n -==⋅≥).2.等差数列1{}n n n a a a d -⇔-=(d 为常数)112(2,*)n n n a a a n n N +-⇔=+≥∈21122(,)(,)n n dda anb a d b a d S An Bn A B a ⇔=+==-⇔=+==-；3.等差数列的性质： ①()n m a a n m d =+-,m n a a m nd --=；②m n l k m n l k a a a a +=+⇒+=+(反之不一定成立)；特别地,当2m n p +=时,有2m n p a a a +=；③若{}n a 、{}n b 是等差数列,则{}n n ka tb +(k 、t 是非零常数)是等差数列； ④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 232,,,m m m m m S S S S S -- 仍是等差数列；⑤等差数列{}n a ,当项数为2n 时,S S nd -=偶奇,1n n S a S a +=奇偶；项数为21n -时,(*)n S S a a n N -==∈偶中奇,21(21)n nS n a -=-,且1S nS n =-奇偶；()(21)n n nnA aB b f n f n =⇒=-.⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 100n n a a +≥⎧⎨≤⎩(或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩).也可用2n S An Bn =+的二次函数关系来分析.⑦若,()n m a m a n m n ==≠,则0m n a +=；若,()n m S m S n m n ==≠,则()m n S m n +=-+；若()m n S S m n =≠,则S m+n =0；S 3m =3(S 2m －S m )；m n m n S S S mnd +=++.4.等比数列121111{}(0)(2,*)n nn n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+⇔=≠⇔=≥∈⇔=.5.等比数列的性质①n m n m a a q -=,n q =②若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}n ka 、{}n n a b 等也是等比数列；③111111(1)1111(1)(1)(1)(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-+≠=≠⎪⎪⎩⎩； ④m n l k m n l k a a a a +=+⇒=(反之不一定成立)；m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+. ⑤等比数列中232,,,m m m m m S S S S S -- (注：各项均不为0) 仍是等比数列. ⑥等比数列{}n a 当项数为2n 时,S S q =偶奇；项数为21n -时,1S a S q -=奇偶.6.①如果数列{}n a 是等差数列,则数列{}n a A (n a A 总有意义)是等比数列；如果数列{}n a 是等比数列, 则数列{log ||}(0,1)a n a a a >≠是等差数列；②若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列；③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；④三个数成等差的设法：,,a d a a d -+；四个数成等差的设法：3,,,3a d a d a d a d --++；三个数成等比的设法：,,aqa aq ；四个数成等比的错误设法：33,,,a aqqaq aq (为什么？)7.数列的通项的求法：⑪公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑫已知n S (即12()n a a a f n +++= )求n a 用作差法：11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.⑬已知12()n a a a f n ⋅⋅⋅= 求n a 用作商法：()(1)(1),(1),(2)n f n f n f n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩.⑭若1()n n a a f n +-=求n a 用迭加法.⑮已知1()n na a f n +=,求n a 用迭乘法.⑯已知数列递推式求n a ,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如1n n a ka b -=+,1n n n a ka b -=+, 1n n a ka a n b -=+⋅+(,k b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后, 再求n a .②形如11n n n a ka ba --+=的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项. 8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式； ②分组求和法； ③倒序相加； ④错位相减； ⑤分裂通项法.公式：12123(1)n n n ++++=+ ；222216123(1)(21)n n n n ++++=++ ；33332(1)2123[]n n n +++++= ；2135n n ++++= ；常见裂项公式111(1)1n n nn ++=-；1111()()n n k k n n k++=-；1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]n n n n n n n -++++=-；11(1)!!(1)!n n n n ++=-常见放缩公式：212=<<=.9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题⑪这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.⑫利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p 元,每期利率为r ,则n 期后本利和为：(1)2(1)(12)(1)()n n n S p r p r p nr p n r +=+++++=+(等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额1sin cos αα--sin cos αα+还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n 期还清.如果每期利率为r （按复利），那么每期等额还款x 元应满足：12(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x --+=+++++++ (等比数列问题). 四.三角函数1.α终边与θ终边相同2()k k Z αθπ⇔=+∈；α终边与θ终边共线()k k Z αθπ⇔=+∈；α终边 与θ终边关于x 轴对称()k k Z αθπ⇔=-+∈；α终边与θ终边关于y 轴对称2()k k Z απθπ⇔=-+∈；α终边与θ终边关于原点对称2()k k Z απθπ⇔=++∈；α终边与θ终边关于角β终边对称22()k k Z αβθπ⇔=-+∈.2.弧长公式：||l r θ=；扇形面积公式：21122||S lr r θ==扇形；1弧度(1rad )≈57.3︒.3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”. 注意： tan15cot752︒=︒=tan75cot152︒=︒= 4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹: sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的关系.如2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±等.5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终．．视．α．为锐角．．．)．6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.如：()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++-；2()()αβαβα=+--；22αβαβ++=⋅；222()()αββααβ+=---等；“1”的变换：221sin cos tan cot 2sin30tan 45x x x x =+=⋅=︒=︒；7.重要结论：sin cos )a x b x x ϕ++其中t a n b aϕ=）；重要公式22cos 1sin 2αα-=；2cos α=1cos 22α+；sin 1cos 21cos sin tan ααααα-+==；22|cos sin |θθ==±.万能公式：22tan 1tan sin 2ααα+=；221tan 1tan cos 2ααα-+=；22tan 1tan tan 2ααα-=.8.正弦型曲线sin()y A x ωϕ=+的对称轴2()k x k Z ππϕω+-=∈；对称中心(,0)()k k Z πϕω-∈；余弦型曲线c o s ()y Ax ωϕ=+的对称轴()k x k Z πϕω-=∈；对称中心2(,0)()k k Z ππϕω+-∈；9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三 内角和等于180︒,一般用正、余弦定理实施边角互化； 正弦定理：sin sin sin 2a b c ABCR ===；余弦定理：22222222()222cos ,cos 1b c ab c abcbca b c bc A A +-+-=+-==-；正弦平方差公式：22sin sin sin()sin()A B A B A B -=+-；三角形的内切圆半径2ABC S a b cr ∆++=； 面积公式：124sin abc RS ab C ∆==；射影定理：cos cos a b C c B =+.10.ABC ∆中,易得：A B C π++=,①sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+,tan tan()A B C =-+. ②22sincosA B C +=,22cossinA B C +=,22tancotA B C +=.③sin sin a b A B A B >⇔>⇔> ④锐角ABC ∆中,2A B π+>,sin cos ,cos cos A B A B ><,222a b c +>,类比得钝角ABC ∆结论.⑤tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=.11.角的范围：异面直线所成角2(0,]π；直线与平面所成角2[0,]π；二面角和两向量的夹角[0,]π；直线的倾斜角[0,)π；1l 到2l 的角[0,)π；1l 与2l 的夹角2(0,]π.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等. 五.平面向量1.设11(,)a x y = ,22(,)b x y =. (1)1221//0a b x y x y ⇔-=；(2)121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=.2.平面向量基本定理：如果1e 和2e是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+.3.设11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,则1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+；其几何意义是a b⋅ 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；a 在b的方向上的投影||cos ||a b a b θ⋅==4.三点A 、B 、C 共线AB ⇔ 与AC 共线；与AB 共线的单位向量||ABAB ±.5.平面向量数量积性质：设11(,)a x y = ,22(,)b x y =,则cos ||||a ba b θ⋅=；注意: ,a b 〈〉 为锐角0a b ⇔⋅> ,,a b 不同向；,a b 〈〉 为直角0a b ⇔⋅=；,a b 〈〉为钝角0a b ⇔⋅< ,,a b 不反向.6.a b ⋅ 同向或有0||||||||||||a b a ba b a b ⇔+=+≥-=- ；a b ⋅ 反向或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+≥-=+ ；a b ⋅不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<±<+ .7.平面向量数量积的坐标表示：⑪若11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,则1212a b x x y y ⋅=+；||AB ⑫若(,)a x y = ,则222a a a x y =⋅=+ .8.熟记平移公式和定比分点公式. ①当点P 在线段21P P 上时,0λ>；当点P 在线段21P P (或12P P ) 延长线上时,1λ<-或10λ-<<.②分点坐标公式：若12PP PP λ=；且111(,)P x y ,(,)P x y 222(,)P x y ； 则121211(1)x x y y x y λλλλλ++++⎧=⎪⎪≠-⎨⎪=⎪⎩, 中点坐标公式：121222(1)x x y y x y λ++⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩. ③1P ,P ,2P 三点共线⇔存在实数λ、μ使得12OP OP OP λμ=+且1λμ+=.9.三角形中向量性质：①AB AC + 过BC 边的中点：||||||||()()AB AC AB AC AB AC AB AC +⊥- ；②13()0PG PA PB PC GA GB GC G =++⇔++=⇔为ABC ∆的重心；③PA PB PB PC PA PC P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心； ④||||||0BC PA CA PB AB PC P ++=⇔ 为ABC ∆的内心；||||()(0)AB ACAB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆内心. ⑤设1122(,),(,)A x y B x y ,12AOB A B B A S x y x y ∆=-.1||||sin 2ABC S AB AC A ∆=⑥O 为ABC ∆内一点,则0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆++=.10.(,)(,)(,)a h k P x y P x y ='''−−−−−→按平移,有x x h y y k'=+⎧⎨'=+⎩(PP a'= )；(,)()()a h k y f x y k f x h ==−−−−−→-=-按平移. 六.不等式1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：①若0ab >,b a >,则11ab>.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若0,>b a ,2211a b a b++≥≥≥(当且仅当b a =时 取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2),,a b c R ∈， 222a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号)；(3)公式注意变形如：22222()a b a b ++≥, 22()a b ab +≤；(4)若0,0a b m >>>,则b b m aa m++<(真分数的性质)；4.含绝对值不等式：,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+≥-=-；,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+≥-=+.5.证明不等式常用方法：⑪比较法：作差比较：0A B A B -≤⇔≤.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑫综合法：由因导果；⑬分析法：执果索因.基本步骤：要证… 需证…,只需证…； ⑭反证法：正难则反；⑮放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,||a >n .②将分子或分母放大(或缩小) ③利用基本不等式,如：(1)2n n ++.④利用常用结论：0111<；02211111111(1)(1)1kk k kkk kk k++---=<<=-(程度大)；0322111111211()kk k k --+<=-(程度小)；⑯换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元代数换元.如：知222x y a +=,可设cos ,sin x a y a θθ==；知221x y +≤,可设c o s x r θ=,sin y r θ= (01r ≤≤)；知22221x y ab+=,可设c o s ,s i nx a y b θθ==；已知22221x y ab-=,可设sec ,tan x a y b θθ==.⑰最值法,如：()a f x >最大值,则()a f x >恒成立.()a f x <最小值,则(a f <七.直线和圆的方程1.直线的倾斜角α的范围是[0,π）；2.直线的倾斜角与斜率的变化关系2tan ()k παα=≠(如右图)：3.直线方程五种形式：⑪点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线 方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.⑫斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线. ⑬两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为112121y y x x y y x x ----=,它不包括垂直于坐标轴的直线.⑭截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1xy a b +=,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑮一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)的形式.提醒：⑪直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)⑫直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.⑬截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.4.直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： ⑪平行⇔12210A B A B -=(斜率)且12210B C B C -≠(在y 轴上截距)； ⑫相交⇔12210A B A B -≠；(3)重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.5.直线系方程：①过两直线1l ：1110A x B y C ++=,2l ：2220A x B y C ++=.交点的直线系方程可设为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=；②与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程可设为0()Ax By m m c ++=≠；③与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程可设为0Bx Ay n -+=.6.到角和夹角公式：⑪1l 到2l 的角是指直线1l 绕着交点按逆时针方向转到和直线2l 重合所转的角θ, (0,)θπ∈且2112121tan (1)k k k k k k θ-+=≠-； ⑫1l 与2l 的夹角是指不大于直角的角2,(0,]πθθ∈且2112121tan ||(1)k k k k k k θ-+=≠-.7.点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式d =；两条平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离是d =.8.设三角形ABC ∆三顶点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则重心123123(,)33x x x y y y G ++++；9.有关对称的一些结论⑪点(,)a b 关于x 轴、y 轴、原点、直线y x =的对称点分别是(,)a b -,(,)a b -,(,)a b --,(,)b a . ⑫曲线(,)0f x y =关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点(,)a b ：(2,2)0f a x b y --=；②x 轴：(,)0f x y -=；③y 轴：(,)0f x y -=；④原点：(,)0f x y --=；⑤直线y x =：(,)0f y x =；⑥直线y x =-：(,)0f y x --=；⑦直线x a =：(2,)0f a x y -=. 10.⑪圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=. ⑫圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.特别提醒：只有当2240D E F +->时,方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为22(,)D E --,的圆(二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆0A C ⇔=≠,且220,40B D E AF =+->).⑬圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数),其中圆心为(,)a b ,半径为r .圆的参数方程主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；222cos ,sin (0x y t x r y r r θθ+=→==≤.⑭以11(,)A x y 、22(,)B x y 为直径的圆的方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=； 11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点00(,)P x y 及圆的方程 222()()x a y b r -+-=.①22200()()x a y b r -+->⇔点P 在圆外； ②22200()()x a y b r -+-<⇔点P 在圆内；③22200()()x a y b r -+-=⇔点P 在圆上.12.圆上一点的切线方程：点00(,)P x y 在圆222x y r +=上,则过点P 的切线方程为：200x x y y r +=；过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x 轴垂直的直线.14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①d r >⇔相离②d r =⇔相切③d r <⇔相交15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d , 两圆的半径分别为,r R ：d R r >+⇔两圆相离；d R r =+⇔两圆相外切； ||R r d R r -<<+⇔两圆相交；||d R r =-⇔两圆相内切； ||d R r <-⇔两圆内含；0d =⇔两圆同心. 16.过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=,2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆(相交弦)系方程为2222111222()()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=.1λ=-时为两圆相交弦所在直线方程.17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).18.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.八.圆锥曲线方程1.椭圆焦半径公式：设00(,)P x y 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一点,焦点为1(,0)F c -,2(,0)F c , 则1020,PF a ex PF a ex =+=-(“左加右减”)；2.双曲线焦半径：设00(,)P x y 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任一点,焦点为1(,0)F c -,2(,0)F c , 则：⑪当P 点在右支上时,1020||,||PF a ex PF a ex =+=-+；⑫当P 点在左支上时,10||PF a ex =--,20||PF a ex =-；(e 为离心率).另：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为22220x y a b-=. 3.抛物线焦半径公式：设00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上任意一点,F 为焦点,则02||p PF x =+；22(0)y px p =->上任意一点,F 为焦点，则02||p PF x =-+.4.共渐近线bay x =±的双曲线标准方程为2222x y a b λ-=(λ为参数,0λ≠). 5.两个常见的曲线系方程： ⑪过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).⑫共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b <时,表示椭圆；当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =或12|AB x x =-12]|y y -(弦端点112(,),(,)A x y B x y ,由方程(,)0y kxc b F x y =+⎧⎨=⎩消去y 得到02=++c bx ax ,0∆>,k 为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想；7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为22b a,焦准距为2bcp =,抛物线的通径为2p ,焦准距为p ； 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为b ；8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为221Ax By +=(对于椭圆0,0A B >>)；9.抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）为AB ,11(,)A x y 、22(,)B x y ,则有如下结论： ⑪12||AB x x p =++；⑫2124px x =,212y y p =-； ⑬112||||pAF BF +=.10.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点弦12||2()AB a e x x =++,右焦点弦12||2()AB a e x x =-+.11.对于22(0)y px p =≠抛物线上的点的坐标可设为200(,)2y y p,以简化计算.12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆22221x y a b +=中, 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线斜率2020b x k a y =-；在双曲线22221x y a b -=中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线斜率2020b x k a y =；在抛物线22(0)y p x p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0p y k =.13.求轨迹方程的常用方法：⑪直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =,是求轨迹的最基本的方法.⑫待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.⑬代入法(相关点法或转移法).⑭定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.⑮交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 14.解析几何与向量综合的有关结论：⑪给出直线的方向向量(1,)u k = 或(,)u m n = .等于已知直线的斜率k 或nm；⑫给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点；⑬给出0=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;⑭给出()AP AQ BP BQ λ+=+,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;⑮给出以下情形之一： ①AC AB //； ②存在实数λ,使AB AC λ=； ③若存在实数,αβ, 且1αβ+=；使OC OA OB αβ=+,等于已知C B A ,,三点共线.⑯给出1OA OBOP λλ++= ,等于已知P 是的定比分点,λ为定比,即λ=⑰给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角或反向共线,给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角或同向共线.⑱给出||||()MA MBMA MB MP λ+=,等于已知MP 是AMB ∠的平分线. ⑲在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-⋅+AD AB AD AB ,等于已知ABCD是菱形.⑳在平行四边形ABCD 中,给出||||AB AD AB AD +=-,等于已知ABCD 是矩形.⑴在ABC ∆中,给出222OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ∆的外心(三角形的外心是外接圆的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).⑵在ABC ∆中,给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点).⑶在ABC ∆中,给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点).⑷在ABC ∆中,给出+=||||()AB ACAB AC λ+ )(+∈R λ等于已知通过ABC ∆的内心.⑸在ABC ∆中,给出=⋅+⋅+⋅c b a 等于已知O 是ABC ∆的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).⑹在ABC ∆中,给出12()AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线.九.直线、平面、简单几何体1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC .若AOB AOC ∠=∠,则点A 在平面BOC 上的射影在BOC ∠的平分线上；2.立平斜三角余弦公式：(图略)AB 和平面所成的角是1θ,AC 在平面内,AC 和AB 的射影1AB 成2θ, 设3BAC θ∠=,则123cos cos cos θθθ=；3.异面直线所成角的求法：⑪平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线. ⑫补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；4.直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.5.二面角的求法：⑪定义法；⑫三垂线法；⑬垂面法；⑭射影法：利用面积射影公式cos S S θ=射斜 其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；6.空间距离的求法：⑪两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算.⑫求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解.⑬求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.7.用向量方法求空间角和距离：⑪求异面直线所成的角：设a 、b分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角||||||arccos a b a b α⋅⋅=.⑫求线面角：设l 是斜线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,则斜线l 与平面α所成的角||||||arcsin l n l n α⋅⋅=.⑬求二面角(法一)在α内a l ⊥ ,在β内b l ⊥,其方向如图(略),则二面角l αβ--的平面角||||arccos a ba b α⋅⋅=.(法二)设1n ,2n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l αβ--的平面角1212||||arccos n n n n α⋅⋅=.（4)求点面距离：设n是平面α的法向量,在α内取一点B ,则A到α的距离 |||||cos |||AB n d AB n θ⋅==(即AB 在n 方向上投影的绝对值). 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为θ,则cos S S θ=侧底.9.正四面体(设棱长为a )的性质：①全面积2S ；②体积312V =；③对棱间的距离2d =；④相邻面所成二面角13arccos α=；⑤外接球半径4R =；⑥内切球半径12r =；⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值3h =.10.直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体).在直角四面体O ABC -中,,,OA OB OC 两两垂直,令,,OA a OB b OC c ===,则⑪底面三角形ABC 为锐角三角形； ⑫直角顶点O 在底面的射影H 为三角形ABC 的垂心；⑬2BOC BHC ABC S S S ∆∆∆=； ⑭2222AOB BOC COA ABC S S S S ∆∆∆∆++=；⑮1111OHabc=++；⑯外接球半径R=R 11.已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,αβγ因此有22cos cos αβ+2cos 1γ+=或222sin sin sin 2αβγ++=；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,αβγ,则有222sin sin sin 1αβγ++=或222cos cos cos 2αβγ++=.12.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；13.球的体积公式343V R π=,表面积公式24S R π=；掌握球面上两点A 、B 间的距离求法： ⑪计算线段AB 的长；⑫计算球心角AOB ∠的弧度数；⑬用弧长公式计算劣弧AB 的长. 十.排列组合和概率。