1.4角平分线的性质(1)

证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ， ∴ ED =EC. ∴ △EDC 是个等腰三角形. ∴ ∠ECD=∠EDC. （2）在Rt△OED和Rt△OEC中， ∵ OE= OE， ED = EC， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴ OD=OC.
2. 如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC， BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. 证明 作CM⊥AB于点M. ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE， M ∴ CD = CM，CE = CM.
本课内容 本节内容 1.4
角平分线的性质
动脑筋
如图1-29， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M 是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM 分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
图1-29
可以添加条件MN =ME （或MN =MF）. ∵ ME⊥CD， MN⊥CA， ∴ M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线. 同理可得AM是∠CAB的平分线.
角平分线
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
1. “斜边、直角边定理” 是判定两个直角三角形全等所 独有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条 件是两个直角三角形. 2. 要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判 定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理 及其逆定理等，它们都是互为逆命题.
3. 勾股定理及其逆定理都体现了数形结合的思想. 勾股定 理体现了由形到数，而勾股定理的逆定理是用代数方 法来研究几何问题，体现了由数到形.
结
束
图1-29
例2 如图1-30，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取 一点P，作PE⊥DB， PF⊥AC， 垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系.

学习环节 学习目标 学习评价
学习活动
设计意图
目标 1：
通过 自主学习 能够用数
1. 学 生 的 合
探究活动二：
作探究是否
真 正 合 作 是 １. 已经证明角平分线的性质定让学
否充分交流.
生自己说出这个定理的逆命题大
致有两种情况,然后引导学生分析
1.本探究活动 是对上一探究 活动的进一巩 固和练习，老
分钟完成！显示 活动要求具体明 确，组织有序.
5. 关 注 学 生 在定理证明 后用来解决 实际问题时 能否记住不
思路.
4.出示活动要求：同桌合作３分钟完成！ 完成后学生以组为单位，代表发言， 最后出示整理的证明过程以供同学们
4.写出角平分 线性质定理的 几何语言让学 生感知数学语 言简洁明了的
再写出定理 证明环节而 直接利用这 个现成的结 论进行推理 和计算.
决实际问题。
五、教法、学法：
本节课充分运用多媒体和几何画板直观生动的优势，引导学生操作、观察、思考、归纳。 适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习 的积极性。体现新课程标准的要求，让学生成为学习的主体，而教师是学习的组织者、引导 者与合作者。学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，从而实现教与学的最优化，最 终达成本节课的学习目标。
角的平分线上
空间，进一体
(2) 如果一个点到角的两边的距离相 等 ，那么它就在这个角的平分线上.
现学生的主体 地位和老师的 主导作用.
3.经过上一个
探究活动让学
生在老师的参
与和引导下获
取一定的经验
用于本次活动
中，让学生学
2.展示第二个探索活动的要求和完成 任务内容，引导、组织学生以小组为 单位进行探索、合作、交流.

角平分线的性质（1）课后反思一、教材分析本节课北师大版八年级下册角平分线的性质的第一课时。

角平分线是初中数中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以让学生对全等三角形的判定和性质的应用价值有更深层次的认识。

同时为学习其它图形知识打好基础.二、学生情况八年级学生有一定的自学、探索能力，求知欲强。

能使脑、手充分动起来，学生间相互探讨，积极性基本被充分调动起来，该班自己动手探索的学习方式贯彻较好。

三、教法和法学：通过创设情境、动手实践，激发学生的学习兴趣，促进学生积极思考，寻找解决问题的途径和方法。

四、教学过程设计方面的反思首先，本节课我本着学生为主，突出重点的意图，结合课件使。

在角平分线的画法总结中，我让学生自己动手，通过对比平分角的仪器的原理进行作图，为了解决角平分线的性质这一难点，我通过具体实践操作、猜想证明、语言转换让学生感受知识的连贯性。

期次，从教学流程来说：情境创设---实践操作---交流探究---练习与小结---拓展提高，这样的教学环节，使学生在想与做中感受和体验，主动获取数学知识。

再次，了解学生的知识水平，注重了学生的反馈，是成功的前提，在第一个班上课时，教学设计中高估了学生，没有安排“点到直线的距离”的复习，在学到“角平分线的性质”时，发现学生对“点到直线的距离”及结合图形用符号语言表示点到直线的距离等知识相当陌生，于是匆匆给学生补充了相关的内容，从学生的练习看，有相当多的学生在用角平分线的性质证明时，漏写角平分线上的点到角两边的垂线段垂直两边的条件，只能通过不断强调来纠正学生的问题。

吸取在这个班的教训后，在对第二个班的教学前，我对原来的设计进行修改，在新课前补充了“问题1：什么是点到直线的距离？请画图说明。

”，在角平分线的性质的探索后补充了“应用性质的书写格式”“强化巩固：判断”的内容。

可见，不管用什么方式教学、如何设计，都要了解学生，因材施教是教育的灵魂。

四、本节课的不足本节课在授课开始，我没有把平分角的学具的建模思想充分传达给学生，只是利用它起到了一个引课的作用.在授课过程中，学生的能力有些高估，表现在引入新课前一些知识没有复习到，导致学生在用符号语言表达角的平分线性质时不是很顺利。

(2)①BD与ED有什么关系?为什么? 提示:BD=2ED.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 又∵∠B=30°,∴BD=2ED. ②请结合CD的长,以及CD与ED的关系确定BD的长. 提示:∵ED=CD=1,∴BD=2ED=2.
【总结提升】角平分线图形结构中的两种数量关系 如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F, 可以得到以下结论: 1.角之间的相等关系: ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF; ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP;∠DPO=∠EPO =∠ODF=∠OEF. 2.线段的相等关系: OD=OE,DP=EP,DF=EF.
【证明】过点P作PE⊥OA于E,PF⊥OD于F,
∵S△PAB=S△PCD,
∴ A1 B·PE=1 CD·PF.
2
2
∵AB=CD,∴PE=PF.
∴点P在∠AOD的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这
个角的平分线上).
∴OP平分∠AOD.
6.如图,△ABC中,BP,CP分别是∠B,∠C的外角平分线. 求证:点P在∠A的平分线上.
( ×)
知识点 1 角平分线的性质 【例1】(2013·温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分 ∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证:△ACD≌△AED. (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
【解题探究】(1)①CD与ED有什么关系?为什么? 提示:CD=ED.∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED. ②由CD与ED的关系能判定△ACD≌△AED吗?为什么? 提示:能.∵在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=ED,∴由“HL” 定理可得Rt△ACD≌Rt△AED.